小学数学解题方法专题讲座(10个专题)

小学数学解题方法专题讲座
目录
第一讲逻辑推理初步 (2)
第二讲循环小数化分数 (4)
第三讲分数计算（一） (10)
第四讲分数计算（二） (13)
第五讲分数、百分数应用题（一） (17)
第六讲分数、百分数应用题（二） (22)
第七讲生活中的经济问题 (27)
第八讲工程问题 (29)
第九讲圆的周长与面积 (32)
第十讲不定方程 (40)
第一讲逻辑推理初步
学习提示：
本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这样的问题我们称之为逻辑推理问题。

典型题解
下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧。

例1 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山和中岳嵩山。

一位老师拿出这五座山的图片，并在图片上标出数字，他让五位同学来辨别，每人说出两个。

学生回答如下：
甲：2是泰山，3是华山乙：4是衡山，2是嵩山丙：1是衡山，5是恒山丁：4是恒山，3是嵩山戊：2是华山，5是泰山。

老师发现五个同学都只说对了一半，那么正确的说法是什么呢？
例2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计，甲说：“他至少有1000本书”。

乙说：“他的书不到1000本”。

丙说：“他至少有一本书”。

这三个估计只有一句是对的，那么小强究竟有多少本书？
例3 从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。

一天，一位智者遇到这三个和尚，他问第一个和尚：“你后面是哪一个和尚？”和尚回答：“讲真话的”。

他又问第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有时讲真话，有时讲假话”。

他问第三位和尚：“你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答说：“讲假话的”。

根据他们的回答，智者很快分清了他们各自是哪一位和尚，请你说出智者的答案。

例4 桌上放了8张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。

现已知：
（1）每张都是A、K、Q、J中的一张；（2）这8张牌中至少有一张Q；（3）其中只有一张A；（4）所有的Q都夹在两张K之间；（5）至少有一张K夹在两张J之间；（6）J和Q互不相邻，A和K也互不相邻；（7）至少有两张K相邻。

则图中的8张牌各是什么牌？
例5 一天，一位老师让学生来分辨五位科学家的画像，老师把画像从1到5编了好，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字：
张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略”李四说：“1号是瓦特，2号是爱因斯坦”
王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特”许六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼”
陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略”
老师听后，发现每人都只说对了一半，试问这几位科学家的画像分别是几号？
例6 在一次有3人参加的讲话中，小张指责小王和小李：“你们都在说谎。

”小李却说：“小张正在说谎。

”小王则说：“小李正在说谎。

”试判断他们谁讲的是真话，谁讲的是假话？
例7 有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工。

又知道下面三种说法只有一种是对的：（1）甲是车工（2）乙不是车工（3）丙不是钳工
请问他们各是什么工种？
例8 有四人打桥牌（牌中不含大、小王，每人共13张牌），已知某人手中的牌如下：
（1）红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；（2）各种花色的牌，张数不同；（3）红桃和黑桃共有6张；（4）红桃和方块共有5张；（5）有两张主牌（将牌）
问这手牌以什么花色为主牌？
逻辑推理的特点就是条件繁多、错综复杂、纵横交错。

如何从复杂的条件中选准突破口，层层剖析，步步逼近，逐渐向结论靠拢，这是解决这类问题的关键，因此我们在推理的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条件，然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然，答案也就找到了。

例9 同住一间宿舍的A、B、C、D四名女大学生，正在听一组乐曲。

她们当中有一人在修指甲，一人在做头发，一人在化妆，另一人在看书。

已知：
（1）A不在修指甲，也不在看书（2）B不在化妆，也不在修指甲（3）如果A补在化妆，那么C不在修指甲（4）D不在看书，也不在修指甲。

问她们各自在做什么？
例10 在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文、历史，每位老师教两门课。

现知道：
（1）化学老师和数学老师住在一起，（2）甲老师是三位老师中最年轻的，（3）数学老师和丙老师是一对优秀的国际象棋手，（4）物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻，（5）三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。

问甲乙丙三位老师分别教哪两门课？
例11 A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言四个人都会，并且知道：没有人既会日语又会法语，A会日语，而B 不会，但他们可以用另一种语言交谈。

