大学物理：第13章-固体中的电子
大学物理课本答案习题 第十三章习题解答
习题十三13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为1r ，2r 。
已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数，t 为时间。
导线框长为a ，宽为b ，求导线框中的感应电动势。
解：无限长直电流激发的磁感应强度为02IB rμ=π。
取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。
取回路的绕行正方向为顺时针。
由场强的叠加原理可得x 处的磁感应强度大小00122()2()IIB r x r x μμ=+π+π+方向垂直纸面向里。
通过微分面积d d S a x =的磁通量为00m 12d d d d 2()2()I I B S B S a x r x r x μμΦππ⎡⎤=⋅==+⎢⎥++⎣⎦通过矩形线圈的磁通量为00m 012d 2()2()b I I a x r x r x μμΦ⎡⎤=+⎢⎥π+π+⎣⎦⎰012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω⎛⎫++=+ ⎪π⎝⎭ 感生电动势0m 12012d ln ln cos d 2i a r b r b I t t r r μωΦεω⎛⎫++=-=-+ ⎪π⎝⎭ 012012()()ln cos 2ar b r b I t r r μωω⎡⎤++=-⎢⎥π⎣⎦0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方向为逆时针。
13-2 如题图13-2所示，有一半径为r =10cm 的多匝圆形线圈，匝数N =100，置于均匀磁场B 中（B =0.5T ）。
圆形线圈可绕通过圆心的轴O 1O 2转动，转速1600r min n -=⋅。
求圆线圈自图示的初始位置转过题图13-1题图13-2解图13-1/2π时，(1) 线圈中的瞬时电流值（线圈的电阻为R =100Ω，不计自感）； (2) 圆心处磁感应强度。
大学物理第13章_真空中的静电场(场强)
dl
则
q dq dl 2R
1 dq 0 dE r 2 40 r
O
x
dE
dE
dE x x
由对称性有
R
E dE x dE cosi 1 q cos l dl i 2 40 2R r
r
P
cos x r r x R
实验规律 场的 性质 场与物质的相 互作用
静电场：相对于观察者静
止的电荷所产生的电场
§1-1电荷.库仑定律
一.两种电荷 1.自然界只存在两种 电荷，同种电荷相排 斥，异种电荷相吸引
2.美国物理学家富兰克林首先称其为正 电荷和负电荷
3.带电的物体叫带电体 4.质子和电子是自然界存在的最小正、负电 荷，其数值相等，常用+e和-e表示
1986年 e 的推荐值为
e 1.60217733 10
C(库仑)为电量的单位
19
C
二.电荷量子化 1.实验表明:任何带电体或其它微观粒 子所带的电量都是 e 的整数倍
----物体所带电荷量量值不连续
2.电荷量子化：电荷量不连续的性质
三.电荷守恒定律 常见的两种起电方式： 摩擦起电 摩擦起电的本质：电子从一个 物体转移到另一个物体
定义：电场强度
F E q0
单位：牛顿/库仑(N/C)或伏特/米(V/m) 三.场强叠加原理 设空间有点电荷q1、q2 、q3 … qn
P点处的试探电荷 q0 所受电场力为
n F F1 F2 Fn Fi
i 1
F F1 F2 Fn P点的场强为 E q0 q0 q0 q0
大学物理第13章习题解答
第十三章习题解答1选择题：1B ，2A ，3B ，4A ，5D2填空题：1，2sin /d πθλ；2，0.45mm ；3，900nm ；4，变密；5，向上；6，向下；7，棱边，保持不变。
3计算题：1 用λ=500nm 的平行光垂直入射劈形薄膜的上表面，从反射光中观察，劈尖的棱边是暗纹。
若劈尖上面媒质的折射率n 1大于薄膜的折射率n (n =1.5)．求：⑴ 膜下面媒质的折射率n 2与n 的大小关系； （2） 第10条暗纹处薄膜的厚度； ⑶ 使膜的下表面向下平移一微小距离e ∆，干涉条纹有什么变化?若e ∆=2.0 μm ，原来的第10条暗纹处将被哪级暗纹占据?解：⑴ n 2>n 。
