2017-2018学年北师大版必修四 3.3二倍角的三角函数1 教案
3_2二倍角的三角函数1(教师版)
第二学习时间-----新知学习-----不议不讲
水平技能交流
例1.已知 ， ，
求 的值.
例2.求证： .
第三学习时间-----课程训练-----不练不讲
1、求以下各式的值：
（1） =；（2） =；
（3） ；（4） ；
（5） .
2、已知 则角 的终边在第____象限.
3.2二倍角的三角函数（1）
学习要求:
1.能记住二倍角公式，会使用二倍角公式实行求值、化简和证明，同时懂得这个公式在使用当中所起到的用途；
2.培养观察分析问题的水平，寻找数学规律的水平，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想.
学习重点:二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及使用.
_________________________；
_________________________；
3.学生探究：把上述公式中 看成 ，能够得到的结果：
；
；
_______________.
4.问题一：若利用 ，
如何用 表示 ？
5.问题二：上述关于 的式子能否变成只含有 或 形式的式子呢？
；（只含 ）
；（只含 ）
6.问题三：
（1）二倍角公式：
；
；
_____________.
（2）公式中的 有限制吗？如何计算 ？
的取值范围是：__________， __________.
说明：（1）上述公式统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式.这里的“倍角”专指“二倍角”；
（2）倍角公式给出了 的三角函数与 的三角函数之间的关系，通过二倍角公式，能够用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；
北师大版高二数学必修四《二倍角的三角函数》教案及教学反思
北师大版高二数学必修四《二倍角的三角函数》教案及教学反思一、教案设计1.1 教学目标1.了解二倍角的概念及性质；2.掌握二倍角的基本公式；3.熟练掌握二倍角三角函数的计算方法。
1.2 教学重难点教学重点：二倍角的概念及性质，基本公式的推导。
教学难点：二倍角三角函数的应用。
1.3 教学内容知识点1：二倍角的概念及性质知识点2：二倍角的基本公式知识点3：二倍角三角函数的计算方法1.4 教学方法1.讲授法：详细讲解二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法；2.练习法：通过例题引导学生熟练掌握二倍角的计算方法；3.归纳法：总结二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法。
1.5 学情分析学生已经学习了三角函数，对角度、弧度制有一定的认识，但对于二倍角的概念还不够熟练，需要教师进行详细的讲解和引导。
1.6 教学过程环节内容方法引入通过例题引出二倍角的概念，并让学生思考二倍角的性质及应用讲授法引入知识点1二倍角的概念及性质的详细讲解讲授法详细知识点2二倍角的基本公式的推导及讲解讲授法详细知识点3二倍角三角函数的计算方法的演示及练习引导讲授法演示，练习法引导，通过例题和练习巩固和熟练掌握计算方法课堂练习课堂练习及答疑练习法引导总结总结二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法，让学生熟练掌握归纳法总结二、教学反思本次教学中，教师通过精心设计的教学方案，把二倍角的概念、基本公式和计算方法更加清晰明了地呈现给学生。
教师在讲解的过程中通过多个例题，让学生更加深入地理解和应用二倍角三角函数。
在课堂教学中，教师采用了讲授法、练习法和归纳法相结合的教学模式。
在引入环节中，通过例题引出二倍角的概念，并让学生思考二倍角的性质及应用；在知识点的讲解中，教师详细地讲解了二倍角的概念、性质和基本公式，并通过多个例题帮助学生掌握基本公式的运用；在知识点3的环节中，通过一些例题和练习，让学生更好地应用所学知识解决问题。
在教学的过程中，教师注重学生的思维能力和动手能力的培养。
北师版数学高一-教学设计3.3二倍角的三角函数
§3 二倍角的三角函数导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用倍角公式进行了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式,并用它来解决一些三角函数式的化简,求值等.思路2.先让学生写出上节课学习的二倍角公式,接着出示课本例5让学生探究,由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①α与2α有什么关系?②如何建立cos α与sin 22α之间的关系？③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22α,将公式中的α用2α代替,解出sin 22α即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=1-2sin 22α,所以sin 22α=2cos 1α-①在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan 22α=ααcos 1cos 1+-③ 又根据正切函数的定义,得到tansin sin2cossin 22221cos cos cos 2cos222ααααααααα⋅===+⋅;④tansin sin2sin1cos 2222sin coscos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅.⑤ 这样我们就得到另外两个公式： tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式,称之为半角公式. 在这些公式中,根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果2α所在象限无法确定,则应保留根号前面的正,负两个符号.教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为：sin2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定.教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的二倍角. ②sin 22α=2cos 1α-.③④略(见活动）. 应用示例思路1例1 已知cos α=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解：sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+±=+α, tan 2α=4354532cos2sin±=±=αα. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练 已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=2524,则cos 2θ的值为( ) A.53 B.54 C.±53 D.±54【解析】∵sin(π-θ)=2524∴sin θ=2524. 又θ为第二象限角, ∴cos θ=-257,cos θ=2cos 22θ-1, 而2θ在第一,三象限, ∴cos 2θ=±53.【答案】C 例2 已知sin2α=-1312,π＜2α＜3π2,求tan α. 解：因为π＜2α＜3π2,故π2＜α＜3π4,α是2α的一半,运用半角公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a ,所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=-αα. 例3 已知sin x -cos x =21,求sin 3x -cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab (a -b ),∴a 3-b ==(a -b )=+3ab (a -b ).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由sin x ·cos x 与sin x ±cos x 之间的转化,提升学生的运算,化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )3+3sin x cos x (sin x -cos x )=1611.此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中. 解：由sin x -cos x =21,得(sin x -cos x )2=41, 即1-2sin x cos x =41, ∴sin x cos x =83.∴sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )(sin 2x +sin x cos x +cos 2x )=21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练 已知sin θ+cos θ=51,且π2≤θ≤3π4,则cos2θ的值是___________. 【答案】-257例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证：ABA B 2424sin sin cos cos +=1. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A ,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A ,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换. 证法一：∵BAB A 2424sin sin cos cos +=1, ∴cos 4A ·sin 2B +sin 4A ·cos 2B =sin 2B ·cos 2B . ∴cos 4A (1-cos 2B )+sin 4A ·cos 2B =(1-cos 2B )cos 2B , 即cos 4A -cos 2B (cos 4A -sin 4A )=cos 2B -cos 4B . ∴cos 4A -2cos 2A cos 2B +cos 4B =0.∴(cos 2A -cos 2B )2=0.∴cos 2A =cos 2B .∴sin 2A =sin 2B .∴AB A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B +sin 2B =1. 证法二：令BA22sin cos =cos α,B A sin sin 2=sin α, 则cos 2A =cos B cos α,sin 2A =sin B sin α.两式相加,得1=cos B cos α+sin B sin α,即cos(B -α)=1. ∴B -α=2k π(k ∈Z ),即B =2k π+α(k ∈Z ). ∴cos α=cos B ,sin α=sin B .∴cos 2A =cos B cos α=cos 2B ,sin 2A =sin B sin α=sin 2B . ∴BBB B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B +sin 2B =1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.变式训练 在锐角△ABC 中,A ,B ,C 是它的三个内角,记S =BA tan 11tan 11+++,求证：S ＜1. 证明：∵S =BA B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++ 又A +B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tan A ＞tan(90°-B )=cot B ＞0. ∴tan A ·tan B ＞1.∴S ＜1.思路2例1 已知sin2 010°=-21,求sin1 005°,cos1 005°,tan1 005°的值. 解：因为2 010°=5×360°+210°是第三象限的角, 所以cos2 010°=-232010sin 12-=- . 又1 005°=2×360°+285°是第四象限的角, 所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=-, cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+, tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-= . 例2 证明x xcos sin 1+=tan(π42x +).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x ,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切. 解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(π42x +)=πππsin()sin cos cos sin cos sin42424222πππcos()cos cos sin sin cos sin 42424222x x x x x x x x x x+++==+--,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++. 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(coscos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 π1tantan tan π242tan()π421tan 1tan tan 242x xx x x ++==+-- 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练 已知α,β∈(0,π2)且满足：3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解：3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,②①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91， ∵α∈(0,π2),∴sin α=31.∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1.∵α,β∈(0, π2),∴α+2β∈(0,3π2).∴α+2β=π2.例3 求证：aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明：证法一：左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成立. 证法二：右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==βββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.而上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成立,即原等式得证.知能训练 1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2α的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.-512.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.-21a + D.-21a- 3.已知sin θ=-53,3π＜θ＜7π2,则tan 2θ=__________________.【答案】1.A 2.D 3.-3 课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3—2 A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式,积化和差,和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.。
