高三数学第一轮复习单元讲座 第03讲 函数的基本性质教案 新人教版
1.3函数的基本性质教学设计教案（最终5篇）
1.3函数的基本性质教学设计教案（最终5篇）第一篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2. 教学重点/难点教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：1、说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2、指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（3）（4）二、新课教学（一）函数最大（小）值定义2）（1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）注意：1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2）利用图象求函数的最大（小）值3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为625px的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅馆定价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为为旅馆一天的客房总收入，元时，住房率为为与房价160相比降低的房价，因此当房价，于是得=150··．由于≤1，可知0≤≤90．的最大值的问题．因此问题转化为：当0≤将≤90时，求的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50x＋17600．由于二次函数1在x=25时取得最大值，可知y也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．（教材P37例4）求函数解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．巩固练习：（教材P38练习4）三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？在区间[2，6]上的最大值和最小值．课堂小结归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第6、7、8题．2、提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？板书略第二篇：1.3 函数的基本性质教学设计教案教学准备1. 教学目标（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．2. 教学重点/难点教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．3. 教学用具投影仪等. 4. 标签数学，函数教学过程一、引入课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：1 随x的增大，y的值有什么变化？2 能否看出函数的最大、最小值？3 函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x1 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+11 从左至右图象上升还是下降______?2 在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x21 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．2 在区间____________ 上， f(x)的值随着x的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1 任取x1，x2∈D，且x12 作差 f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．一、新课教学（一）函数单调性定义 1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1任取x1，x2∈D，且x12作差f(x1)－f(x2)； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：1课本P38练习第3题； 2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．1这个函数的定义域是什么？2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．一、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论二、作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，1求f(0)、f(1)的值；2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．课堂小结1、归纳小结，强化思想2、函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论课后习题作业布置1．书面作业：课本P45 习题1．3（A组）第1- 5题． 2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，（1）求f(0)、f(1)的值；（2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．板书略第三篇：1.3函数的基本性质教学设计1.3 函数的基本性质一、教材分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
函数的概念与性质教案
函数的概念与性质教案一、教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
3. 能够运用函数的性质解决问题。
二、教学内容：1. 函数的概念：函数的定义、函数的表示方法（列表法、解析法、图象法）。
2. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
3. 函数性质的应用：解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：函数的概念与表示方法，函数的性质及其应用。
2. 难点：函数的单调性、奇偶性、周期性的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数的性质。
2. 利用数形结合法，直观展示函数的性质。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用函数的性质解决实际问题。
五、教学准备：1. 教学课件：包含函数的概念、性质及其应用的实例。
2. 教学素材：包括函数图象、实际问题等。
3. 学生用书、练习题。
【导入】（此处简要介绍本节课的教学目标和内容，引导学生进入学习状态。
）【新课导入】1. 函数的概念：（1）引导学生回顾数学中的变量概念，引入函数的定义。
（2）讲解函数的表示方法：列表法、解析法、图象法。
2. 函数的性质：（1）单调性：讲解函数单调递增和单调递减的概念，引导学生通过图象观察函数的单调性。
（2）奇偶性：讲解函数奇偶性的定义，引导学生通过图象观察函数的奇偶性。
（3）周期性：讲解函数周期性的定义，引导学生通过图象观察函数的周期性。
【课堂练习】1. 让学生自主完成教材中的练习题，巩固所学内容。
2. 选取部分学生进行答案展示，并讲解答案的得出过程。
【实例分析】1. 给出实际问题，让学生运用函数的性质解决问题。
2. 引导学生总结解题思路和方法，并进行讲解。
【小结】1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数的概念、性质及其应用。
2. 强调函数在实际问题中的重要性。
【作业布置】1. 让学生完成课后作业，巩固所学内容。
2. 鼓励学生进行自主学习，提前预习下一节课的内容。
人教版高中数学《函数的基本性质》优质教案
2.1函数的基本性质一、教学目标1．结合具体函数，了解函数单调性的含义；2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性；3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.二、教学重点1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应用，一般是判断单调性、求参数或求值；2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．三、教学难点掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题.四、教学过程（一）考情解读设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现，一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向.（二）知识梳理设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础.1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性（三）典例分析题型一：函数的单调性设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像法等；例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不等式等题型.