幻方解析
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
幻方知识点总结
幻方知识点总结一、幻方的定义。
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。
例如，一个简单的三阶幻方（3×3的方格）：begin{array}{ccc}hline8 1 6 hline3 5 7 hline4 9 2 hlineend{array}这里每行、每列和两条对角线上的数字之和都是15。
二、幻方的阶数。
1. 阶数的概念。
- 幻方的阶数是指幻方的行数（或列数），用n表示。
常见的有三阶幻方（n = 3）、四阶幻方（n=4）等。
2. 不同阶数幻方的特点。
- 三阶幻方。
- 是最基本、最常见的幻方。
它的数字组合相对固定，中心数字具有特殊性质。
在三阶幻方中，中心数字是这9个数字的平均数。
例如在上面的三阶幻方中，数字是1 - 9，它们的平均数是5，正好是中心数字。
- 四阶幻方。
- 构造相对复杂一些。
四阶幻方的幻和（每行、每列、对角线数字之和）计算为：(1 + 2+3+·s+16)÷4=(16×(16 + 1)÷2)÷4= 34。
三、幻方的构造方法。
1. 奇数阶幻方（以三阶幻方为例）——罗伯法。
- 把1（或最小的数）放在第一行正中。
- 按以下规律排列剩下的数：- 每一个数放在前一个数的右上一格。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在右一列。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。
- 如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了顶行和右列，那么就把这个数放在前一个数的下一行同一列的格内。
2. 偶数阶幻方（以四阶幻方为例）——对称交换法。
- 先将1 - 16按顺序填入4×4的方格中。
- 然后将对角线上的数字（从左上角到右下角和从右上角到左下角）进行对称交换。
例如，交换1和16，4和13，6和11，7和10，就可以得到一个四阶幻方。
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练：第14讲：幻方(学生版)
第十四讲幻方------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
幻方的规律和求法
幻方的规律和求法幻方的规律和求法：幻方可是个神奇的存在呀！简单来说，就是在一个正方形格子里，填上一些数字，让每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
我们可以把幻方想象成一个数字的大舞台，每个数字都像是一位演员，它们要在这个舞台上找到自己的位置，共同演绎出神奇的规律。
那些格子就像是演员们的站位，必须恰到好处，才能呈现出完美的表演。
比如说三阶幻方，就像是一个小型的数字音乐会，九个数字要在九个位置上完美配合，奏响和谐的数字乐章。
那幻方是怎么做到让每行、每列和对角线的数字和都相等的呢？这就像是一场精心编排的舞蹈，每个数字都要准确无误地迈出自己的舞步。
以三阶幻方为例，中间的数字就像是领舞的主角，它的位置至关重要。
其他数字则像是伴舞，围绕着中间数字旋转跳跃。
它们之间有着一种微妙的平衡和协调，就像一个默契十足的舞蹈团队。
我们来看看具体的规律。
首先，幻方中每行、每列和对角线上的数字之和是一个固定值，这个值是所有数字总和的三分之一。
比如三阶幻方，1 到9 这九个数字的总和是 45，那么每行、每列和对角线的和就是 15。
这就好像是一场比赛，每个队伍的目标总分是确定的，数字们要努力去达到这个目标。
其次，中间位置的数字有着特殊的地位，它往往是一个关键的平衡点。
而且，相对的两个数字之和通常等于另外两个相对数字之和，就像两队选手在进行拔河比赛，力量要保持平衡。
为了让大家更好地理解，我们来看一个具体的三阶幻方例子：4 9 23 5 78 1 6在这里，每行、每列和对角线的和都是 15。
4 和 6、9 和 1、2 和 8 等相对数字之和都是 10，是不是很神奇呢？幻方在生活中也有不少应用呢！比如在建筑设计中，一些古老的建筑可能会运用幻方的原理来布局，以求达到某种平衡和和谐。
在数学研究中，幻方更是一个重要的领域，数学家们不断探索着更复杂、更奇妙的幻方。
总之，幻方就像是一个隐藏在数字世界里的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
它的规律既神奇又有趣，让我们感受到了数字的魅力和魔力。
思维导引-幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案教学目标：1. 了解幻方与数阵的基本概念及其关系；2. 学会制作简单的幻方与数阵；3. 培养学生的逻辑思维能力和观察能力；4. 提高学生对数学美的欣赏能力。
教学重点：1. 幻方与数阵的基本概念；2. 制作幻方与数阵的方法。
教学难点：1. 理解幻方的性质；2. 制作具有一定规律的数阵。
教学准备：1. PPT课件；2. 练习题；3. 彩笔、白纸等。
教学过程：一、导入（5分钟）1 2 34 5 67 8 92. 学生发现这是一个3x3的幻方，接着教师讲解幻方的定义及性质。
二、幻方的概念与性质（10分钟）1. 介绍幻方的定义：幻方是指一个n×n的方阵，其每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
2. 讲解幻方的性质：如奇数阶幻方的中心数是幻方中所有数的平均数，且幻方的数字呈对称分布等。
3. 举例说明并引导学生验证幻方的性质。
三、制作幻方（10分钟）1. 引导学生了解制作幻方的方法：如利用中心数法、奇偶数填充法等。
2. 分组讨论，让学生尝试制作一个7x7的幻方。
3. 学生展示制作结果，教师点评并讲解制作过程中的注意事项。