2017北师大版必修四二倍角的正弦余弦和正切公式word教
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导进程，掌握其应用.二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学假想：（一）温习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 咱们由此可否取得sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；试探：把上述关于cos2α的式子可否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例一、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=22512cos 21sin 211313αα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-= 解得tan 25α=-+tan 25α=--（四）小结：本节咱们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，咱们要熟记公式，在解题进程中要擅长发觉规律，学会灵活运用.（五）作业：15034.P T T -。
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数教案北师大版必修4
⾼中数学第三章三⾓恒等变换3.3⼆倍⾓的三⾓函数教案北师⼤版必修41.3 ⼆倍⾓的三⾓函数整体设计教学分析“⼆倍⾓的三⾓函数”是在研究了两⾓和与差的三⾓函数的基础上，进⼀步研究具有“⼆倍⾓”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，⼜为以后求三⾓函数值、化简、证明提供了⾮常有⽤的理论⼯具.通过对⼆倍⾓的推导知道，⼆倍⾓的内涵是：揭⽰具有倍数关系的两个三⾓函数的运算规律.通过推导还让学⽣加深理解了⾼中数学由⼀般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学⽣运算和逻辑推理能⼒的重要内容，对培养学⽣的探索精神和创新能⼒、发现问题和解决问题的能⼒都有着⼗分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和⾓公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化，让学⽣在探究中既感到⾃然、易于接受，还可清晰知道和⾓的三⾓函数与倍⾓公式的联系，同时也让学⽣学会怎样发现规律及体会由⼀般到特殊的化归思想.这⼀切教师要引导学⽣⾃⼰去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学⽣在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得⼀些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充⼀些⾼技巧、⾼难度的练习，更不要再补充⼀些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理. 三维⽬标1.通过让学⽣探索、发现并推导⼆倍⾓公式,了解它们之间、以及它们与和⾓公式之间的内在联系,并通过强化题⽬的训练,加深对⼆倍⾓公式的理解，培养运算能⼒及逻辑推理能⼒,从⽽提⾼解决问题的能⼒.2.通过⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式的运⽤，会进⾏简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这⼀基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作⽤.使学⽣进⼀步掌握联系变化的观点，⾃觉地利⽤联系变化的观点来分析问题，提⾼学⽣分析问题、解决问题的能⼒.3.通过本节学习，引导学⽣领悟寻找数学规律的⽅法，培养学⽣的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：⼆倍⾓公式推导及其应⽤.教学难点：如何灵活应⽤和、差、倍⾓公式进⾏三⾓式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 2课时教学过程第1课时导⼊新课思路1.(复习导⼊)请学⽣回忆上两节共同探讨的和⾓公式、差⾓公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学⽣默写这六个公式.教师引导学⽣：和⾓公式与差⾓公式是可以互相化归的.当两⾓相等时,两⾓之和便为此⾓的⼆倍,那么是否可把和⾓公式化归为⼆倍⾓公式呢?今天,我们进⼀步探讨⼀下⼆倍⾓的问题，请同学们思考⼀下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导⼊)出⽰问题，让学⽣计算，若sin α=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学⽣会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课新知探究提出问题①还记得和⾓的正弦、余弦、正切公式吗？(请学⽣默写出来，并由⼀名学⽣到⿊板默写) ②你写的这三个公式中⾓α,β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表⽰形式吗？④细⼼观察⼆倍⾓公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中⾓的含义吗？思考过公式成⽴的条件吗？⑥让学⽣填空：⽼师随机给出等号⼀边括号内的⾓，学⽣回答等号另⼀边括号内的⾓，稍后两⼈为⼀组，做填数游戏：sin()=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆⽤吗？想⼀想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α吗？活动：问题①,学⽣默写完后，教师打出课件，然后引导学⽣观察正弦、余弦的和⾓公式，提醒学⽣注意公式中的α,β，既然可以是任意⾓，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并⿎励学⽣⼤胆试⼀试.如果学⽣想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进⼊下⼀个问题，如果学⽣没想到这种特殊情况，教师适当点拨进⼊问题②，然后找⼀名学⽣到⿊板进⾏简化，其他学⽣在⾃⼰的坐位上简化.教师再与学⽣⼀起集体订正⿊板上的书写，最后学⽣都不难得出以下式⼦，⿎励学⽣尝试⼀下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学⽣去思考、去探究，并初步地感受⼆倍⾓的意义.同时开拓学⽣的思维空间，为学⽣将来遇到的3α或3β等⾓的探究附设类⽐联想的源泉. sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β?sin2α=2sin αcos α（S 2α）; cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β?cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α);tan(α+β)=a aa a a 2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=?-+ββ(T 2α).这时教师适时地向学⽣指出，我们把这三个公式分别叫作⼆倍⾓的正弦，余弦，正切公式，并指导学⽣阅读教科书，确切明了⼆倍⾓的含义，以后的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”.教师适时提出问题③，点拨学⽣结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此⼆倍⾓的余弦公式⼜可表⽰为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫作倍⾓公式（⽤多媒体演⽰）.倍⾓公式给出了α的三⾓函数与2α的三⾓函数之间的关系.问题④,教师指导学⽣，这组公式⽤途很⼴，并与学⽣⼀起观察公式的特征，⾸先公式左边⾓是右边⾓的2倍；左边是2α的三⾓函数的⼀次式，右边是α的三⾓函数的⼆次式，即左到右→升幂缩⾓，右到左→降幂扩⾓.⼆倍⾓的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应⽤，对公式中的含义学⽣可能还理解不到位，教师要引导学⽣观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这⾥的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”,遇到“三倍⾓”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过⼆倍⾓公式,可以⽤单⾓的三⾓函数表⽰⼆倍⾓的三⾓函数； (Ⅲ)⼆倍⾓公式是两⾓和的三⾓函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的⾓α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠2πk +4π和α≠k π+2π(k∈Z )时才成⽴，这⼀条件限制要引起学⽣的注意.但是当α=k π+2π,k∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能⽤此公式，但tan2α是存在的,故可改⽤诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学⽣明了⼆倍⾓的相对性，即⼆倍⾓公式不仅限于2α是α的⼆倍的形式,其他如4α是2α的⼆倍,2α是4α的⼆倍,3α是23α的⼆倍,3α是6α的⼆倍，2π-α是4π-2α的⼆倍等,所有这些都可以应⽤⼆倍⾓公式. 例如:sin 2α=2sin 4αcos 4α,cos 3α=cos 26α-sin 26α等等. 问题⑦,本组公式的灵活运⽤还在于它的逆⽤以及它的变形⽤，这点教师更要提醒学⽣引起⾜够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4αcos 4α=2(2sin 4αcos 4α)=2sin 2α,40tan 240tan 2-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，2tan α=tan2α(1-tan 2α)等等.问题⑧,⼀般情况下:sin2α≠2sin α,cos2α≠2cos α,tan2α≠2tan α.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=k π(k∈Z ). 若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去).若tan2α=2tan α,则αα2tan 1tan 2-2tan α,∴tan α=0.结合tan α≠±1,∴α=k π(k∈Z ).解答：①—⑧（略）. 应⽤⽰例思路1例1 已知tan α=21,求tan2α的值.解:tan2α=34tan 2tan 22=-αα. 例2 设α是第⼆象限⾓,已知cos α=-0.6,求sin2α,cos2α和tan2α的值.解:因为α是第⼆象限⾓,所以sin α＞0,tan α＜0. 由于cos α=-0.6,故sin α=α2cos 1-=0.8. 可得sin2α=2sin α2cos α=-0.96, cos2α=2cos 2α-1=23(-0.6)2-1=-0.28, tan2α=7242cos 2sin =αα.例3 在△ABC 中,已知AB=AC=2BC(如图1),求⾓A 的正弦值.图1解:作AD⊥BC 于D,设∠BAD=θ,那么∠A=2θ. 因为BD=21BC=41AB, 所以sin θ=AB BD =41. 因为0＜2θ＜π,所以0＜θ＜2π,于是cos θ=415, 故sinA=sin2θ=815. 4.要把半径为R 的半圆形⽊料截成长⽅形(如图2),应怎样截取,才能使长⽅形⾯积最⼤?图2解:如图2,设圆⼼为O,长⽅形⾯积为S,∠AOB=α,则 AB=Rsin α,OB=Rcos α, S=(Rsin α)22(Rcos α) =2R 2sin α2cos α =R 2sin2α.当sin2α取最⼤值,即sin2α=1时,截⾯⾯积最⼤.不难推出α=4π时,长⽅形截⾯⾯积最⼤,最⼤截⾯⾯积等于R 2.例5 已知sin2α=135,4π＜α＜2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学⽣分析题⽬中⾓的关系，观察所给条件与结论的结构，注意⼆倍⾓公式的选⽤，领悟“倍⾓”是相对的这⼀换元思想.让学⽣体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的⼆倍⾓,因此可以考虑⽤倍⾓公式.本例是直接应⽤⼆倍⾓公式解题，⽬的是为了让学⽣初步熟悉⼆倍⾓的应⽤，理解⼆倍⾓的相对性，教师⼤胆放⼿，可让学⽣⾃⼰独⽴探究完成. 解:由4π＜α＜2π,得2π＜2α＜π.⼜∵sin2α=135,∴cos2α=-α2sin 12-=-2)135(1-=-1312.于是sin4α=sin[23(2α)]=2sin2αcos2α=231353(-1312)=-169120;cos4α=cos[23(2α)]=1-2sin 22α=1-23(135)2=169119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)3119169=-119120.点评：学⽣由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学⽣注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应⽤是⾼考的热点. 变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=2615cos 15cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ . 点评：本题在两⾓和与差的学习中已经解决过，现⽤⼆倍⾓公式给出另外的解法，让学⽣体会它们之间的联系，体会数学变化的魅⼒. 2.(2007⾼考海南,宁夏卷,9)若22)4sin(2cos -=-παα,则cos α+sin α的值为( ) A.-27 B.-21 C.21D.27 答案:C3.