ch6_4现代功率谱估计
现代谱估计-有理谱估计
，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
《现代谱估计》课件
周期图平均法
将多个周期的频谱进行平均， 降低噪声对频谱估计的影响。
移动平均法
对信号进行滑动平均，减小高 频部分的噪声。
核方法
利用核函数对信号进行平滑处 理，提高频谱估计的精度。
参数谱估计方法
1
基于自相关函数的方法
通过自相关函数计算信号的频谱，适用于具有明显周期性的信号。
2
基于协方差函数的方法
利用Байду номын сангаас号的协方差函数进行频谱估计，适用于具有随机性的信号。
《现代谱估计》PPT课件
现代谱估计PPT课件
概述
谱估计是一种用于分析信号频谱特征的方法。它可以帮助我们了解信号的频率分布和功率，对信号处理和通信 系统设计具有重要意义。
经典谱估计方法
周期图法
通过离散傅里叶变换来计算信号的频谱。
快速傅里叶变换法
利用傅里叶变换的性质，高效计算信号的频谱。
非参数谱估计方法
谱估计在信号处理、通信系统 设计等领域具有广泛应用，对 于优化系统性能至关重要。
利用最小二乘法进行频谱估计，得到更准确 的频谱估计结果。
2 最大熵谱估计法
通过最大熵原理寻找最平滑的频谱估计。
3 光滑谱估计法
利用光滑函数对信号进行频谱估计，减少估 计结果的噪声。
4 自适应谱估计法
根据信号的特性调整谱估计方法，得到更好 的估计结果。
谱估计算法的评价指标
均方误差
衡量估计结果与真实频谱之间的差距。
3
基于线性预测模型的方法
利用线性预测模型对信号进行建模，从而估计信号的谱。
噪声下的谱估计问题
白噪声下的问题
白噪声对频谱估计的影响较小， 但会增加估计的方差。
彩色噪声下的问题
ch6 功率谱估计-随机信号处理-陈芳炯-清华大学出版社
1500
50
100
真实谱
10
8
6
4
2
0
150
-2
-1
0
1
2
窗函数，长度为10
2000
20
15
10
5
0
-2
-1
0
1
2
窗函数，长度为20
3000
1000 500
1500 1000
500
2000 1000
0
0
0
100
200
300
0
100
200
例子
bia(Sˆx ())
1
2
S x ()W ( )d S x ()
x(n) sin(2*n) u(n)
高斯白噪声
30 20 10
0 0 10 20 30 40 50
N=50
50
40
30
20
10
0
0
50
100
N=100
250 200 150 100
50 0 0 100 200 300 400 500
(1
)D0
(
2
)d
2
1
2N
S()D0 (1
)D0 ( 2
)d
2
其中：
d0
(n)
1, 0,
| n | N 1 other
F
D0 ()
1 2
Var (Sˆ ( ))
1
2N
2
S ()D0 ( )D0 ( )d
E(Sˆ( ))2
N Var[Sˆx ()] E[Sˆx ()] 0
N=500
功率谱估计实验报告
一、实验目的1. 了解功率谱估计的基本原理和方法。
2. 掌握使用MATLAB进行功率谱估计的步骤。
3. 通过实验验证不同功率谱估计方法的性能。
二、实验原理功率谱估计是信号处理中的一个重要分支，它能够揭示信号在频域中的特性。
功率谱估计的基本原理是将信号通过傅里叶变换转换为频域信号，然后对频域信号进行功率计算，得到功率谱。
功率谱反映了信号在不同频率上的能量分布，对于信号分析、系统设计等具有重要意义。
常用的功率谱估计方法有周期图法、Welch方法、Bartlett方法等。
本实验主要研究周期图法、Welch方法和Bartlett方法的性能。
三、实验内容1. 数据采集：使用MATLAB自带的信号生成函数生成一段模拟信号，作为实验数据。
2. 周期图法：计算信号的功率谱，并与理论功率谱进行比较。
3. Welch方法：计算信号的功率谱，并与周期图法的结果进行比较。
4. Bartlett方法：计算信号的功率谱，并与Welch方法和周期图法的结果进行比较。
四、实验步骤1. 生成模拟信号：使用MATLAB自带的信号生成函数生成一段模拟信号，如正弦波、方波等。
2. 周期图法：a. 计算信号的自相关函数；b. 对自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱；c. 将计算得到的功率谱与理论功率谱进行比较。
3. Welch方法：a. 将信号分割成多个短时段；b. 对每个短时段进行自相关函数计算；c. 对所有短时段的自相关函数进行加权平均；d. 对加权平均后的自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱；e. 将计算得到的功率谱与周期图法的结果进行比较。
4. Bartlett方法：a. 将信号分割成多个短时段；b. 对每个短时段进行自相关函数计算；c. 对每个短时段的自相关函数进行 Bartlett 平滑；d. 对平滑后的自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱；e. 将计算得到的功率谱与Welch方法和周期图法的结果进行比较。
五、实验结果与分析1. 周期图法：通过实验发现，周期图法计算得到的功率谱在低频段存在较大的噪声，而在高频段噪声较小。
功率谱估计的方法
功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。
