第四章—功率谱估计现代方法

2.经典法都是取一个长为N的取样序列，除此之外的序列值 都看成0，相当于在进行FFT前对无限长的数据序列进行了 加窗处理（加了一个有限宽的矩形窗）。我们知道：矩形 窗的频谱主瓣不是无限窄，且有旁瓣存在，这就造成了能 量向旁瓣中“泄漏”，且使分辨率降低，产生假的谱峰。
• 尽管有三种改进方法（Bartlett法、Welch法和Nattall法） 仍不能从根本上解决问题，这也促进了功率谱估计现代方 法的研究和应用。
4.1功率谱估计的经典方法
• 一、功率谱概念：一个离散平稳随机过程，在时域用自协 方差序列或者自相关序列描述。在频域中，是用功率谱来 描述的。 • 功率谱反映随机过程的功率密度随频率变化的规律。—— 功率密度谱
• 而实际中，我们只能观测到有限个数据，它们往往是随机 过程的一个取样序列中的一般数据，我们必须根据这些数 据来估计随机过程的功率谱，也就是说从有限长信号中估 计出来。
• 现代谱估计技术始于60年代，有自回归法（AR）、线性预 测法（LP）和最大熵（ME）法等三种互相等效的方法和最 大似然法（ML法）。
• 目前现代谱估计研究仍侧重于一维谱分析，其它如多维谱 估计，多通道谱估计，和高阶谱估计等的研究正在兴起， 理论也在不断完善和发展中。
4.2谱估计的参数模型方法
• 通常人们或多或少地掌握了关于被估计过程的某些先验知 识，从而有可能对这做出某些合理的假定。例如为它建立 一个准确或至少近似的模型，而不必象经典谱估计法那样 认为凡未观测到的数据等于零，这就从根本上丢弃了对数 据序列加窗的隐含假设。 一、模型法步骤： 以参数模型为基础的谱估计方法一般按三个步骤进行： ① 设模型 ；② 算法 ；③ 再计算谱 ⒈为被估计的随机过程确定一个合理的模型，当然这有赖于 对些随机过程的理论分析的实验研究。 ⒉根据观测数据估计模型的参数 各种算法研究。 ⒊用估计得到的模型参数计算功率谱。（PS）
• 2.估计方差
Var [a] E{[a E(a)]2 }



• 表示各次估计值相对估计均值的分散程度。 • 方差小意味着单次估计的结果为估计量的均值的概率大。 它与估计的偏差不同，若是无偏的，则说明单次估计取真 值的概率大，也只有小方差无偏估计的质量好。B和 Var [a] 要同时考虑。 • 3.估计的均方误差 定义： D[a ] E[( a a ) 2 ] 不难证明 D[a] Var [a] B 2 ，我们认为均方误差较小的估计， 质量更好些。 若有： lim D[ a ] 0 ，称 a 是a的一致估计，显然一致估
计包含了偏差和方差都渐近0。
N
• 功率谱估计的方法很多，但分为二类：一类是经典法，另 一类是现代方法 • 经典方法主要包括有自相关法（也称间接法）和周期图法 （又称直接法）下面分别简单说明一下。 三、自相关法：（理论基础是维纳——率钦定理） 即：对于一平稳离散随机信号来说，它的自相关函数 与它的功率谱S xx ( )之间构成一对付里叶变换：
h(0) lim H ( z ) lim (1 a k z k ) 1 1 根据初值定理： z z
k 1 p
p ak Rxx (m k ) 2 Rxx (m) k p 1 ak Rxx (m k ) k 1
S xx ( )
m M


M
ˆ R xx (m)e jm | N 1 |M

可以证明，对于固定延迟 m ， R xx (m)是Rxx (m) 的一致估计。 四、周期图——直接法 1 N 1|m| ˆ 由式 Rxx (m) N x(n) x(n m) 可见：式子右端，实际上是 n 0 x(n)与x(-n)的卷积运算，若x(n)的傅立叶变换为 X (e j ) ， 则x(-n)的傅立叶变换为 Z * (e jw ) 对上式两端去傅立叶变换：
1 1 j j j 2 S xx ( w) X (e ) X * (e ) X (e ) N N

