数理逻辑
数理逻辑
1
0
然语言中的“非”、“不”等，
真值表如右图。
1.1 命题与联结词
合取词“∧”
合取词（Conjunction） P Q P ∧Q 是二元联结词。相当于自然 0 0 0 语言中的“与” 、“并且” 、 0 1 0
“而且” 、“也”等，真值表 1 0 0
如右图。
11 1
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然 语言中的“或”、“要么… 要么…”等，真值表如右图。
PQ 00 01 10 11
P∨Q 0 1 1 1
1.1 命题与联结词
蕴含词“”
蕴含词（Implication） P Q
是二元联结词。相当于自然 0 0
语言中的“若…则…”、“如果 0 1
…就…”、“只有…才…”， 1 0
数理逻辑的发展前期
(3)莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三 段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演 算的思想： 提出将推理的正确性化归于计算，这种演 算能使人们的推理不依赖于对推理过程中 的命题的含义内容的思考，将推理的规则 变为演算的规则。 使用一种符号语言来代替自然语言对演算 进行描述，将符号的形式和其含义分开。 使得演算从很大程度上取决与符号 的组合 规律，而与其含义无关。
第1章 命题逻辑
命题逻辑研究的是以原子命题为基本 单位的推理演算，其特征在于，研究和考 查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的原子命题成分为止。通过这样 的分析可以显示出一些重要的逻辑形式， 这种形式和有关的逻辑规律就属于命题逻 辑。
第1章 命题逻辑
内容提要：
1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 2. 命题公式、自然语言的形式化 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用
数理逻辑教程
数理逻辑教程什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究逻辑思考和推理的学科，它在多个领域得到了广泛的应用，例如数学、哲学、科学和计算机科学。
它使用有关逻辑系统的基本概念和方法，帮助人们更有效地进行思考和沟通。
数理逻辑也是哲学家和非西方思想家们在持续不断地发展中研究的一项重要领域，其研究可以追溯到古老的印度、希腊和中国。
数理逻辑的基本内容包括：集合论、布尔逻辑、论证理论、递归理论、模型理论和相关的应用。
集合论是数理逻辑中最基本的知识，它涉及研究逻辑思维应该如何处理围绕一组对象的概念。
布尔逻辑是一种使用具体逻辑公式来描述逻辑命题的方法，它可以帮助人们更好地理解信息和进行推理。
论证理论涉及研究逻辑证明的不同方法，并使用它们来构建逻辑证明并思考不同的概念。
递归理论涉及使用递归函数来表示数学变量的概念，并分析和推导它们之间的关系。
模型理论涉及使用逻辑模型来描述现实世界的状况，以便更好地理解它。
另外，数理逻辑还可用于抽象思维，例如，它可以帮助人们在思考过程中形成更为清晰的思维原则和规则，从而更好地构建有条理的和符合逻辑的思考框架。
推理也是一个重要的组成部分，数理逻辑可以帮助人们更好地理解他们的推理，以及如何把他们的思考过程转换成有用的判断和决定。
借助数理逻辑，人们可以更好地探索不同类型和规模的问题，从而获得更多经验和理解。
随着社会日益发展，数理逻辑已经在数学、工程和计算机科学等技术领域得到了广泛应用。
它在软件工程中可以帮助我们更好地把握流程设计和软件行为，也可以更好地帮助我们理解机器如何处理信息。
数理逻辑应用于智能计算机，帮助计算机理解并处理信息和推理。
此外，数理逻辑在认知科学和人工智能领域也发挥了重要作用，使得计算机能够更好地理解有效的知识和推理技巧，以及在求解实际问题中的应用。
学习数理逻辑的最佳方式是熟悉各种逻辑概念和方法，并将其应用到实际问题中。
人们可以通过学习书籍和文章，或上网查找相关信息，从而掌握数理逻辑相关的概念和信息。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数学是人类智慧的结晶，是一门令人又爱又恨的学科。
它的美妙之处不仅在于数学公式、定理的推导，更体现在数理逻辑的严密性和精确性上。
数理逻辑是数学的基石，通过逻辑推理和符号运算，帮助我们理解、表达并解决各种数学问题。
本文将深入探讨数学的数理逻辑及其应用。