C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译，B、C、D不会同一种语言，请说出四人分别掌握哪种语言？
例12 甲、乙、丙、丁、戊五人各自从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，经过数次交换后，他们五人每人都读完了这五本书。

现已知：
（1）甲最后读的书是乙读的第二本，（2）丙读的第二本甲在一开始就读了，（3）丙最后读的书是乙读的第四本，（4）丁读的最后一本是丙读的第三本，（5）乙读的第四本是戊读的第三本，（6）丁第三次读的书是丙开始读的那一本。

请判断出读这五本书的顺序。

例13 小东，小兰，小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道：
（1）小东不在一中，（2）小兰不在二中，（3）爱好排球的不在三中，（4）爱好游泳的在一中，（5）爱好游泳的不是小兰，你能弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗？
例14 宾馆里住着A、B、C、D、E、F六个不同国籍的客人，他们来自美、英、法、德、俄国和意大利，现在知道：
（1）A 和美国人是医生，（2）E 和俄国人是教师（3）C 和德国人是工程师 （4）B 和F 都曾是运动员（5）而德国人从来不爱运动（6）法国人比A 年龄要大（7）C 比意大利人年龄小 （8）B 同美国人到英国去旅行（9）C 同法国人要到瑞士去度假。

问：A 、B 、C 、D 、E 、F 各是哪国人？
第二讲 循环小数化分数
学习提示：
在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。

所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。

从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。

典型题解
一、 循环小数化成分数
1、 纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。

怎样把它化成分数呢？看下面例题。

例1把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.102
10.610 6.6666
0.6=0.6666
0.69 6 62 0.6=93⨯=⨯==解：（）两式相减得所以
2 3.102
0.102 0.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333
102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分……
?…两式相减得所以343333
从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。

能约分的要约分。

2、 混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。

怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。

例2 把混循环小数化分数
10.215 2 6.353（）（）
10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152215-221371 0.215=990990330
⨯⨯⨯-==解：（）……
……
两式相减得20.353
0.3531000=353.333 0.353100=35.3330.353900=35335353-3531853 0.353=900900150
353-353186.353=66900⨯⨯⨯-===解：（）先看小数部分……
……
两式相减得 所以 536900150
=
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。

分母的头几位是9，末几位是0。

9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

练习：1、化纯循环小数为分数。

10.23 20.107（）（）
2、 化下列混循环小数为分数。

10.312 20.003 30.2316（）（）（）
二、 循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。

从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

例3 计算下面各题： 12.45+3.13 22.6091.32 (3)4.3 2.4 (4)1.240.3⨯÷（）（）-
解：先把循环小数化成分数后计算。

529712
+3=5 1115165
6132283922-1=1 1009999001416(3)42=10 3927
818(4)1=3 33311⨯÷（）原式=（）原式=原式=原式=
三、循环小数作加法
循环小数能直接作加法运算吗？
（1）有限小数加循环小数
考察下面的例子。

计算：
+0.40.32
+
+0.280.7
0.20.3
+
+0.60.38
0.980.45
+0.6780.5
目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。

118
+=+==
0.20.30.53
5315
77238
0.280.7 1.057
+=+==
259225
232358
+=+==
0.40.320.7232
599495
495789
+=+==
0.980.45 1.4345
5011550
33966729
+=+==
0.6780.54 1.223454
500115500
33589
0.60.380.98
+=+==
59090
现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后结果之间的关系，希望你能从中发现直接运算的法则。

+⇒+⇒
0.20.30.20.330.53
+⇒+⇒
0.280.70.280.777 1.057
+⇒+⇒
0.40.320.40.32320.7232
0.980.450.980.4545 1.4345
+⇒+⇒
+⇒+⇒
0.6780.540.6780.545454 1.223454
+⇒
0.60.380.98
怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。

我们利用类似的方法还可以去研究其他的几种情形。

（2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。

考察下面的一些例子。

235
0.20.30.5
+=+==
999
123405528
0.1230.4050.528
+=+==
999999999
36
0.30.61
+=+=
99
875
+=+==
0.80.7 1.6
993
5849107
+=+==
0.580.49 1.08
999999
9785841562
+=+==
0.9780.584 1.563
999999999
再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？
（3）两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。