【例1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（）A ．()f x x =-B ．()23x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x =D ．()f x 【例2】已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 题型二：函数的奇偶性设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目，通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例2为奇偶性与分段函数结合的题目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识.【例1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【例2】（2019·全国Ⅰ卷）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+题型三：函数的周期性设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础.【例1】（2018·江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πcos ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________． 题型四：函数性质的综合应用设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例1为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考，紧紧扣住定义解题.例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题.()2017(,)(1)11(2)1A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]f x f f x x ⋅-∞+∞ =- -- --【例1】（全国Ⅰ卷）函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）≤≤ ()(,)(1)(1).(1)2(1)(2)(3)(502018A.50 B.0 C.2 D.0)5f x f x f f f f f f x -∞+∞ -=+=++++= ⋅-若，则…（【例2】（全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足）（四）巩固练习设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心.1.（2020·全国Ⅰ卷）设函数()331f x x x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增B ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减C ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增D ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减2．(2014·全国Ⅰ卷)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减，f (2)0=．若f x >(-1)0，则x 的取值范围是__________．()()()()()3R ,R,4,22,2022=A.2022 B.2 C.2022 D.2f x x f x f x f f ∈ +=-= --.已知函数是上的奇函数对任意都有若则（）（五）总结提升设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题型及其对应方法.五、作业设计设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像，说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性与奇偶性的概念及其应用.。
【高中教育】最新高三数学一轮复习第3讲函数概念与表示教案
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高三数学一轮复习第3讲函数概念与表示教案______年______月______日____________________部门课标要求1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；命题走向函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。
从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。
高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。
预测2017年高考对本节的考察是：1．题型是1个选择和1个填空；2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。
教学准备多媒体教学过程要点精讲: 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。
最新高三数学一轮复习精品教案――函数
高三数学一轮复习精品教案――函数（附高考预测）一、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。
二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log 2x>0}，则A ∩B=( ) A ．{x| x>1}B ．{x|x>0}C ．{x|x<-1}D ．{x|x<-1或x>1}【解析】:由集合B 得x>1 ,∴ A ∩B={x| x>1}，故选（A ） 。
例2、（2008广东惠州一模） “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）【解析】：选（B ），在（B ）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。
例3、（2008年广东惠州一模）设 ()11xf x x+=-，又记 ()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2008f x = （ ）A B C DA ．11x x +-； B ．11x x -+； C ．x ； D ．1x-； 【解析】:本题考查周期函数的运算。
高三数学一轮复习《函数的基本性质》教案(共17页)
精品家教个性化教学辅导教案学员姓名：____ 任课教师：_______ 所授科目：___数学__要点八 段函数和抽象函数【例8】2010天津理（8）已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞【命题立意】分段函数是一类非常重要的函数形式，因为其覆盖面较大，而备受命题人的青睐. 本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的数学思想。
【标准解析】由已知，函数在整个定义遇上单调递增的。
故)()2(2a f a f >- ，等价于022<-+a a ，解得12<<-a【误区警示】常见的错误是计算中不能根据自变量的范围挑选出适合的函数段，或计算错误.解决这类问题的有效方法是由内到外逐层计算，解题时要层次分明，思路清晰.【变式训练】2010年天津文（8）若函数()f x =212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若()f a >()f a -,则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）【标准解析】当0a >时，由f(a)>f(-a)得：212log log a a >，即221log log a a >，即1a a >， 解得1a >；当0a <时，由()f a >()f a -得：12log ()a ->2()log a -，即21log ()a->2()log a -，即1a->a -，解得10a -<<，故选C 。
函数的性质教案8篇
函数的性质教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学人教A版必修1教案-1.3_函数的基本性质_教学设计_教案_11
教学准备
1. 教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的
纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发
学生学习的积极性．
2. 教学重点/难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什
么特征？
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法②换元法③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？。
高三数学第一轮复习 函数的基本性质课件 新人教B版
学案3
函数的基本性质
名师伴你行
考纲解读 考向预测
考点1
填填知学情
课内考点突破 规律探究
考点2
考点3
考点4 考点5 考点6 考点7
名师伴你行
考 纲 解 读
函数的 基本性质 理解函数的单调性、最大（小）值及其 几何意义；了解函数奇偶性的含义.