一、数理逻辑的基础数理逻辑是研究命题、谓词和推理规则的学科，它通过严谨的符号化方法，纯粹地探讨命题之间的逻辑关系。
数理逻辑的基础是命题逻辑和谓词逻辑。
1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题和推理规则的数理逻辑分支。
命题是陈述性句子，要么是真，要么是假。
通过逻辑操作符（如非、与、或、蕴含等），可以对命题进行组合，并推导出新的结论。
命题逻辑是数理逻辑的起点，为其他相关逻辑学科提供了坚实的理论基础。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究谓词、量词和推理规则的数理逻辑分支。
谓词是陈述性函数，它包含变量和常量，并且可以是真或假的。
通过量词和逻辑操作符，可以对谓词进行组合，从而进行推理。
谓词逻辑拓展了命题逻辑的范畴，并能够更加准确地描述数学问题。
二、数理逻辑的应用数理逻辑在数学的各个领域中都有广泛的应用，从数论到代数、几何，甚至物理、计算机科学等。
1. 数论中的应用在数论中，数理逻辑帮助我们证明数学中的重要定理和猜想。
例如，费马大定理的证明就运用了数理逻辑的方法。
通过命题逻辑和谓词逻辑，可以推导出各种数论命题的真假，并最终得到定理的证明。
2. 代数和几何中的应用在代数和几何中，数理逻辑可以帮助我们构建严密的证明体系，推导各种重要结果。
对于代数方程式和几何问题，数理逻辑提供了切实可行的逻辑推理方法，使我们能够正确地解决问题。
3. 物理和计算机科学中的应用在物理学和计算机科学中，数理逻辑起到了重要的作用。
通过建立逻辑模型，可以对物理现象进行描述和解释。
在计算机科学中，数理逻辑是计算机程序设计和算法研究的基础，它帮助我们确保程序的正确性和有效性。
三、数理逻辑的重要性数理逻辑对于培养人们的逻辑思维能力和分析问题的能力起到了重要的作用。
数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，是之更为精确和便于演算。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
数理逻辑
§1.1.4.命题翻译
解： 1. 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。 首先用字母表示简单命题。 P:李明是计算机系的学生。 Q:李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P ∧ (Q ⊕ R) 2. 张三和李四是朋友. 该命题符号化为：P
§1.1.2.命题联结词
命题联结词在使用中的优先级
运算时联结词的优先次序由高到低为: ¬,∧,∨,→, ↔。 先括号内运算, 后括号外运算。 运算符合运算符的优先顺序。 联结词按从左到右的次序进行运算。 例 • ¬P∨(Q∨R)可省去括号, ∨运算是可结合的。 • ( ¬P∨Q)∨R 可省去括号。 • P→(Ｑ→Ｒ)中的括号不能省去，因为→不满足结合律。
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 我拿起一本书 Q: 我一口气读完了这本书 P→Q: 如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
通常称为形式蕴含 即前提和结果有某种形式和内容上 形式蕴含, 形式蕴含 的联系。 例2 P: 月亮出来了 Q: 3×3=9 P → Q: 如果月亮出来了, 则3×3=9。 通常称为实质蕴含 实质蕴含,即前提和结果可以有联系，也可以没 实质蕴含 有联系，只要满足条件命题的定义。
定义 由真值表给出，如左图。
即：当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ， 则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。否 则，其真值为Ｆ。 注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的，地位 注意 是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
P F/0 F/0 T/1 T/1
Q PΛ Q QΛP F/0 F/0 F/0 T/1 F/0 F/0 F/0 F/0 F/0 T/1 T/1 T/1
第一篇 数理逻辑
逻辑学：研究推理的科学。 逻辑学分为二类：
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。
