高三数学12月月考试题 理(无答案)1
河北省唐山一中2014届高三12月月考数学(理)试题 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.不等式21ax <解集为Q ，{}0p x x =≤，若104R QC P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则a 等于（ ）A.14 B.12C.4D. 22.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若0852=-a a ，则=24S S （ ） A.8- B.5 C. 8 D. 153.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】4.已知命题p ：∀x ∈（0，∞+），3x＞2x，命题q ：∃x ∈（∞-，0），x x ->2，则下列命题为真命题的是（ ）A . p ∧qB .（￢p ）∧q C.（￢p ）∧（￢q ） D.p ∧（￢q ）5.直线230x y --=与圆C ：22(2)(3)9x y -++=交于,E F 两点，则ECF ∆的面积为（ ）A ．23B.52C.553 D. 436.已知向量(sin(),1),(4,4cos 6παα=+=a b ，若⊥a b ，则4sin()3πα+等于( )A. B. 14- D. 147. (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．8.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )9.函数3sin(2)3y x π=-的图像为C ，如下结论中错误的是（ ） A ．图像C 关于直线1112x π=对称B ．图像C 关于点2(,0)3π对称 C ．函数()f x 在区间)127,12(ππ-内是增函数D ．由x y 2cos 3=得图像向右平移125π个单位长度可以得到图像C10.已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是 （ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．1111.△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且02=-+OC OB OA ，则的值为（ ）A.1-B.1C. 2-D. 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线22px y =过点()2,2M ，则点M 到抛物线焦点的距离为.14.已知,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥231y x y x x ,点A (2，1)， B (x ，y )，O 为坐标原点，则OA OB ∙最大值时为 .15.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O 的表面积为48π，则异面直线AB 与OC 所成角余弦值为 .16.已知函数()f x 对于一切实数x,y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()()110,0,21g 2a f x f x o x ⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭则当，不等式＜ 恒成立时，实数a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足：4532=⋅a a ，1441=+a a ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令122-=n S b nn ，*)()25()(1N n b b n n f n n ∈+=+，求)(n f 的最小值.18.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ， C 的对边，ACa cb cos cos 2=- (1)求A 的大小；(2)当3=a 时，求22cb +的取值范围．19.（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD 的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°.（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．考点：1.线面垂直的判定和性质；2.正三角形的性质；3.线面平行的判定；4.面面平行的判定；5.空间向量法；6.夹角公式.20.（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。
2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+D ．21i 55-【答案】B【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再求其共轭复数即可. 【详解】()()()i 2i i 12i 12=i 2i 2i 2i 555z -+===+++-， 所以z 的共轭复数为12i 55-，故选：B.2．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}Z 1B x x =∈≥，则()A B =R （ ） A ．[]{}1,21⋃- B ．[]1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,2【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()A B ⋂R . 【详解】由120x x，得1x <-或2x >，所以[]1,2R A =-；由1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，所以{Z|1B x x =∈≤-或}1x ≥， 从而(){}1,1,2A B ⋂=-R ． 故选：C3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()()12436P X P X >=⋅<，则()23P X <<=（ ） A ．13B ．14C ．16D ．19【答案】A【分析】利用对称性可得(2)(4)P X P X <=>结合条件可求()2P X <，再由 1(2)(4)(23)2P X P X P X -<-><<=求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()()12436P X P X >=⋅<， 所以1(2)(4)6P X P X <=>=， 故1111(2)(4)166(23)223P X P X P X =---<-><<==. 故选：A.4．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（ ）A ．27πB ．C ．D ．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则r l 2π=π，所以2l r =，=，所以213r π⨯=，解得3r =，故其表面积291827S r rl πππππ=+=+=；故选：A ．5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.6．已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.7．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，13AA =，2AB =，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．513B ．713C ．913D ．1213【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取11A C 的中点D ，连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ， 则1//DE A B 且112DE A B =，则1DEB ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角． 易求1113A B BC =13B D ，则113DE B E ==， 所以222111113133744cos 21313132DE B E B D DEB DE B E +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：B ．8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()2xf x k a =⋅+，若()()036f f +=，则()2log 96f =（ ）A ．2B ．0C ．-3D ．-6【答案】C【分析】根据条件，可以证明()f x 是周期为4的周期函数，计算出a 和k ，由周期性可得()()22log 961log 3f f =+ ，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()f x 为偶函数， 所以()()11f x f x -+=-，所以()()11f x f x -=-+，即()()2=-+f x f x ， 所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数；由()()11f x f x -+=-+，易得()10f =，()()()3110f f f =-==，所以()06f =， 所以6k a +=，20k a +=，解得6k =-，12a =；所以()()()222log 965log 31log 3f f f =+=+()23log 2223log 31log 621232f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=--⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故选：C ．9．已知0a b >>，0c d <<，则（ ） A ．a b d c> B ．a b d c< C ．ac bd < D ．ac bd >【答案】BC【分析】利用不等式的基本性质判断不等关系． 【详解】因为0c d <<，所以0cd >，所以110d c <<，所以110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，所以a bd c<，故 A 错误，B 正确； 因为0a b >>，0c d ->->，所以ac bd ->-，所以.ac bd <故D 错误，C 正确． 故选：BC ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．若22n S n n =-，则{}n a 是等差数列 B ．若121n n S +=-，则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则202310122023S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则221212n n n S S S -+⋅> 【答案】AC【分析】利用n a 与n S 的关系，结合等差数列与等比数列的定义，可得A 、B 的正误；根据等差中项以及等差数列求和公式，可得C 的正误；取1n =时的特殊情况验证不等式，可得D 的正误.【详解】对于A ，若22n S n n =-，则11a =，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，显然1n =时也满足43n a n =-， 故43n a n =-，由14n n a a --=，则{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，若121n n S +=-，则13a =，2214a S S =-=，3328a S S =-=，显然3212a a a a ≠，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误； 对于C ，因为{}n a 为等差数列，则()12023101220231012202320232202322a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ，当1n =时，()()222222132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时，不等式不成立，即221212n n n S S S -+⋅>不成立，故D 错误．11．关于函数()()π3sin 21R 3f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+∈，下列说法正确的是（ ）A ．若()()121f x f x ==，则()12πZ x x k k -=∈B ．()y f x =的图像关于点2π,13⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()y f x =的图像向右平移π12个单位长度后所得图像关于y 轴对称【答案】BD【分析】对于A ，根据三角函数的对称中心性质即可判断； 对于B ，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断； 对于C ，根据三角函数单调性判断即可；对于D ，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()π3sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心，则12x x -是函数()f x 的最小正周期的整数倍，即()12πZ 2k x x k -=∈，故A 不正确； 对于B ，因为2π3sin π113f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π,13⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故B 正确；对于C ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈， 当0k =时，()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 不正确；对于D ，()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象对应的函数ππ3sin 213cos 21123y x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ()()3cos213cos21()f x x x f x ∴-=--+=-+=3cos 21y x =-+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD.12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A ．存在某个位置，使直线BD 与平面ABC 所成的角为45°B ．当二面角D AC B --为23π时，三棱锥D ABC - C ．当平面ACD ⊥平面ABC 时，异面直线AB 与CD 的夹角为60°D ．O 为AC 的中点，当二面角D AO B --为23π时，三棱锥A OBD -外接球的表面积为10π 【答案】ACD【分析】A.当当平面ACD ⊥平面ABC ，即可判断；B.根据锥体体积公式，即可求解； C.将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即可求解； D.将三棱锥补体为三棱柱，即可求球心和半径.【详解】A.当平面ACD ⊥平面ABC 时，取AC 的中点O ，连接,BO DO ，DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC ，DBO ∴∠为直线BD 与平面ABC 所成的角， DBO 是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=，故A 正确；B.DO AC ⊥，BO AC ⊥，DO BO O ⋂=，AC ∴⊥平面DBO ，且23DOB π∠=， AC ⊂平面ABC ，∴平面DBO ⊥平面ABC ，且交于BO ，∴点D 在平面ABC 的射影落在BO 上，∴点D 到平面ABC 的距离6sin 602d DO =⋅=，三棱锥D ABC -的体积1166223223V =⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；C.取,BC BD 的中点,M N ，连接,,OM ON MN ，则//OM AB ，/MN DC ，所以OMN ∠或其补角是异面直线AB 与CD 的夹角，根据A 的证明可知()()22222BD =+=，112ON BD ==，且1OM MN ==，所以OMN 是等边三角形，60OMN ∠=，故C 正确；D.由条件可知AO ⊥平面DOB ，23DOB π∠=，且DO OB =，所以可以将四棱锥A DOB -补成底面是菱形的直棱柱因为四边形OBCD 是菱形，且23BOD π∠=，所以点C 是底面OBD 外接圆的圆心，取侧棱1CC 的中点E ，则E 是四棱柱外接球的球心，连结OE ，()222221022OE OC CE ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以四棱锥A OBD -外接球的半径10R =2410S R ππ==，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知向量()3,1a =-，(),2b m =，且()2a a b ⊥+，则+=a b ______． 85 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m ，即可由坐标计算向量模. 【详解】()()()23,12,223,5a b m m +=-+=-，由()2a a b ⊥+得()()()23,123,5a a b m ⋅+=-⋅-6950m =-++=，解得73m =． 则()723,1,2,333a b ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2228533a b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭85. 14．63x x ⎛⎝展开式的常数项为______.【答案】2160【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】6(3x展开式的通项公式为36662166C (3)(3(2)C ,N,6r r r r r r rr T x x r r ---+==⋅-∈≤， 令3602r -=，解得4r =，则244563(2)C 916152160T =⋅-=⨯⨯=， 所以展开式的常数项为2160. 故答案为：216015．已知函数()()()10 ln f x x x =+≥，将()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______．【答案】π4##1π4【分析】求得()f x 在点()0,0处的切线方程，从而求得正确答案. 【详解】依题意0x ≥， ()11f x x '=+，所以()01f '=，故函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线为y x =， 切线向上的方向与y 轴正方向的夹角为π4，函数()f x 的图象绕原点旋转不超过π4时，仍为某函数图象，若超过π4，y 轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故θ的最大值为π4．故答案为：π416．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则3P =_________；该棋手获胜的概率为__________． 【答案】34##0.75 85256【分析】根据题意找出(38)n P n ≤≤与21,n n P P --的关系即可求解. 【详解】由题311132224P =+⨯=，因为2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤，故11112n n n n P P P P ----=--，由2112P P -=-，所以111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加可得：2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．故答案为：34；85256.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为423+，求BC 边上中线的长． 【答案】(1)π6B = (2)7．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得2π3C =，再由正弦定理求B . （2）由（1）求出角A ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC 边上中线的长．【详解】（1）由()22214cos a b B ab +-=-，有22224cos a b b B ab +-=-，又2cos c b B =，所以2224cos c b B =，即222a b c ab +-=-， 由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-． 又()0,πC ∈，所以2π3C =，由2cos c b B =及正弦定理，得sin 2sin cos C B B =，所以3sin 22B =， 由π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2π20,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23B =，解得π6B =.（2）由（1）可知π6B =，2π3C =，所以π2πππ636A =--=， 所以a b =，由2cos c b B =，得3c a =． 因为ABC 的周长为423+，所以3423a a a ++=+，解得2a =． 设BC 的中点为D ，则112CD BC ==，如图所示:AD==，所以BC．18．已知数列{}n a的前项和为n S，若()12n nnS n S+=+，且11a=.(1)求{}n a的通项公式;(2)设()2112nn nb na a-=≥，11b=，数列{}n b的前n项和为n T，求证32nT<.【答案】(1)n a n=(2)证明见解析【分析】（1）由已知等式可得12nnS nS n++=，采用累乘法可求得当2n≥时的nS，利用1n n na S S-=-可求得n a，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n≥时nb的通项，由()()112122nbn n n n=<--，采用裂项相消法可求得11112nTn⎛⎫<+-⎪⎝⎭，由1n>可得结论.【详解】（1）由()12n nnS n S+=+得：12nnS nS n++=，则当2n≥时，()123211232111143123212n n n nn n nn nS S S S S S n n nS S S S S S n n n-----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a==，()12nn nS+∴=，()()11122n n nn n n na S S n-+-∴=-=-=，经检验：11a=满足na n=；()na n n*∴=∈N.