2018年秋九年级数学上册第22章相似形 22.3 相似三角形的性质第2课时相似三角形的应用

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天元区第一中学九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教案

22.2 相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教学目标【知识与技能】使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.【过程与方法】1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【情感、态度与价值观】通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.重点难点【重点】直角三角形相似定理的应用.【难点】了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.教学过程一、复习引入师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?学生回答:5种.师:哪5种?教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?生:作相似证全等或作全等证相似.师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?生:记得.师:请你叙述一下.学生回答.二、共同探究,获取新知1.推理证明.师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?教师多媒体课件出示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?学生思考、讨论后回答.师:我们知道了哪些条件?生甲:两个直角对应相等.生乙:两边对应成比例.师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?生:还有剩下的一边也是对应成比例的.师:为什么要这样添加呢?生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?学生思考.生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.学生证明并修改.证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.∵BC===k=kB'C',∴===k,∴△ABC∽△A'B'C'.师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.2.例题.教师多媒体课件出示:【例】如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?解:∵∠ABC=∠CDB=90°,当=时,△ABC∽△CDB.即=,BD=.又当=时,△ABC∽△BDC,即=,CD=.BD2=a2-()2,BD=.答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.三、练习新知师:请同学们看课本84页练习1后回答.生甲:△ABF和△ACE.生乙:△EDB和△FDC.师:下面请同学们完成第2题.证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),又∠ADC=∠CDB=90°,∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).(2)∴∠B=∠B(公共角),∠ACB=∠CDB,∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).∴∠A=∠A(公共角).∠ACB=∠ADC,∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).师:很好!现在请同学们看第3题.学生计算后回答,然后集体订正得到:解:(1)相似.证明如下:∵BC===6,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.(2)相似.证明如下:∵A'B'===15,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.四、巩固提高师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为( )A.3m【答案】B2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC 的长为( )A.2B.C.2D.4【答案】B3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是( )A.∠A=∠B'B.AC=BC,A'C'=B'C'C.AB=3BC,A'B'=3B'C'D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8【答案】D4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF= .【答案】第4题图第5题图5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM= 时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)【答案】或6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.五、课堂小结师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.教学反思教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)?(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.第2课时何时获得最大利润1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．重点会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值．难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式．一、情境导入前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．二、探究新知1．课件出示：服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为____________；(2)销售额可以表示为____________；(3)所获利润可以表示为____________；(4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____．分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]．解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x.(2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2.(3)所获利润可以表示为(70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000.(4)设总利润为y元，则y＝－5 000x2＋120 000x－700 000＝－5 000(x－12)2＋20 000∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20 000元．即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元．2．课件出示：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题．三、举例分析例 1 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x ＋60 000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝－5x2＋100x＋60 000＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000＝－5(x－10)2＋60 500当x＝10时，y最大＝60 500.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上．例2 已知一个矩形的周长是24 cm.(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；(2)画出这个函数的图象；(3)当a长多少时，S最大？解：(1)S＝a(12－a)＝－a2＋12a＝－(a2－12a＋36－36)＝－(a－6)2＋36.(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大＝36.四、练习巩固1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c ＝0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根； ③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是4ac －b24a；④当b ＝0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4 D ．163．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？六、课外作业1．教材第49页“随堂练习”．2．教材第50页习题2.9第1～3题．本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.二次函数与一元二次方程的关系教学目标【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系，进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习，小组合作，探索出二次函数与一元二次方程的关系，感受数学的严谨性，激发热爱数学的情感.教学重点①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.教学难点理解二次函数与一元二次方程的联系.教学过程一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答，教师点评二、思考探究，获取新知探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3，x2=-1，所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac＜0探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-6=0的较小的根是什么？学生回答：【教学点评】x1≈-1.7.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α，β，则α，β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1，β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1，x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；教学反思通过本节课的学习，让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了，这样对二次函数的综合应用就方便得多了，从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.11。

沪科版数学九年级上册第22章相似形(通用)(课件)