最新关于数理逻辑的解析
一、数理逻辑的起源与发展 二、数理逻辑的基本概念与原理 三、数理逻辑在数学中的应用 四、数理逻辑在其他领域的应用
一、数理逻辑的起源与发展
1. 古希腊的哲学思维
02
01
1. 古希腊哲学思维强调 理性和逻辑，追求真理和 智慧。
2. 古希腊哲学家如苏格拉 底、柏拉图和亚里士多德对 后世哲学产生了深远影响。
。
。
3. 模型论与数学结构
3. 模型论的方法和结果在数学的各个领域都有广泛的应用，
3
如代数、拓扑学、几何学等。
2 1
2. 在模型论中，我们通过建立数学结构的模型来理解和研究 这些结构的性质和特征。
1. 模型论是数理逻辑的一个重要分支，它研究数学结构的抽 象性质和结构之间的关系。
四、数理逻辑在其他领域的应用
03
3. 古希腊哲学思维注重人 类存在的意义和价值，探讨 伦理道德等问题。
2. 中世纪的逻辑学研究
01
1. 在中世纪，逻辑学的研究 主要集中在对亚里士多德的 演绎推理法的解读和推广。
02
2. 中世纪的逻辑学家们开 始尝试将逻辑学应用于法律 、神学等实际问题的解决中 。
03
3. 中世纪的逻辑学研究为后 来的哲学和科学发展提供了 重要的理论基础。
3. 近代数理逻辑的兴起
1. 近代数理逻辑的兴起标志着人类对逻辑思维的深入研究和探索，为现代 科学的发展提供了重要的理论基础。
01
2. 近代数理逻辑的兴起与笛卡尔、莱布尼茨等哲学家的贡献密不可分， 他们开创了符号逻辑的研究方法，推动了逻辑学的发展。
02
3. 近代数理逻辑的兴起使得逻辑学从传统的哲学领域独立出来，成为一门 独立的学科，为数学、计算机科学等领域的研究提供了重要的工具和方法 。
数理逻辑
9.1 命题
定义9.1命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 定义 命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 命题 定义9.2 原子命题：一命题凡不能分解为更简单的 原子命题： 定义 命题称原子命题或简称原子。 命题称原子命题或简称原子。 定义9.3命题常量 具有确定真值的命题，它可用T 命题常量： 定义 命题常量：具有确定真值的命题，它可用 表示， 或F表示，称命题常量或命题常元。 表示 称命题常量或命题常元。 定义9.4命题变量 命题变量： 为其变域的命题， 定义 命题变量：以 T，F为其变域的命题，并可 ， 为其变域的命题 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。
第9章 命题逻辑 章
（3）自然语言中的联结词的衡量标准不完全是其真 值表； 值表 ； 但命题逻辑中的联结词的衡量标准则是真值 因此， 联结词的唯一衡量标准是其真值表， 表 。 因此 ， 联结词的唯一衡量标准是其真值表 ， 而 不是由自然语言的一些日常语义确定。 不是由自然语言的一些日常语义确定。
9.3 命题公式
2
第9章 命题逻辑 章
9.2命题联结词
定义9.5复合命题 ： 定义 复合命题： 由原子命题通过联结词所构成 复合命题 的命题称复合命题。 的命题称复合命题。 (1)否定 否定 否定联结词是一元联结词， 否定联结词是一元联结词，它的作用对象仅为一个 命题。 命题 。 否定联结词作用于一个命题后使该命题出现 相反的语义。 如有命题： 今天下雨， 相反的语义 。 如有命题 ： 今天下雨 ， 而加上否定联 结词后即成为：今天不下雨。 结词后即成为：今天不下雨。 在命题逻辑中将此联结词予以符号化， 在命题逻辑中将此联结词予以符号化，并建立符号 体系如下： 体系如下：
数理逻辑教程
数理逻辑教程数理逻辑是一门复杂而又有趣的学科，它既是哲学又是数学，属于学术思想和数学分析的独特组合。
近几十年来，数理逻辑得到了广泛的应用，它不仅用于哲学论文的写作，而且用于计算机编程，特别是程序设计。
本文将为您介绍数理逻辑的基本概念，以及其如何帮助您更好地理解和使用它。
一、数理逻辑的定义数理逻辑（Mathematical Logic）是一门研究逻辑的学科，它结合了哲学中的逻辑思维和数学中的形式化系统。
它的目的是将哲学中的概念与数学中的精确性结合起来，以更好地理解和使用逻辑推理。
数理逻辑的基本概念是逻辑推理，它是通过分析一系列前提，以推出一系列结论的方法。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的发展可以追溯到古希腊时期。
当时，古希腊哲学家们，如柏拉图和亚里士多德，通过推理和论证来解释世界上发生的事情。
在中世纪，哲学家和数学家们继续研究逻辑，他们发现逻辑推理可以用来证明或否定一个命题的真实性。