2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。
3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。
二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。
2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。
3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。
以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。
功率谱估计浅谈讲解
功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。
关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。
由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。
现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。
以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。
在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。
下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。
经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。
本文主要介绍一种方法：周期图法。
周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。
下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。
连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。
功率谱密度估计
功率谱密度估计
功率谱密度估计是一种用于估计信号的功率谱密度的方法。
功率谱密度指的是一个信号在频域上的能量分布情况。
常见的功率谱密度估计方法有：
1. 周期图法：将信号分成一系列周期为N的子段，对每个子
段进行傅里叶变换，然后求平均得到估计的功率谱密度。
2. 平均势谱法：将信号分成若干个重叠的子段，对每个子段进行傅里叶变换，然后对各个子段的功率谱密度进行平均得到估计的功率谱密度。
3. Welch方法：在平均势谱法的基础上，将信号分成多个子段，并对每个子段进行窗函数加权处理，然后对加权后的子段功率谱密度进行平均得到估计的功率谱密度。
4. 自相关法：通过计算信号的自相关函数来估计功率谱密度。
自相关函数表示信号的不同时间点之间的相关性。
这些方法在实际应用中有各自的优缺点，选择合适的方法需要考虑信号的特点以及其他要求，例如信号的长度、频率分辨率等。
现代谱估计
现代谱估计实验报告1 实验目的功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。
如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。
本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA 模型、ARMA 谱估计。
掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS 算法等。
利用ARMA 功率谱估计中Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子来进行谱估计。
2 实验原理2.1 背景若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程)()()()(11j n e n e i n x n x q j j p i i b a -+=-+∑∑==（1）式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。
系数a 1,a 2……a p ,和b 1,b 2……b q ,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为)()()()()(22e e P jw jw z x B B e z A z B w jw δδ=== （2）ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。
在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。
2.2 相关算法AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。
SVD—TLS算法：步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V;步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3 计算矩阵S;步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。
