吉林、黑龙江两省八校联合体2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
精选黑龙江省哈尔滨市2016_2017学年高一数学下学期期中试题
黑龙江省哈尔滨市2016-2017学年高一数学下学期期中试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案一律用2B 铅笔涂在答题卡上）1．已知向量(1,0)i =，(0,1)j =，则与23i j +垂直的向量是（）（A ）32i j +（B ）23i j -+（C ）32i j -+（D ）23i j -2．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ等于（）（A ）2 （B ）4 （C ）12（D ）143．在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（） （A ）2 （B ） 4 （C ）12（D ）144．设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A 、B 两点的距离为（）（A ）40 m （B ）50 m （C ）60 m （D ）70 m5．在ABC ∆中，(1AB =,(3,0)BC =，则角B 的大小为（）（A ）6π（B ）3π（C ）23π（D ）56π 6．ABC ∆的面积是10，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，1312cos =A ，则AB AC ⋅=（）（A ）144 （B ）48 （C ） 24 （D ）13 7．在等差数列}{n a 中，36181,0S S a =<，若n S 最小，则n 的值为（）（A ）18 （B ）27 （C ）36 （D ）548．下列说法正确的有（）（1）}{n a 和}{n b 都是等差数列，则}{n n b a +为等差数列（2）}{n a 是等差数列，则23,,,,(,)m m k m k m k a a a a k m N ++++∈为等差数列（3）若}{n a 为等比数列，其中0>n a ，则}{lg n a 为等差数列；若}{n a 为等差数列，则}2{n a 为等比数列．（4）若}{n a 为等比数列，则}{2na ，|}{|n a 都为等比数列． （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个9．已知D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+（B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+（D ）4133AD AB AC =- 10．ABC ∆中，若2sin()sin()sin A B A B C +-=，则ABC ∆是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形11．已知数列}{n a 的前n 项和记为n S ，))(1(31*∈-=N n a S n n ,则n a =（） （A ）1()2n -（B ）12n -（C ）1()2n --（D ）11()2n -- 12．如图在ABC ∆中，120,1,2,BAC AB AC D ∠=︒==为BC 边上一点（含端点），(0)DC BD λλ=≥，则AD BC ⋅的最大值为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 （D ）5二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分。
吉黑两省八校联合体2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
吉黑两省八校联合体高二第二学期期中考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 关于复数，给出下列判断：①；②；③；④.其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B2. 下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A. 观察下列各式：,,,…，则的末两位数字为43.B. 观察，，，可得偶函数的导函数为奇函数.C. 在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为.类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为.D. 已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应.【答案】D【解析】A、B为归纳推理；C为类比推理；D为演绎推理。
故选D。
3. 函数的递增区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,由于恒成立,所以当时,,则增区间为.,故选择D.4. 已知（），则当时，等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,,所以=，故选择D.5. 已知复数满足，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，故复数的共轭复数为。
故选B。
6. 如图所示，阴影部分的面积为（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】根据定积分的定义可知，图中阴影部分面积，故选择C.点睛：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.（1）当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于轴上方的曲边梯形的面积等于位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分为0.7. 若函数有极大值和极小值，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，若函数有极大值和极小值，则，解得，故选择C.8. 观察数组：，，，，…，，则的值不可能为（）A. 112B. 278C. 704D. 1664【答案】B【解析】观察数组可知数列为以-1为首项，2为公差的等差数列，数列为以1为首项，2为公比的等比数列，，当时，分别等于A、C、D。
高一数学下学期期中试题(含解析)(2021学年)
黑龙江省伊春市２016-２０17学年高一数学下学期期中试题（含解析) 编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(黑龙江省伊春市２０16-2017学年高一数学下学期期中试题(含解析）)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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２016—---2017学年度第二学期期中考试高一数学试卷选择题（本题共1２个小题，每小题５分,共60分,每小题只有一项符合题意)１。
在中,,,则等于( )A． B.C。
D．【答案】A【解析】∵在△ＡBＣ中，A=45∘，Ｂ=60∘,ａ=２,∴由正弦定理得：。
本题选择Ａ选项.２. 等比数列中，，则等于( ）A． 3２ B． 16 C。
8 D。
4【答案】B【解析】由等比数列的性质得ａ2·ａ６=a42=１6。
本题选择B选项。
3。
已知两条直线:，:平行，则( ) A．—1 B。
2 C。
０或-2 D. —1或２【答案】D【解析】l1∥l２的充要条件是(ａ－1）a=1×2，解得a=-1,２4。
数列的前项和为,,则( ）A。
Ｂ。
C。
Ｄ。
【答案】Ａ【解析】当ｎ=1时，a1＝2a1−4,解得,a1=４；当n⩾2时，S n=2ａn−4,Ｓn−1=2aｎ−1−４,故a n=2ａn−2ａn−1，故a n=2aｎ−1,故数列{ａn｝是以4为首项，2为公比的等比数列；故ａｎ＝2n+１，本题选择A选项。
５。
直线和直线的位置关系是( )A。
重合Ｂ．平行 C．垂直 D．相交但不垂直【答案】B【解析】试题分析：根据两直线的斜率相等,而在y轴上的截距不同的两直线平行的定理来确定该题的答案．解：∵直线3ｘ+y+1＝0即y=﹣3x﹣１，它的斜率k1=﹣3,在y轴上的截距是b1=﹣1，直线6x+２y+1=０即y=﹣3x﹣,此直线的斜率k2=﹣3,在y轴上的截距是ｂ2＝﹣,∴k1=k２，ｂ１≠b2，∴直线3ｘ＋ｙ+1＝0和直线6x＋2y+1=０的位置关系是平行；故选B．考点:直线的一般式方程与直线的平行关系．6. 不等式的解集是（)A。
吉林省长春市2016_2017学年高一数学下学期期中试题
吉林省长春市2016-2017学年高一数学下学期期中试题注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．考试用时120分钟.3．涂卡用2B 铅笔，修改须先擦净.答题使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹清楚.4．必须在指定答题区域答题，顺序不对应或边框之外答题的部分记0分.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有1个正确选项） 1．直线350x y +-=的倾斜角为A ．30-︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．经过点A(1，1)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 3.若a ，b ，c 分别是角C B A ,,的对边，若33a b c ==，则角=A （ ） A ．90B ．60C ．45D ．304.在不同的位置建立坐标系用斜二测画法画同一正△ABC 的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是( )5. P 、Q 分别为01043=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则PQ 的最小值为（） A.95B. 6 C. 3 D. 256.△ABC 中，已知2,,60a b x B ===，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>xB ．3<2<xC ．3342<<x D ．3342≤<x 7. 下列说法中正确的是( )A.经过两条平行直线,有且只有一个平面B.如果两条直线平行于同一个平面,那么这两条直线平行C. 三点确定唯一一个平面D.如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等,则这两个平面相互平行 8．已知直线l ：2x+3y+1=0被圆C ：222x y r +=所截得的弦长为d ，则下列直线中被圆C 截得的弦长同样为d 的直线是( )A ．4x+6y-1=0B ．4x+6y+l=0C ．2x-3y-l=0D ．3x+2y=0 9.在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，sin sin A B >则下列结论不一定．．．成立的是（） A ．A B >B ．sin 2sin 2A B >C ．cos2cos2A B <D ．a b >10．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A ．233B ．236C ．113D ．10311．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=（ ）m ．A ．1003B ．1006C ．100D ．100212. 在锐角三角形ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设2B A =，则ba的取值范围是 （ ） A.()1,3 B.()2,3 C.()2,2 D.()1,2第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆C ：()()253222=-+-y x ，点)7,1(-P ,过点P 作圆C 的切线，则该切线的一般式方程为________________.14. 圆9)2()(:221=++-y m x C 与圆4)()1(:222=-++m y x C 内切，则m 的值为___________.15. 若圆()()22235x y r -++=上恰有3个点到直线432x y -=的距离等于1，则半径r 的值为___________.16. 连接直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点，所得线段的长分别为sin α和cos α(0)2πα<<,则斜边长是__________．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知直线212:260:(1)10l ax y l x a y a ++=+-+-=和直线 (1) 当12l l ⊥时，求a 的值；(2) 在(1) 的条件下，若直线3l ∥2l ，且3l 过点()1,3A -，求直线3l 的一般方程．18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若3B π=，且3()()7a b c a b c bc -++-=．（1）求cos A 的值；（2）若5a =，求ABC ∆的面积．19. (本题满分12分)如图所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形， BD ＝2，PC ，PA ＝5，90CDP ∠=，E 、F 分别是棱AD 、PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAB ； (2)求BD 与PA 所成角的大小.20. （本小题满分12分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=+-y x 与圆C 相切． （I ）求圆C 的方程；（II ）过点Q （0，－3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A ),(11y x 、B ),(22y x ，若3OA OB = (O 为坐标原点)，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对边分别为,,a b c ，sin 1sin sin A a bB C a c-=-+-. （I ）设()()sin ,1,8cos ,cos 2m A n B A ==，判断m n ⋅最大时ABC ∆的形状. （II ）若3b =，求ABC ∆周长的取值范围.22．（本小题满分12分）已知圆O ：x 2+y 2=4，点P 为直线l ：x=4上的动点． （Ⅰ）若从P 到圆O 的切线长为，求P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A （﹣2，0），B （2，0），直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点（1，0）．2016---2017学年（高一）年级下学期期中考试数学学科参考答案 一、选择题DCDCDB ACBDBB 二、填空题13．34310x y -+=14.12--或15.6 16.5三、解答题：17．解：(1)由()1212202103A AB B a a a +=⇒+-=⇒=……（4分） (2)由(1)，215:039l x y --=，…… （6分） 又3l ∥2l ，设31:03l x y C -+=…………（7分）将()1,3A -代入上式解得2C =-, 所以31:203l x y --=…… （10分） 18．【解析】（1）∵3()()7a b c a b c bc -++-=，∴222223()27a b c a b c bc bc --=--+= ∴222117a b c bc =+-，∴22211cos 214b c a A bc +-==；…… （6分）（2）∵(0,)A π∈，∴sin A ==， 在ABC ∆中，由正弦定理7sin sin b ab B A=⇒=，…… （9分）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=1sin 2ABC S ab C ∆==．…（12分）19. (本题满分12分)如图所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形， BD＝2，PC ，PA ＝5，90CDP ∠=，E 、F 分别是棱AD 、PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAB ；(2)求BD 与PA 所成的角. 【解析】(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .…………（6分）(2)延长CD 至N ，使DN CD =，连接PN 、AN ，则由底面ABCD 是平行 四边形AB ⇒//DN AN ⇒//BD ，所以PAN ∠就是所求的角，PD 垂直平分CN 22290PN PC PN PA AN PAN ⇒==⇒=+⇒∠= BD 与PA 所成的角为90.