到19世纪，英国数学家约翰·华生等人开始将逻辑与数学结合起来，形成了现代数理逻辑学。
三、数理逻辑的基本概念数理逻辑是一门复杂的学科，它涉及到许多基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。
其中，定理是一种用逻辑推理证明的命题，是一个被推论出来的结论；公理是构成定理的基本命题，也就是前提；演绎法是一种从公理中推断出结论的方法，也就是由具体到抽象的过程；而归纳法则是由一般性的结论推断出具体的命题的方法，也就是由抽象到具体的过程。
四、数理逻辑的应用数理逻辑的应用非常广泛，既可以用于哲学论文的写作，也可以用于程序设计。
例如，在程序设计中，数理逻辑可以用来帮助程序员更好地理解和使用程序控制和程序语言。
此外，数理逻辑还可以用于语言学、认知科学、计算机科学等领域，可以帮助我们更好地理解和使用这些学科。
五、数理逻辑的学习学习数理逻辑也许是一个挑战，因为它涉及到许多复杂的概念。
但要学习数理逻辑，首先要熟悉它的基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。
数学的数理逻辑分支
数学的数理逻辑分支数理逻辑是数学的一个重要分支，它研究逻辑思维和推理的基本规律，在解决问题和证明定理中起到了关键作用。
本文将从数理逻辑的定义、历史和应用等几个方面进行探讨，以全面展示数理逻辑在数学领域的重要性。
一、数理逻辑的定义数理逻辑是研究命题、推理和证明的数学分支。
它主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑和模型论等相关内容。
数理逻辑通过形式化的方法来研究推理和证明的规则，以符号化的方式表达命题和推理过程。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的起源可以追溯到古希腊时代的亚里士多德。
他在《篇章》中提出了演绎推理的基本规则，奠定了逻辑学的基础。
随着时间的推移，逻辑学逐渐发展为一个独立的学科，并且在数学研究中发挥着越来越重要的作用。
19世纪末到20世纪初，数理逻辑得到了重大的发展。
哥德尔的不完备性定理揭示了数学系统的局限性，给数理逻辑带来了巨大的冲击和启示。
同时，罗素和怀特海等逻辑学家开创了数理逻辑的公理化方法，使得逻辑推理得以在形式化的框架下进行研究。
三、数理逻辑的应用数理逻辑在数学研究中扮演着重要的角色。
它为数学家提供了一种形式化的推理工具，使得数学证明可以更加准确和严谨。
通过应用数理逻辑的方法，数学家可以构建更复杂的数学系统，并在其中进行精确的论证。
此外，数理逻辑在计算机科学领域也有广泛的应用。
计算机程序设计需要精确的逻辑思维和推理能力，而数理逻辑为程序员提供了相应的思维工具。
通过数理逻辑的分析和证明，可以验证程序的正确性和可靠性，提高计算机系统的安全性。
四、数理逻辑的发展前景随着科技的不断进步和应用的拓展，数理逻辑在各个领域的发展前景非常广阔。
在人工智能领域，数理逻辑被应用于知识表示和推理，实现机器的自动推理和决策能力。
在通信和密码学领域，数理逻辑被用于设计和分析加密算法，保障信息的安全。
在金融和经济学领域，数理逻辑被用于建立和分析数学模型，预测和解释市场的变化。
总之，数理逻辑作为数学的数学分支，具有重要的理论和应用价值。
第五章 数理逻辑
（1）
(2)
我们常把重言式记作1，把矛盾式记作0
定义4、设A,B是命题公式，若A B是重言式，则称A与B等值的,
记作
, 读作A与B等值.
例4 判断下列各组公式是否等值
（1）
(2)
对于命题公式A,B,C,有下列性质
（1）自反性:
;(2) 对称性：若
，则
(3) 传递性：若
且
c
• 重要的等值式，希望同学们牢记
的充分必要条件是
例8、证明
第三节：对偶与范式
• 一、对偶
• 定义1、在仅含有
的命题公式A中，将∧，∨分别换成∨，∧，
若A中有1或0亦互相取代，所得公式 称作A的对偶.
• 显然A也是 的对偶.
• 例1、试写出下列公式的对偶
（1）
(2)
• 定理1、设A与 是互为对偶的两个公式，所有的命题变元为
•则
•或
成的表，称为命题公式A的真值表.
例2、试求下列公式的真值表
（1）
(2)
(3)
定义3、设A是一个命题公式：
（1）若A在它的各种指派下取值均为真，则称A是重言式或永真式.
（2）若A在它的各种指派下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式.
（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式.
