数理逻辑

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

数理逻辑
形式逻辑主要是研究推理的。 • 归纳推理:由若干个别事实推出一般结论。 如:铜能导电。铁能导电。锡能导电。铅 能导电。……一切金属都导电。 • 演绎推理:由一般规律推出个别事实。 形式逻辑主要是研究演绎推理的。 例1:如果天下雨,则路上有水。(一般规律) 天下雨了。 (个别事实) 推出结论:路上有水。 (个别结论)
命题逻辑
• 并且“∧”(合取) 表示:“并且”、“不但…而且...”、 “既…又 ...”“尽管…还… ”,“和”, “与”,“同”,“以及”,“而且”。 P Q P∧Q 例如 P:小王能唱歌。 F F F Q:小王能跳舞。 F T F P∧Q:小王能歌善舞。 T F F P∧Q读成P并且Q。 T T T P∧Q的真值为真,当且 仅当P和Q的真值均为真。
命题逻辑
• 命题公式 定义:⑴ 单个命题变元是个命题公式。 ⑵ 若A是命题公式,则A是命题公式。 ⑶ 若A和B是命题公式,则(A∧B), (A∨B), (AB)和(AB)都是命题公式。 ⑷ 当且仅当有限次地应用⑴,⑵,⑶ 所得到 的含有命题变元、联结词和括号的 符号串
命题逻辑
• 下面的式子不是命题公式: P∧Q, PR, (P∨Q)∧R) • 下面的式子才是命题公式: (P∧Q),(PR),((P∨Q)∧R) • 按照合式公式定义最外层括号必须写。 • 约定:为方便,最外层括号可以不写,上 面的命题公式可以写成: P∧Q,PR,(P∨Q)∧R
数理逻辑
数理逻辑是用数学的方法研究形式逻辑。 所谓“数学方法”:是建立一套有严格定义的 符号,即建立一套形式语言,来研究形式逻辑。 所以数理逻辑也称为“符号逻辑”。 它与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、 语言学等学科均有密切联系。 • 这里只讨论“命题逻辑”和“谓词逻辑”。 • 下面就前面两个例子,说明如何将推理符号化 的。
数理逻辑
使用计算机必须首先学会编“程序”,那么什么 是程序? 程序=算法+数据 算法=逻辑+控制 可见“逻辑”对于编程序是多么重要。要想 学 好、使用好计算机,必须学习逻辑,此外,通过 学习逻辑,掌握逻辑推理规律和证明方法 ,会 培 养同学们的逻辑思维能力,提高证明问题的技巧。
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师戴克斯特 拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过:我现在年 纪大了,搞了这么多年软件,错误不知犯 了多少,现在觉悟了。我想,假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话,我就不会 犯这么多错误。不少东西逻辑学家早就说 过了,可是我不知道。要是我能年轻20岁 的话,我就会回去学逻辑。
命题逻辑
常值命题与命题变元 • 常值命题:即是我们前面所说的命题。它是有具体含义 (真值)的。 例如:“3是素数。”就是常值命题。 • 命题变元:用大写的英字母如P、Q等表示任何命题。称这 些字母为命题变元。 • 对命题变元作指派(给命题变元一个解释):将一个常值命 题赋予命题变元的过程,或者是直接赋给命题变元真值 “T”或“F”的过程。 • 注意:命题变元本身不是命题,只有给它一个解释,才变 成命题。
F F T T
F T F T
T T F T
命题逻辑
• 充分条件:就是只要条件成立,结论就成立,则该条件就 是充分条件。 上例中,“缺少水分”就是“植物会死亡” 的充分条件。在自然语言中表示充分条件的词有 : 如 果 …则… ,只要… 就…,若…则… • 必要条件:就是如果该条件不成立,那么结论就不成立, 则该条件就是必要条件。 上例中,“植物死亡”就是“缺少水分”的必要条件(植 物未死亡,一定不缺少水分)。 在自然语言中表示必要条件的词有 : 只有 …才… ; 仅当…,… ; …, 仅当…。
命题逻辑
• 简单命题 (原子命题):由最简单的陈述句 构成的命题 (该句再不能分解成更简单的 句子了)。通常用大写英字母表示,如P,Q等。 • 例1中的(1)、(2)、(3)是原子命题。 • 复合命题 (分子命题):由若干个原子命题 通过一些联接词组成的较为复杂的命题。 • 例1中的(4)是由三个原子命题(a>b、b>c、 a>c)构成的复合命题。
