人教B版高中数学必修一【学案8】函数的表示方法
高中数学第三章函数单调性的定义与证明学案新人教B版必修第一册
3．1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明课程标准借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 定义域为A 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2；(3)属于同一个单调区间．知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间M 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间M 叫做y ＝f (x )的________．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．知识点三 函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．状元随笔 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0. 基础自测1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )A．m＞12 B．m＜12C．m＞－12D．m＜－122．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是( )A．(－1，0)B．(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，+∞)D．(－1，0)，(1，＋∞)课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A.(－3，1)∪(1，4)B．(－5，－3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)状元随笔 观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．(2)下列函数在区间(0，1)上是增函数的是( )A．y＝1－2x B．y＝1 xC．y＝√x−1D．y＝－x2＋2x(3)函数y＝|x－1|的单调增区间是________.跟踪训练1 (1)函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数状元随笔 图象上升或下降趋势判断．(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．题型2 函数的单调性判断与证明例2 证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．在(0，2)上是减函数．状元随笔 先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号．方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x +2x +1在(－1，＋∞)上是减函数．题型3 利用函数的单调性求最值[经典例题]例3 已知函数f(x)＝2x−1x+1，x∈[3，5].(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3 已知函数f(x)＝32x−1，求函数f(x)在[1，5]上的最值．状元随笔 (1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．题型4 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例4 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练4 (1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．3．1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明新知初探·自主学习[教材要点]知识点一f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 增函数 减函数知识点二单调性 单调区间[基础自测]1．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<1 2.答案：B2．解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x24．解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)由y＝1－2x，y＝1x的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝√x−1的定义域为[1，＋∞)，不合题意．(3)作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】 (1)C (2)D (3)[1，＋∞)跟踪训练1 解析：(1)函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝{−(x−1)2+4，x≥0，−(x+1)2+4，x＜0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．答案：(1)A (2)见解析例2 【证明】 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1)x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：∀x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1) x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．跟踪训练2 证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1+2x1+1−x2+2x2+1＝x2−x1(x1+1)(x2+1)，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴x2−x1(x1+1)(x2+1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).∴y＝x+2x+1在(－1，＋∞)上是减函数．例3 【解析】 (1)函数f(x)在[3，5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1−1x1+1−2x2−1x2+1＝(2x1−1)(x2+1)−(2x2−1)(x1+1)(x1+1)(x2+1)＝3(x1−x2) (x1+1)(x2+1)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝2x−1x+1在[3，5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3−13+1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5−15+1＝32.跟踪训练3 解析：先证明函数f(x)＝32x−1的单调性，设x1，x2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x2>x1>1 2，f(x1)－f(x2)＝32x1−1−32x2−1＝6(x2−x1)(2x1−1)(2x2−1).由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝1 3.例4 【解析】 (1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．【答案】 (1)①a≤－4 ②－4 (2)(－∞，1)跟踪训练4 解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].由知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(1)见解析 (2)(5，＋∞)11。
人教B版数学高一版必修1学案 集合的表示方法
数学人教B必修1第一章1.1.2 集合的表示方法1．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法、描述法)描述不同的具体问题．2．理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形的集合等．1．列举法如果一个集合是______，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在________内表示这个集合．这种表示集合的方法叫做列举法．(1)用列举法表示集合时，一般不必考虑元素间的前后顺序，如{a，b}与{b，a}表示同一个集合．(2)元素与元素之间必须用“，”隔开．(3)集合中的元素不能重复．(4)如果构成集合的元素具有明显的规律，也可以用列举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚，如N＋＝{1,2,3,4,5,6，…}．【做一做1－1】用列举法表示不超过10的非负偶数集为__________．【做一做1－2】方程x2－2 011x－2 012＝0的解组成的集合为__________．2．描述法一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都____性质p(x)，而不属于集合A的元素都______性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个________．于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为________，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称______．(1)列举法描述法．(2)描述法的形式：描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言、图形语言．例如，表示由直线y＝x 上所有的点组成的集合，可用三种形式表示为：文字语言形式：直线y＝x上所有的点组成的集合；符号语言形式：{(x，y)|y＝x}；图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线y＝x(略)．(3)使用描述法表示集合时要注意以下六点：①写清元素符号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥用于描述的语句力求简明、准确．【做一做2－1】已知集合A＝{0,1,2,3,4}，用描述法表示该集合为__________．(答案不唯一，写一个即可)【做一做2－2】集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1的图象上的所有点组成的集合一、用描述法表示集合时，要明确集合的代表元素剖析：描述法是将所给集合中全部元素的共同特征性质用文字或符号语言描述出来的方法，它反映了集合元素的特征，在分析相关集合的问题时，一定要分清集合中代表元素的含义．例如，集合D ＝{y |y ＝x 2－2x ＋3}＝{y |y ＝(x －1)2＋2}＝{y |y ≥2}，该集合的全部元素的共同特征性质是大于或等于2的实数，所以D ＝{y |y ＝x 2－2x ＋3}与E ＝{x |x ≥2}为同一集合．又如，集合F ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫y ＝1x ＋1，它的代表元素是x ，该集合中x 满足的条件是x ≠0，所以该集合与G ＝{y |y ∈R 且y ≠0}为同一集合．再如，集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}与C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}不是相同的集合．这是因为集合A 的代表元素是x ，且x ∈R ；集合B 的代表元素是y ，且y ≥1；集合C 的代表元素是(x ，y )，且(x ，y )表示平面直角坐标系内抛物线y ＝x 2＋1上的点，所以它们是互不相同的集合．还有{三角形}实际上是{x |x 是三角形}的简写，千万别理解成由三个汉字组成的集合，三角形的集合不要写成{所有三角形}，因为{ }本身就有“所有”的含义．所以说，用描述法表示的集合，要抓住元素进行分析，看清集合的代表元素应具有哪些特征性质，从而准确理解和把握集合的内涵，分析集合是由哪些元素所组成的，避免错误的发生．二、教材中的“思考与讨论”1．哪些性质可作为集合{－1,1}的特征性质？剖析：集合{－1,1}是只含有元素－1和1的集合．因此，能表示出元素－1,1的方程、式子等都可以作为它的特征性质．如，x 2＝1或|x |＝1或(x ＋1)(x －1)＝0等，本题也说明了表达同一个集合的特征性质并不是唯一的．2．平行四边形的哪些性质，可用来描述所有平行四边形构成的集合？剖析：在初中，我们学习了平行四边形的判定定理，即平行四边形所具有的特征性质：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．因此，平行四边形ABCD 的特征性质可以写成：AB ∥CD 且AD ∥BC ，或ABCD 等．题型一 用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1){自然数中五个最小的完全平方数}；(2){x |(x －1)2(x －2)＝0}；(3)⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x －y ＝1. 分析：(1)首先明确自然数中完全平方数均为n 2(n ∈N )的形式；(2)1是方程的二重根，要考虑到集合元素的互异性；(3)方程组的解集是点集．反思：第(2)小题中1是方程的二重根，把方程(x －1)2·(x －2)＝0的解集写成{1,1,2}是不对的，这是因为集合的元素是互异的．第(3)小题中集合的代表元素是(x ，y )，故不能写成{3,2}，也不能写成{x ＝3，y ＝2}．实际上，集合{(3,2)}只有一个元素．题型二 用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)被3除余2的正整数的集合；(2)使x －1x 2－3x ＋2有意义的实数x 的集合； (3)平面直角坐标系内，不在二、四象限的点的集合；(4)平面直角坐标系内，两坐标轴上的点集．分析：(1)中x ＝3k ＋2(k ∈N )可作为集合的一个特征性质；(2)中要使表达式有意义，则x 2－3x ＋2≠0；(3)(4)中注意集合中的元素是点．反思：认识用特征性质描述法表示的集合，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素满足什么特征．对符号语言所表达含义的理解在数学中的要求是很高的，要逐步提高对符号语言的认识．题型三 列举法和描述法的灵活运用【例3】选择适当的方法表示下列集合：(1)x 2－1的一次因式组成的集合；(2)“welcome to Beijing ”中的所有字母组成的集合；(3)平面直角坐标系内第一、三象限角平分线上的点的集合；(4)以A 为圆心，r 为半径的圆上的所有点组成的集合．分析：(1)由于x 2－1的一次因式为x ＋1和x －1，故可以用列举法表示为{x ＋1，x －1}；(2)由于“welcome to Beijing ”中包括的字母有w ，e ，l ，c ，o ，m ，t ，B ，i ，j ，n ，g ，共12个元素，故可以用列举法表示为{w ，e ，l ，c ，o ，m ，t ，B ，i ，j ，n ，g}；(3)第一、三象限角平分线对应直线y ＝x ；(4)对于以A 为圆心，r 为半径的圆上的点都具有一个共同的特征：到圆心的距离都等于半径，设点P 为圆上的任意一点，故可以用描述法表示为{P ||PA |＝r }．反思：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素所满足的特征性质；三要根据元素个数来选择恰当的方法表示集合．题型四 易错辨析【例4】已知集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }．若m ∈A ，n ∈B ，则有( )A ．m ＋n ∈AB ．m ＋n ∈BC ．m ＋n ∈CD ．m ＋n 不属于A ，B ，C 中的任意一个错解：C反思：在分析集合中元素的关系时，一定要注意各自的独立性，并注意用不同的字母来区分，否则会引起错误．【例5】判断命题⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |61＋x ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z |x ∈N 的真假，并说明理由． 错解：此命题是真命题．理由如下：∵x 与61＋x的范围一致，∴题中命题是真命题． 反思：化简集合时一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可．1下列集合的表示方法正确的是( )A ．{1,2,2}B ．{全体实数}C ．{有理数}D ．不等式x 2－5＞0的解集为{x 2－5＞0}2方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝9的解集是( ) A ．(5,4) B ．{5，－4}C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}3下列关系式中，正确的是( )A ．{2,3}≠{3,2}B ．{(a ，b )}＝{(b ，a )}C ．{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x ＋1}D ．{y |y ＝x 2＋1}＝{x |y ＝x ＋1}4用列举法表示集合A ＝{y |y ＝x 2－1，－2≤x ≤2，且x ∈Z }是__________．5已知集合M ＝{x |(x －a )(x 2－ax ＋a －1)＝0}中各元素之和等于3，则实数a 的值为__________．6用描述法表示下列集合．(1)大于2的整数a 的集合；(2)两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2的交点的集合；(3){1,22,32,42，…}；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫45，0，12，56，23，34. 答案：基础知识·梳理1．有限集 花括号“{ }”【做一做1－1】{0,2,4,6,8,10}【做一做1－2】{－1,2 012} ∵x 2－2 011x －2 012＝(x ＋1)·(x －2 012)＝0，∴x ＝－1或x ＝2 012.∴方程x 2－2 011x －2 012＝0的解组成的集合为{－1,2 012}．2．具有 不具有 特征性质 {x ∈I |p (x )} 描述法【做一做2－1】{x ∈N |x ≤4}【做一做2－2】D典型例题·领悟【例1】解：(1){0,1,4,9,16}；(2){1,2}；(3){(3,2)}．【例2】解：(1){x |x ＝3k ＋2，k ∈N }．(2)∵x －1x 2－3x ＋2＝x －1(x －1)(x －2)有意义， ∴实数x 的集合为{x |x ≠1，且x ≠2，x ∈R }．(3){(x ，y )|xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }．(4){(x ，y )|xy ＝0}．【例3】解：(1){x ＋1，x －1}；(2){w ，e ，l ，c ，o ，m ，t ，B ，i ，j ，n ，g}；(3){(x ，y )|y ＝x ，x ∈R ，y ∈R }；(4)设点P 为所求的圆上的任意一点，则{P ||PA |＝r }．【例4】错因分析：不能正确利用集合中元素的特征性质，认为三个集合中的a 是一致的，从而由m ∈A ，得m ＝2a ，a ∈Z .由n ∈B ，得n ＝2a ＋1，a ∈Z .所以得到m ＋n ＝4a ＋1，a ∈Z .进而错误判断m ＋n ∈C .而实际上，三个集合中的a 是不一致的．应由m ∈A ，设m ＝2a 1，a 1∈Z .由n ∈B ，设n ＝2a 2＋1，a 2∈Z .所以得到m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1，且a 1＋a 2∈Z ，所以m ＋n ∈B ，故正确答案为B.正解：B【例5】错因分析：误认为两集合的代表元素一样，而导致错误，实际上⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N |61＋x ∈Z 的代表元素是x ，而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫61＋x ∈Z |x ∈N 的代表元素是61＋x ，因而构成两集合的元素不同． 正解：此命题是假命题．理由如下：∵x ∈N ，且61＋x∈Z ，∴1＋x ＝1,2,3,6. ∴x ＝0,1,2,5.∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N |61＋x ∈Z ＝{0,1,2,5}． 而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫61＋x ∈Z |x ∈N ＝{6,3,2,1}， ∴题中命题是假命题．随堂练习·巩固1．C2．D ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝9＝{(5，－4)}．一定要注意解集是点集．3．C 选项A 中，{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；选项B 中，集合中的点不同，故集合不同；选项C 中，{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x ＋1}＝R ；选项D 中，{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}，而{x |y ＝x ＋1}＝R ，所以两集合不是同一个集合．故选C.4．{－1,0,3} ∵x ＝－2，－1,0,1,2，∴对应的函数值y ＝3,0，－1,0,3，∴集合A 用列举法表示为{－1,0,3}．5．2或32根据集合中元素的互异性，当方程(x －a )·(x 2－ax ＋a －1)＝0有重根时，重根只能算作集合的一个元素，M ＝{x |(x －a )(x －1)＝0}．(1)当a ＝1时，M ＝{1,0}，不符合题意；(2)当a －1＝1，即a ＝2时，M ＝{1,2}，符合题意；(3)当a ≠1，且a ≠2时，a ＋1＋a －1＝3，则a ＝32， 所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，符合题意． 综上，a ＝2或32. 6．解：(1){a ∈Z |a ＞2}，或{a |a ＞2，a ∈Z }，或{大于2的整数}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，x ∈R ，y ∈R . (3){x |x ＝n 2，n ∈N ＋}．(4)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝n －1n ，n ≤6且n ∈N ＋.。
