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初升高数学衔接教材 第01章 第05节 全称量词与存在量词(解析版)
第一章第五节全称量词与存在量词一、电子版教材二、教材解读知识点一 全称量词命题和存在量词命题的判断1.全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示，那么全称量词命题“对M 中任意一个x ，p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”，可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”．【例题1】（2020·全国高一）判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.【例题2】（2020·全国高一）把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.【例题3】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数；（2）存在一个x ∈R ，使11x -＝0； （3）对任意实数a ，|a |＞0；【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题.（2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题.知识点二 含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )；存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )，它的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【例题4】（2020·全国高一）写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）2,10x x x ∀∈++>R ；（3）平行四边形的对边相等；（4）2,10x x x ∃∈-+=R ．【解析】（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题，所以其否定是“有的人不晨练”．（2）因为命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题，所以其否定是“2,10x x x ∃∈++≤R ”．（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题， 所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．（4）因为命题“2,10x x x ∃∈-+=R ”是特称命题，所以其否定是“2,10x x x ∀∈-+≠R ”．【例题5】（2020·全国高一）写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x ∈Z ，2x 的个位数字不等于3.【解析】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.【例题6】（2020·四川省泸县五中高二月考（理））命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”的否定是（ ）A ．∀x ＞0，x 2+x +1≤0B ．∀x ＞0，x 2+x +1＞0C ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0D ．∃x 0≤0，x 02+x 0+1＞0【答案】C【解析】命题“∀x ≤0，x 2+x +1＞0”为全称命题，故其否定为：∃x 0≤0，x 02+x 0+1≤0【例题7】（2020·天津一中高二期末）“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，2210x x ++≤B ．x R ∀∈，2210x x ++<C ．0x R ∃∈，使得200210x x ++<D ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤【答案】D【解析】全称量词的否定是特称量词，大于的否定是小于等于，故“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，使得200210x x ++≤”三、素养聚焦1．命题“[1,2]x ∀∈,2320x x -+≤”的否定是（ ）A ．[1,2]x ∀∈,2320x x -+>B ．[1,2]x ∀∉,2320x x -+>C ．0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>D ．0[1,2]x ∃∉,200320x x -+>【答案】C【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即0[1,2]x ∃∈,200320x x -+>，2．设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ）A ．0x ∃>，sin x x ≤B ．0x ∀>，sin x x ≤C ．0x ∃≤，sin x x ≤D ．0x ∀≤，sin x x ≤ 【答案】A【解析】命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤.3．已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀≥-≥，则p ⌝为（ ） A ．21,2log 1xx x ∀<-< B ．21,2log 1xx x ∀≥-< C ．21,2log 1xx x ∃<-<D ．21,2log 1xx x ∃≥-<【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p 1x ∀≥，22log 1xx -≥，:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.4．命题:0p x ∀≥，都有1x e x ≥-+，则命题p 的否定为（ ） A ．0x ∀≥，都有1x e x <-+B ．0x ∀<，都有1x e x ≥-+C ．00x ∃≥，01xe x <-+D ．00x ∃<，01xe x <-+【答案】C 【解析】命题:0p x ∀≥，都有1x e x ≥-+，∴命题p 的否定为00x ∃≥，01x e x <-+，5．命题p ：对任意一个x ∈Z ，21x +是整数，则p ⌝为（ ） A ．对任意一个x Z ∉，21x +不是整数 B ．对任意一个x Z ∉，21x +是整数 C ．0x Z ∃∈，021x +不是整数 D ．0x Z ∃∉，021x +不是整数【答案】C 【解析】命题p 为全称命题，∴p ⌝为“0x Z ∃∈，021x +不是整数”.6．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.7．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【解析】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.8．命题“,x R ∃∈使得21x =-”的否定是（ ） A ．x R ∀∉都有21x =- B ．x R ∃∉使得21x =- C ．,x R ∃∈使得21x ≠- D ．,x R ∀∈都有21x ≠-【答案】D【解析】命题“,x R ∃∈使得21x =-”的否定是“,x R ∀∈都有21x ≠-”. 9．已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ﹁为( )A ．00x ∃≤，使得00(1)1xx e +≤B ．00x ∃>，使得00(1)1xx e +≤C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤，使得(1)1x x e +≤【答案】B【解析】因为命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，所以p ﹁：00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤.10．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3 C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【答案】D【解析】因为命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3是全称命题， 所以其否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3.11．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(-∞B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎤-⎣⎦D ．3λ=【答案】A【解析】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而22112x x x x +=+≥=12x x =，即2x =时取等号），即λ≤ A. 12．