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名师伴你行
学案3函数的基本性质学案3函数的基本性质名师伴你行????考点1考点2考点3填填知学情考纲解读考纲解读考向预测考向预测名师伴你行???????考点4考点5填填知学情课内考点突破规律探究规律探究考点6考点7考纲解读考纲解读函数的基本性质理解函数的单调性最大小值及其名师伴你行返回目录基本性质理解函数的单调性最大小值及其几何意义
2 x -1 , 则f(x)=
可分解成两个简单函数: f(x)= u(x) ,u(x)=x2-1的形式. 当x≥1时，u(x)为增函数， u(x)为增函数. ∴f(x)= x 2 1 在［1,+∞)上为增函数.
当x≤-1时，u(x)为减函数， u(x) 为减函数.
∴f(x)= x 2 1 在(-∞,-1］上为减函数.
故应选B.
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名师伴你行
f(x) f( x)
判 断 函 数 的 奇 偶 性, 一 般 返回目录
名师伴你行
判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=
x2 - 1· 1 - x2 ； （2）f(x)=log2(x+ x 2 1 )(x∈R)； x2+x(x<0) （3）f(x)= x2-x(x>0)；
名师伴你行
【解析】解法一:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则Δx=x2-x1>0,
高中数学 第一章 集合与函数概念 第3节 函数的基本性质(1)教案 新人教A版必修1
第一章第三节函数的基本性质第一课时教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，y ＝x 2，y ＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：(1)函数y ＝x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y ＝－x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而减小．(2)函数y ＝x 2在[0，＋∞)上y 随x 的增大而增大，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．(3)函数y ＝1x在(0，＋∞)上y 随x 的增大而减小，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小． 引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x )在该区间上为增函数；如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x )在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观．描述性的认识．【设计意图】 从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y ＝x ＋2x(x >0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】 使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(3)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，因为x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)<0，即x 21<x 22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1，x 2.【设计意图】 把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数． ②若函数f (x )满足f (2)<f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】 让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．掌握证法，适当延展【例】 证明函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数． 1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2， 设元f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋2x 1)－(x 2＋2x 2)求差 ＝(x 1－x 2)＋(2x 1－2x 2) 变形＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－2x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2， ∵2<x 1<x 2， 断号∴x 1－x 2<0，x 1x 2>2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数．定论 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．问题：要证明函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2有f x 2－f x 1x 2－x 1>0可以吗？ 引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．【设计意图】 初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本习题1.3 A 组第1,2,3题．课后探究：(1)证明：函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数的充要条件是对任意的x ，x ＋h ∈(a ，b )，且h ≠0有f x ＋h －f x h>0. (2)研究函数y ＝x ＋1x(x >0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 《函数的单调性》教学设计说明一、教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．二、教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三、教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．。
第03讲 函数的基本性质
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座3）—函数的基本性质一．课标要求1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。
通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
三．要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
高三数学一轮复习教案第三节函数的单调性
第3课函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．;-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------补充：1．单调增函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间．注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；⑵. 单调性、单调区间是有区别的；2．单调减函数的定义：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间．3. 函数单调性的等价形式：3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是上升图像；而函数在其单调减区间上的图像是下降的图像。