四、数阵的概念与制作（10分钟）1. 介绍数阵的概念：数阵是指在二维空间内，按照一定规律排列的一组数字。
2. 讲解数阵的分类：如线性数阵、网格数阵、螺旋数阵等。
3. 引导学生观察不同的数阵类型，分析其规律。
五、欣赏与创作（5分钟）1. 展示一些具有美感的数阵图片，让学生欣赏并感受数学美。
2. 学生自由创作一个数阵，要求体现个人特色和规律。
3. 展示学生作品，大家共同欣赏、评价。
教学反思：六、数阵的规律与应用（10分钟）1. 介绍数阵在实际生活中的应用，如在计算机科学、信息编码、数据分析等领域。
8 3 1 6 4 2 9 7 54 9 2 75 3 1 8 62 7 53 1 8 64 93. 学生分组讨论，尝试找出数阵中的规律，并探讨如何在实际问题中应用这些规律。
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
幻方（一）1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学目标数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
4年级-6-幻方和数阵图-难版
第6讲幻方和数阵图传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即知识梳理它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
数阵图【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。
请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【解析】不存在，设所填的数分别是a，b，c，如图所示。
假设 a+b=奇数． a+c=奇数，b+c=奇数，左边=2(a+b+c)，是偶数，右边=三个奇数相加，是奇数，偶效≠奇数。
幻方_??????
幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
四年级三阶幻方题目
四年级三阶幻方题目一、三阶幻方基础概念。
1. 定义。
- 三阶幻方是一个3×3的矩阵，其每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这个相等的和称为幻和。
2. 幻和的计算方法。
- 对于三阶幻方，由于1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，而三阶幻方三行（或三列）的数字之和相等，所以幻和为45÷3 = 15。
二、题目及解析。
题目1。
- 在一个三阶幻方中，已知左上角的数字是1，右上角的数字是3，求中间格的数字。
- 解析：- 设中间格数字为x。
根据三阶幻方幻和为15，先看第一行1 + a+3 = 15，可得a = 11。
再看对角线1+x + 7 = 15（因为1 - 5 - 9是一条对角线，幻和为15，所以右下角是9，那么与1和9构成对角线的中间数x = 5），解得x = 5。
题目2。
- 三阶幻方中，最上面一行中间的数字是2，最下面一行中间的数字是6，求这个幻方的幻和。
- 解析：- 设左上角数字为a，右上角数字为b。
因为幻方每行每列及对角线和相等。
第一行a+2 + b =幻和，第三行c + 6+d =幻和。
又因为中间列2 + 5+6 = 13（中间数是5，因为1 - 5 - 9是中间列常见组合满足幻和15，这里先假设幻和为15来分析数字关系）。
由于幻和相等，所以幻和为15。
再验证，设a = 4，b = 9，c = 7，d = 2，满足条件。
题目3。
- 已知三阶幻方的幻和是15，且左上角数字为2，求左下角数字。
- 解析：- 设左下角数字为x。
因为幻和为15，第一列2 + y+z = 15。
对角线2 + 5+8 = 15（中间数5，根据幻和计算中间数为15÷3 = 5）。
第三列x+w + 8 = 15。
又因为第二行y+5 + w = 15。
由幻和15可知，第一行2+7+6 = 15，所以第三列x = 4时，4+3+8 = 15。
题目4。
- 三阶幻方中，中间数是5，左上角数字是3，求右上角数字。
幻方定义和规律
幻方定义和规律幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
在幻方中，每个格子都填有不同的数字，而且每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这种特殊性使幻方成为了数学界的研究热点之一。
幻方的定义非常简单，即一个n阶幻方就是一个n×n的方阵，其中每个格子中填有1到n²之间的不同整数。
对于奇数阶的幻方，填数字的规则是从第一行的中间开始，依次向右上方填充；对于偶数阶的幻方，则是从第一行的左边开始，依次向右上方填充。
幻方的规律和性质也是数学家们感兴趣的研究方向之一。
幻方的最基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等，这个相等的和被称为幻方的“幻和”。
这个幻和的计算方法是将1到n²的所有数字相加，然后除以n，即(n × (n² + 1)) / 2。
除了这个基本规律外，幻方还有一些其他的规律。
例如，对于奇数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的；而对于偶数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的，除了中心数字出现的次数为2。
另一个有趣的幻方规律是对称性。
幻方通常具有不同的对称性，包括水平对称、垂直对称和对角线对称。
这些对称性可以通过幻方的排列方式来实现，使得整个幻方看起来更加美观。
幻方还有一些特殊的性质和变种。
例如，拉丁方是一种特殊的幻方，其中每行和每列都包含1到n的所有数字，且每个数字只出现一次。
还有一种称为魔方的幻方，其中除了每行、每列和对角线的和相等外，每个小正方形的四个角的和也相等。
