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人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》培优试题与简答

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八年级下册第17章勾股定理培优试题(含答案)

八年级下册第17章勾股定理培优试题(含答案)

人教版数学八年级下册第17章勾股定理培优试题一．选择题（共10小题）1．在△ABC 中，∠B=90°,若BC=3,AC=5，则AB 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．342．如图，有一长方形空地ABCD,如果AB=6米，AD=8米，要从A 走到C ，至少要走（ ） A ．6米 B ．8米 C ．10米 D ．14米3．以下各组数为三角形的三边长，其中不能够构成直角三角形的是（ ）A ．32、42、52B ．7、24、25C ．0.3、0.4、0.5D ．9、12、154．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）（ ） A ．3 B ．5 C ．4.2 D ．45．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（ ） A ．8 B ．10 C ．15 D ．176．满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是（ ）A ．∠C=∠A+∠BB ．∠C=∠A-∠BC ．a ：b ：c=3：4：5D ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：57．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．13米8．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）A ．9,12,15B ．8,15,17C ．12,18,22D ．5,12,13 9．下列结论中，错误的有（ ）①在Rt △ABC 中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC 的三边长分别为AB,BC,AC,若BC 2+AC 2=AB 2,则∠A=90°;③在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：5：6，则△ABC 是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图,△ABC 中，AB=AC,AB=5,BC=8,AD 是∠BAC 的平分线，则AD 的长为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2二．填空题（共6小题）11．已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和2，则斜边长为 ．12．如图，在△ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠CAB,DE ⊥AB 于E ，且DE=15cm,BE=8cm,则 BC= cm ．13．平面直角坐标系上有点A(-3,4),则它到坐标原点的距离为 ．14．如图，分别以直角△ABC 的三边为直径作半圆，若两直角边分别为6,8,则阴影部分的面积是 ．15．定义：如图，点P 、Q 把线段AB 分割成线段AP 、PQ 和BQ ，若以AP 、PQ 、BQ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点．已知点P 、Q 是线段AB的勾股分割点，如果AP=8,PQ=12(PQ>BQ),那么BQ= ．16．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上,B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了米．三．解答题（共8小题）17．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1,A,B,C为格点（1）判断△ABC的形状，并说明理由．（2）求BC边上的高．18．已知：如图，在△ABC中，AB=13,AC=20,AD=12，且AD⊥BC,垂足为点D，求BC的长．19．我市鸭绿江边的景观区内有一块四边形空地，如图所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经技术人员测量∠ABC=90°,AB=20米，BC=15米，CD=7米，AD=24米．（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；（2）请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积．20．某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B=90°,AB=6m,BC=8m,CD=26m,AD=24m．求四边形ABCD空地的面积．21．在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,DB=1.8．（1）求CD的长；（2）求AB的长；(3)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．22．如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A ′D 为1.5米，求小巷有多宽．23．如图，长7.5m 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m ．（1）求梯子的顶端到地面的距离；（2）由于地面有水，梯子底部向右滑动1.5m,则梯子顶端向下滑多少米？24．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点P 1()x 1,y 1、P 2()x 2,y 2,其两点间的距离P 1P 2=()x 1-x 22+()y 1-y 22,同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为|x 2-x 1|或|y 2-y 1|．（1）已知A(2,4)、B(-3,-8),试求A、B两点间的距离;（2）已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为;（3）已知一个三角形各顶点坐标为D(1,6)、E(-2,2)、F(4,2),你能判定此三角形的形状吗？说明理由．答案：1-5 CCACD6-10 DDCCC11.12.3213.514.2415.416.0.817. 解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BC2=12+82=65，AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．（2）设BC边上的高为h．则有•AC•AB=•BC•h，∵AC=,AB=2,BC=∴h=18.解：∵AB=13，AC=20，AD=12，AD⊥BC，∴Rt△ABD中，BD===5，Rt△ACD中，CD===16，∴BC=BD+CD=5+16=21．19.解：（1）连接AC．在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC===25（米）．∴这个四边形对角线AC的长度为25米．（2）在△ADC中，∵CD=7，AD=24，AC=25，∴AD2+CD2=242+72=252=AC2，∴△ADC为直角三角形，∠ADC=90°，∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=×15×20+×7×24=234（平方米），∴四边形ABCD的面积为234平方米．20. 解：连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=62+82=102，∴AC=10．在△DAC中，CD2=262，AD2=242，而242+102=262，即AC2+AD2=CD2，∴∠DCA=90°，S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=•BC•AB+DC•AC，=×8×6+×24×10=144（m）2，答：四边形ABCD空地的面积是144m2．21.解：（1）∵CD是AB边上的高，∴△BDC是直角三角形，∴CD=＝＝2.4；（2）同（1）可知△ADC也是直角三角形，∴AD=＝＝3.2，∴AB=AD+BD=3.2+1.8=5；（3）△ABC是直角三角形，理由如下：又∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．22.解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+1.52=6.25，∴BD2=4．∵BD＞0，∴BD=2米．∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米．答：小巷的宽度CD为2.7米．23.解：（1）如图，在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2，∵AB=7.5m，BC=4.5m，∴AC==6（m），答：梯子的顶端到地面的距离为6m；（2）如图，∵BF=1.5m，∴CF=6m，∴EC==4.5（m），∴AE=1.5，答：梯子顶端向下滑1.5米．24.解：（1）AB==13，故答案为：13；（2）MN=4-（-1）=5；故答案为：5；（3）△ABC为等腰三角形．理由如下：∵DE=5，EF=4-（-2）=6，DF==5，∴DE=DF，∴△DEF为等腰三角形；。

人教版初中数学培优系列八年级下册之第17章勾股定理题目和详解(40题)

人教版初中数学培优系列八年级下册之第17章勾股定理题目和详解(40题)

人教版初中数学培优系列八年级下册之第17章勾股定理题目和详解（40题）重要说明：1、本资料系本人多年教学经验的总结，力求每一道题目代表一种题型或一种思维，力求穷尽本章所有相关知识的培优，内容主要立足于课程标准，少部分奥赛内容，掌握此培优系列内容则中考无忧，同时具备参加重点高中学校的自主招生考试的能力。