高中数学第三章函数函数及其表示方法第1课时函数的概念学案新人教B版必修第一册
3.1 函数的概念与性质 3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔 对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二 同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三 常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔 从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔 判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2 求函数的定义域[教材P87例题1]例2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2 求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3 同一函数例3 下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔 判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4 求函数的值域[经典例题]状元随笔 求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4 求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4 求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章 函数3．1 函数的概念与性质3．1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0} R {y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1 解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B (2)①是函数②不是函数例2 【解析】 (1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2 解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3 【解析】 函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】 D跟踪训练3 解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一 因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二 设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4 解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。
高一数学人教B版必修1：2.1.2 函数的表示方法(二) 学案
2.1.2 函数的表示方法(二)自主学习学习目标了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．自学导引 分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的______________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应________________________．对点讲练知识点一 分段函数的求值问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．规律方法 对于f (a )，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a 所在范围有关，因此要对a 进行讨论．由此我们可以看到：(1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x(x <0)，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．知识点二 分段函数的图象及应用例2 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移2 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)－2x ＋2，x ∈[12，1]，在平面直角坐标系中作出y ＝f (x )的图象，并写出值域．知识点三 分段函数的简单应用例3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是： (1)乘坐5 km 以内，票价2元；(2)5 km 以上(含5 km)，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约 1 km ，如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．规律方法 该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，画图象时，注意每段定义域端点的虚实．变式迁移3 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x 元与通话时间t (分钟)的函数解析式，并画出t ∈(0,7]的图象．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理．3．画分段函数的图象要逐段画出，求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求值.课时作业一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2(x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]为( ) A ．－x B ．－x 2 C ．x D ．x 24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2(0≤x ≤1)2 (1<x <2)x ＋1 (x ≥2)的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x ≤3)的图象．8. 已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．2．1.2 函数的表示方法(二) 答案自学导引(1)对应法则 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 对点讲练例1 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3， ∴a ＝1(舍去)；当－1<a <2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3， ∴a ＝±3，其中负值舍去，∴a ＝3； 当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，∴a ＝32(舍去)．综上所述，a ＝ 3.变式迁移1 a <－1解析 当a ≥0时，f (a )＝12a －1，解12a －1>a ，得a <－2与a ≥0矛盾，当a <0时，f (a )＝1a ，解1a>a ，得a <－1.∴a <－1. 例2 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 变式迁移2 解 如图所示，函数y ＝f (x )的图象是由f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)的图象(抛物线的一段)及f 2(x )＝－2x ＋2，x ∈[12，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．例3 解 设票价为y 元，里程为x km ， 由题意可知0<x ≤20.所以y 关于x 的函数为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (0<x <5)3 (5≤x <10)4 (10≤x <15)5 (15≤x ≤20)其图象如图所示．变式迁移3 解 由题意可知，变量t ∈(0，＋∞)，故x 与t 的函数关系的表达式为 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2 t ∈(0，3]0.2(n －1) t ∈(n ，n ＋1](n ∈N ，n ≥3)， 其图象如图所示．课时作业1．A [f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14， f (14)＝1－(14)2＝1516.故选A.] 2．A [由题意知f (3)＝f (3＋2) ＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.]3．B [当x <0时，g (x )＝－x 2<0，∴f [g (x )]＝－x 2.] 4．D [画图象可得．] 5．π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1. 6．{x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.7．解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)． ∵点(1,1)、(0,2)在射线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2. ∴左侧射线对应的函数解析式为 y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a <0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).9．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件
考点一
课堂互动讲练
考点突破 分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式．常用描点法画图，注意区间 端点的虚实．
例1 已知函数 f(x)＝1＋|x|－ 2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【思路点拨】 讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园 甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km，甲 10 点钟 发前往乙家，如图表示甲从自家出发到乙家为止 过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系．依图象回 下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多 长时间？ (2)甲到达乙家是几点钟？ (3)写出函数 y＝f(x)的解析式． (4)计算当 x＝50 分钟时，甲所走的路程．
x →y＝12x.
【思路点拨】 解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一 个元素在B中是否都有唯一元素与之对应． 【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在 集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
问题探究
x x≥0 1．y＝|x|＝－x x＜0 可以说 y＝|x|是两 个函数吗？ 提示：y＝|x|，x∈R，仍是一个函数，只是 x ∈[0，＋∞)与 x∈(－∞，0)的对应关系不同， 对于具体 x 值，所用的对应关系是唯一的．
2．从定义上看，函数与映射有什么关系？ 提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射， 是从非空数集到非空数集的映射．并非所有映射都为函数．
将(60,4)，(40,2)分别代入，得 k2＝110，b＝－ 2.
高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数学习导航学案新人教B版必修1
2.2 一次函数和二次函数自主整理(1)定义:函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫线性函数;它定义域为R ,值域为R .(2)性质:①函数改变量y 2-y 1与自变量改变量x 2-x 1比值等于常数k;k 大小表示直线与x 轴倾斜程度; ②当k>0时,一次函数为增函数,当k<0时,一次函数为减函数;③当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;④直线y=kx+b(k≠0)与x 轴交点为(kb -,0),与y 轴交点为(0,b).(1)定义:函数y=ax 2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它定义域为R .(2)性质:①函数图象是一条抛物线,它顶点坐标为(a b 2-,),它对称轴为x=ab 2-. ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=a b 2-处取得最小值,在区间(-∞,a b 2-］上是减函数,在区间［ab 2-,+∞)上是增函数. ③当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=a b 2-处取得最大值,在区间［a b 2-,+∞)上是减函数,在区间(-∞,ab 2-］上是增函数. ④当二次函数图象对称轴与y 轴重合即b=0时二次函数为偶函数,否那么既不是奇函数也不是偶函数.⑤在y=ax 2(a≠0)中,假设a>0,a 越大,抛物线开口越小,a 越小,抛物线开口越大;反之,假设a<0,a 越大,抛物线开口越大,a 越小,抛物线开口越小.总之,y=ax 2(a≠0)中,假设|a|越大,抛物线开口越小,|a|越小,抛物线开口越大.(3)三种形式:①一般式:f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),其中a 是开口方向与大小,c 是y 轴上截距,而a b 2-是对称轴.②顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线顶点坐标.h=ab 2 ,k=. ③两根式(因式分解):f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0),其中x 1、x 2是抛物线与x 轴两个交点横坐标.如果知道一个函数一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式方法称为待定系数法. 高手笔记1.常数函数是较为特殊函数,原因在于在函数解析式y=b 中没有出现自变量x.其实常数函数就是一个多对一映射.注意:当a=0时,函数y=ax 2=0是一个常数函数,其图象即为x 轴.2.式子x=a(a 是一固定常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x 对应无穷多个y,不符合函数定义,应将其与y=b 区别开来.3.二次函数是重要根底函数,必须作为重点内容来掌握.应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面内容进展把握.4.解决二次函数问题一定要牢牢树立数形结合思想,通过对函数图象分析寻找解决问题思路和分类讨论依据.名师解惑1.如何认识与理解常数函数？剖析:要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数:解析式:当k=0时,y=kx+b 就变成了y=b,这就是常数函数解析式,其中b 是某一固定常数.这个解析式特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解原因.定义域:自变量x 可以取任意实数.解析式中没有出现x,说明解析式对x 没有要求,可以取任意实数.值域:常数函数值域为{b}.常数函数只有一个函数值b,就是说不管自变量怎么取值,都对应同一个函数值b.图象:因为不管自变量x 取什么值都对应一个函数值b,所以函数图象是平行于x 轴水平直线(特殊情况是x 轴).单调性:因为函数值是固定常数b,没有增减变化,函数图象也是一条水平直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性.奇偶性:定义域为R ,并且f(-x)=f(x)=b,所以一定是偶函数.如果b=0那么既是奇函数又是偶函数.2.如何由函数y=x 2图象变化得到函数y=a·x 2(a≠0)图象？又如何由函数y=ax 2(a≠0)图象变化得到y=a(x+h)2+k(a≠0)图象？再如何由函数y=ax 2(a≠0)图象得到函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象？剖析:(1)二次函数y=a·x 2(a≠0)图象可由y=x 2图象各点纵坐标变为原来a 倍得到,而横坐标保持不变.(2)二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)可由y=ax 2(a≠0)图象向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或下)平移|k|个单位得到.(3)要得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象,先将其化为y=a(x+h)2+k(a≠0)形式,再通过y=ax 2(a≠0)图象上下左右平移得到.3.二次函数性质常见有哪些综合应用？剖析:(1)关于对称轴问题:假设二次函数f(x)满足f(t+x)=f(t-x),那么f(x)关于直线x=t对称,这一性质对于一般函数也适用.(2)关于二次函数在闭区间上最值问题:当a>0时,f(x)在区间［p,q ］上最大值为M,最小值为m,令x 0=21(p+q). 假设a b 2-<p,那么f(p)=m,f(q)=M; 假设p≤a b 2-<x 0,那么f(ab 2-)=m,f(q)=M; 假设x 0≤a b 2-<q,那么f(p)=M,f(ab 2-)=m; 假设a b 2-≥q,那么f(p)=M,f(q)=m. (3)关于二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0实根分布问题:①方程f(x)=0两根中一根比r 大,另一根比r 小a·f(r)<0.②二次方程f(x)=0两根都大于r ⇔③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⇔讲练互动【例题1】方程ax-by+c=0(ab≠0)所对应一次函数,当a 、b 满足什么条件时函数为减函数 分析：首先将直线方程化为一次函数y=kx+b 形式,然后根据k>0时函数为增函数,k<0时函数为减函数,进而求得a 、b 所满足条件,即ab<0. 解：把ax-by+c=0整理,得y=b a x+bc , 要使得一次函数为减函数,那么b a <0,即只要a 、b 异号就可以了. 绿色通道处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.变式训练1.直线mx+(m-2)y=3(m≠2,m≠0)所对应一次函数,当函数为增函数时m 满足条件是( )A.0<mB.m<2C.0<m<2解析：把mx+(m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函数为增函数,那么>0,即只要-m 、m-2同号就可以了,所以易得0<m<2. 答案：C【例题2】二次函数f(x)=ax 2+(2a-1)x+1在区间［23-,2］上最大值为3,求实数a 值. 分析：这是一个逆向最值问题,假设从求最值入手,需分a>0与a<0两大类五种情形讨论,过程烦琐不堪.假设注意到f(x)最值总是在闭区间端点或抛物线顶点处取到,因此先计算这些点函数值,再检验其真假,过程简明.解：(1)令f()=3,得a=21-. 此时抛物线开口向下,对称轴为x=-2,且-2［23-,2］,故a=21-不合题意. (2)令f(2)=3,得a=21,此时抛物线开口向上,对称轴为x=0,闭区间右端点2距离对称轴远些,故a=21符合题意. (3)假设f(23-)=3,得a=32-,此时抛物线开口向下,对称轴为x=47-,闭区间为单调减区间,所以a=-32符合题意. 综上,a=21或a=32-. 绿色通道此题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间端点、抛物线顶点)函数值,再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题一种有效方法.变式训练2.二次函数y=x 2+2ax-3,x∈［1,2］,试求函数最小值.分析：首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴位置,由于对称轴在不同位置会出现不同结果,所以需要分三种情况讨论.