功率谱估计报告范文
功率谱估计报告范文
一、功率谱估计的原理
功率谱估计是用来估计信号的功率谱密度（PSD）。
功率谱密度是描述信号在不同频率上的功率分布情况，是信号频谱特征的重要指标之一、功率谱估计的目标是通过有限长的信号序列来估计信号的功率谱密度，从而得到信号的频谱特征。
二、功率谱估计的常用方法
1.周期图法
周期图法是通过信号的周期性来估计功率谱密度。
该方法将有限长的信号序列进行周期延拓，然后通过傅里叶变换或卷积运算得到功率谱密度估计。
2.自相关法
自相关法是通过信号的自相关函数来估计功率谱密度。
该方法先计算信号序列的自相关函数，然后通过傅里叶变换得到功率谱密度估计。
3.平均功率谱法
平均功率谱法是通过将信号序列分段并求取每段的功率谱密度，然后对各段的功率谱密度进行均值运算来估计信号的功率谱密度。
常用的平均功率谱法有Welch法和Bartlett法。
三、功率谱估计的实际应用案例
1.语音信号处理
2.无线通信
3.振动信号分析
总之，功率谱估计是分析信号频谱特征的常用方法，通过对有限长的信号序列进行处理，估计信号的功率谱密度。
功率谱估计可以应用于语音信号处理、无线通信以及振动信号分析等多个领域。
在实际应用中，根据信号特点和需求选择合适的功率谱估计方法，并结合其他信号处理技术进行综合分析。
现代谱估计分析
现代谱估计实验报告1 实验目的功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。
如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。
本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA 模型、ARMA 谱估计。
掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS 算法等。
利用ARMA 功率谱估计中Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子来进行谱估计。
2 实验原理2.1 背景若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程)()()()(11j n e n e i n x n x q j j p i i b a -+=-+∑∑==（1）式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。
系数a 1,a 2……a p ,和b 1,b 2……b q ,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为)()()()()(22e e P jw jw z x B B e z A z B w jw δδ=== （2）ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。
在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。
2.2 相关算法AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。
SVD—TLS算法：步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V;步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3 计算矩阵S;步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。
功率谱估计的经典方法
功率谱估计的经典方法周期图法是最早被提出的功率谱估计方法之一、它基于信号的周期性，将信号分解成一系列频率分量，然后计算每个频率分量的功率谱密度。
周期图法主要分为周期自相关法和周期平均法两种。
周期自相关法通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
周期平均法则是通过对多个信号周期进行平均得到功率谱估计结果。
平均法是功率谱估计的另一种常用方法。
它通过对信号进行多次采样，然后计算采样信号的傅里叶变换得到频谱，再对多个频谱进行平均得到功率谱估计结果。
平均法的优点是抗噪声能力强，可以提高功率谱估计的准确性。
自相关法是一种基于信号自身特性的功率谱估计方法。
它通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
自相关法的优点是计算简单，但是对信号的平稳性要求较高。
递归方法是一种实时性较好的功率谱估计方法。
它通过对信号进行递推计算，每次计算结果作为下一次计算的输入，以此来估计信号的功率谱。
递归方法通常会使用窗函数来平滑信号，减小频谱分辨率。
递归方法的优点是计算效率高，可以用于实时信号处理。
除了这些经典方法，还有一些其他的功率谱估计方法，如Yule-Walker方法、Burg方法、最大熵方法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法需要根据具体需求和信号特性进行判断。
在实际应用中，功率谱估计可以用于信号处理、通信系统设计、频谱分析等领域。
它可以帮助我们了解信号的频谱分布特性，对信号进行分析和处理，从而实现更好的信号传输和处理效果。
无论是音频信号、图像信号还是通信信号，功率谱估计都具有重要的意义。
因此，掌握功率谱估计的经典方法是进行信号处理和频谱分析的基础。