2、本资料仅供优生（百分制下得分80分以上学生）使用，其余学生不得使用，每道题目后面附有详细解答及点评，学生至少做两遍资料方能理解其中真谛和得到能力提升。

3、本资料主要根据人教版教材编写，其它版本的教材都是在国家同一个课程标准下编写的，只是编排顺序不同，因此该内容也适用于其它版本的教材的对应章节。

一．选择题（共9小题）1．一支长为13cm的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm、3cm、16cm的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子．A．13cm B．4cm C．12cm D．cm2．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B 到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt △ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个4．直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（）A．61 B．71 C．81 D．915．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．14S B．13S C．12S D．11S6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（）A．2πB．3πC．4πD．8π8．直角三角形一直角边长为12，另两边长均为自然数，则其周长为（）A．36 B．28 C．56 D．不能确定9．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25 C．10+5 D．35二．填空题（共11小题）10．如图，MN垂直平分线段AB，P是射线MN上的一个动点，连接PA，PB，过点P 作CD∥AB，点G在直线CD上，连接GA、GB，已知AB=4，若满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，则PM的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=．12．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．13．△ABC是等腰三角形，腰上的高为8cm，面积为40cm2，则该三角形的周长是cm．14．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．15．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为．16．如图所示的是一段楼梯，高BC=3m，斜边AB=5m，现计划在楼上铺地毯，至少需要地毯的长为m．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为．18．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则以第三边为边长的正方形面积为．19．如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为．20．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为cm2．三．解答题（共20小题）21．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=4km，在M处测得点C位于点M的北（结偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．果保留根号）22．王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．（1）请用a表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．23．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论；（2）写出当a=17时，b，c的值．3，4，5 32+42=525，12，13，52+122=1327，24，2572+242=2529，40，4192+402=412……17，b，c172+b2=c224．如图，已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，如此类推．（1）求AC、AD、AE的长．（2）写出第n个等腰直角三角形的斜边长AN．25．如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？26．在△ABC中，∠A=150°，AB=20m，AC=30m，求△ABC的面积．27．计算①；②如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．28．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a．BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′C的面积证明勾股定理．29．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．30．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M（作图并标注出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？31．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…用你的发现解决下列问题：（1）填空：112= + ；（2）请用含字母n （n 为正整数）的关系式表示出你发现的规律： ；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．32．如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由．（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ （供选用数据：≈1.4，≈1.7）33．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a 2+b 2=c 2证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF=EC=b ﹣a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =b 2+ab ．又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =c 2+a （b ﹣a ）∴b 2+ab=c 2+a （b ﹣a ）∴a 2+b 2=c 2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a 2+b 2=c 2．34．已知：如图，△ABC的面积为84，BC=21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a ＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB=10，①求线段DF的长；②连结AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．35．如图，AM是△ABC的中线，∠C=90°，MN⊥AB于N，求证：AN2﹣BN2=AC236．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值37．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的等腰直角三角形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；（3）如图3，点A、B、C是格点，求∠ABC的度数．38．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．②若PQ=，PR=，QR=3，直接．．写出六边形AQRDEF的面积为．39．如图1，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图3；“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用S n表示，求回答：（1）S0=，S1=，S2=，S3=；（2）S0+S1+S2+…+S10=．40．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以看到，要求AB或CD的长度，可以转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．例如：从坐标系中发现：D（﹣7，3），E（4，﹣3），所以DF=|5﹣（﹣3）|=8，EF=|4﹣（﹣7）|=11，所以由勾股定理可得：．（1）在图①中请用上面的方法求线段AB的长：AB=；（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2，y1，y2表示：AC=，BC=，AB=；（3）试用（2）中得出的结论解决如下题目：已知：A（2，1），B（4，3）；（此问涉及一次函数内容，未学勿做，学后再做）①直线AB与x轴交于点D，求线段BD的长；②C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为边的等腰三角形，请求出C点的坐标．人教版初中数学培优系列八年级下册之第17章勾股定理题目和详解（40题）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．【分析】依据题中条件构建直角三角形，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图：由题意可知FH=4cm、EF=3cm、CH=16cm．在Rt△EFH中，由勾股定理得EH===5cm，EL为筷子，即EL=13cm设HL=h，则在Rt△EHL中，HL===12cm．故选：C．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．【解答】解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM=A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE=2+3+4=9，AB=，∴BE==，∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5，∴A′B==8所以AM+NB的最小值为8．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．3．【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决．【解答】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选：D．【点评】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键．4．【分析】直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b，由他们的大小关系可知，直角边为a﹣b，a，则根据勾股定理可知：（a﹣b）2+a2=（a+b）2，解得a=4b．∴直角三角形的三边为3b、4b、5b，看给出的答案是不是3、4、5的倍数，如果是，就可能是边长．如果不是就一定不是．所以题中81能整除3，所以可能．【解答】解：由题可知：（a﹣b）2+a2=（a+b）2，解得：a=4b所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b．当b=27时，3b=81．故选：C．【点评】此题主要考查了直角三角形的三边的关系．但做此题时要用到排除法，所以学生对做题的技巧也要有所掌握．5．【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=13b2=13S，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．6．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．7．【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．【解答】解：∵S1=π（）2=πAC2，S2=πBC2，∴S1+S2=π（AC2+BC2）=πAB2=2π．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．8．【分析】设直角边长是x，斜边长是y，根据勾股定理可得到一个方程，通过方程的分析可求解．【解答】解：设直角边长是x，斜边长是y，y2﹣x2=122，（y﹣x）（y+x）=1×12×12．则有或或或；则另外两边可能是37，35或20，16或15，9或13，5．∴其周长为84或48或36或30，结合选项可得D选项正确．故选：D．【点评】本题综合考查了勾股定理与二元一次方程组，关键是根据勾股定理得到另外两条边的平方差，再进一步借助因式分解和因数分解的知识，得到关于两条边的方程组，从而求解．9．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB====25．（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB====5．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB===5；由于25＜5＜5，故选：B．【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．二．填空题（共11小题）10．【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，依据点G在直线CD 上，AB=4，△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，即可得到PM的长．【解答】解：如图所示，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，①当直线CD经过两弧的交点时，直线CD与两弧共有3个交点G1，G2，G3，此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，△OAB是等边三角形，∴PM==2；②当直线CD与两弧均相切时，直线CD与两弧、直线MN共有3个交点G1，G2，G3，此时满足△GAB是等腰三角形的点G有且只有3个，∴PM=AG1=AB=4，故答案为：4或2．【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解题时注意：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．11．【分析】过F作AM的垂线交AM于N，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．【解答】解：过F作AM的垂线交AM于N，则Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2=S Rt△ABC．由Rt△NFK≌Rt△CAT可得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3=S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3=S Rt△AQF=S Rt△ABC．∵Rt△ABC≌Rt△EBD，∴S4=S Rt△ABC∴S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=S Rt△ABC+S Rt△ABC+S Rt△ABC=S Rt△ABC×3=4×3÷2×3=18．故答案为：18．【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．12．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．【解答】解：如图1，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OB=4，又∵∠AOC=∠BOM=60°，∴△BOM是等边三角形，∴BM=BO=4，如图2，当∠AMB=90°时，∵O是AB的中点，AB=8，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM=90°时，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==4，综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4或4或4．故答案为：4或4或4．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线的综合应用，运用分类讨论以及数形结合思想是解答此题的关键．13．【分析】先根据三角形面积公式求出腰长，设AE=xcm，则BC=cm，BE=cm，在Rt △ACE中，根据勾股定理求出x，进一步得到BC，从而得到该三角形的周长，即可求解．【解答】解：腰长为40×2÷8=10（cm），如图1，等腰三角形顶角是锐角，如图2，等腰三角形顶角是钝角，设AE=x，则BC=，BE=，在Rt△ACE中，x2+（）2=102，解得x=±4（负值舍去）或x=±2（负值舍去），∴BC=4或8，∴该三角形的周长是（20+4）或（20+8）cm．故答案为：（20+4）或（20+8）．【点评】考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积，难点是根据勾股定理得到底边的长．14．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．15．【分析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB==2，故答案为：2．【点评】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关键．16．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由地毯的长=AC+BC即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC=3m，AB=5m，∴AC===4m，∴地毯的长=AC+BC=4+3=7m．故答案为：7．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解答此题的关键．17．【分析】根据勾股定理易求AB=10．根据折叠的性质有BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8﹣x，AC′=10﹣6=4．根据勾股定理可求x．在△BCD中，运用勾股定理求BD．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．根据折叠的性质，BC=BC′，CD=DC′，∠C=∠AC′D=90°．∴AC′=10﹣6=4．在△AC′D中，设DC′=x，则AD=8﹣x，根据勾股定理得（8﹣x）2=x2+42．解得x=3．∴CD=3．∴BD===3．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．18．【分析】分两种情况考虑：若4为直角边，利用勾股定理求出斜边；若4为斜边，利用勾股定理求出第三边，分别求出以第三边为边长的正方形面积即可．【解答】解：分两种情况考虑：若4为直角边，根据勾股定理得：斜边为=5，此时第三边为边长的正方形面积为25；若4为斜边，根据勾股定理得：第三边为=，此时第三边为边长的正方形面积为7，综上，以第三边为边长的正方形面积为25或7．故答案为：25或7【点评】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．19．【分析】先设正方形的边长为a，再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面积，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根据S阴影=S□ABCD﹣4S△AED+4S△AEL计算即可．【解答】解：设正方形的边长为a，则S□ABCD=a2，∵AE=BF=CG=DH=AB，∴AE=BF=CG=DH=a，∴AF==a，∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，∴S=×a•a=a2．△AED∵Rt△AED≌Rt△BFA，∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，∴∠ALE=∠DAE=90°，∴△AEL是直角三角形，∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，∴Rt△AEL∽Rt△AFB，∴==，即==，解得，AL=a ，EL=，∴S △AEL =AL•EL=×a ×=，同理可得，S △AEL =S △BNF =S △CKG =S △DHJ =，∴S 阴影=S 正方形ABCD ﹣4S △AED +4S △AEL =a 2﹣4S △AED +4S △AEL =a 2﹣4×a 2+4×=a 2， ∴阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为a 2：a 2=．【点评】本题涉及到直角三角形的判定定理、相似三角形的判定及性质、矩形及直角三角形的面积公式，比较复杂，涉及面较广，但难度适中．20．【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD ﹣CE=5，AD=AF=BC ，再根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD ﹣CE=5，AD=AF=BC ，由勾股定理得，CF=4，AF 2=AB 2+BF 2，即AD 2=82+（AD ﹣4）2，解得，AD=10，∴BF=6，图中阴影部分面积=S △ABF +S △CEF =30cm 2．【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．三．解答题（共20小题）21．【分析】（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C；（2）先判断出∠CMN=30°，∠CND=45°，再用三角函数得出MD=CD；ND=CD即可．【解答】解：（1）如图所示：∴点C就是所求作的点；（2）如下图，作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==CD；∵在Rt△CND中，=tan∠CNM，∴ND=CD；∵MN=4km，∴MN=MD+DN=CD+CD=4km，解得：CD=（2﹣2）km．∴点C到公路ME的距离为（2﹣2）km．【点评】此题是解直角三角形，主要考查了尺规作图中的角平分线和中垂线，锐角三角函数，解本题的关键是用锐角三角函数判断出ND=CD，MD=CD．22．【分析】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长．（2）本题需先求出三边的长，再根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围．（3）本题需先求出a的值，然后即可得出三角形的三边长．【解答】解：（1）∵第二条边长为2a+2，∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）=28﹣3a．（2）当a=7时，三边长分别为7，16，7，由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米，根据题意得：，解得：＜a＜．则a的取值范围是：＜a＜．（3）在（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6．当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13．由52+122=132知，恰好能构成直角三角形．当a=6时，三角形的三边长分别为6，14，10．由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形．综上所述，能围成满足条件的小圈是直角三角形形状，它们的三边长分别为5米，12米，13米．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时要能根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．23．【分析】（1）根据表格找出规律再证明其成立；（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可．【解答】解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．24．【分析】（1）根据勾股定理即可得出第1个等腰直角三角形的斜边长、第2个等腰直角三角形的斜边长、第3个等腰直角三角形的斜边长．（2）依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到第n个等腰直角三角形的斜边长．【解答】解：（1）根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是：，第2个等腰直角三角形的斜边长是：AD===2，第3个等腰直角三角形的斜边长是：．。