（2）由（1）得：当2n≥时，()()11111212221nbn n n n n n⎛⎫=<=-⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n nT b b b b bn n-⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪-⎝⎭11112n⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1n>，111n∴-<，1113111222nTn⎛⎫∴<+-<+=⎪⎝⎭.19．2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下表数据：经研究发现，可用b y a x=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为35，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据：(其中1i t x =) 参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221n i ii n i i u v nu v unu β==-⋅=-∑∑，v u αβ=-⋅. 【答案】(1)100013ˆ0=+yx；150； (2)513625． 【分析】(1)令1t x =，则可利用最小二乘法估计ˆˆˆy bt a =+，从而得到ˆˆˆb y a x=+，代入x =50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度；(2)设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P =P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)．【详解】（1）由题意，()19909904503203002402105007y =++++++=，令1t x =，设y 关于t 的线性回归方程为ˆˆˆy bt a =+， 则7172217184570.37500ˆ10000.557i ii i i t y t y b tt ==-⋅-⨯⨯===-∑∑， 则ˆ50010000.37130=-⨯=a， ∴100013ˆ0=+yt ， ∴y 关于x 的回归方程为100013ˆ0=+y x， 当50x =时，ˆ150=y， ∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为150秒；（2）设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负，X 的可能取值为2、3、4．当2X =时，小明4∶1胜，∴()33925525P X ==⨯=； 当3X =时，小明4∶2胜，∴()12333363C 1555125P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭； 当4X =时，小明4∶3胜，∴()2133331084C 1555625P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ∴小明最终赢得比赛的概率为93610851325125625625++=． 20．如图，圆台下底面圆O 的直径为AB ， C 是圆O 上异于,A B 的点，且30BAC ∠=，MN 为上底面圆O '的一条直径，MAC △是边长为23的等边三角形，4MB =.(1)证明：BC ⊥平面MAC ；(2)求平面MAC 和平面NAB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析313【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（1）∵AB 为圆台下底面圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的点，故=90ACB ︒∠又∵=30BAC ︒∠，23AC =，∴4AB MB ==∵AC MC =，BC BC =∴ABC MBC ≅，∴=90BCM ︒∠∴BC MC ⊥，又∵BC AC ⊥，AC MCC ，,AC MC ⊂平面MAC ∴BC ⊥平面MAC（2）取AC 的中点，连接,DM DO ，则MD AC ⊥，由(1)可知，BC DM ⊥∵AC BC C =，∴DM ⊥平面ABC ， 又∵OD AC ⊥∴以D 为原点，DA 为x 轴，DO 为y 轴，DM 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)A ，(3,2,0)B -，∵OO '⊥平面ABC ，∴//'DM OO ，四边形ODMO '为矩形，∴(0,2,3)N平面MAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =.设平面NAB 的一条法向量为2(,,)n x y z =，(23,2,0)AB =-，(3,2,3)AN =-由2200n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得23203230x y x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令3x =3y =，1z =-平面NAB 的一个法向量为2(3,3,1)n =-则平面MAC 与平面NAB的夹角的余弦值为1212·3nn n n ==∴平面MAC 和平面NAB 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>在点()01,M y 处的切线斜率为12． (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在不同的两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围．【答案】(1)24x y =；(2)94m >.【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式计算作答.（2）设出抛物线C 上关于l 对称的两点A ，B 的坐标，并设出直线AB 的方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.【详解】（1）点1(1,)2M p ，则切线方程为：11(1)22y x p -=-，由221(1)2py p x x py -=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得： 210x px p -+-=，依题意，24(1)0p p ∆=--=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24x y =.（2）设抛物线C 上关于l 对称的两点为1122(,),(,)A x y B x y ，则设直线AB 方程为：12y x t =-+， 由2124y x t x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理得：2240x x t +-=，则有4160t '∆=+>，解得14t >-， 122x x +=-，12121()2212y y x x t t +=-++=+，显然线段AB 的中点1(1,)2t -+在直线l 上， 于是得122t m +=-+，即有52t m =-，而14t >-，因此，5124m ->-，解得94m >， 所以实数m 的取值范围是94m >. 【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点200(,)2x x p 处的切线斜率0x k p =； 抛物线22(0)y px p =≠在点2000(,)(0)2y y y p ≠处的切线斜率0p k y =. 22．某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折.(1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；(2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案.【答案】(1)247256(2)方案二【分析】（1）设顾客三次没摇出幸运号为事件A ，由独立事件概率乘法公式求得()P A ，则利用对立事件概率得所求概率为()21P A -； （2）方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈，求出X 的分布列，期望与方案一比较即可.【详解】（1）方案一相当于打9折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=， 故所求的概率()2232471116256P P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）若选择方案一，则需要付款100.69.4-=（万元）若选择方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈， ()322116416P X ⨯⨯===，()322322122157416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===， ()322322322178416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()31016P X ==， 故X 的分布列为所以()1573678107.93759.416161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=<（万元），所以选方案二划算.。
安徽省蚌埠市怀远县2013届高三数学12月月考试题 理(含解析)
2012-2013学年安徽省蚌埠市怀远县高三（上）12月月考数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）（2013•自贡一模）复数的虚部是（）
利用复数的代数形式的乘除运算，得到=i
=
+
的虚部是．
2．（5分）（2012•黄州区模拟）已知全集U=R，集合A={x|y=}，集合B={y|y=2x，
A={x|y=
A={x|y=
3．（5分）已知，则=（）
）（
∴f（﹣）（﹣））=
4．（5分）（2012•安徽模拟）设向量满足：，则等于（）
平方，再把条件代入即可求出
，∴
5．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）
﹣
，
，
，①
，
=
）×
．
=
“x＞1”是“
：“x＞1”是“”，但是
7．（5分）（2012•安徽模拟）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（）
时，不等式
的解集为
8．（5分）下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象，其中一定错误的
B C
9．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；
，
≠
|≠
10．（5分）等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，
n n1
．．。
辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
（1）证明：直线 l 与椭圆 C 相切；
（2）已知直线 l 与椭圆 D ：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 交于 A
， B 两点，且点W
为
AB
的中
点.
（i）证明：椭圆 D 的离心率为定值；
试卷第61 页，共33 页
( ) （ii）记VOAB
的面积为 S
，若 b2
=
4 3
+
1 4n
，证明：
Sn+1 - Sn = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an
an+1 an
=
2
答案第11 页，共22 页
所以{an} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
an = 1× 2n-1 = 2n-1
Qa1 = 1 ，符合上式
所以{an} 是通项为 an = 2n-1 的等比数列，A 选项正确；
对于 B，已知 Sn = 2n +1 ，所以 Sn+1 = 2n+1 +1 ， a1 = S1 = 21 +1 = 3
Sn+1 - Sn = 2n+1 - 2n = 2n an+1 = 2n an = 2n-1
Q a1 = 3 ，不符合上式 所以，B 选项错误；
对于 C，已知 an+1 = 2an ，当首项为零时，不符合题意，C 选项错误；
的虚部为 sin1 > 0 ， 因此命题①②③都正确，即正确说法的个数为 3. 故选：A 3．A
【分析】用 Sn 与 an 的关系，求出{an} 通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.
广西省桂林中学2015届高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含答案
桂林中学高三年级12月月考数学（理）卷说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第Ⅰ卷 选择题一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知复数z 满足3(12)12i z i +=+，则z =（ ） A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455i -- D ．3455i -3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-，，，0330101y x y x y x 则2x －y 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 6．在中，，，则（ ） A ．或B ．C ．D ．7．函数（)的图象如图所示，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的离心率是( ） A. B. C. D.102()4f π000A ωϕπ>><<，，()si ()n f x A x ωϕ＝＋1665-5665或-561665cos C =5cos 13B =3sin 5A =ABC ∆3645339．设动直线与函数的图象分别交于点M 、N ，则|MN|的最小值为( ) A.B. C.D.10．已知中，平面内一点满足，若，则的值为 ( )A ．3B ．C ．2D ．11.设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( ) A ．B ．C ．D ．12．直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，交其准线于点,已知,则（ ）A.2B.C.D.4第II 卷 非选择题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．将名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少人至多人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有 种. 14．已知*)(2142N n a S n n n ∈--=- 则 通项公式n a = ．15．设6)2(xx -的展开式中x 3的系数为a ，二项式系数为b ，则 的值为 . 16．已知G 为为重心，、、分别为、、所对的边，若，则.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(小题满分10分）已知等比数列}{n a 的各项均为正数，且，.（1）求数列}{n a 的通项公式；3424a +=24a =A ∠=303aGA bGB cGC ++=C B c b a A 21,,B C 543V 21234V S S S S +++2S a b c ++213t PB t PA =2133CP CA CB=+P ABC ∆A B C O ABC（2）设n n a b 2log =，求数列的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）设函数（1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合； （2）已知中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，求a 的最小值.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面ABC ，︒=∠90BCA ，BC AC AA ==1．（Ⅰ）求证：11AC B A ⊥； （Ⅱ）求二面角C BB A --1的余弦值.20．（本题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，， ，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．]510,515495,500(490,495403),22B C b c +=+=ABC ∆24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+{}n n a b +（1）根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量； （2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列；（3）从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．21．（本小题满分12分）已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的左右顶点，为直线4=x l ：上的一动点(点不在x 轴上），连交椭圆于点，连并延长交椭圆于点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.22．（本题满分12分）已知函数，其中.（Ⅰ）若函数在其定义域内单调递减,求实数的取值范围; （Ⅱ）若,且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.b [1,4]12f x b =-恒谦x 12a =-a ()f x 0a <2()2ln x ax x x +-D B C AP P ,A B E 505Y 2405052014-2015学年度12月月数学（理）答案选择题：1. B 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C 11.C 12.C 填空题：(13) 60 (14)12-=n n na (15) 4 (16)1．B 【解析】满足条件的M 中必须含有{2，3}，但最多只能有{1，2，3}2．B 【解析】因为()31212i z i +=+所以，()()3(12)121212144341212(12)12555i i i i i z i i i i i ++++-+=====-++--+ 3．A 【解析】该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，所以体积为.4． B 【解析】根据条件，画出可行域如图，可知当目标函数z ＝2x －y 经过点A （1，0）时取得最大值 最大值为2x－1 1 y 0 A223135322-21=4343⨯⨯⨯⨯⨯6π5．C 【解析】依次执行程度框图中的语句：①：1,1210==⋅=k S ；②：2,2211==⋅=k S ；③：3,8222==⋅=k S ，跳出循环，故输出8=S . 6．D 【解析】依据题意1312sin =B ,A B sin sin >,A B >∴,A ∴为锐角，53sin =A , 54cos =∴A ()[]()6516131********sin sin cos cos cos cos cos =⨯+⨯-=+-=+-=+-=B A B A B A B A C π7．D 【解析】由已知，，所以，将代人得，，所以，，，故选.8．D 【解析】抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中的。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
甘肃省兰州一中2014届高三数学12月月考试题新人教A版
河南省鹤壁市综合高中2013-2014学年高二物理下学期第二次段考试题（无答案）新人教版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<,则AB 等于 （ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,1-C ．{}1D ．{}0,12．已知i 为虚数单位,则复数21ii-+在复平面上所对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若a b ⊥,则tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭等于 （ ） A ．13-B ．13C ．3-D ．34．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++，S 13=( )A ．78B ．68C ．56D ．525．给出如下四个命题：①yz xy z y x >⇒>>； ②y x y a x a >⇒>22； ③d b c a abcd d c b a >⇒≠>>0,,； ④2011b ab ba <⇒<<． 其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知平面向量,m n u r r 的夹角为，在ABC ∆中，22AB m n =+uu u r u r r ， 26AC m n =-uu u r u r r，D 为BC 中点，则A .2 B .4 C .6 D .87．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 ( ) A．2(24cm +B ．212cmC．2(20cm +D ．242cm8．下列说法错误．．的是（ ） A ．已知函数()x x f x e e -=+，则()f x 是偶函数B ．若非零向量a ，b 的夹角为θ，则“0a b ⋅>”是“θ为锐角”的必要非充分条件C ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=,则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠D ．若0'()f x ＝0，则函数()y f x =在0x x =处取得极值9．已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= ( )A ． 2nB ．2(1)n +C ． (21)n n -D ． 2(1)n -10.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b +的最小值为 （ ）A ．256B ．83C ．113D ．411．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O 的表面积为 （ ） A ．24π B . 32π C . 48π D . 192π12.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ） A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.俯视左视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的终边经过点()4,3,5p m m α-且cos =-，则等于_______________.14．若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰，则a 的值为 __________.15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.16．对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)()0(≠a ，给出定义：）（x f /是函数)(x f 的导函数，//()f x 是）（x f /的导函数，若方程0)(//=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心。