（填＂上升＂或＂下降＂）4．利用函数的定义证明函数单调的步骤：（1）根据题意在区间上设；（2）比较大小；（通常是利用作差法或作商法）(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .5．复合函数的单调性设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是单调函数，那么复合函数y＝f[g(x)]在其定义域上也是单调函数，对于复合函数的单调性，可概括为“同增异减”.;------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【基础练习】1.下列函数中：①；②；③；④．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．2.函数的递增区间是___ R ___．3.函数的递减区间是__________．4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．【范例解析】例1. 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；（2）函数在上是单调递减函数；（3）函数在区间和上都是单调递增函数．分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．（2）对于上的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即．所以，函数在上是单调减函数．（3）对于区间内的任意两个值，，且，因为，又，则，，得，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数．同理，对于区间，函数是单调增函数；所以，函数在区间和上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数的单调性．分析：作差后，符号的确定是关键．解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，则又，，，即．所以，在区间上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．例3.已知函数．（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；（2）求函数在区间上的最大值与最小值；（3）试求函数的最小值．分析：本题先研究函数的单调性，再利用单调性解决最值问题．解：（1）对于区间内的任意两个值，，且，则，当，则，，故，即，即．所以，函数在区间上是单调减函数；当，则，，故，即，即．所以，函数在区间上是单调增函数；综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．（2）由（1）知，函数在上是单调递减，上是单调递增；所以，的最小值为，此时；又，所以的最大值为，此时或．（3）令，则，由（1）知，在上单调递增，所以，y的最小值为．例4.已知函数在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．分析：由函数在[－1，1]上是增函数，建立不等关系．解：①当时，在[－1，1]上是增函数，②当时，对称轴方程为，ⅰ）当时，，解得；ⅱ）当时，，解得；．点评：由单调性求参数的范围，应注意分类讨论．【反馈演练】1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___.3.函数的单调递增区间为.4.函数的单调递减区间为．5．“a=1”是“函数在区间[1，+∞)上为增函数”的___充分不必要___条件．6．在下列四个函数中，①；②；③；④．满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的函数的序号有____①____．7．已知是上的减函数，那么的取值范围是．8．设函数的定义域为，有下列三个命题：①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的序号有___②③___．9. 若函数为R上的减函数，且的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式的解集为____________________.10.已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．解：设对于区间内的任意两个值，，且，则，，，得，，，即．11.设函数f(x)=－ax，其中a>0．证明：当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数．证明：在区间上任取x1、x2，使得x1<x2．则f(x1)－f(x2)=－a(x1－x2)= －a(x1－x2)=(x1－x2)( －a)．∵<1，且a≥1，∴－a<0，又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)> f(x2)．所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数．12.已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；（2）求函数＝＋(＞0)在区间上的最小值；（3）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（4）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．解：（1）函数＝＋（＞0）的最小值是，则，．（2）函数＝＋在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数当时，＝＋在上是减函数，则的最小值为；当时，＝＋在上是增函数，则的最小值为；当时，＝＋在上是减函数，在上时增函数，则的最小值为；综上所述，的最小值．（3）对于区间内的任意两个值，，且，则，当，则．所以，函数在区间上是单调减函数；当，则．所以，函数在区间上是单调增函数；综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．．又是偶函数，则函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．（4）可以把函数推广为＝＋（常数＞0），其中n为正整数．当n为奇数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数．当n为偶数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 了解函数的定义及其基本性质，理解函数的概念。
2. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的定义及表示方法2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的基本性质及其证明方法。
2. 利用例题，展示函数性质在实际问题中的应用。
3. 引导学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。
4. 利用信息技术辅助教学，提高教学效果。
五、教学过程1. 引入新课：通过复习初中阶段的知识，如一次函数、二次函数的性质，引出高中阶段函数的基本性质。
2. 讲解函数的定义及表示方法，让学生理解函数的概念。
3. 讲解函数的单调性，引导学生掌握单调性的证明方法，并通过例题展示单调性在实际问题中的应用。
4. 讲解函数的奇偶性，引导学生掌握奇偶性的证明方法，并通过例题展示奇偶性在实际问题中的应用。
5. 讲解函数的周期性，引导学生掌握周期性的证明方法，并通过例题展示周期性在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：布置有关函数基本性质的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
8. 布置作业：布置有关函数基本性质的作业，让学生进一步巩固所学知识。
9. 课后反思：根据学生的课堂表现和作业完成情况，对教学进行反思，为下一步教学做好准备。
10. 教学评价：通过课堂表现、作业完成情况和课后反馈，对学生的学习情况进行评价，为后续教学提供参考。
六、教学评价1. 学生能够准确地描述函数的基本性质，包括单调性、奇偶性和周期性。