考察下面的例子：
32154
+=+==
0.30.210.54
99999
6212878
+=+==
0.60.2120.878
9999999
23324556647
+=+==
0.230.3240.556647
99999999999
598153
+=+==
0.50.98 1.54
99999
674981175265
+=+==
0.670.498 1.175266
99999999999
再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？
如果能得出以上三种情形的运算法则的话，那么，利用这些法则去直接计算混循环小数之间的加法运算就不是一件难事了。

★规律
（1）有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。

其循环节跟原加数的循环节相同。

法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环
小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节……补足再
相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。

（2）两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。

法则是：用两个循环节相加的和除于99……9（其中9的个数等于循环节的位数），
商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循
环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。

（3）两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。

方法是：先把两个加数改成
循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小
数，再按照法则（2）进行计算。

1．直接计算下列各题
+
+0.90.8
0.40.3
+0.430.35
+
+0.50.89
+0.40.98
0.980.89
0.1230.234+ 0.456
0.56+ 0.780.12+ 0.40.789+ 0.825
0.7+ 2． 直接计算下列各题 0.230.435+ 0.389
0.98+ 0.2370.8+ 0.75460.283+ 0.203
0.02+ 0.6780.67+ 3． 将分数化成小数计算 2(1)0.853+ 51(2)0.3869
++ 25491(3)3691199++++ 7583113(4)0.38999999
++++ 四、 循环小数与整数作乘法
我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。

由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。

下面分两种情形来讨论。

（1） 纯循环小数乘以整数。

考察下面例子： 30.3220.69⨯=⨯= 30.344 1.39
⨯=⨯= 430.43220.8699⨯=⨯= 83733480.83744 3.351999999
⨯=⨯== 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？
（2） 混循环小数乘以整数。

混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进
行计算。

例如，计算
0.325(0.32105)10(3.25)1016.110 1.61⨯=⨯⨯÷=⨯÷=÷=
任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法则。

★ 规律
（1） 纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数
中的循环节位数相同。

法则是：用循环节乘以整数的积除以99……9（其中9的个数等于循环节的位数），商作积的整数部分，余数作积的循环节。

（2） 混循环小数乘以整数，先将混循环小数扩大一定的倍数，使它变成纯循环小数，
按照纯循环小数乘以整数的法则算出积，再将所得的积缩小同样的倍数，就得到混循环小数乘以整数的积。

1、
计算下列各题
0.42⨯ 0.044⨯ 0.246⨯
0.3248⨯ 0.563⨯ 0.0565⨯
0.2567⨯ 0.12569⨯ 0.5068⨯ 2、 计算
0.80.9⨯ 0.870.65⨯ 0.850.613+⨯
8170.359
⨯+ 1250.87⨯⨯ 7.087490.1
⨯+
第三讲 分数计算（一）
学习提示：
在分数四则混合运算中，按照四则运算的顺序进行计算的同时，如果能够根据数据特点灵活运用定律，可以使计算更简便、迅速。

这一点在一定程度上反映一个人智商的高低和知识掌握的灵活程度。

典型题解
例1 2011193411 3.00320919195
÷⨯⨯ 分析 我们在五年级学过数的整除，看到209、119、195这样的数，不难想起7、11、13、19等质数，3.003好象与1001有关系，它可是有7、11、13这三个质因数，好象能约分，可以试一试。

2500193430032091191951000
=
⨯⨯⨯原式 250019217371113111971735131000
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ = 1 太好了，约完分正好等于1。

看到一个数字，你能想起哪些数学知识，这也可以说是数感吧！
例2 200412004200420052006
÷+ 分析：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。

分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。

12006
⨯÷+20042006原式=20042005 12006
2005120062006
1⨯
+⨯=+=2005=200420042006 真好，又等于1。

聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11
÷12005
也是很好算的，这一方法就留给你们吧！ 例3 131.87.919944.3 2.1
4⨯+⨯+⨯ 分析 算式是乘加乘的形式，有可能运用乘法分配律，第一个乘法算式与第三个乘法算式中分别有两个因数7.9和2.1，但是另一个因数不相同，可以把44.3拆成31.8与12.5的和后反复运用乘法分配律。

1
31.87.9199(31.812.5) 2.1
4⨯+⨯++⨯原式=
1
31.87.9199
31.8 2.112.5 2.1
41
31.8(7.9
2.1)19912.5 2.1
4
31819(8 1.25) 1.25 2.1318
19819 1.25 1.25 2.1
318152 1.25(19
21)
31815250
520
⨯+⨯+⨯+⨯=⨯++⨯+⨯=+⨯++⨯=+⨯+⨯+⨯=++⨯+=++== 怎么样，合理运用和、差、积、商的变化规律进行拆分、转化创造条件运用运算定律，可以使计算变的简单吧。

例4
1234+2468+481216
1357+261014+4122028
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
分析 看起来数很大、很复杂，但排列很有规律性。

1234⨯⨯⨯自不用说，
4246812222324=21234;
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4481216=4123 4.
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯哇！分母也有这一规律，用乘法分配律又可以约分了。

4444441123421234+41234=11357+21357+41357
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯原式
444444
1234(1+2+4)1357(1+2+4)
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 835
= 例5
2
2004
4200420032005
+-⨯ 2200420042004200420042003200520052003,200420032003,2004(2004-2003)-2003=1
⨯⨯⨯分析 即表示个,表示个也可以看成个再加上一个这样分母就转变为
2004
4
20042004200320042003
2004
= 4 2004(20042003)2003 =2004+4 =2008
=
+⨯-⨯-+⨯--原式
其实此题运用的就是例3中拆数的方法，正反运用乘法分配律。

分数计算千变万化，但万变不离其宗，除了要掌握分数运算的计算法则、定律、性质外，还要有以下两种意识：
1、 约分。

约简分子、分母中的公因数及公因式。

2、 灵活运用定律、性质。

这里说的主要是运用乘法分配律。

对于形如乘加(减)乘的算
式及乘法算式，有一个因数可以凑整时，分析另一个因数的特点，必要时进行拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。

同学们，通过以上讲解，不知对你是否有些启发，试一下怎么样。

课后自测：
3
1 5.619.90.38(0.193
1.1)10
331423 2.843(1 1.42)1
4525
19981
31998199819992000
1534 3.47 3.67.53?3)
918542311951(18)2019341223
139
1.3 3.911.73927171717611.3
2.6
3.936917⨯⨯÷⨯⨯⨯÷÷⨯⨯÷+
⨯÷-+⨯-+÷
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
⨯⨯+⨯⨯+、 、 、 、 （、 、
2
23
1717
1111117111111
2345998999
123456789876543218999999999⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++++++++++++++、 、
第四讲 分数计算（二）
学习提示
在五年级的课本中，我们就学习过这样的题目：
111112233445
+++⨯⨯⨯⨯，如果直接通分计算，是对的，但是显然很麻烦。

我们可以把每一个分数拆分为两个单位分数的差来计
算：原式=
1111111114
112233445
55
-+-+-+--=（）（）（）（）=。

通过拆分，使得一部分分数相互抵消，从而简便计算。

两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化为分子是1的分数来计算，所以后人常把分子是1的分数叫做埃及分数。

埃及分数在分数计算中有着重要的规律。

如
111
1(1)11111(2)()(,)1111(3)()(,,)21111
(4)()(,,,)3a a a a a b a b a b a b b a a b c a b c a b c a b b c
a b c d a b c d a b c d a b c b c d
=-
⨯++=-⨯<⨯-=⨯-<<⨯⨯⨯⨯=⨯-<<<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）为两个连续自然数，且为三个连续自然数，且为四个连续自然数，且这一讲，我们就来研究通过分数的拆分，计算较复杂的分数计算题。

典型题解 例1、
11111
122334
989999100
++++
+⨯⨯⨯⨯⨯
分析 每项分子都是1，分母都是两个连续自然数的乘积，所以每项都可以拆成两个单位分数的差，一部分分数相互抵消，从而使计算简便。