解：y=x 2+2ax-3=(x+a)2-a 2-3,当-a∈(2,+∞),即a<-2时,此时函数在［1,2］上为减函数,故此时最小值为f(2)=4a+1; 当-a∈(-∞,1),即a>-1时,函数最小值为f(1)=2a-2;当-a∈［1,2］,即-2≤a≤-1时,函数最小值为f(-a)=-a 2-3.【例题3】二次函数图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数解析式.分析：是二次函数,且知三个点坐标,所以可以先设出二次函数解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0),然后将图象所经过三个点坐标分别带入方程,联立三个方程,得解得故f(x)=23x 223-x+1. 绿色通道使用待定系数法解题根本步骤是第一步,设出含有待定系数解析式;第二步,根据恒等条件,列出含待定系数方程或方程组;第三步,解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决.变式训练3.假设f(x)为一次函数,且满足f ［f(x)］=1+2x,那么f(x)解析式为______.解析：f(x)为一次函数,可以使用待定系数法.设f(x)=kx+b,那么f ［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k 2x+kb+b,利用对应系数相等即可求得k=2-,b=2--1或k=2,b=2-1.答案：f(x)=2-x 2--1或f(x)=2x+2-14.〔2007黄冈第一次高三诊断试卷,17〕二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上最值.分析：此题求函数解析式根本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定.求函数在给定区间上最值时,要注意对称轴位置.解：(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax 2+bx+1.那么由f(x+1)-f(x)=2x,可得2ax+a+b=2x.∴a=1,a+b=0,即b=-1.∴f(x)=x 2-x+1.(2)∵f(x)=x 2-x+1=(x 21-)2+43, 又x∈［-1,1］,∴当x=21时有最小值43,x=-1时有最大值3. 【例题4】二次函数f(x)=ax 2+bx+c,a∈N *,c≥1,a+b+c≥1,方程ax 2+bx+c=0有两个小于1不等正根,那么a 最小值为( )B.3C.4解析：由题意有由于方程有两个小于1不等正根,画图可知0<a b 2-<1,即b 2<4a 2. ∴4ac<b 2<4a 2,即a(a-c)>0.又a∈N *,且c≥1,∴a 最小值为2.答案：A绿色通道一般地,一元二次方程根分布情况问题往往从三个角度加以考虑:Δ符号,对称轴是否在区间内,端点函数值正负.变式训练2+2mx+2m+1=0.假设方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 范围. 分析：二次方程根问题实质上是讨论二次函数图象与x 轴交点与坐标原点位置关系问题,因此,理解交点及二次函数系数(a ——开口方向,a 、b ——对称轴,c ——图象与y 轴交点)几何意义,掌握二次函数图象特点,是解决此类问题关键.解：条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1与x 轴交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=.65,21,,21056)2(024)1(02)1(012)0(m m R m m m f m f f m f ∴65-<m<21-. 教材链接1.［探索与研究］设一次函数y=5x-3,取一系列x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应y值,这一系列函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似性质吗？答:对于一次函数y=5x-3,取一系列x值总是比前一个大2时,那么有与之对应每一个y值总是比前一个大10;对任意一个一次函数y=kx+b(k>0),假设取一系列x值总是比前一个大m 时(m为正整数),那么有与之对应每一个y值总是比前一个大mk.2.［探索与研究］结合课件1207,对一次函数性质进展探索.答:注意强调一次函数定义中一次项系数k≠0这一条件,当k=0时,函数为y=b,它不再是一次函数,它图象是一条与x轴平行直线,通常称为常值函数.函数值改变量y2-y1与自变量改变量x2-x1比值,称作函数x1到x2之间平均变化率,对一次函数来说它是一个常数,等于这条直线斜率.一次函数y=kx+b(k≠0)单调性与一次项系数正负有关,当k>0时,函数为增函数,当k<0时,函数为减函数.理由如下:设x1、x2是任意两个不相等实数,且x1<x2,那么Δx=x2-x1>0,所以Δy=f(x2)-f(x1)=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2-x1)=kΔx.当k>0时,kΔx>0,所以Δy>0,所以f(x)在R上是增函数;当k<0时,同理可证f(x)在R上是减函数.要准确地作出一次函数图象,只要找准图象上两个点即可,这两个点通常是找图象与坐标轴交点.3.［探索与研究］在同一坐标系中,作函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2,y=x2+1,y=x2-1图象,研究它们图象之间关系.答:列表:x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=(x+1)2… 4 1 0 1 4 9 16 …y=(x-1)2…16 9 4 1 0 1 4 …y=x2+1 …10 5 2 1 2 5 10 …y=x2-1 …8 3 0 -1 0 3 8 …在同一坐标系中画出这五个图,如图2-2-1所示:图2-2-1通过图象,可知后四个图象都可以由y=x2通过左右上下平移得到,y=(x+1)2由y=x2向左平移一个单位得到;y=(x-1)2由y=x2向右平移一个单位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一个单位得到,y=x 2-1由y=x 2向下平移一个单位得到.4.［探索与研究］二次函数y=ax 2+bx+c=a(x+a b 2)2+中a 、b 、c 对函数性质与图象各有哪些影响？ 答:二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)中系数a 、b 、c 决定着函数图象和性质.(1)二次项系数a 决定了函数图象开口方向、开口大小和单调性,当a>0时,开口向上,a 越大,开口越小,函数在对称轴两侧先减后增.当a<0时,开口向下,a 绝对值越大开口越小,函数在对称轴两侧先增后减.(2)b 是否为零决定着函数奇偶性.当b=0时,函数为偶函数;当b≠0且c≠0时,函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)c 是否为零决定着函数图象是否经过原点.另外,a 和b 共同决定着函数对称轴,a 、b 和c 三者共同决定着函数顶点位置.5.［探索与研究］请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能求出一个具体二次函数.答:运用待定系数法求二次函数解析式时,一般可设出二次函数一般形式y=ax 2+bx+c(a≠0),但如果函数对称轴或顶点坐标或最值,那么解析式可设为y=a(x-h)2+k 会使求解比拟方便.具体来说:(1)顶点坐标为(m,n),可设为y=a(x-m)2+n,再利用一个独立条件求a;(2)对称轴方程x=m,可设为y=a(x-m)2+k,再利用两个独立条件求a 与k;(3)最大值或最小值为n,可设为y=a(x+h)2+n,再利用两个独立条件求a 与h;(4)二次函数图象与x 轴只有一个交点时,可设为y=a(x+h)2,再利用两个独立条件求a 与h.。
人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第二章 本章总结提升
所以
-1
=1,即 x-y+y1-x1=0.②
联立①②解得
1 =
1 =
3
2
1
2
1
+ 2 -1,
3
+ 2 -1.④
③
又点Q在双曲线x2-y2=1上,
所以12 − 12 =1.⑤
将③④代入⑤,得
动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.
专题五
离心率问题
【例6】 (1)已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同
(1)求圆C的半径;
(2)若OP⊥OQ,其中O为坐标原点,求直线PQ的方程;
(3)直线l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时,求m的值.
解(1)由题知圆心 C
- 2 ,3
所以圆 C 的半径为
1
r=2
在直线 x-y+4=0
4 + 36-4=3.
上,所以- 2 -3+4=0,所以
变式训练1
求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程.
解设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l,
(-2)2 + (-4)2 + (-2) × + (-4) × + = 0,
82 + 62 + 8 + 6 + = 0,
)
答案 (1)B (2)D
所以
- -6
高中数学第二章函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法学习导航学案新人教B版必修1
函数-2.1.2 函数表示方法自主整理设集合A是一个非空数集,对A内任意数x,按照确定法那么f,都有唯一确定数值y与它对应,那么这种对应关系叫做集合A上一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量取值范围A叫做函数定义域;如果自变量取值a,那么由法那么f确定值y称作函数在a处函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数值域.函数定义含有三个要素,即定义域A、值域C与对应法那么f.当且仅当两个函数定义域与对应法那么都分别一样时,这两个函数才是同一个函数.(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］(2)无穷区间概念:关于-∞,+∞作为区间一端或两端区间称为无穷区间,它定义与符号如下表:{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上所有值设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法那么f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,那么称f是集合A 到集合B映射.这时,称y是x在映射f作用下象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).其中A叫做映射f定义域(函数定义域推广),由所有象f(x)构成集合叫做映射f值域,通常记作f(A).(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值表来表达函数关系方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达,那么这种表达函数方法叫做解析法(也称公式法).在函数定义域内,对于自变量x不同取值区间,有着不同对应法那么,这样函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)〞中“f〞是函数符号,可以用任意字母表示,如“y=g(x)〞;(2)函数符号“y=f(x)〞中f(x)表示与x对应函数值,是一个数,而不是f 乘x.2.对应法那么可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法与图象法,不管是哪种形式,都必须是确定,且使集合A中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间一种对应,假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞,按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系,这种对应就叫映射.A到B映射与B到A映射是截然不同.4.区间与数轴是严密联系在一起,在识别与使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值取舍是很容易出错地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点与空心点区别.对于某些不能用区间表示集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数画法要领是根据各段上函数解析式,分段画出各段图象.6.假设y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它取值范围是g(x)值域与(m,n)交集.名师解惑1.如何理解构成函数三要素:定义域、对应关系与值域求值域有几种常用方法剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数定义域,函数定义域包含三种形式:①自然型:指函数解析式有意义自变量x取值范围(如:分式函数分母不为零,偶次根式函数被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题条件或人为对自变量x限制,这是函数学习重点,往往也是难点,因为有时这种限制比拟隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x实际意义.(2)求函数值域是比拟困难数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式各种性质);④函数法(运用根本函数性质或抓住函数单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点与缺乏？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间函数关系就是用列表法表示;房地产公司出售商品房,总价格与面积之间函数关系就是用解析式来表示;工厂每月产量与月份之间函数关系是用图表来表示.(2)表示函数三种方法优点与缺乏,分别说明如下.①用解析式表示函数优点是简明扼要、标准准确.可以利用函数解析式求自变量x=a时对应函数值,还可利用函数解析式列表、描点、画函数图象,进而研究函数性质,又可利用函数解析式构造特点,分析与发现自变量与函数间依存关系,猜测或推导函数性质(如对称性、增减性等),探求函数应用等.缺乏之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y对应值需要逐个计算、有时比拟繁杂.②列表法优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系计价表,方便收款.列表法缺点是只能列出局部自变量与函数对应值,难以反映函数变化全貌.③用图象表示函数优点是形象直观,清晰呈现函数增减变化、点对称、最大(或小)值等性质.图象法缺乏之处是所画出图象是近似、局部,观察或由图象确定函数值往往不够准确.由于以上表示函数三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊对应剖析:(1)理解映射概念,必须注意以下几点:①方向性,“集合A到集合B映射〞与“集合B到集合A映射〞往往不是同一个映射;②非空性,集合A、B必须是非空集合;③唯一性,对于集合A中任何一个元素,集合B中都是唯一确定元素与之对应,这是映射唯一性,也可以说“在集合B中〞,A中任一元素象必在集合B中,也叫映射封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素与它对应,这是映射存在性.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在某种对应关系.说其是一种特殊映射,就是因为它只允许存在“一对一〞与“多对一〞这两种对应,而不允许存在“一对多〞对应.映射中对应法那么f是有方向,一般来说从集合A到集合B映射与从集合B到集合A映射是不同.讲练互动【例题1】以下各组中两个函数表示同一个函数是…( )A.f(x)=x,g(x)=n n x22B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数一样必须有一样定义域、值域与对应法那么.A中两函数值域不同;B中虽然定义域与值域都一样,但对应法那么不同;C 中尽管表示自变量两个字母不同,但两个函数三个要素是一致,因此它们是同一函数;D中两函数定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否一样;二看对应法那么是否一致.只有当两函数定义域一样且对应法那么完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比方上面对A判断即属此.变式训练1.判断以下各组中两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; (2)y=42-x 与y=22+•-x x ; (3)y=1+x 1与u=1+v1;(4)y=x 2与y=x 2x ;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个函数定义域与对应法那么比拟,而求定义域时应让原始解析式有意义,而不能进展任何非等价变换,对应法那么判断需判断它本质是否一样而不是从外表形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者定义域是x≥2或x≤-2,后者定义域是x≥2.(3)一样,定义域均为非零实数,对应法那么都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是一样,但对应法那么不同.(5)一样,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g 都是由A 到A 映射,其对应法那么(从上到下)如下表:表1 映射f 对应法那么原象1 2 3 象 2 3 1 表2 映射g 对应法那么原象123象213试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.分析：此题是将映射概念与复合函数求值相结合一道典型例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］含义与映射中原象与象关系,然后再按照有关定义解题.解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.∵f(3)=1,g(1)=2,∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.绿色通道读懂对应法那么f与g含义是解题关键,要弄清在法那么f与g作用下,集合A中元素在集合A中象是什么,要掌握象与原象定义.变式训练2.以下各图中表示对应,其中能构成映射个数是…( )图2-1-1A.4B.3C.2解析：所谓映射,是指多对一或一对一对应且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示对应符合映射定义,即A中每一个元素在对应法那么下,B中都有唯一元素与之对应.图(1)不是映射,因A中元素c没有参与对应,即违背A中任一元素都必须参与对应原那么.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应原那么.综上,可知能构成映射个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )解析：对f(a),f(b),f(c)值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个).应选C.答案：C【例题3】求以下函数值域:(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;(2)y=3x;-2+(3)y=;(4)y=|x-1|+|x-2|.分析：求二次函数值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考察给定区间与对称轴关系,利用二次函数在对称轴两侧单调性,求出给定区间上最大值与最小值,即可得到函数值域.除数形结合之外,求函数值域方法还有逐步求解法、判别式法、别离常数法与利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,∴当x=1时,y 有最小值-2.根据函数对称性知,x=3比x=0时值要大,∴当x=3时,y 有最大值2.∴这个函数值域为［-2,2］.(2)易知x≥2,∴2-x ≥0. ∴y=2-x +3≥3.∴这个函数值域为［3,+∞).(逐步求解法)(3)先别离常数,y=1311311222222+-=+-+=+-x x x x x .① 解法一(逐步求解法):∵x 2+1≥1,∴0<≤1.∴1>1≥-2.∴y∈［-2,1).解法二(判别式法):两边同乘x 2+1并移项,得(y-1)x 2+y+2=0. 又由①可知y<1,∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2,1).解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x 2=.又∵x 2≥0,∴≥0.∴y∈［-2,1).(4)原函数可化为y=由图2-1-2可知y∈［1,+∞).图2-1-2绿色通道求值域一定要注意定义域限制,一定要在定义域范围内求函数值域.当然,求值域一定要根据函数对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题关键,求这类问题就能得心应手.变式训练4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)值域是…( )A.［5,8］B.［1,8］C.［5,9］D.［8,9］解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).∴当x=2时,y最大=9;当x=4时,y最小=5.∴函数值域为{y|5≤x≤9}.