鲁棒控制理论综述
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2、未来拓展方向
线性系统的鲁棒控制理论已经基本形成，然而，对于非线性系统由于问题本身的复杂性以及数学建模的困难性，其研究还需要不断加以完善，当然现在就有大量学者在这个领域从事研究，比如2012年西班牙学者Saleh S.Delshad等人就利用LMI优化方法针对非线性不确定时滞系统做了关于 观测器设计方面的研究[12]。但是关于非线性系统的鲁棒控制问题还有待进一步深入探讨。我们充分利用现有各种方法的特点，有机的结合其中几种方法较之孤立的研究某一方法要有效的多，几种方法结合会为非线性鲁棒控制的研究开辟新的方向。
⑷它是频域内的最优控制理论，但 控制器的参数设计比最优调节器更加直接。
正因为如此， 控制理论的应用研究得到了广泛的重视，而且在一些工业控制领域已得到成功应用。 控制理论的研究成果已有许多被编入到MATLAB等高可靠性的商业软件中，这些应用软件为 控制理论的广泛应用和理论研究的进一步发展提供了一定的技术支持和开发手段。
由于系统固有性质所决定的不确定性，在频域上往往表现为具有特定的结构。 控制对于处理非结构不确定性是精确和全面的，但是对于处理结构不确定性则存在着设计上的保守性。利用结构奇异值 作为控制系统设计的度量，可以克服设计上的保守性，使控制系统设计更具有普遍性，能够把鲁棒稳定性和鲁棒性能结合起来考虑，从而设计出性能和鲁棒性都满足较高要求的控制系统。基于结构奇异值 所具有的普遍性质以及 方法与 控制之间的联系，使得控制系统的设计可以使用基于 控制的 综合法。
鲁棒控制理论综述
作者学号：
摘要：本文首先介绍鲁棒控制理论涉及的两个基本概念（不确定性和鲁棒）和发展过程，然后叙述鲁棒控制理论中两种主要研究方法： 理论、 控制理论，最后指出鲁棒控制研究的问题和扩展方向。
关键词：鲁棒控制理论， 理论， 控制理论
一、引言
自从系统控制（Systems and Control）作为一门独立的学科出现，对于系统鲁棒性的研究也就出现了。这是由这门学科的特色和研究对象决定的。对于世界上的任何系统。由于系统本身复杂性或是人们对其认识的不全面，在系统建立模型时，很难用数学语言完全描述刻画。在这样的背景下，鲁棒性的研究也就自然而然地出现了。
[2]G.Zames.Functional analysis applied to nonlinear feedback systems[J].Transaction on Circuit Theory,1963,10(5):392-404.
[3]R.E.Kalman.When is a linear control system optimal?[J].Transaction ASME,Ser.D,1964,86:51-60.
2、鲁棒
“鲁棒”一词来自英文单词“robust”的音译，其含义是“强壮”或“强健”。所谓鲁棒性（robustness）,是指一个反馈控制系统在某一特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐近调节和动态特性这三方面保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性的能力。具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。在工程实际控制问题中，系统的不确定性一般是有界的，在鲁棒控制系统的设计中，先假定不确定性是在一个可能的范围内变化，然后在这个可能的变化范围内进行控制器设计。鲁棒控制系统设计的思想是：在掌握不确定性变化范围的前提下，在这个界限范围内进行最坏情况下的控制系统设计。因此，如果设计的控制系统在最坏的情况下具有鲁棒性，那么在其他情况下也具有鲁棒性。
六、尚待研究的问题和拓展方向
1、鲁棒控制理论尚待研究的问题
⑴目前提出一些鲁棒控制方法，包括一些自适应控制等都不可避免地要依赖于对系统数学模型的精确数学分析，所以对线性系统取得的成果较多，而对时变非线性系统则成果不多，因为后者很难精确而鲁棒控制设计又离不开以一定精确的数学模型为依据，这就是矛盾，这个矛盾若没有好的方法加以克服，鲁棒性强的控制将难以得到。这点对时变非线性系统尤其突出。在这方面需要在概念上和方法上有新的创造。
[4]E.J.Davision.The output control of linear time invariant multivariable systems with unmeasurable arbitrary disturbance control[J]. IEEETransaction on Automatic Control,1971,17:621-630.