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是（ ） A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 13．已知命题p ：“0a ∀>，都有1a e ≥成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立 B ．0a ∃≤，有1a e ≥成立 C ．0a ∃>，有1a e ≥成立 D ．0a ∃>，有1a e <成立 【答案】D【解析】全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，1a e ≥的否定为1a e <．命题p ⌝为0a ∃>，有1a e <成立14．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A ．x R ∃∈，210x x -+≤ B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．x R ∃∈，210x x -+> D ．x R ∀∈，210x x -+≥ 【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ．15．命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，210x x ++>B ．x R ∀∉ ，210x x ++≤C ．0x R ∃∈，20010x x ++>D ．0x R ∃∉， 20010x x ++≤【答案】A【解析】因为命题“0x R ∃∈，20010x x ++≤”为特称命题,所以其否定为“x R ∀∈，210x x ++>”.16．命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定是（ ）A ．0x ∀>，210x x ++≥B ．0x ∀≤，210x x ++<C ．0x ∀>，210x x ++<D ．0x ∀≤，210x x ++≥【答案】A【解析】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定为：“0x ∀>，210x x ++≥”.17．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，2000x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：“01x ∃>，2000x x -≤”，故选C.18．下列说法：①命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是“0x ∃≤，20x x ->”；②若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真；③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；④“3x <”是“3x <”成立的充分条件，其中错误的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】命题“0x ∀>，20x x -≤”的否定是“0x ∃>，20x x ->”，故①错误一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，同真假性，故②正确 对角线相等的等腰梯形不是矩形，故③错误由3x <推不出3x <，如4x =-时，满足3x <，但推不出3x <，故④错误 所以错误的个数是319．下列有关命题的说法正确的是（ ）．A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】对于A ：命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．因为否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误．对于B ：“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．因为21560x x x =-⇒--=，应为充分条件，故B 错误．对于C ：命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”． 因为命题的否定应为x R ∀∈，均有210x x ++≥．故C 错误． 由排除法得到D 正确．20．已知命题2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为( )A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x R x x ∀∈++≤C ．2,220 x R x x ∃∈++≤D ．2,220x x x ∃∈++>R【答案】A【解析】特称命题的否定是全称命题，命题2000:,220p x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为：2,220x x x ∀∈++>R .21．已知命题1,20x p x R -∀∈>：，则命题p ⌝为（ ） A ．1,20x x R -∀∈≤B ．1,20x x R -∃∈≤C ．1,20x x R -∃∈≠D ．1,20x x R -∀∈<【答案】B【解析】因为命题1,20x p x R -∀∈>：所以命题:p ⌝1,20x x R -∃∈≤22．若命题“存在0x R ∈，使220x x m --≤0”是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．[]11-， D ．【答案】D 【解析】命题“存在0x R ∈，使220x x m --≤0”是假命题， ∴不等式220x x m --≤0无解， ()2240m ∴∆=-+<，解得1m <-，∴实数m 的取值范围是，23．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥ D ．x R ∀∈，2210x x -+<【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，故命题20",210"x R x x ∃∈-+<的否定是“2,210x R x x ∀∈-+≥”.24．（多选题）下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 【答案】ABD【解析】对于A ，1110a a a -<⇔>()10a a ⇔->0a ⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错； 对于D ，00ab a ≠⇔≠，且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 25．（多选题）在下列命题中，真命题有（ ） A ．x R ∃∈，230x x ++= B ．x Q ∀∈，211132x x ++是有理数 C ．,x y Z ∃∈，使3210x y -= D ．x R ∀∈，2||x x >E.命题“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” 【答案】BCE【解析】A 中，221113024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，故A 是假命题； B 中，x Q ∈，211132x x ++一定是有理数，故B 是真命题； C 中，4x =，1y =时，3210x y -=成立，故C 是真命题；对于D ，当0x =时，左边=右边=0，故D 为假命题；E 命题否定的形式正确，故为真命题． 故真命题有BCE ．26．（多选题）下列命题中是真命题的是（ ） A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是“00x ∃>，使得0sin 1x >”C ．数据128,,,x x x 的平均数为6，则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是6D ．当3a =-时，方程组232106x y a x y a -+=⎧⎨-=⎩有无穷多解【答案】ABD【解析】选项A ，1x >，则有21x >，但21x >，则1x >或1x <-， 所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，选项A 正确； 选项B ，命题“0x ∀>，都有sin 1x ≤”的否定是 “00x ∃>，使得0sin 1x >”，所以选项B 正确； 选项C ，数据128,,,x x x 的平均数为6， 则数据12825,25,,25x x x ---的平均数是7，所以选项C 错误；选项D ，当3a =-时，方程组为32103210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以有无数个解，所以选项D 正确.27．（多选题）给出下列命题，其中真命题有（ ） A ．存在0x <，使|x|>x B ．对于一切0x <，都有|x|>x C ．存在0x <，使||x x ≤D ．已知2a n =，3b n =，则存在*n ∈N ，使得a b = E.