因为劈尖的棱边是暗纹，对应光程差为：2)12(22λλ+=+=∆k ne ，膜厚e =0处，有k =0，只能是下面媒质的反射光有半波损失2λ才合题意； （2） 3995009 1.510222 1.5ne n λλ-⨯∆=⨯===⨯⨯ mm (因10个条纹只有9个条纹间距)⑶ 膜的下表面向下平移，各级条纹向棱边方向移动．若0.2=∆e μm ，原来第10条暗纹处现对应的膜厚为)100.2105.1(33--⨯+⨯='∆e mm343.5102 1.5212 5.010n e N λ--'∆⨯⨯⨯∆===⨯ 现被第21级暗纹占据．2 ⑴ 若用波长不同的光观察牛顿环，λ1＝600nm ，λ2＝450nm ，观察到用λ1时的第k 个暗环与用λ2时的第k +1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm ．求用λ1时第k 个暗环的半径．（2） 又如在牛顿环中用波长为500nm 的第5个明环与用波长为λ2的第6个明环重合，求未知波长λ2．解： ⑴ 由牛顿环暗环公式：λkR r k = 据题意有 21)1(λλR k kR r +==，∴ 212λλλ-=k ，代入上式得：2121λλλλ-=Rr =31085.1-⨯=m （2） 用1500λ=nm 照射，51=k 级明环与2λ的62=k 级明环重合，则有：2)12(2)12(2211λλR k R k r -=-=∴121221251500409.121261k k λλ-⨯-==⨯=-⨯-nm 3 当牛顿环装置中的透镜与玻璃之间的空间充以液体时，第十个亮环的直径由d 1＝1.40×10-2m 变为d 2＝1.27×10-2m ，求液体的折射率．解： 由牛顿环明环公式2)12(21λR k D r -==空， n R k D r 2)12(22λ-==液两式相除得n D D =21，即22.161.196.12221≈==D D n 4 在双缝干涉实验中，波长λ＝550 nm 的单色平行光垂直入射到缝间距d ＝2×10-4 m 的双缝上，屏到双缝的距离D ＝2 m ．求：(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(2) 用一厚度为e ＝6.6×10-5 m 、折射率为n ＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 10-9 m)解： (1)，x dk D λ=，21010 5.510()Dx m d λ-==⨯，1020.11()x m = (2)，(1)69.6n ek λ-==5 双缝干涉实验装置如图所示，双缝与屏之间的距离D ＝120 cm ，两缝之间的距离d ＝0.50 mm ，用波长λ＝500 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直照射双缝． (1) 求原点O (零级明条纹所在处)上方的第五级明条纹的坐标x ． (2) 如果用厚度l ＝1.0×10-2 mm ， 折射率n ＝1.58的透明薄膜复盖在图中的S 1缝后面，求上述第五级明条纹的坐标x '．解：（1）55 6.0()Dx mm d λ==（2）21=()(1)5x k r r l nl d n l Dδλλ'=--+=--=19.9x mm '=6 在杨氏双缝实验中，设双缝之间的距离为0.2m m ，在距双缝远1m 的屏上观察干涉条纹，若入射光是波长为400760nm nm 的白光，问屏上离零级明纹20mm 处，哪些波长的光最大限度地加强？解：3410(5.210)dx nmk D λλ⨯===6,7,8,9,10k ==666.6,571.4,500,444.4,400dxnm Dkλ=7 在双缝干涉实验中，波长550nm λ=的单色平行光垂直入射到双缝间距4210md -=⨯的双缝上，屏到双缝的距离2m D =．求： (1)中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(2)用一厚度为56.610m e -=⨯、折射率为 1.58n =的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？ 解：同第4题（重复了）8 杨氏双缝干涉实验中，双缝间距为0.3m m ，用单色光垂直照射双缝，在离缝 1.20m 的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm ，问所用单色光的波长为多少？解：522.78/211.39x mm ===380dxnm Dkλ= 9 油轮漏出的油(折射率 1.25n =)在海水(折射率为1.30)表面形成一层薄薄的油污． (1)如果太阳正位于海域上空，一直升飞机的驾驶员从机上向下观察，他所正对的油层厚度为400nm ，则他将观察到油层呈现什么颜色?(2)如果一潜水员潜入该区域水下，又将看到油层呈现什么颜色? 解：阶梯型薄膜。
电子态密度与固体能带理论
电子态密度与固体能带理论在研究固体材料的性质时，电子态密度和固体能带理论是两个重要的概念。
它们在理解和解释材料的导电性、磁性、光学性质等方面起着关键作用。
一、电子态密度电子态密度指的是单位体积内能带中能量范围的电子态数。
在固体中，能量的分布是离散的，由一系列能带组成。
每个能带可以容纳一定数目的电子态。
电子态密度可以通过积分能带的能量分布函数得到。
在自由电子气模型中，能带理论认为固体中的电子行为可以类比于自由电子气体。
根据玻尔兹曼统计分布，我们可以得到电子的能量分布情况。
对于一维情况下的自由电子气体，电子态密度与能量成正比。
