数理逻辑第一章命题逻辑

解： (1) p ：怕困难， q ：战胜困难，
该命题符号化为： q → ┐ p (2) p ：天下雨， q ：我有时间，r ：我进城。
该命题符号化为： ┐ p ∧ q →r
(3) p ：小王在图书馆看书， q ：小王病了， r ：图 书馆开门。 该命题符号化为： ┐（ q ∨ ┐ r ） → p
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(1) 雪是白的。 (2) 2是奇数。 (3) x＋y＞5。
(4) 你是谁？ (5) 北京是中国的首都。
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(6) 二十一世纪时有人住在月球上。
真值集合: {0,1} ，0和1为真值。 假命题的真值为0，真命题的真值为1。 简单命题（原子命题）： 简单陈述句表达的命题。 一般用小写英文字母p,q,r,s,t等表示简单命题。 例1.2 考察下面的命题： (1) 8不是奇数。 (2) 2和3都是偶数。 (3) 2或3是偶数。 联结词：真值函数，即自变量是真值，函数值也是 真值的函数。
复合命题：由命题和联结词构成，其中的命题称为 该复合命题的支命题。 复合命题的真值由支命题的真值和联结词共同决定。
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真值表：把真值函数在自变量所有可能取值下的函数 值列成的表，称为真值表。
一元真值函数只有一个自变量，其真值表有两行。 共有四个真值不同的一元真值函数，它们的真值表如 下。 表1.1 一元真值函数的真值表 p 0 1 F1(p) F2(p) F3(p) F4(p) 0 0 0 1 1 0 1 1
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∨（析取）：复合命题“p或 者q”称为p与q的析取式，记 为 p ∨ q。 ∨相当于汉语中的“或者” （相容或 ）。 p∨q＝0当且仅当p＝q＝0。
p 0 0
q 0 1
p∨q
0 1
1
1
0
1
1
1
例：老王学过俄语或英语。
解：设p：老王学过俄语。
q：老王学过英语。
该命题符号化为： p ∨ q
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（异或）： 复合命题“p
1
二、教学内容与要求 本课程教学内容有三篇，分别是： 数理逻辑、集合论、图论。 作为重要的专业基础课，要求学生较系统 地掌握基本概念和基础理论、基本计算和逻 辑推理的技能以及基本的证明和验证方法，
并能灵活运用这些知识处理一些简单的实际
问题。
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第一篇 数理逻辑 包括下面两章内容 第一章 命题逻辑
知识点: 1. 命题与联结词 2. 命题公式与赋值 3. 等值演算 4. 联结词的全功能集 5. 主析取范式与主合取范式 6. 命题逻辑的推理理论
(4) 只有有限次使用上面三条规则能够得到的符号串才 是命题公式。
例如， (┐(p∨q)),(p→(q→r)),((p∧q) r),0,p都是命 题公式，而(p→),p∨┐都不是命题公式。 子公式：若公式B是公式A的子串，则称B为A的子公 19 式。
约定： (1) 公式最外层的括号可省略； (2) 联结词的优先级如下： ┐的优先级最高； ∧,∨,
离散数学
一、课程性质与任务 离散数学是现代数学的一个分支，是计算 机专业的重要专业基础课。 通过本课程的学习，培养学生的抽象思维 和严格的逻辑推理能力，帮助学生掌握处理离 散结构所必需的描述工具和方法，为学生进一 步学习《数据结构》、《数据库》、《操作系 统》等专业课打好基础，同时也为学生今后从 事计算机开发和应用提供必要的数学工具。
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公式p∧q→r和(p→q)→r的真值表 p q r p∧q p→q p∧q→r (p→q)→r
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
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1
0
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1
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1
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1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
31 从真值表可以看出，公式p∧q→r和(p→q)→r不等值。
A B，是说A B是永真式，即不管命题变元 取什么真值，A和B的真值总是相同的。 可以用真值表判断两个公式是否等值。
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例
解： p 0 0
判断公式p→q与┐p∨q是否等值。
q 0 1
p→q 1 1
┐p 1 1
┐p∨q 1 1
(p→q) ┐p∨q 1 1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
公式 (p→q) ┐p∨q 是永真式，表明公式 p→q 与 ┐p∨q等值。 29
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