…………（12分）6分125,09)1(4)64(22>>⨯+-+=∆∴k k k 解得， 设),(),,(2211y x B y x A ，则22122119,164kx x k k x x +=++=+，①9)(3)3)(3(212122121++-=--=x x k x x k kx kx y y ，12分21．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对边分别为,,a b c ，sin 1sin sin A a bB C a c-=-+-. （I ）设()()sin ,1,8cos ,cos 2m A n B A ==，判断m n ⋅最大时ABC ∆的形状. （II ）若3b =，求ABC ∆周长的取值范围.21、解：sin 1sin sin A a b b c B C a c a c --=-=+--，a b c b c a c -=+-，222a c b ac +-=，故1cos 2B =， （I ）228sin cos cos22sin 4sin 12(sin 1)3m n A B A A A A ⋅=+=-++=--+m n ∴⋅最大时sin 1A =，因为2(0,)3A π∈，2A π∴=，故ABC ∆为直角三角形…… （6分） （II ）32sin sin sin sin 3a b c A B C π====，周长32sin 2sin l a b c A C =++=++323sin()6A π=++，因2(0,)3A π∈ 所以5(,)666A πππ+∈，1sin()(,1)62A π+∈（62A ππ+=即3A π=时，a c =， sin 1sin sin A a bB C a c-=-+-不成立），所以ABC ∆周长(23,33)l ∈…… （12分） 22．（本小题满分12分）已知圆O ：x 2+y 2=4，点P 为直线l ：x=4上的动点． （Ⅰ）若从P 到圆O 的切线长为，求P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（Ⅱ）若点A （﹣2，0），B （2，0），直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点（1，0）．解答： 解：根据题意，设P （4，t ）． （I ）设两切点为C ，D ，则OC⊥PC，OD⊥PD， 由题意可知|PO|2=|OC|2+|PC|2，即…………（2分）解得t=0，所以点P 坐标为（4，0），在Rt△POC 中，易得∠POC=60°…………（4分） 所以两切线所夹劣弧长为…………（6分）（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（﹣2，0），P（4，t），可以设.和圆x2+y2=4联立，得到，消元得到，（t2+36）x2+4t2x+4t2﹣144=0…………（7分）因为直线AP经过点A（﹣2，0），M（x1，y1），所以﹣2，x1是方程的两个根，所以有，代入直线方程得，…………（8分）同理，设，联立方程有，代入消元得到（4+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣16=0，因为直线BP经过点B（2，0），N（x2，y2），所以2，x2是方程的两个根，，，代入得到…………（9分）若x1=1，则t2=12，此时显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（10分）若x1≠1，则t2≠12，x2≠1，所以有，（11分）所以k MQ=k NQ，所以M，N，Q三点共线，即直线MN经过定点Q（1，0）．综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（12分）。
2016-2017高一下学期期中考试参考答案
2016—2017学年高一（下）期中考试（数学）参考答案一、选择题（5*12=60分）1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D二、填空题（4*5=20分）13. 14.y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 15.;,k ∈Z 16. 三、解答题（70分）17.（10分）(1)因为0＜α＜，sin α＝， 故cos α＝，所以tan α＝． -------5分(2)cos 2α＋sin (＋α)＝1－2sin 2α ＋cos α＝1－＋＝．-----------5分18.（12分）解：（1）∵，的夹角为， ∴ ＝||•||•cos ＝， ……1分∴|-|2＝（-）2 ……2分＝2＋2 -2＝1＋3－3＝1， ……3分 ∴ ……4分（2）由得 ……6分由得 ……7分（3），．……8分又||＝1，||＝，．……9分． ……10分 ……没有此说明扣1分 ． ……12分19．（12分）解：（1）因为f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f （x ）＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12． 由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．-------------------4 （2）由（1）知f （x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g （x ）＝f （2x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12．当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1．因此1≤g （x ）≤1＋22． 故g （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1．-----------------------620．（12分）解:过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ，--------------------------2OA=2cos θ，--------------------------------------------------3BH=sin=cos θ， ---------------------------------------4AH=cos=sin θ，-----------------------------------------5所以B(2cos θ+sin θ，cos θ)，---------------------------7OB 2=(2cos θ+sin θ)2+cos 2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<，知<2θ+<，所以当θ=时，OB 2取得最大值7+4.---------------------------------------1221.（12分）解：(1)f(x)=m ·n =4sinxcosx+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1)，知f(x)=4sin ，x ∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x ≤，所以函数f(x)的单调递增区间为.------------------------------7(3)当x ∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k 的零点讨论如下：当k>4或k<-4时，h(x)无零点，a=0；----------------------------------8 当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，a=1；-------------------------------10 当-4<k<-2或-2<k<4时，h(x)有两个零点，a=2；---------------------------11 当k=-2时，h(x)有三个零点，a=3.--------------------------------------1222.（12分）解：(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4(2)由题意得OA=2,k OA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d=,则BC=2=2,BC=2,即2=2⇒b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.------------8(3)因为,所以,⇒,,根据||≤10,即≤10⇒t∈[2-2,2+2],所以t的取值范围为[2-2,2+2].对于任意t∈[2-2,2+2],欲使,此时||≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P,Q两点,此时,即,因此对于任意t∈[2-2,2+2],均满足题意,综上t∈[2-2,2+2].------------------------------------------12。
吉林省吉林市2016_2017学年高一数学下学期期中试题
吉林省吉林市2016-2017学年高一数学下学期期中试题第Ⅰ卷说明：1、本试卷分第I 试卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；2、满分120分，考试时间100分钟。
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．以)2,1(-为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．04222=+-+y x y xB ．04222=+++y x y xC ．04222=-++y x y xD ．04222=--+y x y x2．某公司现有普通职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则普通职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为（ ）A ．16，3，1B ．16，2，2C ．8，15，7D ．12，5，33．若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是（ ）A.1-<kB.0<kC. 1<kD. 2<k4．按如图的程序框图运行后，输出的S 应为（ ）A.7B.15C.26D.405．在一次实验中，测得),(y x 的四组值分别是)6,12(),5,10(),3,8(),2,6(D C B A ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A ．7.03.2ˆ-=x yB ．7.03.2ˆ+=x yC ．3.27.0ˆ-=x yD ．3.27.0ˆ+=x y6．某高中学校采用系统抽样方法，从该校全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k 80050=16，即每16人抽取一个人.在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是（ ）A ．40B ．39C ．38D ．377．若集合}3,2{=A ，}3,2,1{=B ，从B A ,中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．61 8．四边形ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点。
2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年高一下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．不等式的解集是（ ） A ．{x|x ＞1}B ．{x|x ＜1}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|x ＞1或x ＜﹣1}2．设a ＞1＞b ＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b3．在△ABC 中，A ：B ：C=3：1：2，则a ：b ：c=（ ）A ．1：2：3B ．3：2：1C ．1：：2 D ．2：1：4．若x+y=1（x ，y ＞0），则+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．45．已知△ABC 三边a=3，b=4，c=5，则cosA 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知数列{a n }是等比数列，a 3=1，a 5=4，则公比q 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．D ．±27．一个长方体的各个顶点均在同一个球的球面上，且长方体同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是（ ）A ．π B ．3π C ．4π D ．14π8．在△ABC 中，a=2，b=，A=，则B=（ ）A ．B ．C ．D ．9．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A ．B ．C ．2+D ．1+11．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是（ ） A ．24πB ．18πC ．12πD ．6π12．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理（够用，且浪费最少）的是（）A．3.5m B．4.8m C．5m D．5.2m二.填空题（每小题5分，满分20分）13．已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积是36πcm2，则球心与截面圆周的圆心的距离是．14．已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，则k的取值范围是．15．﹣2是10与x的等差中项，则x= ．16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分）17．已知长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是，，．则长方体的体积是多少．18．解不等式：x2＞（k+1）x﹣k．19．如图已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB⊥AD，DC∥AB，且边 AB、AD、DC 的长分别为 7cm，4cm，4cm，分别以 AB、AD、DC 三边所在直线为旋转轴，求所得几何体体积．20．设f（x）=ax2+bx，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．21．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．22．已知数列{an}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．2016-2017学年高一下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分60分）1．不等式的解集是（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣1}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】判断x的范围，然后最后求解表达式即可．【解答】解：不等式可知x＞0，不等式化为x＜1，所以不等式的解集为：{x|0＜x＜1}．故选：C．2．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】71：不等关系与不等式．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C3．在△ABC中，A：B：C=3：1：2，则a：b：c=（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：1：【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三内角之比，利用内角和定理求出A，B，C的度数，确定出sinA，sinB，sinC的值，利用正弦定理即可求出a，b，c三边之比．【解答】解：在△ABC中，A：B：C=3：1：2，设A=3k，B=k，C=2k，可得A+B+C=3k+k+2k=π，即k=，∴A=，B=，C=，∴由正弦定理==，得： ==，则a：b：c=2：1：．故选D4．若x+y=1（x，y＞0），则+的最小值是（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x+y=1（x，y＞0），∴+=（x+y）=2+=4，当且仅当x=y=．故选：D．5．已知△ABC三边a=3，b=4，c=5，则cosA等于（）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：△ABC三边a=3，b=4，c=5，则cosA===．故选：B．