已知*{|2,}A a a n n ==∈N ，*{|3,}B b b n n ==∈N ，则A B =∅【答案】AB【解析】对A ，当1x =-时，11>-成立，故A 正确； 对B ，对0x <都0|x|>，显然有|x|>x ，故B 正确；对C ，命题“存在0x <，使||x x ≤”，是B 中命题的否定，所以C 为假命题，故C 错误； 对D ，“存在*n ∈N ，使得a b =”的否定是“对于任意的*n ∈N ，都有a b ”，由于23a b n n n -=-=-，所以对于任意的*n ∈N ，都有a b <，即a b ≠，故D 为假命题；对E ，已知*{|2,}A a a n n ==∈N ，*{|3,}B b b n n ==∈N ，易知6A ∈，6B ∈，因此E 为假命题；28．（多选题）下面命题正确的是（ ） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要 不 充 分 条件 【答案】ABD【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的； 选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的 否 定 是“ 存 在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.29．（多选题）关于下列命题正确的是（ ）A ．一次函数320kx y k ++-=图象的恒过点是213⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．3322,,()()a b R a b a b a ab b ∀∈+=+++ C ．(2,4),(2)(4)x y x x ∀∈-=+-的最大值为9 D ．若p 为假命题，则()p ⌝⌝为真命题 【答案】AC【解析】对A ，由320kx y k ++-=，即(1)320k x y ++-=，可令10x +=，即1x =-，320y -=，可得23y =，故直线320kx y k ++-=恒过定点2(1,)3-，故A 正确； 对B ，由两数的立方和公式可得a ∀，b R ∈，3322()()a b a b a ab b +=+-+，故B 错误；对C ，(2,4)x ∀∈-，可得20x +>，40x ->，则224(2)(4)()92x x y x x ++-=+-=，当且仅当1x =时y 取得最大值为9，故C 正确；对D ，若p 为假命题，则p ⌝为真命题，()p ⌝⌝为假命题，故D 错误． 30．（多选题）已知下列命题其中正确的有（ ） A ．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0” B ．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题C ．“至少存在一个实数x ，使得||0x ≥0”是含有存在量词的真命题 D ．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题 【答案】BCD【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A 错误. 对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B 正确;对于C, “至少存在一个实数x ，使得||0x ≥0”含有存在量词,且为真命题,所以C 正确; 对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D 正确. 综上可知,正确命题为BCD。
初升高衔接教材数学
初升高衔接教材数学
初升高衔接教材数学内容应包括：
1. 数的性质与运算：包括整数、有理数、实数的性质和运算法则，以及数轴的应用。
2. 代数式与方程：包括代数式的化简与因式分解，一元一次方程与一元二次方程的解法，以及两个一元一次方程的联立与解法。
3. 几何与图形：包括平面图形的构造与测量，平行线与角的性质，以及三角形、四边形、圆的性质与计算。
4. 函数与图像：包括函数的概念与性质，一次函数、二次函数、比例函数与反比函数的图像，以及函数的定义域、值域、和零点的计算。
5. 统计与概率：包括数据的整理与展示，常见的统计指标和统计图的应用，以及概率的基本概念与计算。
6. 数学思维与解决问题：包括数学思想方法的培养，问题解决的策略与方法，以及数学推理与证明的基本技巧。
初升高衔接教材数学的内容较为丰富，可以帮助学生夯实初中数学知识的基础，为高中数学学习打下坚实的基础。
同时，初升高衔接教材数学也要注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
数与式 初升高数学教材衔接
（二）熟练掌握因式分解、准确提升运算能力 在初中我们学过分解二次三项式x2+bx+c,
将常数项c分解为c1·c2,而恰好b= c1+c2,那么
1 －1 1 －2
x2+bx+c=(x+c1)(x+c2),
1 －1
将这个过程写成 1 c1 1 c2
1
3
例1 分解因式⑴x2－3x+2; 解:⑴x2－3x+2=(x－1)(x－2);
例2 分解因式⑴2x2－5x+3;
⑵2a2－a－6.
1 －1 2 －3
解:⑴2x2－5x+3=(x－1)(2x－3);
1
1 －6 －2
2 －6 1 3
⑵2a2－a－6=(a－2)(2a+3)
注:②十字相乘法往往要多次尝试,才能成功;
③二次项系数为正数时,把它分解为两个正数的积,常数项为正数, 可分解为两个正数的积,也可分解为两个负数的积.
∴a=a1a2,c=c1c2,b=a1c2+a2c1. ∴ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
a1 c1 a2 c1
这种分解因式的方法叫十字相乘法.
注:①排成 a1 a2
c1后 ,
(a1x+c1)(a2x+c2),不能写成(a1x+c2)(a2x+c1),不要漏写“x”.
(2x y)(x y) (4x 5y) 6 (2x y 2)(x y 3)
例 4 （拆项法）分解因式 x3 3x2 4
【解析】 x3 3x2 4 (x3 1) (3x2 3) (x 1)(x2 x 1) 3(x 1)( x 1)
高中数学初升高衔接教案
高中数学初升高衔接教案
主题：函数
教学目标：
1. 了解函数的基本概念和定义
2. 掌握函数的表示方法和特性
3. 能够进行函数的简单运算和应用
教学重点和难点：
重点：函数的定义和表示方法
难点：函数的特性和应用
教学准备：
1. 教材：高中数学教材《数学通用》
2. 教具：黑板、彩色粉笔、讲义
教学流程：
Step 1：导入
通过举例引导学生思考什么是函数，并了解函数的基本概念。
Step 2：概念讲解
1. 讲解函数的定义和表示方法
2. 介绍函数的特性：单调性、奇偶性、周期性等
Step 3：例题讲解
1. 讲解关于函数的基本运算和性质
2. 解答一些简单的函数应用题
Step 4：练习
让学生完成一些练习题，巩固所学知识
Step 5：拓展
引导学生思考函数在实际生活中的应用，如何用函数来描述和解决问题
Step 6：总结
总结本节课的主要内容，梳理思路
Step 7：作业
布置相关作业，帮助学生进一步巩固和提高所学知识
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该对函数有了更深入的理解，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
在授课过程中，要引导学生思考，激发学生的兴趣和参与度，让他们更主动地学习和探索。
初升高数学衔接教材(完整)(2020年8月整理).pdf
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a −表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集．例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x −+−＞4+x （2）|x +1|<|x －2| （3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x −< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式（1）平方差公式22()()a b a b a b +−=− （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ （4）立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−（5）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++（7）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）2672x x ++（3）22()x a b xy aby −++；（4）1xy x y −+−．2．提取公因式法例2.分解因式： （1）()()b a b a −+−552（2）32933x x x +++3．公式法例3.分解因式： （1）164+−a （2）()()2223y x y x −−+4．分组分解法例4.（1）x y xy x 332−+−（2）222456x xy y x y +−−+− 5．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式： （1）221x x +−；（2）2244x xy y +−．练习（1）256x x −−（2）()21x a x a −++（3）21118x x −+（4）24129m m −+（5）2576x x +−（6）22126x xy y +−（7）()()3211262+−−−p q q p （8）22365ab b a a +−（9）()22244+−−x x （10）1224+−x x （11）by ax b a y x 222222++−+−（12）91264422++−+−b a b ab a (13)x 2－2x －1（14）31a +；（15）424139x x −+；（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a −，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，。