（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
B
C
HG
F
A
D
E
A
A
旋转
模型1
D
E
D
E
顶角相等且顶
点重合两个等
B
CB
C
腰三角形
“A”型类似 △ABD≌△ACE
手拉手模型----全等
口诀：“两等腰”共顶点； “左左”“右右”手拉手；借助全等易转换。
全等三角形
HE
G
F
B
C
【趁热打铁】
【变式一】如图，若△ADC与△BDG都为等腰直角三角形，连接AG、BC，相交于点H，问：（1）AG与CB是否相等？（2）AG与CB之间的夹角为多少度？C
HG O
A
D
B
【变式二】如图，两个正方形ABCD和
DEFG，连接AG与CE，二者相交于H。问：
（1）条件：△OAB，△OCD均为等
腰三角形，且∠AOB = ∠COD
结论：
导角核心:“8字型”
A
E
模型2
D C
B “A”型类似（二）
手拉手模型----类似三角形
口诀：类似三角共顶点； “长长”“短短”连一连；借助类似易转换。
一对对应角顶点重合的两个类似三角形
类似三角形
例2 ，求AD
B D
M
αα E
A
C
△ACB,△DCE为等腰三角形，∠ACB=∠DCE
△ACD ≌△BCE
“手拉手”——类似 E
Cα α
D
M
A
B
△ACB∽△DCE

九年级数学上册第22章相似形章末复习课件

∴△HBF∽△ECF
H
∴
BF
HB
AE .
CF EC EC
B
第二十页，共二十三页。
A
D E
C
F
5. 如图, 阳光(yángguāng)通过窗口照到室内, 在地上留下 2.7m 宽的亮区. 已知亮区一边到窗下墙脚距离CE为 8.7m, 窗口高AB 为
1.8m, 求窗口底边离地面的高度
BC 的值.
c d
, 那a么d_=_b__c(_b_,_d_≠_0_)_____.
:
（2）合比性质: 如果
a b
,d那c 么____a_b__b___c__d_d___b_,d. ≠0
第六页，共二十三页。
（3）等比性质(xìngzhì): 如果ab11
a2 b2
···= an bn
a1 a2 ···an =a1 那么___b_1___b_2___·· _·__b_n__. b1
第四页，共二十三页。
练习(liànxí)
下列各组线段的长度(chángdù)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ比例的是D ( )
A.2, 3, 4, 1
B.1.5, 2.5, 6.5, 4.5
C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4
第五页，共二十三页。
3.比例(bǐlì)的性质
（1）基本(jīběn)性质如果(rúabguǒ)
（单位: m）
A 1.8 B
E 2.7 D
C
8.7
第二十一页，共二十三页。
解 ∵太阳光可以(kěyǐ)看成平行的光线.
∴△ACE∽△BCD,
∴
AC EC . BC DC
又∵AC = BC +1.8, EC=8.7, DC=6.

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》(第1课时)教学设计

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第三节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行进一步的探究。

教材通过一系列的探究活动，让学生了解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

本节内容是整个相似三角形知识体系的重要组成部分，对于学生理解和掌握相似三角形的知识有着至关重要的作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于相似三角形的定义和性质已经有了一定的了解。

但是，学生对于相似三角形的性质的理解还比较肤浅，需要通过实际的操作和探究活动来加深理解。

同时，学生的探究能力和解决问题的能力还需要进一步的培养。

三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。

2.培养学生的探究能力和解决问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.相似三角形的性质的掌握和运用。

2.探究活动的设计和实施。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际问题来探究相似三角形的性质。

2.采用合作学习的教学方法，让学生在小组合作中共同解决问题，培养学生的合作能力。

3.采用探究式的教学方法，让学生通过实际操作和思考来得出相似三角形的性质，培养学生的探究能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料和道具，如三角板、直尺等。

2.设计好相关的探究活动。

3.准备好多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题来导入新课，例如：在同一平面内，有两个三角形，它们的对应边的比相等，对应角也相等，问这两个三角形是什么关系？2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板来呈现相似三角形的性质，让学生观察和思考，引导学生通过实际操作来验证这些性质。