(2007⾼考重庆卷,6)下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°-cos15° B.cos 215°-sin 215°C.2sin 215°-1D.sin 215°+cos 215° 答案:B例6 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tan θ.活动：教师先让学⽣思考⼀会，⿎励学⽣充分发挥聪明才智，战胜它，并⼒争⼀题多解.教师可点拨学⽣想⼀想，到现在为⽌，所学的证明三⾓恒等式的⽅法⼤致有⼏种：从复杂⼀端化向简单⼀端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利⽤分析综合法解决，有时⼏种⽅法会同时使⽤等.对找不到思考⽅向的学⽣，教师点出：可否再添加⼀种，化倍⾓为单⾓？这可否成为证明三⾓恒等式的⼀种⽅法？再适时引导，前⾯学习同⾓三⾓函数的基本关系时曾⽤到“1”的代换，对“1”的妙⽤⼤家深有体会，这⾥可否在“1”上做做⽂章？待学⽣探究解决⽅法后，可找⼏个学⽣到⿊板书写解答过程，以便对照点评给学⽣以启发.点评时对能够善于运⽤所学的新知识解决问题的学⽣给予赞扬；对暂时找不到思路的学⽣给予点拨,⿎励.强调“1”的妙⽤很妙，妙在它在三⾓恒等式中⼀旦出现，在证明过程中就会起到⾄关重要的作⽤，在今后的证题中，万万不要忽视它. 证明:⽅法⼀:左边=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=++-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθθθθθθθ2222cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 1cos sin ++=+-+ )cos (sin cos )sin sin(cos θθθθθ++=tan θ=右边,所以,原式成⽴. ⽅法⼆:左边=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++θtan ==右边.所以，原式成⽴. ⽅法三:左边=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+?++--?++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin )sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin ?+?+=-+++-+++=tan θ=右边. 所以，原式成⽴.点评：以上⼏种⽅法⼤致遵循以下规律：⾸先从复杂端化向简单端；第⼆，化倍⾓为单⾓，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙⽤，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常⽤的⼏种⽅法都⽤到了，不论⽤哪⼀种⽅法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是⼀道灵活应⽤⼆倍⾓公式的经典例题，有⼀定难度，但也是训练学⽣思维能⼒的⼀道好题.本题需要公式的逆⽤，逆⽤公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运⽤公式.教学中教师可让学⽣充分进⾏讨论探究，不要轻易告诉学⽣解法，可适时点拨学⽣需要做怎样的变化，⼜需怎样应⽤⼆倍⾓公式,并点拨学⽣结合诱导公式思考.学⽣经过探索发现，如果⽤诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊⾓,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆⽤⼆倍⾓公式. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=16120sin 1620sin 20sin 16160sin 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233===??.点评：⼆倍⾓公式是中学数学中的重要知识点之⼀，⼜是解答许多数学问题的重要模型和⼯具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细⼼体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后⼀个例题，结合三⾓形，具有⼀定的综合性,同时也是和与差公式的应⽤问题.教师可引导学⽣注意在三⾓形的背景下研究问题,会带来⼀些隐含的条件,如A+B+C=π,0＜A ＜π,0＜B ＜π,0＜C ＜π,就是其中的⼀个隐含条件.可先让学⽣讨论探究，教师适时点拨.学⽣探究解法时教师进⼀步启发学⽣思考由条件到结果的函数及⾓的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产⽣不同的解题思路,所以学⽣会产⽣不同的解法，不过它们都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤，本质上没有区别.不论学⽣的解答正确与否，教师都不要直接⼲预.在学⽣⾃⼰尝试解决问题后,教师可与学⽣⼀起⽐较各种不同的解法，并引导学⽣进⾏解题⽅法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值. 解：⽅法⼀:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A , tanA=724)43(1432tan 1tan 222=-?=-A A , ⼜tanB=2, 所以tan2B=342122tan 1tan 222-=-?=-B B . 于是tan(2A+2B)=11744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-?--=-+BA B A . ⽅法⼆:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A .⼜tanB=2, 所以tan(A+B)=2112 431243tan tan 1tan tan -=?-+=-+B A B A .于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]=11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---=+-+B A B A . 点评：以上两种⽅法都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤,本质上没有区别,其⽬的是为了⿎励学⽣⽤不同的思路去思考,以拓展学⽣的视野. 变式训练1.(2007⼴东东莞)设向量a =(cos α,21)的模为22,则cos2α等于…( )A.-41B.-21C.21D.23解析:由|a |=41cos2+α=22,得cos 2α+41=21,cos 2α=41,∴cos2α=2cos 2α-1=2341-1=-21. 答案:B 2.化简：αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++.解：原式＝)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 22cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 222αααααααααααα++=++ =cot2α.知能训练(2007四川卷,17)已知cos α=71,cos(α-β)=1413,且0＜β＜α＜2π, (1)求tan2α的值; (2)求β. 解:(1)由cos α=71,0＜α＜2π,得sin α=734)71(1cos 122=-=-α. ∴tan α=3471734cos sin =?=αα.于是tan2α=.4738)34(1342tan 1tan 222-=-?=-αα (2)由0＜β＜α＜2π,得0＜α-β＜2π.⼜∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=1433)1413(1)(cos 122=-=--βα. 由β=α-(β-α),得cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=7131413+7343211433=. ∴β=3π.点评:本题主要考查三⾓恒等变形的主要基本公式,三⾓函数值的符号,已知三⾓函数值求⾓以及计算能⼒. 作业课本习题3—2 A 组1—4. 课题⼩结1.先由学⽣回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前⾯学过的两⾓和公式有什么新的认识？对三⾓函数式⼦的变化有什么新的认识？怎样⽤⼆倍⾓公式进⾏简单三⾓函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握⼆倍⾓公式及其推导，明⽩从⼀般到特殊的思想，并要正确熟练地运⽤⼆倍⾓公式解题.在解题时要注意分析三⾓函数名称、⾓的关系，⼀个题⽬能给出多种解法，从中⽐较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想⽅法之⽬的.设计感想1.新课改的核⼼理念是：以学⽣发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应⽤，充分体现了“学⽣主体、主动探索、培养能⼒”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学⽣探究和⾓公式的特殊情形中得到了⼆倍⾓公式，在这个活动过程中，由⼀般化归为特殊的基本数学思想⽅法就深深地留在了学⽣记忆中.本节课的教学设计流程还是⽐较流畅的.2.纵观本教案的设计，学⽣发现⼆倍⾓后就是应⽤，⾄于如何训练⼆倍⾓公式正⽤，逆⽤，变形⽤倒成了次要的了.⽽学⽣从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，⼜发现了怎样逆⽤公式及活⽤公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终⽬的.3.教学⽭盾的主要⽅⾯是学⽣的学，学是中⼼，会学是⽬的，根据⾼中三⾓函数的推理特点，本节主要是教给学⽣“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应⽤”的探索创新式学习⽅法.这样做增加了学⽣温故知新的空间，增强了学⽣的参与意识，教给了学⽣发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学⽣真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学⽣会体会到数学的美，产⽣⼀种成功感，从⽽提⾼了学习数学的兴趣.第2课时导⼊新课思路1.我们知道变换是数学的重要⼯具，也是数学学习的主要对象之⼀，三⾓函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引⼊辅助⾓的变换.前⾯已经利⽤倍⾓公式进⾏了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利⽤⼆倍⾓公式的逆⽤推导出半⾓公式,并⽤它来解决⼀些三⾓函数式的化简,求值等.思路2.先让学⽣写出上节课学习的⼆倍⾓公式,接着出⽰课本例5让学⽣探究,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①α与2α有什么关系? ②如何建⽴cos α与sin22α之间的关系？③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式⼦有什么共同特点？④通过上⾯的三个问题，你能感觉到代数变换与三⾓变换有哪些不同吗?活动：教师引导学⽣联想关于余弦的⼆倍⾓公式cos α=1-2sin 22α,将公式中的α⽤2α代替,解出sin22α即可. 教师对学⽣的讨论进⾏提问，学⽣可以发现：α是2α的⼆倍⾓.在倍⾓公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=1-2sin 22α, 所以sin 22α=2cos 1α-①在倍⾓公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22α=αtanααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos22sin2cos 2sin 2+=??==;④tanαααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2-=??==.⑤这样我们就得到另外两个公式: tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半⾓三⾓函数的公式,称之为半⾓公式. 在这些公式中,根号前⾯的符号由2α所在象限相应的三⾓函数值的符号确定,如果2α所在象限⽆法确定,则应保留根号前⾯的正,负两个符号.教师引导学⽣观察上⾯的①②③④⑤式，可让学⽣总结出下列特点： (1)⽤单⾓的三⾓函数表⽰它们的⼀半即是半⾓的三⾓函数;(2)由左式的“⼆次式”转化为右式的“⼀次式”(即⽤此式可达到“降次”的⽬的).2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半⾓公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定. 教师引导学⽣通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三⾓变换,由于不同的三⾓函数式不仅会有结构形式⽅⾯的差异，⽽且还有所包含的⾓，以及这些⾓的三⾓函数种类⽅⾯的差异.因此，三⾓恒等变换常常先寻找式⼦所包含的各个⾓间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三⾓恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式⼦结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的⼆倍⾓. ②sin 22α=2cos 1α-.③④略(见活动）.应⽤⽰例思路1例1 已知cos α=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半⾓公式的应⽤，利⽤半⾓公式进⾏化简解题.教师提醒学⽣注意半⾓公式和倍⾓公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对⽴统⼀的关系.解:sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+4532cos2sin±=±=αα. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学⽣理解倍⾓公式与半⾓公式的内在联系.变式训练(2005北京东城)已知θ为第⼆象限⾓,sin(π-θ)=2524,则cos 2θ的值为( ) A.53 B.54 C.±53 D.±54解析:∵sin(π-θ)=2524∴sin θ=2524. ⼜θ为第⼆象限⾓,∴cos θ=-257,cos θ=2cos 22θ-1, ⽽2θ在第⼀,三象限,∴cos2θ=±53.答案:C例2 已知sin2α=-1312,π＜2α＜23π,求tan α. 