(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)
目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
2024年初升高教材衔接衔接讲义
第1讲初高衔接-计算衔接模块一绝对值知识梳理一、初中知识回顾：1、数轴上，一个数所对应的点与原点的叫做该数的绝对值．2、正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即 .3、负数比较大小，绝对值大的反而．4、绝对值不等式：∣x∣＜a（a＞0）；∣x∣＞a（a＞0）.5、两个数的差的绝对值的几何意义：∣a-b∣表示．二、高中知识对接：1、数轴上两点之间的距离：若M、N是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x 1、x2，则M、N之间的距离为MN=2、含有绝对值的方程和函数：（1）含有绝对值的方程要先去掉绝对值符号，再求未知数的值；（2）绝对值函数的定义：y=∣x∣= ，绝对值函数的定义域是，值域是。
题型精练题型一、利用绝对值性质化简：例1、化简：|3x+1|+|2x-1|.例2、解不等式：|x-1|+|x-3|＞4．变式训练：1.解不等式：|x+3|+|x-2|＜7题型二、化简求最值例3、已知0≤a≤4，那么|a-2|+|3-a|的最大值为（）A. 1B. 5C. 8D. 3变式训练：1、已知实数x、y满足|x+7|+|1-x|=19-|y-10|-|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为 .秋季延伸探究已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是（），3x+2y的取值范围是（）若将条件改为-1＜x+y＜4，2＜x-y＜3，求3x+2y的取值范围题型三、绝对值方程和函数例4、解下列方程：（1）|2x+3|-5=0 （2）4|x-1|-6=0 例5、做出y=|x-2|-1的函数图像。
变式训练：1、画出下列函数的图像：（1）y=-|x+3|+2秋季延伸探究1、求函数y=|x-1|+|x-3|的最小值；2、已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=a，试着根据a的取值，讨论该方程解的情况。
模块二乘法公式知识梳理一、初中知识回顾：1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22、实际应用中经常将公式进行变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab （2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab （4）（a-b）2=（a+b）2-4ab（5）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（6）（a+b）2-（a-b）2=4ab二、高中知识对接：1、立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；2、立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；3、三数和平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；4、两数和立方公式：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；5、两数差立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3．【公式1】（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc 例1、计算：（x 2-2x+13）2【公式2】（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3（立方和公式） 例2、计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）【公式3】（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3（立方差公式） 例3、计算：（2x-3）（4x 2+6xy+9）变式训练：1、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a 2+b 2+c 2的值．例4、已知x 2-3x+1=0，求33x1x 的值．1、已知a 、b 是方程x 2-7x+11=0的两个根，求：（1）a 2b+ab 2； （2）a bb a +；（3）a 3+b 3； （4）（a-b ）4.变式训练2：1、已知x （x+1）-（x 2+y ）=-3，求2y x 22+-xy 的值。
交大附中数学组初高中衔接校本数学教材(最终稿)
交大 附 中新高一数学衔接校本教材初高中数学教材衔接的必要性与措施近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。
仙桃市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。
加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。
学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。
因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。
一、初高中数学知识“脱节”点1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
初高中数学衔接校本教材(Word版)
《初高中数学衔接教材》序言童永奇高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。
既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢提几点建议：一、“信心”是源泉。
人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。
二、“恒心”是保障。
人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。
:三、“巧心”是支柱。
人无巧心，就缺乏灵气和创造力。
最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！}$临潼区马额中学高一数学校本教材童永奇结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。
主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。
怎样学好数学。
A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。
（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。
（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。
罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。
”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。
B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。
数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。
初升高衔接教材数学
初高中数学衔接教材{新课标人教A版}100页超权威超容量完整版典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分如何做好初高中衔接 1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。
确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段，很多老师为学生将各种题建立１了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
初高中数学衔接教材((一) - 中考高考 - 道客巴巴
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初高中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学教学衔接的思考及教学策略
如何采取有效措施搞好初高中数学衔接
初高中数学衔接知识练习
初高中数学衔接练习材料
搞好初高中数学教学衔接的体会