3.操练（10分钟）教师让学生进行实际的操作，用三角板和直尺来构造相似三角形，并验证相似三角形的性质。

九年级数学上册第22章相似形22.3相似三角形的性质

B'C ' A 'B' A 'D ' A 'B '
第十五页，共二十八页。
相似三角形的性质
相
对应高的比 (duìyìng)
似对应中线的比
三
角对应角平分线的比
形
周长的比
都等于(děngyú)相似比.
面积的比等于(děngyú)相似比的平方
12/11/2021
第十六页，共二十八页。
例1：如图，在△ABC中，边BC=60cm，高AD=40cm
B
B ',
AB A 'B '
BC B 'C '
A D , A ' D '分别是 B C 、 B 'C '的高线
图18.3.9
A D B A 'D 'B '
又 B B'
A B D ∽ A 'B 'D '
结论：相似(xiānɡ sì) 三角形对应高的比
AD A 'D '
AB A 'B '
的倍. 10
4.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，（1）
它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是
.
（2）它们1的00面cm积、之4和0是cm58平方厘米，这两个三角形的面积
分别是
.
12/11/2021
50cm2、8cm2
第二十二页，共二十八页。
5.已知两个等边三角形的边长之比为2 ：3，且它们(tā men)的面积之和为26cm2，则较小的等边三
A B D ∽ A 'B 'D '

2018年秋九年级数学上册第22章相似形 22.2 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理

22.2 第3课时相似三角形判定定理2知|识|目|标1．通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理2，并能应用其解决三角形的相似问题．2．通过对相似三角形判定定理1，2的比较与分析，能根据已知条件选择合适的方法判定三角形相似．目标一利用相似三角形判定定理2判定三角形相似例1 ［教材补充例题］如图22－2－12，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且AD AB＝AE AC ＝12，即△ADE 和△ABC 有两组对应边成比例．又因为∠DAE 和∠BAC 不仅是公共角，而且是这两组对应边的夹角，根据相似三角形判定定理2可知________∽________，故DE 与BC 的比值为________；若DE ＝6，则BC ＝________．图22－2－12例2 如图22－2－13，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP .图22－2－13【归纳总结】运用定理2判定三角形相似的方法：首先找出这两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若两组对应边成比例，则这两个三角形相似，否则不相似．目标二综合应用相似三角形判定定理1，2判定三角形相似例3 ［教材补充例题］如图22－2－14，△ABC 的边AC ，AB 上的高BD ，CE 相交于点O ，连接DE .(1)图中相似的非直角三角形有几对？请将它们写出来； (2)选择其中一对证明，写出证明过程．图22－2－14【归纳总结】判定三角形相似的方法：当两个三角形中存在一对角相等时，要充分挖掘隐含条件寻找另一对角相等．当证明另一对角相等有困难时，应考虑证明夹这对等角的两边对应成比例．知识点相似三角形判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应________，并且__________，那么这两个三角形相似(可简单说成：________________________的两个三角形相似)．数学表达式：在△ABC 与△A′B′C′中，∵AB A′B′＝ACA′C′＝k ，且∠A ＝∠A′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.[点拨] 运用该定理证明三角形相似时，一定要注意边角的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于全等三角形判定方法中的SAS.如图22－2－15，在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，点E 在AB 边上且AE ＝3，点F 是线段AC 上的动点，连接EF.若△AEF 与△ABC 相似，则AF ＝________．图22－2－15小林同学的解答如下：若△AEF∽△ABC，则AE AB ＝AFAC ，即39＝AF6，解得AF ＝2.故答案为2. 你认为以上解题过程正确吗？若不正确，请给出正确过程．教师详解详析【目标突破】例1 △ADE △ABC 1212例2 [解析] 在△ADQ 和△QCP 中，已知∠ADQ＝∠QCP 相等，但两个锐角的度数无法确定，故相似三角形的判定定理1无法使用．根据正方形的定义和已知条件可得这两个直角三角形的直角边对应成比例，故可用相似三角形判定定理2推出结论．证明：∵四边形ABCD 是正方形，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴QC ＝DQ ＝12AD ，CP ＝14AD ，∴AD QC ＝DQCP＝2. 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP.例3 [解析] (1)先证明直角三角形相似，然后利用直角三角形相似得到对应边成比例，再得出非直角三角形相似；(2)可选择证明△EOD∽△BOC，证明思路：先证明Rt △BEO ∽Rt △CDO ，得到OE OD ＝OBOC ，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明．解：(1)2对，△EOD ∽△BOC ，△ADE ∽△ABC.(2)(答案不唯一)选择证明△EOD∽△BOC 如下：∵∠BEO＝∠CDO＝90°， ∠BOE ＝∠COD，∴Rt △BEO ∽Rt △CDO ，∴OE OD ＝OB OC ，即OE OB ＝OD OC. 又∵∠DOE＝∠COB， ∴△EOD ∽△BOC.【总结反思】类比全等三角形与相似三角形的判定方法：[小结] 知识点成比例夹角相等两边成比例且夹角相等[反思] 不正确．根据题意，要使△AEF 与△ABC 相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC 时，AF ＝2；当△AEF∽△ACB 时，AE AC ＝AFAB ，即36＝AF9，解得AF ＝4.5.故答案为2或4.5.。