解:因为π＜2α＜23π,故2π＜α＜43π,α是2α的⼀半,运⽤半⾓公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a , 所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=1,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学⽣利⽤⽴⽅差公式进⾏对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b==(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学⽣深挖本例的思想⽅法,由sinx2cosx 与sinx±cosx 之间的转化,提升学⽣的运算,化简能⼒及整体代换思想.本题也可直接应⽤上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此⽅法往往适⽤于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41, ∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运⽤和化简的⽅法. 变式训练(2007⾼考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是___________. 答案:-257例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证:ABA B 2424sin sin cos cos +=1.活动：此题可从多个⾓度进⾏探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式⼀致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式⼊⼿,⽽条件等式中含有A,B ⾓的正、余弦,可利⽤平⽅关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利⽤三⾓代换.∴cos 4A2sin 2B+sin 4A2cos 2B=sin 2B2cos 2B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A2cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴A B A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B+sin 2B=1. 证法⼆:令BA22sin cos =cos α,B A sin sin 2=sin α, 则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2k π(k∈Z ),即B=2k π+α(k∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的⾓度来观察问题,本例从⾓与函数的种类两⽅⾯观察,利⽤平⽅关系进⾏了合理消元. 变式训练在锐⾓△ABC 中,A,B,C 是它的三个内⾓,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S ＜1. 证明:∵S=B A B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++⼜A+B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tanA＞tan(90°-B)=cotB ＞0. ∴tanA2tanB＞1.∴S＜1.思路2例1 已知sin2 010°=-21=- . ⼜1 005°=23360°+285°是第四象限的⾓,所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=- ,cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+ ,tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-=.例2 证明x x cos sin 1+=tan(24x+π). 活动：教师引导学⽣思考，对于三⾓恒等式的证明，可从三个⾓度进⾏推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以⿎励学⽣试着多⾓度的化简推导.注意式⼦左边包含的⾓为x,三⾓函数的种类为正弦，余弦，右边是半⾓2x，三⾓函数的种类为正切.解：⽅法⼀：从右边⼊⼿，切化弦，得tan(24x +π)=2sin2cos 2sin2cos 2sin 4sin 2cos 4cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()24sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的⾓之间的关系，想到分⼦分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++. ⽅法⼆：从左边⼊⼿，分⼦分母运⽤⼆倍⾓公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sinx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三⾓函数的种类差异，想到弦化切，即分⼦分母同除以cos2x,得 )24tan(2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x x xx x +=-+=-+πππ点评：本题考查的是半⾓公式的灵活运⽤，以及恒等式的证明所要注意的步骤与⽅法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满⾜:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.解法⼀:3sin 2α+2sin 2β=1?3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0?3sin αcos α=sin2β,②①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,∴sin 2α=91∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α23sin 2α+cos α23sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3331=1.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法⼆:3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α23sin 2α-sin α23sin αcos α=0. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23πsin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α＞0.∴tan(2π-2β)＞0. ⼜∵β∈(0,2π),∴-2π＜2π-2β＜2π.结合tan(-2β)＞0,得0＜2π-2β＜2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例3 求证:aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三⾓恒等式,⼀般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三⾓式的变换中经常使⽤的⽅法. 证明:证法⼀:左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成⽴. 证法⼆:右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+=ββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成⽴.点评：此题进⼀步训练学⽣三⾓恒等式的变形,灵活运⽤三⾓函数公式的能⼒以及逻辑推理能⼒.变式训练求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运⽤⽐例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.⽽上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成⽴,即原等式得证.知能训练1.若sin α=135,α在第⼆象限,则tan 2α的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.-512.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.-21a + D.-21a- 3.已知sin θ=-53,3π＜θ＜27π,则tan 2θ=__________________.答案:1.A3.-3 课堂⼩结1.先让学⽣⾃⼰回顾本节学习的数学知识:和、差、倍⾓的正弦、余弦公式的应⽤,半⾓公式、代数式变换与三⾓变换的区别与联系.三⾓恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使⽤,换元法,⽅程思想,等价转化,三⾓恒等变形的基本⼿段. 作业课本习题3—2 A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半⾓公式,积化和差,和差化积公式以及如何利⽤已有的公式进⾏简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三⾓式的结构进⾏分析，根据结构特点选择合适公式，进⾏公式变形.还要思考⼀题多解、⼀题多变，并体会其中的⼀些数学思想，如换元、⽅程思想，“1”的代换，逆⽤公式等.2.在近⼏年的⾼考中，对三⾓变换的考查仍以基本公式的应⽤为主，突出对求值的考查.特别是对平⽅关系及和⾓公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地⽅，同时要注意结合诱导公式的应⽤，应⽤诱导公式时符号问题也是常出错的地⽅.考试⼤纲对本部分的具体要求是：⽤向量的数量积推导出两⾓差的余弦公式，体会向量⽅法的作⽤.从两⾓差的余弦公式进⽽推导出两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式，⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运⽤上述公式进⾏简单的恒等变换.备课资料备⽤习题 1.已知cos α=135(23π＜α＜2π),则tan 2a 等于( ) A.32 B.23 C.-23 D.-322.已知α为钝⾓,β为锐⾓,且sin α=54,sin β=1312,则cos 2βα-等于( ) A.7 B.-7 C.-65657 D.65657 3.(2005江苏,10)若sin(6π-α)=31,则cos(32π+2α)等于( )A.-97 B.-31 C.31 D.974.(2006北京崇⽂)已知θ是第⼆象限⾓,sin θ=54,则tan(2θ-4π)的值为( ) A.7 B.-31 C.31 D.-34参考答案: 1.D 由3π＜α＜2π可知,⾓α是第四象限的⾓, ∴sin α=-1312)135(1cos122-=--=-α. ∴tan 3213121351sin cos 12-=--=-=ααα. 2.D 由已知,得cos α=-53,cos β=135. 于是cos(α-β)=cos α2cos β+sin α2sin β =-653313125413553=?+?. ∵α为钝⾓,β为锐⾓,∴2βα-为锐⾓.∴cos2βα-=6565721653321)cos(=+=+-βα.3.A cos(32π+2α)=cos ［π-2(6π+α)］=-cos ［2(6π+α)］=2sin 2(6π-α)-1=-97.4.C由已知sin θ=54,cos θ=-53,∴tan (2θ-4π)=tan 21(θ-2θ)=31sin 1cos )cos(1) 2sin(=+-=-+-θθπθπθ.。
北师大版必修4 3.3 二倍角的三角函数 学案
§3 二倍角的三角函数Q 情景引入ing jing yin ru如图甲所示，已知弓弦的长度AB ＝2a ，弓箭的长度MN ＝2b (其中MA ＝MB ，MN ⊥AB )．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A ，B 的连线的距离相等(如图乙所示)，设∠AMN ＝α，你能用a ，b 表示∠AMB 的正切值，即tan 2α的值吗？tan 2α与tan α之间存在怎样的关系呢？现在我们来学习二倍角与半角公式的知识．X 新知导学in zhi dao xue1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)在和角公式S α＋β，C α＋β，T α＋β中，当α＝β时就可得到二倍角的三角函数公式S 2α，C 2α，T 2α.sin 2α＝__2sin αcos α__，cos 2α＝__cos 2α－sin 2α__，tan 2α＝__2tan α1－tan α__.(2)余弦函数的二倍角公式有三种形式，即cos 2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α－1__＝__1－2sin 2α__，由此可得变形公式sin 2α＝__1－cos2α2__，cos 2α＝__1＋cos2α2__，它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．2．半角公式 (1)sin α2＝__±1－cos α2__. (2)cos α2＝__±1＋cos α2__. (3)tan α2＝__±1－cos α1＋cos α__＝__sin α1＋cos α__＝__1－cos αsin α__.在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．[知识点拨]1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．二倍角公式的逆用、变形用 (1)逆用形式：2sin αcos α＝sin 2α；sin αcos α＝12sin 2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos 2α；2tan α1－tan 2α＝tan 2α.(2)变形用形式：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2； 1＋cos 2α＝2cos 2α； 1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2； sin 2α＝1－cos2α2.Y 预习自测u xi zi ce1．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( D )A ．75B ．125C ．1225D ．2425[解析] sin 2α＝2sin αcos α＝2425.2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( C )A ．89B ．79C ．－79D ．－89[解析] cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79.3．