解答 原式111111
1111122334
989999100
=-+-+-++
-+- 1
1100=-
99
100
=
怎么样，够简单吧。

例2、
1111112558811111414171720
+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯
分析 每项分子都是1，分母排列很有规律，但不是连续的自然数，差均为3，拆分时不要忘
了每一项都乘以
13
解答 原式=111111111
111111()()()()()3253583811
3141731720
⨯-+⨯-+⨯-+
+⨯-+⨯-
111()3220
320
=⨯-=
例3、
20042004200420042004
545117221357
++++ 分析 哇！数太大了吧。

别急！仔细看看，分子可都是2004，不就可以看成2004乘分子都是1的分数了吗。

那分母呢？515,4559,117913,2211317,3571721=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，分母是两个差是4的自然数的乘积形式，可以拆分分数了。

不过，可别忘了2004乘1
4
解答 原式111112004()545117221357
=⨯+
+++ 111111
2004()155991313171721411
2004(1)214
33407
=⨯++++⨯
⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯=
题目的形式变了，可逃不脱同学们敏锐的观察力，总可以转化成我们学习过的形式。

艺高人胆大，胆大可还要心细哟！
例4、111
1
123234345181920+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
分析 这道题的每一项的分子都是1，分母均为3个连续自然数相乘的形式，可以用拆分分数的方法。

怎么拆？比如第一项：1111
()12312232
=-⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，噢对了，别忘
了三个连续自然数都乘12
解答 原式111111111(
)()()1223223342
181919202
=-⨯+-⨯++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1111111
()12232334181919202
111()23802
18913802189760
=-+-++
-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯=⨯=
例5、11
113992411(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
(1)
22323423
99
+++
+
+++++++++
分析 没见过这么复杂的题，太难了！没关系，找不到思路的话可以一项一项的试算一下看有没有什么规律：
1
13122212223231211
1223311343434(1)(1)2323
11
122441113454545(1)(1)(1)234234
=÷=⨯=⨯+==⨯=
⨯++⨯
==⨯=
⨯+++⨯⨯
发现了，发现了，都可以转化为分子都是2，而分母是两个连续自然数乘积的形式，那么最
后一项就是
2
99100
⨯，就如同例3，可以拆分分数了。

解答 原式1111
399243343453451
22323423499
=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2222
23344599100
1111112()
233499100
112()
21004950
=
++++⨯⨯⨯⨯=⨯-+-++-=⨯-=
怎么样，还不算难把。

灵活利用埃及分数的拆分规律，可以简便这一些看起来很复杂的分数数列计算。

但要特别注意以下几点：
1、 认真审题。

找准规律，灵活应用简算方法。

2、 对于比较陌生的题目，可采用试算找规律的方法，转化为学习过的题目。

3、 掌握基本方法的同时，勇于创新，寻找新的解题方法。

好了，开始我们的练习，在练习中巩固你学会的方法，并开始你新的探索！
课后自测：
1、111123344520032004++++⨯⨯⨯⨯
2、
111111112203042567290++++++ 3、1111123202612420++++
4、555555(1484204374594864+++++首届《六一》杯六年级决赛试题）
5、2222
123234345282930
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
6
、
234
100
11+2(1+2)1+2+3(1+2+3)1+2+3+4(1+2+
+99)1+2+
+100+++
+
⨯⨯⨯⨯（）（）（）
（）
7、
1111
1+2123123412319
+++++++++++++ 8、1111
12342345345611121314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
9、11212312341123
99
123344455556100100100
100
+++++++++++++
++++
10、
22222222
222212233445200220032003200412233445
2002200320032004
++++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯
第五讲 分数百分数应用题（一）
学习提示：
分数，百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学的重点和难点之一。

学好分数，百分数应用题对发展能力，提高解题技能，具有非常重要的作用。

解答分数，百分数应用题的关键是确定单位“1”，能够准确找出量与率之间的对应关系。

分数，百分数应用题涉及的知识广泛，数量关系变化莫测，有时数量关系又比较隐蔽，我们必须仔细审题，能灵活的应用一些解题方法。

基本训练：
（1），男生人数占全班人数的
11
5
，你想到了什么？ 分析 这句话就是我们平时所说的“带有分率的句子”，它包含了丰富的数量关系，看到这句话我们能想到： 1， 把全班人数看作单位“1”，把全班人数平均分成11份，男生相当于其中的5份，女
生相当于其中的6份。