例3、用真值表判断下列公式的类型
PQ P
00
第二节 命题公式及公式的等值和蕴含关系
• 我们知道，不含任何联结词的命题称为原子命题，至少包含一个联结 词的命题称作复合命题.原子命题的真值是唯一的，所以也称原子命题 为 命题常项或命题常元.真值可以变化的陈述句称作命题变元或命题 变项（如x+y≥0）
• 一、命题公式 • 由命题变元，联结词和圆括号按一定规则组成的符号串称作合式公式. • 定义1、命题公式是由下列规则产生的符号串： • （1）单一的命题变元本身是一个合式公式. • （2）如果A是合式公式，则 A是合式公式. • （3）如果A和B是合式公式，则A B, A v B, A B,A B都是合式公式. • （4）只有有限次地应用（1），（2），（3），所产生的符号串才是
数理逻辑
(P∧Q)∨(P∧Q)
(4)除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 解(4)设P：a能被2整除，Q：a能被4整除。则原命题 符号化为：
“P是Q的充分条件”； “Q是P的必要条件”等。
2014-10-4
离散数学
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条件联结词的例子
(1)只要天下雨，我就回家。 (2)只有天下雨，我才回家。 (3)除非天下雨，否则我不回家。 (4)仅当天下雨，我才回家。
解 设P：天下雨。Q：我回家。 则(1)符号化为P→Q。 (2)、(3)、(4)均符号化为Q→P
数理逻辑
本篇概要
数理逻辑是用数学方法(即通过引入表意符号)研究推 理的学问。因此，数理逻辑又名符号逻辑。数理逻 辑中最基本的内容包括命题逻辑和谓词逻辑。 数理逻辑的创始人是德 国哲学家、物理学家、 数学家G.Leibniz(16461716)
2014-10-4
离散数学
2
命题逻辑
本章概要
命题逻辑，也称命题演算。主要研究以命题为基 本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
③最外层的圆括号可以省略。
为了方便计，合式公式也简称公式。
2014-10-4
离散数学
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命题符号化的步骤
分析出各简单命题，将它们符号化 寻找合适的真值联结词 使用联结词将简单命题联结起来，生成对复杂 命题的符号化表示。
2014-10-4
离散数学
39
命题的翻译和符号化
将下列自然语言形式化: (1)小王边走边唱。
离散数学
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联结词知识点
命题联结词的概念 常用联结词
否定联结词“” 合取联结词 “∧” 析取联结词 “∨” 条件(蕴含)联结词“→ ” 双条件(等价)联结词“”
数理逻辑的基本原理与应用
数理逻辑的基本原理与应用数理逻辑是研究推理和证明的学科，其基本原理和方法在数学、计算机科学、哲学、语言学等多个领域中有着广泛的应用。
本文将介绍数理逻辑的基本原理，探讨其应用于不同领域的案例，并分析其意义和作用。
一、数理逻辑的基本原理1. 命题逻辑命题逻辑是数理逻辑的基础，主要研究命题之间的关系和推理规则。
命题逻辑使用符号表示命题，通过逻辑连接词如与、或、非等进行命题的组合和推理。
例如，“A与B都成立”可以用符号表示为A∧B。
命题逻辑的基本原理包括命题的真值、等价关系、蕴含关系等。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的拓展，主要研究谓词（包含变量的命题）之间的关系和推理规则。
谓词逻辑引入了量词（存在量词∃和全称量词∀），可以描述涉及一定范围的命题。
例如，“对于任意正整数x，存在正整数y使得y大于x”可以用符号表示为∀x∃y(y>x)。
谓词逻辑的基本原理包括量化和变元替换规则等。
3. 形式系统形式系统是数理逻辑的形式化工具，用于描述和证明推理过程。
形式系统由一组公理和一组推理规则构成，通过推理规则对公理进行推演得到定理。
形式系统的基本原理包括合成规则、分解规则、代换规则等。
二、数理逻辑的应用案例1. 数学推理数理逻辑在数学中有着广泛的应用。
通过使用数理逻辑的推理规则，可以严格证明数学定理的正确性。
例如，哥德巴赫猜想的证明过程使用了谓词逻辑和形式系统，通过构建形式系统并应用推理规则得到了哥德巴赫猜想的证明。
2. 计算机科学数理逻辑在计算机科学中扮演重要的角色。
计算机程序的正确性验证和程序设计语言的语义分析都依赖于数理逻辑的基本原理。
例如，在软件工程中，通过使用数理逻辑形式化规范和验证程序，可以提高程序的可靠性和正确性。
3. 哲学思辨数理逻辑在哲学思辨中具有重要的地位。
逻辑学是哲学的重要分支之一，通过运用数理逻辑的原理和方法，可以进行严密的思辨和推理，帮助解决哲学问题。
例如，在形而上学中，逻辑的概念和原理被运用于思考实体和属性之间的关系。
数理逻辑的名词解释