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷含答案
2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}32A x x =-≤≤，{}2230B x x x =+-≤，则()RAB =（ ）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．[)3,1-D ．[]3,1-【答案】A【分析】求出集合B ，用补集和交集的运算性质计算即可.【详解】因为集合{}{}223031B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以{}31R B x x x =-或．又{}32A x x =-≤≤，所以(){}12R A B x x ⋂=<≤． 故选：A ．2．设函数()2log f x x =，若13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.2C f e =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a b c <<【答案】A【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，由此可得3(log 2)a f =，然后利用对数函数和指数函数的性质比较0.253log 2,log 2,e 的大小，从而可比较出a ，b ，c 的大小【详解】解：因为22()log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以1333(lo lo g 2)(log 22)g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，当0x >时，2(x)log f x =在(0,)+∞上为增函数， 因为530log 2log 21<<<，0.201e e >=， 所以0.2530log 2log 2e <<<， 因为()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以0.253(log 2)(log 2)()f f f e <<，所以b a c <<， 故选：A【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.3．已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e xf xg x +=，若关于x 的不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．40,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．400,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由奇偶性求得()f x ，()g x ，化简不等式，并用分离参数法变形为()()24e e eex x xx a --+≤-，设e e x x t -+=，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a 的范围．【详解】解：已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，则()()()(),f x f x g x g x =-=--，又()()e x f x g x +=①，则()()()()e e x xf xg x f x g x ---+-=⇒-=②，由①②可得()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==， 则不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，转化为：()2e e e e 04x xx x a ---+-≥在()0,ln3上恒成立，因为()0,ln3x ∈，所以e e 0x x -->，即()()()()224e e 4e e e e e e 4x xxxx xxxa ----++≤=-+-，令e e x x t -+=，则24444t a t t t≤=--，e e x x t -=+，()0,ln3x ∈，则e e 0x x t -'=->，e e x x t -=+在()0,ln3上是增函数，102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又4y t t =-在102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是增函数，所以432015t t <-<，则41548t t >-， 又()()24e e ee x x xx a --+≤-在()0,ln3x ∈上恒成立，则158a ≤． 则正实数a 的取值范围是150,8⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D ．4．函数()(1)ln 1f x x x =+-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由1()02f ->排除两个选项，再由2x >时，()0f x >排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵()(1)ln 1f x x x =+-，所以113()ln 0222f -=>，故排除C ，D ，当2x >时，()(1)ln(1)0f x x x =+->恒成立，排除A ， 故选：B ．5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，4x π=-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴.若,96ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为A ．18B ．17C ．15D ．13【答案】D【分析】由已知可得()221T k Z k π=∈+，结合2T πω=，得到21k ω=+（k Z ∈），再由96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，可得1692ππ-≤T ，即9T π≥，进一步得到8.5k ≤，然后对k 逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得()1+42442k T k Z πππ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()221T k Z k π=∈+， 又2T πω=，∴21k ω=+（k Z ∈）．∵96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，∴1692ππ-≤T ，即9T π≥，∵221T k π=+，∴2118k +≤，即8.5k ≤．①当8k =，即17ω=时，174k πϕπ-+=，k Z ∈，∴174k πϕπ=+，k Z ∈，∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 174A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴17ω=不符合题意； ②当7k =，即15ω=时，154k πϕπ-+=，k Z ∈，∴154k ϕππ=+，k Z ∈， ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=-，此时()sin 154A x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴15ω=不符合题意； ③当6k =，即13ω=时，134k πϕπ-+=，k Z ∈，∴134k ϕππ=+，k Z ∈． ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 134A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴13ω=符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，ω对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.6．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA ==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（ ）A 3B ．3C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯3=.故选：B7．在等差数列{}n a 中，12022a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2022S =（ ） A ．2021 B ．-2021C ．-2022D ．2022【答案】C【分析】由等差数列前n 项和公式可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据1082108S S -=可得公差为1，即可求解20222022S的值，即可得出结论.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，故1()2n n n a a S +=，则12n n S a an +=，当2n ≥时，11112n n S a a n --+=-，则111111222n n n n n n S S a a a a a an n ---++--=-=-， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ．又10822108S S d -==，即1d =，又1120221S a ==-，所以()202212023n S n n n =-+-=-+，所以20222023202212022S=-+=-，即20222022S =-． 故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2e xf x f x -=，当0x >时，()()0f x f x +'>，若()()1e 212a f a f a -+≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．][(),11,-∞-⋃+∞D ．][(),22,∞∞--⋃+【答案】C【分析】令()()e x g x f x =，根据()()2e xf x f x -=，可得()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，再根据当0x >时，()()0f x f x +'>，利用导数判断函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再根据()()1e 212a f a f a -+≥+，即()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，即()()212g a g a +≥+，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()()2e xf x f x -=，所以()()()e e ex x xf x f x f x --==-， 令()()e xg x f x =，则()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()0f x f x +'>，所以()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在(),0∞-上单调递减， 因为()()1e212a f a f a -+≥+， 所以()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，所以()()212g a g a +≥+， 即212a a +≥+， 解得1a ≤-或1a ≥. 故选：C.【点睛】本题重点考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，关键在于构造正确的函数，考查了利用导数判断函数在区间上的单调性，考查了数据分析能力，有一定的难度.二、多选题9．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x ∀∈R ，()()f x f x -=；②m ∀，()0,n ∈+∞，当m n ≠时，都有()()0f m f n m n-<-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ）A ．()()34f f >-B ．若()()12f m f -<，则()3,m ∈+∞C ．若()0f x x<，()()1,01,x ∈-⋃+∞ D ．x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ≤【答案】ACD【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A ，根据函数性质比较函数值大小；对于B ，()()12f m f -<，等价于12m ->，求得参数范围；对于C ，若()0f x x<，分类讨论求得不等式解集；对于D ，根据函数的性质知，函数存在最大值()0f ，从而满足条件.【详解】由①知函数()f x 为偶函数；由②知，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递减； 则函数()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增； 对于A ，()()3(3)4f f f =->-，故A 正确；对于B ，()()12f m f -<，则12m ->，解得()(,3,1)m ∈⋃-∞-+∞，故B 错误； 对于C ，若()0f x x<，由题知()1(1)0f f -==，则当0x >时，()0f x <，解得1x >；当0x <时，()0f x >，解得10x -<<，故C 正确；对于D ，根据函数单调性及函数在R 上的图形连续知，函数存在最大值()0f ，则只需()0M f ≥，即可满足条件，故D 正确； 故选：ACD10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的有（ ）A ．166AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1AA 与1B C 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】ABD【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，及线面垂直的判定定理逐项分析即得.【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，则11AC AB AD AA =++， ()2211AC AB AD AA =++()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()3636362366cos60216=+++⨯⨯⨯︒=，所以166AC =A 选项正确；由题可知四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC ， 又BD AD AB =-，()1111BD CC AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅66cos6066cos600=⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以1BD CC ⊥，即1BD CC ⊥，由于1AC CC C ⋂=，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ， 所以BD ⊥平面1ACC ，B 选项正确；由题可知1BB 与1B C 的夹角为120，也即1B C 与1AA 的夹角为120，C 选项错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，()()22222111112BD AD AA ABAD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅()363636266cos6066cos6066cos6072=+++⨯⨯⨯︒-⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以162BD =AC AB AD =+，()2222236266cos 6036108AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=，所以63AC =()()11BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅ 266cos6036=⨯⨯⨯︒=，设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,6BDAC BD AC BD ACθ⋅===⋅D 选项正确. 故选：ABD.11．关于函数()cos 2cos f x x x x =-⋅，则下列命题正确的是（ ） A ．存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立 B ．()f x 在区间[]63ππ-，上单调递增C ．函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度后与()2sin 2g x x =的图象重合. 【答案】AC【分析】化简f (x )的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒【详解】()cos 2cos cos 222cos(2)3f x x x x x x x π=-⋅==+，A 选项，周期为22ππ=，根据f (x )图像的对称性知存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立，A 对；B 选项，[],20,,2cos 633x x y t ππππ⎡⎤∈-⇒+∈=⎢⎥⎣⎦在[]0,t π∈上单调递减，故()f x 在区间[]63ππ-，上单调递减，B 错；C 选项，因为()2cos(2)012123f πππ=⨯+=，所以函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称，C 对； D 选项，()f x 的图象向左平移512π个单位长度后为()52cos 22sin 22sin21233h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 错； 故选：AC.12．树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第()*,2n n n ∈N 天募得的捐款数为1180012n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭元.若甲小组前n 天募得捐款数累计为n S 元，乙小组前n 天募得捐款数累计为n T 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（ ） A ．66S T >B ．甲小组募得捐款为9550元C ．从第7天起，总有n n S T <D ．121800800,2142n n nT n n --=+⋅≤≤且*n ∈N 【答案】AC【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B 错误； 利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D 错误； 计算出66,S T ，比较得到大小；令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，先计算出70C >，再结合数列单调性得到答案. 【详解】由题可知114n ≤≤且*n ∈N ， 设n a 代表第n 天甲小组募得捐款，且0n a >，对于甲小组，11000,50a d ==-，所以()115010500n a a n d n =+-=-+>，所以120n ≤≤， 所以()12251025,142n n n a a S n n n +==-+且*n ∈N ，所以149450S =，故选项B 不正确；设n b 代表第n 天乙小组募得捐款，由题可知，11000,118001,22n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以12321600111400800180018001222n n n T b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()231111140080018002222n n -⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭，*1800800400,22,14n n n n -=+-∈≤≤N ，故选项D 错误； 因为6665250,5175S T S ==<，故该选项A 正确；选项C ，令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，所以737.50C =>， 而当7n ≥时，18005020002n n n C C n +-=+->， 所以数列{}n C 为递增数列，因此0n n S T -<，所以n n S T <，故选项C 正确. 故选：AC三、填空题13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） 【答案】2027【分析】n 年后产生的垃圾为()3000150%n⨯+，得到不等式()3000150%30000n⨯+>，解得答案. 【详解】n 年后产生的垃圾为()3000150%n ⨯+，故()3000150%30000n⨯+>，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()lg3lg21n ->，即1 5.68lg 3lg 2n >≈-，故6n ≥， 故2027年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨. 故答案为：202714．在三角形ABC 中，已知1tan 2A =，1tan 3B =，若2sin()sin()sin cos x A x B C x ++=，则tan x 的值为__________． 【答案】43-或12【分析】由tan 12A =，1tan 3B =解出A ，B ，C 的正余弦值，将等式化简后代入，解出tan x . 【详解】因为tan 12A =，1tan 3B =，A ，()0,πB ∈， 所以5sin 5A =，5cos 52A =，10sin 10B =，310cos 10B =，2sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=． ()()()()22sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x A x B x A x A x B x B C xx++++==，即()()25102sin cos 3sin cos 2510cos 2x x x x x ⨯++=， 所以()()2tan 13tan 15x x ++=，解得4tan 3x =-或1tan 2x =.