若tan α＝12，则tan 2α＝( A )A ．43B ．34C ．15D ．－43[解析] tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43.4．cos 2π8－sin 2π8＝__22__.[解析] 由二倍角公式，得cos 2π8－sin 2π8＝cos (2×π8)＝22.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨二倍角公式的正用典例1 已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．[思路分析] sin α＋cos α＝13→sin2α→cos2α→tan2α[解析] ∵sin α＋cos α＝13∴sin 2α＋cos 2α＋2sin α·cos α＝19，∴sin 2α＝－89且sin αcos α＝－49<0.∵0<α<π，sin α>0，∴cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－sin2α＝173， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝13×(－173)＝－179，∴tan 2α＝sin2αcos2α＝81717.『规律总结』 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．〔跟踪练习1〕已知sin α＝513，α∈(π2，π)，求sin 2α、cos 2α、tan 2α的值． [解析] ∵sin α＝513，α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169，tan 2α＝sin2αcos2α＝(－120169)÷119169＝－120119.命题方向2 ⇨二倍角公式的逆用典例2 求下列各三角函数式的值：(1)cos 72°cos 36°； (2)1sin50°＋3cos50°. [思路分析] 对于(1)题，72°＝2×36°，应想办法“凑”成二倍角形式；对于(2)题，须先通分，分子引入辅助角后适合两角和的正弦公式，分母恰好也适合二倍角的正弦公式，约分后即可得值．[解析] (1)原式＝cos 36°·cos 72° ＝2sin36°·cos36°·cos72°2sin36°＝12sin144°2sin36°＝14. (2)原式＝cos50°＋3sin50°sin50°·cos50°＝2sin (50°＋30°)12sin100°＝4sin80°sin100°＝4.『规律总结』 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)当公式出现2sin αcos α时，要逆用公式，然后再寻找关系解决． 〔跟踪练习2〕求下列各式的值：(1)sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2390°；(3)2tan330°1－tan 2330°； (4)1sin10°－3cos10°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°. [思路分析] 观察角的特点→寻求角的联系→选择公式→化简求值 [解析] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos (2×390°)＝cos 780° ＝cos (2×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan (2×330°)＝tan 660°＝tan (720°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2(12cos10°－32sin10°)sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4. (5)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·sin80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.命题方向3 ⇨半角公式的应用典例3 已知sin α2－cos α2＝－55，450°<α<540°，求tan α2的值．[思路分析] 要求tan α2的值，结合条件，可以联立sin 2α2＋cos 2α2＝1，求得sin α2，cosα2，从而获解．但这种方法需要解方程，联想到有理形式的半角正切公式，可以有以下解法．[解析] 由题意得⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.而450°<α<540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.『规律总结』 利用半角公式求tan α2的值时，为避免讨论，一般尽量采用半角正切公式的有理式tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，利用半角公式求sin α2，cos α2的值时，要注意根号前面的符号由角α2所在象限相应的三角函数值的符号来确定．〔跟踪练习3〕已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值．[分析] 本题主要考查半角公式，先由角的范围去掉绝对值符号，再由半角公式即得． [解析] ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2.由cos θ＝1－2sin 2θ2，有sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55， ∴tan θ2＝sinθ2cos θ2＝2.X 学科核心素养ue ke he xin su yang二倍角公式的变形应用典例4 (1)化简：21＋sin8＋2＋2cos8；(2)设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos2α. [思路分析] (1)1＋sin 8＝sin 24＋2sin 4cos 4＋cos 24＝(sin 4＋cos 4)2,2(1＋cos 8)＝4cos24.(2)连续运用公式：1＋cos 2α＝2cos 2α.[解析] (1)原式＝21＋2sin4cos4＋4cos 24＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|.因为4∈(π，3π2)，所以sin 4<0，cos 4<0.故原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4＝－2(sin 4＋2cos 4)． (2)因为α∈(3π2，2π)，所以cos α>0，cos α2<0.故原式＝12＋12cos 2α＝12＋12cos α ＝cos 2α2＝|cos α2|＝－cos α2.『规律总结』 二倍角公式的变形应用(1)公式的逆用、变形用十分重要．特别是1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α形式相似极易出错．应用时要加强“目标意识”．(2)公式变形的主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 〔跟踪练习4〕化简cos 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋sin (θ＋180°)·cos (θ－180°)． [解析] 原式＝1＋cos (2θ＋30°)2＋1－cos (2θ－30°)2＋12sin 2θ＝1＋12[cos (2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋12sin 2θ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°)＋12sin2θ＝1＋(－sin 2θsin 30°)＋12sin 2θ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例5 已知θ是第二象限角，化简1＋sin θ＋1－sin θ.[错解] 原式＝1＋2sin θ2cos θ2＋1－2sin θ2cos θ2＝(sin θ2＋cos θ2)2＋(sin θ2－cos θ2)2＝sin θ2＋cos θ2＋sin θ2－cos θ2＝2sin θ2. [错因分析] 在去根号时，对sin θ2±cos θ2的符号未加以讨论，导致化简错误．[正解] 原式＝1＋2sin θ2cos θ2＋1－2sin θ2cos θ2＝(sin θ2＋cos θ2)2＋(sin θ2－cos θ2)2＝|sin θ2＋cos θ2|＋|sin θ2－cos θ2|.因为θ是第二象限角，即2k π＋π2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，所以k π＋π4<θ2<k π＋π2，k ∈Z ，所以原式＝⎩⎨⎧2sin θ2(2k π＋π4<θ2<2k π＋π2，k ∈Z )，－2sin θ2(2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2，k ∈Z ).『规律总结』 盲目地运用公式化简函数的解析式，而忽略定义域，是解决与三角函数有关问题的易错点，要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法，这在第一章中已经详细介绍，此处不再赘述．〔跟踪练习5〕若 (1－cos θ1＋cos θ－1＋cos θ1－cos θ)sin θ2cosθ2(sin θ2－cos θ2)(sin θ2＋cos θ2)＝1，则θ的取值范围是__(2k π，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z .__[解析] 化简，原式左边＝((1－cos θ)21－cos 2θ－(1＋cos θ)21－cos 2θ)12sin θ－cos θ＝(1－cos θ|sin θ|－1＋cos θ|sin θ|)sin θ－2cos θ＝－2cos θ|sin θ|·sin θ－2cos θ＝sin θ|sin θ|.由题意知sin θ>0且cos θ≠0，解得θ的取值范围是(2k π，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋π)，k∈Z .K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．cos 2π8－12的值为( D )A ．1B ．12C ．22D ．24[解析] 原式＝1＋cosπ42－12＝12＋24－12＝24.2．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12)＝( D ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32[解析] 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.3．(2018·全国卷Ⅲ)函数f ()x ＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( C )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π[解析] f (x )＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 4．已知tan (π4＋α)＝2，则tan 2α＝__34__.[解析] ∵tan (π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.5．利用倍角公式求下列各式的值． (1)2sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°；(4)cos π12cos 5π12； (5)1sin10°－3cos10°. [解析] (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝sin π6＝12. (2)原式＝cos (2×750°)＝cos 1500°＝cos (60°＋4×360°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cosπ12cos ⎝⎛⎭⎫π2－π12＝cos π12sin π12＝12·⎝⎛⎭⎫2sin π12cos π12＝12sin π6＝12×12＝14. (5)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin (30°－10°)sin (2×10°)＝4sin20°sin20°＝4.。
3.2二倍角的三角函数 学案 高中数学必修4(北师大版)
§2二倍角的三角函数在公式C (α＋β)，S (α＋β)，T (α＋β)中，若α＝β公式还成立吗？ 【提示】 成立．1．sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； 2．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α ＝2cos 2α－1(C 2α)； 3．tan 2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α).二倍角公式cos 2α＝2cos 2α－1中的α换作α2可得什么样的结论？cos α2等于多少？【提示】 cos α＝2cos 2α2－1得cos α2＝±1＋cos α2. 1．sin α2＝±1－cos α2； 2．cos α2＝±1＋cos α2； 3．tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.求下列各式的值．(1)cos 275°－sin 275°；(2)cosπ12cos 512π； (3)12－cos 2π8；(4)－23＋43cos 215°. 【思路探究】 将已知式子变形、处理，然后逆用二倍角公式求解． 【自主解答】 (1)cos 275°－sin 275°＝cos(2×75°)＝cos 150°＝－32. (2)cosπ12cos 512π＝cos π12sin π12＝12sin π6＝14. (3)12－cos 2π8＝－12(2cos 2π8－1) ＝－12cos π4＝－12×22＝－24. (4)－23＋43cos 215°＝23(2cos 215°－1)＝23cos 30°＝23×32 ＝33.利用二倍角公式求值时，需要对所给式子分析其特点，从角的关系出发或从函数名的关系出发，将所给式子变形，然后灵活运用二倍角公式求解．求下列各式的值： (1)2tan 15°1－tan 215°； (2)tanπ12－1tanπ12； (3)cos π7cos 27πcos 47π.【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)tan π12－1tan π12＝tan π12－cosπ12sinπ12＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝sin 2π12－cos 2π12cos π12sin π12＝－cos π612sinπ6＝－32×2×2＝－2 3. (3)cos π7cos 27πcos 47π＝sin π7cos π7cos 27πcos 47πsinπ7＝12sin 27πcos 27πcos 47πsin π7＝14sin 47πcos 47πsinπ7＝18sin 87πsin π7＝18sin (π7＋π)sinπ7＝－18sin π7sinπ7＝－18.化简：(1tan α2－tan α2)(1＋tan α·tan α2)．【思路探究】 题目中有角α2，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把α2的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即可．【自主解答】 (1tanα2－tan α2)(1＋tan α·tan α2)＝(1＋cos αsin α－1－cos αsin α)(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)＝(1＋cos α－1＋cos αsin α)(cos αcos α＋1－cos αcos α)＝2cos αsin α·1cos α＝2sin α.三角函数式化简的原则与技巧：(1)原则形式简单三角函数名称尽量少次数尽量低最好不含分母能求值的尽量求值 (2)技巧：“切化弦”、“升幂或降幂”、“1”的代换．若32π<α<2π，化简 12＋1212＋12cos 2α. 【解】 ∵32π<α<2π，∴34π<α2<π， ∴cos α>0，cos α2 <0，∴ 12＋12 12＋12cos 2α ＝ 12＋12 12(1＋cos 2α) ＝ 12＋1212×2cos 2α ＝ 12＋12cos α ＝ 12(1＋cos α) ＝cos 2α2＝－cos α2.已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间． 【思路探究】化简函数式――→和差公式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 形式。