2. 学生能够理解并应用函数的基本性质解决实际问题。
3. 学生能够通过实例展示对函数性质的理解，并能够进行简单的证明。
高中数学《函数的基本性质》教案3 新人教A版必修1
§1.3.1函数的单调性一、教学目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习 函数的紧迫感.二、教学重点与难点重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 三、学法与教学用具1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（一）创设情景，揭示课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
高考数学一轮复习 2.3 函数的性质精品教学案(教师版)新人教版
【考纲解读】1. 理解函数的单调性及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．会判断函数的单调性与奇偶性；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用. 4．理解函数的周期性与对称性.【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数的单调性与奇偶性是历年来高考必考内容之一,选择填空题、解答题中都可能出现,解答题一般以中、高档题的形式考查,常常与三角函数、不等式等知识相联系，以考查函数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的性质求解,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.增函数和减函数定义：如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数. 3．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.（4）导数法:若当[,]x a b ∈时，'()0f x >，则()f x 在[,]a b 上递增；若当[,]x a b ∈时，'()0f x <，则()f x 在[,]a b 上递减.（5）利用函数图象判断函数单调性.（6）复合函数[()]y f g x =的单调性判断：如果()y f u =和()u g x =单调性相同，那么[()]y f g x =是增函数；如果()y f u =和()u g x =单调性相反，那么[()]y f g x =是减函数.4．熟记以下几个结论: ()f x 与()f x 的单调性相同；（2）()f x -与()f x 的单调性相反；（3）1()f x 与()f x 的单调性相反. 5.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数. 6.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0；如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是非奇非偶函数;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是f(x)=0.7.奇偶函数的性质:(1)奇偶函数定义域关于原点对称.(2)奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称.(3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. 8.利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)下结论.9.周期函数的定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为周期函数，其中T 称为()f x 的周期.若T 中存在一个最小的正数,则称它为()f x 的最小正周期. 【例题精析】考点一 函数的单调性例1. （2012年高考辽宁卷文科8）函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ） （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）1. (2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>,所以定义域为1(,)2-+∞,由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞.考点二 函数的奇偶性例2. (2012年高考广东卷文科4) 下列函数为偶函数的是( ) A .y=sinx B. y=3x C. y=xe D. y=ln 21x +2. (2012年高考天津卷文科6)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )A.y=co s2x ，x ∈RB.y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0C.y=2x x e e y --=，x ∈R D.y=3x +1，x ∈R考点三 函数的周期性与对称性例 3.（2009年高考山东卷文科第12题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<,(80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、对称性，利用函数性质比较函数值的大小. 【变式训练】3. 如果函数f(x)=x 2+bx +c 对于任意实数t ，都有f (2－t )=f (2+t )，那么 ( ) A ．f (2)＜f (1)＜f (4) B ．f (1)＜f (2)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1)【易错专区】问题：求单调区间时,忽视定义域例. 函数()ln f x x x =的单调递减区间为 .1.(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科)下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是（ ）A ． 21x y = B ．x y cos = C ． x y ln = D ．xy 2=2．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ．1y x=-B ．13log y x =-C ．2xy =D ．3y x x =+【答案】D【解析】由奇函数,排除B 、C,而1y x=-在定义域内不是单调函数,故选D. 3. (山东省实验中学2012年3月高三第四次诊断)已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--，则(2012)f =( )A.2B.-2C.4D.04. （2009年高考广东卷A 文科第8题）函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x xxf x x e x ex e'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D.5.(北京市东城区2012年1月高三考试）对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题： ①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数；③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数．其中正确命题的序号是 ．（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②6．（2009年高考江苏卷第3题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.亦可填写闭区间或半开半闭区间. 【考题回放】1.(2012年高考陕西卷文科2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A 1y x =+ B 2y x =- C 1y x=D ||y x x =2．（2010年高考山东卷文科5）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（ ）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 (D)33.(2011年高考安徽卷文科11)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = . 【答案】－3【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.4.(2012年高考重庆卷文科12)函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数，则实数a = .5. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则3f 2（）=_______________。