而在三维情况下，由于动量的离散化,电子态密度与能量平方根成正比。
这种能量依赖关系在实际材料中也具有一定的适用性。
电子态密度的变化对材料的性质有明显的影响。
当能带带宽较窄时，电子态密度会随着能级变化较大，导致材料的导电性较差。
而当能带带宽变大时，电子态密度增加，导电性也会相应提高。
二、固体能带理论固体能带理论是研究固体中电子行为的重要工具。
它是基于定量量子力学计算的理论框架。
能带理论认为固体中电子的运动受到周期势场的影响，而且这种势场周期性重复。
在周期性势场中，电子的运动可以用一组平面波来描述，这些平面波都服从薛定谔方程。
能带理论将材料中电子的能级分布成一个个能带，每个能带中包含着一系列电子能级。
能带理论通过计算固体中的能级分布情况，得到能带图谱，从而揭示材料的性质。
在能带理论中，准确计算能带图谱并不容易。
因此，通常采用近似方法来获得代表性的能带图像。
最简单的近似方法是累积轨道近似。
此外，还有密度泛函理论、紧束缚模型、半经典近似等方法。
能带理论解释了固体的导电性、绝缘性和半导体特性等现象。
通过分析能带图谱，我们可以得到带隙的信息，即导带和价带之间的能量差。
当带隙较小时，材料表现出半导体特性；当带隙为零时，材料呈现导电性；当带隙较大时，材料则显示出绝缘性。
电子态密度和固体能带理论是理解和解释固体材料性质的重要工具。
大学物理课后习题及答案 第13章
第13章 光学一 选择题*13-1 在水中的鱼看来，水面上和岸上的所有景物，都出现在一倒立圆锥里，其顶角为（ ）(A)48.8(B)41.2(C)97.6(D)82.4解：选(C)。
利用折射定律，当入射角为1=90i 时，由折射定律1122sin sin n i n i = ，其中空气折射率11n =，水折射率2 1.33n =，代入数据，得折射角2=48.8i ，因此倒立圆锥顶角为22=97.6i 。
*13-2 一远视眼的近点在1 m 处，要看清楚眼前10 cm 处的物体，应配戴的眼镜是（ ）(A)焦距为10 cm 的凸透镜 (B)焦距为10 cm 的凹透镜 (C)焦距为11 cm 的凸透镜 (D)焦距为11 cm 的凹透镜解：选(C)。
利用公式111's s f+=，根据教材上约定的正负号法则，'1m s =-，0.1m s =，代入得焦距0.11m =11cm f =，因为0f >，所以为凸透镜。
13-3 在双缝干涉实验中，若单色光源S 到两缝S 1、S 2距离相等，则观察屏上中央明纹位于图中O 处，现将光源S 向下移动到图13-3中的S ′位置，则[ ] (A) 中央明纹向上移动，且条纹间距增大(B) 中央明纹向上移动，且条纹间距不变(C) 中央明纹向下移动，且条纹间距增大 (D) 中央明纹向下移动，且条纹间距不变解：选(B)。
光源S 由两缝S 1、S 2到O 处的光程差为零，对应中央明纹；当习题13-3图向下移动至S ′时，S ′到S 1的光程增加，S ′到S 2的光程减少，为了保持光程差为零，S 1到屏的光程要减少，S 2到屏的光程要增加，即中央明纹对应位置要向上移动；条纹间距dD x λ=∆，由于波长λ、双缝间距d 和双缝所在平面到屏幕的距离D 都不变，所以条纹间距不变。
13-4 用平行单色光垂直照射在单缝上时，可观察夫琅禾费衍射。
若屏上点P 处为第二级暗纹，则相应的单缝波阵面可分成的半波带数目为[ ](A) 3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 6个解：选(B)。
大学物理基础电子教案
第 7 章 热力学基础 第 8 章 气体动理论 第 9 章 静电场 第10章 恒定磁场 10章 第11章 变化的磁场和变化的电场 11章 第12章 机械波 12章
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大学物理电子教案
第 13 章 波动光学基础 第 14 章 狭义相对论力学基础 第 15 章 量子物理基础 第 16 章 固体物理简介 激光 使用说明 制作群体
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《大学物理学》习题解答(第13章 稳恒磁场)(1)
【13.1】如题图所示的几种载流导线，在 O 点的磁感强度各为多少？
(a)
(b) 习题 13－1 图
(c)
【13.1 解】 (a) B 0
I 1 0 I 0 0 ，方向朝里。 4 2R 8R 0 I 。 2R
(b) B
0 I
2R
(c) B
mv eB
2mE k eB
6.71 m 和 轨 迹 可 得 其 向 东 偏 转 距 离 为
x R R 2 y 2 2.98 10 3 m
【13.17 解】利用霍耳元件可以测量磁感强度，设一霍耳元件用金属材料制成，其厚度为 0.15 mm，载流 － 子数密度为 1024m 3，将霍耳元件放入待测磁场中，测得霍耳电压为 42μV，通过电流为 10 mA。求待测磁 场的磁感强度。 【13.17 解】由霍耳电压的公式可得 B