高中数学必修4北师大版 二倍角的三角函数第1课时 学案
§3 二倍角的三角函数 第1课时 倍角公式如何由S 2α，C 2α推出T 2α？ 预习交流2将cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形，你能得到哪些重要公式？ 预习交流3(1)计算：1－2sin 222.5°的结果为( )． A.12B.22C.33D.32(2)若tan α＝13，则tan 2α＝( )．A.14B.23C.34D.25(3)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ＝__________. (4)若sin θ＋cos θ＝15，则sin 2θ＝__________.答案：2sin αcos α β＝α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α β＝α sin 2α＋cos 2α＝1消去sin 2α或cos 2α 2tan α1－tan 2αβ＝α预习交流1：提示：tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin α·cos αcos 2α－sin 2α，分子、分母同除以cos 2α，得tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 预习交流2：提示：降幂扩角公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.升幂缩角公式：1＋cos 2α＝2cos 2α； 1－cos 2α＝2sin 2α.预习交流3：(1)B (2)C (3)－725 (4)－24251．利用公式求值(1)求cos π12·cos 5π12的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α＝35，求sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4及tan 2α的值； (3)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝26⎝⎛⎭⎫0<α<π2，求sin 2α. 思路分析：(1)将cos5π12化成sin π12，然后配系数2，化为二倍角的正弦形式． (2)中给出了sin α＝35这一条件，欲求sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4及tan 2α的值，可先求出cos α的值，然后利用诱导公式以及二倍角公式建立起已知和未知的关系．(3)中注意角π4－α与π4＋α的关系及角α的范围．1．求下列各式的值：(1)sin 75°·cos 75°；(2)⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，求cos 2θ的值．(1)在利用二倍角公式解决这类问题时，要充分挖掘题目中各角之间的关系，如角2α，π2＋2α分别是α，π4＋α的二倍角，角π4＋α与π4－α互余等，是顺利求值的关键．(2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α是常用结论，应扎实记忆．(3)当遇到π4±α这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α.类似这样的变换还有：cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α等等． 2．利用公式化简求值(1)化简：cos 20°cos 40°cos 80°； (2)若180°＜α＜270°， 试化简12＋1212＋12cos 2α. 思路分析：(1)式子中的角具有“二倍”的关系，并且是连乘积的形式，可以创造条件利用二倍角的正弦公式化简求值；(2)该式化简的目的就是要去掉根号，利用二倍角的余弦公式的变形形式可去根号，但要注意角的范围对三角函数值符号的影响．2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝( )．A ．tan αB ．tan 2αC ．1D.12在运用二倍角公式化简求值时应注意：1．明确式子结构，观察角与角之间的关系 当单角是非特殊角，而其倍角是特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值；当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角；对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．2．灵活选取公式形式主要逆用公式形式：2sin αcos α＝sin 2α；cos α＝sin 2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos 2α；2tan α1－tan 2α＝tan 2α.主要变形用公式形式：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2.3．利用公式研究三角函数的性质已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图像过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 思路分析：先利用降幂公式与和差公式将f (x )化成A cos(ωx ＋φ)＋k (或A sin(ωx ＋φ)＋k )的形式，再研究函数的性质．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x ，x ∈R .求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．解答此类综合题的关键是利用三角函数的公式将f (x )化为f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋k 的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究f (x )的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．答案：活动与探究1：解：(1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝14.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α＝35，∴cos α＝－45. ∴sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725，tan α＝sin αcos α＝－34.∴sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝－cos 2α＝－725， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2·⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. (3)sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝26. ∴cos 2α＝23.又0＜α＜π2，∴0＜2α＜π.。
《二倍角的三角函数》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《§3二倍角的三角函数》教学设计教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。
【知识与能力目标】1、理解二倍角公式的推导；2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式；3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。
【过程与方法目标】通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。
【情感态度价值观目标】通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。
【教学重点】二倍角公式的推导。
【教学难点】能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入。
回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。
()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ-二、探究新知。
将上述公式里的β换成α，结果是什么？二倍角公式：对于 2C α 能否有其它表示形式？公式中的角是否为任意角？注意：①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。
②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。
因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。
凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
三、例题解析。
12cos ,(,)sin cos tan 21322ααππααα=-∈已知，求，，的值。
例题1()tanαβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα=-例题2求下列各式的值：四、巩固练习。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 二倍角的三角函数》
§3 二倍角的三角函数一、教材分析所用教材是北京师范大学出版社数学必修4第三章第3节《二倍角的三角函数》。
本节在学习了两角和与差的三角函数的基础上，进一步学习具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和与差的公式的特殊化，又为以后的学习提供了理论基础，因此，对这一节的学下就显得尤为重要。
二、学情分析学生已经有了学习两角和与差的三角函数的基础，为了以后的学习应用方便，本节课继续学习二倍角的三角函数，顺理成章，学生易于接受。
公式的推导与记忆对于学生来说是重点但不是难点，而对公式的理解与灵活应用是难点，因此在教学中要注意引导。
三、教学目标1、知识与技能以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。
2、过程与方法通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观通过学习，使同学对三角函数之间的关系有更深的认识，增强学生逻辑推理和综合分析能力。
四、课型描述新授课。
五、学时分配1课时。
六、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用七、教学方法发现式教学法，类比分析法。
八、教学手段计算机辅助教学。
九、教学过程（一）问题引入在△ABC 中，已知AB=AC=2BC （如图），求角A 的正弦值（二）知识回顾两角和与差的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+； βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ ；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-两角和与差的正切公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ ； βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手推导并说明过程）【设计意图】高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解，而对于这一部分知识只有先理解了，后面对于公式的记忆和应用才能信手拈来。
北师版数学高一北师大版必修4学案 3.3 二倍角的三角函数(一)