(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(上)
for m 0
重庆邮电大学通信学院
AR谱估计的性质1：隐含着自相关函数的外推
k R (m - k ), ˆ 2 (m) = a
k 0 2 p p
for m 0 for m 0 0 1) (设a
(m) k R (m - k ), ˆ (m)- a R
AIC(k )
使上式最小化的阶数k即为最优阶数。AIC准则得到模型阶 数一般偏高。
(3) 判别自回归传输函数（CAT）准则
CAT(k ) N ˆ (其中 2 j） N j
2 j
最小化上式得最优阶数。
重庆邮电大学通信学院
AR模型法功率谱估计：
性能分析：
精确分析很困难，只能给出大样本理论的近似关系。 估值的均值（N，p ）：
AR模型法功率谱估计：
求解方法：
模型阶数p不确定时数学上很难处理，因此先假定p， 求模型参数。 阶数p已知时对模型两边同求某种统计特征以将随机 变量转化为确定性的量。 对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则选出最 好的模型( )。
重庆邮电大学通信学院
AR模型法功率谱估计：
AR(p)模型的Yule - Walker方程组：
上式假设了滤波器H ( z)是因果的，且h(0) 1, 故有h* (-m) (m) for m 0
右边：
(m) z - m } a m * R (m) a k R (m - k ) ˆ ( z) -1{ A R
m- k 0
p
故有：
k R (m - k ), ˆ (m) = a
重庆邮电大学通信学院
现代谱估计
算法基础 以随机过程或信号的的参数模型为基础,故称为参数模型法 或参数法 历史沿革
经典功率谱估计与现代功率谱估计的对比
结论
经典功率谱估计方法在信号处理领域具有广泛的应用价值。本次演示详细介 绍了经典功率谱估计的基本原理、误差分析和仿真实现方法。通过仿真实验，我 们验证了这些方法的性能表现，并得出了在不同条件下的优劣比较。尽管经典功 率谱估计方法存在一定的局限性，但它们在很多情况下仍具有很好的适用性。
未来研究方向可以包括研究更为精确和高效的功率谱估计方法，以适应不断 变化的应用需求和提高信号处理的精度。加强经典功率谱估计在实际问题中的应 用研究，将有助于推动其在各领域的广泛应用和发展。
现代功率谱估计方法则更加注重信号的特性和模型化，能够更好地处理非平 稳信号和复杂场景。其中，基于信号模型的功率谱估计方法可以针对特定场景选 择合适的模型，提高估计精度；而基于深度学习的功率谱估计方法则可以通过训 练神经网络自动提取和学习信号特征，具有很强的适应性。
然而，现代功率谱估计方法也存在着实现难度较大、需要大量数据来训练模 型等问题。同时，这些方法的效果还受到模型复杂度、网络参数等因素的影响。
感谢观看
总之，通过本次演示的讨论和实验，我们深入理解了经典功率谱估计的基本 原理和实现方法，并成功地使用MATLAB实现了功率谱估计。尽管存在一些不足之 处，但经典功率谱估计在许多场景下仍然是一种简单有效的工具。在未来的研究 中，我们可以考虑探索更高级的算法和优化实现细节，以提高功率谱估计的性能 和准确性。
仿真实现
为了验证经典功率谱估计方法的有效性和精度，我们可以利用仿真工具进行 实验。具体步骤包括：
1、生成信号：根据实际需求，我们可以生成不同类型的信号，如周期信号、 随机信号和实际应用中的信号等。
2、加入噪声：在实际应用中，信号往往会受到噪声的干扰，因此，我们需 要在仿真实验中加入噪声，以模拟真实情况。
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域上的能量分布情况。
不同的功率谱估计方法适用于不同的信号特性和应用场景。
本文将对几种常见的功率谱估计方法进行比较，并讨论其适用性和优缺点。
主要涉及的方法包括周期图法、Welch法、半周期图法、高分辨功率谱估计方法以及非参数方法。
周期图法是最基本也是最简单的功率谱估计方法之一、它通过计算信号的自相关函数来获得功率谱。
周期图法适用于信号周期性明显的情况，能够对周期性成分进行准确的估计。
然而，周期图法对非周期性成分的估计精度较低，容易受到噪声的影响。
此外，由于其需要计算自相关函数，计算复杂度较高。
Welch法是一种常用的非周期信号功率谱估计方法。
它将信号分成多个重叠的子段，并对每个子段进行信号窗和傅里叶变换，最后将各个子段的功率谱平均，得到最终的功率谱估计值。
Welch法通过增加样本数量来提高估计精度，对非周期信号有较好的适应性。
然而，Welch法存在频率分辨率较低的问题，特别是在功率谱曲线出现忽略不计的成分时，精度会受到影响。
半周期图法是一种结合了周期图法和Welch法的功率谱估计方法。
它将信号分成多个重叠的子段，并对每个子段进行信号窗和自相关函数的计算，最后将各个子段的功率谱平均。
半周期图法具有比Welch法更好的频率分辨率，对非周期信号有更好的适应性。
然而，半周期图法也存在计算复杂度较高的问题。
高分辨功率谱估计方法是一类通过对信号进行重构和增加相位信息来提高频率分辨率的方法。
例如，MUSIC（多重信号分类）算法通过将信号子空间与噪声子空间进行相关分析，得到更精确的功率谱估计。
高分辨功率谱估计方法适用于信号含有多个成分且互相之间相对较远的情况。
然而，高分辨功率谱估计方法常常对信号的要求较高，对信号中噪声和非线性成分比较敏感。
非参数方法是一种不依赖于信号模型的功率谱估计方法。