6．已知数列{an }是等比数列，a3=1，a5=4，则公比q等于（）A．2 B．﹣2 C．D．±2【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a3=1，a5=4，∴q2==4，∴q=±2，故选：D7．一个长方体的各个顶点均在同一个球的球面上，且长方体同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是（）A．πB．3π C．4πD．14π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积．【解答】解：长方体的体对角线的长是： =球的半径是：这个球的表面积：4π（）2=14π．故选：D．8．在△ABC中，a=2，b=，A=，则B=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，从而求得B的值．【解答】解：在△ABC中，由于a=2，b=，A=，则根据正弦定理可得，即=，求得sinB=．再由b＜a可得B＜A，∴B=，故选B．9．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4πr2，解得r=3故选C10．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C11．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是（）A．24πB．18πC．12πD．6π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】将正四面体补成一个正方体，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，即可得出结论．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为2，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：，∴外接球的表面积的值为4π•（）2=24π．故选：A．12．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，用下列四种长度的铁管，最合理（够用，且浪费最少）的是（）A．3.5m B．4.8m C．5m D．5.2m【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意设一条直角边为x，则另一条直角边是，建立起周长的函数关系，根据其形式和特点用基本不等式即可求出周长的最小值．【解答】解：设一条直角边为x，则另一条直角边是，斜边长为，故周长l=x++≥2+2≈4.82，当且仅当x=时等号成立，故最合理（够用，且浪费最少）是l=5m，故选C．二.填空题（每小题5分，满分20分）13．已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积是36πcm2，则球心与截面圆周的圆心的距离是8cm ．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求解球心与截面圆周的圆心的距离即可．【解答】解：球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积是36πcm2，可得截面圆的半径为：6cm，则球心与截面圆周的圆心的距离是： =8cm．故答案为：8cm．14．已知x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，则k的取值范围是k≥4或k≤2且k ≠0 ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把x=1代入不等式即可求出k的范围．【解答】解：因为x=1是不等式k2x2﹣6kx+8≥0（k≠0）的解，所以k2﹣6k+8≥0，解得k≥4或k≤2且k≠0．故答案为：k≥4或k≤2且k≠0．15．﹣2是10与x的等差中项，则x= ﹣14 ．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差中项定义直接求解．【解答】解：∵﹣2是10与x的等差中项，∴，解得x=﹣14．故答案为：﹣14．16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉．【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+=，故答案为：．三.解答题（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分）17．已知长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是，，．则长方体的体积是多少．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知的长方体相交于一个顶点的三个面的面积即可求出相邻三边长度，从而根据长方体的体积公式求出该长方体的体积．【解答】解：长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是，，．设长方体相邻三边长分别为：x，y，z；则xy=，xz=，yz=．解得x=1，y=，z=．∴该长方体的体积为1××=．故答案为：．18．解不等式：x2＞（k+1）x﹣k．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】首先对不等式变形，然后分解因式，讨论对应根k与1的大小，得到不等式的解集．【解答】解：x2＞（k+1）x﹣k变形为（x﹣k）（x﹣1）＞0，所以当k＞1时，不等式的解集是{x|x＜1或x＞k}；当k=1时，不等式的解集是{x|x≠1}当k＜1时，不等式的解集是{x|x＜k或x＞1}．19．如图已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB⊥AD，DC∥AB，且边 AB、AD、DC 的长分别为 7cm，4cm，4cm，分别以 AB、AD、DC 三边所在直线为旋转轴，求所得几何体体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】以AB为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为4cm的圆柱和底面半径为4cm，高为3cm 的圆锥的组合体，由此能求出其体积；以AD为轴的旋转体是上下底面半径分别为4cm和7cm，高为4cm的圆台，由此能求出其体积；以DC为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为7cm的圆柱去掉一个底面半径为4cm，高为3cm的圆锥的组合体，由此能求出其体积．【解答】解：以AB为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为4cm的圆柱和底面半径为4cm，高为3cm的圆锥的组合体，==80π（cm3）；其体积是V1以AD为轴的旋转体是上下底面半径分别为4cm和7cm，高为4cm的圆台，==124π（cm3）；其体积是V2以DC为轴的旋转体是底面半径为4cm，高为7cm的圆柱去掉一个底面半径为4cm，高为3cm 的圆锥的组合体，==96π（cm3）．其体积是V320．设f（x）=ax2+bx，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4．求f（﹣2）的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】设f（﹣2）=mf（﹣1）+nf（1），由二次函数的解析式，可得a，b的恒等式，解方程可得m=3，n=1，再由不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=ax2+bx，可得f（﹣1）=a﹣b，f（1）=a+b，f（﹣2）=4a﹣2b，设f（﹣2）=mf（﹣1）+nf（1），则4a﹣2b=m（a﹣b）+n（a+b）=（m+n）a+（﹣m+n）b，可得，解得，即f（﹣2）=3f（﹣1）+f（1），由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，可得﹣3+2≤3f（﹣1）+f（1）≤6+4，即﹣1≤f（﹣2）≤10．则f（﹣2）的范围是[﹣1，10]．21．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB 的长．【考点】HR ：余弦定理；7H ：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π﹣（A+B ）]进而根据题设条件求得cosC ，则C 可求．（2）根据韦达定理可知a+b 和ab 的值，进而利用余弦定理求得AB ．【解答】解：（1）∴C=120°（2）由题设： ∴AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC•BCcosC=a 2+b 2﹣2abcos120°=∴22．已知数列{a n }的前n 项和为． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a n •log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）通过与S n ﹣1=2n ﹣2（n ≥2）作差可知a n =2n ，进而验证当n=1时是否成立即可；（2）通过（1）可知b n =n•2n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）因为， 所以S n ﹣1=2n ﹣2（n ≥2），两式相减得：a n =2n ，又因为a 1=S 1=2满足上式， 所以； （2）由（1）可知b n =a n •log 2a n =n•2n ，所以T n =1•2+2•22+3•23+…+n•2n ，2T n =1•22+2•23+…+（n ﹣1）•2n +n•2n+1，两式相减得：﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，所以Tn =（n+1）•2n+1﹣2．。
2016-2017高一下学期期中考试参考答案 精品
2016—2017学年高一（下）期中考试（数学）参考答案一、选择题（5*12=60分）1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D二、填空题（4*5=20分） 13.⎥⎦⎤ ⎝⎛3320， 14.y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 15.π;]87,83[ππππk k ++,k ∈Z 16.51三、解答题（70分）17.（10分）(1)因为0＜α＜2π，sin α＝54， 故cos α＝53，所以tan α＝34． -------5分 (2)cos 2α＋sin (2π＋α)＝1－2sin 2α ＋cos α＝1－2532＋53＝258．-----------5分18.（12分）解：（1）∵a ，b 的夹角为6π， ∴ ⋅＝|a |•|b |•cos 6π＝23， ……1分 ∴|a -b |2＝（a -b ）2 ……2分＝a 2＋b 2 -2⋅＝1＋3－3＝1， ……3分1= ……4分 （2+≤≤]13,13[+-∈+ ……6分≤]3,0[∈⋅ ……7分（3）21)2()3(=+⋅-b a b a ，2135222=-⋅-∴b b a a ．……8分 又|a |＝1，|b |＝3，23-=⋅∴．……9分 1cos 2a b a b θ∴==-·23-． ……10分 ],0[πθ∈ ……没有此说明扣1分 65πθ=∴． ……12分19．（12分）解：（1）因为f （x ）＝sin （π－ωx ）cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f （x ）＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12． 由于ω＞0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1．-------------------4 （2）由（1）知f （x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 所以g （x ）＝f （2x ）＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12． 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1．因此1≤g （x ）≤1＋22． 故g （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1．-----------------------620．（12分）解:过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H.设∠OAD=θ错误！未找到引用源。
2016-2017年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
B．a 的最小值为﹣4
C．a 的最大值为 2
D．a 的最大值为 4
12．（5 分）把正整数按“f（x）”型排成了如图所示的三角形数表，第 f（x）行
有 （f x）个数，对于第 （f x）行按从左往右的顺序依次标记第 1 列，第 2 列，…，
第 f（x）列（比如三角形数表中 12 在第 5 行第 4 列，18 在第 6 行第 3 列），
2016-2017 学年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二（下）期中
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）关于复数，给出下列判断：
①3＞3i；
②16＞（4i）2；
③2+i＞1+i；
④|2+3i|＞|2+i|．
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（10 分）已知 f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M 为不等式 f（x）＞0 的解集．
（1）求 M；
（2）求证：当 x，y∈M 时，|x+y+xy|＜15．
18．（12 分）已知复数 z 满足
，|z|=5．
A．∠A 和∠B 都不是锐角
B．∠A 和∠B 不都是锐角
C．∠A 和∠B 都是钝角
D．∠A 和∠B 都是直角
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4．（5 分）下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ） A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则 72015 的末两位数字为
43 B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函
黑龙江省齐齐哈尔八中2016-2017学年高一下学期期中数学试卷 (word版含答案)