答案：C【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时流程图:图2-1-3(1)试确定y与x函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)值;(3)假设f(x)=16,求x值.分析：此题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,那么先将输入值x平方再加2得输出值y.解：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)假设x≥1,那么(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).假设x<1,那么x2+2=16,解得x=14(舍去)或x=14-.综上,可得x=2或x=14-.绿色通道通过实例,了解简单分段函数并能简单应用是新课程标准根本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在范围利用相应解析式直接求值;假设给定函数值求自变量,应根据函数每一段解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量取值范围内.变式训练5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N*),k是π小数点后第n位数字,π=3.141 592 653 5…,那么等于____________.解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,那么有=1.答案：1【例题5】函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)表达式.分析：函数是一类特殊对应,函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1象是x2-1,求出x象,即是f(x)表达式.求解f(x)表达式此题可用“配凑法〞或“换元法〞.解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.解法二(换元法):令x+1=t,那么x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.绿色通道函数f［g(x)］表达式,求f(x)表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑方法,一种是用换元方法.所谓“配凑法〞即把f［g(x)］配凑成关于g(x)表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求f(x)表达式;所谓“换元法〞即令f［g(x)］中g(x)=t,由此解出x,即用t表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.需要注意是,无论是用“配凑法〞还是用“换元法〞,在求出f(x)表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)定义域即x取值范围应与条件f ［g(x)］中g(x)范围一致,所以说求f(x)定义域就是求函数g(x)值域.变式训练6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(5)=-5,那么f ［f(1)］=___________.解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.∴f(1)===f(5)=-5.∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).又f(-5)=)23(11)3(1)25(1+---=--=+--f f f =f(-1)=51)1(1)21(1--=-=+--f f =51, ∴f［f(1)］=51. 答案：51 7.f(x)=x +11(x∈R 且x≠-1),g(x)=x 2+2(x∈R ), (1)求f(2)、g(2)值.(2)求f ［g(2)］值.(3)求f ［g(x)］解析式.分析：在解此题时,要理解对应法那么“f〞与“g〞含义,在求f ［g(x)］时,一般遵循先里后外原那么.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)f ［g(2)］=f(6)=.(3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=.教材链接［思考与讨论］如何检验一个图形是否是一个函数图象写出你检验法那么,图2-1-4所示各图形都是函数图象吗哪些是,哪些不是,为什么图2-1-42-1-4所示各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一〞或“多对一〞原那么,所以(1)、(3)、(4)是函数图象,而(2)中有一个x 值对应两个y 值,不满足函数“多对一〞或“一对一〞条件,所以(2)不是函数图象.。
高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第1课时函数的表示法学案含解析第一册
3。
1。
2 函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1。
掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。
(1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780。
3980.1210.050。
01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的?提示：解析法、图象法和列表法．函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”)（1)任何一个函数都可以用解析法表示．(）(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．（）[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(）x1≤x<222<x≤4f(x)123A。
1B．2C．3D．不存在C[∵当2〈x≤4时，f(x)＝3，∴f（3）＝3。
]3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其定义域是______．［－2,3］［由图象可知f（x）的定义域为[－2，3］．］4．若f(x)＝x2＋bx＋c,且f（1）＝0，f（3）＝0，则f（－1)＝________。
人教B版数学高一版必修1学案集合的表示方法
课堂导学三点剖析一、用列举法表示集合【例1】请用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数集;(2)自然数中不大于10的质数集;(3)A={x ∈Z ||x|≤2};(4)方程(x-1)2(x-2)=0的解构成的集合.思路分析:分别把各集合中的元素一一找出来写在括号内即可.解:(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.故该集合可表示为{0,2,4,6,8,10}.(2)自然数中不大于10的质数有2,3,5,7.故该集合可表示为{2,3,5,7}.(3)绝对值小于或等于2的整数有-1,0,1,-2,2.故该集合可表示为{-2,-1,0,1,2}.(4)方程(x-1)2(x-2)=0的解为x=1或x=2.故该集合可表示为{1,2}.二、用描述法准确地表示集合【例2】用特征性质描述法表示下列集合:(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集合;(3)坐标平面内坐标轴上的点集.思路分析:用特征性质描述法表示集合,需找准x 所属的集合I 和集合的一个特征性质p(x). 解:(1){x|x=2n,n ∈N *};(2){x|x=3n+2,n ∈N };(3){(x,y)|xy=0}.温馨提示用特征性质描述法表示集合时应注意:①由上下文易知代表元素x 的范围时,x ∈R 可简记为x;②“竖线”不可省略;③p(x)可以是文字语言,也可以是数学符号语言.三、选择合适的表示方式来表示集合【例3】用特征性质描述法表示下列集合:(1)所有被5整除的数;(2)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合.思路分析:(1)中被5整除的数可表示为5n,n ∈Z ;(2)中的元素是坐标(x,y).解:(1){x|x=5n,n ∈Z };(2){(x,y)|-1≤x≤23,21 ≤y≤1,且xy≥0}.温馨提示(1)要写清楚集合中元素的代号,即代表元素,并写准确元素的特征性质.(2)要清楚集合中的元素是有序实数对(x,y),而不是数集,不要漏掉xy≥0. 各个击破类题演练1用列举法表示下列集合:(1){x|x+y=7,x ∈N *,y ∈N *};(2){(x,y)|x+y=7,x ∈N *,y ∈N *};(3){y|y=x 2-1,-2<x<3,x ∈Z }.解析:(1){1,2,3,4,5,6};(2){(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)};(3){-1,0,3}.变式提升设集合B={x ∈N |x+26∈N }. (1)试判断元素1,元素2与集合B 的关系;(2)用列举法表示集合B.解析:(1)当x=1时,x+26=2∈N ,∴1∈B; 当x=2时,x +26=23∉N ,∴2∉B. (2)∵x +26∈N ,x ∈N , ∴2+x 只能取1,2,3,6.∴x 只能取0,1,4,则B={0,1,4}.类题演练2用自然语言表示下列集合:(1){0,2,4,6,…};(2){x|x≥4};(3){x|x 是正方形}.解析:(1)所有非负偶数组成的集合.(2)所有大于或等于4的实数组成的集合.(3)所有的正方形组成的集合.变式提升2用描述法表示下列集合:(1){-1,1};(2)大于3的全体偶数构成的集合;(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合;(4)所有长方形构成的集合.解析:(1){x|x 2=1},或{x|(x-1)(x+1)=0},或{x||x|=1}.(2){x|x=2k,k>1,k ∈N }.(3)所求集合表示为C={(x,y)|x<0且y<0}.(4){x|x 是长方形}.类题演练3(1)已知集合M={x ∈N |x+16∈Z },求M;(2)已知集合C={x+16∈Z |x ∈N },求C. 解析:(1)∵x ∈N ,且x +16∈Z , ∴1+x=1,2,3,6.∴x=0,1,2,5.∴M={0,1,2,5}.(2)结合(1)知x+16=6,3,2,1. ∴C={6,3,2,1}.变式提升3方程2x+1=0的解集的元素是什么?用特征性质描述法表示这个集合. 解析:方程的解集的元素为21-,用描述法表示为{x|2x+1=0}.。
人教版高中数学必修1学案：1.2.1函数的概念(2)
1．2.1函数的概念(2)一、三维目标：知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
掌握判别两个函数是否相等的方法。
情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。
二、学习重、难点：重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。
难点：求函数定义域和值域。
三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。
四、知识链接：1. 写出函数的定义：注：（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a 时的函数值。
（2）定义域是自变量x 的取值范围；（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。
2.集合的表示方法有： 。
五、学习过程：A 问题1. 区间的概念 （1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做 ,表示为 ；（3）满足不等式b x a <≤的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；（4）满足不等式b x a ≤<的实数x 的集合叫做 ，表示为 ；在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用 表示包括在区间内的端点，用 表示不包括在区间内的端点；实数集R 也可以用区间表示为 ，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+∞”读作“ ”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的集合分别表示为 。
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.1.1 等式的性质与方程的解集 (含答案)
第二章 等式与不等式2．1 等 式2．1.1 等式的性质与方程的解集1.常用乘法公式(1)公式： 公式名称符号表示 文字表示 平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差完全平方 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2两数和(或差)的平方，等于公式这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍其他恒等式①(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；②(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；③(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac(2)本质：常用乘法公式的本质就是将每个括号内的每一项与另一括号内的每一项依次相乘后再求和得到．(3)应用：利用公式或恒等式进行表达式的化简与求值．(1)平方差公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．(2)完全平方公式的左右两边分别有什么特点？提示：公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式；公式右边第一、三项分别是左边第一、第二项的平方；第二项是左边两项积的2倍．2．十字相乘法具体形式：①二次项系数为1时：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)②二次项系数不为1时：acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)记忆口诀：拆两头，凑中间．十字相乘法分解因式的关键是什么？提示：把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．3.方程的解集(1)定义：方程的解(根)能使方程左右两边相等的未知数的值方程的解集一个方程所有解组成的集合的不同．(3)应用：求解方程的解(或解集).把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.( ×)提示：(2a＋5)(2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25.(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).( ×)提示：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4y).(3)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.( ×)提示：若(x＋2)(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0.2．分解因式：x2＋2xy＋y2－4＝．【解析】x2＋2xy＋y2－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2).答案：(x＋y＋2)(x＋y－2)3．(教材例题改编)已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为______．【解析】由方程x2－17x＋66＝0得：(x－6)(x－11)＝0，解得：x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6.答案：6类型一常用乘法公式的应用(数学运算)1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为()A．5 B．－5C．11 D．－11【解析】选A.由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24. 2．计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是()A．8x2－8y2B．8y2－8x2C．8(x＋y)2D．8(x－y)2【解析】选B.方法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2.方法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2.3．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则2a2＋4b－3的值为______.【解析】a2＋b2＋2a－4b＋5＝(a2＋2a＋1)＋(b2－4b＋4)＝(a＋1)2＋(b－2)2＝0，所以a＝－1，b＝2，所以2a2＋4b－3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.答案：7常用乘法公式的应用技巧(1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式．(2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算．类型二十字相乘法分解因式(数学运算)【典例】把下列各式因式分解．(1)x2＋3x＋2.(2)6x2－7x－5.(3)5x2＋6xy－8y2.【思路导引】二次项系数与常数项分别拆分，交叉相乘再相加，保证和为一次项系数即可．【解析】(1)x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)1×2＋1×1＝3(2)6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)2×(－5)＋3×1＝－7(3)5x2＋6xy－8y2＝(x＋2y)(5x－4y)1×(－4y)＋5×(2y)＝6y十字相乘法因式分解的形式尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a 1c 2＋a 2c 1，如果它正好等于二次三项式ax 2＋bx ＋c 中一次项的系数b ，那么ax 2＋bx ＋c 就可以分解成(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)，其中a 1，c 1是图中上面一行的两个数，a 2，c 2是下面一行的两个数．分解下列各因式：(1)8x 2＋26xy －15y 2；(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2.【解析】(1)8x 2＋26xy －15y 2＝(2x －y)(4x ＋15y).(2)7(a ＋b)2－5(a ＋b)－2＝(7a ＋7b ＋2)(a ＋b －1).【拓展延伸】齐次式的因式分解(1)齐次式是指合并同类项后，每一项关于x ，y 的次数都是相等的多项式．次数为一次就是一次齐次式，次数为二次就是二次齐次式．如x －2y 是一次齐次式；x 2＋xy 是二次齐次式．(2)二元二次齐次式是高中最常见的齐次式之一，通常可以写为ax 2＋bxy ＋cy 2的形式，常见的因式分解方法有两种，一是将原式中的y 看作参数直接进行因式分解；二是在解决此类问题的等式时可以同除以y 2转化为x y 的二次形式后利用因式分解进行分解或求值． 【拓展训练】x 2－13xy －30y 2分解因式为( )A ．(x －3y)(x －10y)B ．(x ＋15y)(x －2y)C ．(x ＋10y)(x ＋3y)D ．(x －15y)(x ＋2y)【解析】选D .x 2－13xy －30y 2＝(x －15y)(x ＋2y)1×2y ＋1×(－15y)＝－13y类型三 方程的解集(数学运算)一元一次方程的解集【典例】若x ＝－3是方程3x －a ＝0的解，则a 的值是( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6【思路导引】方程的解定能满足方程，代入求解即可．【解析】选C .把x ＝－3代入方程3x －a ＝0得：－9－a ＝0，解得：a ＝－9.一元二次方程的解集【典例】解下列一元二次方程：(1)2x 2＋7x ＋3＝0；【思路导引】(1)(2)直接利用十字相乘法解方程，(3)(4)移项合并同类项后，再利用十字相乘法解方程．【解析】原方程化为(2x ＋1)(x ＋3)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12 . (2)2x 2－7x ＋3＝0；【解析】原方程化为(2x －1)(x －3)＝0，解得x ＝12 或x ＝3，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3 . (3)－3x 2－4x ＋4＝0；【解析】原方程化为3x 2＋4x －4＝0，即(3x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝23 或x ＝－2，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，23 . (4)6x(x ＋2)＝x －4.【解析】原方程化为6x 2＋11x ＋4＝0，即(2x ＋1)(3x ＋4)＝0，解得x ＝－12 或x ＝－43 ，所以原方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，－43 . 分类讨论思想的应用【典例】解方程ax 2－(a ＋1)x ＋1＝0.