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衔接教材一本通初升高答案
衔接教材一本通初升高答案尊敬的教师和同学们：在初升高的过渡阶段，学生们面临着学科知识的深化和学习方法的转变。
为了帮助学生更好地适应这一变化，我们编写了这本《衔接教材一本通初升高答案》。
本书旨在提供全面的学习指导和答案解析，帮助学生巩固基础知识，提高解题能力。
第一部分：数学1. 代数基础- 一元一次方程的解法- 二元一次方程组的解法- 多项式的运算和因式分解2. 几何初步- 平面图形的性质- 立体图形的认识- 几何证明的基本方法3. 函数与方程- 函数的概念与性质- 一次函数和二次函数的图像与性质- 函数的单调性和极值第二部分：语文1. 文言文阅读- 文言文词汇的积累- 文言文句式的理解- 文言文篇章的翻译与分析2. 现代文阅读- 现代文的阅读技巧- 现代文的文学鉴赏- 现代文的写作训练3. 写作指导- 记叙文的写作方法- 议论文的写作技巧- 说明文的写作要点第三部分：英语1. 词汇积累- 高频词汇的记忆方法- 词根词缀的运用- 同义词和反义词的辨析2. 语法精讲- 时态和语态的运用- 非谓语动词的用法- 从句的构成与应用3. 阅读理解- 快速阅读技巧- 细节理解与推理判断- 长难句的解析第四部分：物理1. 力学基础- 力的基本概念- 牛顿运动定律- 功和能的关系2. 电磁学初步- 电场和磁场的基本概念 - 欧姆定律- 电磁感应现象3. 物理实验- 基本实验操作- 实验数据的处理- 实验误差的分析第五部分：化学1. 化学基本概念- 原子和分子- 化学键和化合物- 化学反应的类型2. 化学计算- 化学方程式的平衡- 摩尔质量的计算- 溶液的浓度计算3. 化学实验- 实验室安全规则- 常见化学实验的操作- 实验现象的观察与记录结语希望这本《衔接教材一本通初升高答案》能成为同学们学习的好帮手，帮助大家顺利过渡到高中学习阶段。
我们鼓励同学们在学习过程中不断提问、探索和实践，以培养独立思考和解决问题的能力。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。
适合初升高的数学书籍
适合初升高的数学书籍
以下是一些适合初升高阶段学生阅读的数学书籍：
1. 《高中数学一年预习与衔接》：此书是为初升高阶段学生编写的，涵盖了高中数学的基础知识，适合作为过渡阅读。
2. 《初中数学完全征服》：此书内容系统、全面，通过大量的例题和题目解析，帮助学生巩固基础知识，并为高中数学的学习打下坚实基础。
3. 《高中数学基础教程》：该书对高中数学的重要概念和方法进行深入浅出的解释，适合初升高阶段学生理解高中数学的逻辑和思维方式。
4. 《高中数学辅导名师讲义》：该书以题目解析的方式，详细讲解了高中数学中的重要知识点和解题技巧，帮助学生掌握高中数学的要点。
5. 《高中数学自学教程》：此书以自学为主要方式，通过步骤清晰的解题过程，帮助学生逐步提高数学解题的能力。
以上书籍仅为推荐，选择适合自己的数学书籍需要考虑自己的数学水平和学习需求。
最好从教育出版社或其他权威出版社选择正规的教材和辅导书籍。
同时，老师的指导和同学的讨论也是学习数学的重要途径。
高中预科班初升高衔接教材：数学
高中预科班初升高衔接教材：数学数学作为一门非常重要的学科，可以帮助学生开发和提升精细的推理能力，培养学生的思维能力，以及更好地理解世界规律。
尤其是当孩子即将升入高中学习时，数学课程就显得尤为重要。
针对初入高中，刚从初中升入高中的学生，在数学方面还未受过深入教育，甚至某些领域还未接触到，这时就会落后，甚至导致无法跟上高中数学课程，影响学习效果。
为了解决这些问题，针对初中生即将升入高中的数学衔接教材就显得尤为重要。
《高中预科班初升高衔接教材：数学》就是一本量身定做的针对初中生即将升入高中的数学衔接教材。
教材全面覆盖高中数学知识，其特点是具体实用，融会贯通：具体实用，集中提供中学“必修”知识点；融会贯通，深入剖析初中数学知识，将其与高中知识点进行联系，让高中数学更具应用性。
教材系统地梳理高中数学知识，分为四块：函数类及其应用，代数类及其应用，解析几何及其应用，基础统计。
函数类及其应用，要求学生学习线性函数、指数函数及其特性及其应用，了解三次函数、二次函数及其属性及应用，学习多项式的根与弦，学习椭圆及圆的参数方程，学习正弦、余弦函数的属性及应用，学习正弦和余弦定理及其应用，学习函数的图象及分析，学习对数函数及其应用等。
代数类及其应用，要求学生学习多项式的合并、综合、因式分解，学习方程的一元二次特征及其应用，学习代数式的乘方展开及其应用，学习一元四次方程的求解及其应用，学习不等式组的求解，学习乘法式的展开及其应用，学习立方根和立方体的关系，学习恒等变换、反比例函数的应用等。
解析几何及其应用，要求学生学习直线、圆的一些基本知识，学习圆与圆的关系，学习圆心角、圆弧长，学习椭圆及椭圆矩形的性质，学习映射、倒拉伸与逆变换，学习平面图形的相关计算等。
基础统计，学生需要学习量的表示、概率的概念，学习一元数据的图象表示、直方图、频率分布、算术平均数、几何平均数，学习方差、标准差，学习数据分析及回归分析等。
此外，《高中预科班初升高衔接教材：数学》不仅注重数学理论，还更加重视实践。
【初升高数学衔接教材讲义系列】第01章 乘法公式与因式分解(解析版)
第1章 乘法公式与因式分解【知识衔接】————初中知识回顾————1．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．2．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，初中课本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），因式分解与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．————高中知识链接————我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：学-科网证明：3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．【经典题型】初中经典题型1．如果，那么代数式的值是（）A．6 B．2 C．-2 D．-6【答案】A【点睛】本题考查了代数式求值，涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等，利用整体代入思想进行解题是关键．2．若n满足（n-2011）2+（2012-n）2=1,则（2012-n）（n-2011）等于（）A．－1 B．0 C．D．1【答案】B【解析】分析：首先设a=n－2011，b=2012－n，然后根据完全平方公式得出ab的值，从而得出答案．详解：设a=n－2011，b=2012－n，∴a+b=1，，∴∴ab=1，即(n－2011)(2012－n)=1，故选B．【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是得出两个代数式的和为1，这是一个隐含条件． 3．已知：，则代数式的值是______．【答案】8【解析】分析：先将所求式子化简，然后将a 2+a ＝4整体代入计算即可求答案． 详解：＝＝，∵，∴原式＝4+4＝8． 故答案为：8．【点睛】本题考查了整式的加减运算、整体思想．正确进行计算，并利用整体思想将式子的值直接代入是解题的关键．4．已知x 2﹣2x ﹣1=0．求代数式（x ﹣1）2+x （x ﹣4）+（x ﹣2）（x+2）的值． 【答案】0【解析】分析：根据整式的运算法则即可求出答案． 详解：原式=x 2-2x-1+x 2-4x+x 2-4 =3x 2-6x-3 ∵x 2-2x-1=0∴原式=3（x 2-2x-1）=0【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 5．把下列各式分解因式：（1）224y x - （2）338y x -（2）22312123xy y x x +- （4）2232n mn m -+（5）b b a a 44222+-- （6）2222ab axy ay ax --+6．把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．【解析】（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）． （2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图5）．7．求证：四个连续正整数3,2,1,+++n n n n （其中n 表示正整数）的积与1的和是完全平方数． 证明：（方法一）由题意，1)]2)(1)][(3([1)3)(2)(1(++++=++++n n n n n n n n2222222)13(1)3(2)3(1]2)3)[((3(++=++++=++++=n n n n n n n n n n－1－2 x x 图1－1 －21 1图2－2 61 1图3－ay －byx x图4－1 1x y图5所以得证．说明：将n n 32+看成整体进行配方即可．（方法二）由题意得，161161)3)(2)(1(234++++=++++n n n n n n n n 要证明上式是完全平方数，只要证明上式等于一个式子的平方． 令上式22)1(++=an n ，从而求得3=a ，所以得证．高中经典题型1．计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．2．已知)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--，试确定c b a ,,的值． 