三、发展历程
鲁棒控制系统设计思想最早可以追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计。由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，所以设计出来的控制系统往往是动态不稳定的。早期的鲁棒研究主要集中在Bode图，1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。1945年Bode讨论了单输入单输出（SISO）反馈系统的鲁棒性，提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定范围。这些方法主要用于单输入单输出系统而且这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属灵敏度分析的范畴，从数学上说是无穷小分析思想，并且只是停留在理论上。20世纪六七十年代，鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMIO进行了初步的推广[1]，与此同时，状态空间理论引入控制论后，系统控制取得了很大的发展，鲁棒问题也显得更加重要，其中就要提到两篇对现代鲁棒控制理论的建立有重要影响的文章：一篇是Zames在1963年关于小增益定理的论文[2]，另一篇是1964年Kalman关于单入单输出系统LQ调节器稳定裕量分析的研究报告[3]。鲁棒控制这一术语第一次在论文中出现是在1971年Davion的论文[4]，而首先将鲁棒控制写进论文标题的是Pearson等人于1974年发表的论文[5]。当然，鲁棒控制能够被推广到现代控制理论研究的前沿，与这一时期有关的Nyquist判据在多变量系统中的推广、有理函数矩阵分解理论以及Youla参数化方法等基础理论的进展是密切相关的。
⑴确定了系统在频域内进行回路成形的技术和手段，充分克服了经典控制理论和现代控制理论各自的不足，使经典的频域概念与现代的状态空间方法融合在一起；
⑵可以把控制系统设计问题转换成 控制问题，这样更加接近实际情况，并满足实际需要；
⑶给出了鲁棒控制系统的设计方法，可以通过求解两个Riccati方程或一组线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality,LMI）来获得 控制器，充分地考虑了系统不确定性带来的影响，不仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化一些性能指标；
进入20世纪80年代以来，关于控制系统的鲁棒研究引起了高度的重视，可以说这是鲁棒控制理论的发展阶段。特别是1981年，IEEE Transaction on Automatic Control出版了题为《线性多变量控制系统》的专辑，所收录的论文主要是强调将奇异值作为分析多变量系统频域鲁棒性的测度，这些结果形成了鲁棒 控制理论的基本框架。在这个专辑中，Zames提出了最优灵敏度控制方法[6]。同年，Doyle和Stein提出了在频域进行回路成形（Loop Shaping）的重要性[7]，使得在控制系统设计中许多鲁棒稳定性和鲁棒性能的指标可以表达为特定闭环传递函数矩阵的 范数。现如今 控制理论已经成为鲁棒控制理论的经典工具。当然，作为鲁棒控制的有效方法之一而吸引着众多学者进行研究的是Doyle在1982年提出的结构奇异值 方法[8]，后来进而形成 解析理论[9]。
在下面两节中，本文将介绍鲁棒控制理论中这两种主要研究方法： 理论和 控制理论的基本思想以及各自的相关特点。而பைடு நூலகம்中，本文将侧重介绍 控制理论。
四、 控制理论
控制方法是由加拿大学者Zames首先提出的。这种方法的核心思想是：在保证控制系统渐近稳定的同时能将干扰对系统性能的影响抑制在一定范围之内。简而言之，就是保证控制对象对干扰等不利因素具有较强的鲁棒性。 控制具有以下几个特点：
参考文献：
[1]Cruz.J B,PerkinsW R.A new approach to the sensitivity problem in multivariable feedback system design[J].IEEE Transaction on Automatic Control.1964,AC-9(3):216-223.
二、不确定性与鲁棒
1、不确定性
谈到系统的鲁棒性，必然会涉及系统的不确定性。由于控制系统的控制性能在很大程度上取决于所建立的系统模型的精确性，然而，由于种种原因实际被控对象与所建立的模型之间总存在着一定的差异，这种差异就是控制系统设计所面临的不确定性。这种不确定性通常分为两类：系统内部的不确定性和系统外部的不确定性。这样，就需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论。这就是鲁棒控制所要研究的课题。
[10]Haixia WU,Xiaofeng Liao,et al.Robust stability analysis of uncertain systems with two additive time-varying delay components[J].Applied Mathematical Modeling,2009,33:4345-4353.