2016-2017学年黑龙江省齐齐哈尔八中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．143．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形．4．两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．3a海里B．a海里C．a海里D．a海里5．如果等差数列{a n}中，a3=3，那么数列{a n}前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．306．已知，且与的夹角为45°，则x的值为（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或17．等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或78．不等式x2+x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，3）∪（2，+∞）B．（﹣6，1）C．（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）D．（﹣3，2）9．若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a+＞b+C．a+＞b+D．10．数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）A．1006 B．2012 C．503 D．011．下列结论：①函数y=sin的图象的一条对称轴方程是x=；②△ABC中，若b=2asinB，则A等于30°；③在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=；④sin70°cos40°cos60°cos80°=，其中正确的是（）A．①②B．①③C．③④D．②④12．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：（1）f（x）=x2；（2）f（x）=x2+1；；（4）f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”f（x）的序号为（）A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（3）D．（2）（4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的横线上.13．当x＞0时，求f（x）=+3x的最小值为．14．已知a，b，c分别为三角形△ABC的三边，且，则tanC的值为．15．观察下面的数阵，第20行最左边的数是．16．设是奇函数，则使f（x）＞1的x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（文科同学做）在锐角△ABC中，边a，b是方程的两根，角A、B满足：，求角C，边c的长度．18．若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；②若不等式解集是R，求k的取值范围．19．已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，]时，求函数g（x）的最大值与最小值，并指出取得最值时的x的值．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n 都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？2016-2017学年黑龙江省齐齐哈尔八中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；C、M∩N={2}≠N，故C错误；D、M∩N={2}，故D正确．故选D．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14【考点】7C：简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线y=﹣4x+z经过点B时，直线y=﹣4x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，3），此时z=2×4+3=8+3=11，故选：B．3．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形．【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】根据正弦定理，结合题意得a：b：c=5：11：13，由此设a=5x，b=11x，c=13x，根据余弦定理求出cosC=﹣＜0结合C∈（0，π）得C为钝角，因此△ABC是钝角三角形．【解答】解：∵△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，∴由正弦定理，得a：b：c=5：11：13，设a=5x，b=11x，c=13x，则cosC===﹣∵C∈（0，π），且cosC＜0．∴C为钝角因此，△ABC是钝角三角形故选：B4．两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．3a海里B．a海里C．a海里D．a海里【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．【解答】解：依题意知∠ACB=180°﹣25°﹣35°=120°，在△ABC中，由余弦定理知AB==a．即灯塔A与灯塔B的距离为a．故选B．5．如果等差数列{a n}中，a3=3，那么数列{a n}前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．30【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3=3，∴数列{a n}前5项的和为：．故选：A．6．已知，且与的夹角为45°，则x的值为（）A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或1【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】两个向量的数量积为•=x1x2+y1y2，又知数量积不含坐标的公式•=||||cosθ，其中cosθ是两个向量的夹角．结合这两个公式可以建立关系式，得到关于x的方程，再解这个方程即可得到实数x的值．【解答】解：∵∴•=（x+1）﹣x=1，||=，||=∵与的夹角为45°∴•=||||cos45°⇒1=∴2x2+2x+1=1⇒x=0或x=﹣1故选C7．等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．【解答】解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选C．8．不等式x2+x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，3）∪（2，+∞）B．（﹣6，1）C．（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）D．（﹣3，2）【考点】7F：基本不等式；3R：函数恒成立问题．【分析】不等式x2+x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立等价于x2+x＜（+）恒成立．从而求解实数x的取值范围．min【解答】解：不等式x2+x＜+对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，等价于x2+x＜（+）min恒成立．当a，b∈（0，+∞）时， +，当且仅当a=3b时取等号．则有：x2+x＜6，解得：﹣3＜x＜2所以实数x的取值范围是（﹣3，2）．故选：D．9．若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．a+＞b+C．a+＞b+D．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据不等式的性质分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．【解答】解：若＞，则ab+b＞ab+a，得：b＞a，矛盾，故A错误；若a+＞b+，则：（a﹣b）（ab﹣1）＞0，得ab＞1，取a=0.2，b=0.1，显然不成立，故B错误，由a＞b＞0，得：＞＞0，∴a+＞b+，故C正确；由＞得：2ab+b2＞2ab+a2，得：b2＞a2，与已知矛盾，故D错误，故选：C．10．数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）A．1006 B．2012 C．503 D．0【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知得f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，由此能求出S2012的值．【解答】解：∵a n=ncos，又∵f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，…a2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012）=2×503=1006故选：A．11．下列结论：①函数y=sin的图象的一条对称轴方程是x=；②△ABC中，若b=2asinB，则A等于30°；③在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积S=；④sin70°cos40°cos60°cos80°=，其中正确的是（）A．①②B．①③C．③④D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用辅助角公式化简，求得x=时，y有最大值2判断①正确；利用正弦定理化边为角，进一步求出A判断②；解三角形求出△ABC的面积判断③；利用倍角公式求出sin70°cos40°cos60°cos80°的值判断④．【解答】解：①函数y=sin=，当x=时，y有最大值2，∴函数图象的一条对称轴方程是x=，故①正确；②△ABC中，若b=2asinB，则A等于30°，则sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，则A=30°或150°，故②错误；③在△ABC中，若∠A=120°，AB=5，BC=7，则由，得b=3，即AC=3，∴△ABC的面积S==，故③正确；④sin70°cos40°cos60°cos80°=cos20°=cos20°cos40°cos60°cos80°====，故④错误．∴正确的命题是①③．故选：B．12．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：（1）f（x）=x2；（2）f（x）=x2+1；；（4）f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”f（x）的序号为（）A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（3）D．（2）（4）【考点】8G：等比数列的性质．【分析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n•a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论．【解答】解：根据题意，由等比数列性质知a n•a n+2=a n+12，（1）、f（x）=x2，f（a n）f（a n+2）=a n2a n+22=（a n+12）2=f2（a n+1），故（1）是“保等比数列函数”；（2）、f（x）=x2+1，f（a n）f（a n+2）≠f2（a n+1），故（2）不是“保等比数列函数”；（3）、f（x）=，f（a n）f（a n+2）==（）2=f2（a n+1），故（3）是“保等比数列函数”（4）、f（x）=ln|x|，则f（a n）f（a n+2）=ln（|a n|）•ln（|a n+2|）≠ln（|a n+1|）2=f2（|an+1|），故（4）不是“保等比数列函数”；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的横线上.13．当x＞0时，求f（x）=+3x的最小值为12．【考点】7F：基本不等式．【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴．∴f（x）=+3x≥=12；当且仅当x=2时取等号．∴f（x）=+3x的最小值是12．故答案为：12．14．已知a，b，c分别为三角形△ABC的三边，且，则tanC的值为﹣2．【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理和同角的三角函数的关系即可计算得解．【解答】解：由余弦定理可得：cosC===﹣，∵0＜C＜π∴sinC==，∴tanC==﹣2，故答案为：．15．观察下面的数阵，第20行最左边的数是362．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，第20行最左边的数比第19行最右边的数大1，而第19行的最右边的数为192=361，由此不难得到所要求的数．【解答】解：∵第n行最右边的数是n2，∴第19行的最右边的数为192=361又∵该数阵将正整数按从左向右，从上向下的顺序连续排列∴第20行最左边的数比第19行最右边的数大1，由此可得这个数是361+1=362故答案为：36216．设是奇函数，则使f（x）＞1的x的取值范围是．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据若f（x）是奇函数且在x=0有定义，则f（0）=0，即可解出a．再根据对数函数的单调性解不等式得到答案．【解答】解：依题意，得f（0）=0，即lg（2+a）=0，所以，a=﹣1，f（x）=lg，由f（x）＞1，得lg＞1，故＞10，解得：＜x＜1，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（文科同学做）在锐角△ABC中，边a，b是方程的两根，角A、B满足：，求角C，边c的长度．【考点】HR：余弦定理；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】依题意可求得a，b及C，再由余弦定理即可求得c．【解答】解：∵在锐角△ABC中，边a，b是方程x2﹣2x+2=0的两根，∴a+b=2，ab=2，又2sin（A+B）﹣=0，sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，∴sinC=，又△ABC为锐角三角形，∴C=，cosC=．∴c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC=12﹣4﹣2×2×=6．∴c=．18．若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；②若不等式解集是R，求k的取值范围．【考点】75：一元二次不等式的应用．【分析】（1）由一元二次不等式的解法，由不等式的解集即可推出对应方程的根，再利用韦达定理即可得k的值；（2）由一元二次不等式的解法，或者说由二次函数的图象可知，此不等式的解集为R，当且仅当二次项系数小于零，判别式小于零，解不等式即可得k的范围【解答】解：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}∴方程kx2﹣2x+6k=0的两个根为﹣3，﹣2∴=﹣3+（﹣2）=﹣5，∴k=﹣②：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是R∴解得k＜﹣19．已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n+b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列．【考点】8D：等比关系的确定；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）当n=1时，b1=T1；当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1可得b n与b n﹣1的关系，再利用等比数列的定义即可证明．【解答】（1）解：设{a n}的公差为d，∵a2=6，a5=18；则，解得∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（2）证明：当n=1时，b1=T1，由，得；当n≥2时，∵，，∴．∴．化为．∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列．20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，]时，求函数g（x）的最大值与最小值，并指出取得最值时的x的值．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）根据已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（0，﹣）代入解析式，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得到函数y=；结合正弦函数的最值的求法进行解答即可．【解答】解：（Ⅰ）观察图象得，A=2．因为，所以T=π，ω=2．当x=0时，，，故．所以所求解析式为．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数y=g（x）的图象，故；当时，，，由正弦函数的性质可知，当即时，g（x）取得最大值2，当即时，g（x）取得最小值．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2b﹣c）cosA﹣acosC=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）法一：由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，化简可得cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．法二：由已知及余弦定理，整理可求cosA，结合范围A∈（0，π），由特殊角的三角函数值即可得解A的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc的值，进而利用余弦定理可求b2+c2=8，联立即可得解b，c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）法一：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及正弦定理得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，所以2sinBcosA﹣sin（A+C）=0，…因为sinB=sin（A+C）＞0，所以，…因为A∈（0，π），所以．…法二：由（2b﹣c）cosA﹣acosC=0及余弦定理得，整理得b2+c2﹣a2=bc，…从而，…因为A∈（0，π），所以．…（Ⅱ）△ABC的面积，故bc=4．…而a2=b2+c2﹣2bccosA=4，故b2+c2=8，…所以b=c=2．…22．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n 都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【考点】8H：数列递推式；82：数列的函数特性；8E：数列的求和．【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，=a n两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大2017年6月4日。