2， 女生人数占全班人数的11
6。

3， 男生人数占女生人数
65。

4，
女生人数是男生人数5
6
倍。

（2），读一本120页的书，读了这本书的3
2
，还剩多少页？ 分析 1，
读了这本书的
32，以这本书的页数为单位“1”，没读的占这本书的3
2
1-，单位“1”的量是已知的为120页，求321-
的对应量： 40321120=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯（页）。

量与率的对应是解答分数，百分数的应用题的关键。

2，
我们还可以换一个角度来思考：读了这本书的
3
2
，以这本书的页数为单位“1”，把单位“1”平均分成3份，读了其中的2份，还有（3-2）份没读，()40233120=-⨯÷（页）这样就把一个分数应用题转化为整数应用题，这是解答分数，百分数应用题的一个重要思路。

（3），读一本120页的书，第一天读了这本书的3
1
，第二天读了这本书的0025，还剩下多少页没有读？
分析 把百分数化成分数，分析的方法与上题相同。

502531112000=⎪⎭
⎫
⎝⎛--
⨯（页）。

（2），（3）题的数量关系基本是相同的：单位“1”的量⨯分率=分率的对应量。

（4），读一本120页的书，第一天读了这本书的3
1
，第二天读了这本书的0025，还剩下50页没读，这本书一共多少页？
分析 以这本书的总页数为单位“1”，还与剩下的50页对应的分率是00253
1
1--，求单位“1”的量，用除法计算：120253115000=⎪⎭
⎫
⎝⎛
--
÷（页）。

（5），读一本书，第一天读了这本书的3
1
，第二天读了这本书的0025，第一天比第二天多读了10页，这本书一共多少页？ 分析 第一天比第二天多占这本书的
00253
1
-，与第一天比第二天多看的10页相对应，求单位“1”的量，用除法计算12025311000=⎪⎭
⎫
⎝⎛-÷（页）。

（4）（5）（6）题的数量关系基本相同，分率的对应量÷分率=单位“1”的量。

在认真读题
的基础上，首先确定谁为单位“1”，再结合线段图确定量率对应关系。

这是解决较为复杂分数，百分数应用题的基础。

典型题解
例1．读一本书，第一天读了这本书的31还多10页，第二天读了这本书的4
1
少3页，还剩下43页没读，这本书一共多少页？
分析 假设第一天多读的10页没有读，这好事这本书的31。

第二天正好读了这本书的4
1
，那么还剩的页数就是43+10-3，转化为型如题（4），量率对应便清晰了：43+10-3与4
1
311-
-相对应，求这本书的总页数，用除法计算。

解答
()120
12
5
50413
1131043=÷=⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--÷-+
答：这本书共有120页。

例2
用两天读完一本130页的书，第一天读的页数比第二天的
2
1
多10页，第一天读了多少页？
分析 由题意知道第二天读的页数是单位“1”，画线段图如下：
假设第一天读的页数正好是第二天的2
1
，则全书的页数为（130-10）页，从图中可以看出，两天共读的占第二天的（1+
2
1），与（130-10）相对应，求单位“1”的量用除法计算，求出第二天读的页数后。