它通过直接对信号进行傅里叶变换，并对结果进行平方，得到信号的功率谱估计值。
ch64现代功率谱估计
预测系数及均方误差的确定
由
E e 2 b [ k ] y [ k n ] 0 ,n 0 , 1
E 2 b m E { e 2 b i[ k n ] 2 } E { e 2 b [ k ] y [ k 2 ]}
可得
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)E02b
若
E e 2 f[ k ] y [ k n ] 0 ,n 1 ,2
则估计的均方误差达到最小。 且
E 2 f m E { e i2 f[ n k ]2 } E { e 2 f[k ]y [k ]}
功率谱估计
AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系
预测系数及均方误差的确定
e 2 f [ k ] y [ k ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ]
1a2(1 )z 1a2(2)z 2
y[k]
A(z)
e2f[k]
功率谱估计
AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系
均方误差最小的前向预测误差滤波器
e 2 f [ k ] y [ k ] a 2 ( 1 ) y [ k 1 ] a 2 ( 2 ) y [ k 2 ]
正交准则
E2 f mE i{ n e2 f[k]2}
一般地
efp[k]efp1 [k]K peb p1 [k1]
同理可得后向预测误差的递推公式
eb p [k]eb p1 [k1]K pefp1 [k]
Kp=ap(p)为p阶预测器的反射系数。
功率谱估计
伯格(Burg)递推算法
预测误差滤波器的格形结构 efp[k]efp1 [k]K peb p1 [k1] eb p [k]eb p1 [k1]K pefp1 [k]
现代信号处理经典的功率谱估计
现代信号处理经典的功率谱估计《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a ); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
现代谱估计计算机仿真实验报告
现代谱估计计算机仿真实验报告胡敏在许多工程应用中，利用观测到的一组样本数据估计并分析一个平稳随机信号的功率谱密度是十分重要的。
例如，在雷达信号处理中，由回波信号的功率谱密度、谱峰的宽度、高度和位置，可以确定目标的位距离和运动速度；在阵列信号处理中，空间功率谱描述了信号功率随空间角度的分布情况。
在许多信号处理应用中，谐波过程经常会遇到，它对应的功率谱为线谱，谐波过程的功率谱估计就是要确定谐波的个数，频率和功率（合称谐波恢复）。
为了更好的学习现代信号处理中该部分的内容，我们做了相应的计算机仿真实验。
1 实验目的1、深入理解现代谱估计和谐波恢复的基本理论，包括ARMA 模型，ARMA 谱估计，ARMA 模型识别，Pisarenko 谐波分解，信号子空间和噪声子空间，旋转不变技术(ESPRIT)；2、熟悉与上述谱估计和谐波恢复理论相关的数学方法以及各自的特点，包括最小二乘估计（LS ），奇异值分解（SVD ），总体最小二乘估计（TLS ），特征值分解和广义特征值分解；3、体会ARMA 功率谱估计中的Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子，ARMA 模型的识别方法，Pisarenko 谐波恢复方法，ARMA 建模谐波恢复方法，MUSIC 方法进行谐波恢复，两种ESPRIT 方法（LS-ESPRIT 和TLS-ESPRIT 进行谐波恢复；2 实验原理2.1 ARMA 谱估计相当多的平稳随机过程都可以通过用白噪声激励线性时不变系统来产生，而线性系统又可以用线性差分方程进行描述，这种差分模型就是自回归—滑动平均（ARMA ）模型。
而且，任何一个有理式的功率谱密度都可以用一个ARMA 随机过程的功率谱密度精确逼近。
ARMA 随机过程定义为服足下列线性差分方程的离散随机过程{})(n x ：∑∑==-+=-+qj jpi ij n e bn e i n x an x 11)()()()( （1）式中)(n e 是一离散白噪声；式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型，系统p a a ,1和q b b ,,1 分别称为自回归（AR ）参数和滑动平均（MA ）参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
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计算AR模型谱估计的 计算AR模型谱估计的MATLAB函数 模型谱估计的MATLAB函数
Pxx = PYULEAR(X,ORDER) PYULEAR(X,ORDER) Pxx = PBURG (X,ORDER) 直接绘制功率谱估计的曲线 PYULEAR(X,ORDER,NFFT,Fs) PYULEAR(X,ORDER,NFFT,Fs) PBURG (X,ORDER,NFFT,Fs) NFFT: NFFT 为DFT点数,默认值为256; 点数,默认值为 ; 点数 Fs: 绘制功率谱曲线的抽样频率,默认值为1. Fs 绘制功率谱曲线的抽样频率,默认值为 .