• 将上式的 e j 在单位圆上等间隔取值得：
1 S xx (e ) X N e N 1 2 S xx (k ) X N (k ) N
2 j k N 2 j k N
l 0

h(l ) E[u (n l )u (n m)]
l 0

h(l ) Ruu (m l )
l 0

l 0
m0 0 h(l ) (m 1) h( m) 2 m0 h(0)
2 2
h(n)因果 n 0 h(n) 0 h(m)在m 0时为0
MA(q) --模型（阶滑动平均模型）
(除外 b0 1 ，所有MA系数=0)
• 2.当都为极点时，模型为：
1 H ( z) 1 A( z )
S xx ( Z ) 2 1 A( z )
2
p

i 0
2
p
a i z i
x ( n) q k x ( n k ) u ( n)
x 在大多数应用中，x(n)是实信号： (n) x * (n) （*共轭）
n 1 R xx (m) lim N x(n) x(m n) N 2 N 1 n
一般只能观测到随机信号一个取样时间序列的有限个取 样值（例如N个值），表示为： x N (n) {x(0), x(1), , x( N 1)}
k 1
p
AR( p) 模型，即P阶自回归模型
2
=
1 a i z i
i 1
or
S xx (e jw )
2
A(e )
jw 2

p i 1
2
1 a i e jwi
2
三、Wold分解定理： • 内容：任何广义平衡随机过程可分解成一个完全随机的部 分和一个确定的部分。（所谓确定随机过程是指可根据无 限个过去取样值，完全预测的随机过程。） • Wold分解定理的一个推论是：如果功率谱完全是连续的， 那么任何ARMA or AR过程，可以用一个无限阶的MA过程表 示。 • Kolmogorov定理也有类似结论：任何ARMA or MA过程可以 用一个无限阶的AR过程表示。

m0 m0
这就是AR模型的 Yule-Walker方程。
二、求解
为求出AR模型参数： 2 和a1 , a 2 , a p可先从上式中选择m 0的P 个方程，解出 {a1 , a 2 ,, a p }，再代入 m 0 的方程，求 a 2 。 也可以解方程组：
第四章 • • • • • •
功率谱估计的现代方法
4.1从经典谱估计到现代谱估计 4.2谱估计的参数模型方法 4.3AR模型的Yule-Walker方程 4.4Levinson-Durbin算法 4.5AR模型的稳定性及其阶的确定 4.6AR谱估计的性质
• • • • •
4.7格型滤波器 4.8AR模型参数提取方法 4.9AR谱估计的异常现象及其补救措施 4.10MA和ARMA模型谱估计 4.11白噪声中正弦波频率估计
4.3 AR模型的Yule-Walker方程
以AR模型为基础的谱估计： S xx ( z )
S xx (e )
j
2
A( z ) A * (1 / z*)
2
or
2
A(e )
j 2

p n 1
2
1 a n e j n
Hale Waihona Puke 来计算这就需要知道P，P个AM系数以及模型的激励源的方差 2。为 此，必须把这些参数和已知（or估计到的）自相关函数联系 起来这就是著名的Yule-Walker方程。
自相关函数只能由这N个取样数据来估计，自相关法是常 用的一种估计方法。
• ①
自相关法步骤： 首先由 x N (n) 估计出
ˆ ( m) 1 R xx N

R xx (m )
N 1|m|

n 0
x N ( n ) x N ( n m)
②
再对 R xx (m) 求其傅立叶变换，即得x(n)的功率谱：
• 二、估计理论中的几个基本概念 • 设a是广义平稳随机信号x(n)的一个特征量（可以是均值 方差，自相关出数or功率谱）。a 是我们得到的估计值， 也是一个随机变量，那么 a 对a估计的质量（近似程度） 可以从以下一个方面考虑：
• 1.估计的偏差（也叫偏倚）用B表示 ˆ 定义为： B E[a] a 表示估计量a 的均值E[ a 与真值a之差。 ] 若B=0的估计为无偏估计，反之为有偏估计 若 Nlim B 0 为渐近无偏估计（N为观测数据的个数）。我 们总希望，估计是无偏的or渐近无偏的是高质量的估计。
该模型的输出和输入间满足差分方程：
x(n) a k x(n k ) bl (ngl) 0 0) (a
K 1 l 0
p
q
• 输出功率谱和输入功率谱之间满足：
S xx ( Z ) 2 H ( z )
2
jw 2
或：
B (e ) S xx (e ) H (e ) A(e jw )
a k R xx (m k ) E[ x(n)u (n m)]
k 1
p
设AR模型的冲激响应是h(n)，在方差 的白噪声序列 u(n) 作用下产生输出x(n):
2
x(n) h(l )u (n l )
l 0

设h(n)是因果的
x(n)
u(n)
h(n)
E[ x(n)u (n m)] E{[ h(l )u (n l )]u (n m)}

2
简记为：
可以用FFT快速计算——周期图法。 X （k） N 五、经典法的缺点 不管数据记录多长（N多大），周期图法和自相关法都不 是功率谱的良好估计，主要因为存在以下两个难以克服的 固有缺点：