解：由题设，得)3)(32(1437622c y x b y x a y x y xy x +++-=+++--bc y c b x c b y xy x +-+++--=)3()23(37622比较对应项系数，得⎪⎩⎪⎨⎧==-=+a bc c b c b 131423，所以⎪⎩⎪⎨⎧===144c b a ．3．把2105ax ay by bx -+-分解因式．【解析】把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 4．把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．【解析】按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+说明：由此例可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用． 5．把22x y ax ay -++分解因式．【解析】把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +．22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+6．把2222428x xy y z ++-分解因式．【解析】先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．学科！网22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-说明：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是2．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是 3．()()22_________a b a b +--= ()222__________a b a b +=+-4．已知17x y +=，60xy =，则22x y += 5．把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 6．把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++————再战高中题 —— 能力提升————B 组1．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：（1）3(3)()27x x -=-； （2）3(23)()827x x +=+ （3）26(2)()8x x +=+； （4）3(32)()278a a -=-（5）3(2)()x +=； （6）3(23)()x y -=2．运用立方和与立方差公式计算：（1）2(3)(39)y y y +-+ （2）224224()()x y x x y y -++ 3．计算： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．若112x y -=，则33x xy y x xy y+---的值为( ) A ．35B ．35-C ．53-D ．535．若2210x x +-=，则221x x +=____________；331x x -=____________． 6．已知2310x x -+=，求3313x x++的值．7．展开3(2)x -8．计算(1)(2)(3)x x x ---9．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 10．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x + (4) 32113121x x x -+-(5) 3223428x xy x y y --+11．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 12．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n -+能被120整除． 13．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．第1章 乘法公式与因式分解答案1．乘法公式答案A 组1．6± 2．16 3．4ab ； 2ab 4．1695．(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-，∴ 276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．6．(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-．B 组1．（1）239x x ++ （2）2469x x -+ （3）4224x x -+（4）2964a a ++ （5）326128x x x +++ （6）32238365427x x y xy y -+-2．（1）327y - （2）66x y -3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b - 4． D5．解：2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x∴-=-． （1）222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=； （2）331x x -2211()(1)2(61)14x x x x=-++=-⨯+=-．6．解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x+-++=++-+=-+=7．326116x x x -+-8．43210355024x x x x -+-+ 9．444222222222x y z x y x z y z ---+++10．22()(),(42)(2),(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++ 2(1)(3)(7),(2)(2)x x x x y x y ----+． 11．28312．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++13． 322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++。
初升高数学衔接教材 第01章 第02节 集合间的基本关系(讲义版)
第一章第二节集合间的基本关系一、电子版教材二、教材解读知识点 集合间的关系 1.判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察.（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn 图. 2.集合A 中含有n 个元素，则有 (1)A 的子集的个数有2n 个． (2)A 的非空子集的个数有2n －1个． (3)A 的真子集的个数有2n －1个． (4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．3.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．【例题1】（2020·全国高一）已知{},,A a b c =，则求： （1）集合A 的子集的个数，并判断∅与集合A 的关系 （2）请写出集合A 的所有非空真子集【例题2】（2020·全国高一）已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }， （1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．【例题3】（2020·全国高一）已知集合M 满足：{1，2}⫋M ⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M 所有的可能情况.【例题4】（2020·全国高一）已知集合{}12A x ax =<<，{}11B x x =-<<，求满足A B ⊆的实数a 的取值范围.【例题5】 （2020·上海高一课时练习）设(){}210A x x a x a =-++<，{}23100B x x x =--<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.三、素养聚焦1．已知集合{}2*|1,P x x n n N ==+∈，{}2*|45,M x x mm m N ==-+∈，则集合P 与M 的关系是（ ）A ．P ⫋MB ．PMC ．P M ⊆D ．M P ⊆2．集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．83．已知集合{}0,1A =，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的值为( )A ．1-B ．1C ．0或1-D ．0或14．已知集合{}1,2,3,4U =，则集合U 的子集共有（ ）A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个5．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．(){}3,2M =，(){}2,3N =B ．{}3,2M =，{}2,3N =C ．(){},1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{}1,2M =，(){}1,2N =6．