现代功率谱估计
参数模型法的基本思想
根据所研究信号的先验知识,对观测数据以外 根据所研究信号的先验知识, 的数据作出某种比较合理的假设. 的数据作出某种比较合理的假设. 方法: 方法: (1) 选择一个好的模型,在输入是冲激函数或白噪声 选择一个好的模型, 的情况下,使其输出等于所研究的信号, 的情况下,使其输出等于所研究的信号,至少也 是对该信号的一个良好近似. 是对该信号的一个良好近似. (2) 利用已知的自相关函数或数据求模型的参数. 利用已知的自相关函数或数据求模型的参数. (3) 利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱. 利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱.
1 + ∑ a n e j n
n =1
现代功率谱估计
计算AR模型参数的 计算AR模型参数的MATLAB函数 模型参数的MATLAB函数
A = LEVINSON(R, ORDER) LEVINSON(R, ORDER: ORDER AR模型的阶数; 模型的阶数; 模型的阶数 R: 观测序列的自相关函数; 观测序列的自相关函数; A: 白噪声序列的方差和AR模型参数. 白噪声序列的方差和 模型参数. 模型参数 [A,E,K]= ARYULE(X,ORDER) ARYULE(X,ORDER) X为观测序列;E为预测误差;K为反射系数. 为观测序列; 为预测误差; 为反射系数. [A,E,K]= ARBURG(X,ORDER) ARBURG(X,ORDER)
e b [k ] = y[k p ] y[k p ] 后向预测误差 p
= y[k p ] + ∑ a p (n) y[k + n p ]
前向预测误差滤波器系统函数
n =1
p
e b [k ] p
A b ( z ) = z p [1 + ∑ a p ( n ) z n ] = z p A ( z 1 )
b e p 1[k
b K p e p 1[k
1]
1] +
f K p e p 1[k ]
(4) 若阶数小于 ,则阶数加1,回到步骤 进行下 若阶数小于p,则阶数加 ,回到步骤(2)进行下 一次迭代,直到达到预定阶数p. 一次迭代,直到达到预定阶数 . σ2 PAR ( ) = (5) 估计功率谱 2 p
现代功率谱估计
平稳随机信号的参数模型
若输入白噪声的功率谱
Pe ( ) = σ 2
则输出序列的功率谱为
P () = H(e ) P () = σ H(e ) x e
j 2 j
2
2
若能确定模型中各参数a 就可以求得功率谱P 若能确定模型中各参数an和bl就可以求得功率谱 x()
现代功率谱估计
AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系
谱估计结果——p=80,N 谱估计结果——p=80,N=128
谱估计结果——p=80,N 谱估计结果——p=80,N=512
利用L-D算法进行谱估计 例:利用 算法进行谱估计 一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号, 一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号,
x[k ] = cos(0.3πk ) + cos(0.32 πk ) + w[ k ]
伯格(Burg)递推算法 伯格(Burg)递推算法
L-D算法缺点: 算法缺点: 在计算相关函数估计时, 在计算相关函数估计时,对N个观测数据以 个观测数据以 外的数据作零的假设,故谱估计误差较大. 外的数据作零的假设,故谱估计误差较大. 伯格(Burg)递推算法基本思想 伯格(Burg)递推算法基本思想: 递推算法基本思想: 直接从观测的数据利用线性预测器的前向和 后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计 反射系数,进而通过L-D算法的递推公式求出 算法的递推公式求出AR 反射系数,进而通过 算法的递推公式求出 模型优化的参数. 模型优化的参数.