幻方不仅仅是数学的研究对象，还有一些应用价值。
例如，在密码学中，幻方可以用于生成随机数或者加密信息。
在游戏设计中，幻方可以用作谜题或者解谜的元素。
总结一下，幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
它的基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方还具有对称性和其他特殊的性质和变种。
幻方不仅是数学的研究对象，还有一些实际应用。
通过研究和探索幻方，我们可以进一步了解数学的奥秘和美妙。
六年级上册数学讲义-小升初培优：第02讲幻方(解析版)全国通用
第二讲 幻方1、掌握幻方的基本结构特点，会用“罗伯法”构造简单的幻方；2、训练学员的比较思想.恒等思想.代换思想和重叠思想；3、培养学员的空间图形感.图形美感与内在的数学学习兴趣。
一、在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有n ²个数的和；用1、2、……、n ²这n ²个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 二、对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有n ²个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；用1、2、……、n ²这n ²个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
三、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【解析】方法一：第一步——求幻和：幻和为（2009＋2010＋2011＋2012＋2013＋2014＋2015＋2016＋2017）÷3＝6039； 第二步——求中心数：中心数为6039÷3＝2013；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数；第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解；以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
四年级数学奥数培优讲义-专题16幻方(含解析)
专题16幻方1．在如图的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。
A 是 、B 是 。
C 是 。
2．在如方格中，每行每列都有1﹣4这四个数，并且每个数在每行每列都只出现一次 。
13B 4A13．在如图方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次 ，B 应该是 。
4．在图中的方格中，每行、每列都有1一4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次 B 是 。
5．在如图所示的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。
23B4A2A应该是 ，B应该是 。
6．小游戏：如图，九宫格中左上角为“开”，其余8格分别写着下一步的移动方法，就按照这格上的指示要求移动（如“左2”，即左移2格；“下1”，即下移1格）；如果要把每一格都跳一遍（不重复），则第一次要放在第 列第 行的那一格。
7．如图的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，且每个数在每行、每列都只出现一次．A是 ，B 是 ．A.1B.2C.38．如图，在5×5的正方形方格中，排列着数字1、2、3、4、5，在每列中也恰好出现一次。
则写着X的空格中的数应当是 。
9．如表方格中每行、每列都有1～4这4个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。
想一想，A应该是 B应该是 。
322A13B10．在如图的方格里，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只能出现一次 。
11．在如图的方格中，每行、每列都有1﹣4这四个数，并且每个数在每行每列都只出现一次 ，C 是 ．12．在如图的方格中，每行每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行每列都只出现一次 ，B 是 ．13．如图是一种精简版的“数独”游戏，每行每列都只有1～4这四个自然数，并且每个数在每行、每列都只出现一次 。
14．在右面的方格中，每行、每列都有1～4这4个数，并且每个数在每行、每列都出现一次。
B应该是 ，A应该是 。
人教版小学四年级数学第14讲：幻方(学生版)
第十四讲幻方------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
小学奥数 幻方(二) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学目标5-1-4-2.幻方（二）数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
幻方在初中数学解题中的意义
4华东师大版教材则是在七上安排了阅读 材料“幻方”
阅读材料介绍了三阶幻方的传说，由于阅读材料是 设置在有理数内容之前，教材没有安排题目给学生做，但 用2个图反映了四阶幻方的一种构造方法，女吓图：
\ 23
5
/8
\、
9严
12
14 】5
、16、 2 3 13
5
8
/ \、
9
12
Z
\、
14 15
(1)
⑵
图6
2201年第12期
综上所述,含参不等式恒成立问题可转化为函 数的性质、求函数最值等问题，基本方法有:变换主 元、分离参数、根的分布等等•覆盖的知识点多，解题 方法灵活多样，需要我们持续不断的去领悟、总结.