[7]Doyle J C,Stein G.Multivariable-feedback design:Concepts for a classical/modern synthesis[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1981,26(1):4-16.
五、 理论
Doyle于1982年首次提出了结构奇异值——SSV（Structured Singular Value）的概念，再经Doyle自己以及Packard等的进一步研究整理便上升为研究不确定鲁棒控制的结构奇异值理论（即 理论）。这一理论的基本思想是：将一个具有回路多点独立的有界范数摄动化为块对角摄动结构，然后给出判断系统鲁棒稳定的充要条件。
⑵发展任何一种控制理论的最终目的都是为了实际应用。随着鲁棒控制理论向着工程应用方面的发展，利用它来控制化工、冶金等工业过程中广泛存在的时滞问题引起了控制界的关注，而其中关于时滞系统的鲁棒控制成为新的研究热点。2009年中国学者Haixia Wu等人针对时滞可分为两部分的时变时滞不确定系统进行了鲁棒稳定性分析[10]。韩国学者O.M.Kwon等人通过构建新的增广Lyapunov-Krasovskii泛函并结合LMI的框架针对线性区间时变时滞系统进行了鲁棒 性能分析[11]。
[5]Pearson J B,Staats P W Jr.Robust controllers for linear regulators[J]. IEEE Transaction on Automatic Control,1974,19:231-234.
[6]Zames G.Feedback and optimal sensitivity:model reference transformations,multiplicative seminars and approximation inverses[J]. IEEE Transaction on Automatic Control,1981,26(1):301-320.
[8]Doyle J C.Analysis of feedback systems with structured uncertainties[J].IEEE Proceedings D Control theory and Applications,1982,129(6):242-250.
[9]Doyle J C.Analysis of control systems with structured uncertainty[J].IEEE Proceedings D Control theory and Applications,1992,129:242-2505-10.
线性系统的鲁棒控制理论已经基本形成，然而，对于非线性系统由于问题本身的复杂性以及数学建模的困难性，其研究还需要不断加以完善，当然现在就有大量学者在这个领域从事研究，比如2012年西班牙学者Saleh S.Delshad等人就利用LMI优化方法针对非线性不确定时滞系统做了关于 观测器设计方面的研究[12]。但是关于非线性系统的鲁棒控制问题还有待进一步深入探讨。我们充分利用现有各种方法的特点，有机的结合其中几种方法较之孤立的研究某一方法要有效的多，几种方法结合会为非线性鲁棒控制的研究开辟新的方向。
⑷它是频域内的最优控制理论，但 控制器的参数设计比最优调节器更加直接。
正因为如此， 控制理论的应用研究得到了广泛的重视，而且在一些工业控制领域已得到成功应用。 控制理论的研究成果已有许多被编入到MATLAB等高可靠性的商业软件中，这些应用软件为 控制理论的广泛应用和理论研究的进一步发展提供了一定的技术支持和开发手段。
由于系统固有性质所决定的不确定性，在频域上往往表现为具有特定的结构。 控制对于处理非结构不确定性是精确和全面的，但是对于处理结构不确定性则存在着设计上的保守性。利用结构奇异值 作为控制系统设计的度量，可以克服设计上的保守性，使控制系统设计更具有普遍性，能够把鲁棒稳定性和鲁棒性能结合起来考虑，从而设计出性能和鲁棒性都满足较高要求的控制系统。基于结构奇异值 所具有的普遍性质以及 方法与 控制之间的联系，使得控制系统的设计可以使用基于 控制的 综合法。
鲁棒控制理论综述
作者学号：
摘要：本文首先介绍鲁棒控制理论涉及的两个基本概念（不确定性和鲁棒）和发展过程，然后叙述鲁棒控制理论中两种主要研究方法： 理论、 控制理论，最后指出鲁棒控制研究的问题和扩展方向。
关键词：鲁棒控制理论， 理论， 控制理论
一、引言
自从系统控制（Systems and Control）作为一门独立的学科出现，对于系统鲁棒性的研究也就出现了。这是由这门学科的特色和研究对象决定的。对于世界上的任何系统。由于系统本身复杂性或是人们对其认识的不全面，在系统建立模型时，很难用数学语言完全描述刻画。在这样的背景下，鲁棒性的研究也就自然而然地出现了。
[2]G.Zames.Functional analysis applied to nonlinear feedback systems[J].Transaction on Circuit Theory,1963,10(5):392-404.