故答案为：43-或12．15．如图所示，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ､B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________【答案】2-【分析】由向量的线性运算得2PA PB PO +=，因此()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅，只要求得PO PC ⋅的最大值即可，这可由基本不等式得结论． 【详解】解：因为O 为AB 的中点，所以2PA PB PO +=，从而()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅.又2PO PC OC +==为定值，再根据2()12PO PCPO PC +⋅≤=，可得22PO PC -⋅≥-，所以当且仅当1PO PC ==时，即P 为OC 的中点时，等号成立，()PA PB PC +⋅取得最小值是2-， 故答案为：2-. 16．若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，则实数a 取值范围是______. 【答案】[)2,+∞【分析】求出导函数，只需()0f x '=有正解，分离参数可得1a x x=+，利用基本不等式即可求解. 【详解】函数定义域为()0,∞+，导函数为()1f x x a x'=-+，使得存在垂直于y 轴的切线，即()0f x '=有正解，可得1a x x=+有解， 因为0x >，所以12a x x =+≥，当且仅当“1x x=，即1x =”时等号成立， 所以实数a 的取值范围是[)2,+∞ 故答案为：[)2,+∞四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1126sin sin A B +=3C π=，6c =. (1)求证：2a b +=； (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得sin A =sin B =再由11sin sin A B+=11a b += （2）由余弦定理结合（1）的结论可求得12ab =，从而可求出三角形的面积 【详解】（1）证明：3C π=，6c =，所以sin cC=根据正弦定理得sin A =sin B =，又11sin sin A B+=所以11a b +=2a b +=（2）由余弦定理得()2222222cos 3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 由（1），得a b +=，结合6c =可得()26720ab ab --=. 即()()1260ab ab -+=，解得12ab =或6ab =- （舍去），所以1sin 2ABCSab C ==18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+. （1）证明：{}1n a -为等比数列； （2）设1n n b =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14【解析】(1)利用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值【详解】解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥, 故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-, 所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122n n n b n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭, 所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥. 故t 的最小值为14.【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了裂项相消求和的方法与不等式的范围问题,属于中等题型.19．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为()H x 万元，2803,020,()3000(2)90,20.(1)x x H x x x x x -<≤⎧⎪=-⎨+>⎪+⎩(1)写出年利润()M x （万元）关于年产是x （万箱）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元【分析】（1）分020x <≤和20x >两种情况讨论，根据利润=销售收入-成本得到函数解析式； （2）根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：当020x <≤时，()()2280340100318040M x x x x x x =---=-+-，当20x >时，()()()()()30002300029010040104011x x M x x x x x x x ⎡⎤--=+--=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩； （2）解：当020x <≤时，()223180403(30)2660M x x x x =-+-=--+，对称轴为30x =，开口向下，故()max ()202360M x M ==，当20x >时，()()()3000210401x M x x x -=-+-+()()300013 10401x x x +-=-+-+90001029601x x =--++ ()900010129701x x =-+-++ ()90002101297023701x x ≤-+⋅+=+， 当且仅当()90001011x x +=+，即29x =时，等号成立，因为 23702360>，所以当29x =时，利润最大，最大值为2370万元，故年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，3PAB PAD π∠=∠=．(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值； (3)若E 为AB 的中点，证明：PA ED ⊥． 【答案】3215(3)证明见解析【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示PC 再进行模长计算即可； （2）由基底表示PC 、BD ，再代入向量夹角公式计算即可； （3）由()AP DE AP AE AD ⋅=⋅-计算即可得结果. 【详解】（1）因为PC PA AC PA AB AD =+=++，所以222222244122213PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯=， ∴||3PC =，所以线段PC（2）∵()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++⋅-PA AD AB AB AD AD PA AB AB AD AD AB=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅111222112200222=-⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯+-=-，||5BD =，∴cos ,3PC BD PC BD PC BD⋅-<>===⋅故异面直线PC 与BD . （3）因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又∵()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=，∴AP DE ⊥，即PA ED ⊥． 21．已知向量()()23cos ,1,sin ,cos (0)m x n x x ωωωω=-=>，函数()f x m n =⋅图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）若07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()012f x =，求0cos2x 的值.【答案】（1）1()sin(2)62f x x π=--；（2）【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-，化简，由条件22T ππω==求得参数1ω=，从而写出解析式.（2）由()012f x =得0sin(2)6x π-=，根据角的范围求得0cos(2)6x π-，从而有0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---，求得结果.【详解】（1）由题知，()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-1cos 212sin(2)262x x x ωπωω+=-=--， 又函数相邻两条对称轴之间的距离为2π.即22T ππω==，则1ω=，1()sin(2)62f x x π=--（2）由题知，0011()sin(2)622f x x π=--=，则0sin(2)6x π-=07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当02,632x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，0)6sin(2x π-∈，而0sin(2)6x π-=， 因此02,62x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时0cos(2)6x π-= 则0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---12==22．已知函数()()1ln R f x x a ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行.(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点12x x ，，且12x x <，求证：121x x +>.【答案】(1)=2a ，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；(2)证明见解析【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出a ，然后分析导函数的符号得出函数()f x 的单调性；（2）由已知得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=，两式相减，得121211ln ln 022x x x x -+-=，即有1212122ln x x x x x x -=，令12,x t x =构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()h t 的单调性和范围可得证.【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,∞+，由()1ln f x x ax =+可得()211f x x ax'=-， 所以由题意可得()11112f a=-='，解得=2a ， ()1ln 2f x x x∴=+， ()22112122x f x x x x -'∴=-=， 令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令0fx，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增； （2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x x x x x x -=， 因此1211212ln x x x x x -=，2121212lnx x x x x -=，令12x t x =，由12x x <，得01t <<， 则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<， 则()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->，故命题121x x +>得证【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，用导数证明有关函数零点的不等式，解题思路是对两个零点120x x <<，引入参数1201x t x <=<，把有关12,x x 的表达式表示为t 的函数，然后再由导数研究新函数得证结论。
福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题(解析版)
福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥B ．16k >C ．8k ≥D ．8k >2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ） A ．23B ．233πC ．23π D ．32π 3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．137．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+B ．-≤-a bC ．22a b ≥D ．2211ab ba ≥10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．2311．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π412．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________. 四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>2过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △2(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A(),A B(),B A(),B B甲30天20天40天10天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k >【答案】D【分析】由于集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >,从而可求出k 的取值范围 【详解】解：因为集合A 中至少有2个元素， 所以2log 3k >，解得8k >， 故选：D2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ）A ．23B C D 【答案】B【分析】分别计算侧面积和面积作比即可. 【详解】设底面圆的半径为r ，则母线长为2r ， 得侧面积是212222r r r ππ⨯⨯=轴截面是一个正三角形，边长为2r ， 则其面积2122sin6032r r r ⨯⨯⨯= .故选：B3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出tan y x =与sin y x =的对称中心，比较两个中心关系.【详解】tan y x =的对称中心为(π,0),Z 2kk ∈，sin y x =的对称中心为(π,0),Z k k ∈，tan y x=的对称中心不一定为sin y x =的对称中心；sin y x =的对称中心一定为tan y x =的对称中心. 故选：B ．4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】D【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算整理的()2221b a -=+，即复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上，根据圆的性质求z 的最大值.【详解】设()=+i,,R z a b a b ∈，则()()2i=+2i,+2i=2i z a b z a b ----∵()()()()()222i 2i =2i 2i 21a b a b b z z a +----=⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦+⎦⎣-∴复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上圆()2221x y +-=的圆心()0,2C ，半径=1r ，则z 的最大值为3OC r +=，其中O 为复平面的坐标原点 故选:D.5．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得3k d =+，由0d >，即可得k 的最小值. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ， 则0d >，1q >，因为121a b ==，26a b =， 所以41d q +=①，而10k a b =， 所以81(1)k d q +-=②，由①②得：2(1)1(1)d k d +=+-， 即3k d =+，0d >，k *∈N ，所以k 的最小值为4. 故选：B6．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．13【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得233AB ACAP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+，根据三点共线知21133x y+=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=， ∴21522522)23333333323(2)(x y x yx y y x x xy y y x +=+=⋅++≥++，当且仅当x y =时等号成立. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN 的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值. 7．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>【答案】A【分析】由双曲线定义有122F F c =、122F N F N a -=，结合正多边形的性质求得12F N F N -关于c 的表达式，即可求各图对应双曲线的离心率.【详解】在图1中，122F F c =，又122(31)F N F N a c -==，则1232e =-在图2中，122F F c =，221210(2)2F N c c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，22F N =， 121022F N F N a --==，则2102e =-． 在图3中，122F F c =，212F N c =，由余弦定理得：2211221222cos 60F N F F F N F F F N =+-︒13=，121312F N F N a --==，则3131e =-． 因为232102131<，所以123e e e >>． 故选：A8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-【答案】C【分析】对()f x 求导得()f x '，得到m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系可得m ，n 的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由2()ln f x x x ax =+-得：2121()2x ax f x x a x x-+=+-=' m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系得：1,22a m n mn +==，故12n m=22222221()()ln ln lnln 24m f m f n m m am n n an m n m m n m-=+---+=-+=+-， 令[]2,1,4x m x =∈记[]1()ln 2,1,44g x x x x x =+-∈，则()222222111414()10444x x x g x x x x x----'=--==<，故()g x 在[]1,4x ∈上单调递减. ()()max 311n24g x g ==-故选：C二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+ B ．-≤-a b C ．22a b ≥ D ．2211ab ba ≥ 【答案】ABD【解析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为0a b -≥，所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ，B 正确； 因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确； 2222110a b ab ba a b --=≥. 可得2211ab ba ≥，所以D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．23【答案】BCD【分析】由题得()2sin 6πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ，令6x k πωπ-=，求出,6k x ππωω=+解不等式062ππω<得解.【详解】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得,06k x ππωωω=+>，取k ＝0， 062ππω∴<，即13ω． 故选：BCD11．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4【答案】BCD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明PA ⊥平面EFP ，根据面面垂直判定定理证明平面APF ⊥平面EPF ，判断B ，根据锥体体积公式求三棱锥P AEF -的体积判断A ，由线面垂直的性质判断C ，由球的截面的性质判断D.【详解】由已知22215F AE A =+22112=+=EF 翻折前AB BE ⊥，CE CF ⊥，AD DF ⊥， 翻折后，则有PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF ⊥， 因为PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF P =，,PE PF ⊂平面EFP ，所以PA ⊥平面EFP ，因为PA ⊥平面EFP ，PE PF ⊥，又1PE PF ==，2PA =，所以111123323P AEF A EFP EFPV V SAP --==⨯⨯=⨯⨯=，A 错误，因为PA ⊥平面EFP ，又PA ⊂平面APF ，所以平面APF ⊥平面EPF ，B 正确，因为PA ⊥平面EFP ，EF ⊂平面EFP ，所以PA EF ⊥， 因为PA PF ⊥，PE PF ⊥，PA PE P =，,PE PA ⊂平面PAE ，所以PF ⊥平面PAE ，又AE ⊂平面PAE ，所以PF ⊥AE ， 同理可证PE AF ⊥，所以三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直，C 正确， 将三棱锥P AEF -补成长方体PEQA FGNH -，则三棱锥P AEF -的外接球球心O 为体对角线PN 的中点， 且2226PN PE PF PA =++O 的半径为6R =， 所以，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面圆的半径设为r ， 设球心O 到截面圆的距离为d ，则0d OM ≤≤， O 、M 分别为PN 、PH 的中点，则1122OM HN ==， 则102d ≤≤，又22r R d -12d =时，2r 取最小值54，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4，D 正确， 故选：BCD.12．