【思路导引】把二次项系数分为a ＝0和a≠0两种情况讨论，第一种情况是解一元一次方程，第二种情况是解一元二次方程．【解析】当a ＝0时，原方程可化为－x ＋1＝0，所以x ＝1，当a≠0时，对于ax 2－(a ＋1)x ＋1来说，因为a×1＝a ，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1).如图所示：ax 2－(a ＋1)x ＋1＝(ax －1)(x －1)，所以原方程可化为(ax －1)(x －1)＝0，所以ax －1＝0或x －1＝0，所以x ＝1a 或x ＝1.1．利用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程的右边化为0；(2)将方程的左边进行因式分解；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解一元一次方程，得到方程的解．2．对于二次三项式分解因式的注意事项对于二次三项式，采用十字相乘法分解因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相乘，两个因式的和正好等于一次项系数．注意，交叉相乘横着写．3．形如ax 2＋bx ＋c ＝0(含参)的方程的解法方程的二次项系数中含有参数时，要讨论二次项系数是否可以等于零，当二次项系数等于零时，讨论方程变为一元一次方程或其他情况，当二次项系数不为0时，解一元二次方程．1．多项式x ＋5与2x －8互为相反数，则x ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】选C.根据题意得：x ＋5＋2x －8＝0，移项合并得：3x ＝3，解得x ＝1.2．求下列方程的解集： (1)5x 2－2x －14 ＝x 2－2x ＋34 .(2)12x 2＋5x －2＝0.【解析】(1)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0或2x －1＝0，即x ＝－12 或x ＝12 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 . (2)分解因式得：12x 2＋5x －2＝(3x ＋2)(4x －1)3×(－1)＋4×2＝5因为12x 2＋5x －2＝0，所以(3x ＋2)(4x －1)＝0，所以3x ＋2＝0或4x －1＝0，即x ＝－23 或x ＝14 ，因此方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23，14 . 3.解方程12x 2－ax －a 2＝0.【解析】当a ＝0时，原方程可化为：12x 2＝0，所以x ＝0，当a≠0时，因为3×4＝12，－a×a ＝－a 2，3×a ＋4×(－a)＝3a －4a ＝－a ，如图所示所以12x 2－ax －a 2＝(3x －a)(4x ＋a)，所以原方程可化为(3x －a)(4x ＋a)＝0.所以3x －a ＝0或4x ＋a ＝0，所以x 1＝a 3 ，x 2＝－a 4 .【补偿训练】(2020·苏州高一检测)若方程(x －2)(3x ＋1)＝0，则3x ＋1的值为( )A ．7B ．2C ．0D ．7或0【解析】选D .由方程(x －2)(3x ＋1)＝0，可得x －2＝0或3x ＋1＝0，解得x 1＝2，x 2＝－13 ，当x ＝2时，3x ＋1＝3×2＋1＝7；当x ＝－13 时，3x ＋1＝3×(－13 )＋1＝0.备选类型 方程的解的应用(数学建模、数学运算)【典例】我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格按同一百分率经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是( )A ．8%B ．9%C ．10%D ．11%【思路导引】设出每次下调的百分率，根据原价及两次下调后的价格列出关系式，求得方程的解．【解析】选C .设平均每次下调的百分率为x ，则：15 000·(1－x)·(1－x)＝12 150，所以(1－x)2＝0.81，所以1－x ＝0.9或1－x ＝－0.9，解得x＝0.1或x＝1.9.因为x＜1，所以x＝1.9(舍)，所以x＝0.1.所以平均每次下调的百分率为10%.解决实际问题的一般步骤(1)审清题意，理顺问题的条件和结论，找到关键量．(2)建立文字数量关系式．(3)转化为数学模型．(4)解决数学问题，得出相应的数学结论．(5)返本还原，即还原为实际问题本身所具有的意义．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率．(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10 000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？【解析】(1)设这种商品平均降价率是x，依题意得：40(1－x)2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)；故这个降价率为10%.(2)设降价y元，则多销售(y÷0.2)×10＝50y件，根据题意得(40－20－y)(500＋50y)＝10 000，解得：y＝0(舍去)或y＝10，答：在现价的基础上，再降低10元．1．已知等式3x ＋2y ＋6＝0，则下列等式正确的是( )A ．y ＝－32 x －3B ．y ＝32 x －3C ．y ＝－32 x ＋3D ．y ＝32 x ＋3【解析】选A.由等式3x ＋2y ＋6＝0，可得y ＝－32 x －3.2．(2021·青岛高一检测)一元二次方程(x ＋3)(x －3)＝3(x ＋3)的解集是( )A ．{3}B ．{6}C ．{－3，6}D ．{－6，3}【解析】选C.(x ＋3)(x －3)－3(x ＋3)＝0，即(x ＋3)(x －3－3)＝0，所以x ＋3＝0或x －3－3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝6.3．(教材练习改编)多项式x 2－3x ＋a 可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－2【解析】选D.因为(x －5)(x －b )＝x 2－(5＋b )x ＋5b ＝x 2－3x ＋a ， 所以5＋b ＝3，a ＝5b ，所以b ＝－2，a ＝－10.4．(2021·南昌高一检测)一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，那么二次三项式2x 2＋px ＋q 可分解为( )A ．(x ＋1)(x －2)B ．(2x ＋1)(x －2)C ．2(x －1)(x ＋2)D ．2(x ＋1)(x －2)【解析】选D.因为一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0的解集为{－1，2}，所以2(x＋1)(x－2)＝0，所以2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2). 5．若x＝3是方程2x－10＝4a的解，则a＝______．【解析】因为x＝3是方程2x－10＝4a的解，所以2×3－10＝4a，所以4a＝－4，所以a＝－1.答案：－1。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.2(一)
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.2(一)
跟踪训练 3 已知 f( x－1)＝3－x，求 f(x)的解析式．
解
本 课 时 栏 目 开 关
令 x－1＝t，则 t≥0，且 x＝t2＋1，
所以 f(t)＝3－(t2＋1)＝2－t2，
即 f(x)＝2－x2(x≥0).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.1.2(一)
x 0 y 0
0.5 0.7
1 1.5
2
2.5
3
3.5 4 4.5
5
„ „
1 1.2 1.4 1.6 1.7 1.9 2 2.1 2.2
以这 11 个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对 应的 11 个点， 由这些点连成的一条光滑曲线就是函数 y＝ x 的图象．
研一研·问题探究、课堂更高效
图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函
求函数的解析式的关键是理解对应法则 f 的本质与特点(对 应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么 字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定 义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方 程组法．
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.2(一)
1.列表法：通过列出 自变量与对应函数值 的表来表示函数关系
本 的方法叫做列表法． 课 时 2.图象法：如果图形 F 是函数 y＝f(x)的图象，则图象上的任一 栏 目 点的坐标(x，y)都满足函数关系 y＝f(x)，反之，满足函数关 开 关 系 y＝f(x)的点(x，y)都在图象 F 上．这种用 “图形”表示函数
解 因为 f(0)＝1，
本 课 时 栏 目 开 关
所以 f(1)＝1· f(1－1)＝1· f(0)＝1，
人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：3.1.1 函数的概念
第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)相关概念：x叫做，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的. 显然，值域是集合B的.(3)同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．『微思考』(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？(2)什么样的对应可以构成函数关系？知识点2区间及相关概念(1)一般区间的表示设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间{x|a<x<b}开区间{x|a≤x<b}半闭半开区间{x|a<x≤b}半开半闭区间(2)实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤b}{x|x<b}『微体验』1．下列区间与集合{x|x<－2或x≥0}相对应的是()A．(－2,0)B．(－∞，－2』∪『0，＋∞)C．(－∞，－2)∪『0，＋∞)D．(－∞，－2』∪(0，＋∞)2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①A＝{0,1,5,10}；②{x|2<x≤10，x∈N}；③∅；④{x|x是等边三角形}；⑤{x|x≤0或x≥3}；⑥{x|x>1，x∈Q}．A．2B．3 C．4D．53．{x|x＞1且x≠2}用区间表示为________．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 下列对应中是A 到B 的函数的个数为( ) (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝『－1,1』，B ＝{0}，f ：x →y ＝0；(4)A ＝{1,2,3}，B ＝{a ，b }，对应关系如下图所示：(5)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如下图所示：A ．1B ．2C ．3D ．4『方法总结』判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断 (1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应； (3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一． 跟踪训练1 对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( )①y 是x 的函数；②对于不同的x 值，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量；④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二 求函数定义域问题 例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3；(3)y ＝ax －3(a 为常数)．变式探究 将本例(1)改为y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 2，其定义域如何？『方法总结』求函数定义域的常用依据(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合； (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (5)若f (x )是实际问题的『解 析』式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 跟踪训练2 (1)设全集为R ，函数f (x )＝2－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2』D ．『2，＋∞)(2)函数f (x )＝xx －1的定义域为________．探究三 求函数值和函数值域问题例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (2))的值； (3)求f (x )，g (x )的值域．『方法总结』求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算确定其值域．(2)常用方法：①逐个求法：当定义域为有限集时，常用此法；②观察法：如y＝x2，可观察出y≥0；③配方法：对于求二次函数值域的问题常用此法；④换元法：对于形如y＝ax＋b＋cx＋d的函数，求值域时常用换元法，令t＝cx＋d，将原函数转化为关于t的二次函数；⑤分离常数法：对于形如y＝cx＋dax＋b的函数，常用分离常数法求值域；⑥图象法：对于易作图象的函数，可用此法，如y＝1x－1.跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；(3)y＝x＋1－2x.探究四同一个函数的判定例4 下列各组函数是同一个函数的是________．(填序号)①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x0与g(x)＝1x0；③f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.『方法总结』判断同一个函数的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤．(2)两个注意点．①在化简『解析』式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示变量无关．跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)y1＝(x＋3)(x－5)x＋3，y2＝x－5；(2)y1＝x＋1·x－1，y2＝(x＋1)(x－1).随堂本课小结1．对函数概念的五点说明(1)对数集的要求：集合A，B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．求函数的定义域就是求使函数『解析』式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．3．求函数的值域常用的方法有：观察法、配方法、换元法、分离常数法、图象法等．——★参*考*答*案★——课前自主学习知识点1函数的定义及相关概念(2)自变量定义域函数值值域子集(3)定义域对应关系『微思考』(1)提示：不一定，两个集合必须是非空的数集.(2)提示：两个非空数集之间是一一对应关系或多对一可构成函数关系．知识点2区间及相关概念(1)a<b『a，b』(a，b) 『a，b) (a，b』(2) (－∞，＋∞)(3) 『a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b』(－∞，b)『微体验』1．C『『解析』』集合{ x|x<－2或x≥0}可表示为(－∞，－2)∪『0，＋∞)．2．D『『解析』』用区间表示的集合必须是连续的实数构成的集合，只有⑤是连续实数构成的集合，因此只有⑤可以用区间表示．3．(1,2)∪(2，＋∞)『『解析』』{x|x＞1且x≠2}用区间表示为(1,2)∪(2，＋∞)．课堂互动探究探究一函数关系的判断例1 B『『解析』』(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；(3)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数；(4)集合B 不是确定的数集，故不是A 到B 的函数；(5)集合A 中的元素3在B 中没有对应元素，且A 中元素2在B 中有两个元素5和6与之对应，故不是A 到B 的函数． 跟踪训练1 B『『解 析』』①③正确，②是错误的，对于不同的x 值，y 的值可以相同，这符合函数的定义，④是错误的，f (x )表示的是函数，而函数并不是都能用具体的式子表示出来． 探究二 求函数定义域问题例2 解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(3)要使函数有意义，必须使ax －3≥0.当a ＞0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥3a ； 当a ＜0时，原函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤3a； 当a ＝0时，ax －3≥0的解集为∅，不符合函数的定义，故此时不是函数．变式探究 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x 2≥0，解得{x |－1＜x ≤1}．跟踪训练2 (1)A『『解 析』』由2－x ≥0，解得x ≤2，所以M ＝(－∞，2』，所以∁R M ＝(2，＋∞)． (2){x |x ≥0，且x ≠1}『『解 析』』要使xx －1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －1≠0，解得x ≥0，且x ≠1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠1}．探究三 求函数值和函数值域问题例3 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6.(2)f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17. (3)f (x )＝11＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，∴值域是{y |y ≠0}．g (x )＝x 2＋2的定义域为R ，最小值为2，∴值域是{y |y ≥2}．跟踪训练3 解 (1)(逐个求法)将x ＝1,3,5,7依次代入『解 析』式，得y ＝2，8,14,20.∴函数的值域是{2,8,14,20}．(2)(配方法)∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， ∴函数的值域是(－∞，2』．(3)(换元法或配方法)令1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22，且t ≥0，∴原函数化为y ＝1－t 22＋t ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1≤1.∴所求函数的值域是(－∞，1』． 探究四 同一个函数的判定 例4 ②③『『解 析』』①f (x )＝－x －2x ，g (x )＝x －2x ，对应关系不同，故f (x )与g (x )不是同一个函数；②f (x )＝x 0＝1(x ≠0)，g (x )＝1x 0＝1(x ≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一个函数；③f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1，对应关系和定义域均相同，故是同一个函数． 跟踪训练4 解 (1)两函数定义域不同，所以不是同一个函数．(2)y 1＝x ＋1·x －1的定义域为{x |x ≥1}，而y 2＝(x ＋1)(x －1)的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，定义域不同，所以不是同一个函数．。
人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 空间向量基本定理
组是否有解的讨论.
变式训练3下列说法正确的是( C )
A.任何三个向量可构成空间向量的一组基底
B.空间向量的基底有且仅有一组
C.A,B,M,N是空间中的四个点,若 , , 不能构成空间向量的一组基
底,则点A,B,M,N共面
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
=
2
1
3
=
1
1
3
2
1 ,
3
∴ = + = +
1
1 ,
3
∴ + = + + 1 = 1 ,
∴, , 1 共面,
∴A,E,C1,F 四点共面.
规律方法
证明空间三向量共面或四点共面的方法
设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,
基底.
解 假设, , 共面,
则存在实数 λ,μ,使得=λ+μ ,
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.
∵e1,e2,e3不共面,
-3 + = 1,
∴ + = 2, 此方程组无解,
探究点二
空间向量共面问题
【例2】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在BB1和DD1
上,且
1
2
BE= BB1,DF= DD1.
3
3
证明:A,E,C1,F四点共面.