数理逻辑的名词解释数理逻辑是一门研究命题、推理、证明、数学系统和计算问题等的学科。
它旨在通过严密的符号化语言、形式化的证明方法和符号运算规则，揭示和分析逻辑规律，并在数学、计算机科学、哲学和语言学等领域中得到广泛应用。
1. 数理逻辑的基本概念与起源数理逻辑的基础概念包括“命题”、“推理”、“谓词”、“量词”等。
命题是陈述性语句，可以判断为真或假；推理是基于已知的命题通过一定的规则得出新的命题；谓词是一种带有占位符的命题，可以通过具体的值对其进行替换；量词表示命题在某一范围内的真假情况。
数理逻辑的起源可追溯至公元前4世纪的古希腊，当时亚里士多德提出了一套用于推理和论证的逻辑规则。
随着数学的进一步发展，逻辑也开始成为独立的学科，并逐渐形成现代数理逻辑。
2. 数理逻辑的主要分支数理逻辑可以细分为多个分支，其中主要包括命题逻辑、一阶谓词逻辑、模型论、证明论、递归论和模糊逻辑等。
命题逻辑是数理逻辑的基础，研究命题的连接关系和推理规则，以符号化的方式表达和分析命题之间的逻辑关系。
一阶谓词逻辑则引入了谓词和量词的概念，可以描述具有更丰富结构的命题和关系。
模型论研究如何将逻辑语言与实际世界建立起联系，通过模型理论来研究逻辑系统的语义（意义）特征和可满足性等性质。
而证明论研究的是关于逻辑系统的证明和证明方法，包括证明的形式化、证明系统的公理化以及可靠性等问题。
递归论探索可计算性和计算复杂性的问题，其中涉及到递归函数、图灵机等概念。
模糊逻辑则处理具有模糊性质的命题，将真值从传统的只有真和假的二元逻辑拓展到介于真和假之间的连续区域。
3. 数理逻辑的应用领域数理逻辑在数学、计算机科学、哲学和语言学等领域中有广泛的应用。
在数学中，数理逻辑提供了一种形式化的语言和证明规则，可以准确地描述和证明数学命题。
它不仅为数学的内在逻辑提供了基础，还推动了数学的发展和推理能力的提升。
在计算机科学中，数理逻辑为计算机的设计和程序验证提供了理论基础。
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数理逻辑是数学中研究符号表达式或语言的规则和性质的学科，也称数理基础。
可以说，数理逻辑是数学的根基，没有它，就没有现代数学的发展和成就。
数理逻辑的研究对象是符号逻辑和模型论。
符号逻辑是研究逻辑符号语言的学科，模型论是研究有限和无限结构的学科。
数理逻辑在数学、计算机科学和哲学中都有广泛的应用。
数理逻辑的发展历程可以追溯到二十世纪初。
在此之前，人们常常用自然语言表示数学思想，难以表达精确的概念和推理。
数理逻辑的出现，使得人们能够用形式化的语言来描述数学结构，实现了严格的证明和推断。
同时，数理逻辑也为计算机科学的发展提供了基础。
数理逻辑中最为基本的概念是命题和命题连接词。
命题是不能被真假二选一的陈述句，例如“1+1=2”、“地球是圆的”等等，而“明天会下雨”、“他很高”则不是命题。
命题连接词是将两个或多个命题结合在一起的词，例如“否定”、“合取”、“析取”等等。
其中，“否定”将原命题的真假取反，如“不是所有人都喜欢运动”；“合取”表示两个或多个命题同时成立，如“他喜欢打篮球且他喜欢游泳”；“析取”表示其中一个或多个命题成立，如“他喜欢打篮球或者他喜欢游泳”。
通过对命题和命题连接词的定义，我们可以将复杂的数学问题化简为简单的命题，进而实现推理、证明和计算。
另外，数理逻辑中也有基于公理系统和推理规则的证明方法。
在这种方法中，我们首先确认一组公理或者基本公理，在此基础上应用逻辑规则，逐步推导得出所需要的结论。
这种证明方法具有形式化精确、严谨可靠的特点。
假设我们需要证明一个命题P是真的，但是我们并不知道P是否真，于是我们构造一个新命题，假设它是假的，这个假设我们记作非P。
然后我们再次构造一个新的命题Q，它与非P等价，即非Q与P等价。
对于命题Q，我们可以再次构造一个新命题，也就是非Q，它与P等价。
如果我们能够证明非Q是假的，也就是证明了Q是真的，这意味着非P不成立，所以P必须是真的。
数理逻辑有着广泛而深刻的应用。
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命题逻辑
• 充分条件：就是只要条件成立，结论就成立，则该条件就 是充分条件。 上例中，“缺少水分”就是“植物会死亡” 的充分条件。在自然语言中表示充分条件的词有 ： 如 果 …则… ，只要… 就…，若…则… • 必要条件：就是如果该条件不成立，那么结论就不成立, 则该条件就是必要条件。 上例中，“植物死亡”就是“缺少水分”的必要条件(植 物未死亡，一定不缺少水分)。 在自然语言中表示必要条件的词有 ： 只有 …才… ； 仅当…，… ; …, 仅当…。
命题逻辑
• 命题公式的真值表 一个命题公式不是命题，所以它没有 真值，但是给其中的所有命题变元作指派以 后它就有了真值。可以以表的形式反应它的 真值情况，例如命题公式 (PQ)∨Q 的 真值表如下所示： P Q P P Q (PQ)∨Q F F T F F F T T T T T F F T T