解析:第一问：因为这1个数的和是-6,可以 组成 3 组，和是-2:( -1, -2,1,1)( -1, -4,
3,9)( -8, -6,5,5),这3组数字分别放在最外一
・85 •
《数学之友》
层，中间一层，最里面一层正方形的四个顶点处，每 一组数的里外、顺序可以随便放.
第二问:不成立，因为这12个数相加和为6,6 除以3是2,这时每个正方形4个顶点处的和是2.
1人教版教材中，安排了一道实验与探究题
填幻方： 有人建议向火星发射如图1的图案.它叫做幻 方，其中9个格中的点数分别是1,2,3,4,5,6,5,3,9. 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和 都是15.如果火星上有智能生物，那么他们可以从这 种“数学语言” 了解到地球上也有智能生物(人
你能将-4,-3, -2, -1,0,1,2,3,4这9个数分别 填入图2的幻方的9个空格中，使得处于同一横行、同 一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗？
幻方
关于幻方，有着不少神话故事。传说在 夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有 图有文，图中的黑白圈四十五个，用直线连 成九个数，后人称它为“洛书”。如果把 “洛书”上的九个数，填在图2中的九个小 方格内，则发现图中的每行、每列、两条对 角线上的三个数的和都等于15，所以引起了 人们的极大兴趣。问1-9这就个数如何天能横 竖对角线都等于15？
4、四阶（对角线法） 要点： 1、按顺序写数 2、对角互换（注意有大对角和小对角）
例1 请编出一个三阶幻方，使幻和为 24。 解析：基本型三阶幻方幻和是 15, 幻和增加了 24-15=9 每个数应增加 9÷3=3
例 2 在下图的 A、B、C、D 处填上适当的 数，使下图成为一个三阶幻方
解析：已知中心数，先 求幻和=15×3=45 那 么就容易填啦！ A=19，B=10， C=18，D=14
作业： 在下图空格中填入 7 个自然数，使每 行、每列、每一对角线三数之和为 90
解析： 告诉了幻和， 先求中间数=90÷3=30 告诉了相邻 2 个棱块， 一定能求 对角角块=（23+57）÷2=40， 得到右图 ，接下来就容易了每行/列/ 对角线的数的和 幻和=总和÷阶数
性质：
性质一：幻和=九个数之和÷3
性质二：中间数=幻和÷3 性质三：C=（A+B）÷2 性质四：中间数位于中间位置
怎样快速填写出完整的幻方呢？
杨辉口诀法（三阶） 九子斜排，上下对易， 左右相更，四维挺出
戴九履一，左三右七， 四二为肩，八六为足。
连续摆数法（罗伯法） 适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。 要点： 1、首数填在第一行的正中间 2、连续往右上方摆数 3、出格了怎么办？——卷纸筒，上面出格就卷 到下面，右面出格就卷到左面。 4、格子中已有数了怎么办？——右上没路了 就往下拐弯嘛。
浅谈幻方魔方论文
摘要多少世纪来人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣。
从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。
在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。
有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”。
传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。
幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以与两条对角线上的数之和均相等。
幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。
我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来一部加深对幻方的理解。
关键词：幻方历史幻方应用第一章引言我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行与对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。
幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。
此外，在文章最后，简单介绍了幻方在数学和智力开发，科学以与艺术中的应用。
我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来一部加深对幻方的理解。
第二章幻方的历史和发展- 1 - / 5关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
大约在8世纪，中国的幻方记述传人阿拉伯地区。
该地区的人们对幻方产生了极大兴趣，并做出重要贡献。
六年级上册数学讲义-小升初培优：第04讲 三阶幻方 (解析版)全国通用
第四讲三阶幻方1、了解幻方的基本特点；2、学会用杨辉法填三阶幻方3、了解祖国的灿烂文化，感受数学的奇妙，提高学习数学的兴趣。
将3×3（三行三列）的正方形方格中，按一定规律既不重复又不遗漏地填入九个正整数，使得每行、每列、每条对角线上的三个正整数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方，也叫九宫图。
1、使每行、每列、每条对角线上的三个正整数之和叫做幻和，一个幻方的幻和一定相等。
2、九个正整数的中间一个数必定排在幻方的中心。
3、幻和＝中心数e×3，且d＋b＝ 2i，h＋f＝ 2a，b＋f＝ 2g，d＋h＝ 2c。
a b cd e fg h i4、另外还有四阶幻方、五阶幻方……直至任意阶幻方。
讲演者：得分：如图的九个方格内已填入一个数，请在其余的八个空格内填上其他的数，使得九个方格内是九个连续自然数，并且横行、竖行及对角线上的三个数的和都相等。
那么，所填入八个数之和是多少？10【解析】根据题意，10应该是横行、竖行及对角线上每三个数的平均数，所以横行、竖行及对角线上三个数的和是10×3＝30，所以三行九个数的和是30×3＝90，所以填入的八个数的和即可求出。