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计1

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计1一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和判定方法的基础上进行授课的。

本节课的主要内容有：相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

这些性质是解决一些几何问题的重要工具，也是初中数学中的重要知识点。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的概念和判定方法已经有了一定的了解。

但是，对于相似三角形的性质的理解和应用还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现相似三角形的性质，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

2.能够运用相似三角形的性质解决一些几何问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。

四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

2.教学难点：相似三角形的性质的灵活运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现相似三角形的性质。

2.运用多媒体辅助教学，展示相似三角形的性质的证明过程，帮助学生直观地理解相似三角形的性质。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.相似三角形的性质的PPT课件。

3.相似三角形的性质的习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的概念和判定方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件展示相似三角形的性质，让学生直观地感受相似三角形的性质。

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计3

沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计3一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章的教学内容，本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行进一步的探讨。

通过本节课的学习，使学生了解相似三角形的判定方法，能够运用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的定义和性质有一定的了解。

但是，学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，往往会因为对性质的理解不深而出现错误。

因此，在教学过程中，需要引导学生深入理解相似三角形的性质，并通过大量的练习来提高学生运用性质解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的性质，能够运用相似三角形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的探究能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质。

2.难点：运用相似三角形的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的性质，并通过示例来帮助学生理解和掌握性质。

3.操练（15分钟）让学生通过解决实际问题，运用相似三角形的性质。

在此过程中，教师巡回指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成，检验学生对相似三角形性质的掌握情况。

5.拓展（5分钟）引导学生运用相似三角形的性质解决更复杂的问题，提高学生的解决问题能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调相似三角形性质的重要性，激发学生学习数学的兴趣。

2022九年级数学上册第22章相似形22.2 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1

5 即3 2
AC 3
AC
，∴AC＝
5 2
.
BA
12．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿 AB边向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s 的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，以P，Q，B 为顶点的三角形与△ABC相似？
9、人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定。2022/5/62022/5/6Friday, May 06, 2022
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022/5/62022/5/62022/5/65/6/2022 9:04:01 AM
11、人总是珍惜为得到。2022/5/62022/5/62022/5/6M ay-226-May-22
解：△BCD∽△BAC.理由如下：∵BD＝ 4 ，AB
4
3
＝3，BC＝2，∴ B D 3 2 ， B C 2 ，
BC 2 3 B A 3
∴ B D B C . ∵∠DBC＝∠CBA， BC BA
∴△BCD∽△BAC.
(2)若CD＝
5 3
，求AC的长．
解：∵△BCD∽△BAC，∴ C D B C ，
BC BA
16
8
过2秒或0.8秒时，以P，Q，B为顶点的三角形与△ABC相似．
1.利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似时，易找错对应边而判断错误． 2.考虑问题不周全而出错．例如：在△ABC中，AB＝9，AC＝6.点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．求当AN的长为多少时，△AMN与原三角形相似．解决此问题应分类讨论： ①△AMN∽△ABC；②△AMN∽△ACB.
6．△ABC如图，那么以下四个三角形中，与△ABC相似的是( C)