B 4
2 0 I 0 I 。 (cos 45 cos135) 4a a
习题 13－2 图
习题 13－3 图
【13.3】以同样的导线联接成如图所示的立方形，在相对的两顶点 A 及 C 上接一电源。试求立方形中心的 磁感强度 B 等于多少？ 【13.3 解】由对称性可知，相对的两条棱在立方体中心产生的磁感强度相等而方向相反，故中心处的磁感 强度为零。 【13.4】如图所示，半径为 R 的半球上密绕有单层线圈，线圈平面彼此平行。设线圈的总匝数为 N，通过 线圈的电流为 I，求球心处 O 的磁感强度。 【13.4 解】在半球上距球心 y 处取一个宽度为 Rdθ 的园环，其对球心的张角为 θ，半径为 r＝Rsinθ，包含 的电流为 dI
2rB 0, 2rB 0 NI , 2rB 0,
大学物理热学第十三章 热力学基础 PPT
Mayer公式
•摩尔热容比
CP,m i 2
CV ,m i
泊松比
CV ,m
i 2
R
Cp,m
CV ,m
R
i
2 2
R
单原子分子理想气体 i 3 1.67
双原子分子理想气体 i 5 1.40
多原子分子理想气体 i 6 1.33
pV m RT RT
M
Q CV ,m (T2 T1)
•过程曲线: p b T2
0
a T1 V
吸收得热量全部用来内能增加;或向外界放热以内能减小为代 价;系统对外不作功。
3、理想气体定体摩尔热容 CV ,m
•定义:1mol、等体过程升高1度所需得热量
•等体过程吸热 QV CV ,m (T2 T1)
•等体过程内能得增量
E
QV
i 2
R
T2
T1 CV ,m T2
13-1 准静态过程 功 热量
一、准静态过程
可用Ｐ－V 图上得一条有
方向得曲线表示。
二、功
准静态过程系统对外界做功:
元功: dW Fdl pSdl pdV
dl
系统体积由V1变 为V2,系统对外 界作总功为:
V2
W＝ pdV
V1
p F S pe
光滑
注意:
V2
W＝ pdV
V1
1、V ，W>0 ；V ，W<0或外界对系统作功 ，V不变时W=0
V2 PdV
V1
i CV ,m 2 R
CP,m
CV ,m
CP,m CV ,m R
等容 等压
WV 0
QV CV ,m (T2 T1) E
QP Cp,m (T2 T1) CV ,m (T2 T1) P(V2 V1) WP P(V2 V1) R(T2 T1)
第13章思考题解
《大学物理学》（下册）思考题解第13章13-1 一电子以速度v 射入磁感强度为B的均匀磁场中，电子沿什么方向射入受到的磁场力最大？沿什么方向射入不受磁场力作用？答：当v 与B 的方向垂直射入时受到的磁场力最大，当v 与B的方向平行射入时不受磁场力作用。
13-2 为什么不把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感强度的方向？ 答：运动电荷受到的磁力方向随电荷速度方向不同而变化；磁感强度是描述磁场的固有性质，它不可能随不同的外来电荷变化。
13-3 试列举电流元Idl 激发磁场d B 与电荷元dq 激发电场d E的异同。
答：电流元Idl 激发磁场24rIdl e d B r μπ⨯=，电荷元dq 激发电场2014r dq d E e r πε= 。
其中r为从电流元Idl 或电荷元dq 到场点的位矢。
磁场d B 和电场d E 都与距离r 的平方成反比，这是它们的相同点。
但是d E 的方向沿径向r e，d B 的方向垂直于由Idl和r e构成的平面，这是它们的不同之处。
13-4 在球面上铅直和水平的两个圆中通以相等的电流，电流流向如图所示。
问球心O 处磁感强度的方向是怎样的？答：取坐标，设圆环1处在XOY 平面内，X 轴向右，Y轴指向纸面内，圆环1的电流在XOY 平面内顺时针方向。
另一圆环2处在XOZ 平面内，Z 轴向上，圆环2电流在XOZ平面内顺时针方向。
圆环1的电流在球心O 处产生的磁感强度是012I B k Rμ=-；圆环2的电流在球心O 处产生的磁感强度是022I B j Rμ=；球心O 处总的磁感强度是012()2I B B B j k Rμ=+=-+，它的数值是02IB R=。
方向如图（在YOZ 平面内看）。
13-5 平面内有一个流过电流I 的圆形回路，问平面内各点磁感强度的方向是否相同？回路所包围的面积的磁场是否均匀？答：平面内各点磁感强度的方向与回路中电流方向成右旋关系；回路所包围面积的磁场不均匀。
大学物理第13章 量子物理
5
在短波区， 很小 普朗克公式 →维恩公式
,T
2hc
2
,T
2 hc 2
1 ehc / kT 1
5
5
e
x
hc ,
e
hc kT
x 1
hc 1 kT
普朗克公式 →瑞利-金斯公式
( , T )
实验
维恩公式 T=1646k
,T c1 e
5 c2 / T
其中c1，c2 为常量。
高频段与实验符合很好，低频段明显偏离实 验曲线。
瑞利— 金斯公式
( , T )
实验 瑞利-琼斯
1900年6月，瑞利按经 典的能量均分定理， 把空腔中简谐振子平 均能量取与温度成正 比的连续值，得到一 个黑体辐射公式