=
1
1 ,
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：3.1.2.2 函数的最大值、最小值 (含答案)
第2课时函数的最大值、最小值1.函数的最值(1)定义．前提函数f(x)的定义域为D,且x0∈D,对任意x∈D 条件都有f(x)≤f(x0)都有f(x)≥f(x0)结论最大值为f(x0),x0为最大值点最小值为f(x0),x0为最小值点最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点①配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；②换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；③数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出；④利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．最值点是点吗？提示：不是，是实数值，是函数值取得最值时的自变量x 的值．2．直线的斜率(1)直线斜率的定义．平面直角坐标系中的任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当x 1≠x 2时，称y 2－y 1x 2－x 1 为直线的斜率，记作Δy Δx ； ②当x 1＝x 2时，称直线的斜率不存在．(2)直线的斜率与函数单调性的关系①函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0． ②函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0．3．函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若I 是函数y ＝f (x )的定义域的子集，对任意x 1，x 2∈I ，且x 1≠x 2，记y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2)，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1 ， 称Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1为函数在区间[x 1，x 2](x 1<x 2时)或[x 2，x 1](x 1>x 2时)上的平均变化率．(2)函数的平均变化率与函数的单调性y ＝f (x )在I 上是增函数⇔Δy Δx >0在I 上恒成立y ＝f (x )在I 上是减函数⇔Δy Δx <0在I 上恒成立函数图像上任意两点连线的斜率大于0时，函数图像从左向右的变化趋势是什么？提示：函数图像从左向右逐渐上升．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)任何函数都有最大值、最小值．( × )提示：如函数y ＝1x 既没有最大值，也没有最小值．(2)一个函数的最大值是唯一的，最值点也是唯一的．( × )提示：函数的最大值是唯一的，但最值点不唯一，可以有多个最值点．(3)直线不一定有斜率，过函数图像上任意两点的直线也不一定有斜率．( × )提示：过函数图像上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x 1≠x 2.2．过函数图像上两点A (－1，3)，B (2，3)的斜率Δy Δx ＝________．【解析】Δy Δx ＝3－32＋1＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，x ∈[1，3]，则函数f (x )的最大值为________，最小值为________．【解析】f (x )＝x －1x ＋1 ＝1－2x ＋1，x ∈[1，3]， 因为f (x )在[1，3]上为增函数，所以f(x)max＝f(3)＝1＝f(1)＝0.2，f(x)min答案：120类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)1．(2021·太原高一检测)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2【解析】选C.A选项，由函数图像可得，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，故A错；B选项，由图像可得，f(x)在区间(－1，3)上的最大值为f(1)＝3，无最小值，故B错；C选项，由图像可得，f(x)在[－4，1]上有最小值f(－1)＝－2，有最大值f(1)＝3，故C正确；D选项，由图像可得，为使直线y＝t与y＝f(x)的图像有三个交点，只需－1≤t≤2，故D错．2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤1，1x ，x >1.则f (x )的最小值、最大值点分别为________，________．【解析】作出函数f (x )的图像(如图).由图像可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值，最小值为0，故f (x )的最小值为0，最大值点为±1.答案：0 ±13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出f (x )的图像．(2)由图像指出函数f (x )的最值点，求出最值．【解析】(1)由题意，当x ∈[－1，2]时，f (x )＝－x 2＋3，为二次函数的一部分；当x ∈(2，5]时，f (x )＝x －3，为一次函数的一部分；所以，函数f (x )的图像如图所示：(2)由图像可知，最大值点为0，最大值为3；最小值点为2，最小值为－1.图像法求最值、最值点的步骤【补偿训练】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－x （0≤x≤2），2x －1（x ＞2），求函数f(x)的最大值、最小值． 【解析】作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x ＝2时，f(x)取最大值为2；当x ＝12 时，f(x)取最小值为－14 .所以f(x)的最大值为2，最小值为－14 .【拓展延伸】求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间[m ，n ]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若对称轴x ＝－b 2a 在区间[m ，n ]内，则最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，最大值为f (m )，f (n )中较大者(或区间端点m ，n 中与直线x ＝－b 2a 距离较远的一个对应的函数值为最大值).(2)若对称轴x ＝－b 2a <m ，则f (x )在区间[m ，n ]上是增函数，最大值为f (n )，最小值为f (m ).(3)若对称轴x ＝－b 2a >n ，则f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，最大值为f (m )，最小值为f (n ).【拓展训练】1．定轴定区间上的最值问题【例1】已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．(1)R .(2)[0，3].(3)[－1，1].【思路导引】求函数的最大值、最小值问题，应先考虑其定义域，由于是二次函数，所以可以采用配方法和图像法求解．【解析】f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7.(1)当x ∈R 时，f (x )＝3(x －2)2－7≥－7，当x ＝2时，等号成立．故函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2) 函数f (x )＝3(x －2)2－7的图像如图所示，由图可知，在[0，3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5；在x ＝2时取得最小值，最小值为－7.(3)由图可知，函数f (x )在[－1，1]上是减函数，在x ＝－1时取得最大值，最大值为20；在x ＝1时取得最小值，最小值为－4.(1)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是增函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最小值． (2)函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 上是减函数，当x ＝－b 2a 时，函数取得最大值． 2．动轴定区间上的最值问题【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1，1]，求函数f (x )的最小值．【思路导引】二次函数开口方向确定，对称轴不确定，需根据对称轴的不同情况分类讨论．可画出二次函数相关部分的简图，数形结合解决问题．【解析】f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图像开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.3．定轴动区间上的最值问题【例3】已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．【思路导引】二次函数的解析式是确定的，但定义域是变化的，需依据t的大小情况画出对应的简图(二次函数的一段)，从而求解．【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1；当t >1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.本题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．类型二 函数的平均变化率与单调性、最值(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f (x )＝2x －3x ＋1. (1)判断函数f (x )在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论．【思路导引】任取x1，x2∈[0，＋∞)⇒Δf（x）Δx>0⇒函数单调递增【解析】f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，f(x2)－f(x1)＝2x2－3x2＋1－2x1－3x1＋1＝（2x2－3）（x1＋1）（x1＋1）（x2＋1）－（2x1－3）（x2＋1）（x1＋1）（x2＋1）＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）.所以Δf（x）Δx＝5（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）x2－x1＝5（x1＋1）（x2＋1）.因为x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（x）Δx>0，所以函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．(2)求函数f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．【思路导引】由第(1)问可知f(x)在[2，9]上是增函数⇒f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝2×9－39＋1＝32，最小值为f(2)＝2×2－32＋1＝13.利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2.(2)计算f (x 2)－f (x 1)，Δf （x ）Δx .(3)根据x 1，x 2的范围判断Δf （x ）Δx 的符号，确定函数的单调性．已知函数f (x )＝x ＋1x －2，x ∈[3，7]. (1)判断函数f (x )的单调性，并用平均变化率加以证明．【解析】函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明如下： 在[3，7]上任意取两个数x 1和x 2，且x 1≠x 2，因为f(x 1)＝x 1＋1x 1－2 ，f(x 2)＝x 2＋1x 2－2， 所以f(x 2)－f(x 1)＝x 2＋1x 2－2 －x 1＋1x 1－2 ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）. 所以Δf （x ）Δx ＝3（x 1－x 2）（x 1－2）（x 2－2）x 2－x 1 ＝－3（x 1－2）（x 2－2）， 因为x 1，x 2∈[3，7]，所以x 1－2＞0，x 2－2＞0，所以Δf （x ）Δx ＜0，函数f(x)为[3，7]上的减函数．(2)求函数f (x )的最大值和最小值．【解析】由单调函数的定义可得f(x)max ＝f(3)＝4，f(x)min ＝f(7)＝85 .类型三 常见函数的最值问题(直观想象、数学运算)不含参数的最值问题【典例】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1在区间[－1，1]上最小值点为________，最大值为________．【思路导引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题．【解析】函数f(x)＝－2x 2＋x ＋1的对称轴为x ＝－12×（－2） ＝14 ，函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为－1，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ＝－2×116 ＋14 ＋1＝98 .答案：－1 98含参数的最值问题【典例】设a 为实数，函数f(x)＝x 2－|x －a|＋1，x ∈R .(1)当a ＝0时，求f (x )在区间[0，2]上的最大值和最小值．【思路导引】代入a 的值，化简后求最值．【解析】当a ＝0，x ∈[0，2]时函数f (x )＝x 2－x ＋1，因为f (x )的图像开口向上，对称轴为x ＝12 ，所以，当x ＝12 时f (x )值最小，最小值为34 ，当x ＝2时，f (x )值最大，最大值为3.(2)当0<a <12 时，求函数f (x )的最小值．【思路导引】讨论对称轴与区间的位置关系求最值．【解析】f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ＋1，x ≥a ，x 2＋x －a ＋1，x <a .①当x ≥a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 2 ＋a ＋34 . 因为0<a <12 ，所以12 >a ，则f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 ＋a ； ②当x <a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12 2 －a ＋34 .因为0<a <12 ，所以－12 <a ，则f (x )在(－∞，a )上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝34 －a .综上，f (x )的最小值为34 －a .将本例的函数改为f (x )＝x 2－2ax ＋1，试求函数在区间[0，2]上的最值．【解析】函数的对称轴为x ＝a ，(1)当a <0时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝1；当0≤a ≤2时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋1；当a >2时，f (x )在区间[0，2]上是减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝5－4a ，所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <0，－a 2＋1，0≤a ≤2，5－4a ，a >2.(2)当a ≤1时，f (x )max ＝f (2)＝5－4a ；当a >1时，f (x )max ＝f (0)＝1，所以f (x )max ＝⎩⎨⎧5－4a ，a ≤1，1，a >1.一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入函数解析式求最值．(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x ＝m ，区间[a ，b ]为例，①最小值：f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （a ），m ≤a ，f （m ），a ≤m ≤b ，f （b ），m ≥b .②最大值：f (x )max ＝⎩⎨⎧f （a ），m ≥a＋b 2，f （b ），m <a ＋b 2． 当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系．(1)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，求f (x )在[0，1]上的最大值.【解析】因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图像开口向上，其对称轴为x ＝a 2 ，当a 2 ≤12 ，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2 ＞12 ，即a ＞1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )在[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【解析】f (x )＝x 2－x ＋1，其图像的对称轴为x ＝12 ， ①当t ≥12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1； ②当t ＋1≤12 ，即t ≤－12 时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，所以f (x )min ＝f (t ＋1)＝t 2＋t ＋1；③当t ＜12 ＜t ＋1，即－12 ＜t ＜12 时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1 上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝34 .1．(2020·西安高一检测)函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0，3]上的最大值为( )A ．9B ．9(1－a )C ．9－aD ．9－a 2【解析】选A.因为a ＞0，所以f (x )＝9－ax 2开口向下，以y 轴为对称轴，所以f (x )＝9－ax 2在[0，3]上单调递减，所以x ＝0时，f (x )最大值为9.2．函数f (x )＝x ＋2x －1 ( )A ．有最小值12 ，无最大值B ．有最大值12 ，无最小值C ．有最小值12 ，有最大值2D ．无最大值，也无最小值 【解析】选A.f (x )＝x ＋2x －1 的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ ，在定义域内单调递增，所以f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝12 ，无最大值． 3．(2021·菏泽高一检测)设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2，x ∈[0，2]，当a ＝－1时，f (x )的最小值是________，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．【解析】当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋2x ＋1，开口向上，对称轴为x ＝－1， 所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋1在(0，2)上单调递增，所以函数在x ∈[0，2]上的最小值f (x )min ＝f (0)＝1.若f (0)是f (x )的最小值，说明对称轴x ＝a ≤0，则a ≤0，所以a 的取值范围为(－∞，0].答案：1 (－∞，0]【补偿训练】二次函数f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是________．【解析】因为f (x )＝12 x 2－2x ＋3在[0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当0<m <2时，⎩⎨⎧f （0）＝3，f （m ）＝1， 此时无解；当2≤m ≤4时，x ＝2时有最小值1，x ＝0时有最大值3，此时条件成立； 当m >4时，最大值必大于f (4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m 的取值范围是[2，4].答案：[2，4]备选类型 函数最值的应用(数学建模)【典例】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：厘米)满足关系式：C (x )＝k 3x ＋5 (0≤x ≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )最小？并求其最小值．【思路导引】【解析】(1)由题意知C(0)＝8，代入C(x)的关系式，得k ＝40，因此C(x)＝403x ＋5 (0≤x≤10)，而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元， 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋6x ＝8003x ＋5＋6x(0≤x≤10). (2)令t ＝3x ＋5，由0≤x≤10，得5≤t≤35，从而有函数h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35).令5≤t 1<t 2≤35，则h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－800t 1t 2 ， 当5≤t 1<t 2≤20时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)>0； 当20≤t 1<t 2≤35时，h(t 1)－h(t 2)＝(t 1－t 2)(2－800t 1t 2)<0. 所以h(t)＝800t ＋2t －10(5≤t≤35)在区间[5，20]上单调递减，在区间[20，35]上单调递增，所以当t ＝20时，h(t)min ＝70，即当t ＝3x ＋5＝20，x ＝5时，f(x)min ＝70.所以当隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小，为70万元．(1)通过换元，使函数式变得简单，易于研究其单调性．(2)以20为分界点将[5，35]分成两个单调区间，可结合对勾函数的单调性规律来理解．(2020·枣庄高一检测)某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益(单位：元)满足分段函数φ(x)，其中φ(x)＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x>400，x 是“玉兔”的月产量(单位：件)，总收益＝成本＋利润． (1)试将利润y 表示为月产量x 的函数．(2)当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)依题设，总成本为20 000＋100x ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0<x≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12 (x －300)2＋25 000，则当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数，则y <60 000－100×400＝20 000，所以当月产量为300件时，有最大利润25 000元．1．函数f (x )的图像如图，则其最大值、最小值点分别为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 ，－32B ．f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ，f (0) D ．f (0)，32 【解析】选D.观察函数图像，f (x )最大值、最小值点分别为f (0)，32 .2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．6C ．1D ．2【解析】选B.f (x )＝x 2＋2x ＋a (x ∈[0，2])为增函数，所以最小值为f (0)＝a ＝－2，最大值f (2)＝8＋a ＝6.3．(2021·大冶高一检测)若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是( )A ．(2，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 【解析】选D.因为函数y ＝2x －1在(－∞，1)和[2，5)上都是单调递减函数，当x <1时，y <0，x ＝2时，y ＝2，x ＝5时，y ＝12 ，所以函数的值域是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 . 4．(教材练习改编)函数y ＝1x －3在区间[4，5]上的最小值为________． 【解析】作出图像可知y ＝1x －3在区间[4，5]上是减函数(图略)，所以其最小值为15－3＝12 . 答案：125．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不等实数a ，b ，总有f （a ）－f （b ）a －b＞0成立，且f (－3)＝a ，f (－1)＝b ，则f (x )在[－3，－1]上的最大值是________．【解析】由f （a ）－f （b ）a －b＞0，得f (x )在R 上是增函数， 则f (x )在[－3，－1]上的最大值是f (－1)＝b .答案：b6．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.(1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (x )－kx ≤0在x ∈[2，3]上恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)的图像开口向上，且对称轴为x ＝1，所以f (x )在[2，3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f （x ）min ＝f （2）＝4a －4a ＋1＋b ＝1f （x ）max ＝f （3）＝9a －6a ＋1＋b ＝4. 所以a ＝1，b ＝0； (2)由(1)得f (x )＝x 2－2x ＋1，所以不等式f (x )－kx ≤0，即x 2－(2＋k )x ＋1≤0在x ∈[2，3]上恒成立， 令g (x )＝x 2－(2＋k )x ＋1，g (x )的图像开口朝上， 则要使g (x )≤0在x ∈[2，3]上恒成立，所以⎩⎨⎧g （2）＝4－4－2k ＋1≤0g （3）＝9－6－3k ＋1≤0，解得k ≥43 ， 所以实数k 的取值范围为k ≥43 .。