命题逻辑
• 例4. 仅当天不下雨且我有时间,才上街。 P:天下雨。Q:我有时间。R:我上街。 分析:由于“仅当”是表示“必要条件” 的,既“天不下雨且我有时间”,是“我上 街”的必要条件。所以 该命题可写成: R(P∧Q) • 例5.人不犯我,我不犯人;人若犯我,我必 犯人。 P是Q的充分条件 P是Q的必要条件 P:人犯我。 Q:我犯人。 P是Q的充分且必要条件 该命题可写成:(PQ)∧(PQ)
命题逻辑
• 重言式(永真式)与矛盾式(永假式) 例子: P P∨P P∧P F T F T T F 可见不论P取什么真值P∨P 的真值总 是为真,P∧P的真值总是为假。故称 P∨P为重言式(永真式),称P∧P为矛盾 式(永假式)。
命题逻辑
• 重言式(矛盾式)定义 A(P1,P2,…,Pn) 是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命题公式,如不论对P1, P2 , …, Pn作 任何指派,都使得A(P1,P2,…, Pn) 为真 (假),则称之为重言式(矛盾式), 也称之 为永真式 (永假式)。 • 重言式的证明方法 方法1:列真值表。 方法2:公式的等价变换,化简成“T”。
第五篇 数理逻辑
逻辑--是研究人的思维的科学。它包含: 1.辩证逻辑:是研究人的思维中的辩证法。是 研究思维内在语义规律,属于哲学的范畴。 例如:用全面的和发展的观点观察事物; 具体问题具体分析; 实践是检查事物正误的唯一标准;等等。 2.形式逻辑:是研究人的思维的形式和一般规 律。是研究思维外部表现的规律。 这里我们只关心形式逻辑。
命ຫໍສະໝຸດ Baidu逻辑
• 命题公式的真值表 一个命题公式不是命题,所以它没有 真值,但是给其中的所有命题变元作指派以 后它就有了真值。可以以表的形式反应它的 真值情况,例如命题公式 (PQ)∨Q 的 真值表如下所示: P Q P P Q (PQ)∨Q F F T F F F T T T T T F F T T
命题逻辑
• 由于对每个命题变元可以有两个真值(T,F) 被指派,所以有n个命题变元的命题公式 A(P1,P2,…,Pn) 的真值表有2n行,每个指派 对应公式的一个确定的值。
• 公式值的确定是按公式中联结词出现的先 后顺序及括号顺序逐步应用命题联结词的 真值表规定而得到的。
命题逻辑
所谓命题符号化,就是用命题公式的符号串来表示给定的命 题。 • 命题符号化的方法 1.首先要明确给定命题的含义。 2.对于复合命题,找联结词,用联结词断句,分解出各个原 子命题。 3.设原子命题符号,并用逻辑联结词联结原子命题符号,构 成给定命题的符号表达式。 4.为了减少括号的使用,在此做下列规定: (1)5个联接词的结合能力从强到弱顺序为:“否定”,“合 取”,“析取”,“蕴含”,“等价”。 (2)规定具有相同结合能力的联接词,按照出现的先后次序, 先出现者先运算,凡符合此要求者,括号均可除去。 (3)最外层括号可省去。
命题逻辑
• 或者“∨”(析取) 表示“或者”,“或者”有二义性,看下面 两个例子: 例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。 例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨” 例2中的或者是不可兼取的或,也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
命题逻辑
P:灯泡有故障。 Q:线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为:P∨Q,读 成P或者Q,P∨Q的 真值为F,当且仅当 P与Q均为F。
• PQ的真值为假,当且仅当P为真、Q为假。 • 在这里,当前件P为假时,则不论后件是真还是假此蕴含 式一定为真。如“如果明天天气晴朗则举行运动会。”此 蕴含式是对“明天天气晴朗”条件成立而言,此时如举行 运动会则为真,不举行则为假。但是如果明天天气不晴朗, 此蕴含式并没有考虑这种情况,则不管举行还是不举行运 动会都认为真。