人教版本初中八年级下册的第17章勾股定理培优专题训练附答案

人教版本初中八年级下册的第17章勾股定理培优专题训练附答案

人教版八年级下册第17章勾股定理培优专题训练一．选择题（共11小题）1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．642．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30cm B．80cm C．90cm D．120cm3．以下各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）222B．C．9，41，40D．2，3，4A．3，4，54．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则以下结论正确的选项是（）A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c25．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．B．或C．D．56．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B．C．D．a2+b2＝2h27．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，此中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变为了右图，假如持续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中全部的正方形的面积和是（）A．2008B．2009C．2010D．19．我国是最早认识勾股定理的国家之一．下边四幅图中，不可以证明勾股定理的是（）A．B．C．D．10．如图，巷子左右双侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端地点保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则巷子的宽度为（）D．米A．米B．米C．2米11．如图，一个梯子AB长米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在DE的地点上，测得BD长为米，则梯子顶端A着落了（）米．A．B．1C．D．2二．填空题（共6小题）12．点P（﹣5，12）到原点的距离是．13．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延伸线于点F．若BD＝5，则EF2＝．14．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是．15．如下图的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，这块地的面积为．16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度起码为厘米．17．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在讲解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的表示图如图 2，此中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形，△ABF 、 △BCG 、△CDH 、△DAE 是四个全等的直角三角形．若 EF ＝2，DE ＝8，则 AB 的长为．三．解答题（共 7小题）18．如图，是一块四边形绿地的表示图，此中AB 长为24米，BC 长15米，CD 长为20米，DA 长7米，∠C ＝90°，求绿地ABCD 的面积．19．中国古代数学家们关于勾股定理的发现和证明， 在世界数学史上拥有独到的贡献和地位，表现了数学研究中的继承和发展．现用 4个全等的直角三角形拼成如下图“弦图” ．Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，若AC ＝b ，BC ＝a ，请你利用这个图形解决以下问题：（1）试说明a 2+b 2＝c 2；（2）假如大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b ）2的值．20．如，将Rt △ABC 其角点A 旋90°获得Rt △ADE ，接BE ，延DE 、BC 订交于点F ，有∠BFE ＝90°，且四形ACFD 是一个正方形．（1）判断△ABE 的形状，并明你的； （2）用含b 代数式表示四形 ABFE 的面； （3）求：a 2+b 2＝c 2．21．我学了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五” ．察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；⋯，些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有断． （1）你依据上述的律写出下一勾股数： ； （2）若第一个数用字母 n （n 奇数，且 n ≥3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分表示 和 ，用所学知明它是一勾股数．22．如，甲船以 16海里/的速度走开港口，向南航行，乙船在同同地向西南方向航 行，已知他走开港口一个半小后分抵达 B 、A 两点，且知 AB ＝30海里，乙船每小航行多少海里？23．如，花果山上有两只猴子在一棵 CD 上的点B ，且BC ＝5m ，它都要到 A 吃 西，此中一只猴子甲沿爬下走到离 10m 的池塘 A ，另一只猴子乙先爬到D 处后再沿缆绳DA线段滑到A 处．已知两只猴子所经过的行程相等，设BD为xm ．（1）请用含有 x 的整式表示线段AD 的长为m ；（2）求这棵树高有多少米？（ 24．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD ：AD ：CD ＝2：3：4，（ 1）试说明△ABC是等腰三角形；（ 2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点 N 从点A 出发以同样速度沿线段 AC 向点 终点时整个运动都停止．设点 M 运动的时间为 t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求 t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点 M 运动的过程中，△ MDE 能，求出 t 的值；若不可以，请说明原因．C 运动，当此中一点抵达可否成为等腰三角形？若参照答案一．选择题（共 11小题）1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A 所代表的正方形的面积为 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．64 【解答】解：∵正方形 PQED 的面积等于 225，∴即PQ 2＝225， ∵正方形 PRGF 的面积为 289， PR 2＝289， 又△PQR 为直角三角形，依据勾股定理得： PR 2＝PQ 2+QR 2，QR 2＝PR 2﹣PQ 2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR 的面积为64．应选：D ．2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm 2，则斜边长为（）A ．30cmB ．80cmC ．90cmD ．120cm【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为 acm ，bcm ，斜边为ccm ，依据勾股定理得： a 2+b 2＝c 2，22 2，∵a+b+c ＝18002c 2＝1800，即c 2＝900，则c ＝30cm ． 应选：A ．3．以下各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．32，42，52B ．C ．9，41，40D ．2，3，4【解答】解： A 、92+162≠252，故不是直角三角形，故不切合题意；B 、（ ）2+（ ）2≠（ ）2，故不是直角三角形，故不切合题意；C 、92+402＝412，故是直角三角形，故切合题意；2 2 2D 、2+3 ≠4，故不是直角三角形，故不切合题意．应选：C ．4．如图：a ，b ，c 表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则以下结论正确的选项是（ ）A ．a 2+b 2＝c 2B ．ab ＝cC ．a+b ＝cD ．a+b ＝c 2【解答】解：∵ a 、b 、c 表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，a ＝AC 2，b ＝BC 2，c ＝AB 2．又∵在直角△ ABC 中，AC 2+BC 2＝AB 2． a+b ＝c ． 应选：C ．5．△ABC中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，点P 是BC边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC于点E ，则PD+PE的长是（）A ．B ．或C ．D ．5∴ 【解答】解：过A 点作AF ⊥BC 于F ，连结AP ，∴ ∵△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8， ∴ BF ＝4，∴△ABF中，AF＝∴×8×3＝×5×PD+＝3，×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝．应选：A．6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h 2B．C．D．a 2+b2＝2h2【解答】解：∵ab＝ch∴h＝∴＝∴＝＝＝．应选C．7．在△ABC中，若a＝n 2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【解答】解：∵（22222 n﹣1）+（2n）＝（n+1），∴三角形为直角三角形，应选：D．8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，此中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变为了右图，假如持续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中全部的正方形的面积和是（）A．2008B．2009C．2010D．1【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．依据勾股定理，得a 2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．推而广之，“生长”了2009次后形成的图形中全部的正方形的面积和是2010×1＝2010．应选：C．9．我国是最早认识勾股定理的国家之一．下边四幅图中，不可以证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵+c 2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a 2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不切合题意；B、∵4×22+c＝（a+b），222∴整理得：a+b＝c，即能证明勾股定理，故本选项不切合题意；C 、∵4× +（b ﹣a ）2＝c 2，∴整理得：a 2+b 2＝c 2，即能证明勾股定理，故本选项不切合题意； 、依据图形不可以证明勾股定理，故本选项切合题意；应选：D ．10．如图，巷子左右双侧是竖直的墙壁， 一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面 米．若梯子底端地点保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则巷子的宽度为（ ）A ．米B ．米C ．2米D ．米【解答】解：由题意可得： AD 2＝22＝， 在Rt △ABC 中，222∵∠ABC ＝90°，BC ＝米，BC+AB ＝AC ，AB 22＝， AB ＝±2， AB ＞0，∴AB ＝2米，∴巷子的宽度为0.7+2＝（米）．应选：A ．11．如图，一个梯子 AB 长米，顶端 A 靠在墙AC 上，这时梯子下端 B 与墙角C 距离为米，梯子滑动后停在DE的地点上，测得BD长为米，则梯子顶端 A 着落了（）米．A ．B ．1C ．D ．2【解答】解：在Rt △ABC 中，AB ＝米，BC ＝米，故AC ＝＝2米，在Rt △ECD 中，AB ＝DE ＝米，CD ＝（）米，故EC ＝＝＝米，故AE ＝AC ﹣CE ＝2﹣＝米．应选：A ．二．填空题（共6小题）12．点P （﹣5，12）到原点的距离是13．【解答】解：∵点P （﹣5，12），∴点P 到原点的距离＝＝13．故答案为：13．13．如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且DE ∥AC ，过点E 作EF ⊥DE ，交CB 的延伸线于点F ．若BD ＝5，则EF 2＝75．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠C ＝60°， DE ∥AC ，∴∠EDB ＝∠C ＝60°， EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°，∴∠F ＝90°﹣∠EDB ＝30°，∵∠ABC ＝60°，∠EDB ＝60°， ∴△EDB 是等边三角形． ED ＝BD ＝5，∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°， DF ＝2DE ＝10， EF 2＝DF 2﹣DE 2＝75． 故答案为：75．14．已知：如图，四边形ABDC ，AB ＝4，AC ＝3，CD ＝12，BD ＝13，∠BAC ＝90°．则四边形ABDC 的面积是36．【解答】解：连结BC ，∵∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3 ∴BC ＝5，∵BC ＝5，BD ＝13，CD ＝12∴BC 2+CD 2＝BD 2∴△BCD 是直角三角形∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABC ＝ ×4×3+×5×12＝36，故答案为：3615．如下图的一块地，已知 AD ＝4米，CD ＝3米，∠ADC ＝90°，AB ＝13米，BC ＝12米，这块地的面积为24m 2．【解答】解：如图，连结 AC 由勾股定理可知AC ＝ ＝ ＝5，又AC 2+BC 2＝52+122＝132＝AB 2 故三角形 ABC 是直角三角形故所求面积＝△ABC 的面积﹣△ACD 的面积＝＝24（m 2）．16．如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为则筷子露在杯子外面的长度起码为2 厘米．6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，【解答】解：如下图，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10cm ，∴筷子露在杯子外面的长度起码为 12﹣10＝2cm ， 故答案为 2．17．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在讲解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的表示图如图△BCG、△CDH、△DAE 2，此中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为10．【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2BF＝BG﹣BF＝6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．故答案是：10．三．解答题（共7小题）18．如图，是一块四边形绿地的表示图，此中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C＝90°，求绿地ABCD的面积．【解答】解：连结BD．如下图：∵∠C＝90°，BC＝15米，CD＝20米，∴BD＝＝＝25（米）；在△ABD中，∵BD＝25米，AB＝24米，DA＝7米，222222，24+7＝25，即AB+DA＝BD∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCDAB?AD+BC?CD×24×7+×15×2084+150234（平方米）；即绿地ABCD 的面积为234平方米．19．中国古代数学家们关于勾股定理的发现和证明， 在世界数学史上拥有独到的贡献和地位， 表现了数学研究中的继承和发展．现用 4个全等的直角三角形拼成如下图“弦图” ．Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，若AC ＝b ，BC ＝a ，请你利用这个图形解决以下问题： （1）试说明a 2+b 2＝c 2； （2）假如大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b ）2的值．【解答】解：（1）∵大正方形面积为 c 2，直角三角形面积为 ab ，小正方形面积为（ b ﹣a ）2， c 2＝4×ab+（a ﹣b ）2＝2ab+a 2﹣2ab+b 2即c 2＝a 2+b 2．；（2）由图可知，（b ﹣a ）2＝2，4×ab ＝10﹣2＝8，2ab ＝8，∴（a+b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝2+2×8＝18． 20．如图，将 Rt △ABC 绕其锐角极点 A 旋转90°获得Rt △ADE ，连结BE ，延伸DE 、BC订交于点 F ，则有∠BFE ＝90°，且四边形 ACFD 是一个正方形．（1）判断△ABE 的形状，并明你的；（2）用含b 代数式表示四形 ABFE 的面； （3）求：a 2+b 2＝c 2．【解答】（1）△ABE 是等腰直角三角形，明：∵Rt △ABC 其角点 A 旋90°获得在 Rt △ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAE ＝∠BAC+∠CAE ＝∠CAE+∠DAE ＝90°， 又∵AB ＝AE ，∴△ABE 是等腰直角三角形；2）∵四形ABFE 的面等于正方形ACFD 面，∴四形ABFE 的面等于：b 2．3）∵S 正方形ACFD ＝S △BAE +S △BFE即：b2＝ c2+ （b+a ）（b a ）， 整理：2b 2＝c 2+（b+a ）（b a ） a 2+b 2＝c 2．21．我学了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五” ．察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；⋯，些勾股数的勾都是奇数，且从 3起就没有断．（1）你依据上述的律写出下一勾股数： 11，60，61 ；（2）若第一个数用字母 n （n 奇数，且 n ≥3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分表示 和 ，用所学知明它是一勾股数．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数构成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．22．如图，甲船以16海里/时的速度走开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们走开港口一个半小时后分别抵达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，AO⊥BO，∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，OB＝16×＝24海里，AB＝30海里，∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝18，∴乙轮船每小时航行18÷＝12海里．23．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，此中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的行程相等，设BD为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为15﹣x m；（2）求这棵树高有多少米？【解答】解：（1）设BD 为x 米，且存在 BD+DA ＝BC+CA ， 即BD+DA ＝15，DA ＝15﹣x ， 故答案为：15﹣x ； （2）∵∠C ＝90°22 2∴AD ＝AC+DC∴（15﹣x ）2＝（x+5）2+102x ＝CD ＝＝答：树高 米；24．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD ：AD ：CD ＝2：3：4， 1）试说明△ABC 是等腰三角形； 2）已知S △ABC ＝40cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向 点A 运动，同时动点 N 从点A 出发以同样速度沿线段 AC 向点C 运动，当此中一点抵达 终点时整个运动都停止．设点 M 运动的时间为 t （秒），①若△DMN 的边与BC 平行，求 t 的值；②若点E 是边AC 的中点，问在点 M 运动的过程中，△ MDE 可否成为等腰三角形？若 能，求出 t 的值；若不可以，请说明原因．【解答】（1）证明：设 BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm 2，而x＞0，x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，∴DE＝AC＝5，当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．假如DE＝DM，则t﹣4＝5，∴t＝9；假如ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；假如MD＝ME＝t﹣4，过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：∵ED＝EA，∴DF＝AF＝AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；∵BM＝t，BF＝7，∴FM＝t﹣7则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，∴t＝．综上所述，切合要求的t值为9或10或．。

人教版 八年级数学下册 第17章 勾股定理 培优练习(含答案)

人教版 八年级数学下册 第17章 勾股定理 培优练习(含答案)

人教版 八年级下册 第17章 勾股定理 培优练习（含答案）一、单选题（共有6道小题）1.下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）．A ．1，2，3B ．4，5，6C ．12，13，14D ．9，40，412.下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组3.如图，长方形ABC D 中，A B ＝3，BC ＝1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线A C 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 表示的数是（ ）A :2B :5-1C :10-1 D:54.如图，在矩形ABCD 中，AB =8 ，BC=16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为 ( )A ．6B ．12C ．25D ．455.如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为34,且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（ ）A.1B.3C.2D.326.在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，且AC ＝1．过点C 作直线l ∥AB ，P 为直线l 上一点，且–1–212MB AC 0D'E F D B CA 60°E H G FD A B CAP ＝AB ．则点P 到BC 所在直线的距离是（ ）A ．1B ．1或132-+C ．1或132+D ．132-+或132+ 二、填空题（共有9道小题）7.如图，图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 。

8.如图所示,数轴上表示1，3的点为A ，B ，且C ，B 两点到点A 的距离相等,则点C 所表示的数是 ( )A.32-B.23-C.13-D.31-9.观察以下几组勾股数,并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25； ④9，40，41，…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .10.如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 正好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分面积为_______．11.如图，矩形ABCD 中，8,AB =点E 是AD 上的一点，有4,AE =BE 的垂直平分线交BC 的延长线与点,F 连结EF 交CD 于点,G 若G 是CD 的中点，则BC 的长是________. 916A12BA 0C E DA E FD B C A12.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，若点P 在AD 边上，连接BP 、PC ，△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为_______．13.图①所示的正方形木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm ．14.一只蚂蚁从长、宽都是30cm ，高是80cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B点，它所行的最短路线长度为 ． 15.观察以下几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41. 请寻找规律，写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第n 组勾股数是 ．三、解答题（共有5道小题）16.如图所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为A （3，1），B （2，4），请猜想△OAB 是什么样的三角形，并证明。

人教版初2数学8年级下册 第17章(勾股定理)常考题型优生辅导训练(附答案)

人教版初2数学8年级下册 第17章(勾股定理)常考题型优生辅导训练(附答案)