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3【答案】AB【分析】问题可转化为,a b 是()ln xf x x=大于2的两个不同零点，利用导数研究单调性并作出图象，结合图象即可求解【详解】因为实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，所以ln ln b a a b =，即ln ln b a a b =， 所以ln ln a ba b=， 令()ln xf x x=，()21ln xf x x -'=， 令0f x解得0e x <<，令()0f x '<解得e x >，所以()f x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞上单调递减， 作出()ln xf x x=的图象如下：2a >，2b >，不妨设a b >，()()()()ln 2ln 4ln 22,4,24242f f f f ====， 由图象可知：e 4a <<，2e b <<，且422a b -<-=， 所以AB 正确，CD 错误； 故选：AB三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________． 【答案】2y x =【分析】求出两圆圆心坐标，过两圆圆心的直线即为所求直线. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆22240x y x y +--=化为标准方程为：()()22125x y -+-=，其圆心为()1,2，同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线过两圆圆心， 所以所求直线方程为()200010y x --=--，即2y x =. 故答案为：2y x =.14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）【答案】30.84【分析】先利用二项式定理将原式化为5(10.998)1+-，再变形为5(20.002)1--，利用二项式定理展开，并近似计算．【详解】原式55(10.998)1(20.002)1=+-=--32051423255555555344C 2C 20.002C 20.002C 20.002C 20.002C 0.0021=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-320.16130.84≈--=故答案为：30.84．15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______ 【答案】2022-【分析】根据()πf x +的图象关于点()π,0-对称判断函数为奇函数，再赋值法确定()3f 的值，进而得到函数是周期函数，找出()2023f 与()1f 的关系可得答案.【详解】()πf x +的图象关于点()π,0-对称，所以()f x 的图象关于点()0,0对称， 即()f x 为奇函数，在()()()63f x f x f =-+中，()()()()36333=0f f f f =-+∴，， 所以()()6f x f x =-，又()(),f x f x =--∴()()6f x f x --=-,()()6,f x f x ∴-=+()()()()612,12f x f x f x f x ∴-+=+∴=+， 所以()f x 是12T =的周期函数，()()()()()202312168776112022.f f f f f =⨯+==+=-=- 故答案为：2022-16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________.【答案】【分析】设直线AB ，MN 的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理证明直线AB ，MN 是过定点的，运用几何意义即可求解.【详解】设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my n A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将x my n =+代入24y x =中有2440y my n --= ，故12124,4y y m y y n +==-，又1244,22PA PB k k y y ==++， 所以()()()121212124441442224212PA PB y y m k k y y y y y y m n++++=+===++++++-，解得1n =-， 故直线AB 过定点()1,0Q -.因此点E 在以PQ 为直径的圆上， 同理点F 在以PQ 为直径的圆上.PQ =； 故点E F ､距离的最大值为圆的直径故答案为：四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ． 【答案】(1)证明见解析..【分析】（1）将2sin sin sin()A C B A =+-化为2sin sin()sin()A B A B A =++-，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦定理角化边，即可证明结论;（2）利用（1）的结论和题设，结合余弦定理可推出a c =，再用222cos 2a c b B ac +-=化简求值，可得答案.【详解】（1）由题意知，2sin sin()sin()A B A B A =++-， 所以2sin sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A =++-， 所以2sin 2sin cos A B A =，而(0,π),sin 0B B ∈≠ ，结合正弦定理，所以sin cos sin A aA B b==. （2）由（1）知：222cos 2a b c a A b bc+-==, 所以222ac ac c a =+-，即220a c ac -+=，所以2210a ac c+-=解得a c =（舍）,所以2222211cos 11)2222a c b a c ac a c B ac ac c a +-+-⎛⎫===+-== ⎪⎝⎭. 18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】(1)21nn b =-(2)123236n n S n +=⋅--【分析】（1）先化简()()1311122n nn n a a +--+-=+，再推导出111n n b b +++等于一个常数，即可求解；（2）结合第一问，先求出数列{}n a 的满足的规律，然后再求和.【详解】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Za a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，， 所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+， 其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列. 所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121nn n b a -==-，22122(21)n n n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n n n S =-+-+-++-+-+-+-++-1233[(21)(21)(21)(21)]n =-+-+-++-1233(2222)3n n =++++-2(12)3312n n -=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)9331【分析】（1）取CD 中点N ，连接,MN NF ，先明平面//MNF 平面PAD ，再证明结论；（2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：证明：取CD 中点N ，连接,MN NF ， 因为M 为CE 中点，所以//MN DE ， 因为MN ⊄平面PAD ，DE ⊂平面PAD 所以//MN 平面PAD ，又因为//AD BC ，F 为AB 中点， 所以//FN AD ，因为FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以//FN 平面PAD ，因为MN FN N ⋂=，MN 、FN ⊂平面MNF ， 所以平面//MNF 平面PAD ， 又因为MF ⊂平面MNF ， 所以//MF 平面PAD ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设4AD a =，()0,43E a t t -，()0,2t a ∈，则()0,0,0A ，()2,0,0F ，()4,2,0C ， ()2,2,0FC →=，()2,4FE a t →=--，平面PAD 的法向量为()1,0,0m →=，直线EF 与平面PAD 所成的正弦值为FE mFE m→→→→⋅==⋅，当ta =1sin302=︒=， 解得1a =，(FE →=-， 设平面CEF 的法向量为(),,n x y z →=， 220230FC n x y FE n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y=)n →=，3cos ,311n m n m n m⋅===⋅⋅ 所以平面CEF 与平面PAD20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈. 【答案】(1)73；79 (2)0.8 (3)20【分析】（1）利用题给条件和平均数与第三四分位数的定义即可求得这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（2）利用正态分布的性质即可求得该成绩在区间()6295，的概率； （3）利用独立事件同时发生的概率列出关于n 的不等式，解之即可求得n 的最大值. 【详解】（1）550.1650.3750.4850.1950.173x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 35701078.7540+⨯=， 则这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值分别为73，79 （2）()()11629520.680.960.820.822P P ξμσξμσ<<=-<<+≈⨯+⨯=≈，（3）()0.80.01n≥，即0.8lg0.012log 0.0120.62lg0.83lg21n -≤==≈-， 故n 的最大值为20.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22142x y += (2)APB ∠为定值90【分析】（1）由离心率可得,,a b c 之间关系，根据通径长可得2b PC a=，由2PACPOCS S=可构造方程求得22,a b ，由此可得椭圆方程；（2）设直线():0AP y kx k =>，结合斜率公式可求得2AC kk =，由此可得直线AC 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得B 点坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得0PA PB ⋅=，由此可得结论. 【详解】（1）椭圆离心率22c e a ==，2212c a ∴=，则222212b a c a =-=， 当C 为椭圆右焦点时，212b PC a a ==； 211122222224PACPOCSSc a ac a ==⨯⋅===，解得：24a =，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）由题意可设直线():0AP y kx k =>，()00,P x kx ，()11,B x y ， 则()00,A x kx --，()0,0C x ，0002AC kx kk x x ∴==+，∴直线()0:2k AC y x x =-； 由()0222142k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22222002280k x k x x k x +-+-=， 2001222k x x x k ∴-+=+，则2010222k x x x k =++， ()2300110002222222k x k x k k y x x x x k k ⎛⎫∴=-=+-= ⎪++⎝⎭，23000222,22k x k x B x k k ⎛⎫∴+ ⎪++⎝⎭；2002222,22k x kx PB k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭，又()002,2PA x kx =--，()20000222222022k x kx PA PB x kx k k ⎛⎫∴⋅=-⋅+-⋅-= ⎪++⎝⎭，则PA PB ⊥，APB ∴∠为定值90.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理的结论表示出所求量； ④化简整理可得定值.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >． 【答案】(1)0.3，0.4； (2)分布列见解析，1.9； (3)证明见解析.【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明()()()P NM P N P M >⋅，由此证明()()P M N P M N >.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”， 事件D 为“乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30， 乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40， 所以()300.3100P C ==，()400.4100P D ==． （2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1， 乙员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2，记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1、2， 所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=． （3）由题知()()P N M P N M >，即()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-，即()()()P NM P N P M >⋅，即()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-， 即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，即()()()()P NM P NM P N P N >，即()()P M N P M N >．。
数学(理)卷·2014届山东省济南一中高三12月月考试题(2013.12)
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r r rr
rr
14. 已知| a |= 3,| b |= 2,| a − b |= 7, 则 < a, b > 为
.
15. 设直线 x − my −1 = 0 与圆 (x −1)2 + ( y − 2)2 = 4 相交于 A ， B 两点，且弦 AB 的
20. （本小题满分 12 分）
已知函数
f
(x)
=
ax x2 + b
在x
=
−1处取得极值 −2 .
（Ⅰ）求函数 f (x) 的表达式；
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（Ⅱ）求函数 f (x) 单调区间.
21. （本小题满分 13 分）
已 知 AC = (cos x + sin x ， − sin x ) ， BC = (cos x − sin x ， 2 cos x ) ， 设
rr 且 OA⋅OD = 0 ， Q 为线段 OD 的中点，曲线 C 过 Q 点，动点
G 在曲线 C 上运动且保持 GA + GB 的值不变 （Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N ，且 M 在 D、N 之间，设
DM = λ ， 求 λ 的 取 值 范 DN
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 【来源：全,品…中&高*考*网】
1. 若全集为实数集 R ，集合 A ={x | log1 (2x −1) > 0},则CR A =
2
()
A． ( 1 , +∞) B． (1, +∞) 【来源：全,品…中&高*考*网】 2
2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}39xA x =>，{}24B x x =-≤≤，则()U A B ⋂=（ ）A ．[)1,0-B ．()0,5C ．[]0,5D ．[]22-,【答案】D【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解.【详解】{}{}392xA x x x =>=>，故{}U2A x x =≤ ，所以(){}[]U 222,2A B x x ⋂=-≤≤=-.故选:D2．在复平面内，3i1i-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【分析】先化简3i1i-+，即可判断. 【详解】()()()23i 1i 3i 3i 3i 33i 1i 1i 1i 222----+===--++-，故3i 1i -+对应的点为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.3．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：由上表可知其线性回归方程为ˆˆ0.16y bx =+，则ˆb 的值是（ ）．A ．0.28 B ．0.32 C ．0.56 D ．0.64【答案】A【分析】先计算x ，y ，再根据样本中心点(),x y 适合方程ˆˆ0.16ybx =+解得ˆb 的值即可. 【详解】由表中数据可得1234535x ++++==，0.50.61 1.4 1.515y ++++==，将()3,1代入ˆˆ0.16ybx =+，即ˆ130.16b =⨯+，解得ˆ0.28b =． 故选:A ．4．已知πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（ ）A ．34-B ．34C ．32-D ．32【答案】A【分析】根据正弦的和差角公式可得1sin cos 2αα-=，平方可得3sin cos 8αα=，进而化切为弦即可求解.【详解】由πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭)sin cos αα-1sin cos 2αα-=， 所以()21sin cos 12sin co 4s αααα-=-=，则3sin cos 8αα=， 故3sin sin cos 3811tan cos sin 42αααααα===----. 故选：A.5．已知平面向量a ，b 满足3a =3b =，()a b b -⊥，则sin ,a b =（ ） A ．13B ．23CD【答案】D【分析】由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=化简结合已知条件和数量积公式可求出cos ,a b ，再利用同角三角函数的关系求出sin ,a b 的值【详解】由于()a b b -⊥，所以()22cos ,0a b b a b b a b a b b -⋅=⋅-=⋅⋅-=，21cos ,03ba b a b==>⋅， 所以,0,2πa b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2122sin ,133a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：D6．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是56，则输入的()*n n N ∈是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【分析】模拟程序运行，得出程序的功能是求和()101231i ++++++-，结合条件从而可得出答案.【详解】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出：()101231S i =++++++-根据题意可得()10123156S i =++++++-=即()()11231552i i i ⨯-++++-== 解得：11=i所以当11112i =+=时，则中止循环，故12n = 故选：C7．()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是（ ）A ．5B ．15C ．20D ．25【答案】B【分析】根据题意得到()52x x y +与()25y x y x+的展开式通项，列出方程即可得到结果.【详解】因为()()()2255522y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，()52x x y +的展开式通项为561552C 2C kkk kk k k T x xy x y --+=⋅⋅=⋅⋅，()25y x y x+的展开式通项为2542155C C r r r rr r r y S x y x y x --++=⋅⋅=⋅⋅， 由6343k r -=⎧⎨-=⎩可得31k r =⎧⎨=⎩因此()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数为31552C C 15-=.故选:B.8．已知函数()()22cos10,2xf x x x ωωω=->∈R ，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的最大值是（ ）． A ．16B ．34C ．1112 D ．53【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数零点性质，即可求解．【详解】()2π2cos1cos 2sin 26xf x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭， 令()0f x =，()ππ6x k k ω+=∈Z ，()ππ6k x k ωω=-∈Z ． 又函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，所以6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩，解得()1116212k k k ω+-≤≤-∈Z ，0ω>， 所以0k =，5012ω<≤，1k =，511612ω≤≤，所以ω的最大值是1112． 