2016-2017年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应3．（5分）函数f（x）=（2x﹣1）e x的递增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．C．D．4．（5分）已知（n ∈N*），则当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知复数z满足（z﹣5）（1﹣i）=1+i，则复数z的共轭复数为（）A．5+i B．5﹣i C．﹣5+i D．﹣5﹣i6．（5分）如图所示，阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．7．（5分）若函数f（x）=x3+x2+（a+6）x+a有极大值和极小值，则（）A．B．C．D．8．（5分）观察数组：（﹣1，1，﹣1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40），…，（a n，b n，c n），则c n的值不可能为（）A．112B．278C．704D．16649．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之和为定值2C．直线PA1与PA2的斜率之积为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值210．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2D．a的最大值为411．（5分）已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数在复平面内对应的点位于第象限．14．（5分）若（x＞0），则．15．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=[log2x]，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：．16．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．18．（12分）已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．19．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．20．（12分）（1）当x＞1时，求证：；（2）若a＜e，用反证法证明：函数f（x）=xe x﹣ax2（x＞0）无零点．21．（12分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．（12分）已知f（x）=ln（1+x）﹣，x∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为5，求a的值；（2）若函数f（x）的最小值为﹣a，求a的值；（3）当x＞﹣1时，（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年吉林、黑龙江省两省八校联合体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）关于复数，给出下列判断：①3＞3i；②16＞（4i）2；③2+i＞1+i；④|2+3i|＞|2+i|．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①两个复数如果不完全是实数，则不能比较大小，因此3＞3i不正确；②∵（4i）2=﹣16，因此正确；③道理同①，不正确；④|2+3i|==，|2+i|=，因此|2+3i|＞|2+i|正确．其中正确的个数为2．故选：B．2．（5分）下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．故选：D．3．（5分）函数f（x）=（2x﹣1）e x的递增区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．C．D．【解答】解：f′（x）=（2x+1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，故f（x）在（﹣，+∞）递增，故选：D．4．（5分）已知（n ∈N*），则当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵（n ∈N*），∴当k∈N*时，f（k+1）﹣f（k）=+++…+++﹣（+++…++）=．故选：D．5．（5分）已知复数z满足（z﹣5）（1﹣i）=1+i，则复数z的共轭复数为（）A．5+i B．5﹣i C．﹣5+i D．﹣5﹣i【解答】解：由（z﹣5）（1﹣i）=1+i，得z﹣5=，∴z=5+i，则，故选：B．6．（5分）如图所示，阴影部分的面积为（）A．B．C．1D．【解答】解：由题意可得S=﹣（x2﹣x）dx+（x2﹣x）dx=﹣（x3﹣x2）|+（x3﹣x2）|=﹣（﹣）+（﹣2）﹣（﹣）=++﹣2=1，故选：C．7．（5分）若函数f（x）=x3+x2+（a+6）x+a有极大值和极小值，则（）A．B．C．D．【解答】解：f′（x）=3x2+2x+a+6，若f（x）有极大值和极小值，则f′（x）=0有2个不相等的实数根，故△=4﹣12（a+6）＞0，解得：a＜﹣，故选：C．8．（5分）观察数组：（﹣1，1，﹣1），（1，2，2），（3，4，12），（5，8，40），…，（a n，b n，c n），则c n的值不可能为（）A．112B．278C．704D．1664【解答】解：由题意a n=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3，b n=2n﹣1，c n=a n b n=（2n﹣3）•2n﹣1，在A中，当n=5时，c5=（2×5﹣3）×24=112，成立；在B中，当n=6时，c6=（2×6﹣3）•25=288＞277，故B不成立；在C中，当n=7时c7=（2×7﹣3）•26=704，成立；在D中，当n=8时，=1664，成立．故选：B．9．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线PA1与PA2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线PA1与PA2的斜率之和为定值B．直线PA1与PA2的斜率之和为定值2C．直线PA1与PA2的斜率之积为定值D．直线PA1与PA2的斜率之积为定值2【解答】解：设P（x0，y0），则，即，∵、，∴，为定值．故选：C．10．（5分）已知对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，则（）A．a的最小值为﹣3B．a的最小值为﹣4C．a的最大值为2D．a的最大值为4【解答】解：对于任意的x∈（1，+∞）恒成立，化为：a2+2a+2≤+x=f（x）的最小值．f′（x）=+1=，可得x=3时，函数f（x）取得极小值即最小值．f（3）=5．∴a2+2a+2≤5，化为：a2+2a﹣3≤0，即（a+3）（a﹣1）≤0，解得﹣3≤a≤1．因此a的最小值为﹣3．故选：A．11．（5分）已知复数z=x+（x﹣a）i，若对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵z=x+（x﹣a）i，且对任意实数x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，∴＞对任意实数x∈（1，2）恒成立．即2（x﹣a）+1＜0对任意实数x∈（1，2）恒成立．∴a＞x+（1＜x＜2）．∵x+∈（），∴a≥．∴实数a的取值范围为[）．故选：C．12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2【解答】解：∵，∴f′（x）＜，令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故答案为：四．14．（5分）若（x＞0），则1．【解答】解：由题意可知（x＞0），则a2da=a3=x3=x2，则x3=x2，（x＞0），解得：x=3，丨a﹣2丨da=（2﹣a）da+（a﹣2）da，=（2a﹣a2）+（a2﹣2a），=（4﹣2）﹣（2﹣）+（﹣6）﹣（2﹣4），=1，∴1，故答案为：1．15．（5分）已知[x]表示不大于x的最大整数，设函数f（x）=[log2x]，得到下列结论：结论1：当1＜x＜2时，f（x）=0；结论2：当2＜x＜4时，f（x）=1；结论3：当4＜x＜8时，f（x）=2；照此规律，得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=9．【解答】解：结论1：当1＜x＜2时，即20＜x＜21，f（x）=1﹣1=0；结论2：当2＜x＜4时，即21＜x＜22，f（x）=2﹣1=1；结论3：当4＜x＜8时，即22＜x＜23，f（x）=3﹣1=2，通过规律，不难得到结论10：当29＜x＜210时，f（x）=10﹣1=9，故答案为：当29＜x＜210时，f（x）=9．16．（5分）若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R）在上有2个零点，则a的取值范围是．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a，则f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，）递增，故f（x）极大值=f（﹣1）=7﹣a，f（x）极小值=f（1）=3﹣a，而f（﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．【解答】解：（1）f（x）=，当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=（﹣，3）；（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．18．（12分）已知复数z满足，|z|=5．（1）求复数z的虚部；（2）求复数的实部．【解答】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），∴=a﹣bi，∴，∴a=3．∴⇒b=±4，即复数z的虚部为±4．（2）当b=4时，==，其实部为．当b=﹣4时，==，其实部为．19．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣m＜f（x），∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．解①求得，解②求得，解③求得，因此不等式的解集为．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，即实数m的取值范围为（﹣1，2）．20．（12分）（1）当x＞1时，求证：；（2）若a＜e，用反证法证明：函数f（x）=xe x﹣ax2（x＞0）无零点．【解答】证明：（1）分析法：∵x＞1，∴要证，只需证2x4+1＞2x3+x，即证2x3（x﹣1）＞x﹣1，∵x＞1，∴只需证2x3＞1，∵x＞1，∴2x3＞2＞1，故得证．令，则，即，则，从而．（2）反证法：假设函数f（x）=xe x﹣ax2（x＞0）有零点，则f（x）=0在（0，+∞）上有解，即在（0，+∞）上有解．设（x＞0），（x＞0），当0＜x＜1时，g'（x）＜0；当x＞1时，g'（x）＞0．∴g（x）≥g（x）min=g（1）=e，∴a≥e，但这与条件a＜e矛盾，故假设不成立，即原命题得证．21．（12分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF•cos∠COF∴S△COF=•OC•OF•sin∠COF=cosθ∴S区域Ⅱ=（0＜θ＜）．由，得cosθ=，∵0＜θ＜，∴θ=．（2）∵S区域Ⅰ=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0．故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．22．（12分）已知f（x）=ln（1+x）﹣，x∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为5，求a的值；（2）若函数f（x）的最小值为﹣a，求a的值；（3）当x＞﹣1时，（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴f'（0）=1﹣a=5，∴a=﹣4．（2）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=，令f'（x）=0，则x=a﹣1，①当a﹣1≤﹣1，即a≤0时，在（﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，无最小值．②当a﹣1＞﹣1，即a＞0时，在（﹣1，a﹣1）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（a﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以函数f（x）的最小值为f（a﹣1）=lna﹣a+1=﹣a，解得．综上，若函数f（x）的最小值为﹣a，则．（3）由（1+x）ln（1+x）+（lnk﹣1）x+lnk＞0，得，+lnk＞0，即﹣lnk＜，令a=1，则f（x）=，由（1）可知，当a=1时，f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上，f （x）单调递增，所以在（﹣1，+∞）上，f（x）min=f（0）=0，所以﹣lnk＜0，即k＞1．。
2016-2017学年高一(下)期中数学试卷(解析版)14
高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列﹣1，4，﹣9，16，﹣25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．C．D．2．计算：cos25°sin55°﹣sin25°cos55°=（）A．B．C．D．3．如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＞b2=2a n+1（n∈N*），则a4的值为（）4．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1A．31 B．30 C．15 D．635．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC一定为（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形6．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．37．已知变量x，y满足约束条件，则4x+2y的取值范围是（）A．[0，10] B．[0，12] C．[2，10] D．[2，12]8．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（）A．500米B．600米C．700米D．800米9．若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6） D．（﹣6，﹣2）10．已知sin（α+）=，＜α＜π，则求sin（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣11．已知数列{a n}满足：•…=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3512．已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12（a＜0），且f（a2﹣4）=f（2a﹣8），则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．14．在△ABC，BC=3，AB=，则∠A=．15．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0，则cosβ=．16．已知△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，C=120°，a=2b，则tanA=．三、解答题17．（1）求值：（2）已知sinθ+2cosθ=0，求的值．18．已知等差数列{a n}满足a1=9，a3=5．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ，及使得S n 取最大值时n 的值．19．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且=2csinA（1）确定角C 的大小；（2）若c=，且△ABC 的面积为，求a +b 的值．