解答：30×3-10＝80。
讲演者：得分：把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
【解析】方法一：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。
我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3＝15。
也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
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预备：
请你将1——9各数填到这个表格中，使得横行、竖行、斜行的和都是15。
传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？
【知识要点】
在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三
阶幻方。
如果在44
⨯⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。
任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！
幻方的幻和等于n (n2 +1) ÷2 。
幻和=总和÷阶数
二、幻方的特征：
1、对称性
2、轮换性
三、幻方的种类：
按照纵横各有数字的个数，可以分为：
三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方……
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为：
1、奇数阶幻方
2、偶数阶幻方
（1）单偶数阶幻方，阶数是2的倍数，形如：2n+2
（2）双偶数阶幻方，阶数是4的倍数，形如：2n+4
四、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方）
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足
2、罗伯法
适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。
口诀：
1居下行正中央，依次斜填切莫忘； 下出框时往上写，左出框时往右放； 排重便往上格填，左下排重一个样。
3、巴舍法(平移补空法)（适合奇数阶幻方） 要点，构造五阶具体操作： (1)画图:构造楼梯
(2)按顺序填数（数字按顺序斜排）
(3)平移补空:把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：几阶幻方就平移几个格。
4、对称交换法（对角线法）——适用于四阶幻方
总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。
但因为四阶阶数不大，作为拓展， 补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。
【典型例题】
例题：请编出一个三阶幻方，使其幻和为２４。
基本型三阶幻方的幻和是１５。
幻和增加了２４－１５＝９，Array每个数应该增加９÷３＝３。
三阶幻方的基本型的拓展：
每个数都加上１，依然是一个幻方，幻和增加了３。
幻方的基本型可以拓展出更多的幻方！
例题：在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.
2
5
例题：请用１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７编制一个三阶幻方。
这是一个等差数列，将它与基本型中的１－９对应好：
１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７
１、２、３、４、５、６、７、８、９
（１）先写出基本型
（２）再对应的数填在对应的位置。
习题：
１、把７—１５这九个数构成一个三阶幻方。
２、把５－２０这１６个数构成一个四阶幻方。
３、把３、４、５、８、９、１０、１３、１４、１５编成一个三阶幻方，并求出幻和
是多少？
４、构成一个三阶幻方，使其幻和是１８。
５、用罗伯法把５－２９这２５个数编成一个五阶幻方。
６、把１０－５８编排成一个七阶幻方。
4
8
5
图2
７、用９个连续的自然数构造一个三阶幻方，使每一横行、竖列、对角线的三个数的和
等于６０。
８、
9、用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
10、在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
【小试锋芒】
1.
2. 在下面的方格内分别填上3~11、5~13、7~15这九个数字，使横、竖和对角线上
三个数的和都相等。
3.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。
4.把12到36这25个数填入下图中，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
5.将九个连续自然数填入九宫格中，使横、竖和对角线上三个数的和都等于
66.
6.把25~33这九个数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线
上三个数的和都相等。
7.把1~100中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每
条对角线上三个数的和都相等。
8.把10~60中找出25
个连续数字填入以下五阶幻方中，使
每一行横、每一竖和每条对角线上的五个数的和都相等。
9. 在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于21.
7
8
10. 在空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等.
42
34 30
11. 找出九个连续的自然数，分别填入下图的圈内，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于60。
1.11。