若{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的取值范围为（ ）A ．11,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．110,,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．110,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭7．已知{}|3782A x x x =-≥-，{}|12B x a x =≥-，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≥B ．2a ≤C ．2a >D ．2a <8．已知集合{}1,2,3A =，非空集合B 满足{}1,2,3AB =，则集合B 有（ ）个A ．3B ．6C ．7D ．89．已知集合{}12345A =，，，，，则集合A 的非空真子集的个数为（ ） A ．14 B ．15 C ．30 D ．3110．已知集合{}23A x x =-≤≤，集合B 满足AB A =，则B 可能为（ ）A ．{}13x x -<≤ B ．{}23x x -<< C ．{}32x x -≤≤ D ．{}33x x -≤≤11．当集合A ，B ，C 满足AB A =，C C =B ∪时，则A 与C 之间的关系是（ ）A ．A C =B ．C A ⊆C ．A C ⊆D ．以上都不对12．已知非空集合P 满足：（1）{1,2,3,4,5}P ⊆；（2）若P a ∈，则6a P -∈，符合上述要求的集合P 的个数是( )A ．4B ．5C ．7D ．3113．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MNB ．M ⫋NC ．M N ⊃≠ D ．M N ⋂=∅14．设集合{}1A x x a =-=，{}()1,0,0B b b =>，若A B ⊆，则对应的实数(),a b 有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对15．如果A ＝{x |x >－1}，那么（ ）A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．φ∈AD ．{0}⊆A16．集合{}2|6,y N y x x N ∈=-+∈的真子集的个数是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．617．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()AB =RA ．{}01x x <≤B ．{}01x x << C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<18．设集合1|,24k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B = B ．B ⫋AC ．A ⫋BD ．AB =∅19．已知R ∈a ，R ∈b ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．220．已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．421．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=23x-x x|A 【注释：应该是302x x +≤-】，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( )A ．()2∞+，B ．[)2∞+， C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，22．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423．下列各式中，正确的是（ ）A ．{}22x x ⊆≤ B ．{32x x ∈>且}1x <C ．{}{}41,21,x x k k Z x x k k Z =±∈≠=+∈ D ．{}{}31,32,x x k k Z x x k k Z =+∈==-∈24．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,525．集合{|}A x x a =≤，2{|50}B x x x =-<，若A∩B=B ，则a 的取值范围是（ ）A ．5a ≥B ．4a ≥C ．5a <D ．4a <26．已知集合{}2|0=-<A x x x ，{}|B x x a =<,若AB A =，则实数的取值范围是A ．(]1-∞，B ．()1-∞，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，27．已知集合{}2|40A x x x =-<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．(]0,4B ．()8,4-C ．[)4,+∞D ．()4,+∞28．已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)29．已知集合{|64A x x m n ==+其中,}m n Z ∈，{|108B x x a b ==+，其中,}a b Z ∈则A 与B 的关系为( )A ．AB = B ．B A ⊃≠C ．A B ⊃≠D ．A B =∅30．若集合1|,6A x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,23B n x x n Z ⎧⎫=-∈⎨⎩=⎬⎭，1|,26p C x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B ，C 之间的关系是（ ）A ．ABC == B ．A ⫋B =C C ．A ⫋B ⫋CD ．B ∉C ∉A31．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k -再求和，例如{2,3,8}A =，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87-⋅+-⋅+-⋅=，对S 的所有非空子集，这些和的总和为（ ）A ．508B ．512C ．1020D ．102432．已知非空集合A B 、 ，()2215log 2329A x x x x x ⎧⎫=-->--⎨⎬⎩⎭，A B ⊆，则集合B 可以是（ ）A ．()()1,04,6-⋃B ．()()2,13,4--⋃C ．()3,3-D ．()()3,14,6--⋃33．（多选题）定义集合运算：()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，设{,,A B ==则（ ）A ．当x y ==1z =B ．x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+⨯-对应4个式子C ．A B ⊗中有4个元素D ．A B ⊗的真子集有7个E.A B ⊗中所有元素之和为434．（多选题）已知集合{|12}A x x =<<，{|232}B x a x a =-<<-，下列命题正确的是（ ）A ．不存在实数a 使得AB = B ．存在实数a 使得A B ⊆C ．当4a =时，A B ⊆D ．当0≤4≤4时，B A ⊆E.存在实数a 使得B A ⊆35．（多选题）下列选项中的两个集合相等的有（ ）A ．{}2,P x x n n ==∈Z ，(){}21,Q x x n n ==+∈Z B ．{}21,P x x n n +==-∈N ，{}21,Q x x n n +==+∈NC ．{}20P x x x =-=，()11,2nQ x x n ⎧⎫+-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z D ．{}1P x y x ==+，(){},1Q x y y x ==+。
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初升高数学衔接教材第1课 集合的概念一、集合与元数 1、集合的概念(1) 集合：某些指定对象集在一起就形成一个集合(简称集) (2) 元素：集合中每一个对象叫做这个集合的元素； (3) 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A,B,C,P ,Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a,b,c,p,q ……2、集合中的元素有四个特性：______________、__________、____________、__________。
3、集合与元素的关系属于：如果a 是A 的元素，就说a_______集合A ，记作____________； 不属于：如果a 是A 的元素，就说a_______集合A ，记作____________； 4、集合的表示法：①列举法：把集合的元素______________，并用___________表示集合的方法。
②描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法，具体表示是：______________。
③venn 图：用平面上封闭曲线的内部代表集合。