20．已知函数f （x ）=sin （2x +）+sin （2x ﹣）+cos2x +a ．（其中a ∈R ，a 为常数）．（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）若x ∈[0，]时，f （x ）的最小值为﹣3，求a 的值．21．统计表明：某型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于速度x（千米/时）的函数解析式可表示为y=﹣x +8（0＜x ≤120），已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/时的速度行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22．若数列{A n }满足A n +1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=9，且a n +1=a+2a n ，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a n+1）}为等比数列．（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T n，即T n=（a1+1）（a2+1）…（a n+1），求lgT n．（Ⅲ）在（2）的条件下，记b n=，求数列{b n}的前n项和S n，并求使S n＞4030的n的最小值．高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列﹣1，4，﹣9，16，﹣25…的一个通项公式为（）A．a n=n2B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】设此数列为{a n}，其符号为（﹣1）n，绝对值为n2．即可得出．【解答】解：设此数列为{a n}，其符号为（﹣1）n，绝对值为n2．∴a n=（﹣1）n n2．故选：B．2．计算：cos25°sin55°﹣sin25°cos55°=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用两角差的正弦得答案．【解答】解：cos25°sin55°﹣sin25°cos55°=sin（55°﹣25°）=sin30．故选：D．3．如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．a﹣b＞0 B．ac＜bc C．D．a2＞b2【考点】72：不等式比较大小．【分析】利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴a2＞b2．故选：D．4．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*），则a4的值为（）A．31 B．30 C．15 D．63【考点】8H：数列递推式．【分析】a n+1=2a n+1（n∈N*），变形为a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），∴数列{a n+1}为等比数列，公比与首项都为2．∴a n+1=2×2n﹣1，可得a n=2n﹣1．∴a4=24﹣1=15．故选：C．5．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC一定为（）A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】把已知条件移项后，利用两角和的余弦函数公式化简得到cos（A+B）＞0，然后根据三角形的内角和定理及利用诱导公式即可得到cosC小于0，得到C为钝角，则三角形为钝角三角形．【解答】解：由sinA•sinB＜cosAcosB得cos（A+B）＞0，即cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）＜0，则角C为钝角．所以△ABC一定为钝角三角形．故选D6．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．7．已知变量x，y满足约束条件，则4x+2y的取值范围是（）A．[0，10] B．[0，12] C．[2，10] D．[2，12]【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】法1：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=4x+2y对应的直线进行平移，可得z=4x+2y的最大值为10、最小值为2，由此即可得到z=4x+2y的取值范围．法2：令4x+2y=μ（x+y）+λ（x﹣y），可求得μ、λ，从而可得4x+2y的取值范围．【解答】解：法1：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形及其内部，其中A（2，1），B（0，1），设z=F（x，y）=4x+2y，将直线l：z=4x+2y进行平移，可得2，1）=10，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，z最大值=F（0，1）=2当l经过点B时，目标函数z达到最小值，z最小值=F（因此，z=4x+2y的取值范围是[2，10]．法2：令4x+2y=μ（x+y）+λ（x﹣y），则，解得μ=3，λ=1，故4x+2y=3（x+y）+（x﹣y），又1≤x+y≤3，故3≤3（x+y）≤10，又﹣1≤x﹣y≤1，所以4x+2y∈[2，10]．故选C．8．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为（）A．500米B．600米C．700米D．800米【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】根据题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的长【解答】解：由题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°∴AB=700米故选：C．9．若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2，6]B．[﹣6，﹣2]C．（2，6） D．（﹣6，﹣2）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】依题意知，m2﹣4（2m﹣3）=m2﹣8m+12≤0，解之即可．【解答】解：对任意实数x∈R，不等式恒成立，则m2﹣4（2m﹣3）=m2﹣8m+12≤0，解得：2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2，6]．故选：A．10．已知sin（α+）=，＜α＜π，则求sin（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用已知条件求出cos（α+），由sin（﹣α）=sin（﹣﹣α）=sin[（﹣α）﹣]，运用两角差的正弦公式和诱导公式：﹣α，即可得到答案．【解答】解：由于＜α＜π，则＜α+＜，又sin（α+）=，则＜α+＜π，即有cos（α+）=﹣=﹣，则sin（﹣α）=sin（﹣﹣α）=sin[（﹣α）﹣]= [sin[（﹣α）﹣cos（﹣α）]= [cos（α+）﹣sin（α+）]=（﹣﹣）=﹣．故选：D．11．已知数列{a n}满足：•…=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35【考点】8H：数列递推式．【分析】利用作差法求出lna n=（3n+2），n≥2，进行求解即可．【解答】解：∵•…=（n∈N*），∴当n≥2时，•…==，两式作商得=÷=，则lna n=（3n+2），n≥2，则lna10=3×10+2=32，则a10=e32，故选：C12．已知函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12（a＜0），且f（a2﹣4）=f（2a﹣8），则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的对称轴，由题意可得a2﹣4=2a﹣8或a2﹣4+2a﹣8=2×（﹣），解得a的值，取负的，化简可得f（x）的解析式，即有f（n），代入由基本不等式，注意n为正整数，计算即可得到所求最小值．【解答】解：函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a﹣12（a＜0）的对称轴为x=﹣，由题意可得a2﹣4=2a﹣8或a2﹣4+2a﹣8=2×（﹣），解得a=1或a=﹣4，由a＜0，可得a=﹣4，f（x）=x2+4x，即有f（n）=n2+4n，则===（n+1）++2≥2+2=2+1，当且仅当n+1=即n=﹣1时取等号，但n为正整数，且﹣1∈（2，3），由n=2时，=；n=3时，=＜．故当n=3时原式取最小值．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（，），B（﹣，﹣1），C（2，﹣1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值=∴z最大值=F（，）故答案为：14．在△ABC，BC=3，AB=，则∠A=．【考点】HP：正弦定理．【分析】运用由正弦定理可得角A．【解答】解：∵BC=3，AB=，由正弦定理=，则有：，解得：sinA=．∵0＜A＜π．∴A=．故答案为：．15．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0，则cosβ=．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】通过α、β的范围，求出α﹣β的范围，然后求出sinα，sin（α﹣β）的值，即可求解cosβ．【解答】解：因为cosα=，cos（α﹣β）=，且0，∴α﹣β＞0所以sinα==，α﹣β∈（0，），sin（α﹣β）==，cosβ=cos[（α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==故答案为：．16．已知△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，C=120°，a=2b，则tanA=．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】利用正弦定理化简a=2b，利用三角形内角和定理结合和与差的公式即可得解．【解答】解：∵C=120°，a=2b，由正弦定理：sinA=2sinB即sinA=2sin（60°﹣A）得：sinA=2sin60°cosA﹣2cos60°sinA∴2sinA=cosA，则tanA=．故答案为：．三、解答题17．（1）求值：（2）已知sinθ+2cosθ=0，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简函数的表达式，求解即可．（2）求出正切函数值，化简求解即可．【解答】解：（1）===﹣1 …（2）由sinθ+2cosθ=0，得sinθ=﹣2cosθ，又cosθ≠0，则tanθ=﹣2，所以====…18．已知等差数列{a n}满足a1=9，a3=5．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n，及使得S n取最大值时n的值．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知列式求出公差，则等差数列的通项公式可求；（2）写出等差数列的前n项和，然后利用配方法求得S n的最大值及S n取最大值时n的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=9，a3=5，得，∴a n=9+（n﹣1）（﹣2）=11﹣2n；（2）=﹣（n﹣5）2+25．当n=5时取最大值25．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA （1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b 的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．20．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a．（其中a∈R，a为常数）．（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为﹣3，求a的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）利用两角和差的三角共公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性得出结论．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a=sin2x+cos2x+a=2sin（2x+）+a，故函数f（x）的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）若x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为2•（﹣）+a=﹣3，∴a=﹣2．21．统计表明：某型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于速度x（千米/时）的函数解析式可表示为y=﹣x+8（0＜x≤120），已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/时的速度行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）把用的时间求出，再乘以每小时的耗油量y即可．（2）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：（1）以速度40（千米/时）行驶时，每小时耗油量为升而从甲地到乙地要行驶小时，故从甲地到乙地共耗油4×2.5=10升．（2）设以x（千米/时）的速度从甲地到乙的耗油量为f（x）（单位：升），则f（x）=y•=+﹣1500≥2﹣15=5，即f（x）≥5，当且仅当，所以，当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为5升．=A n2，则称数列{A n}为“平方递推数列”．已知数列{a n} 22．若数列{A n}满足A n+1中，a1=9，且a n+1=a+2a n，其中n为正整数．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a n+1）}为等比数列．（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T n，即T n=（a1+1）（a2+1）…（a n+1），求lgT n．（Ⅲ）在（2）的条件下，记b n=，求数列{b n}的前n项和S n，并求使S n＞4030的n的最小值．【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式变形，可得，则数列{a n+1}是“平方递推数列”，两边取对数后可得数列{lg（a n+1）}为等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，然后利用对数的运算性质把T n转化为等比数列求解；（Ⅲ）化简b n=，分组求和后得到，再由S n＞4030求得n的最小值．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知，，即，则数列{a n+1}是“平方递推数列”，+1）=2lg（a n+1），对，两边取对数得lg（a n+1∴数列{lg（a n+1）}是以{lg（a1+1）}为首项，2为公比的等比数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴lgT n=lg（a1+1）（a2+1）…（a n+1）=lg（a1+1）+lg（a2+1）+…+lg（a n+1）=1+2+22+…+2n﹣1=；（Ⅲ）解：b n==，∴．又S n＞4030，即，得，又0，∴n min=2016．2017年6月23日。
吉黑两省八校联合体2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