[3]R.E.Kalman.When is a linear control system optimal?[J].Transaction ASME,Ser.D,1964,86:51-60.
2、鲁棒
“鲁棒”一词来自英文单词“robust”的音译，其含义是“强壮”或“强健”。所谓鲁棒性（robustness）,是指一个反馈控制系统在某一特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐近调节和动态特性这三方面保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性的能力。具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。在工程实际控制问题中，系统的不确定性一般是有界的，在鲁棒控制系统的设计中，先假定不确定性是在一个可能的范围内变化，然后在这个可能的变化范围内进行控制器设计。鲁棒控制系统设计的思想是：在掌握不确定性变化范围的前提下，在这个界限范围内进行最坏情况下的控制系统设计。因此，如果设计的控制系统在最坏的情况下具有鲁棒性，那么在其他情况下也具有鲁棒性。
六、尚待研究的问题和拓展方向
1、鲁棒控制理论尚待研究的问题
⑴目前提出一些鲁棒控制方法，包括一些自适应控制等都不可避免地要依赖于对系统数学模型的精确数学分析，所以对线性系统取得的成果较多，而对时变非线性系统则成果不多，因为后者很难精确而鲁棒控制设计又离不开以一定精确的数学模型为依据，这就是矛盾，这个矛盾若没有好的方法加以克服，鲁棒性强的控制将难以得到。这点对时变非线性系统尤其突出。在这方面需要在概念上和方法上有新的创造。
[4]E.J.Davision.The output control of linear time invariant multivariable systems with unmeasurable arbitrary disturbance control[J]. IEEETransaction on Automatic Control,1971,17:621-630.
三、发展历程
鲁棒控制系统设计思想最早可以追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计。由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，所以设计出来的控制系统往往是动态不稳定的。早期的鲁棒研究主要集中在Bode图，1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。1945年Bode讨论了单输入单输出（SISO）反馈系统的鲁棒性，提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定范围。这些方法主要用于单输入单输出系统而且这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属灵敏度分析的范畴，从数学上说是无穷小分析思想，并且只是停留在理论上。20世纪六七十年代，鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMIO进行了初步的推广[1]，与此同时，状态空间理论引入控制论后，系统控制取得了很大的发展，鲁棒问题也显得更加重要，其中就要提到两篇对现代鲁棒控制理论的建立有重要影响的文章：一篇是Zames在1963年关于小增益定理的论文[2]，另一篇是1964年Kalman关于单入单输出系统LQ调节器稳定裕量分析的研究报告[3]。鲁棒控制这一术语第一次在论文中出现是在1971年Davion的论文[4]，而首先将鲁棒控制写进论文标题的是Pearson等人于1974年发表的论文[5]。当然，鲁棒控制能够被推广到现代控制理论研究的前沿，与这一时期有关的Nyquist判据在多变量系统中的推广、有理函数矩阵分解理论以及Youla参数化方法等基础理论的进展是密切相关的。
⑴确定了系统在频域内进行回路成形的技术和手段，充分克服了经典控制理论和现代控制理论各自的不足，使经典的频域概念与现代的状态空间方法融合在一起；
⑵可以把控制系统设计问题转换成 控制问题，这样更加接近实际情况，并满足实际需要；
⑶给出了鲁棒控制系统的设计方法，可以通过求解两个Riccati方程或一组线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality,LMI）来获得 控制器，充分地考虑了系统不确定性带来的影响，不仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化一些性能指标；