数字信号处理
(Digital Signal Processing) Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散随机序列的特征描述 平稳随机序列通过LTI系统 平稳随机序列通过LTI系统 经典功率谱估计 现代功率谱估计
现代谱估计简介
问题提出 平稳随机信号的参数模型 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 Y-W方程的L-D递推算法 方程的L 伯格(Burg)递推算法 伯格(Burg)递推算法 利用MATLAB进行 模型功率谱估计 利用MATLAB进行AR模型功率谱估计 进行AR
现代功率谱估计
Y-W方程的L-D递推算法 方程的L
(3) 求出功率谱估计
PAR ( ) =
σ2
1 + ∑ an e
n =1 p 2 jn
现代功率谱估计
利用L-D算法进行谱估计 例:利用 算法进行谱估计 一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号, 一序列含有白噪声和两个频率间隔很近的余弦信号,
(1) 在计算相关函数估计时,对N个观测数据以外的数据 在计算相关函数估计时, 个观测数据以外的数据 作零的假设,观测数据越短,自相关函数估计误差越 作零的假设,观测数据越短, 因此功率谱估计误差就越大. 大,因此功率谱估计误差就越大. (2) 用有限个观测数据进行功率谱估计,相当于对信号加 用有限个观测数据进行功率谱估计, 由于窗函数的长度和频率分辨率成正比, 窗,由于窗函数的长度和频率分辨率成正比,因此观 测数据越短,谱估计的分辨率就越低. 测数据越短,谱估计的分辨率就越低.
n =1
现代功率谱估计
p
Y-W方程的L-D递推算法 方程的L
(1) 计算自相关函数的估计值
a1 , a 2 , , a p , σ 2 (2) 由自相关函数的估计值,递推 由自相关函数的估计值, p R y [1] σ 12 = R y [0](1 a11 ) 2 a1 (1) = R y [ 0]
若已知R 方程解出各参数a 若已知 y[n] ,由Y-W方程解出各参数 1, a2,…, 方程解出各参数 ap,则可由 模型参数获得功率谱 y()的估计值. 则可由AR模型参数获得功率谱 模型参数获得功率谱P 的估计值. 的估计值
现代功率谱估计
AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系
前向预测误差滤波器系统函数
1 + ∑ a p ( n) z n
n =1
f e p [k ]
p
现代功率谱估计
AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系
后向线性预测滤波器 个数据预测数据y[k 由y[k],y[k1], …, y[kp+1] p个数据预测数据 p] 个数据预测数据
前向线性预测滤波器 y[k]的预测值 y[k ] 由其过去值 1], y[k2],…, y[kp] 由其过去值 过去值y[k 的预测值 … 的线性加权得到. 的线性加权得到. 前向预测误差
f e p [k ] = y[k ] y[k ] = y[k ] + ∑ a p (n) y[k n] n =1 p
现代功率谱估计
பைடு நூலகம்
问题提出
经典法存在问题: 经典法存在问题: 1. 方差性能不好,不是Px()的一致估计. 方差性能不好,不是 的一致估计. 的一致估计 2. 平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差 性能,但却降低了谱分辨率和增大了偏差. 性能,但却降低了谱分辨率和增大了偏差. 3. 可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果. 可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果. 出现问题的原因: 出现问题的原因: 将观测数据以外的数据一律视为零,与实际不符. 将观测数据以外的数据一律视为零,与实际不符.
R y [ p] + ∑ a p 1 (n) R y [ p n] a p ( p) =
n =1
p 1
σ 2 1 p
(n = 1,2, , p 1)
a p (n) = a p 1 (n) + a p ( p)a p 1 ( p n)
σ 2 = [1 a p ( p ) ]2 σ 2 1 p p
x[k ] = cos(0.3πk ) + cos(0.32 πk ) + w[ k ]
利用L-D算法估计该序列的功率谱. 设x[k]的观测数 算法估计该序列的功率谱. 利用 算法估计该序列的功率谱 的观测数 据分别为N=128和N=512. 据分别为 和 .
分析: 分析:
(1) 将N个观测数据以外的数据视为零,计算其自相关函数估计. 个观测数据以外的数据视为零, 个观测数据以外的数据视为零 计算其自相关函数估计. (2) 根据 根据L-D算法的递推步骤递推计算谱估计.由于均方预 算法的递推步骤递推计算谱估计. 算法的递推步骤递推计算谱估计 故取p=80. 测误差随着阶次的增加而减小 ,故取 . 或直接利用MATLAB中的PYULEAR函数计算. 中的PYULEAR函数计算 函数计算. 或直接利用 中的
利用L-D算法估计该序列的功率谱. 设x[k]的观测数 算法估计该序列的功率谱. 利用 算法估计该序列的功率谱 的观测数 据分别为N=128和N=512. 据分别为 和 .