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该公式的成真赋值是10,11，成假赋值是00,01。
公式的类型
永真式（重言式）: 公式A的每个赋值都是成真赋。
永假式（矛盾式）: 公式A的每个赋值都是成假赋值。
可满足式: 公式A的赋值中至少有一个是成真赋值。 练习：判断下列公式的类型 （1） p→ ( q→p )
（2）(p→q)→p∧q
（3） ┐(q→p)∧p
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（1） p→ ( q→p )
p 0 q 0 q→p 1 p→ ( q→p ) 1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
该公式的类型为永真式
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（2） (p→q)→p∧q
p 0 q 0 p→q 1 p∧q 0 (p→q)→p∧q 0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
设p：李梅是三好学生，q：李梅是优秀团员。
该命题符号化为：p∨q。 (5)老王或小李中有一人去上海出差。 设p：老王去上海出差，q：小李去上海出差。 该命题可符号化为：p q 或 (p∧┐q)∨(┐p∧q)， 或(p∨q)∧┐(p∧q)。
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1.2 命题公式与赋值
掌握：命题变元 、命题公式 、赋值（成真、成假赋
p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p→q 1 1 0 1
p→q＝0当且仅当p＝1且q＝0。 注意：“如果p，则q”中的p和q可以无任何意义上的 联系。 例：如果太阳从西边出来，则雪是黑的。 设：p：太阳从西边出来 ，q：雪是黑的， 则该命题符号化为： p→q 12
练习：
(1) 只有不怕困难，才能战胜困难。 (2) 只要天不下雨且我有时间，我就进城。 (3) 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆 不开门。
的优先级其次；
→， 的优先级最低。
(3) 对于优先级相同的联结词，按照从左至右的顺 序运算。 (4) 运算先括号内，再括号外。
例：( (p→q) (┐p∨q) )可写成p→q ┐p∨q
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赋值：设p1 ，p2 ，…，pn是公式A中出现的所有命题 变元，为p1 ，p2 ，…，pn指定的一组真值称为对A的 赋值。 成真赋值：若指定的一组真值使A成为真命题，则称这 组值为A的成真赋值。 成假赋值：若指定的一组真值使A成为假命题，则称这 组值为A的成假赋值。 例如， p＝r＝0,q＝1 是公式p→(q→r)的成真赋值。
值）、列公式的真值表、永真式 、永假式 、可满足
式。 命题变元（命题变项）：取真值（0和1）为值的变元 称为命题变元 （或命题变项）。用带或不带下标的小 写英文字母p, q, r, s等表示。 命题常元：表示假命题的0和真命题的1，称为命题常 元。
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命题公式（简称为公式） 定义如下：
(1) 命题变元和命题常元是命题公式； (2) 如果A是命题公式，则┐A是命题公式； (3) 如果A和B是命题公式，则 A∧B ， A∨B ， A B A→B ， AB 都是命题公式；
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二元联结词∧,∨, 分别定义 如下： 设p、q是命题，
,→, ，
p
q
p∧q
0
0 1 1
0
1 0 1
0
0 0 1
∧（合取）：复合命题“p并且 q”称为p与q的合取式，记为 p∧ q
∧相当于汉语中的“并且” 、 “既…，又…”、 “不但…，而且…”、“虽然…，但是…” 。 p∧q＝1当且仅当p＝q＝1。 例：设p：他聪明， q：他勤奋， “他既聪明又勤奋”表示为p∧q。
0
0 1 1 1 1
1
1 0 0 1 1
0
1 0 1 0 1
1
1 0 0 1 1
0
1 1 1 0 1
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1.3 等值演算
掌握：公式等值定义、常用的等值式、等值演算及 应用 定义1 . 6（等值） 如果公式AB是永真式，则 称公式A和B等值，也称A和B逻辑等价，记为AB。

注意：不是联结词，A B不是公式，不要将 与混为一谈。
用0和1组成的序列表示赋值。如果公式A中出现n个命 题变元p1,…,pn，则序列a1…an表示赋值p1＝a1,…,pn＝an。
例如，010表示公式p→(q→r)的赋值是p＝r＝0,q＝1。
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用真值表求公式的成真赋值和成假赋值
例：求公式(p→q)→p∧q的成真赋值和成假赋值。
解：
p q p→q p∧ q (p→q)→p∧q
(3)虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达了车站。
(4)李梅是三好学生或优秀团员。
(5)老王或小李中有一人去上海出差。
解 (1)设 p：李明是计算机系的学生, q：李明住在312 室, r：李明住在313室。该命题符号化为：p∧(q r)。