人教版八年级数学下册第17章勾股定理常考题型优生辅导训练（附答案）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法错误的是（ ）A ．如果∠C ﹣∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果c 2＝b 2﹣a 2，则△ABC 是直角三角形C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形D ．如果a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）A ．1.5B ．2.4C ．2.5D ．3.53．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 在AB 上，AD ＝AC ，AF ⊥CD 交CD 于点E ，交CB 于点F ，则CF 的长是（ ）A ．1.5B ．1.8C ．2D ．2.54．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为（ ）A ．1B ．C ．D ．5．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．32，42，52B ．C ．9，41，40D ．2，3，46．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．A．0.5B．1C．1.5D．27．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC 能作出（ ）A．2个B．3个C．4个D．6个8．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（ ）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm9．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝ °．10．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm 的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 ．11．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的长度为 m．12．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝ ．13．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是 ．14．附加题：已知等腰三角形腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形面积为 ．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为 ．17．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 ．18．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为 ．19．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为 ．20．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为 ．21．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，这棵大树在折断前的高度为 米．22．已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE时等腰三角形时，求a的值．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）24．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的周长25．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：（1）在网格中画出长为的线段AB．（2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF．26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．27．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．28．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t 秒．（1）当∠AMO＝∠AOM时，求t的值；（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．2．解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝＝2.4．故选：B．3．解：连接DF，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，∴CF＝DF，在△ADF和△ACF中，，∴△ADF≌△ACF（SSS），∴∠ADF＝∠ACF＝90°，∴∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，即x2+22＝（4﹣x）2，解得：x＝1.5；∴CF＝1.5；故选：A．4．解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，∴∠C＝90°，过D作DP⊥AP于P，∵AD平分∠BAC，∴PD＝CD，∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•PD，∴4×3＝4CD+5CD，∴CD＝．故选：D．5．解：A、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、92+402＝412，故是直角三角形，故符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选：C．6．解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．7．解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个；当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选：D．8．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．9．解：连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．10．解：∵CD＝5，AD＝12，∴AC＝＝13cm，露出杯口外的长度为＝14﹣13＝1cm．故答案为：1cm．11．解：设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即绳子的长度为17m．故答案为：17．12．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝BD＝5，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝10，∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．故答案为：75．13．解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边长的平方为：42﹣32＝7；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：42+32＝25．综上，第三边的长为：25或7．故答案为：25或7．14．解：①当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+22＝40；②当等腰三角形的顶角为钝角时，如图，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，CD＝AC+AD＝10+8＝18，在Rt△BDC中，BC2＝BD2+CD2＝62+182＝360；综上所知，以底边为边长的正方形面积为40，360．故填40，360．15．解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．故答案是：96m216．解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠BAC＝45°．故答案为：45°．17．解：根据勾股定理，AB＝＝，BC＝＝2，AC＝＝3，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD＝AB＝×＝．故答案为：．18．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形B，C，D的面积依次为4，3，9∴S正方形A+4＝9﹣3，∴S正方形A＝2故答案为2．19．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，4×ab＝42﹣5＝37，∴2ab＝37，（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．故答案为79．20．解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；在Rt△ACD中，CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．故答案为：32或42．21．解：如图所示：∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m，∴BC＝＝＝5m，∴大树的高度＝AB+AC＝3+5＝8m．故答案为：8．22．解：（1）作AM⊥BC于M，∵△ABC的面积为84，∴×BC×AM＝84，解得，AM＝8，即BC边上的高为8；（2）①在Rt△ABM中，BM＝＝6，∴CM＝BC﹣BM＝15，在Rt△ACM中，AC＝＝17，由平移的性质可知，DF＝AC＝17；②当AB＝BE＝10时，a＝BE＝10；当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，则a＝BE＝12；当EA＝EB＝a时，ME＝a﹣6，在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，即82+（a﹣6）2＝a2，解得，a＝，则当△ABE时等腰三角形时，a的值为10或12或．23．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．24．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2∴△BDC为直角三角形；（2）解：设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝，∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．25．解：（1）如图所示：线段AB即为所求；（2）△DEF即为所求．26．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t＝，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝BC＝，∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32＝×5，解得：t＝，∴当时，△BCP为等腰三角形．27．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．28．（1）∵AC＝8，BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，∵O为AB中点，∴AO＝AB＝5，∵AO＝AM，∴AM＝5，∴CM＝3，∴t＝3；（2）①当CO＝CM时，CM＝5，∴t＝5②当MC＝MO时，t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝；③当CO＝OM时，M与A点重合，∴t＝8．综上所述，当△COM是等腰三角形时，t的值为5或或8．。

八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版(含答案)

八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版(含答案)

八年级数学下册第十七章《勾股定理》测试题-人教版（含答案）一、单选题(共30分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是()A3,4,5B．2,3C．6,7,8D．2,3,42．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m3．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和4．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于于12点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（）A ．2B ．103C ．158D ．1525．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．()22610x x =--B ．()222610x x =-- C ．()22610x x +=- D ．()222610x x +=- 6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）A ．5B ．25C 7D ．577．如图所示，圆柱的高AB =3，底面直径BC =3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．31π+B ．32C 234π+D ．231π+8．在Rt △ABC 中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．10 D ．13 9．如图，矩形ABCD 中，AB 3=，BC 4=，EB//DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是( )A 7B ．38C ．78D ．5810．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，则点C 到 AB 的距离是（ ）A ．94B ．1225C ．365D 33二、填空题(共30分)11．在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，当a 、b 、c 满足_______时，△B =90°． 12．如图，等腰直角ABC 中，90,4ACB AC BC ∠=︒==，D 为BC 的中点，5AD =，若P 为AB 上一个动点，则PC PD +的最小值为_________．13．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，现将ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD =__________．14．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，几分钟后船到达点D 的位置，此时绳子CD 的长为10米，问船向岸边移动了__米．15．已知：如图，ABC 中，△ACB =90°，AC =BC 2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．16．如图，在四边形ABCD 中，22AD =27AB =10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．17．如图，“以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以数轴的原点O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”，该图说明数轴上的点并不都表示________．18．在Rt△ACB中，△ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．19．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．20．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．三、解答题(共60分)21．如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长．22．一架云梯长25m ，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C 离墙7m ．（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?23．如图，把一块直角三角形（ABC ，90ACB ∠=︒）土地划出一个三角形（ADC ）后，测得3CD =米，4=AD 米，12BC =米，13AB =米．（1）求证：90ADC ∠=︒；（2）求图中阴影部分土地的面积．24．如图，在四边形ABCD 中，AB=20cm ，BC=15cm ，CD=7cm ，AD=24cm ，△ABC=90°．（1）求△ADC 的度数；（2）求出四边形ABCD 的面积．25．如图，在△ABC 和△DEB 中，AC △BE ，△C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =． （1）求证：△ABC △△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．26．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD△CD，AE△BD于点E，且△ABE△△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．27．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．（2）C岛在A港的什么方向？参考答案1．B2．C3．C4．C5．D6．D7．C8．D9．C10．C11．a2+c2= b212．513．5 214．9．1531 16．14 17．有理数18．15 719．0.820．x2−（x−3）2＝8221．EF的长为15 222．（1）这个梯子的顶端A距地面有24m高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了8m．23．2424．（1）△ADC=90°；（2）四边形ABCD的面积为2234cm252527．（1）从C岛返回A港所需的时间为3小时；（2）C岛在A港的北偏西42°。

新人教版八年级下数学第十七章勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-

新人教版八年级下数学第十七章勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-

新人教版八年级下第十七章勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)一．选择题（共8小题）1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．2．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c23．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．48．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169二．填空题（共5小题）9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．10．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为米．11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于．12．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是（只填数，不填等式）13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=，c=．三．解答题（共27小题）14．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．15．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．16．如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．17．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．18．如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？19．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC 边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．20．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为．（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是m2．21．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n ＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．22．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？23．（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S 的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．24．如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，﹣a）（a、b均大于0）；（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．25．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？26．（1）先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．（2）已知，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：①从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=；②画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．27．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c 的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜，其证明步骤如下：∵BC=a+b，AD=又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即∴．28．观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．29．超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）30．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．31．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m 2 3 3 4…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b4 6 1224 …c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=，b=，c=．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．32．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．33．阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）理解：①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？（填是或不是）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（是或不是）奇异三角形．（2）探究：若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的长为，且这个直角三角形的三边之比为（从小到大排列，不得含有分母）．（3）设问：请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答）34．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…用你的发现解决下列问题：（1）填空：112=+ ；（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．35．小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工．过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量∠ABD=130°，∠D=40°，BD=1000米，CD=800米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？36．如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB=90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积．37．如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．38．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B 处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．39．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．40．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．3．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．如图，带阴影的正方形面积是．5．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=．6．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2016秋•吴江区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边==13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．（2016春•抚顺县期中）下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选C．【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．3．（2016春•临沭县期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．【解答】解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故AB===195cm．故选A．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．4．（2015春•青山区期中）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5．（2016春•南陵县期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB===，∴OA=OB=，∴a=﹣1﹣．故选A．【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．6．（2015春•蓟县期中）一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C 的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=2.5m，BC=0.7m，∴AC===2.4（m）．∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴A′C=2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5m，A′C=2m，∴B′C==1.5m，∴BB′=B′C﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m．故选C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．7．（2015春•罗田县期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．4【分析】根据勾股定理求出AB的长即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB==13，又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，∴AM=12，BN=5，∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4．故选D．【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．8．（2016春•重庆校级期中）如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2的值．【解答】解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．故选C．【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．二．填空题（共5小题）9．（2016春•固始县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是7cm≤h≤16cm．【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h=24﹣8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17，∴此时h=24﹣17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．故答案为：7cm≤h≤16cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键．10．（2015春•汕头校级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（1+）米．【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意得：在直角△ABC中，AC2+AB2=BC2，则12+22=BC2，∴BC=，∴则树高为：（1+）m．故答案为：（1+）．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．11．（2016春•高安市期中）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于24cm2．【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，∴196﹣2ab=100，即ab=48，则Rt△ABC的面积为ab=24（cm2）．故答案为：24cm2．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．（2016春•嘉祥县期中）观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．13．（2009春•武昌区期中）观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=84，c=85．【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．【解答】解：在32=4+5中，4=，5=；在52=12+13中，12=，13=；…则在13、b、c中，b==84，c==85．【点评】认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．三．解答题（共27小题）14．（2016春•黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．（2016秋•永登县期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【解答】解：（1）连接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；（2）∵∠DAC=90°，AB ⊥CB 于B ，∴S △ABC =，S △DAC =，∵AB=CB=，DA=1，AC=2， ∴S △ABC =1，S △DAC =1而S 四边形ABCD =S △ABC +S △DAC ，∴S 四边形ABCD =2．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD 是直角三角形是解题的关键．16．（2016春•邹城市校级期中）如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．【分析】直接利用网格结合勾股定理求出答案．【解答】解：如图所示：△ABC 即为所求．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格求出是解题关键．17．（2015春•平南县期中）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．【分析】根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．【解答】解：∵AD∥BE∴∠ABE=∠DAB=60°∵∠CBE=30°∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠CBE=180°﹣60°﹣30°=90°，在Rt△ABC中，∴==200，∴A、C两点之间的距离为200km．【点评】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出∠DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上．18．（2015秋•新泰市期中）如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？【分析】（1）过A作AE⊥BD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果；（2）根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果．【解答】解：（1）过A作AE⊥BD于E，如图1所示：∵台风中心在BD上移动，∴AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离，在Rt△ABE中，∠ABE=90°﹣60°=30°，∴AE=AB=160，即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160km．（2）∵台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响，∴线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，连接AC，如图2所示：在Rt△ACE中，AC=200km，AE=160km，∴CE==120km，∵AC=AD，AE⊥CD，∴CE=ED=120km，∴CD=240km．∴台风影响气象台的时间会持续240÷20=12（小时）．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题（2）的关键．19．（2015春•阳东县期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．。

人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案(全优)

人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案(全优)

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列数据中，哪一组不是勾股数( )A.7，24，25B.9，40，41C.3，4，5D.8，15，192、如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A.2B.2C.2D.43、如图，在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点都分别在半径OP、OM及⊙O上，且∠POM=45º，则AB=（）A.2B.C.D.4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2 ，BD＝，则AB的长为( )A.2B.3C.4D.55、《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A. B. C.D.6、如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为（）A. B. C. D.7、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A.7，24，25B. ，4，5C. ，1，D.40，50，608、直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）.A.34B.26C.6.5D.8.59、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝BC．边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁＝AB，点B₁所表示的数是（）A.﹣2B.﹣2C.2 ﹣1D.1﹣210、如图，小江同学把三角尺含有60°角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺(含有45°角)的孔洞中。