高中数学 第二章 函数单元小结学案2 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学学案
第二章 函数知识建构综合应用专题1复合函数y=f ［g(x)］定义:如果y=f(u)的定义域为D ，函数u=g(x)的值域为M ，D∩M 非空，则称y=f ［g(x)］为复合函数，x 为自变量，y 为因变量，u 为中间变量.如:已知y=f(u)=u ,u=g(x)=22x -a ,则y=f ［g(x)］=a 2-x 2称为复合函数.利用复合函数的概念，一个较复杂的函数可以看成几个简单函数复合而成，这样更便于对函数进行研究使用.【例题1】(1)已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x 2）的定义域; (2)已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域; (3)已知函数f （x ＋1）的定义域为［-2，3］，求f （2x-2）的定义域.分析:(1)求函数定义域就是求自变量x 的取值范围，求f （x 2）的定义域就是求x 的范围，而不是求x 2的范围，这里x 与x 2的地位相同，所满足的条件一样. (2)应由0＜x ＜1确定出2x ＋1的范围，即为函数f （x ）的定义域.(3)应由-2≤x≤3确定出x ＋1的范围，求出函数f （x ）的定义域进而再求f （2x-2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解：(1)∵f（x ）的定义域为(0，1),∴要使f （x 2）有意义，需使0＜x 2＜1，即-1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴函数f （x 2）的定义域为{x ｜-1＜x ＜0或0＜x ＜1}.(2)∵f（2x ＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x 的取值范围是0＜x ＜1， 令t ＝2x ＋1，∴1＜t ＜3. ∴f（t ）的定义域为1＜t ＜3. ∴函数f （x ）的定义域为{x ｜1＜x ＜3} (3)f （x ＋1）的定义域为-2≤x≤3. 令t ＝x ＋1，∴-1≤t≤4. ∴f（t ）的定义域为-1≤t≤4,即f(x)的定义域为-1≤x≤4.要使f （2x-2）有意义，需使-1≤2x -2≤4， ∴21≤x≤3. ∴函数f （2x-2）的定义域为{x ｜21≤x≤3}. 绿色通道（1）对于复合函数f ［g （x ）］而言，如果函数f （x ）的定义域为A ，则f ［g （x ）］的定义域是使得函数g （x ）∈A 的x 取值范围.（2）如果f ［g （x ）］的定义域为A ，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域. 【例题2】已知f(x 2+21x)=x+x 1(x<0)，求函数f(x 2+x)的单调减区间. 分析:求复合函数的单调区间时，必须注意两点：一是函数的定义域,二是每个函数在划分出的各区间内必是单调函数.本题先应求f(x)的表达式及其定义域，进而研究f(x 2+x)的单调性.解：∵当x<0时，x+x 1=-|x+x1| =2122++-x x =f(x 2+21x)， ∴f(x)=2x -+.又x 2+21x≥2,∴f(x)的定义域为{x|x≥2}.则f(x 2+x)=2x x -2++，x 2+x≥2，即y=f(x 2+x)=47)21(2++-x （x≤-2或x≥1）. 又∵该函数可看作是y=-t 与t=(x+21)2+47复合而成，而y=-t 单调递减， 故只需在x≤-2或x≥1内求t=(x+21)2+47的增区间.而t 的对称轴为x=21-，开口向上，∴在x∈［1,+∞)上t=(x+21)2+47单调递增.故所求函数y=2x x 2++-的单调减区间为［1,+∞).绿色通道（1）虽然复合函数的概念在现在的教材中不作要求，但在考试中却多次出现.实际上是在考复合函数单调性的问题，函数的单调性是一个知识重点，我们必须加以重视. （2）复合函数的单调性遵循“同增异减”,y=f［g(x)］中,令g(x)=t 时,y=f(t)与t=g(x)的单调性相同时是增函数，不相同时是减函数. 如表所示: Y=f(t) 增（+） 增（+） 减（-） 减（-) t=g(x) 增（+） 减（-） 增（+） 减（-） y=f ［g(x)］增（+）减（-）减（-）增（+）(3)求y=f ［g(x)］的单调区间的步骤： ①确定定义域；②将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u)，u=g(x)； ③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y=f ［g(x)］为增函数，若这两个函数一增一减，则y=f ［g(x)］为减函数.专题2赋值法与抽象函数抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开,而赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的.实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想.【例题1】已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a、b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.分析:题中给的是抽象函数，而要求的是比较特殊的值,可以考虑用赋值法，给出具体的值，再根据题意进行判断.解：(1)令a=b=0，代入得f(0)=0·f(0)+0·f(0),则f(0)=0.令a=b=1,代入得f(1)=1·f(1)+1·f(1)，则f(1)=0.(2)由f(1)=f［(-1)2］=-f(-1)-f(-1),得f(-1)=0.令a=-1,b=x,则f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x).∴f(x)为奇函数.黑色陷阱不能直接用定义进行判断，可通过赋值，找出f(-x)与f(x)的关系.抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题通常让变量取一些特殊值或特殊式，以便寻求解题方法. 【例题2】(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且f(2-x)+f(x-2)=0，求f(2 000)的值;(2)已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0,f(-1)=-2，求f(x)在［-2,1］上的值域.分析:(1)可通过巧妙地以t=x-2赋值，由f(-t)+f(t)=0,得f(x)为奇函数;(2)通过当x>0时,f(x)>0,判断函数单调性,再通过巧妙地以y=-x赋值，则f(0)=f(x)+f(-x),进而对x=y=0赋值得f(0)的值,从而判断出f(x)的奇偶性,由此求解.解：(1)由f(2-x)+f(x-2)=0，以t=x-2代入，有f(-t)+f(t)=0，∴f(x)为奇函数,则有f(0)=0.又由f(x+4)=f［4-(x+4)］=f(-x)=-f(x).∴f(x+8)=-f(x+4)=f(x).故f(x)是周期为8的周期函数.∴f(2 000)=f(0)=0.(2)设x1<x2,且x1、x2∈R,则x2-x1>0，由条件当x>0时，f(x)>0,知f(x2-x1)>0.又f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)>f(x1),∴f(x)为增函数.令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x).又令x=y=0,得f(0)=0.∴f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数.∴f(1)=-f(-1)=2,f(-2)=2f(-1)=-4.∴f(x)在［-2,1］上的值域为［-4,2］.绿色通道求某些抽象函数的特殊值一般给出定义域，通过某些性质及运算式求解.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化.。
高中数学 第一章 集合与函数概念 12 函数及其表示 121 函数的概念学案(含解析)新人教版必修1
§1.2函数及其表示1.2.1 函数的概念学习目标 1.理解函数的概念(重点、难点).2.了解构成函数的三要素(重点).3.正确使用函数、区间符号(易错点).知识点1 函数的概念(1)函数的概念概念设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值X围值域与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域.( )提示(1)×函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)＝1；(2)×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一确定的y与之对应；(3)×在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集.知识点2 区间及有关概念(1)一般区间的表示.设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a <x <b }开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间 [a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示. 定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x <a } 符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )【预习评价】已知全集U ＝R ，A ＝{x |1<x ≤3}，则∁U A 用区间表示为________. 解析 ∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞). 答案 (－∞，1]∪(3，＋∞)题型一 函数关系的判定【例1】 (1)下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是( )(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ①f ：把x 对应到3x ＋1；②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .(1)解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点.结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系. 答案 D(2)解 ①是实数集R 上的一个函数.它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任意x ∈R ，3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应. 同理，②也是实数集R 上的一个函数. ③不是实数集R x ＝0时，1x的值不存在.④不是实数集R x <0时，x 的值不存在.(1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.【训练1】 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )解析 ①错，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性.④错，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性. 答案 B题型二 相等函数【例2】(1)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x；③f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3； ④f (x )＝x ＋1，g (x )＝x ＋x 0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5).其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).(2)试判断函数y ＝x －1·x ＋1与函数y ＝（x ＋1）（x －1）是否相等，并说明理由. (1)解析 ①f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；②f (x )与g (x )的解析式不同，不是相等函数；③f (x )＝|x ＋3|，与g (x )的解析式不同，不是相等函数；④f (x )与g (x )的定义域不同，不是相等函数；⑤f (t )与g (x )的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数. 答案 ⑤y ＝x －1·x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1≥0，解得x ≥1，故定义域为{x |x ≥1}，对于函数y ＝（x ＋1）（x －1），由(x ＋1)(x －1)≥0解得x ≥1或x ≤－1，故定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数. 规律方法 判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.【训练2】 判断以下各组函数是否表示相等函数： (1)f (x )＝(x )2；g (x )＝x 2.(2)f (x )＝x 2－2x －1；g (t )＝t 2－2t －1.解 (1)由于函数f (x )＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，而g (x )＝x 2的定义域为{x |x ∈R }，它们的定义域不同，所以它们不表示相等函数.(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示相等函数. 题型三 求函数值【例3】 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R ).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值.解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值的方法及关注点(1)方法：①已知f (x )的解析式时，只需用a 替换解析式中的x 即得f (a )的值；②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则.(2)关注点：用来替换解析式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义. 【训练3】 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f (f (1)). 解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34. (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.【例4－1】 求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x |x |－3.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}.(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}. 规律方法 求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全.(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式. 方向2 求抽象函数的定义域【例4－2】 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 解 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞).(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞).【例4－3】 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1，2]”是指谁的取值X 围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？解 这里的“[1，2]”是自变量xx ∈[1，2]，所以x ＋1∈[2，3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的X 围是[2，3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2，3].【例4－4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2，3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域.解 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2，3]，即x ∈[－2，3]，函数y ＝f (2x －3)中2x －3的X 围与函数y ＝f (x )中x 的X 围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2，3]，所以2x －3∈[－7，3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7，3]. 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9，1]. 规律方法 两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值集合即为f (g (x ))的定义域.(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值X 围，g (x )的值域即为f (x )的定义域.课堂达标1.下列图象中表示函数图象的是( )解析 根据函数的定义，对定义域中任意的一个x 都存在唯一的y 与之对应，而A ，B ，D 都存在一对多，只有C 满足函数的定义.故选C. 答案 C2.下列各组函数中表示相等函数的是( ) A.f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B.f (x )＝|x |与g (x )＝x (x >0)C.f (x )＝2x －1与g (x )＝2x ＋1(x ∈N *)D.f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1(x ≠1)解析 选项A ，B ，C 中两个函数的定义域均不相同，故选D. 答案 Df (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________.解析 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5.∴函数f (x )的定义域是[4，5)∪(5，＋∞). 答案 [4，5)∪(5，＋∞)f (x )的定义域为(0，2)，则f (x －1)的定义域为________.解析 由题意知0<x －1<2，解得1<x <3，故f (x －1)的定义域为(1，3). 答案 (1，3)f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)若f (x )＝5，求x 的值. 解 (1)f (2)＝22＋2－1＝5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2或x ＝－3.课堂小结1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2.f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与xff (x )表示外，还可用g (x )，F (x )等表示.基础过关1.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A.y ＝(x )2B.y ＝x 2C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0－x ，x <0D.y ＝3x 3解析 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.答案 D2.下列四个图象中，是函数图象的是( )A.①B.①③④C.①②③D.③④解析 由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图象，①③④是函数图象. 答案 By ＝1－x ＋x 的定义域为( )A.{x |x ≤1}B.{x |x ≥0}C.{x |x ≥1或x ≤0}D.{x |0≤x ≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.答案 Df (x )＝2x －1，g (x )＝x 2，则g (f (2)－1)＝________.解析 f (2)－1＝2×2－1－1＝2，所以g (f (2)－1)＝g (2)＝22＝4. 答案 45.用区间表示下列集合： (1){x |－12≤x <5}＝________；(2){x |x <1或2<x ≤3}＝________.解析 (1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x |－12≤x <5}＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5. (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2，3]f (x )＝x ＋5＋1x －2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值. 解 (1)使根式x ＋5有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≥－5}，使分式1x －2有意义的实数x 的取值集合是{x |x ≠2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－5}∩{x |x ≠2}＝{x |x ≥－5且x ≠2}. (2)f (－4)＝－4＋5＋1－4－2＝1－16＝56. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋5＋123－2＝173－34＝513－34.f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.(1)解 ∵f (x )＝x 21＋x2， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. 能力提升f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( )A.1B.0解析 f (－1)＝a ·(－1)2－1＝a －1，f (f (－1))＝a ·(a －1)2－1＝a 3－2a 2＋a －1＝－1. ∴a 3－2a 2＋a ＝0，∴a ＝1或a ＝0(舍去). 答案 Af (x )＝x －4mx 2＋4x ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( )A.(－∞，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，43 解析 (1)当m ＝0时，分母为4x ＋3，此时定义域不为R ，故m ＝0不符合题意.(2)当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝16－4×3m <0，解得m >43. 由(1)(2)知，实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案 Cf (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.从而0<x <2， 于是函数g (x )的定义域为(0，2).答案 (0，2)f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，则f (175)＝________.解析 ∵f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )，且f (5)＝m ，f (7)＝n ，∴把x ＝5，y ＝7代入得f (5)＋f (7)＝f (35)，∴m ＋n ＝f (35)，把x ＝5，y ＝35代入得f (5)＋f (35)＝f (175)，∴m ＋m ＋n ＝f (175)，即2m ＋n ＝f (175)，∴f (175)＝2m ＋n .答案 2m ＋n数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）0x ＋2； (2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x . 解 (1)由于00无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1.又x ＋2>0，x >－2，所以x >－2且x ≠－1.所以函数y ＝（x ＋1）0x ＋2的定义域为{x |x >－2，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0. 13.(选做题)已知甲地到乙地的高速公路长1 500 km ，现有一辆汽车以100 km/h 的速度从甲地驶往乙地，写出汽车离开甲地的距离s (单位：km)与时间t (单位：h)的函数解析式，并求出函数的定义域.解 ∵汽车在甲、乙两地之间匀速行驶，∴s ＝100 t .∵汽车行驶速度为100 km/h ，两地之间的距离为1 500 km ，∴从甲地到乙地所用时间为15小时.∴所求函数解析式为s ＝100t ，0≤t ≤15.。
人教B版数学高一版必修1学案 函数