命题逻辑
• 命题是一个能确定是真的或是假的判断。(判断都是用陈 述句表示) 例1. 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴ 2是个素数。 ⑵ 雪是黑色的。 ⑶ 2013年人类将到达火星。 ⑷ 如果 a>b且b>c,则a>c。 ⑸ x+y<5 ⑹ 请打开书! ⑺ 您去吗? ⑴⑵⑶⑷是命题
命题逻辑
• 一个命题所作的判断有两种可能:是正确 的判断或者是错误的判断。所以 一个命题的真值有两个:“真”或“假” • 真值为真:一个命题所作的判断与客观一致, 则称该命题的真值为真,记作T (True)。 • 真值为假:一个命题所作的判断与客观不一 致,则称该命题的真值为假,记作F (False)。 • 例1中(1)(4)的真值为真,(2)的真值为假, (3)暂时不能定,等到2013年确定。
命题逻辑
例1.说离散数学无用且枯燥无味是不对的。 P:离散数学是有用的。 Q:离散数学是枯燥无味的。 该命题可写成: (P∧Q) 例2.如果小张与小王都不去,则小李去。 P:小张去。 Q:小王去。 R:小李去。 该命题可写成: (P∧Q)R 例3.如果小张与小王不都去,则小李去。 该命题可写成: (P∧Q)R 也可以写成: (P∨Q)R
P F F T T
Q P∨Q F F T T F T T T
命题逻辑
P:第一节上数学。 P Q:第一节上英语。 F 例2中的复合命题 F 可写成P Q,读 T 成 P异或Q。 T P Q的真值为F, 当且仅当P与Q的真值相同。
Q P Q F F T T F T T F
命题逻辑
• 蕴含(条件)“” 表示“如果… 则 …”,“当... 则...”,“若...那么...”,“假如...那 么...” 例如: P表示:缺少水分。 Q表示:植物会死亡。 PQ:如果缺少水分,植物就会死亡。 PQ:也称之为蕴含式,读成“如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件,Q是PQ的后件。
命题逻辑
• 等价“” 表示“当且仅当”、“充分且必要”,"相同", “相等”,“一样” 例如: P:⊿ABC是等边三角形。 Q:⊿ABC是等角三角形。 PQ :⊿ABC是等边三角形当且仅当 它是等角三角形。
命题逻辑
• PQ的真值为真,当且仅当P与Q的真值相 同。
P F F T T Q F T F T PQ T F F T
命题逻辑
重言(永真)蕴含式 定义:如果公式AB是重言式,则称A重言 (永真)蕴含B,记作 A B 。 注意符号“”不是联结词,它是表示公式 间的“永真蕴含”关系,也可以看成是 “推导”关系。即AB可以理解成由A可推 出B,即由A为真,可以推出B也为真。
命题逻辑
• 性质 1).有自反性:对任何命题公式A,有AA 2).有传递性:若AB且BC,则AC 3).若AB 且 AC,则AB∧C 4).若AB 且 CB,则A∨CB 我们可以通过列真值表(即列永真式的真值表) 来证明重言(永真)蕴含式。
命题逻辑
• 方法1. 列真值表。 例如,证明 (P∧(PQ))Q 为重言式。 P Q PQ P∧(PQ) (P∧(PQ))Q F F T F T F T T F T T F F F T T T T T T 永真式的真值表的最后一列全是“T”
命题逻辑
永真式的性质 1).如果A是永真式,则A是永假式。 2).如果A,B是永真式,则(A∧B)、(A∨B)、 (AB)和(AB)也都是永真式。 有些重言(永真)式,如(P∧(PQ))Q, 公式中间是“”联结词,是很重要的, 称之为重言蕴含式。
命题逻辑
• 联结词 复合命题的构成:是用“联结词”将原子命题联 结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词,定义了五个逻辑联结 词,分别是: (1) 否定“” (2) 并且“∧” (3) 或者“∨” (4) 蕴含“” (5) 等价“”
命题逻辑
• 否定“” 表示:“…不成立”,“不…”,“非”,“没 有”,“无”,“并非”,“并不”。 用于:对一个命题P的否定,写成P,并读成“非 P”。 P P P的真值:与P真值相反。 F T 例1中 P:2是素数。 T F P:2不是素数。
相关文档
最新文档