能量子概念的提出标志了量子力学的诞生，普 朗克为此获得1918年诺贝尔物理学奖。
2. 黑体辐射的两个定律： 斯特藩 — 玻耳兹曼定律
M (T ) T 4
5.67 10 w/m K —— 斯特藩 — 玻耳兹曼常量
2 4 8
1879年斯特藩从实验上总结而得 1884年玻耳兹曼从理论上证明
要求自学光电效应的实验规律和经典波动理 论的困难。
实验规律 （特点）： ① 光强 I 对饱和光电流 im的影响： 在 一定时， m I 。 i
② 频率的影响：
截止电压 U c K U 0 与 光强I 无关；
U0 。 存在红限频率 0 K
③ 光电转换时间极短 <10-9s 。 2、波动理论的困难：不能解释以上②、 ③
1 1 R 2 2 n 1 1 n 2, 3,4, n 4,5,6,
第13章 量子物理基础《大学物理(下册)》教学课件
13.1 热辐射 普朗克的能量子假说
图13-2
13.1 热辐射 普朗克的能量子假说
1. 斯特藩-玻尔兹曼定律
在图13-2中，每一条曲线都反映了一定温度下，黑体的单色
辐出度MBλ（T）随波长λ的分布情况.每一条单色辐出度曲线与横坐 标轴所夹部分的面积都等于该温度下黑体的总辐出度，即
W（T）=∫∞0MBλ（T）dλ
13.1 热辐射 普朗克的能量子假说
在1870年开始的普法战争中，普鲁士（后来的德国） 打败了法国，得到了50亿法郎的巨额战争赔款，并接收了 法国割让的两个富含铁矿的大省——阿尔萨斯和洛林.普 鲁士为了更好地利用这笔巨款和这两省的钢铁资源，使自 己成为工业强国，大力发展高温炼钢技术与热辐射测温技 术，从而促进了对黑体辐射问题的研究，也打开了通往量 子理论的大门，使物理学进入了一个新的革命时期.
13.1 热辐射 普朗克的能量子假说
单色辐出度的单位为瓦/米3，符号W/m3.物 体的单色辐出度是温度T及所选定的波长λ的函数. 在一定的温度下，Mλ（T）随辐射波长λ的变化而 变化，当物体的温度升高时，Mλ（T 大.另外，当物体的材料和表面情况（如粗糙程度） 不同时，Mλ（T）的大小也不相同.单色辐出度反 映了在不同温度下的辐射能按波长分布的情况.
13.1 热辐射 普朗克的能量子假说
13.1.2 黑体热辐射的实验定律和经典理论的困难
对黑体热辐射的研究是热辐射中最重要的课题.实 验表明，黑体的单色辐出度MBλ（T）仅与温度T和波长 λ有关，与黑体的材料和表面的情况无关.图13-2是在 不同温度下实测的黑体单色辐出度MBλ（T）随波长λ和 温度T变化的曲线图.根据这些实验曲线，可以得出下述 有关黑体辐射的两条普遍定律.
13.1 热辐射 普朗克的能量子假说
大学物理课后习题及答案第13章
第13章 光学一 选择题*13-1 在水中的鱼看来，水面上和岸上的所有景物，都出现在一倒立圆锥里，其顶角为（ ）(A)48.8(B)41.2(C)97.6(D)82.4解：选(C)。
利用折射定律，当入射角为1=90i 时，由折射定律1122sin sin n i n i = ，其中空气折射率11n =，水折射率2 1.33n =，代入数据，得折射角2=48.8i ，因此倒立圆锥顶角为22=97.6i 。
*13-2 一远视眼的近点在1 m 处，要看清楚眼前10 cm 处的物体，应配戴的眼镜是（ ）(A)焦距为10 cm 的凸透镜 (B)焦距为10 cm 的凹透镜 (C)焦距为11 cm 的凸透镜 (D)焦距为11 cm 的凹透镜解：选(C)。
利用公式111's s f+=，根据教材上约定的正负号法则，'1m s =-，0.1m s =，代入得焦距0.11m =11cm f =，因为0f >，所以为凸透镜。
13-3 在双缝干涉实验中，若单色光源S 到两缝S 1、S 2距离相等，则观察屏上中央明纹位于图中O 处，现将光源S 向下移动到图13-3中的S ′位置，则[ ] (A) 中央明纹向上移动，且条纹间距增大(B) 中央明纹向上移动，且条纹间距不变(C) 中央明纹向下移动，且条纹间距增大 (D) 中央明纹向下移动，且条纹间距不变解：选(B)。
光源S 由两缝S 1、S 2到O 处的光程差为零，对应中央明纹；当习题13-3图向下移动至S ′时，S ′到S 1的光程增加，S ′到S 2的光程减少，为了保持光程差为零，S 1到屏的光程要减少，S 2到屏的光程要增加，即中央明纹对应位置要向上移动；条纹间距dD x λ=∆，由于波长λ、双缝间距d 和双缝所在平面到屏幕的距离D 都不变，所以条纹间距不变。
13-4 用平行单色光垂直照射在单缝上时，可观察夫琅禾费衍射。
若屏上点P 处为第二级暗纹，则相应的单缝波阵面可分成的半波带数目为[ ](A) 3个 (B) 4个 (C) 5个 (D) 6个解：选(B)。
大学物理第13章
K1 K 2 K1 K 2
k1 k 2 ( k1 k 2 ) m
代入频率计算式，可得：
1 2
k 1 m 2