• PQ的真值为假，当且仅当P为真、Q为假。 • 在这里，当前件P为假时，则不论后件是真还是假此蕴含 式一定为真。如“如果明天天气晴朗则举行运动会。”此 蕴含式是对“明天天气晴朗”条件成立而言，此时如举行 运动会则为真，不举行则为假。但是如果明天天气不晴朗， 此蕴含式并没有考虑这种情况，则不管举行还是不举行运 动会都认为真。
命题逻辑
• 或者“∨”（析取） 表示“或者”，“或者”有二义性，看下面 两个例子： 例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。 例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨” 例2中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
命题逻辑
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P或者Q，P∨Q的 真值为F，当且仅当 P与Q均为F。
命题逻辑
• 命题是一个能确定是真的或是假的判断。（判断都是用陈 述句表示） 例1. 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴ 2是个素数。 ⑵ 雪是黑色的。 ⑶ 2013年人类将到达火星。 ⑷ 如果 a>b且b>c，则a>c。 ⑸ x+y<5 ⑹ 请打开书！ ⑺ 您去吗？ ⑴⑵⑶⑷是命题
命题逻辑
• 一个命题所作的判断有两种可能：是正确 的判断或者是错误的判断。所以 一个命题的真值有两个：“真”或“假” • 真值为真:一个命题所作的判断与客观一致, 则称该命题的真值为真,记作T (True)。 • 真值为假:一个命题所作的判断与客观不一 致,则称该命题的真值为假,记作F (False)。 • 例1中(1)(4)的真值为真,(2)的真值为假, (3)暂时不能定，等到2013年确定。
命题逻辑
• 联结词 复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题联 结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了五个逻辑联结 词，分别是： (1) 否定“” (2) 并且“∧” (3) 或者“∨” (4) 蕴含“” (5) 等价“”
命题逻辑
• 否定“” 表示：“…不成立”，“不…”，“非”，“没 有”，“无”，“并非”，“并不”。 用于:对一个命题P的否定,写成P,并读成“非 P”。 P P P的真值：与P真值相反。 F T 例1中 P：2是素数。 T F P：2不是素数。
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数理逻辑
形式逻辑主要是研究推理的。 • 归纳推理：由若干个别事实推出一般结论。 如：铜能导电。铁能导电。锡能导电。铅 能导电。……一切金属都导电。 • 演绎推理：由一般规律推出个别事实。 形式逻辑主要是研究演绎推理的。 例1：如果天下雨，则路上有水。(一般规律) 天下雨了。 (个别事实) 推出结论：路上有水。 (个别结论)
第五篇 数理逻辑
逻辑--是研究人的思维的科学。它包含： 1.辩证逻辑：是研究人的思维中的辩证法。是 研究思维内在语义规律，属于哲学的范畴。 例如：用全面的和发展的观点观察事物； 具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。 2.形式逻辑：是研究人的思维的形式和一般规 律。是研究思维外部表现的规律。 这里我们只关心形式逻辑。
命题逻辑
• 重言式(永真式)与矛盾式(永假式) 例子： P P∨P P∧P F T F T T F 可见不论P取什么真值P∨P 的真值总 是为真，P∧P的真值总是为假。故称 P∨P为重言式(永真式)，称P∧P为矛盾 式(永假式)。
命题逻辑
• 重言式(矛盾式)定义 A(P1,P2,…,Pn) 是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命题公式，如不论对P1, P2 , …, Pn作 任何指派，都使得A(P1,P2,…, Pn) 为真 (假)，则称之为重言式(矛盾式), 也称之 为永真式 (永假式)。 • 重言式的证明方法 方法1：列真值表。 方法2：公式的等价变换，化简成“T”。
命题逻辑
• 简单命题 (原子命题)：由最简单的陈述句 构成的命题 (该句再不能分解成更简单的 句子了)。通常用大写英字母表示,如P,Q等。 • 例1中的(1)、(2)、(3)是原子命题。 • 复合命题 (分子命题)：由若干个原子命题 通过一些联接词组成的较为复杂的命题。 • 例1中的(4)是由三个原子命题(a>b、b>c、 a>c)构成的复合命题。
命题逻辑
• 命题公式 定义：⑴ 单个命题变元是个命题公式。 ⑵ 若A是命题公式，则A是命题公式。 ⑶ 若A和B是命题公式，则(A∧B)， (A∨B)， (AB)和(AB)都是命题公式。 ⑷ 当且仅当有限次地应用⑴，⑵，⑶ 所得到 的含有命题变元、联结词和括号的 符号串