设a,b 是两个实数，而且a<b ，我们规定： (1) 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； (2) 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；(3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b(4)满足x a ≥的所有实数表示为[),a +∞，满足x>a 的所有实数表示为(),a +∞满足x a ≤的所有实数表示为(],a -∞，满足x<a 的所有实数表示为(),a -∞ (5)全体实数表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，-∞读作“负无穷大”，+∞读作“正无穷大”。
7、集合的分类(1) 有限集：含有有限个元素的集合； (2) 无限集：含有无限个元素的集合； (3)空集：不含任何元素的集合，记作φ，如：{}2|10x R x ∈+=1.1.1 如何用数学语言刻划一个集合【例1】在一堂课中，老师分别请下列学生举起右手：(1) 高个子的学生；(2)中国人；(3)小学生；(4)来自杨家坪中学的学生。
【例2】下列对象中一定能构成集合的是( ) (1)2018年央视春节晚会上的所有好看的节目； (2) 我国1991-----2015年发射的所有人造卫星；(3) 2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员； (4) 高一(2)班学生的姓名； (5) 一群向南飞的大雁； (6) 函数21y x =+图象上的点； (7) 最接近π的有理数；(8) 满足方程210x +=的实数解；(9) (9)110的所有的偶数。
故选(2),(5),(6),(8),(9) 变式：1. 下列对象不能构成一个集合的是( )A,联合国常任理事国， B,方程290x -=在实数范围内的解； 近似值的全体， D,中国的直辖市。
2. 若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是( ) A,锐角三角形 B,直角三角形 C,钝角三角形 D,等腰三角形3. 下列对象不能构成一个集合的是(1)初中数学中的所有难题； (2)我们班级14岁以下的学生；(3)铁路中学的大个子； (4)育才中学身高超过1.70米的学生； (5)0,1,2,3,1,51.1.2 数的发展【例1】下列说法正确的是( )(1)0既是正数也是负数； (2)0是自然数，也是最小的自然数；(3) 1-是负数，整数，也是奇数； (4)2是最小的质数，也是质数中唯一一个偶数； (4)(6)3.14是无理数，因为 3.14π=。
变式：1. 下列说法正确的是( )(1) 正整数的平方还是正整数； (2)自然数的相反数是负整数；(3)若n 表示整数，则2n-1和2n+1是奇数；(4)当x 是任意实数时，x 和2x 都是正数； (5)有理数的相反数是无理数。
2.观察下列各算式，用你所发现的规律得出20172的末位数字是( )123456722,24,28,216,232,264,2128,=======892256,2512==……，A,2 B,4 C,6 D,81.1.3集合的表示方法例1用列举法表示下列集合(1) {}2|x 320A x R x =∈-+= (2){}2|340B x Z x x =∈--≤(2) 6|1C x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭(4)(){},|5,,y N D x y x y x N *=+=∈∈例2.用描述法表示下列集合(1)不等式260x x +-<的解集； (2)函数2y x x =+的图象上所有点的集合；(3)方程()()2210x m x m m Z ++++=∈的解集。
例3.己知集合{}2|320,A x R ax x a R =∈-+=∈(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。
1.1.4 元素与集合的关系【例1】下列表示中正确的是( ) (1) 0N ∈，(2)227Q ∉，(3)0φ=，(4){}0φ=,(5){}0φ∈,(6){},,,a A B C D ∈，(7){}φφ∈, 变式：1.用符号∈或∉填空(1) 集合{}{}1,2,3,4,5,6,7,8A B ==，则5___A,5____B,6_____A,6_____B ； (2) 6____N *，32_____Q,53_____Z,0_______N ，π______Q,()02-______N *,(3) 已知集合A 是由满足21y x =+且x N ∈的实数y 组成，集合B 是由抛物222y x x =++上的点组成，则72_____A,10___A,点(1,2)______A,2____B,点(0,0)_____B,点(-1,1)______B ； 【例2】设集合A={2,4,6}，若a A ∈，且6a A -∈，那么实数a 的值是__________。
变式：1.设集合{}|8M x N x N =∈-∈，则M 中元素的个数是( ) A,10 B,9 C,8 D,72. 设集合A 满足：若a A ∈，则11A a∈-，若2A ∈，则集合A=__________________。
【课后练习】 1. 已知集合()8|6A x N x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 。
2. 已知集合()6|3A x N x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 。
3. 已知集合()8|1A x Z x N x *⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭，试求集合A 。
4. 已知实数94a ≤，集合{}2|30M x x x a =++=，求集合M 中所有元素的和。
5. 若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a_______________。
6. 设集合{}{}1,2,3,4,5A B ==，{}|,,M x x a b a A b B ==+∈∈，则M 中的元素个数为( ) A,3 B,4 C,5 D,67. 若集合(){}2|110,A x ax a x =+-+=若A 中至多有一个元素，求实数a 的范围。
8. 已知集合(){}222,1,33A a a a a =++++，若1A ∈，则a=_______________。
第2课：集合与集合的包含关系一、子集的相关概念注意：(1) 任何一个集合是它本身的________________，即_____________；(2) 空集是任何集合的_________，是任何非空集合的_________________。
(3) 对于集合A,B,C,如果A B ⊆，且B C ⊆，那么__________________。
1.1.5集合与集合的包含关系【例1】已知集合{}{}1,2,3,2,3A B ==，则下列选项中正确的是( D ),A A B = B,A B φ= C,A B ⊆ D,B A ⊆变式：1. 已知集合{}|1A x x =≤，若B A ⊆，则集合B 可以是( ) A,{}|2x x ≤ B,{}|1x x > C,{}|0x x ≤ D,R2. 己知集合{}2,A a a=，{}1B =，若B A ⊆，求实数a ；3. 已知集合()(){}{}|20,,2,3A x x x a x R B =--=∈=-，若A B ⊆，求实数a ； 4. 已知集合{}{}|24,|31,A x x B x a x a =<<=<<+A B ⊆，求实数a 的取值范围。
5. 已知集合{}{}|29,|1,A x x B x a x a =-<<=<<+B A ⊆，求实数a 的取值范围。
【例2】判断下列集合间的关系，并用适当的符号表示 (1) A={平行四边形},B={矩形} (2) A={}|2,x x n n N=∈，B={X|X 是偶数}(3) {}{}|0,B |1A x x x x =<=<； (4) (){}(){},|2,,,|0A x y y x x R B x y xy ==∈=≥【例3】写出{},,a b c 所有子集，并指出哪些是真子集。
反思：若集合A 中有n 个元素，则集合A 有_________个子集，________个真子集，______个非空子集，_________个非空真子集。
【例4】(1)已知集合{}{}21,3,,1,1,A a B a a ==-+且B A ⊆，求a 的值。
(2)已知集合{}{}2|60,|10A x x x B x ax =+-==+=，若B A ⊆，求实数a 的取值。
变式：设{}(){}222|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-=， (1) 若A B ⊆，求求a 的值。
(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
【例5】(1)设集合{}3241|,|35261x x P x Q x x a x x ⎧+<-⎫⎧==-<-⎨⎨⎬-<+⎩⎩⎭，且P Q ⊆，求实数a 的取值范围。
(2)已知集合{}{}|12,|1A x ax B x x =<<=<，求满足A B ⊆的实数a 的范围。
变式：(1)已知两集合{}{}|3,|A x x B x x a =<=<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围________。
(2)已知{}()(){}|1,|140,A x x B x x a x a A B =<=----<⊆，求实数a 的取值范围。