13-3 如图 13-25 所示，有一截面积为 S 的空心管柱，配有 质量为 m 的活塞， 活塞与管柱间的摩擦略去不计。 在活塞处 于平衡状态时，柱内气体的压强为 p，气柱高为 h。若使活 塞有一微小位移，活塞将上下振动，证明它在竖直方向的振 动为简谐振动，并计算其振动频率。设气体温度不变。
K g 9.8 196 m x 5 10 2
又ω=
k 196 14 ,即 m
1 2
k 7 m
（2）物体在初始位置下方 8.0cm 处，对应着是 x=3cm 的位置，所以： cos 0
x 3 A 5
那么此时的 sin 0
那么速度的大小为 v
x 0 (v 0 ) 2 因此，确定初始速度 v 0 和初始位移 x 0
2
是求解振幅 A 的关键。 物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘 与物体的共同初速度 v 0 ，这也是该振动系统的初始速度。 在确定初始时刻的位移 x 0 时， 应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置。 因此，本题中初始 位移 x 0 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移。 解： （l）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为
式中 v
m2 m2 v m1 m2 m1 m2
2 gh
2 gh 是物体由 h 高下落至盘时的速度。故系统振动的振幅为
A x 0 ( v 0 ) 2
2
m2 g k
1
2kh (m1 m2 ) g
固体材料的电子结构与物理性质
固体材料的电子结构与物理性质在我们日常生活中，与固体材料相互作用的机会非常多。
从我们所用的电子设备，到我们穿戴的衣物和建筑物，固体材料无处不在。
固体材料的电子结构是决定其物理性质的基础，深入了解它们之间的关系对于材料科学的发展至关重要。
一、电子结构与导电性固体材料的导电性直接与其电子结构有关。
导电性可以分为金属导电和非金属导电。
金属导电的现象可以通过自由电子理论解释。
金属中的原子形成了一个巨大的晶体结构，而金属的导电性是由于晶体中存在大量自由电子。
这些自由电子来自于金属原子中的价电子，它们能够自由地在晶体中穿行，从而形成电流。
而非金属导电则与材料中能带结构有关。
材料的能带结构决定着原子之间的电子能量分布方式。
能带可以分为价带和导带。
当材料的价带与导带重叠时，电子能够在能带之间跳跃，产生导电行为。
半导体便是一个典型的非金属导电材料，当在半导体上施加适当的能量时，其价带与导带之间的能隙可以被光子或热能克服，电子得以跃迁，从而导电。
二、电子结构与光学性质固体材料的光学性质与其电子结构息息相关。
固体材料的透明性是由材料的电子结构中的能带间隙决定的。
如果材料的能带间隙大于光的能量，光就无法通过材料，并被吸收。
这种材料常被用于制作太阳能电池板、电视屏幕等。
相反，如果材料的能带间隙小于光的能量，光就可以穿透材料，从而使材料呈现出透明的性质，如玻璃。
光电效应也是光学性质的一个重要方面。
通过外界光的照射，材料中的电子能够被激发并跃迁到导带中。
这种现象常常被应用于光电器件的制造，例如太阳能电池、光敏电阻等。
三、电子结构与热学性质固体材料的热学性质也与其电子结构密切相关。
热传导性是固体材料的一个重要物理性质，它决定了材料在温度梯度下的热量传输能力。
热能的传导主要发生在固体材料中的晶格中。
材料中的原子通过晶格振动将热量传递给周围的原子。
电子结构中的能带与带隙对热导率有重要影响。
在导电材料中，自由电子能够带走大量热能，从而导致较高的热导率。
大学物理第13章
' I
4. 如图，一根载流无限长直导线与一个载流 正三角形线圈在同一个平面内。若长直导线固定 A 不动，则载流三角形线圈将 [ ] A.向着长直导线平移 C.远离长直导线平移 B.转动 D.不动
I1
I2
5.一圆形电流 I1 与一根长直电流 I2 共面，并 与其一直径相重合，如图，两者间绝缘。设长直 电流不动，则圆形电流将[ ] A)绕 I2 旋转 C)向右运动 B)向左运动 D)不动
特例：均匀磁场中的任意 闭合电流所受合力为零。
注：本题是非均匀磁场。 [例3] 一根无限长直导线载有电流 I1 ，它与长为 L、载有电流 I2 的直 导线相互垂直，距离为 d，如图所示。求导线 L 所受磁力。 解：考虑 L 上的电流元 I 2 dr ，它距无限长直 导线为 r 。无限长直导线在该电流元处产生的磁 感强的方向垂直纸面向里，大小为
0 4 107 N/A 2
这是依照 SI 中确定电流强度单位“安培”的方法而得出的。 1948年第九届国际计量大会确定：“安培是一恒定电流，若 保持在处于真空中相距 1 米的两无限长而圆截面可以忽略的平行 直导线内，则这两导线之间产生的力在每米长度上等于 2 107 牛顿。”
dF 0 I 2 dl 2d
D
B
解： F IL B ILB sin IB 2a sin 135 IBa （方向垂直纸面向里）