已知孔洞的最长边为2cm，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )A. cm 2B. cm 2C.2 cm 2D.(2+ )cm 211、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3 ，点E在AB上，= ，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（）A.4B.2C.2 -2D.2 -412、如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝6，AE⊥BC于E，则AE等于( )A.4B.C.D.513、三角形的三边长分别为6，8，10，那么最长边上的高为（）A.4．8B.5C.6D.814、已知△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A.∠A＝∠C－∠BB.a 2＝b 2－c 2C.a:b:c＝2:3:4D.a＝，b＝，c＝115、如图所示，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点，分别在和上.下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中结论正确的序号是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2017个三角形的面积为________.17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA= ，点D是斜边AB上的动点且不与A，B重合，连接CD，点B'与点B关于直线CD对称，连接B'D，当B'D垂直于Rt△ABC的直角边时，BD的长为________．18、如图所示，直线 y=x+2 与两坐标轴分别交于 A、B 两点，点 C 是 OB 的中点，D、E 分别是直线 AB、y 轴上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．19、如图， Rt△ABC的两直角边 AC = 8cm ， BC = 6cm ， D 为 AC 上一点，将△ABC 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则CD 的长为________cm.20、如图，在长方形 ABCD中，点E为长方形ABCD的边AD上一点，若AE=2，S=6，将长方形ABCD沿BE折叠，使点A落在EC上的点F处，则BCE的面ABE积是 ________．21、如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，则点的坐标为________．22、在Rt中，∠A=90°，AC=4，，将沿着斜边BC翻折，点A落在点处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交所在直线于点F，联结，如果为直角三角形时，那么________23、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是________．24、如图，射线PB，PD分别交⊙O于点A，B和点C，D，且AB=CD=8。

人教版八年级数学下册 第17章《勾股定理》培优试题

人教版八年级数学下册 第17章《勾股定理》培优试题

第17章《勾股定理》培优试题一．选择题1．一个直角三角形的直角边是24，斜边是25，则斜边上的高为（）A．7 B．C．168 D．252．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A．3 B．4 C．15 D．7.23．如图．在Rt△ARC中，∠ABC＝90°，以Rt△ARC的三条边分别向外作等边三角形，其面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3的关系是（）A．S2+S3＝S1B．S2+S3＞S1C．S2+S3＜S1D．S22+S32＝S124．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．6．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A ．B ．C ．D ．7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A ．4B ．16C ．D ．4或8．设a 、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（ ） A ．1.5B ．2C ．2.5D ．39．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A ．4，5，6B ．1，1，C ．6，8，11D ．5，12，2310．给出下列长度的四组线段：①1，，；②3，4，5；③6，7，8；④a ﹣1，a +1，4a （a ＞1）．其中能构成直角三角形的有 （ ） A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．①②④11．下列各组数中是勾股数的是（ ） A ．4，5，6 B ．0.3，0.4，0.5C ．1，2，3D ．5，12，1312．如图，在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）A ．13mB ．17mC ．18mD ．25m13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC ＝4，BC ＝2时，则阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．4πC ．8πD ．814．由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a ＝3，b ＝4，c ＝5 B ．a ＝12，b ＝13，c ＝5C ．a ＝15，b ＝8，c ＝17D ．a ＝13，b ＝14，c ＝1515．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2 16．如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4 B．2C．7 D．817．在平面直角坐标系中，已知定点A（﹣，3）和动点P（a，a），则PA的最小值为（）A．2B．4 C．2D．418．如图，△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝1O，BC＝6，则AC＝，若CD ⊥AB，则CD＝．⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，20．如图，OP＝1，过P作PP得OP＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP＝．201221．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝．22．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动米．23．某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为米．24．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．三．解答题25．阅读材料并解答问题：我们已经知道，如图①完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．（1）如图②是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，请根据图中意思写出所表示的代数恒等式：；（2）如图③已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b，斜边为c，现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD，且四边形EFGH也为正方形，请利用面积法推恒等式方法，推出直角三角形三边a、b、c的关系．（3）应用（2）中结论：已知直角三角形ABC中，a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，其中直角边为a、b，斜边为c，求三角形斜边c．26．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．（2）推算出OA10的长．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．27．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h、h2．1（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；28．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，设EF＝x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S＝c（c+x）你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．△ABD29．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，E为AB上一点，AE ＝4，ED＝5，求CD的长．30．如图，梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m，梯子的底端B 距离墙角C为6m．（1）求梯子AB的长；（2）当梯子的顶端A下滑2m到点A′时，底端B向外滑动到点B′，求BB′的长．参考答案一．选择题1．解：设斜边上的高h，由勾股定理得，直角三角形的另一条直角边＝＝7，则×24×7＝×25×h，解得，h＝，故选：B．2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝12，AC＝9，∴AB＝＝15，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h，∴h＝＝7.2，故选：D．3．解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据勾股定理得：c2＝a2+b2，∵S1＝c2，S2＝a2，S3＝b2，∴S1＝S2+S3，即S2+S3＝S1．故选：A．4．解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝，此时这个三角形的周长＝3+4+，故选：C．5．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．6．解：如图所示：S＝×BC×AE＝×BD×AC，△ABC∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．7．解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；当5是斜边长时，第三边长为：＝4．故选：D．8．解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5＝6，∴a+b＝3.5，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2＝2.52，②由②得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2.52∴3.52﹣2ab＝2.52ab＝3，故选：D．9．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．10．解：∵①12+2＝2，故能构成直角三角形；②42+32＝52，故能构成直角三角形；③62+72≠82，故不能构成直角三角形；④（a﹣1）2+（a+1）2≠（4a）2，故不能构成直角三角形．∴能构成直角三角形的是①②．故选：C．11．解：A、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；D、∵52+122＝132，∴这组数是勾股数．故选：D．12．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17米．故选：B．13．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）＝4，故选：A．14．解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．15．解：∵a+b＝14∴（a+b）2＝196∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96∴ab＝24．故选：A．16．解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN＝4，NE＝MN＝3，根据勾股定理得：PE＝＝5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE＝MN＝3，则AP的最大值为AE+EP＝5+3＝8．故选：D．17．解：PA＝＝＝，∴PA的最小值为＝4，故选：B．18．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝BC＝4，AD⊥BC，由勾股定理得，AD＝＝3，故选：C．二．填空题（共6小题）19．解：∵∠ACB＝90°，AB＝1O，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即×10•CD＝×8×6，解得CD＝4.8．故答案为：8，4.8．＝＝，20．解：由勾股定理得：OP∵OP＝；得OP2＝；＝，依此类推可得OP＝，∴OP故答案为：．21．解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△AEF中，EF＝＝，故正方形EFGH的面积＝×＝10．故答案为：10．22．解：由题意可知梯子的长是不变的，由云梯长10米，梯子顶端离地面6米，可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．当梯子顶端离地面8米时，梯子的底部距墙为6米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8﹣6＝2（米）．23．解：过点C作CO⊥AB，垂足为O，∵BD＝900，∴OC＝900，∵∠EAC＝30°，∴∠ACO＝30°．在Rt△AOC中，∵AC＝2OA，设OA＝x，则AC＝2x，（2x）2﹣x2＝OC2＝9002，∴x2＝270000，∴x＝300∴AC＝600米．故答案为600．24．解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52＝（x+1）2，解得x＝12m．三．解答题（共6小题）25．解：（1）因为长方形面积＝（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为＝2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；（2）因为正方形的面积＝c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，所以直角三角形的三边关系为：a2+b2＝c2．（3）∵a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，∴a+b＝14，∴a＝8，b＝6，∴c2＝82+62＝100，∵c＞0，∴c＝10．26．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA 10＝．（3）S+S+S+…+S＝+++…＝＝＝．27．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．28．（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）∴∠BAC＝∠EDC（全等三角形的对应角相等），∵∠AEF＝∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC＝90°（直角三角形两锐角互余），∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°．∴DE⊥AB．（2）解：由题意知：S＝S△BCE+S△ACD+S△ABE＝a2+b2+cx，△ABD∵，∴．∴a2+b2＝c2．29．解：∵AD＝3，AE＝4，ED＝5，∴AD2+AE2＝ED2．∴∠A＝90°．∴DA⊥AB．∵∠C＝90°．∴DC⊥BC．∵BD平分∠ABC，∴DC＝AD．∵AD＝3，∴CD＝3．30．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，∴AB＝＝＝10m；（2）∵梯子的顶端A下滑2m，∴CA′＝8﹣2＝6m，∴CB′＝＝＝8（m），∴BB′＝B′C﹣BC＝8﹣6＝2（m）．。

八年级数学下册《第十七章 勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)

八年级数学下册《第十七章 勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)

八年级数学下册《第十七章勾股定理的应用》练习题-附答案(人教版)一、选择题1.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )A.4米B.5米C.6米D.7米2.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC 的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为( )A.90米B.120米C.140米D.150米3.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺4.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 55.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米6.如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )A.4 mB.3 mC.5 mD.7 m7.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( )尺A.3.5B.4C.4.5D.58.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m9.如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.710.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为( )A.32B.43C.53D.8511.如图，已知线段BC，分别以B、C为圆心，大于12BC为半径作弧，两弧相交于E、F两点，连接CE，过点E作射线BA，若∠CEA＝60°，CE＝4，则△BCE的面积为( )A.4B.4 3C.8D.8 312.如图，圆柱形纸杯高8 cm，底面周长为12 cm，在纸杯内壁离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在纸杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )3 B.6 2 C.10 D.以上答案都不对二、填空题13.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC＝60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是海里.14.在平面直角坐标系中，点P(﹣5，2)到原点的距离是．15.如图，要做一个两条直角边的长分别是7 cm和4 cm的三角尺，斜边长应为 cm.16.如图，A，B，C，D为四个养有珍稀动物的小岛，连线代表连接各个小岛的晃桥(各岛之间也可以通过乘船到达)，四边形ABCD为长方形，如果黄芳同学想从A岛到C岛，则至少要经过________米.17.某快递公司要在街道旁设立一个派送还点，向A、B两居民区投送快递，派送点应该设在什么地方，才能使它到A、B的距离之和最短？快递员根据实际情况，以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得坐标A(﹣2，2)、B(6，4)，则派送点的坐标是.18.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角形时，点A的坐标为．三、解答题19.如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB.20.如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶50000米.飞机每小时飞行多少千米？21.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.(1)求A、C两点之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向？22.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？23.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)若AD＝6，BD＝8，求ED的长．24.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝11，求BC的长．25.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案1.D2.C3.C4.D5.B.6.A.7.C8.D.9.B.10.A11.B.12.C.13.答案为：30 3.14.答案为：3.15.答案为：65.16.答案为：370.17.答案为：(23，0).18.答案为：A(4，0)，(5，0)，(﹣5，0)．19.解：设AB＝x米，则AC＝(36﹣x)米∵AB⊥BC∴AB2＋BC2＝AC2∴x2＋242＝(36﹣x)2.∴x＝10∴折断处的高度AB是10米.20.解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理可知BC＝3000(米).3000÷20＝150米/秒＝540千米/小时.所以飞机每小时飞行540千米.21.解：(1)过B点作BE∥AD如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°.∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°∴∠CBA＝90°.即△ABC为直角三角形.由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 3 m由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2所以AC＝1 000(m)；(2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m∴∠CAB＝30°∵∠DAB＝60°∴∠DAC＝30°.即点C在点A的北偏东30°的方向.22.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等即BC＝CA设AC为x，则OC＝45﹣x由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2又∵OA＝45，OB＝15把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2解方程得出x＝25(cm)．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．23.(1)证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝∠90°∴AC＝BC，EC＝DC，∠B＝∠CAB＝45°，∠ACE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD在△ACE和△BCD中∴△ACE ≌△BCD(SAS)；(2)解：∵△ACE ≌△BCD∴∠CAE ＝∠B ，AE ＝BD ＝8∵∠CAB ＝∠B ＝45°∴∠EAD ＝45°＋45°＝90°在Rt △EAD 中，由勾股定理得：ED ＝10．24.解：延长AD 至点E ，使AD ＝ED ，连结CE.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC ＝AB ＝ 2∴∠CED ＝∠BAD ＝90°.在Rt △AEC 中，∵AE 2＝AC 2﹣EC 2∴AE ＝（11）2－（2）2＝3∴AD ＝12AE ＝32. 在Rt △ABD 中，∵BD 2＝AB 2＋AD 2∴BD ＝172∴BC ＝2BD ＝17.25.解：作AB⊥MN，垂足为B在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160∴ AB＝12AP＝80∵点 A到直线MN的距离小于100m∴这所中学会受到噪声的影响.如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响那么AC＝100(m)由勾股定理得： BC2＝1002﹣802＝3600∴ BC＝60.同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响那么AD＝100(m)，BD＝60(m)∴CD＝120(m).拖拉机行驶的速度为：18km/h＝5m/s，t＝120m÷5m/s＝24s.答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒.。