吉黑两省八校联合体2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于复数，给出下列判断：①33i >；②()2164i >；③2i 1i +>+；④23i 2i +>+.其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下面四个推理中，属于演绎推理的是（ ）A ．观察下列各式：2749=,37343=,472401=,…，则20157的末两位数字为43. B ．观察()22'=x x ，()434'=x x ，()cos sin '=-x x ，可得偶函数的导函数为奇函数.C ．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积比为1:4.类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为1:8.D ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应.3．函数()()21e =-xf x x 的递增区间为（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 4．已知()222111123=+++L f n ()()22211111+++--n n n 222111321++++L （*N ∈n ），则当*N ∈k 时，()()1+-f k f k 等于（ ）A ．()211+kB ．21kC ．()22111+-k kD ．()22111++kk 5．已知复数z 满足()()51i 1i --=+z ，则复数z 的共轭复数为（ ）A ．5i +B ．5i -C ．5i -+D ．5i --6．如图所示，阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．23C ．1D ．767．若函数()32=++f x x x ()6++a x a 有极大值和极小值，则（ ）A ．173>-aB ．173≥-aC ．173<-aD ．173≤-a 8．观察数组：()1,1,1--，()1,2,2，()3,4,12，()5,8,40，…，(),,n n n a b c ，则n c 的值不可能为（ ）A ．112B ．278C ．704D ．16649．P 为椭圆222212+=x y b b（0>b ）上异于左右顶点1A 、2A 的任意一点，则直线1PA 与2PA 的斜率之积为定值12-.将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P 为双曲线222212-=x y b b（0b >）上异于左右顶点1A 、2A 的任意一点，则（ ）A ．直线1PA 与2PA 的斜率之和为定值12B ．直线1PA 与2PA 的斜率之和为定值2C ．直线1PA 与2PA 的斜率之积为定值12D ．直线1PA 与2PA 的斜率之积为定值210．已知222++≤a a x241+-x x 对于任意的()1,∈+∞x 恒成立，则（ ） A ．a 的最小值为3- B ．a 的最小值为4-C ．a 的最大值为2D ．a 的最大值为411．已知复数()i =+-z x x a ，若对任意实数()1,2∈x ，恒有i >+z z ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()'f x ()12'<x ，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．()()914-<f f ()11<+fB ．()()114+<f f ()91<-fC ．()()524+<f f ()11<-fD ．()()114-<f f ()52<+f第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数3i i 2-=+z 在复平面内对应的点位于第 象限． 14．若220=⎰x a da x （0>x ），则12-=⎰xa da ． 15．已知[]x 表示不大于x 的最大整数，设函数()[]2log =f x x ，得到下列结论：结论1：当12<<x 时，()0=f x ；结论2：当24<<x 时，()1=f x ；结论3：当48<<x 时，()2=f x ；照此规律，得到结论10： ．16．若函数()335=-+-f x x x a （R ∈a ）在33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上有2个零点，则a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知()2=+f x x 21--x ，M 为不等式()0>f x 的解集.（1）求M ；（2）求证：当x ，∈y M 时，15++<x y xy .18．已知复数z 满足6+=z z ，5=z .（1）求复数z 的虚部；（2）求复数1i-z 的实部. 19．已知函数()21=-f x x 23+-x ，R ∈x .（1）解不等式()5≤f x ；（2）若不等式()2-<m m f x ，R ∀∈x 都成立，求实数m 的取值范围.20．（1）当1>x 时，求证：22122+>+x x x 1>x ； （2）若e <a ，用反证法证明：函数()2e =-x f x x ax （0>x ）无零点.21．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作∥DE OA 、∥CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且=BD AC ，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km =OA ，2π∠=AOB ，θ∠=EOF （02πθ<<）. （1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？22．已知()()ln 1=+-f x x 1+ax x ，R ∈x . （1）若曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线的斜率为5，求a 的值；（2）若函数()f x 的最小值为-a ，求a 的值；（3）当1>-x 时，()()1ln 1++x x ()ln 1ln 0+-+>k x k 恒成立，求实数k 的取值范围.吉黑两省八校联合体2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:BDDDB 6-10:CCBCA 11、12：AA二、填空题13．四 14．1 15．当5121024<<x 时，()9=f x 16．{}31,738⎡⎫⎪⎢⎣⎭U 三、解答题17．解：（1）()3,2,131,2,213,2⎧⎪-<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩x x f x x x x x 当2<-x 时，由30->x 得，3>x ，舍去； 当122-≤≤x ，由310+>x 得，13>-x ，即1132-<≤x ； 当12>x 时，由30-+>x 得，3<x ，即132<<x ， 综上，1,33⎛⎫=- ⎪⎝⎭M .（2）Q x ，∈y M ，3∴<x ，3<y ， ∴++≤x y xy ++≤x y xy ++=x y xy ++⋅<x y x y 333315++⨯=.18．解：（1）设复数i =+z a b （a ，R ∈b ），i ∴=-za b ，26∴+==z z a ，3∴=a .5=4⇒=±b ，即复数z 的虚部为4±. （2）当4=b 时，34i 1i 1i +==--z ()()34i 1i 7i 122++-=17i 22=-+，其实部为12-. 当4=-b 时，34i 1i 1i -==--z ()()34i 1i 7i 22-+-=71i 22=-，其实部为72. 19．解：（1）原不等式等价于12445⎧<⎪⎨⎪-≤⎩x x 或132225⎧≤⎪⎨⎪≤⎩x 或32445⎧>⎪⎨⎪-≤⎩x x ， 得1142-≤<x 或1322≤≤x 或3924<≤x ，因此不等式的解集为19,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）()2123=-+-Q f x x x ()21232≥---=x x ，()2min2∴-<=⎡⎤⎣⎦m m f x 220⇒--<m m 12⇒-<<m . 20．证明：（1）分析法：1>Q x ，∴要证221122+>+x x x x ， 只需证43212+>+x x x ，即证()3211->-x x x ，1>Q x ，∴只需证321>x ，1>Q x ，3221∴>>x ，故221122+>+x x x x 得证.令=x，则22>12+>t t ，则12+x x >22122+>xx x 1+>x （2）反证法：假设函数()2e =-x f x x ax （0>x ）有零点，则()0=f x 在()0,+∞上有解，即e =x a x在()0,+∞上有解. 设()e =xg x x（0>x ），()()2e 1-'=x x g x x （0>x ），当01<<x 时，()0'<g x ； 当1>x 时，()0'>g x .()()min ∴≥g x g x ()1e ==g ，e ∴≥a ，但这与条件e <a 矛盾，故假设不成立，即原命题得证.21．解：（1）因为=BD AC ，=OB OA ，所以=OD OC .因为2π∠=AOB ，∥DE OA ，∥CF OB ，所以⊥DE OB ，⊥CF OA .又因为=OE OF ，所以Rt Rt ≌V V ODE OCF .所以∠=∠=DOE COF 122πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又cos =⋅∠OC OF COF 所以12=⋅⋅⋅V COF S OC OF 1sin cos 4θ∠=COF所以1cos 2θ=区域ⅡS （02πθ<<）. 由11cos 24θ=得1cos 2θ=，02πθ<<Q ，3πθ∴=. （2）因为12θ=区域ⅠS ，所以=--=区域Ⅲ总区域Ⅰ区域ⅡS S S S 11cos 422πθθ--. 记年总收入为y 万元， 则113040cos 22θθ=⨯+⨯y 12042πθ⎛+⨯- ⎝1cos 2θ⎫-⎪⎭5510cos πθθ=++（02πθ<<），所以()512sin θ'=-y ，令0'=y ，则6πθ=. 当06πθ<<时，0'>y ；当62ππθ<<时，0'<y . 故当6πθ=时，y 有最大值，即年总收入最大.22．解：（1）()()211+-'=+Q x af x x ，()015'∴=-=f a ，4∴=-a .（2）函数()f x 的定义域为()1,-+∞， ()()2111'=-++a f x x x ()211+-=+x a x ， 令()0'=f x ，则1=-x a ，①当11-≤-a ，即0≤a 时，在()1,-+∞上，()0'>f x ，函数()f x 单调递增，无最小值.②当11->-a ，即0>a 时，在()1,1--a 上，()0'<f x ，函数()f x 单调递减；在()1,-+∞a 上，()0'>f x ，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1ln -=-f a a a 1+=-a ，解得1=a e. 综上，若函数()f x 的最小值为-a ，则1=a e. （3）由()()1ln 1++x x ()ln 1ln 0+-+>k x k 得， ()ln 11+-+x x x ln 0+>k ，即ln -<k ()ln 11+-+x x x ， 令1=a ，则()=f x ()ln 11+-+x x x ， 由（1）可知，当1=a 时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上，()f x 单调递增，所以在()1,-+∞上，()()min 00==f x f ，所以ln 0-<k ，即1>k .。
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吉林、黑龙江两省八校联合体2016-2017学年高一下学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． =（）A． B．C．D．2．设向量=（1，2），=（m+1，﹣m），⊥，则实数m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．3．若角θ满足，则角θ是（）A．第一项限角或第二象限角B．第二象限角或第四象限角C．第一象限角或第三象限角D．第二象限角或第三象限角4．在四边形ABCD中，若，且|，则这个四边形是（）A．平行四边形 B．菱形C．矩形D．等腰梯形5．已知，sinα+cosα=，则（）A．﹣B． C．D．6．非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（﹣3），则与夹角的大小为（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（）A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米8．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B． C． D．9．已知函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0，），则下列关于函数g （x）=cos（2x﹣φ）的正确描述是（）A．g（x）在区间[﹣]上的最小值为﹣1．B．g（x）的图象可由函数f（x）向上平移2个单位，在向右平移个单位得到．C．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向左平移个单位得到．D．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向右平移个单位得到．10．若角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点（m，n），且，则2sinαcosα﹣cos2α等于（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．211．已知函数，若不等式f（x）≤m在上有解，则实数m的最小值为（）A．5 B．﹣5 C．11 D．﹣1112．（理）如图，直线l1：y=m（0＜m≤A）与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于B、C两点，直线l2：y=﹣m与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于D、E两点，设B（xB ，yB），D（x，yD），记S（m）=|xB﹣xD|，则S（m）的图象大致是（）A．B．C．D．13．（文）已知向量=（1，﹣1），=（1，1），=（cosα， sinα）（a∈R），实数m，n满足m+n=2，则（m﹣4）2+n2的最大值为（）A．4 B． C．32 D．36二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．已知α的终边过点（a，﹣2），若，则a= ．15．已知向量，满足||=1，||=2，|+|=2，•= ．16．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．17．（理）sin50°cos80°cos160°=．18．（文）给出命题：①函数是奇函数；②若α、β都是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；③函数在区间上的最小值是﹣2，最大值是；④直线是函数图象的一条对称轴．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）化简：；（2）已知，求的值．20．如图，F为线段BC的中点，CE=2EF，，设，，试用a，b表示，，．21．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一部分图象．（1）写出f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向右平移1个单位得到的g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．22．如图所示，某幼儿园有一个游乐场ABCD，其中AB=50米，BC=40米，由于幼儿园招生规模增大，需将该游乐场扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ（弧度），EF的长为y米．（1）求y关于θ的函数表达式；（2）求矩形区域EFGH的面积S的最大值．23．已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足=（﹣3，m+1），=（n，3），=（7，4），且，其中O为坐标原点．（1）求实数m，n的值；（2）设△AOC的重心为G，且=，求cos∠AOC的值．24．（理）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，，．（1）若，求x1的值；（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．25．（文）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在x∈（0，9π）内只能取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值4，当x=8π时，y有最小值﹣4．（1）求出此函数的解析式以及它的单调递增区间；（2）是否存在实数m，满足不等式？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．吉林、黑龙江两省八校联合体2016-2017学年高一下学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． =（）A． B．C．D．【考点】GN：诱导公式的作用．【分析】直接利用诱导公式求出三角函数值即可．【解答】解：由===．故选A．2．设向量=（1，2），=（m+1，﹣m），⊥，则实数m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由⊥，可得•=0．