明目标、知重点 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变形，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos_α，sin 2α2cos α＝sin_α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin_2α； (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.[情境导学] 利用我们已经学习的公式，能否将2sin 20°cos 20°进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin 20°cos 20°做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题． 探究点一 二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α.思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答 ∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α) ＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α. 探究点二 余弦的二倍角公式的变形及应用 思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形？答 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是________．答案 π 解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1) ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.练习2：函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是________． 答案 [－5,3]解析 f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )max ＝3； 当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－5.例1 已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．解 由π4<α<π2，得π2<2α<π.又因为sin 2α＝513，cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169； tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119.反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，利用同角三角函数关系及诱导公式解决问题是常用方法． 跟踪训练1 求下列各式的值． (1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°. 解 (1)∵sin 3π8＝sin(π2－π8)＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215° ＝cos 30°＝32. (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32. (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230° ＝12tan 60°＝32. 例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A . 反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明． 跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ.解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)] ＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 例3 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值．解 方法一 在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34，tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×341－⎝⎛⎭⎫342＝247，又tan B ＝2，所以tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43.于是tan(2A ＋2B )＝tan 2A ＋tan 2B1－tan 2A tan 2B＝247－431－247×⎝⎛⎭⎫－43＝44117.方法二 在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34.又tan B ＝2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝34＋21－34×2＝－112.于是tan(2A ＋2B )＝tan[2(A ＋B )]＝2tan (A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×⎝⎛⎭⎫－1121－⎝⎛⎭⎫－1122＝44117. 反思与感悟 解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式，“凑角法”是解决此类三角问题的常用技巧． 跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513， 且0<x <π4，∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋12sin 30°＝1＋14＝54.2．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32.3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________.答案 1－32解析 原式＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·tan 15°＝12tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝1－32. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 答案3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0 即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.[呈重点、现规律]1．对“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.一、基础过关1．若sin α2＝33，则cos α等于( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12C.89 D ．－89答案 D解析 ∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝－89.3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C.13D.79 答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3. 5．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459B.259 C ．－459D ．－259答案 A解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ. ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23.∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ ＝2×53×23＝459. 6．2sin 222.5°－1＝________. 答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 7．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.9．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 ∵y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，∴T ＝π. 10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 11．(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α； (2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)．解 (1)∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2. (2)原式＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10° ＝2sin 50°sin (10°＋30°)cos 10°＝2sin 50°sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1. 12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 三、探究与拓展13．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1； 当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.。
(完整版)《二倍角的三角函数》教案完美版
《二倍角的三角函数》教案教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用,培养学生的创新意识。
教学重点:二倍角公式的推导及简单应用。
教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。
教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间,我们共同探讨了和角公式、差角公式,今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的。
当两角相等时，两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα（S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α（C2α)tan（α＋β)＝错误!当α＝β时，tan2α＝错误!Ⅱ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或:cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠错误!＋kπ及α≠错误!＋错误! (k ∈Z )时才成立，否则不成立（因为当α＝错误!＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在;当α＝错误!＋错误!，k ∈Z 时tan2α的值不存在）.当α＝错误!＋kπ（k ∈Z ）时,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式:即：tan2α＝tan2（错误!＋kπ）＝tan(π＋2kπ）＝tan π＝0 (2）在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin 错误!＝错误!≠2sin 错误!＝1；只有在一些特殊的情况下,才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］。
2018版高中数学北师大版必修四学案：第三章 3 二倍角的三角函数(一)
学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一二倍角公式思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α，(S2α)(3.9)cos 2α＝cos2α－sin2α(C2α)(3.10)＝1－2sin2α(3.11)＝2cos2α－1，(3.12)tan 2α＝2tan α1－tan2α. (T2α)(3.13)知识点二二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝____________，cos 2α－sin 2α＝________，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式1＋cos 2α＝________，1－cos 2α＝________， 1＋cos α＝________________，1－cos α＝________________________ .降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一 给角求值例1 求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°.反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.。
高中数学 第三章 二倍角的三角函数参考教案2 北师大版必修4
二倍角的三角函数一.教学目标：1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教法教法与学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）探究新知1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？3、让学生板演得下述二倍角公式：α-=-α=α-α=ααα=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sinααα2tan 1tan 22tan -=[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用. （二）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22︒30’cos22︒30’=4245sin 21=②．=-π18cos22224cos =π ③．=π-π8cos 8sin22224cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 22④．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+例3、已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 3 二倍角的三角函数》
“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计界首一中荣战教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。
学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。
从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。
从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。
2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
教学重点、难点重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。
难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。