人教版初2数学8年级下册 第17章(勾股定理)周末培优训练卷(含解析)

人教版初2数学8年级下册 第17章(勾股定理)周末培优训练卷(含解析)

第十七章勾股定理周末培优训练卷1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、E．求AE的长．3．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？4．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm．（1）直接写出AB的长度 ．（2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上．若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB上的高；（2）①当点P在CB上时，CP的长为 ．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为 ．（3）在整个运动中，直接写出△BCP是等腰三角形时t的值．7．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？8．一块钢板形状如图所示，量得AB＝3，BC＝4，AC＝5，CD＝12，AD＝13，请你计算一下这块钢板的面积．9．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 （请按从小到大排列）；（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD 是常态三角形，求△ABC的面积．10．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．11．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．12．如图，Rt△ACB在直线l上，且∠ABC＝90°，BC＝6cm，AC＝10cm．（1）求AB的长．（2）若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动，则当t为何值时，△ACP 为等腰三角形？13．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．14．如图，在一棵树CD的6m高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树12m处的池塘的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，请问这棵树有多高？15．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝2m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）16．如图是盼盼家新装修的房子，期中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；17．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于62＝36＜42+52，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是 三角形．（2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为 ．（3）若一个三角形的三条边长a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．18．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．19．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．20．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？21．（1）如图1，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．求证：DE＝DF；（2）如图2，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D是BC边上的动点，DE ⊥AB于点E、DF⊥AC于点F．请问DE+DF的值是否随点D位置的变化而变化？若不变，请直接写出DE+DF的值；若变化，请说明理由．22．善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A，B，D在同一直线上，且EF∥AD，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝12cm，求BD的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t 秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．（1）当t＝2时，CD＝ ，AD＝ ；（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．24．观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．25．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为： ．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．26．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？27．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m 2 3 3 4…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b4 6 1224 …c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．28．小红同学要测量A、C两地的距离，但A、C之间有一水池，不能直接测量，于是她在A、C同一水平面上选取了一点B，点B可直接到达A、C两地．她测量得到AB＝80米，BC＝20米，∠ABC＝120°．请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离．（参考数据≈4.6）29．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C三点在一条直线上），利用这个图形，求证：a2+b2＝c2（2）当a＝1，b＝2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．①请在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形．写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标： ；写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标： ，这样的点有 个．30．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，连接AD、DC，若∠DCB＝30°，试证明；DC2+BC2＝AC2．（即四边形ABCD是勾股四边形）31．先阅读下列一段文字，再回答问题：已知平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），这两点间的距离P1P2＝．同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知点A（2，3）、B（4，2），试求A、B两点间的距离；（2）已知点A、B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7，点B的横坐标为5，试求A、B两点间的距离；（3）已知一个三角形的各顶点坐标为A（﹣2，1）、B（1，4）、C（1﹣a，5），试用含a 的式子表示△ABC的面积．32．某地要开发一块三角形植物园，如图，测得AC＝80cm，BC＝60cm，AB＝100cm．（1）若入口E在边AB上，且AB＝2BE，求从入口E到出口C的最短路线的长；（2）在第一问的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，CD＝CE，请直接写出DE的长度．33．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．34．学了勾股定理后，刘老师给学生布置了一道题：如图△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝75°，AB＝，求BC的长．有些同学认为△ABC不是直角三角形，求不出BC的长，老师让学生小组合作，经过讨论形成共识：可以通过作垂直构建直角三角形求解．请你结合他们的思路完成这一问题．35．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，若AD＝3，AB＝4，CD＝8，点P 为线段CD上的一动点，若△ABP为等腰三角形，求DP的长．36．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？37．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c 为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．38．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为 ；（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为 ；（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．参考答案1．解：（1）延长BA、CD交于点H，如图所示：∵∠B＝∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴∠ADH＝90°，∠H＝30°，∴HA＝2AD＝4，CH＝2BC，∴DH＝＝＝2，BH＝HA+AB＝4+5＝9，∵BH＝＝＝BC＝9，∴BC＝3，∴CH＝2BC＝6，∴CD＝CH﹣HD＝6﹣2＝4；（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积＝×3×9﹣×2×2＝．2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝＝6，连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AE＝．3．解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺．由题意得x2+52＝（x+1）2．解得x＝12．∴x+1＝13．答：水深12尺；芦苇长13尺．4．解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2（x﹣1）2+42＝x2解得x＝8.5∴AC＝8.5m．5．解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝25cm，BC＝15cm，∴AB＝＝＝20（cm），故答案为：20cm；（2）∵∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC，设AP＝PC＝x，∴PB＝20﹣x，∵∠B＝90°，∴BP2+BC2＝CP2，即（20﹣x）2+152＝x2，解得：x＝，∴AP＝；（3）AM的长为10cm，7cm，12.5cm．如图（1），当CB＝CM＝15时，AM＝AC﹣CM＝25﹣15＝10（cm）；如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CM＝AC＝12.5（cm）；如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H，则BH＝＝12（cm），CH＝＝9（cm），∴CM＝2CH＝18（cm），∴AM＝AC﹣CM＝7（cm）；综上所述，AM的长为10cm，7cm，12.5cm．6．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得：AC＝4．设斜边AB上的高为h，∵AB•h＝AC•BC，∴5h＝3×4，∴h＝2.4．∴AC的长为4，斜边AB上的高为2.4；（2）已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，①当点P在CB上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t，∵AC＝4，∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4．故答案为：2t﹣4．②当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P'作P'D⊥AB，如图：∵AP'平分∠BAC，P'C⊥AC，P'D⊥AB，∴P'D＝P'C＝2t﹣4，∵BC＝3，∴BP'＝3﹣（2t﹣4）＝7﹣2t，在Rt△ACP'和Rt△ADP'中，，∴Rt△ACP'≌Rt△ADP'（HL），∴AD＝AC＝4，又∵AB＝5，∴BD＝1，在Rt△BDP'中，由勾股定理得：12+（2t﹣4）2＝（7﹣2t）2，解得：t＝．故答案为：．（3）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AC或线段AB上，①当点P在线段AC上时，此时△BCP是等腰直角三角形，∴此时CP＝BC＝3，∴AP＝AC﹣CP＝4﹣3＝1，∴2t＝1，∴t＝0.5；②当点P在线段AC上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3＝10，∴2t＝10，∴t＝5；若PC＝BC，如图2，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，AC＝4，∴AB•CH＝AC•BC，∴5CH＝4×3，∴CH＝，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH＝＝1.8，∴BP＝3.6，∴点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+3.6＝10.6，∴2t＝10.6，∴t＝5.3；若PC＝PB，如图3所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ＝0.5×BC＝，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ＝0.5×AC＝0.5×4＝2，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP＝＝2.5，点P运动的长度为：AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5，∴2t＝9.5，∴t＝4.75．综上，t的值为0.5或4.75或5或5.3．7．解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：作AB⊥MN于B，如图1，∵PA＝120m，∠QPN＝30°，∴AB＝PA＝60m，而60m＜100m，∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，∵AB⊥CD，∴CB＝BD，在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，CB＝＝80m，∴CD＝2BC＝160m，∵消防车的速度5m/s，∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．8．解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．9．解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20，∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．故答案为：是；（2）∵Rt△ABC是常态三角形，∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，则2a2＝3b2，故a：b＝：，∴设a＝x，b＝x，则c＝x，∴此三角形的三边长之比为：：：．故答案为：：：；（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时，解得：BD＝DC＝6，则AB＝12，故AC＝＝6，则△ABC的面积为：×6×6＝．当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时，解得：BD＝DC＝2，则AB＝4，故AC＝2，则△ABC的面积为：×6×2＝6．故△ABC的面积为或6．10．解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．11．解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．故答案为是．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．综上所述BN的长为或．12．解：（1）∵∠ABC＝90°，BC＝6cm，AC＝10cm，∴AB＝＝＝8cm；（2）①如图1，若CP＝CA，则：BP＝CP+BC＝6+10＝16或BP＝CP﹣BC＝10﹣6＝4，即2t＝16，t＝8或2t＝4，t＝2；②如图2，若AP＝AC，则：AB垂直平分PC，BP＝BC＝6，即2t＝6，t＝3；③若PA＝PC，则P在AC的垂直平分线上，所以P在B左侧，PB＝2t，BC＝6，∴t＝8，PA＝2t+6，∵∠ABP＝90°，∴AP2＝AB2+BP2，即（2t+6）2＝（2t）2+82，解得t＝；综上所述，当点P向左运动s、2s、3s或向右运动8s时，△ACP为等腰三角形．13．解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ＝＝＝（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t＝，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝，∴CE＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．14．解：由题意知AD+DB＝BC+CA，且CA＝12米，BC＝6米，设BD＝x米，则AD＝（18﹣x）米，在Rt△ACD中：CD2+CA2＝AD2，即（18﹣x）2＝（6+x）2+122，解得x＝3，故树高为CD＝6+3＝9米．答：树高为9米．15．解：将半圆面展开可得：AD＝4π米，DE＝DC﹣CE＝AB﹣CE＝18米，在Rt△ADE中，AE＝米．即滑行的最短距离约为22米．16．解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM＝＝＝2，∵PB＝PM＝2，∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案为：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM+∠BPN＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN．在△AMP与△BPN中，，∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝2.4，∵PA＝＝0.7，∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；17．解：（1）∵42＝16＞22+32，∴该三角形是钝角三角形，故答案为：钝角，（2）①若4为最长边，则：42＝32+x2，解得x＝，x＝﹣（舍去），②若x最长边，则：x＝32+42，得x＝5，x＝﹣5（舍去），故答案为：5或．（3）∵a2﹣b2﹣c2＝x2+3z2﹣x+y2﹣2y+＝（x﹣）2+（y﹣1）2+3z2+＞0，∴a2＞b2+c2，∴该三角形是钝角三角形．18．解：连接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝5．由AB＝13，BC＝12可得AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S △ABC ＝30，S △ACD ＝6，30﹣6＝24（m 2）．故这块地的面积为24m 2．19．解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，102+242＝262，即（n 2﹣1）2+（2n ）2＝（n 2+1）2，所以第六组勾股数为14，48，50．（2）勾股数为n 2﹣1，2n ，n 2+1，证明如下：（n 2﹣1）2+（2n ）2＝n 4+2n 2+1＝（n 2+1）2．20．解：∵EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，HG 经过点A ，∴FA ∥EG ，EA ∥FH ，∴∠AEG ＝∠HFA ＝90°，∠EAG ＝∠FHA ，∵AB ＝9里，AD ＝7里，EG ＝15里，∴AF ＝3.5里，AE ＝4.5里，∴FH ＝1.05里．21．（1）证明：如图1，连接AD ．∵AB ＝AC ，点D 是BC 边上的中点，∴AD 平分∠BAC ，∵DE 、DF 分别垂直AB 、AC 于点E 和F ．∴DE ＝DF ．（2）解：不变．如图2所示：连接AD ，∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，∴△ABC 底边BC 上的高＝＝12，∴△ABC 的面积＝×BC ×12＝60，∴AB •DE +AC •DF ＝60，∴DE +DF ＝，故答案为：．22．解：过点F作FH⊥AB于点H，∴∠FHB＝90°，∵∠EDF＝90°，∠E＝60°，∴∠EFD＝90°﹣60°＝30°，∴EF＝2DE＝24，∴DF＝＝12，∵EF∥AD，∴∠FDA＝∠DFE＝30°，∴FH＝DF＝6，∴DH＝＝18，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠HFB＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABC＝∠HFB，∴BH＝FH＝6，则BD＝DH﹣BH＝18﹣6．23．解：（1）t＝2时，CD＝2×1＝2，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8；故答案是：2；8．（2）①∠CDB＝90°时，S△ABC＝AC•BD＝AB•BC，即×10•BD＝×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝＝＝3.6，t＝3.6÷1＝3.6秒；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，t＝10÷1＝10秒，综上所述，t＝3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒；（3）①CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷1＝6；②BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，则CF＝3.6，CD＝2CF＝3.6×2＝7.2，∴t＝7.2÷1＝7.2，综上所述，t＝6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．24．（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：∵大正方形的边长为a+b，∴大正方形的面积＝（a+b）2，又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠ACB+∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝90°；（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，∴∠B+∠D＝180°，∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，整理得：a2+b2＝c2．25．解：（1）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3，＝9﹣1﹣1.5﹣3，＝9﹣5.5，＝3.5，故答案为3.5；（2）△DEF如图2所示；面积＝2×4﹣×1×2﹣×2×2﹣×1×4，＝8﹣1﹣2﹣2，＝8﹣5，＝3．26．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．27．解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，∵32+42＝52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；（2）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．28．解：过C作CD⊥AB交AB延长线于点D，∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°﹣∠CBD＝30°，∴BD＝BC＝×20＝10（米），∴CD＝＝10（米），∴AD＝AB+BD＝80+10＝90米，在Rt△ACD中，AC＝＝≈92（米），答：A、C两点之间的距离约为92米．29．解：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，整理得＝，∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．（2）一个满足条件的在x轴上的点的坐标：（﹣1，0）；一个满足条件的在y轴上的点的坐标：（0，2+），这样的点有4个．故答案为：（﹣1，0）；（0，2+），4．30．（1）解：∵直角梯形和矩形的角都为直角，所以它们一定为勾股四边形．（2）证明：连接CE，∵BC＝BE，∠CBE＝60°∴△CBE为等边三角形，∴∠BCE＝60°又∵∠DCB＝30°∴∠DCE＝90°∴△DCE为直角三角形∴DE2＝DC2+CE2∵AC＝DE，CE＝BC∴DC2+BC2＝AC231．解：（1）AB＝＝．（2）∵已知点A、B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为7，点B的横坐标为5，∴AB＝7﹣5＝2．（3）由题意，直线AB的解析式为y＝x+3，延长AB交直线y＝5于N（2，5）．①当1﹣a＜2，即a＞﹣1时，作CM∥y轴交AB于M．则M（1﹣a，4﹣a），∴CM＝5﹣（4﹣a）＝a+1，∴S△ABC＝•CM•（B x﹣A x）＝•（a+1）•3＝a+．②当1﹣a＞2，即a＜﹣1时，同法可得S△ABC＝﹣a﹣．32．解：（1）∵AC＝80cm，BC＝60cm，AB＝100cm，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∵AB＝2BE，∴E为AB的中点，即CE为AB边上的中线，∴CE＝AB＝50cm；（2）作CF⊥AB，交AB于点F，∵CE＝CD，∴EF＝DF，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CF，∴CF＝＝48cm，在Rt△ACF中，根据勾股定理得：AF＝＝64cm，∴EF＝AF﹣AE＝64﹣50＝14cm，则ED＝2EF＝28cm．33．解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴AM＝EF＝AP．当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，∴AM的最小值是．34．解：作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠B＝45°，∴DA＝DB，由勾股定理得，AD2+BD2＝AB2＝6，解得，AD＝DB＝，∵∠B＝45°，∠BAC＝75°，∴∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AC，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，即3+CD2＝4CD2，解得，CD＝1，则BC＝BD+CD＝+1．35．解：①AB＝AP时，DP＝＝；②BP＝AP时，DP＝AB＝×4＝2；③BA＝BP时，过点B作BH⊥CD于H，则BH＝AD＝3，由勾股定理得，PH＝＝，DP＝4﹣，或者DP′＝4+．综上所述，DP的值为，2，4﹣，或4+．36．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82解得：t＝11答：当t为5或11时，能使DE＝CD．37．解：（1）如图3所示∵图形的面积表示为a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab，图形的面积也可表示为c2+4×ab＝c2+ab；∴（a+b）2＝c2+4×ab，a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2））如图4所示：∵大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4×ab∴（a+b）2＝c2+4×ab，a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．38．解：（1）如图1，∵AB＝AD＝10m，AC⊥BD，AC＝8m，∴DC＝＝6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6＝32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA＝BD＝10m时，则DC＝BD﹣BC＝10﹣6＝4（m），故AD＝＝4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD＝10+4+10＝（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA＝DB，∴设DC＝xm，则AD＝（6+x）m，∴DC2+AC2＝AD2，即x2+82＝（6+x）2，解得；x＝，∵AC＝8m，BC＝6m，∴AB＝10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2（+6）+10＝（m）．。