【解答】解：∵⊥，∴•=m+1+2（﹣m）=0，解得m=1．故选：B．3．若角θ满足，则角θ是（）A．第一项限角或第二象限角B．第二象限角或第四象限角C．第一象限角或第三象限角D．第二象限角或第三象限角【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】化简只有一个函数名，根据值的情况即可判断．【解答】解：由，可得：1+sin2θ=，即sin2θ=，∴π+2kπ＜2θ＜2π+2kπ，k∈Z．可得：，当k=0时，可得θ在第二象限．当k=1时，可得θ在第四象限．故选B．4．在四边形ABCD中，若，且|，则这个四边形是（）A．平行四边形 B．菱形C．矩形D．等腰梯形【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量的共线、等腰梯形的定义即可判断出结论．【解答】解：∵，且||=，∴DC∥AB，DC≠AB，AD=BC．则这个四边形是等腰梯形．故选：D．5．已知，sinα+cosα=，则（）A．﹣B． C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinα和cosα的值，可得要求式子的值．【解答】解：已知，sinα+cosα=，∴1+2sinα•cosα=，∴sinαcosα=﹣，∴sinα＞0，cosα＜0．再根据sin2α+cos2α=1，可得sinα=，cosα=﹣，∴==﹣，故选：D．6．非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（﹣3），则与夹角的大小为（）A．B．C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得与夹角的余弦值，可得与夹角．【解答】解：设与夹角的大小为θ，则θ∈[0，π]，∵||=||，且（﹣）⊥（﹣3），∴（﹣）•（﹣3）=﹣4•+3=3﹣4•cosθ+3=0，cosθ=，∴θ=，故选：C．7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（）A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米【考点】G7：弧长公式．【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=6，在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×6=3，可得：矢=6﹣3=3，由AD=AO•sin=6×=3，可得：弦=2AD=2×3=6，所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（6×3+32）=9+4.5≈20平方米．故选：C．8．如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B． C． D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知=+=+， =+=+，根据向量的共线定理=λ+（1﹣λ），列方程即可求得m和λ的值．【解答】解：由=+=+，=+=+，由E，F，G三点共线，则=λ+（1﹣λ），由，∴=，m=，解得：λ=，m=，∴实数m的值为，故选A．9．已知函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0，），则下列关于函数g （x）=cos（2x﹣φ）的正确描述是（）A．g（x）在区间[﹣]上的最小值为﹣1．B．g（x）的图象可由函数f（x）向上平移2个单位，在向右平移个单位得到．C．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向左平移个单位得到．D．g（x）的图象可由函数f（x）的图象先向右平移个单位得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=1+2cosxcos（x+3φ）是偶函数，其中φ∈（0，），∴3φ=π，φ=，∴f（x）=1+2cosxcos（x+π）=1﹣2cos2x=﹣cos2x=cos（π﹣2x）=cos （2x﹣π），∴函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣），故函数f（x）的图象先向左平移个单位得到y=cos[2（x+）﹣π]=cos（2x﹣）=g（x）的图象，故选：C．10．若角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点（m，n），且，则2sinαcosα﹣cos2α等于（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．2【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由已知及三角函数定义求出tanα的值小于0，再由α的范围，确定出sinα和cosα的值，然后代入计算即可得答案．【解答】解：由已知条件及三角函数定义，得到tanα=，又α∈[0，π），∴sinα=，cosα=﹣．∴2sinαcosα﹣cos2α==．故选：B．11．已知函数，若不等式f（x）≤m在上有解，则实数m的最小值为（）A．5 B．﹣5 C．11 D．﹣11【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m 的最小值．【解答】解：函数=4•+2sin2x+5=2sin2x﹣2cos2x+7=4（sin2x﹣cos2x）+7=4sin（2x﹣）+7，若不等式f（x）≤m在上有解，则2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，f（x）∈[5，11]，则实数m的最小值为5，故选：A．12．（理）如图，直线l1：y=m（0＜m≤A）与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于B、C两点，直线l2：y=﹣m与函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象相交于D、E两点，设B（xB ，yB），D（x，yD），记S（m）=|xB﹣xD|，则S（m）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【考点】3O ：函数的图象．【分析】根据三角函数既是轴对称图形，又是中心对称图形的特点分析四点的对称关系，得出结论．【解答】解：设B ，C 两点关于直线x=a 对称，D ，E 两点关于直线x=b 对称，f （x ）的最小正周期为T ，则b ﹣a=T ，∵f （x ）图象是中心对称图形，设f （x ）的对称中心为（c ，0）， 则x E =2c ﹣x B ，x D =2c ﹣x C ， ∴x E ﹣x D =x C ﹣x B ， ∵f （x ）是轴对称图形， ∴a ﹣x B =b ﹣x D ，∴|x B ﹣x D |=b ﹣a=T ， 故S （m ）是常数函数， 故选B ．13．（文）已知向量=（1，﹣1），=（1，1），=（cos α，sin α）（a ∈R ），实数m ，n满足m +n =2，则（m ﹣4）2+n 2的最大值为（ ）A ．4B ．C ．32D ．36【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的运算法则及两向量相等的公式可求出m，n；表示出（m﹣4）2+n2，据三角函数的有界性求出三角函数的最值．【解答】解：m+n=2，则m（1，﹣1）+n（1，1）=2（cosα， sinα），，则，由（m﹣4）2+n2=m2+n2﹣8m+16=2（cosα﹣sinα）2+2（cosα+sinα）﹣8（cosα﹣sinα）+16，=2（1﹣2sinαcosα）+2（1+2sinαcosα）+16sin（α﹣）+16，=16sin（α﹣）+20，由﹣1≤sin（α﹣）≤1，4≤16sin（α﹣）+20≤36，∴4≤（m﹣4）2+n2≤36，∴（m﹣4）2+n2的最大值36，故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）14．已知α的终边过点（a，﹣2），若，则a= ﹣6 ．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据定义和诱导公式即可求出．【解答】解：∵α的终边过点（a，﹣2），∴tanα=﹣，∵，∴tanα=，∴﹣=，解得a=﹣6，故答案为：﹣615．已知向量，满足||=1，||=2，|+|=2，•= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，由|+|2=||2+2•+||2=1+2•+8=12即可求得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，|+|=2，∴|+|2=||2+2•+||2=1+2•+8=12，∴•=，故答案为：．16．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用平面向量的坐标运算可求得=（﹣1，﹣2），=（2，2），继而可得向量在方向上的投影为：，计算可得．【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），∴=（﹣1，﹣2），=（2，2），∴向量在方向上的投影为： ==﹣．故答案为：．17．（理）sin50°cos80°cos160°=﹣．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦化简所给的式子，可得结果．【解答】解：s in50°cos80°cos160°=cos40°sin10°（﹣cos20°）=﹣sin10°cos20° cos40°=﹣=﹣=﹣，故答案为：．18．（文）给出命题：①函数是奇函数；②若α、β都是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；③函数在区间上的最小值是﹣2，最大值是；④直线是函数图象的一条对称轴．其中正确命题的序号是①④．（写出所有正确命题的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据诱导公式化简即可；②根据正切函数图象分析；③求出整体x+的范围，结合函数的图象得出最值；④根据对称轴过函数的最值点判断即可．【解答】解：①函数=sin x是奇函数，正确；②若α、β都是第一象限角且α＜β，由正切函数图象可知tanα＜tanβ错误，比如tan60°＞tan390°，故错误；③函数，x∈，则x+∈[﹣，]，故最小值是﹣，最大值是2，故错误；④直线代入函数=﹣，成立，故是图象的一条对称轴．故答案为①④．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）化简：；（2）已知，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）利用诱导公式化简求解即可．（2）通过“1”的代换，利用同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】解：（1）原式=．（2）因为所以．20．如图，F为线段BC的中点，CE=2EF，，设，，试用a，b表示，，．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形法则以及向量的数乘运算即可求出【解答】解：因为，，所以．因为，所以，所以．21．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的一部分图象．（1）写出f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向右平移1个单位得到的g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）通过函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出φ，从而可求f（x）的解析式；（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x）的解析式，利用正弦函数的性质即可得解g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由函数的图象可知：A=2，T=5﹣（﹣1）=6，ω==，由函数的图象经过（﹣1，0），∴0=2sin（φ﹣），∴φ=kπ+，k∈Z．∵0＜φ＜π，∴φ=．故f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x+）．（2）将f（x）的图象向右平移1个单位得到的g（x）的图象，可得g（x）=f（x﹣1）=2sin[（x﹣1）+]=2sin x，令2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得：6k﹣≤x≤6k+，k∈Z，故函数g（x）的单调递增区间为：[6k﹣，6k+]，k∈Z．22．如图所示，某幼儿园有一个游乐场ABCD，其中AB=50米，BC=40米，由于幼儿园招生规模增大，需将该游乐场扩大成矩形区域EFGH，要求A、B、C、D四个点分别在矩形EFGH的四条边（不含顶点）上．设∠BAE=θ（弧度），EF的长为y米．（1）求y关于θ的函数表达式；（2）求矩形区域EFGH的面积S的最大值．【考点】HU：解三角形的实际应用；HW：三角函数的最值．【分析】（1）由∠BAE=θ，，推出，∠CFB=θ．通过EF=EB+BF=50sinθ+40cosθ，得到y关于θ的函数表达式；（2）结合（1）求出S=2000+4100sinθcosθ=2000+2050sin2θ（），利用三角函数的最值求解即可．【解答】解：（1）由∠BAE=θ，，得，又，所以∠CFB=θ．由AB=50，BC=40，所以EF=EB+BF=50sinθ+40cosθ，即y=50sinθ+40cosθ（）．（2）由（1）可知，EF=50sinθ+40cosθ，GF=CF+CG=40sinθ+50cosθ，所以S=2000+4100sinθcosθ=2000+2050sin2θ（），当时，S取得最大值，且最大值为4050（平方米）．23．已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足=（﹣3，m+1），=（n，3），=（7，4），且，其中O为坐标原点．（1）求实数m，n的值；（2）设△AOC的重心为G，且=，求cos∠AOC的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）由题意，，，利用平面向量的坐标表示列出方程组，求出m、n；（2）由三角形重心的性质，结合平面向量的坐标运算，利用夹角公式即可求出答案．【解答】解：（1）因为三点A，B，C在一条直线上，所以，又，，所以n+3=（7﹣n）（2﹣m），①因为，所以﹣3n+3（m+1）=0，即n=m+1，②由①、②解得，或；（2）因为G为△OAC的重心，且，所以点B为线段AC的中点，所以m=1，n=2；所以，，因此．24．（理）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在单位圆上，∠xOA=α，，．（1）若，求x1的值；（2）过点A作x轴的垂线交单位圆于另一点C，过B作x轴的垂线，垂足为D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】（1）由三角函数的定义有，x=cosα，利用同角三角函数基本关系式可求1，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．（2）由图可知S=cosαsinα，，利用三角函数恒等变换的应1用化简可求f（α）=sin（2α﹣θ），其中，，，利用正弦函数的图象和性质即可求得最大值．【解答】（理）解：（1）由三角函数的定义有，x=cosα，1因为，所以，所以，即．=cosαsinα，，（2）由图可知S1所以，化简得==，其中，，．因为，所以，从而，由上可知，，所以，当时，．25．（文）函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在x∈（0，9π）内只能取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值4，当x=8π时，y有最小值﹣4．（1）求出此函数的解析式以及它的单调递增区间；（2）是否存在实数m，满足不等式？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】H5：正弦函数的单调性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由已知得到A和半周期，再由周期公式求得ω，代入已知点的坐标求得φ，则函数解析式可求，最后由复合函数的单调性求得单调递增区间；（2）由求得﹣1≤m≤4，得到和的范围，再由（1）中的单调性转化为关于m的不等式求解．【解答】解：（1）由当x=π时，y有最大值4，当x=8π时，y有最小值﹣4，可得A=4，由，得=7π，解得．把x=π，y=4代入，得（k∈Z），又，∴，从而函数的解析式为．令，得14kπ﹣6π≤x≤14kπ+π，∴该函数的单调增区间为[14kπ﹣6π，14kπ+π]（k∈Z）；（2）存在实数m∈（），满足不等式．由，得﹣1≤m≤4，∴，．由（1）知在上单调递增，∵，∴，得，∴，故存在实数m∈（），满足不等式．。