2.如图，一根载流 I 的导线，被折成长度分别 为 a、b ，夹角为120度的两段，并置于均匀磁场 B 中，若导线的长度为 b 的一段与 B 平行，则 a、b 两段所受的合磁力的大小为[ 3IBa/ 2 ]
5.一圆形电流 I1 与一根长直电流 I2 共面，并 与其一直径相重合，如图，两者间绝缘。设长直 电流不动，则圆形电流将[ C ]
大学物理第十三章
3、理想气体做绝热膨胀，由初状态()00,V p 至末状态()Vp ,，试证明此过程中气体做的功为：100--=γpVV p W 。
证明：绝热过程0=Q ，所以E W ∆-=，)(0,T T C Mm W m V --=， 初状态和末状态的方程分别为：000RT Mm V P =，RT Mm PV =，解出0T 与T 代入W 有：RpV V p C W m V )(00,-=，又因为m V m p C C R ,,-=，mV m p C C ,,=γ，所以，100--=γpVV p W解：∵外界对物体做功 ∴W =300J ∵气体的内能减少了 ∴△U =-300J 根据热力学第一定律 得Q =△U - W =-300J – 300J= -600J Q 是负值，表示气体放热，因此气体放出了600J 的热量。
7．奥托（内燃机）循环是由两个等容过程和两个绝热过程组成的，试求此循的热机效率是多少？ 解：)(d a V T T C Q -=ν吸)(c b V T T C Q -=ν放吸Q A =η=吸放Q Q -1，V=da cb T T T T ---1，ab ：11--=γγbb a a V T V T ，dc ：11--=γγcc dd V T V Tcb da T T T T =，ccb dda T T T T T T -=-，dc da cb T T T T T T =--11)(1)(--==γγdc cd dc V V V V T T ，令δ=dc V V ：压缩比111--=γδη，↑δ，↑η8．逆向斯特林循环是由两个等容过程和两个等温过程组成的，则逆向斯特林循环的致冷系数是多少？ 解：cd ba V V RT V V RT A lnln21νν-=1T acd V V RT Q ln 2ν='吸AQ e 吸'==cd ba cd V V RT V V RT V V RT lnlnln212ννν-，212T T T e -=11. 汽缸内贮有36g 水蒸汽(水蒸汽视为刚性分子理想气体),图4.9经abcda 循环过程,如图4.9所示.其中a －b 、c －d 为等容过程,b －c 为等温过程,d －a 为等压过程.试求: (1) A da = ？ (2) ∆E ab =？(3) 循环过程水蒸汽作的净功 A =？(4) 循环效率η是多少？ 解：（1）A da =p a (V a －V d )= －5.065⨯10－3J （2） ∆E ab =(M/M mol )(i/2)R(T b -T a )= (i/2)(p b －p a )V a =3.039⨯104J （3） A bc =(M/M mol )RT b ln(V c /V b )=p b V b ln(V c /V b )=1.05⨯104J A=A bc +A da =5.47⨯103J （3） Q 1=Q ab +Q bc =∆E ab +A bc =4.09⨯104J ，η=A/Q 1=13.4%12、如图（a ）是某理想气体循环过程的T V -图。
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真空能级
A
逸
EF
出
功
2
费米能级(能量)
EF
(3
)2 2/3
2m
n 2/3 s
取决于 ns 。
费米能量 EF ~ eV
在此狭小能量区间，密集排布着 (自由电子数 /2) 个能级，所以自 由电子的能量分布是准连续的。
费米速度 vF
EF
1 2
mvF2
,
vF
2EF ~ 106 m/s m
即使在绝对零度下，电子仍然剧烈地运动着。
二、固体导电性能的能带论解释：
由价电子填充的满带（或最低能带）称为价带。
有空量子态存在的能带（可以导电）叫导带。
能带之间没有量子态存在的区域叫禁带。
Na
3p
禁带
3s
价带 (导带)
金刚石 导带
禁带 价带
Si
导带 禁带 价带
导体有未填满的价带，当有外加电场时，价带电
子被加速，从电场中获得能量，可跃迁至价带中较高
的空能级，因而能够形成电流。
Na
3p
禁带
3s
价带 (导带)
金刚石 导带
禁带 价带
Si
导带 禁带 价带
绝缘体价带填满, 价带电子若想跃迁至高能级 (在 导带内)，必须越过很宽的禁带 Eg，一般电场不能提供 这么多能量，所以绝缘体不导电，但有击穿现象。
半导体虽然价带也填满，但禁带宽度 Eg 很小，价 带电子相对容易进入导带， 因此导电性能介于导体和 绝缘体之间。
二、自由电子气的费米能量：
周期性变条件，定态薛定谔方程
2 2m
2
x2
2
y2
2
z2
E
(0 x, y, z a)
z a
y aa x
xyz方向周期性边条件
nxx a, nyy a, nzz a, n 0, 1, 2,...
