高中数学必修(5)不等式专题检测

高中数学必修（5）不等式专题检测
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A ．c b c a -≥+
B ．bc ac >
C ．
02
>-b
a c D ．0)(2≥-c
b a
2．若0<<b a ，则下列不等关系中，不能成立的是 （ ）
A ．b a 1
1>
B ．
a
b a 1
1>- C ．3
131b a <
D ．3
2
3
2b a >
3．若关于x 的不等式m x x ≥-42
对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ）
A ．最小值
21
和最大值1 B ．最小值
4
3
和最大值1
C ．最小值21和最大值4
3
D ．最小值1
5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y
y
x x b +++=11， a 与b 的大小关系
（ ）
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ≤b
D ．a ≥b
6．若关于x 的不等式4104822
<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4-<a
B ．4->a
C ．12->a
D ．12-<a
7．若)2
1
,0(∈x 时总有,0)21(log 12>--x a 则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．1||<a
B ．2||<a
C ．2||>
a D ．2||1<<a
8．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间 以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，甲 乙两人谁先到达指定地点 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．甲乙同时到达 D ．无法判断
9．设,,x y z 满足约束条件组1
320101
x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪
⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值（ ）
A ．8，3
B ．4，2
C ．6，4
D ．1，0
10．设f (x )是奇函数，对任意的实数x 、y ，有,0)(,0),()()(<>+=+x f x y f x f y x f 时且当
则f (x )在区间[a ,b ]上 （ ）
A ．有最大值f (a )
B ．有最小值f (a )
C ．有最大值)2
(
b
a f + D ．有最小值)2
(
b
a f + 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．已知12
24
a b a b ≤-≤⎧⎨
≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．
12．已知=-+⋅-=≤≤++m M m M y x x x 则最小值是的最大值是函数,,7234,2022
1 ．
13．函数1
1
)(2
2+++=x x x x f 的值域为 ． 14．要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m ，4m 的堤堰，要想
使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）已知a , b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
16．（12分）设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：2
25)1()1(22≥+++b b a a ．
17．（12分）设+
∈R x 且12
2
2
=+y x ，求21y x +的最大值．
18．（12分）已知ABC ∆的三边长,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，求
b
a
的取值范围．
19．（14分）一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm
的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．
20．（14分）设集合},0)2(2|{},045|{22=++-=>+-=a ax x x B x x x A 若A
B ≠ ，求实数a 的取值范围．
参考答案（二）
一、DBABB ADACB
二、11．]10,5[； 12．8； 13．
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2321，； 14．长24米，宽为18米 三、15．证：(a 5
+ b 5
) - (a 2b 3
+ a 3b 2
) = ( a 5
- a 3b 2
) + (b 5
- a 2b 3
)
= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)
∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0
又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0
即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
16．证：∵
212=+≤
b a ab ∴41≤ab ∴41≥ab
∴2
2
22211122112)1()1(⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++≥+++b a b b a a b b a a
2252412211221222
2
=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ab ab b a 17．解：∵0>x ∴2
)]
221([2)2
21(212
2
2
2
2
y x y x y x ++≤+⋅=+
又2321)2()221(22
22
=++=++y x y x ∴4
23)2321(212=⋅≤+y x
即4
2
3)1(max 2=
+y x
18．解：解：设a x b =，c y a =，则121210,0
x y x y x
y x x y <+≤⎧⎪<+≤⎪
⎨<+⎪
⎪>>⎩，
作出平面区域（如右图）， 由图知：21
(,)33
A ，31
(,)22
C ，
∴2332x <<，即2332
b a <<． 19．解：设
,2h x y +=由条件知:
,5442
=+xh x 即,4542
x
x h -=
设外接圆的半径为R ，即求R 的最小值，
,55425
252),20(1085585880454)(2),
22(2)2(42222
4
222
2
22222+=+≥∴<<++
=+-+
-+==∴++=++=R R x x
x x x x x x x x f R h hx x x h x R
等号成立时，,210
8522=⇒=x x x
∴当2=x 时R 2
最小，即R 最小，从而周长l 最小，
此时.152,2cm x h y cm x +=+==
20．解{|14},A x x x A B =<>∴≠或 的意义是方程0)2(22=++-a ax x 有解，
且至少有一解在区间),4()1,(+∞--∞ 内，但直接求解情况比较多，如果考虑“补集”， 则解法较简单.
设全集}21|{}0)2(4)2(|{2
≥-≤=≥+-=∆=a a a a a a U 或 且0)2(2|{2=++-=a ax x x a P 的方程关于的两根都在[1，4]内}
记),2(2)(2
++-=a ax x x f ∴方程0)(=x f 的两根都在[1，4]内
,7
18
2,4
10718032
1410)4(0)1(0≤
≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<<≥-≥-≥≤⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<<≥≥≥∆⇔a a a a a a a f f 解得或
}7182|{≤
≤=∴a a P ，∴所求实数a 的取值范围是}7
181|{>-≤=a a a P C U 或 y
x
O
1
A
B C D
1- 1-
2 12y x +=
1x y =+ 2x y += 1x y +=
1y x =+。