命题逻辑
• 下面的式子不是命题公式： P∧Q， PR， （P∨Q）∧R） • 下面的式子才是命题公式： (P∧Q)，(PR)，((P∨Q)∧R) • 按照合式公式定义最外层括号必须写。 • 约定：为方便，最外层括号可以不写，上 面的命题公式可以写成： P∧Q，PR，(P∨Q)∧R
命题逻辑
常值命题与命题变元 • 常值命题：即是我们前面所说的命题。它是有具体含义 (真值)的。 例如：“3是素数。”就是常值命题。 • 命题变元：用大写的英字母如P、Q等表示任何命题。称这 些字母为命题变元。 • 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)：将一个常值命 题赋予命题变元的过程，或者是直接赋给命题变元真值 “T”或“F”的过程。 • 注意：命题变元本身不是命题，只有给它一个解释，才变 成命题。
命题逻辑
• 由于对每个命题变元可以有两个真值(T,F) 被指派，所以有n个命题变元的命题公式 A(P1,P2,…,Pn) 的真值表有2n行，每个指派 对应公式的一个确定的值。
• 公式值的确定是按公式中联结词出现的先 后顺序及括号顺序逐步应用命题联结词的 真值表规定而得到的。
命题逻辑
所谓命题符号化，就是用命题公式的符号串来表示给定的命 题。 • 命题符号化的方法 1.首先要明确给定命题的含义。 2.对于复合命题，找联结词，用联结词断句，分解出各个原 子命题。 3.设原子命题符号，并用逻辑联结词联结原子命题符号，构 成给定命题的符号表达式。 4.为了减少括号的使用，在此做下列规定： (1)5个联接词的结合能力从强到弱顺序为：“否定”，“合 取”，“析取”，“蕴含”，“等价”。 (2)规定具有相同结合能力的联接词，按照出现的先后次序， 先出现者先运算，凡符合此要求者，括号均可除去。 (3)最外层括号可省去。
命题逻辑
重言(永真)蕴含式 定义：如果公式AB是重言式，则称A重言 (永真)蕴含B，记作 A B 。 注意符号“”不是联结词，它是表示公式 间的“永真蕴含”关系，也可以看成是 “推导”关系。即AB可以理解成由A可推 出B，即由A为真，可以推出B也为真。
命题逻辑
• 性质 1).有自反性：对任何命题公式A，有AA 2).有传递性：若AB且BC，则AC 3).若AB 且 AC，则AB∧C 4).若AB 且 CB，则A∨CB 我们可以通过列真值表(即列永真式的真值表) 来证明重言(永真)蕴含式。
P F F T T
Q P∨Q F F T T F T T T
命题逻辑
P：第一节上数学。 P Q：第一节上英语。 F 例2中的复合命题 F 可写成P Q，读 T 成 P异或Q。 T P Q的真值为F， 当且仅当P与Q的真值相同。
Q P Q F F T T F T T F
命题逻辑
• 蕴含(条件)“” 表示“如果… 则 …”，“当... 则...”,“若...那么...”，“假如...那 么...” 例如： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴含式，读成“如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。
数理逻辑
使用计算机必须首先学会编“程序”，那么什么 是程序？ 程序＝算法＋数据 算法＝逻辑＋控制 可见“逻辑”对于编程序是多么重要。要想 学 好、使用好计算机，必须学习逻辑，此外，通过 学习逻辑，掌握逻辑推理规律和证明方法 ，会 培 养同学们的逻辑思维能力，提高证明问题的技巧。
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师戴克斯特 拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我现在年 纪大了，搞了这么多年软件，错误不知犯 了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会 犯这么多错误。不少东西逻辑学家早就说 过了，可是我不知道。要是我能年轻20岁 的话，我就会回去学逻辑。
命题逻辑
• 并且“∧”(合取) 表示：“并且”、“不但…而且...”、 “既…又 ...”“尽管…还… ”，“和”， “与”，“同”，“以及”，“而且”。 P Q P∧Q 例如 P：小王能唱歌。 F F F Q：小王能跳舞。 F T F P∧Q：小王能歌善舞。 T F F P∧Q读成P并且Q。 T T T P∧Q的真值为真，当且 仅当P和Q的真值均为真。
命题逻辑
例1.说离散数学无用且枯燥无味是不对的。 P：离散数学是有用的。 Q：离散数学是枯燥无味的。 该命题可写成： (P∧Q) 例2.如果小张与小王都不去，则小李去。 P：小张去。 Q：小王去。 R：小李去。 该命题可写成： (P∧Q)R 例3.如果小张与小王不都去，则小李去。 该命题可写成： (P∧Q)R 也可以写成： (P∨Q)R