h 2
2
2
xyz方向动量 px x a nx , py a ny , pz a nz
1 2
| |2
1 2
| |2
两个 Na 原子接近时的电子云分布和波函数
1. 能带的形成： (1) 当原子孤立存在时，具
有各自能级。 (2) 当两原子靠近时，每个
能级一分为二，曲线 1 能量降低，形成分子；
E
E2 E1
Na 2 3s
1
曲线 2 能量升高，不形
r0
r
成分子。r0 为键长，能级 E1 占据，能级 E2 空闲。
第13章 固体中的电子
固体一般指晶体，是物质的一种凝聚态，它的电 性质、磁性质、甚至力性质都与其中的电子有关。
电子的性质由其能量（能带）决定
固体物理重点：求解能带
+
+
U(x)
d
x
+
+
+
自由电子气 + 周期势微扰 = 能带 孤立原子 + 微扰势 = 能带
• §13.1 金属中的自由电子 一、金属的自由电子气模型： 金属中能够自由流动的公共电子称为自由电子。 自由电子之间相互作用很弱，像气体分子一样，弥漫 在金属内部，把自由电子整体称为自由电子气。 设定宏观边界，3 维无限深方势阱，定态薛定谔方程
能量小于 E 的状态数，球面内所含状态数：
Ns
2
4
3
n3
1 3
a3
2
3
(2mE)3/2
每个轨道状态包含 2 个自旋状态
金属单位体积内自由电子能量小于 E 的状态数为
ns
Ns a3
1 3
(2m)3/
2
E3/2
23
T = 0K 时，由能量最低原理和泡利 不相容原理，电子一个一个地从能 量最低的状态向能量较高的状态填 充， ns就是电子数密度，可填充的 最高能级叫费米能级 EF。
EF E
被激发至较高能级，但仍满足泡利不相容原理。
常温下，电子可以从晶格获得 kT 0.026eV << EF 的能量，所以仅仅少量的能量稍低于 EF 的电子能够跃 迁到较高能级上去，电子态占据仅有较少改变。
Li
利用量子力
学理论计算
EF
的几种金属 4 2 0
态密度曲线 Na
Al
EF 12 8 4 0 4
在量子数空间
(或动量空间，px
a
nx
)
态指标对应整数（正负）坐标点。
态指标：三维空间，球
半径为 n 的球面上各点具有相同
nz
的 nx2 ny2 nz2 值，对应同一能量
n
nx2 ny2 nz2
ma2能级 E，称为
简并。与一个简并能级对应的量子 nx
态数目叫简并度
费米温度 TF
EF kTF,
TF
EF k
~ 104 K
三、能态密度：
对
ns
1 3
(2m)3/
2
E3/2
23
求导，得
E
附近单位能量区
间的量子态数，即能态密度
kT
g(E)
d ns dE
(2m)3/ 2
2 23
E1/ 2
当温度升高时，电子与晶
0K d n d E 300K
格离子无规则碰撞而获得能量， O
Fe
EF
4 2
0
K
EF
4
0
Cu
EF
2
0
E /eV
EF
8 4
0
E /eV
§13.2 固体能带理论 金属自由电子理论忽略了正离子周期性势场对电
子运动的影响。若考虑其作用，则产生能带。
一、固体的能带：
以两个 Na 原子形成 Na2 分子为例， 设 1 和 2 分别为两个 Na 原子的价电子 (3s电子) 的波函数，
为 Na2 分子的共有化电子的波函数。
波函数叠加 = 1 + 2 概率分布 ||2 = |1 + 2|2 = |1|2 + |2|2 + 1*2 + 12* 当原子相距无穷远时，交换项 1*2 + 12* = 0 当原子接近时，若1*2 +12* >0，||2 > |1|2 +|2|2
则形成化学键，能量；否则不形成化学键，能量。
2. 电子在能带中的排布： 服从泡利不相容原理和能量最低原理。
原子 l 次壳层，(2l +1) 个能级，最多容纳 2(2l +1) 个电子；
N 个l 次壳层原子形成晶体，每能级分裂为包含 N 个能级的能带，该能带最多容纳 2(2l +1)N 个电子。
电子在能带中排布时，应从最低能级排起， 满带，空带。
(3) N 个原子聚集时，每个能级分裂为 N 个能级，一
半能级占据，一半能级空闲。
(4) 形成晶体时，分裂的能级 (间隔极小) 组成能带， 一半能带占据，一半能带空闲。
不同能带之间可能发生重叠。
E
4s 3p 3s
能带
r0 r1
2p r 能带
能带的形成来源于原子的相互作用，表现为波函 数的交叠。能带理论适用于金属、绝缘体、半导体。
电子能量本征值，三维自由粒子动能
E
p2 2m
2 2 2
ma2
(nx2
ny2
nz2 ),
nx , ny , nz 0, 1, 2,
nx, ny, nz 分别为 x, y, z 方向的量子数。
用 (nx , ny , nz , ms ) 表示自由电子态指标
轨道量子数 自旋量子数 (ms = 1/2)