故选：C ．9．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，||3||PA AB =，则直线PB 与直线AC 所成角的余弦值是( ) A ．110BC ．15D【答案】D【分析】连接BD 交AC 于O ，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．运用中位线定理，可得AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解△AOE ，即可得到所求值． 【详解】连接BD ，与AC 交于O 点，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．由中位线定理，可得OE PB ∥，且1||||2OE PB =， 即有AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角． 由PA ⊥平面ABCD ，设||3||3PA AB a ==， 可得直角△PAB 中，|10|PB a =，|10|OE =， 在直角△PAD 中，11||||02AE PD =， ∴AOE △为等腰三角形， 在正方形ABCD 中，12||||2AO AC ==， 可得12522cos 11|20|||AO OE AOE a ∠=．故选：D ．10．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>与曲线:E y x =A ，其横坐标为4，记C 的平行于OA 的切线为1,l E 的平行于OA 的切线为2l ，则下列判断错误的是（ ） A ．4p =B ．OA 的方程为20x y -=C ．1l 的方程为210x y --=D ．2l 的方程为210x y --=【答案】D【分析】选项A ：利用点A 的坐标计算出p 即可；选项B ：利用,O A 两点坐标计算出OA 的方程即可；选项C ：设出1l 的方程，利用1l 与C 相切，然后求出直线方程即可；选项D ：设出2l 的方程，利用2l 与E 相切，然后求出直线方程即可.【详解】选项A ：因为点A 的横坐标为4x =，点A 在曲线:E y x =所以()4,2A ，又因为点A 在抛物线()2:20C x py p =>上，所以2422p =⨯，解得4p =，故A 正确；选项B ：因为()4,2A ，()0,0O ，所以得OA 的方程为20x y -=，故B 选项正确；选项C ：由选项A 可知C 的方程为28x y =，设11:2l y x m =+，联立2812x yy x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2480x x m --=， 因为1l 与C 相切，所以()()24480m ∆=--⨯-=，解得12m =-，所以111:22l y x =-，即1l 的方程为210x y --=，故C 选项正确； 设21:2l y x n =+，联立12y y x n⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()224140x n x n +-+=， 因为2l 与E 相切，所以()()22161440n n ∆=--⨯=，解得12n =， 所以211:22l y x =+，即2l 的方程为210x y -+=，故D 错误； 故选：D .11．已知点(),P m n是函数2y =3515m n ++的最小值是（ ） A．22B．22C1- D1 【答案】A【分析】函数式化简后知函数图象是半圆（下半圆），所求最小值表达式变形后可能通过半圆上的点到直线35150x y ++=的距离来表示，从而由圆心到直线的距离可得出最小值． 【详解】式子2y =22(1)(2)1x y ++-=，又2y ≤，因此函数2y =22(1)(2)1x y ++-=在2y =下方的半圆，如图， 作出直线35150x y ++=，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，(,)P m n 到直线35150x y ++=的距离．圆心为(1,2)C -，半径为1，d =，因此P 到直线35150x y ++=1， 所以3515m n ++的最小值是1)22= 故选：A ．12．若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b > B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∵22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∵()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∵()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.二、填空题13．已知函数()2e 8xf x a x x =+-的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为5-，则=a ______.【答案】3【分析】求出()0f '，根据()05f '=-即可求解.【详解】由已知得()e 28xf x a x '=+-，因为()085f a '=-=-，所以3a =. 故答案为：3.14．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos sin a C c A B +，则cos B =______.【答案】12##0.5【分析】由正弦定理结合诱导公式得到22sin B B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而求出sin B =用同角三角函数关系求出答案.【详解】()2cos cos sin a C c A B +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin A C C A B B +，即()2sin sin A C B B +，其中()()sin sin πsin A C B B +=-=，故22sin B B = 因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，故sin B =1cos 2B ==.故答案为：12.15．在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==，PB AC ==5AB PC ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积是______． 【答案】29π【分析】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，求出长方体的棱长，长方体的外接球就是三棱锥的外接球．【详解】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ,=5=， 解得：4a =，2b =，3c =．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴222222(2)4294π29πR a b c R S R ⇒⇒球＝＋＋＝＝＝﹒故答案为：29π．16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ，2F ，它们的离心率分别为1e ，2e ，点P 为它们的一个交点，且1223F PF π∠=，则2212e e +的取值范围是______. 【答案】()2,+∞【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出12,PF PF 用12,a a 表示，在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅找到12,,a a c 的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距2c ，点P 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，如图：在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅， 整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=， 设211t e =，222t e =，则有1201t t <<<，12314t t +=， 所以121143134t t t t -=-=，即有121143t t t =>-，所以1314t <<， 所以2221111212111424343t t t e e t t t t t -+=+=+=--，设143u t =-，则134u t +=，且01u <<， 所以222124313144u u e e u u u ++⎛⎫+==++ ⎪⎝⎭，因为3y x x=+在()0,1上单调递减， 所以34u u+>，所以22122e e >+.故答案为：()2,+∞三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()123*n n a S n N +=+∈． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】(1)3nn a ＝；(2)见解析﹒【分析】(1)利用公式法(n a 与n S 关系)即可求的{}n a 的通项公式； (2)分析{}n b 的通项公式可知其前n 项和可以用错位相减法求得﹒ 【详解】（1）∵123n n a S +=+ ∴当n ≥2时，123n n a S -＝＋ ∴11222n n n n n a a S S a ---＋＝＝ ∴13n n a a ＋＝∴{}n a 为从第二项开始的等比数列，公比为q ＝3， 又13a ＝，∴21239a S ＝＋＝，∴3nn a ＝(n ≥2)，n ＝1时13a ＝也满足上式，∴*3(n n a n N ∈＝)；（2）∵33log log 333n n n n n n a nb a ＝＝＝， ∴231233333n n nT ＝＋＋＋＋ ①∴234111231333333n n n n n T -＋＝＋＋＋＋＋ ② ①－②得，23121111333333n n n n T -＋＝＋＋＋＋ 111123313313n n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭--＋＝ ∴3134342n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＋ ∵*n N ∈，∴130342n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞，∴34n T ＜． 18．某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为12.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）1132；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是. 【分析】（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．（2）X 的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列． 【详解】（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为6524126611111111112222232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）（ⅰ）X 的可能取值为34，46，58，()61134264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()5561134612232P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1357581643264P X ==--=， 则X 的分布列为故13571133446586432642EX =⨯+⨯+⨯=. （ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为610357⨯-=万元.因为113572<，所以该厂应再招聘1名维修工人. 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，D ，E 分别为11,AA B C 的中点.(1)求证：//DE 平面ABC ；(2)若DE BC ⊥，二面角A BD C --的大小为3π，求直线1B C 与平面BCD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)6π【分析】(1)取BC 的中点M ，连结AM EM ，，根据平行四边形的判断定理和性质可得∥DE AM ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1(0)AB AC b b ==>，，12(0)AA c c =>，根据空间垂直向量的坐标表示求出b ，利用向量法求出平面BCD 、平面ABD 的法向量，结合向量的数量积求出二面角，进而求得c ，再利用向量法即可求出直线1B C 与平面BCD 所成角.【详解】（1）取BC 的中点M ，连结AM EM ，，则1∥DA BB ，且1112DA BB EM BB =，//，且112EM BB =. 所以∥DA EM ，且DA EM =，所以四边形AMED 为平行四边形，所以∥DE AM .又AM ⊂平面ABC DE ⊄，平面ABC ，所以//DE 平面ABC .（2）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设11(0)2(0)AB AC b b AA c c ==>=>，，，则11(1,0,0)(0,,0)(0,0,)(1,0,2),,22b B C b D c B c E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，， 所以1,,0(1,,0)22b DE BC b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，. 因为DE BC ⊥，所以0DE BC ⋅=，所以1b =.又(1,1,0)(1,0,)BC BD c =-=-，， 设平面BCD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩， 令1x =，则11y z c ==，，所以11,1,n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 又平面ABD 的一个法向量(0,1,0)=AC ，所以cos 3||||⋅=n AC n AC π，即12=c =(1,1,2)n =.又1(1,1,=-BC ， 所以1111cos ,211||n B C n B C n B C ⋅〈===+〉，所以直线1B C 与平面BCD所成角为6π. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1212,,4A A A A =，且过点⎭． (1)求C 的方程；(2)若直线:(4)(0)l y k x k =-≠与C 交于M ，N 两点，直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出此定直线的方程．【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析，1x =.【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.（2）设()()1122,,,M x y N x y 则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--，联立直线l 与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k 的范围及12x x +、12x x 关于k 的表达式，再联立直线1A M 与2A N 求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.【详解】（1）因为124A A =，所以24a =，解得2a =．因为C过点⎭221b ⎝⎭=，解得b = 所以C 的方程为22143x y +=． （2）由题意，设()()1122,,,M x y N x y ，则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--． 由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2222Δ3243464120k k k =--+->，解得1122k -<<且0k ≠，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+． 由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：()()()()()()()()21211221212112212224224222424222y y k x x k x x x x x y y k x x k x x x x +-++---+===-+-----+()()221221212112122211211264123222422426234341323838438434k k x x x x x x x x x x k k k x x x x x x k -⨯-⨯--+---++===--+--⨯--+， 所以点G 在定直线1x =上．21．已知函数1()ln =+f x a x x，其中R a ∈． (1)若函数()f x 的最小值为2a ，求a 的值；(2)若存在120x x <<，且122x x +=，使得()()12f x f x =，求a 的取值范围．【答案】(1)1(2)()1,+∞【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）由题知212121ln 022x x x a x x x +-=，进而令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点，再讨论1a ≤时，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进而进一步转化为，当1a >时则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，且函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【详解】（1）解：函数定义域为{}0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-=． 若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值．若0a >，由()0f x '=得1x a=． 所以，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的最小值即极小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以，21ln a a a a+=，即ln 1a a +=．设()ln g a a a =+，则()110g a a '=+>， 所以，()g a 为()0,∞+上的增函数，又因为()11g =．所以，1a =．（2）解：由()()12f x f x =，得121211ln ln a x a x x x +=+， 即212111ln 0x a x x x +-=，将122x x +=代入， 有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=． 令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-， 所以，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点．所以，2221121()222a t at t t t tϕ-+-'=--=．其中()11a ϕ'=-． 因为函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =．所以，当1a ≤，则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1,+∞为减函数，又()10ϕ=，所以()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点．当1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，设12t t <，有121t t =，且1201t t <<<．所以，t ，()t ϕ'，()t ϕ的变化如表：又()10ϕ=，得()2(1)0t ϕϕ>=．下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点． 考虑到1()ln 22t t a t t ϕ=+-中含参数a ， 取2(1)a t a =>e ．则()222222211ln 22222a aa a a a a a ϕ=+-=+-e e e e e e ， 当1a >时，22111222a <<e e ，则()2221222aa a ϕ<+-e e ． 令221()222a m a a =+-e ，则()24a m a a '=-e ， 令()24a h a a =-e ，当1a >时，有22()42420a h a '=-<-<e e ，所以，函数()h a 在1a >时为减函数，由()2140m '=-<e ，知()0m a '<恒成立．所以，()221e 222am a a =+-为()1,+∞上的减函数． 所以()2222155()(1)2022222am a m ϕ-<<=+-=-=<e e e e ． 又()20t ϕ>，于是()()220a t ϕϕ<e ，所以，函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．综上，实数a 的取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数1()ln 22t t a t t ϕ=+-在区间()1,+∞上有零点，进而先排除当1a ≤函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进一步将问题转化为函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.【答案】（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22244x y -+-=，即2248160x y x y +--+= . 1C ∴的参数方程化为极坐标方程为24cos 8sin 160p p p θθ--+=； (2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩可得：424p p ππθθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.23．已知()()f x x a a R =+∈．（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；（2）若对任意x R ∈，不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，【分析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值，把不等式()32f x x a a +-≥-化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥-两边平方整理得()2232410x a x a -++-≤由题意知0和2是方程()2232410x a x a -++-=的两个实数根 即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得1a =（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=所以要使不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，只需232a a ≥-当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤；当a<0时，232a a -≥-，解得25a ≤，即a<0； 综上所述，a 的取值范围是(],2∞-【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