再求第一 天读的页数。

解法1 第二天 （130-10）÷（1+2
1） =2
3120÷
=80（页）
第一天 130-80=50（页） 答：第一天读了50页。

解法2 本题也可以用“份”的思想转化为整数应用题来解答 （130-10）÷（1+2）+10 =103120+÷ =50（页）
答：第一天读了50页。

例3
阳光水果店运来荔枝，香蕉，苹果共1600千克。

当卖出荔枝总数的
7
5
和150千克香蕉后，又临时运来200千克苹果，这时剩下的三种水果数量恰好同样多。

原来运来这三种水果各多少千克？
分析 由题意可知以荔枝的总数为单位“1”，卖出荔枝总数的
75，还剩荔枝总数的7
2。

卖出150千克香蕉后，又临时运来200千克苹果，这时剩下的三种水果数量恰好同样多。

说明香蕉的数量相当于荔枝总数的
72还多150千克。

苹果的数量相当于荔枝总数的7
2
少200千克。

假设运水果时少运150千克香蕉，多运200千克苹果，即1600-150+200=1650（千克），这1650千克正好对应荔枝总数的⎪⎭
⎫
⎝⎛++
72721，所以有： 解答 荔枝的数量：（1600-150+200）÷⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++
72721
=7
111650÷
=1050（千克）
香蕉的数量： 150
300150
7
2
1050+=+⨯ =450（千克） 苹果的数量：2007
2
1050-⨯
=300-200 =100（千克）
答：水果店原来运来荔枝1050千克，香蕉450千克，苹果100千克。

提示：本题也可以用“份”的思想转化为整数应用题来解答，很好解的哦，就留给同学们吧。

例4
小华读一本故事书，第一天读了这本书的31，第二天读了余下的5
3
，两天一共读了220页，这本书一共多少页？
分析 以这本书的总页数为单位“1”，第二天读了余下的
53，也就是读了311-的5
3
，第二天读了这本书的5
2
53311=⨯
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-，两天共读的220页与两天共读的分率5231+相对应。

解答 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
-+÷5331131220
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷5231220 =15
11220÷
=300（页） 答：这本书共有300页。

例5
甲，乙两人分别有人民币若干元，甲比乙多
31，当甲给乙9元时，乙反而比甲多5
4
，问甲乙两人原来分别有人民币多少元？
分析 注意到本题中甲乙两人持有的人民币的总和没变，因此把两个人的钱数总和看作单位
“1”，由“甲比乙多31”可以知道甲占两人总数的74，后来“乙反而比甲多5
4
”，甲占总数的145，由此可以确定与14
574-的差相对的量是9元。

解答： 421541113113119=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛++
÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
+÷（元）
甲原来有247
4
42=⨯
（元），乙原来有182442=-（元） 答： 甲原来有24元，乙原来有18元。

课后自测 1．
小华看一本故事书，每天看60页，3天后还剩下这本书的8
5
，这本故事书共有多少页？
2．
小芳读一本故事书，第一天读了这本书
61还多6页，第二天读了这本书的8
1少8页，最后还剩下172页没读，这本故事书一共多少页？
3．
参加六年级数学竞赛的学生共有577人，其中未获奖的女同学占女同学人数的
9
1
，未获奖的男同学有33人，获奖的男女同学人数相等，问参赛的女同学共有多少人？
4．
有红黄两种颜色的球共130个，拿出红球的
5
1
，再拿出4个黄球，剩下的红球和黄球个数正好相等，原来红球和黄球各有多少个？
5．
某发电厂去年计划发电140万千瓦时，结果上半年完成全年计划的7
3
，下半年完成全年计划的
5
3
，去年超额发电多少千瓦时？ 6．
菜农的西红柿大丰收，收下全部的8
3
时，装满了4筐还多50千克，收完其余部分时，
又刚还装满8筐，求共收西红柿多少千克？
7．
某校共有五，六年级学生210人，五年级有21人参加了七一文艺演出，六年级有0025的学生参加了文艺演出，这是两年级剩下的人数相等。

五，六年级各有学生多少人？ 8．
某种彩色电视机要让利销售，如果按销售价打九折出售，还可盈利210元，如果按销售价打八折出售，就要亏损120元，那么这种电视机的进价是到少元？ 9．
有红，黄两种颜色的球，红球的0050与黄球的3
1
合在一起是130颗，黄球的0050与红球的
3
1
合在一起是120颗，红球和黄球各有多少个？ 10． 甲，乙两个仓库存有若干吨玉米，如果从甲舱运24吨到乙仓，则甲仓的玉米比乙仓少
73，如果从乙舱运24吨到甲仓，则乙仓的玉米比甲仓少8
5
，甲乙两仓共存玉米多少吨？。