人教版八年级下册第十七章《勾股定理》单元培优练习题(含答案)

人教版八年级下册第十七章《勾股定理》单元培优练习题(含答案)

人教版八年级下册第十七章《勾股定理》单元培优练习题（含答案）一．选择题1．下列命题中，是假命题的是（）A．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形B．在直角三角形中，斜边上的高等于斜边的一半C．在直角三角形中，最大边的平方等于其他两边的平方和D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，C．6，8，11 D．5，12，233．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．4．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．3 B．C．3或D．以上都不对5．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE ＝12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7D．76．在下列各组数中，是勾股数的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、67．在同一平面上把三边BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）A．B．C．D．8．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．310．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（）m．A．2 B．4 C．6 D．811．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm12．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二．填空题13．直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是cm．14．若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC的形状为．15．已知a，b是互质的正整数，且a+b，3a，a+4b恰为一直角三角形的三条边长，则a+b的值等于16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点D为AC的中点，点E在边BC上，且ED⊥BD，则△CDE的面积是．17．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数，，．18．将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB＝20cm，则阴影部分的面积是cm2．19．三角形的三边长a，b，c满足2ab＝（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是三角形．20．若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是．21．如图，小正方形边长为1，则△ABC中AC边上的高等于．22．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为．三．解答题23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积．24．如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长．25．操作：剪若干个大小形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c（如图①），分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图②③的形状，图②中的两个小正方形的面积S2、S3与图③中小正方形的面积S1有什么关系？你能得到a、b、c之间有什么关系？26．观察下表请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？27．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a＝2，b＝4时，求这个四边形的周长．参考答案一．选择题1．解：A、等腰三角形底角相等，若底角为60°，则顶角为180°﹣60°﹣60°＝60°，若顶角为60°，则底角为＝60°，所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形，故A选项正确；B、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合，故B选项错误；C、在直角三角形中，最大的边为斜边，根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和，故C 选项正确；D、过三角形角平分线的交点作各边的垂线，则三角形分成3对小三角形，其中各顶点所在的两个直角三角形全等，即过角平分线作的高线相等，故D选项正确；即B选项中命题为假命题，故选：B．2．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．3．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．4．解：当长为4和5的两边都是直角边时，斜边是：＝；当长是5的边是斜边时，第三边是：＝3．第三边长是：或3．故选：C．5．解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．6．解：A、12+22＝5≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意．B、22+32＝13≠42，不是勾股数，故本选项不符合题意．C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意．D、42+52＝41≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意．故选：C．7．解：如图所示，连接CC′，根据对称的性质可知CC′⊥AB，且CC′＝2CE，∵AC×BC＝AB×CE，∴CE＝，∴CC′＝2×CE＝．故选：D．8．解：如图所示：S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．9．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故选：D．10．解：由题意得，在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10，所以BC＝＝6．故选：C．11．解：由题意，可得这只烧杯的直径是：＝6（cm）．故选：D．12．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．二．填空题（共10小题）13．解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．故答案为：5或．14．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2．当只有a＝b成立时，是等腰三角形．当只有第二个条件成立时：是直角三角形．当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．15．解：在直角三角形中，（1）若a+4b为斜边，则（a+4b）2＝（a+b）2+9a2∴9a2﹣6ab﹣15b2＝0，（a+b）（3a﹣5b）＝0∵a+b≠0，且a，b互质，∴a＝5，b＝3．三条边长分别为8，15，17，a+b＝8．（2）若3a为斜边，则9a2＝（a+b）2+（a+4b）2，∴7a2﹣10ab﹣17b2＝0，∴（a+b）（7a﹣17b）＝0．∵a+b≠0，∴7a＝17b，a，b互质，∴a＝17，b＝7．三条边长分别为24，45，51，a+b＝24．综上得a+b＝8．或a+b＝24．16．解：点D为AC的中点故AD＝DC＝AC＝2，S△ABD＝S△BDC＝S△ABC＝12，由勾股定理得BC＝＝4，过D点作DF垂直于BC于F点，DF＝＝＝，BD2＝AD2+AB2＝12+48＝60，BD＝2，由勾股定理得BF＝＝＝3，由射影定理得BD2＝BF•BE，∴BE＝＝＝CE＝BC﹣BE＝4﹣＝，S＝×CE×DF＝××＝2．故答案为：2．17．解：符合a2+b2＝c2即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．（答案不唯一）18．解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝20cm，∴AC＝10cm．∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝10cm．故S△ACF＝×10×10＝50（cm2）．故答案为50．19．解：∵2ab＝（a+b）2﹣c2，∴2ab＝a2+2ab+b2﹣c2，∴a2+b2＝c2，∵三角形的三边长a，b，c满足2ab＝（a+b）2﹣c2，∴此三角形是直角三角形，故答案为：直角．20．解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，∴a＝5，b＝12，∴a+b＝17，故答案为：17．21．解：过B作BG⊥AC，交AC于点G，在Rt△ACF中，AF＝2，CF＝1，根据勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝S正方形AFED﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ACF＝4﹣×1×1﹣2××2×1＝，S△ABC＝AC•BG，∴×BG＝，则BG＝．故答案为：22．解：直角三角形直角边的较短边为＝3，正方形EFGH的面积＝5×5﹣4×3÷2×4＝25﹣24＝1．故答案为：1．三．解答题（共5小题）23．解：如图所示：设AB＝x，则BC＝x﹣1，故在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，故x2＝52+（x﹣1）2，解得；x＝13，即AB＝13．∴BC＝12，∴S△ABC＝•AC•BC＝×5×12＝30．24．解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝9+x．在△ACD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AC2﹣CD2，在△ABD中，∵∠D＝90°，∴AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（9+x）2，解得x＝6，∴AD2＝102﹣62＝64，∴AD＝8．故AD的长为8．25．解：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2、图3的形状，观察图2、图3可发现，图2中的两个小正方形的面积之和等于图3中的小正方形的面积，即S2+S3＝S1，这个结论用关系式可表示为a2+b2＝c2．26．解：根据图表，由图可得规律：，解得．所以b＝84；c＝85．∵132+842＝7225，852＝7225，∴13，84，85是勾股数．27．解（1）由图可得：，整理得：，整理得：a2+b2＝c2；（2）当a＝2，b＝4时，根据勾股定理得：；如图1：则四边形的最大周长为2b+2c＝．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》解答题优生辅导训练(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》解答题优生辅导训练(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》解答题优生辅导训练（附答案）1．某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE ＝30°．（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．（1）求△ABD的面积．（2）求BC的长（结果保留根号）．3．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．（1）求出CD的长；（2）求出CF的长．5．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①或（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为，（分别用含p的代数式表示）．6．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最值（填“大”或“小”）为（两个空直接写出答案不需要解答过程）．7．如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．8．如图，某港口A位于东西海岸线上，甲乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行45海里，乙船每小时航行60海里，它们离开港口1.2小时后分别位于点B、C处，且相距90海里．若甲船沿南偏西25度方向航行，问乙船沿哪个方向航行？9．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB＝cm，AB边上的高为cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．11．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？12．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC 的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？14．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为；（3）用所学知识加以说明．15．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c 为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．17．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）18．如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm．（1）求小凳子的高度；（2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝90cm，木杆BC比凳宽AB长60cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度．19．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：（1）在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，∴BE＝（m），∴旋转木马E处到出口B处的距离为40m；（2）∵∠BAE＝30°，∠CED＝∠AEB，∠C＝∠ABE＝90°∴∠D＝∠BAE＝30°，∴DE＝2CE＝80（m），∴DE+BE＝80+40＝120（m），∴海洋球D处到出口B处的距离为：120m；（3）在Rt△CDE与Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝40（m），CD＝＝40（m），∴AB＝CD，∴入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．