武隆县六中九年级数学上册第22章相似形 22.3 第1课时相似三角形性质定理1及其应用同步练习

22.3 相似三角形的性质第1课时相似三角形性质定理1及其应用1.如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ．（1）求证：;AM HG AD BC=（2）求这个矩形EFGH 的周长．2. 如图，已知△ABC 的面积是12，BC =6，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次做了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，……KHIJ ，则每个小正方形的边长为（）A.1211 B. 1223n - C. 125 D. 1223n +3.如图，矩形ABCD 为台球桌面．AD = 260cm ， AB =130cm ，球目前在E 点位置，AE =60cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长． ABC J K N GD EF M H I …… B E D F H M GCA实际问题中二次函数的最值问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增加对数学的理解和学好数学的信心. 自学重点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.自学难点二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入，初步认识问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3①x=______时，y有最 ______ 值，其值为_________；②当-1≤x≤4时，y最小值为_______，y最大值为_____ .答案:①1，小，-4；②-4，5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知自学点1 最大面积问题阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.1.若设窗框的宽为xm，则窗框的高为 _____ m，x的取值范围是_______ .2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1.832x-0<x<832.S=-32x2+4x，0<x<833.Smax=83m2.例1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x，那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-21222aa-=⨯时，y最小值=2×（12a）2-2a×12a+a2=12a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.自学点2 最大利润问题例2 预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？【分析】找出进价，售价，销售，总利润之间的关系，建立二次函数，再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.解:设降价x元，总利润为y元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点C是线段AB上的一个支点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A.当C是AB的中点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大C.当C为AB的三点分点时，S最小D.当C是AB的三等分点时，S最大第1题图第2题图2.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料，①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A2.35 cm，435cm23.解：①45+26024010-×7.5=60（吨）.②y=(x-100)(45+26010x-×7.5).化简，得y=-34x2+315x-24 000.③y=-34x2+315x-24 000=-34(x-210)2+9 075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为，小静说得不对.理由:当月利润最大时，x为210元，每月销售额W=x(45+26010x×7.5=-34 (x-160)2+19200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.，销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、预习小结这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围，并能求出实际问题的最值.24．3 正多边形和圆了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节的内容．重点讲清正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．难点通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、复习引入请同学们口答下面两个问题．1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正三角形、正五边形就不是中心对称图形．二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，以点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF ，连接AD ，CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么B ，C ，D ，E ，F 肯定都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形．∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ，∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝AF ︵，又∴∠A＝12BCF ︵的度数＝12(BC ︵＋CD ︵＋DE ︵＋EF ︵)的度数＝2BC ︵的度数，∠B ＝12CDA ︵的度数＝12(CD ︵＋DE ︵＋EF ︵＋FA ︵)的度数＝2CD ︵的度数， ∴∠A ＝∠B，同理可证：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A，又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例 1 已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，求正六边形的周长和面积．分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM⊥AB 垂足为M ，在Rt △AOM 中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于360°6＝60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt △OAM 中，OA ＝a ，AM ＝12AB ＝12a 利用勾股定理，可得边心距OM ＝a 2－(12a)2＝123a ∴所求正六边形的面积＝6×12×AB×OM＝6×12×a×32a ＝323a 2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2 利用你手中的工具画一个边长为3 cm 的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB＝360°5＝72°，如图，∠AOM ＝36°，OA ＝12AB÷sin 36°＝1.5÷sin 36°≈2.55(cm )画法：(1)以O为圆心，OA＝2.55 cm为半径画圆；(2)在⊙O上顺次截取边长为3 cm的AB，BC，CD，DE，EA.(3)分别连接AB，BC，CD，DE，EA.则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图．三、巩固练习教材第108页习题1，2，3四、课堂小结(学生小结，老师点评)本节课应掌握：1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的关系．3．画正多边形的方法．4．运用以上的知识解决实际问题．五、作业布置教材第108－109页习题4，6，8.。

HK沪科版初三九年级数学上册第一学期秋(教学设计教案)第22章相似形(全章分课时含反思)

