高二文科数学第一学期期中考试试题及答案

郑州市第四中学2014—2015学年上期高二年级期中考试数学(文科)试卷试卷说明本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷共1页，第Ⅱ卷共1页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A. 命题)(q p ⌝∧是真命题 B.命题q p ∧是真命题 C. 命题q p ∨是假命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题2.在⊿ABC 中，A =45°,B =60°,a=2，则b 等于（ ）A.6B.2C.3D. 62 3.若等差数列{}n a 的前5项和305=S ，且72=a ，则7a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.若b a >，则下列各式中正确的是（ ）A. 22b a > B. 33b a > C. ba 11< D. b a 22log log <5．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a =（ ）A ．38()2nB ．28()3nC ．128()3n -D ． 138()2n -6.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为 （ ）A ．-1B ．1C ．32D ．27. 已知“命题p ：x ∃∈R ，使得0122<++x ax 成立”为真命题，则实数a 满足（ ）A ．[0，1）B ． ]1,(-∞C ．[1，＋∞）D ． )1,(-∞8. 有下面四个判断：其中正确的个数是( )①命题：“设a 、b R ∈，若6a b +≠，则33a b ≠≠或”是一个真命题 ②若“p 或q”为真命题，则p 、q 均为真命题③命题“a ∀、22,2(1)b R a b a b ∈+≥--”的否定是：“a ∃、22,2(1)b R a b a b ∈+≤--” A.0 B.1 C.2 D.39．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为 A ．2 2 B ．8 2 C. 2D.2210. 在数列{}n a 中，233,1411+==+n n a a a ，则使02<+n n a a 成立的n 值是（ ） A.19 B.20 C.21 D.2211．已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和外界组成。

若在区域D 内有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数m y x z +=取得最小值，则m=（ ） A. 2-B. 1-C. 1D. 412第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案直接答在答题卷上)13、已知A 船在灯塔C 北偏东80o处，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40o处，A 、B 两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为____________km 。

14.在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______15. 若线性目标函数z ＝x ＋y 在线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-+a y y x y x 0203下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是______________16、已知数列{}n a 是递减数列，且对任意*∈N n ，都有n n a n λ+=2恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，17题10分,18-22题每小题12分，共70分.把答案直接答在答题卷上)17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.角A ，B ，C 成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值.18．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，已知23AB AC ⋅=o30BAC ∠=． （1）求ABC ∆的面积；（2）设M 是ABC ∆内一点，12MBC S ∆=，设()(,)f M mn =，其中m ，n 分别是MCA ∆，MAB∆的面积，求14m n+的最小值．19. （本小题满分12分）在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．20．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈． （1）当1k =时，求不等式的解集； （2）当k 变化时，试求不等式的解集A ． 21．（本小题满分12分） 在数列}{n a 中，123n n a a a a n a ++++=-（*n N ∈）． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）求证：数列{1}n a -是等比数列；（3）设(2)(1)n n b n a =--（*n N ∈），如果对任意*n N ∈，都有5n tb <，求正整数t 的最小值．22.（本小题满分12分）已知)(x f y =，4)21(=f ，对任意实数y x ,满足：3)()()(-+=+y f x f y x f（Ⅰ）当*N n ∈时求)(n f 的表达式; （Ⅱ）若)()1(1,1*11N n n f b b b b n nn ∈-⋅+==+，求n b ;（III ）记)(*4N n b c n n ∈=，试证89201421<+++c c c .郑州市第四中学2014—2015学年上期高二年级期中考试数学(理科)答案一\选择题AACBD BDACC CB二\填空题 13、1-6 14 、 30o 15、 2≤a 16、)3,(--∞三解答题17.略18．解：（1）由题意可知：cos AB AC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠=可得4AB AC ⋅= （3分）因此1sin 12ABC S AB AC BAC ∆=⋅⋅⋅∠= （6分） 文科：（2）由于ABC MBC MCA MAB S S S S ∆∆∆∆=++，且12MBC S ∆=，则12MCA MAB S S ∆∆+=，即12m n += （8分）故14141142()2()()2m n m n m n m n+=+⋅=+⋅+ 42(14)2(54)18n m m n =+++≥⋅+=，即14min()18m n += 当且仅当4n m m n =，即13n =，16m =时取等号 （12分）19. 解:设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里． 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6海里． 又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD·sin ∠CBD CD ＝10t·sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要610小时． 20．解：（1）当1k =时，不等式为：(5)(4)0x x -⋅->解得：5x >或4x <，即(,4)(5,)x ∈-∞+∞ （4分）（2）当k 变化时，可对k 的取值分类讨论：①当0k =时，不等式为：4(4)0x -->，解得：4x <，即(,4)A =-∞ （6分）当0k ≠时，不等式可化为：24()(4)0k k x x k+--> ②当0k <时，不等式为：24()(4)0k x x k +--<，且244k k+<， 解得：244k x k +<<，即24(,4)k A k += （8分） ③当2k =时，244k k+=，不等式为：2(4)0x ->， 解得：4x ≠，即(,4)(4,)A =-∞+∞ （10分）④当0k >且2k ≠，244k k +>，不等式为：24()(4)0k x x k+--> 解得：24k x k +>或4x <，即24(,4)(,)k A k+=-∞+∞ （12分） 21．解：（1）由题意可知：当1n =时，111a a =-，解得：112a =同理可得：当2n =时，1222a a a +=-，解得：234a =当3n =时，12333a a a a ++=-，解得：378a =（2）由题意可得：n n S n a =-（*n N ∈）① 则当2n ≥时，111n n S n a --=-- ②②式─①式得：121n n a a -=+，等式两边同时减2，可得：12(1)1n n a a --=-，即11112n n a a --=-由于112a =，即11102a -=-≠，则数列{1}n a -是一个以12-为首项，12q =为公比的等比数列（3）由（2）可知{1}n a -为等比数列，则1111()22n n a --=-⋅解得：12nn a -=-（*n N ∈），故(2)(1)(2)2nn n b n a n -=--=-⋅ 显然112b =-，20b =，当3n ≥时，0n b > 则当3n ≥时，1111(1)2(2)2(3)2n n n n n b b n n n ---++-=-⋅--⋅=- 由此可得：当4n ≥时，数列{}n b 为单调递减数列，则34max{}n b b b ==因此*n N ∀∈，都有5n t b <，则1max{}58n t b >= 解得：58t >，即正整数t 的最小值为1 22.解：（Ⅰ）令21==y x ，得53)21(2)2121()1(=-=+=f f f 故3)1()()1(-+=+f n f n f 2)(+=n f ，∴2)()1(=-+n f n f当*N n ∈时)]1()2([)1()(f f f n f -+=)]2()3([f f -+)]1()([--++n f n f=32)1(25+=-+n n（Ⅱ）由 )()1(1*1N n n f b b b n n n ∈-⋅+=+得)1(111-+=+n f b b n n 121++=n b n∴12111+=-+n b b n n ，故111b b n =)11(12b b -+)11(23b b -+)11(1--++n n b b ＝2)12(531n n =-++++ ∴*2,1N n nb n ∈=（III ）由（Ⅱ）知n b c n n 14==，11=c∵)2,(),1(21221*≥∈--=-+<+=n N n n n n n nn n∴)20132014(2)23(2)12(21201021-++-+-+<+++ c c c 891452120142=-⨯<-=。