2．解：在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴S△ABD＝AD•BD＝×4×3＝6；（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝3+4．3．解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．4．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，则AC＝＝＝3，∵DE是AC的中垂线，∴CD＝AC＝；（2）∵DF是AC的中垂线，∴F A＝FC，∵AB＝3，∴FB＝F A﹣3＝CF﹣3，在Rt△FBC中，CF2＝BC2+FB2，即CF2＝62+（CF﹣3）2，解得：CF＝．5．解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，∴该组勾股数是3，4，5，故答案为：3，4，5；（2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0，∴m2+n2＞m2﹣n2，∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2，①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72，解得m＝6或m＝﹣6（舍去），又∵m﹣n＝1，∴n＝5；②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72，解得m+n＝（舍去），综上所述，m＝6，n＝5；（3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2，令m＝p+2，n＝p+1，则m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4．6．解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，∵BC＝5米，AB＝13米，∴由勾股定理得：AC＝＝12（米），∴A1C＝AC﹣AA1＝12﹣1＝11（米），∴B1C＝＝4（米），∴BB1＝B1C﹣BC＝（4﹣5）（米），答：B端将沿CB方向移动（4﹣5）米．（2）设AA1＝BB1＝x米，则A1C＝（12﹣x）米，CB1＝（5+x）米，由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，解得：x＝7，即AA1＝7米．答：下移的距离为7米．（3）以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，最大值＝×13×＝平方米．故答案为：大，．7．解：（1）△ACH是直角三角形，理由如下：∵AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km，∴AC2＝AH2+CH2，∴△ACH是直角三角形；解：（2）∵△ACH是直角三角形，∴AH⊥BC，设AB＝BC＝xkm，则BH＝BC﹣HC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得：x＝，∴AB＝km．8．解：由题意可得：AB＝45×1.2＝54（海里），AC＝60×1.2＝72（海里），BC＝90海里，则AB2+AC2＝BC2，故△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵甲船沿南偏西25度方向航行，∴乙船沿南偏东65方向航行．9．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝12．（2在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2＝CD2＝16①，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC2﹣BD2＝CD2＝16②，联立①和②得：AC2+BC2﹣（AD2+BD2）＝32，∵AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝（AD+BD）2﹣2AD•BD，∴AB2﹣AB2+2AD•BD＝32，∴2AD•BD＝32，∴AD•BD＝16；（3）∵CD2＝AD•DB，∴AC2﹣AD2＝AD•BD，BC2﹣BD2＝AD•BD，∴AC2﹣AD2+BC2﹣BD2＝2AD•BD，∴AC2+BC2＝AD2+BD2+2AD•BD，∴AC2+BC2＝（AD+BD）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．10．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，∴AB＝＝＝50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴CE＝＝＝24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得：CE＝24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），∴t＝18s；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB＝AB＝25（cm），∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．11．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．12．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．（3）解：在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：+M y＝OB，M y＝3﹣＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，所以此时M（，）．②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣＝OB，M y＝3+＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，所以此时M（﹣，）．③当点M在BC的延长线上时，h1＝＜h，不存在；综上所述：点M的坐标为M（，）或（﹣，）．13．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．14．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为，故答案为：；（3）∵a2+（）2＝，（）2＝，∴a2+（）2＝（）2又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．15．解：（1）如图3所示∵图形的面积表示为a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab，图形的面积也可表示为c2+2×ab＝c2+ab；∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2））如图4所示：∵大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4×ab∴（a+b）2＝c2+4×ab，a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．17．解：（1）不正确，理由如下：由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得：x＝8，∴BG＝8米，∴AB＝BG+GA＝9（米），∴小敏的猜想不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．（2）由题意得：CF＝DE＝3米，∴GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF＝＝＝（米）．18．解：（1）过A作AM垂直于墙面，垂足M，根据题意可得，AM＝40cm，在Rt△AOM中，OM＝＝＝30，即凳子的高度为30cm．（2）延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，设AB＝xcm，则CB＝x+60，BN＝x+40，CN＝90﹣30＝60，在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2，即（40+x）2+602＝（60+x）2，解得x＝40，则BC＝60+40＝100（cm）．19．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．20．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．。

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个三角形（在网格内部完成构图） （ 2）判断你构成的三角形的形状，并给出证明．
23．在一条东西走向河的一侧有一村庄 C ，河边原有两个取水点 A ， B ，其中 AB AC ， 由于某种原因， 由 C 到 A 的路现在已经不通， 某村为方便村民取水决定在河边新建一 个取水点 H ( A 、H 、 B 在一条直线上），并新修一条路 CH ，测得 CB 3 千米， CH 2.4 千米， HB 1.8 千米．
)
A ．12
B．10
C．9
D．8
3．如图，网格中每个小正方形的边长均为 1，点 A ， B ， C 都在格点上，以 A 为圆心，
AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点 D ，则 CD 的长为 (
)
A． 5
B．0.8
C． 3 5
D． 13
4．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已
．
14．如图，长方形网格中每个小正方形的边长是 点上），则点 C 到 AB 的距离为 ．
1， ABC 是格点三角形（顶点都在格
15．如图，已知 A 90 ， AC AB 4 ， CD 2 ， BD 6 ．则 ACD
度．
16．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点
结果他在水中实际游了 100 米，这条河宽为
知 S1 S2 7 ，且 AC BC 8 ，则 AB 的长为 (
)
A．6
B． 2 23
C． 5 2
D． 78
5．如图，数轴上点 A 对应的数是 0，点 B 对应的数是 1， BC AB ，垂足为 B ，且 BC 2 ，
以 A 为圆心， AC 为半径画弧，交数轴于点 D ，则点 D 表示的数为 (
)
A ．2.2
(a ， b ， c) 通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，
根据该公式可以构造出如下勾股数组： (3 ，4，5) ，(5 ，12，13) ，(7 ，24，25) ， ．分
析上面勾股数组可以发现， 4 1 (3 1) ， 12 2 (5 1) ， 24 3 (7 1) ， 分析上
（ 1）问 CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路？（即问： CH 与 AB 是否垂直？ ) 请通过计 算加以说明；
（ 2）求原来的路线 AC 的长．
24．如图 1， Rt ABCAC CB ， AC 15 ， AB 25 ，点 D 为斜边上动点． （ 1）如图 2，过点 D 作 DE AB交 CB 于点 E ，连接 AE ，当 AE 平分 CAB 时，求 CE ； （ 2）如图 3，在点 D 的运动过程中，连接 CD ，若 ACD 为等腰三角形，求 AD ．
B． 2
C． 3
D． 5
6．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是 ( )
A ．4，5，6
B．5，7，12
C．3，5， 7
D．1， 2 ， 3
7．下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是 ( )
A ．三个角的比是 1: 2 : 3 C．三条边的比是 2 : 3 : 4
Байду номын сангаас
B．三条边满足关系 a2 c2 b2 D．三个角满足关系 B C A
面规律，第 5 个勾股数组为
．
三．解答题（共 6 小题） 19．如图，在四边形 ABCD 中， AB AD ， A 90 ， CBD 30 ， C 45 ，如果 AB 2 ，
求 CD 的长．
20．如图所示， ABC 中． （ 1）若 A : B : C 2 : 3: 4 ，求 C 的度数； （ 2）若 AB 2 ， AC 6 ， BC 2 10 ，求 BC 边上的高．
21．如图，在 Rt ABC 中， BAC 90 ， AB 4 ， AC 3 ， DE 垂直平分 AB ，分别交 AB 、 BC 于点 D 、 E ， AP 平分 BAC ，与 DE 的延长线交于点 P ．
（ 1）求 PD 的长度； （ 2）连结 PC ，求 PC 的长度．
22．如图，平面直角坐标系中有三条线段 a ， b ， c ． （ 1）请你平移其中两条线段，使得平移后的线段和第三条线段首位顺次相接，构成一
n 都是正整数．以 AB 、 AC 、 BC 为边分别向外画正方形，面积分别为 S1 、 S2 、 S3，
那么 S1 、 S2 、 S3之间的数量关系为
．
13．如图，在 ABC 中， C 90 ， AB 10 ， BC 8 ， AD 是 BAC 的平分线， DE AB 于
点 E ，则 BED 的周长为
8．若一个三角形的三边长分别为 3、4、5，则这个三角形最长边上的中线为 ( )
A ．1.8
B．2
C．2.4
D．2.5
9．如图，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要 (
)
A．4 米
B．5 米
C．6 米
D．7 米
10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，已 知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为 a ，若直吸管在罐外部分还剩余 3，则
2018—2019 学年人教版八年级数学下册第 17 章《勾股定理》培优试
题与简答
一．选择题（共 10 小题） 1．已知一个直角三角形的两直角边长分别为
5 和 12，则第三边长的平方
是(
)
A ．169
B．119
C．13
D．144
2．在 ABC 中， AB AC 15 ， BC 18 ，则 BC 边上的高为 (
吸管的总长度 b （罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是 (
)
A ． 12剟b 13
B． 12剟b 15
C． 13剟b 16
D． 15剟b 16
二．填空题（共 8 小题）
11．平面直角坐标系内，点 P(3, 4) 到原点的距离是
．
12．如图，三角形 ABC 三边的长分别为 AB m2 n2 ， AC 2 mn ， BC m2 n2 ，其中 m 、
米．
C 偏离欲达到点 B60 米，
17．如图，一架长 5 米的梯子 A1 B1 斜靠在墙 A1C 上， B1 到墙底端 C 的距离为 3 米，此时
梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的 B1 端向墙的方向移动了 1.6 米到 B 处，此
时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的 A1 端向上移动了
米．
18．勾股定理 a2 b2 c2 本身就是一个关于 a ， b ， c 的方程，满足这个方程的正整数解
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