教学过程一、复习启发、设置情景、引出正题1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式（学生回答，教师板书）2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系时，公式变为什么形式？3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果（学生回答：左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系）4、引入正题师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美教师板书二倍角公式简记为即为我们今天要学习的二倍角公式【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。
【北师大版】高中数学必修4第三章：3.1二倍角的三角函数 教学设计
【北师大版】高中数学必修四§3.1二倍角的三角函数教学设计【教学目标】1.知识与技能（1）能够由两角和公式推导出二倍角公式；（2）能较熟练地运用二倍角公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
2.过程与方法通过两角和公式推导二倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，培养和发展学生获取数学知识的能力。
3.情感态度与价值观通过推导二倍角公式，养成寻找规律、探索新知的习惯，体会数学公式所蕴涵的和谐美。
【教学重难点】教学重点：二倍角公式推导及其应用；教学难点：灵活应用二倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式。
【教材分析】高中数学必修4第三章第3节《二倍角的三角函数》需要安排两个课时，本节课是第一课时，它是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具。
另外，通过对二倍角公式的推导，让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想。
因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义。
【教学过程】一、复习导入请学生回忆上两节共同探讨的和差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式。
教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的。
当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题。
二、新知探究问题1：两角和的正弦、余弦、正切公式是什么？教学设想：请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写。
学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，鼓励学生大胆想象α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题。
问题2：如果公式中角α、β满足α=β，公式会变成什么形式？教学设想：每个学生尝试独立化简，找一名学生到黑板化简，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，进而得出以下式子。
2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：3.3 二倍角的三角函数 Word版
§3 二倍角的三角函数1．掌握倍角公式与半角公式及公式的推导方法．(重点)2．能利用倍角公式与半角公式进行三角函数的求值、化简、证明．(重点) 3．能利用倍角公式与半角公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理 二倍角公式与半角公式阅读教材P 124～P 127练习2以上部分，完成下列问题． 1．二倍角公式2．半角公式 (1)sin α2＝± 1－cos α2； (2)cos α2＝± 1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R ，总有sin 2α＝2sin α.( )(2)对任意α∈R，总有cos 2α＝1－2cos2α.()(3)对任意α∈R，总有tan 2α＝2tan α1－tan2α.()(4)sin 22°30′cos 22°30′＝24.()【解析】(1)sin 2α＝2sin αcos α，所以(1)错．(2)cos 2α＝2cos2α－1，所以(2)错．(3)α≠π4＋kπ2(k∈Z)时，有tan 2α＝2tan α1－tan2α，所以(3)错．(4)sin 22°30′cos 22°30′＝12×2sin 22°30′cos 22°30′＝12sin 45°＝24，所以(4)对．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知cos α＝33，α为第四象限的角，求tanα2的值．【精彩点拨】 根据条件求出sin α，然后求出cos α，利用半角公式求tan α2. 【自主解答】 ∵α为第四象限的角，cos α＝33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63.∴tan α＝sin αcos α＝－ 2. ∵α为第四象限角， ∴α2是第二或第四象限的角， ∴tan α2<0.由tan α＝2tan α21－tan 2α2，得tan α2＝2－62.在求半角的正切tan α2时，用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理，要由α所在的象限确定α2所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan α2＝1－cos αsin α或tan α2＝sin α1＋cos α来处理，可以避免这些问题，尤其是tan α2＝1－cos αsin α，分母是单项式，容易计算．因此常用tan α2＝1－cos αsin α求半角的正切值．[再练一题]1．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.【导学号：66470073】【解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝19，∴sin 2α＝19－1＝－89，且sin αcos α＝－49<0.又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝1－sin 2α＝1＋89＝173，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－173×13＝－179，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－89－179＝81717.化简：(1)cos 10°·(1＋3tan 10°) cos 70°·1＋cos 40°；(2)1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，其中π<α<3π2.【精彩点拨】(1)先把切化弦，再用二倍角公式化简．(2)用半角公式脱去根号，根据角的取值范围化简．【自主解答】(1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10 °sin 20°·2cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2. (2)∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2， ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝1＋sin α－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋1－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－2cos α2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．[再练一题]2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，化简：12＋1212＋12cos 2α.【解】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α>0，cos α2<0. 故原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12cos α＝cos 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.[探究共研型]探究1 【提示】 由任意角的三角函数的定义可知，S 2α，C 2α中的角α是任意的，但要使T 2α有意义，需要α≠π4＋k π2(k ∈Z )．探究2 半角公式适用条件是什么？ 【提示】 cos α2＝±1＋cos α2，sin α2＝±1－cos α2，α∈R . tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α中，α≠2k π＋π，k ∈Z ，tan α2＝1－cos αsin α中，α≠k π，k ∈Z .探究3 在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？【提示】 一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．探究4 怎样把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式？【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝ba 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值．【精彩点拨】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究其性质． 【自主解答】 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(1)令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π6≤2x ＋π6≤7π6.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取最大值，最大值为2.首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f (x )转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再研究f (x )的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx ＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．[再练一题]3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.1．tan 15°等于( ) A ．2＋3 B ．2－ 3 C.3＋1D ．3－1【解析】 由tan α2＝sin α1＋cos α，得tan 15°＝sin 30°1＋cos 30°＝2－ 3.【答案】 B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )【导学号：66470074】A ．－13B ．－23 C.13D ．23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13.【答案】 C3．已知cos α＝23，270°<α<360°，则cos α2的值为________．【解析】 因为270°<α<360°，所以135°<α2<180°，所以cos α2<0.又cos α＝2cos2α2－1，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－306.【答案】－30 64.已知cos 2θ＝23，则sin4θ＋cos4θ＝________.【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos22θ)＝1118.【答案】11 185．求证：sin 2θ＋sin θ2cos2θ＋cos θ＝tan θ.【证明】左边＝2sin θcos θ＋sin θ2cos2θ＋cos θ＝sin θ(2cos θ＋1)cos θ(2cos θ＋1)＝sin θcos θ＝tan θ＝右边．原式得证．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
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3.3二倍角的三角函数1
一、教学目标：
知识与技能：
通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.
过程与方法：
通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.
情感、态度与价值观
通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的学精神.
二．重点难点
重点：二倍角公式推导及其应用.
难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
三、教材与学情分析
“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.
四、教学方法
问题引导，主动探究，启发式教
五、教学过程
（一）导入新课
思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=53,α∈(2
π,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.
（二）新知探究、提出问题
①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)
②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？
③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？
④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？
⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？
⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).
⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？
⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？
活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.
（S 2α）;
cos(α+β)=cosαcosβ-
2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22αα
ααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教 书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合。