高中数学人教版《函数的基本性质》教案2023版
高中数学人教版《函数的基本性质》教案2023版第一节：函数的定义与表示函数是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在数学中，我们将函数表示为f(x)，其中x表示自变量，而f(x)表示因变量。
1.1 函数的定义定义：给定两个非空集合A和B，如果对于集合A中的每一个元素x，都存在集合B中的一个唯一元素y与之对应，则称这种对应关系为函数。
符号表示：f: A → B，表示一个从集合A到集合B的函数。
其中，集合A称为定义域（domain），集合B称为值域（range）。
1.2 函数的表示方法函数可以使用多种方式来表示，包括：1. 显式表示：f(x) = 表达式。
2. 隐式表示：f(x, y) = 0。
3. 分段表示：f(x) = { 表达式1, x ∈ A; 表达式2, x ∈ B }。
第二节：函数的基本性质函数的基本性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，接下来我们将逐一介绍。
2.1 定义域与值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指函数的输出范围。
要确定一个函数的定义域和值域，需注意以下几点：1. 分式函数的定义域需要排除分母为0的情况。
2. 开方函数的定义域要使得根号内的值不小于0。
3. 对数函数的定义域需要保证对数的底大于0，且对数的型参大于0。
4. 指数函数的定义域常为全体实数。
2.2 单调性函数的单调性描述了函数值的变化趋势，分为单调递增和单调递减两种。
对于单调递增的函数，随着自变量的增大，函数值也随之增大。
对于单调递减的函数，随着自变量的增大，函数值则减小。
2.3 奇偶性函数根据奇偶性可以分为奇函数和偶函数。
奇函数满足：f(-x) = -f(x)，即关于原点对称。
偶函数满足：f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。
第三节：函数的图像与性质分析通过函数的图像可以更直观地了解函数的性质，以及方便进行分析。
3.1 根据函数式给出图像根据不同类型的函数式，我们可以得到其对应的图像特点：1. 一次函数：图像为一条直线，其中k为斜率，b为截距。
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普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座3）—函数的基本性质一．课标要求1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义； 二．命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。
预测2007年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
三．要点精讲 1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )； 4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
四．典例解析题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f xxx);0(||)()4(22≠-+-=a aa x x a x f 常数解：（1）函数定义域为R ，)(2211614161211161222116)(x f x f xx x x x xx x x x x =++=++•=++=++=----， ∴f (x )为偶函数；（另解）先化简：14414116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论： ①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n x x n x x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴< ③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数；（3）10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ， ∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数；（4）∵x 2≤a 2, ∴要分a >0与a <0两类讨论，①当a >0时，)],,0()0,[(||a a a a x ax a -⇒⎩⎨⎧≠+≤≤-函数的定义域为xx a x f a x 22)(,0||-=∴>+∴，∴当a >0时，f (x )为奇函数；,2,2,2)(,0||2122ax a x a x x a x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对)(,0,03353)2()2(x f a a f a f 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
例2．(2002天津文.16)设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。
必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）答案：②④；解析：y =（－x ）f ［（－x ）2］=－xf （x 2）=－y ；y =f （－x ）－f （x ）=－y 。
点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。
对学生逻辑思维能力有较高的要求。
题型二：奇偶性的应用 例3．（2002上海春，4）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。
答案：－1；解：因为x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）=－f （x ），设x ＜0，所以f （x ）=－f （－x ）=－f （1－x ），所以f （－2）=－lo g 33=－1。
点评：该题考察函数奇偶性的应用。
解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。
例4．已知定义在R 上的函数y = f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式。
解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]， ∵f (x )为偶函数，∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1,②若x ∈[－4，－2)， ∴4+ x ∈[0，2)，∵f (2+x )+ f (2－x )， ∴f (x )= f (4－x )，∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7；综上，.)02(12)24(72)(⎩⎨⎧≤<---≤=≤-+=x x x x x f点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。