雅礼中学2023届高三月考试卷（一）数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则以下结论正确的是（）A. A B =B. {}0A B ⋂= C. A B A⋃= D. A B⊆【答案】B 【解析】【分析】由题得{0,2}B =, 再判断得解.【详解】由题得{0,2}B =, 所以A B ≠，{}0A B ⋂=，A B A ≠U ，A 不是B 的子集，故选：B2. 已知等比数列{}n a 满足()13541,41a a a a =⋅=-，则7a 的值为A. 2 B. 4 C.92D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质求出4a ，结合2174a a a =计算即可.【详解】根据等比数列的性质可得2354a a a =，∴()24441a a =-，即()2420a -=，解得42a =，又∵11a =，21744a a a ==，故可得74a =，故选：B3. 已知复数()()1i z a a a R =+-∈，则1a =-是1z =的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由1z =求出a 即可得出.【详解】由1z =1=，解得1a =-或0，所以1a =-是1z =的充分不必要条件.故选：A.4. 已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =-r ，若a b ⊥ ，则21cos sin 22θθ+的值为（ ）A. 13B. 35C. 45D.23【答案】B 【解析】【分析】先由a b ⊥得出tan 2θ=，再按照齐次分式化简求值即可.【详解】由a b ⊥得2cos sin 0tan 2θθθ-=⇒=，∴222221cos sin cos 1tan 3cos sin 22sin cos tan 15θθθθθθθθθ+++===++.故选：B.5. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过BE 的平面α与直线1A F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A.B. C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，易证1//A F 平面EBCG ，从而得到平面EBCG 为所求截面，再计算其面积即可.【详解】取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，如图所示：因为1//A E FC ，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1//A F EC .又1⊄A F 平面EBCG ，EC ⊂平面EBCG ，所以1//A F 平面EBCG ，即平面EBCG 为所求截面.所以BE ==，=⨯=EBCG S BE BC .故选：B【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.6. 某工厂有,A B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是,A B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A 车间生产的概率为（ ）A.34B.47C.12D.37【答案】D 【解析】【分析】根据贝叶斯公式计算可得.【详解】设B 1，B 2，分别表示事件：任取的产品为甲、乙车间生产，A =“抽取的产品是不合格品”，由条件知120.60.())4(P B P B ＝，＝，120.010.0(|)(|)2P A B P A B ＝，＝，则该产品是由A 车间生产的概率为P (B 1|A )，所以()()()()()()()()()()()11111211221||||||iii P B P A B P B P A B P B A P B P A B P B PA B P B P A B ===+∑0.60.0130.60.010.40.027⨯==⨯+⨯.故选：D.7. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，根据题意可得2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则1PM MF m ==，在12PF F △中，分别求得12,PF PF ，再利用余弦定理可得,a c 的齐次式，即可得出答案.【详解】解：设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，则2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则PM m =，又123F PF π∠=，所以1PF M 为等边三角形，所以1MF m =，又1143PF MF PM a m ++==，所以1242,33PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理可得：222121211122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222216484999c a a a =+-，所以223a c =，所以c e a==故选：B .8. ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（ ）A. 2 B. 3C.D.【答案】C 【解析】【分析】由三角形面积公式得到21sin b A =，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A-=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=，设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44A A A A -=--表示点5,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PAk APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC …，所以||BC …，即BC 故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 某人工智能公司近5第x 年12345利润y /亿元23457已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为 1.2y x a=+，则下列说法正确的是（ ）A. ˆ0.6a=B. 变量y 与x 之间的线性相关系数0r <C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2【答案】AC 【解析】【分析】首先求出x 、y ，根据回归直线方程必过(),x y ，即可求出 a ，从而得到回归直线方程，根据x与y 成正相关，即可得到相关系数0r >，再令6x =求出 y ，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D ；【详解】解：依题意()11234535x =++++=，()1212345755y =++++=，因为回归直线方程为 1.2y x a =+必过样本中心点()x y ，即 21 1.235a =⨯+，解得 0.6a =，故A 正确；则回归直线方程为 1.20.6y x =+，则x 与y 成正相关，即相关系数0r >，故B 错误，当6x =时 1.260.67.8y =⨯+=，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C 正确，该人工智能公司这5年的利润的方差为22222121212121217423457255555525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 错误；故选：AC10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A. 若O为线段PQ 中点，则2PF = B. 若4PF =，则OP =C. 存在直线l ，使得PF QF ⊥ D. PFQ △面积的最小值为2【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，求出P 点的横坐标，再根据抛物线的定义求出PF ，即可判断；对于B ，根据抛物线的定义求出P 点的横坐标，再求出OP ，即可判断，对于C ，()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，判断0FP QF ⋅= 是否有解，即可判断；对于D ，根据12P Q PFQ S OF y y =⋅⋅- ，结合基本不等式即可判断.【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ，若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF=，则413Px =-=，所以OP ===，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =- ，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQ P Q S a OF a y a ay =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥ ，当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号，所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确.故选：AD .11. 对于函数()sin cos 2f x x x =+，下列结论正确得是（ ）A. ()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 的最小正周期为π【答案】AD 【解析】【分析】先分析函数()f x 的奇偶性与周期性，再利用周期性，选取一个周期来研究即可对每一个选项作出判断.【详解】()sin cos 2f x x x =+，x ∈R ，所以()sin()cos(2)sin cos 2()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，又()f x π+sin()cos 2()sin cos 2()x x x x f x ππ=+==+++，所以π是函数()f x 的周期，又sin()cos 2(cos cos 2()222f x x x x x f x πππ⎛⎫++++=-≠ ⎝=⎪⎭，故()f x 的最小正周期为π.对于A ，因为()f x 最小正周期为π，令[0,]x π∈，此时sin 0x ≥，所以2()sin 12sin f x x x =+-，令sin ,[0,1]t x t =∈，所以有()221921248g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可知其值域为9[0,8，故A 正确；对于B ，由A 可知，()g t 在1[0,]4上单调递增，在1(,1]4上单调递减，因为sin ,[0,1]t x t =∈，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增，故B 不正确；对于C ，因为()01f =，02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()π02f f ⎛⎫=≠⎪⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线4x π=对称，故C 不正确；对于D ，前面已证明正确.故选：AD12. 已知正四棱台1111ABCD A B C D -（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD 边长为2，上底面边长为1，则（ ）A.它的表面积为5+B.C. 侧棱与下底面所成的角为60°的D. 的正方体的体积大【答案】ACD 【解析】【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形11ABB A 的面积，即可判断A 的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C 的正误；求得12C O 的长，分析可得2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径R ，代入表面积公式，可判断B 的正误；分别求得正四棱台的体积1V 和正方体的体积2V ，利用作商法比大小，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】由题意得：上底面1111D C B A 的面积1111S =⨯=，下底面ABCD 的面积2224S =⨯=，侧面11ABB A 为等腰梯形，过11A B 、分别做AB 的垂线，垂足为E 、F ，如图所示所以111EF A B ==，则1=2AE BF =，所以1B F ==，所以梯形11ABB A 的面积为31(12)2S =⨯+=，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的表面积12345S S S S =++⨯=+A 正确；连接1111,A C B D ，且交于点1O ，连接AC 、BD 交于点2O ，连接12O O ，则12O O 垂直底面ABCD ，过1A 作12A G AO ⊥于G ，则1A G ⊥底面ABCD ，则四边形121A GO O 为矩形，由题意得11AC ==，所以11A O =同理2AC AO ==，又112A O GO ==AG =，在1Rt AGA △中，111cos 2AG A AG A A ∠===，所以160A AG ∠=︒，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C 正确所以1A G ==.连接12C O ，在112Rt C O O中，12C O ==，所以点2O 到1111A B C D A B C D 、、、、、、、，所以点2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径R所以外接球的表面积)248S ππ'=⨯=，故B 错误；正四棱台的体积((1121211+1433V S S O O =⨯+⨯=⨯+=的正方体的体积32V ==所以121V V ===>，所以12V V >，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的正方体的体积大，故D 正确；故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定2O 为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ.若()00.9P X >=，则()24P X <<=______.【答案】0.4##25【解析】【分析】根据正态分布的对称性可求.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()22,N σ，所以正态曲线的对称轴为2x =，所以()()()04100.1P X P X P X <=>=->=，所以()04120.10.8P X <<=-⨯=，所以()1240.80.42P X <<=⨯=.故答案为：0.4.14. 若 2022220220122022(12)x a a x a x a x -=++++ ，则20221222022222a a a +++ 的值 ___________________.【答案】1-【解析】【分析】根据赋值法分别令0x =、12x =，然后可得.【详解】令0x =，得01a =，令12x =，得2022120220220222a a a a ++++= ，所以202212220221222a a a +++=- 故答案：1-15. 对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．【答案】[6,)+∞【解析】【分析】画出图形，由图可知当2l 在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与 x ，y 的值无关，然后计算出直线2l 与圆相切时a 的值，从而可得a 的取值范围【详解】解：点(,)P x y 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和为d 因为d 与x ，y 无关，所以距离之和与点(,)P x y 无关，如图所示，当2:340l x y a -+=在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与为x ，y 的值无关，当直线2l 与圆相切时，3415a -+=，化简得15a -=，解得6a =或4a =-（舍去）所以6a ≥故答案为：[6,)+∞【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想，解题的关键是画出图形，由图可知当2l 在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与 x ，y 的值无关，然后计算出直线2l 与圆相切时a 的值，从而可得答案，属于中档题16. 若e e e x y -=,,R x y ∈，则2x y -最小值为_________．【答案】12ln 2+【解析】【分析】把2e x y -表示成e y 的函数，再借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，e e e xy=+，e 0y >，则2222e (e e)e ee 2e e e ex y x yy y y y -+===++2e 4e ≥+=，当且仅当2e e eyy =，即1y =时取“=”，此时，min (2)12ln 2x y -=+，所以，当1ln 2,1x y =+=时，2x y -取最小值12ln 2+.故答案为：12ln 2+的四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭.（1）求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值.【答案】（1）；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=.【解析】【分析】（1）由角α的终边经过点P ，结合三角函数的定义可求sin α，cos α，然后结合两角和的正弦公式可求；（2）由()5sin 13αβ+=，结合同角平方关系可求()cos αβ+，然后根据()βαβα=+-，及两角差的余弦公式可求.【详解】（1）∵角α的终边经过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴1OP ==.由三角函数的定义得4sin 5α=-，3cos 5α=-.∴1143sin sin 32255πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）∵()5sin 13αβ+=，∴12cos()13αβ+===±，∴()cos cos cos()cos sin()sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦，∴当12cos()13αβ+=时，35451256cos 1313655β⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯-⨯--；当12cos()13αβ+=-时，121356cos 131654553β⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.综上所述：56cos 65β=-或16cos 65β=.【点睛】思路点睛：先利用三角函数的定义求出sin α，cos α，再利用两角和与差的正余弦公式计算及凑角思想的应用.18. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记22cos3n n n a b a π=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求3n T .【答案】（1）n a n =（2）23942n n n T +=【解析】【分析】（1）由1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n n S a a =+可得出21112n n n S a a ---=+，两式作差可推导出数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出32313k k k k c b b b --=++，然后利用等差数列求和公式可求得3n T .【小问1详解】解：当1n =时，21112S a a =+，所以211a a =，又10a >，故11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，而22n n n S a a =+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a ->+，所以11n n a a --=，故{}n a 是以1为公差的等差数列，从而()111n a a n n =+-⨯=.【小问2详解】解：22cos3n n b n π=，设()()()222323134232cos 231cos 23cos 233k k k k c b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫=++=--+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222115323199222k k k k =----+=-，其中N k *∈，所以23125599942222n n n n n n T c c c ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=++⋅⋅⋅+==.19. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，的PD AD =，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面MND ⊥平面PBC（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）点N 在线段BC 的中点【解析】【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥，而CD BC ⊥，可证得BC ⊥平面PCD ，从而得BC DM ⊥，而DM PC ⊥，所以DM ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可得结论，（2）设1PD AD ==，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【小问1详解】证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，因为CD BC ⊥，CD PD D = ，所以BC ⊥平面PCD ，因为DM ⊂平面PCD ，所以BC DM ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD =，所以PD CD =，因为在PDC △中，PD CD =，M 为线段PC 的中点，所以DM PC ⊥，因为PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，因为DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ，【小问2详解】当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为PD ⊥底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥，因为DA DC ⊥，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1PD AD ==，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,1,0)(01)N λλ<<，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM λ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭ ，设(,,)m x y z =为平面PAB 的法向量，则00m AP x z m AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，令1x =，则=(1,0,1)m u r ，设(,,)n a b c =为平面MND 的法向量，则01122n DN a b n DM b c λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，则(1,,)n λλ=- ，因为平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,m n m n m n ⋅=== ，化简得24410λλ-+=，得12λ=，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°20. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.【答案】（1）37；（2）分布列见解析，607；（3）比赛不公平，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与12比较大小即可.【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件A则()1121632793217C C C P A C +===（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分()33371635C P C ξ===()2133379735C C P C ξ⋅===()1233379835C C P C ξ⋅===()21331333774935C C C P C C ξ⋅==+=()1113313791035C C C P C ξ⋅⋅===()21313731135C C P C ξ⋅===所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望19949360678910113535353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为137p =由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为294935357p +++==若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为221162233372235C C C C p C ++==若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为2263437(1)1735C C P C -+==则摸球人获胜的概率为1315322317157187878358352802P =⨯+⨯+⨯+⨯=>所以比赛不公平.【点睛】关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是12，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类.21. 设01x <<.（1）证明：2sin 116x xx -<<；（2）若3sin 6x ax x -<，求a 取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）设()sin (01)f x x x x =-<<，3()sin (01)6xg x x x x =+-<<，根据函数的单调性证明结论成立；（2）通过讨论a 的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a 的取值范围即可．【详解】（1）由题意可设()()sin 01f x x x x =-<<，有'()cos 10f x x =-<，所以()f x 在（0，1）单减，所以()(0)0f x f <=，即sin 1xx<，设3()sin (01)6x g x x x x =+-<<，2'()cos 12x g x x =+-，''()sin 0g x x x =->，则有'()0g x >，()g x 单调递增，得()(0)0g x g >=，所以2sin 16x xx >-得证；（2）由（1）可知1a ≤时，33sin 66x x ax x x -≤-<成立，则当1a >时，设3()sin 6x h x x ax =+-，则2'()cos 2x h x x a =+-，''()sin 0h x x x =->，'()h x 单调递增，则''1()(1)cos12h x h a <=+-，①若1cos12a ≥+，'()0h x <，()h x 单调递减，则有()(0)0h x h <=，此时不符合题意；②若11cos12a <<+，()'010h a =-<，()'11cos102h a =+->，所以'()h x 有唯一零点，可记为0x ，则00x x <<，'()0h x <，此时()h x 单调递减，有()0h x <，则不符合题意；的综上可知1a ≤，即a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22. 已知双曲线22:1C x y -=和点()0,1B .（1）斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于,E F 两点，求EBF ∠最小时k 的值.（2）过点B 的动直线与双曲线C 交于,P Q 两点，若曲线C 上存在定点A ，使AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.【答案】（1）0（2）),A λ=或者(),A λ=【解析】【分析】（1）由对称性可设(,)E x y ，(,)F x y --，由数量积得221BE BF x y ⋅=--+ ，再由E 点在双曲线C 上，进而可得22(1)0BE BF x ⋅=- …，进而可得EBF ∠最小时k 的值．②设(,)A m n ，过点B 的动直线为1y tx =+，联立直线PQ 与双曲线的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，△0>，用坐标表示AP AQ k k λ+=，化简得222(2)2(1)2220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，从而列2220102220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩①②，解得n ，m ，进而可得答案．【小问1详解】由对称性可设()(),,,E x y F x y --，则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+ ，因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，即221y x =-，且1x ≥所以()2210BE BF x ⋅=-≤ ，当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅= 为直角，当1x >时，0,BE BF EBF ∠⋅< 为钝角，所以EBF ∠最小时，1,0x k ==.【小问2详解】设(),A m n ，由题意知动直线一定有斜率，设点B 的动直线为1y tx =+，设()()1122,,,P x y Q x y 联立221,1,x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220,t x tx ---=，所以()22212212210,Δ4810,2,12,1t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨+=⎪-⎪⎪=--⎩，解得22t <且21t ≠，AP AQ k k λ+=，即1212y n y n x m x mλ--+=--，即121211tx n tx n x m x mλ+-+-+=--，化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=，()(222212201t mt n m mn m t λλλ--+-+-+-+-=-，化简得()()2222212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2220,10,2220,m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩①②将①代入②得m λ=，从而322,1.m mn m n ⎧=⎨=+⎩如果0m =时，那么1n =-，此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去，因此0m ≠，从而22m n =，代入21m n =+，解得1,n m ==此时()A 在双曲线上，综上，),A λ=，或者(),A λ=.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值或者定值问题，联立直线与曲线的方程是必要手段，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围，利用点的坐标运算得直线的斜率，对计算能力要求较高.。
河北省石家庄市正定中学2022-2023学年高三上学期12月月考物理试题及答案
河北正定中学2022-2023学年（上）第三次月考高三物理（试卷总分：100分 考试时间：90分钟 ）注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。
答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
4.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：（本题共7小题，每题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．如图所示是某幼儿园的一部直道滑梯，其滑道倾角为θ。
一名质量为m 的幼儿在此滑道上匀速下滑。
若不计空气阻力，重力加速度g 为，则该幼儿（ ）A ．所受摩擦力为cos mg θB ．对滑道的压力为sin mg θC ．对滑道的压力为tan mg θD ．所受摩擦力sin mg θ2．关于物理学家及他们的科学贡献，下列说法中正确的是A ．洛伦兹发现了磁场对电荷的作用规律，库仑发现了电场对电荷的作用规律B ．普朗克提出了能量子观点，爱因斯坦发现光电子的能量是量子化的C ．卢瑟福的原子模型指出了原子核的存在，玻尔的原子模型不能解释氦原子的光谱D ．查德威克观察β衰变现象发现了中子，居里夫妇发现了人工放射性3．如图所示，a 为地球赤道上的物体，随地球表面一起转动，b 为近地轨道卫星，c 为同步轨道卫星，d 为高空探测卫星。
若a 、b 、c 、d 绕地球转动的方向相同，且均可视为匀速圆周运动。
则（ ）A ．a 、b 、c 、d 中，a 的加速度最大B ．a 、b 、c 、d 中，a 的线速度最大C ．a 、b 、c 、d 中，d 的周期最大D ．a 、b 、c 、d 中，d 的角速度最大4．下列关于物理学史描述不正确的是A ．库仑测出了元电荷e 的数值B ．安培提出了分子电流假说C ．奥斯特发现通电导线周围存在磁场D ．法拉第提出了“场”的概念5．质量相同的物体A 、B 静止在光滑的水平面上，用质量和水平速度相同的子弹a 、b 分别射击A 、B ，最终a 子弹留在A 物体内，b 子弹穿过B ，A 、B 速度大小分别为v A 和v B ，则（ ）A ． AB v v >B ． A B v v <C ． A B v v =D ．条件不足，无法判定6．如图所示，绝缘水平面上有A 、B 、C 、D 四点，依次相距L ，若把带电金属小球甲（半径远小于L ）固定在B 点，测得D 点处的电场强度大小为E ；现将不带电的相同金属小球乙与甲充分接触后，再把球乙置于A 点，此时D 点处的电场强度大小为（ ）A ．1318EB ．119EC ．1118ED ．139E 7．在水平地面上M 点的正上方某一高度处，将S 1球以初速度1v 水平向右抛出，同时在M 点右方地面上N 点处，将S 2球以初速度2v 斜向左上方抛出，两球恰在M 、N 连线的中点正上方相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中（ ）A ．初速度大小关系为12v v =B ．速度变化量相等C ．水平位移相同D ．都不是匀变速运动二、选择题：（本题共3小题，每题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）．8．一束几种不同的离子，垂直射入有正交的匀强磁场B1和匀强电场区域里，离子束保持原运动方向未发生偏转．接着进入另一匀强磁场B2，发现这些离子分成几束．如图．对这些离子，可得出结论（）A．它们速度大小不同B．它们都是正离子C．它们的电荷量不相等D．它们的荷质比不相等9．如图所示的电路中，电源内阻不能忽略，电流表和电压表均为理想电表，下述正确的是（ ）A．若R2短路，电流表示数变小，电压表示数变大B．若R2短路，电流表示数变大，电压表示数变小C．若R4断路，电流表示数变大，电压表示数变小D．若R4断路，电流表示数变大，电压表示数变大10．一倾角为 足够长的光滑斜面固定在水平面上，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的下端系一个质量为m的小球，用一垂直于斜面的挡板P挡住小球，此时弹簧没有发生形变，如图所示，若挡板P以加速度a沿斜面向下匀加速运动，且弹簧与斜面始终保持平行，经过一段时间后，当小球与挡板刚好分离时（）A ．弹簧弹力大小sin mg θB ．小球运动的速度达到最大C ．小球获得的动能为2(sin )m a g a kθ-D 三、非选择题：57分11．在金属丝电阻率测定的实验中，用螺旋测微器测量金属丝的直径d ，测量读数如图所示，则d =___________mm ；（1）已知某小量程的电流表满偏电流为1mA ，内阻R g =50Ω。
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可编辑
哈尔滨市第六中学2017届高三12月月考
高三理科数学
1．已知集合)}54lg(|{},02
1
|
{2++-==≤+-=x x y x B x x x A ，则)(B C A R ⋂=（ ） A ．]1,2(-- B ． ]1,2[-- C ．]1,1(- D ．]1,1[-
2．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为,n S 若40342017=S ，则=++201510093a a a （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
3．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥-+0204202x y x y x ，则y x z -=的最大值与最小值之差为（ ）
A ．5
B ．6
C ．3
D ．4
4．若将函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 的图象向左平移4
π
个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(
π
对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6
,2[π
π-上的最小值（ ） A ．21-
B ．23-
C ．22
D ．
21
5．已知函数)32(log )(23
2--=x x x f ，给定区间E ，对任意E x x ∈21,，当21x x <时，总有
)()(21x f x f <，则下列区间可作为E 的是（ ）
A ．)1,3(--
B ．)0,1(-
C ．)2,1(
D ．)6,3( 6．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） A ．16 B ．13 C ．14 D ．1
2
7．已知双曲线)0,0(1:
2
2
22>>=-b a b y a x C 的左、右焦点分别为2
1,F F ，焦距为c 2，直线)(33
c x y +=与双曲线的一个交点P 满足21122F PF F PF ∠=∠，则双曲线的离心率e 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．132+
D ．13+
8．现有四个函数：①x x y sin =；②x x y cos =；③|cos |x x y =；④x
x y 2=的图像如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是
A ．④③②①
B ． ③④②①
C ．④①②③
D ．①④②③
9．已知在三角形ABC 中，角B A ,都是锐角，且0cos )sin(3)sin(=+++C C A C B ，则A tan 的最大值为（ ）
A.
4
3
B ．3
C ．21
D ．2
10．已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，首项d a =1，数列}{2
n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 是公比q
小于1的正项有理数列，首项2
1d b =，其前n 项和为n T ，若3
3T S 是正整数，则q 的可能取值为（ ）
A ．71
B ．73
C ．21
D ．4
3
11．已知21,F F 分别是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，P 是双曲线左支上的任意一点，
当||||1
22PF PF 取得最小值a 9时，双曲线的离心率为（ ） A.3 B ．2 C ．5 D ．5
12．设过曲线a x e x f x
3)(+--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线x a x x g cos 2)1()(+-=上
一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．]1,1[- B ．]2,2[- C ．]1,2[- D ．]2,1[- 13．若直线1-=kx y 与抛物线x y 42
=有且只有一个公共点，则k 的
值为
14．如图，在四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为正三角形，底面
ABCD 是边长为2的正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MC MP =，则点M 在正方形ABCD
可编辑
内的轨迹的长度为
15．已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且
AC y AN AB x AM ==,，+∈R y x ,，则y x +的最小值为
16．已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧
+∞∈---∞∈---=)
,[,34
),(,342)(a x x x a x x x a x f 有且只有3个不同的零点)(,,321321x x x x x x <<，且
3122x x x +=，则=a
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,13
A C b π
+==． （1）记,()A x f x a c ==+，若ABC ∆是锐角三角形，求()f x 的取值范围； （2）求ABC ∆面积的最大值．
18.（本小题满分12分）如图，已知平面ABC ⊥平面BCDE ，DEF ∆与ABC ∆分别是棱长为1与2的正三角形，
AC //DF ，四边形BCDE 为直角梯形，
DE //BC ，,1BC CD CD ⊥=，点G 为ABC ∆的重心，N 为AB 中点，(,0)AM AF R λλλ=∈>.
（1）当2
3
λ=时，求证：GM //平面DFN ； （2）若1
=
2
λ时，试求二面角M BC D --的余弦值.
19.（本小题满分12分）已知抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴交于点R ，与抛物线交于点S ，且5
4
FS RS =
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线的焦点F ，作垂直于y 轴的直线l ，P 是抛物线上的一动点（异于l 与C 的交点），过点P 的切线交l 于点A ，交抛物线的准线于点M ，求证：FA
FM
为定值
20.（本小题满分12分）已知椭圆22
22:1x y C a b +=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为
12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP
MN
的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知函数()()f x lnx cx c R =-∈
（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设函数()f x 有两个相异零点12,x x ，
求证：2
12x x e ⋅>
选做题 (本小题满分10分， 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）
可编辑
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1+cos sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy
取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的极坐标方程为
sin()224
π
ρθ+=．
（1）求曲线C 和直线l 在直角坐标系下的普通方程；
（2）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，若定点(2,2)P -，求||||AB PB +的最小值 23.选修4-5：不等式选讲 设,,a b c R +
∈且1a b c ++=
（1）求证：2212c ab bc ca +++≤； （2）求证：222222
2a c b a c b b c a
+++++≥。