进入20世纪80年代以来，关于控制系统的鲁棒研究引起了高度的重视，可以说这是鲁棒控制理论的发展阶段。特别是1981年，IEEE Transaction on Automatic Control出版了题为《线性多变量控制系统》的专辑，所收录的论文主要是强调将奇异值作为分析多变量系统频域鲁棒性的测度，这些结果形成了鲁棒 控制理论的基本框架。在这个专辑中，Zames提出了最优灵敏度控制方法[6]。同年，Doyle和Stein提出了在频域进行回路成形（Loop Shaping）的重要性[7]，使得在控制系统设计中许多鲁棒稳定性和鲁棒性能的指标可以表达为特定闭环传递函数矩阵的 范数。现如今 控制理论已经成为鲁棒控制理论的经典工具。当然，作为鲁棒控制的有效方法之一而吸引着众多学者进行研究的是Doyle在1982年提出的结构奇异值 方法[8]，后来进而形成 解析理论[9]。
在下面两节中，本文将介绍鲁棒控制理论中这两种主要研究方法： 理论和 控制理论的基本思想以及各自的相关特点。而பைடு நூலகம்中，本文将侧重介绍 控制理论。
四、 控制理论
控制方法是由加拿大学者Zames首先提出的。这种方法的核心思想是：在保证控制系统渐近稳定的同时能将干扰对系统性能的影响抑制在一定范围之内。简而言之，就是保证控制对象对干扰等不利因素具有较强的鲁棒性。 控制具有以下几个特点：
参考文献：
[1]Cruz.J B,PerkinsW R.A new approach to the sensitivity problem in multivariable feedback system design[J].IEEE Transaction on Automatic Control.1964,AC-9(3):216-223.
二、不确定性与鲁棒
1、不确定性
谈到系统的鲁棒性，必然会涉及系统的不确定性。由于控制系统的控制性能在很大程度上取决于所建立的系统模型的精确性，然而，由于种种原因实际被控对象与所建立的模型之间总存在着一定的差异，这种差异就是控制系统设计所面临的不确定性。这种不确定性通常分为两类：系统内部的不确定性和系统外部的不确定性。这样，就需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论。这就是鲁棒控制所要研究的课题。
[10]Haixia WU,Xiaofeng Liao,et al.Robust stability analysis of uncertain systems with two additive time-varying delay components[J].Applied Mathematical Modeling,2009,33:4345-4353.
[7]Doyle J C,Stein G.Multivariable-feedback design:Concepts for a classical/modern synthesis[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,1981,26(1):4-16.
五、 理论
Doyle于1982年首次提出了结构奇异值——SSV（Structured Singular Value）的概念，再经Doyle自己以及Packard等的进一步研究整理便上升为研究不确定鲁棒控制的结构奇异值理论（即 理论）。这一理论的基本思想是：将一个具有回路多点独立的有界范数摄动化为块对角摄动结构，然后给出判断系统鲁棒稳定的充要条件。
⑵发展任何一种控制理论的最终目的都是为了实际应用。随着鲁棒控制理论向着工程应用方面的发展，利用它来控制化工、冶金等工业过程中广泛存在的时滞问题引起了控制界的关注，而其中关于时滞系统的鲁棒控制成为新的研究热点。2009年中国学者Haixia Wu等人针对时滞可分为两部分的时变时滞不确定系统进行了鲁棒稳定性分析[10]。韩国学者O.M.Kwon等人通过构建新的增广Lyapunov-Krasovskii泛函并结合LMI的框架针对线性区间时变时滞系统进行了鲁棒 性能分析[11]。
[5]Pearson J B,Staats P W Jr.Robust controllers for linear regulators[J]. IEEE Transaction on Automatic Control,1974,19:231-234.
[6]Zames G.Feedback and optimal sensitivity:model reference transformations,multiplicative seminars and approximation inverses[J]. IEEE Transaction on Automatic Control,1981,26(1):301-320.
[8]Doyle J C.Analysis of feedback systems with structured uncertainties[J].IEEE Proceedings D Control theory and Applications,1982,129(6):242-250.
[9]Doyle J C.Analysis of control systems with structured uncertainty[J].IEEE Proceedings D Control theory and Applications,1992,129:242-2505-10.