数学人教B 必修1第二章2.1.1 函数1．会用集合与对应语言来刻画函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法，并能正确地使用区间表示数集． 3．了解映射的概念，能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解．1(1)在近代定义中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的______； 如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的____，记作______； 所有函数值构成的集合______叫做这个函数的值域． (2)确定一个函数只需两个要素：____和______．要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①____和____是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的____值，是否都能确定____的函数值y .(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域为R ，值域是R ；(2)反比例函数f (x )＝kx (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，值域是{y |y ≠0}；(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ；当a ＞0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ，当a ＜0时，值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . 【做一做1－1】下列四组函数中，f (x )，g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝4x 4B ．f (x )＝1，g (x )＝xxC ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2【做一做1－2】函数f (x )＝ 2 011－x ＋1x －2 010的定义域为__________．2．区间(1)在数轴上，区间可以用一条以a ，b 为端点的线来表示(如下表)．用实心点表示端点包括在区间内，用空心点表示端点不包括在区间内．__________无穷区间的概念：－∞或＋∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间．数轴表示__________取遍数轴上所有值(1)区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合．这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号、圆括号等符号来表示数集；(2)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开；(3)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势；(4)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大．如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，并不是所有数集都能用区间表示，如自然数集N，整数集Z等；(5)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，应用时注意区分，不能混淆．【做一做2】用区间表示下列数集：(1){x|5＜x≤8}＝__________；(2){x|x＜3，且x≠0}＝__________；(3)R＝__________.3．映射的概念设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的______，在B中______元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的____．这时，称y是x在映射f的作用下的____，记作______．于是y＝f(x)，x称作y的__________．映射f也可记为______．其中A叫做映射f的________(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的________，通常记作______．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的____一个元素，在集合A 中都______原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______．理解映射的概念必须注意如下几点：(1)方向性，“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射；(2)非空性，集合A，B必须是非空集合；(3)唯一性，对于集合A中的任何一个元素，集合B中都有唯一确定的元素与之对应，这是映射的唯一性，也可以说A中任一元素的象必在集合B中；(4)存在性，就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；(5)映射可以看成函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射，在对应方面只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许“一对多”的对应．【做一做3－1】有下列各图中表示的对应：其中能构成映射的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1【做一做3－2】已知(x，y)在映射f下的象是(x＋y，x－y)，则(4,6)在f下的原象是()．A．(5，－1) B．(－1,5)C．(10，－2) D．(－2,10)一、函数符号“y＝f(x)，x∈A”中的“f”及f(x)与f(a)的区别与联系剖析：(1)符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应法则，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应法则“f”形象地看作一个“暗箱”．例如y＝f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.(2)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，应理解为：x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．如一次函数f(x)＝3x ＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．y＝f(x)是“y是x的函数”的符号表示，它也未必就是一个解析式，y＝f(a)表示自变量x＝a时的函数值，它是一个常数；y＝f(x)是函数，通常是一个随x变化而变化的变量．函数还可以用其他一些符号来表示，例如：F(x)，G(x)，h(x)，…，也就是说，不管用哪一个字母表示，它总是表达同样一个含义：y是x的函数．二、同一函数的判定剖析：一般地，判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可．两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数，注意以下四点： (1)定义域不同，两个函数也就不同．如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)不是同一函数； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的．如y ＝x 与y ＝x 2不是同一函数；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则，如函数f (x )＝x 2与f (x )＝2x 2虽定义域和值域均相同，但它们不是同一函数；(4)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f (x )＝2 012x ＋2 011，f (t )＝2 012t ＋2 011，g (x )＝2 012x ＋2 011都表示同一函数．题型一 求函数的定义域【例1】求函数y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x 的定义域．分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．反思：(1)已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即：①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．⑤对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． (2)本题容易错解：化简函数的解析式为y ＝x ＋1－1－x ，得函数的定义域为{x |x ≤1}．错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化简解析式．题型二 简单函数值域的求法 【例2】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1.分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．反思：在求函数的值域时，常用的方法有：(1)观察法．通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域，这就是观察法．(2)配方法．对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域，这就是配方法．(3)换元法．通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型三 求函数解析式【例3】已知f (x －1)＝x 2－2x ＋7. (1)求f (2)和f (a )的值；(2)求f (x )和f (x ＋1)的解析式．分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x ＝3和x ＝a ＋1即可求得；对(2)可用“x ＋1”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x )，用“x ＋2”去替换f (x －1)中的“x ”即得f (x ＋1)．反思：已知类型为f [g (x )]＝h (x )的函数，求f (x )的解析式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f 到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．题型四 有关映射的问题【例4】判断下列对应法则是否是从A 到B 的映射和一一映射． (1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |.(2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥0}，f ：x →y ＝x .(3)A ＝{x |x ≥2，x ∈Z }，B ＝{y |y ≥0，y ∈N }，f ：x →y ＝x 2－2x ＋2.分析：判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．反思：由上面例题我们可以总结出：(1)按照映射的定义可知，映射应满足：①存在性：集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；②唯一性：集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素．(2)一一映射的两个特点：①对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象；②集合B 中的每一个元素都有原象，即对应形式为“一对一”，集合A ，B 中均没有剩余元素． 【例5】已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54的原象．分析：本题考查映射的知识，把x ＝2代入即可求得2的象，⎝⎛⎭⎫32，54的原象可通过列方程组解出．反思：解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．一般已知原象求象时，常采用代入法．已知象求原象时，通常由列方程组法求解．求解过程中要注意象与原象的区别和联系．题型五 易错辨析【例6】已知f (x ＋4)＝x ＋8x ，求f (x )． 错解：令x ＋4＝t ，则x ＝(t －4)2， ∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16，∴f (x )＝x 2－16.反思：在利用换元法求函数解析式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数定义域错误，进而引起一系列错误，如求值域、画图象等．1函数f (x )＝1x －1＋(x －2)0的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(1,2)∪(2，＋∞) 2(2011·河北邯郸高一期末)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝(x )2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x3已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,1}，则A 到B 的一一映射有__________个．4函数y ＝1x 2＋x ＋1的值域为__________．5已知函数f (x ＋1)＝x 2－1，x ∈[－1,3]，求f (x )的解析式． 答案： 基础知识·梳理1．唯一的一个y 值 自变量 因变量 任意数x 唯一 y ＝f (x )，x ∈A 函数f 或函数f (x ) (1)定义域 函数值 y ＝f (a )或y |x ＝a {y |y ＝f (x )，x ∈A } (2)定义域 对应法则 ①定义域 对应法则 ②每一个 唯一【做一做1－1】D 若两个函数表示同一函数，则需其定义域、对应法则都相同，缺一不可．选项A 中对应法则不同，选项B 中定义域不同，选项C 中定义域不同，仅有选项D 表示同一函数．【做一做1－2】{x |x ≤2 011，且x ≠2 010} 要使f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧2 011－x ≥0，x －2 010≠0，解得x ≤2 011且x ≠2 010.∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤2 011，且x ≠2 010}．2．(1)[a ，b ] {x |a ＜x ＜b }半开半闭区间 (2)[a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，＋∞)【做一做2】(1)(5,8] (2)(－∞，0)∪(0,3) (3)(－∞，＋∞)3．任意一个元素x 有一个且仅有一个 映射 象 f (x ) 原象 f ：A →B ，x →f (x ) 定义域 值域 f (A ) 任意有且只有一个 一一映射【做一做3－1】D 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A 中每一个元素都必须参与对应．只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A 中的每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应．图(1)不是映射，因A 中的元素c 没有参与对应，即违背A 中的任一元素都必须参与对应的原则．图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A 中的元素在集合B 中有多个元素与之对应，不满足集合A 中的任一元素在集合B 中有且仅有唯一元素与之对应的原则．综上，可知能构成映射的个数为1.【做一做3－2】A 由题意，根据对应关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－1，故原象为(5，－1)．典型例题·领悟【例1】解：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1且x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．【例2】解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3.因为x ≠3，所以7x －3≠0，所以y ≠2.故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. 因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}．(3)(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1.所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝211548t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．因为t ≥0，所以158y ≥．故函数2y x -＝158y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．【例3】解：(1)f (2)＝f (3－1)＝9－2×3＋7＝10，f (a )＝f [(a ＋1)－1]＝(a ＋1)2－2(a ＋1)＋7＝a 2＋6. (2)解法一(配凑法)：f (x )＝f [(x ＋1)－1] ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋7＝x 2＋6，f (x ＋1) ＝f [(x ＋2)－1]＝(x ＋2)2－2(x ＋2)＋7＝x 2＋2x ＋7.解法二：f (x －1)＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6， ∴f (x )＝x 2＋6，f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7. 解法三(换元法)：设t ＝x －1，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋7＝t 2＋6，,故f (x )＝x 2＋6. f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋6＝x 2＋2x ＋7.【例4】解：(1)因为0∈A ，在f 作用下0→|0|＝0∉B ，,所以不是映射，更不是一一映射． (2)对于任意x ∈A ，都有x ∈B ，故是映射．又因为对B 中任一元素，在A 中有且仅有一个原象，所以为一一映射． (3)对任意的x ∈A ，依对应法则f 有x →y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为x ≥2，x ∈Z ，所以y ≥2，y ∈N ，即y ∈B ，所以是映射．因为0∈B ，且(x －1)2＋1＝0无解，所以集合B 中的元素0在A 中无原象，所以不是一一映射．【例5】解：把x ＝2代入f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，得其象为(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54的原象为12. 【例6】错因分析：在换元时，未标明t 的取值范围，而使f (x )缺少定义域． 正解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋4)＝x ＋8x ＝(x ＋4)2－16， ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)．解法二(换元法)：设x ＋4＝t ≥4，则x ＝t －4， 即x ＝(t －4)2，∴f (t )＝(t －4)2＋8(t －4)＝t 2－16. ∴f (x )＝x 2－16(x ≥4)． 随堂练习·巩固1．D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －2≠0，解得x ＞1且x ≠2.∴函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．2．B 根据同一函数的判断标准，即定义域相同，对应法则也相同判断． 3．2 根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射：故共2个．4．⎝⎛⎦⎤0，43 ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴0＜1x 2＋x ＋1≤43，∴值域为⎝⎛⎦⎤0，43. 5．分析：本题可用“配凑法”或“换元法”求f (x )的解析式．解：解法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－1＝(x ＋1)2－2(x ＋1)， ∴f (x )＝x 2－2x .又x ∈[－1,3]时，(x ＋1)∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．解法二(换元法)：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， 且由x ∈[－1,3]知t ∈[0,4]，∴由f (x ＋1)＝x 2－1，得f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t ，t ∈[0,4]， ∴f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,4]．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学案八 函数的表示方法
一、三维目标：
知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握函数的三种表示方法;使学生掌握分段函数及其简单应用。
过程与方法：通过实例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的
函数关系，并初步感知处理函数问题的方法。
情感态度与价值观：通过学习，让学生体会到生活离不开数学，激发学习兴趣，培养学
生学数学用数学的意识。
二、学习重、难点：
重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。
难点：函数三种表示方法的选择及分段函数的表达和性质。
学法指导：在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P38--P43，通过对
教材中的例题的研究，完成学习目标 。
学习过程：
1、函数的三种表示方法
（1）列表法：__________________________________________________。
举例： 如：人口普查表（见课本P38） 优点：___________________________________________________________________. （2）解析法：___________________________________________________________。
举例：___________________________________________________________。
优点： ⎩⎨
⎧函数值；
意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；
简明，全面地概括了变
（3）图象法：__________________________________________________________。
优点：___________________________________________________________。
说出函数y=f(x)与其图像间的关系：__________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. 这是“数形结合”思想和方法的依据。
例1：某种笔记本的单价是5元，买x （{1,2,3,4,5}x ∈个笔记本需要y 元,试用函数的三种表示法表示函数()y f x =。
例2：设x 是任意的一个实数，y 是不超过x 的最大整数，试问x 和y 之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图像。
例3：作函数x x y 1
+
=的图像。
例4：作函数
62
-+=x x y
点拨：
○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；(见课本P39的思考与讨论）。
○
2 解析法：必须注明函数的定义域； ○
3 图象法：是否连线；
○
4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。
3、分段函数：______________________________________________________________。
例 5. 已知函数()y f x =的定义域为区间【0,2】，当[]1,0∈x 时，对应法则为y=x,当
(]2,1∈x 时，对应法则为y=2-x ，试用解析法和图像法分别表示这个函数。
例6．作出函数1y x =-的图象，并分别求出函数的值域。
1．已知)(x f 与)(x g 分别由下表给出
那么=))3((g f
2.在一定范围内,某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系。
如果购买1000吨，每吨800元，购买2000吨，每吨700元，若一客户购买400吨，单价应该是 （ ） （A ）820 （B ）840 （C ）860 （D ）880
3．设函数22(2)
()2(2)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩
，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。
1．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像。
2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
，则{[(1)]}f f f -= 。
3.在函数2
2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
中，若()3f x =，则x 的值为 。
4． 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，自点B （起点）沿着折线BCDA 向点A （终点）运动。
设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式。
并画出这个函数的图象。