第22章相似形 22．1 比例线段第1课时相似图形1．了解相似图形和相似比的概念；2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；(重点)3．掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算．(难点)一、情境导入观察以下三组图形：每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？二、合作探究探究点一：相似图形如下图所示的四组图形，相似的有()A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：由相似图形的概念可知，只有(1)(3)(4)形状相同．①形状相同是指一模一样，没有一点不同之处，(2)中的图形虽然都是圆柱，但是形状不相同，所以不是相似图形；②只要形状相同，即使位置不同，也应看成是相似图形，如(4)组就是这样．故选C.易错提醒：看图形是否相似，要紧扣定义“形状相同，大小可以不同”，但大小相同也是相似的一种情形．探究点二：相似多边形与相似比【类型一】相似多边形下列图形都相似吗？为什么？(1)所有正方形；(2)所有矩形；(3)所有菱形；(4)所有等边三角形；(5)所有等腰梯形；(6)所有等腰三角形；(7)所有等腰直角三角形；(8)所有正五边形．解：(1)相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的四条边长都相等，所以对应边长度的比相等；(2)不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边长度的比不一定相等，如图①；(3)不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边长度的比相等，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；(4)相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边长度的比相等，并且对应角都等于60°；(5)不一定，如图③，对应边长度的比不相等，对应角不相等；(6)不一定，如图④，对应边长度的比不相等，对应角不相等； (7)相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1∶1∶2，所以对应边长度的比相等； (8)相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边长度的比相等．方法总结：相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边长度的比相等．【类型二】相似比已知四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH 和四边形ABCD 的相似比．解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，且∠A ＝∠E ＝80°，∠B ＝∠F ＝75°， ∴AB 与EF 是对应边． ∵EF AB ＝68＝34， ∴四边形EFGH 与四边形ABCD 的相似比为34.方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法．三、板书设计相似图形⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧相似图形：形状相同的两个图形相似多边形⎩⎪⎨⎪⎧相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形相似比：相似多边形对应边长度的比性质：相似多边形的对应角相等，对应边长度的比相等判定：各角分别相等，对应边长度的比相等，二者缺一不可在探索相似多边形特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质．在解决问题过程中体会学习数学的乐趣．第2课时比例线段1．知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；(重点) 2．理解成比例线段的概念；(重点) 3．掌握成比例线段的判定方法．(难点)一、情境导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．二、合作探究探究点一：线段的比【类型一】根据线段的比求长度如图所示，已知M 为线段AB 上一点，AM ∶MB ＝3∶5，且AB ＝16cm ，求线段AM 、BM 的长度．解：线段AM 与MB 的比反映了这两条线段在全线段AB 中所占的份数，由AM ∶MB ＝3∶5可知AM ＝38AB ，MB ＝58AB .∵AB ＝16cm ，∴AM ＝38×16＝6(cm)，MB ＝58×16＝10(cm)．方法总结：本题也可设AM ＝3k ，MB ＝5k ，利用3k ＋5k ＝16求解更简便，这也是解这类题常用的方法．【类型二】比例尺在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是________m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解．设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1∶50 000＝3∶x ，解得x ＝150 000cm ＝1500m.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化．探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是( ) A ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm B ．4cm ，8cm ，3cm ，5cm C ．5cm ，15cm ，2cm ，6cm D ．8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例．四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等作出判断；(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断．【类型二】由线段成比例求线段的长已知三条线段的长分别为1cm，2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式．解：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论．设要求的线段长为x，若x∶1＝2∶2，则x＝22；若1∶x＝2∶2，则x＝2；若1∶2＝x∶2，则x＝2；若1∶2＝2∶x，则x＝2 2.所以所添加的数有三种可能，可以是22，2，或2 2.方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积．三、板书设计比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n或写成ABCD＝mn成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括．在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识．并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力．第3课时比例的性质与黄金分割1．掌握比例的基本性质、合比性质与等比性质；(重点)2．会运用比例的性质进行简单的比例变形，并解决有关问题；(难点) 3．了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值．(难点)一、情境导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.二、合作探究探究点一：比例的性质【类型一】比例的基本性质已知a ＋3b 2b ＝72，求a b 的值．解：解法一：由比例的基本性质，得2(a ＋3b )＝7×2b . ∴a ＝4b ，∴ab＝4.解法二：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3bb ＝7，∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴ab＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法．【类型二】合比性质如图，已知AB DB ＝ACEC.求证：(1)AD DB ＝AE EC ；(2)AB AC ＝ADAE.解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立．证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ，∴AB －DB DB ＝AC －EC EC ，即AD DB ＝AEEC；(2)∵AD DB ＝AE EC ，∴DB AD ＝EC AE .∴DB ＋AD AD ＝EC ＋AE AE (合比性质)．∴AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝ADAE .方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键．【类型三】等比性质已知正数a 、b 、c ，且a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则下列四个点中，在正比例函数y ＝kx 图象上的点是( )A ．(1，12) B ．(1，2)C ．(1，－12) D ．(1，－1)解析：求出k 的值是关键．∵a 、b 、c 为正数，∴a ＋b ＋c ≠0.由等比性质，得a ＋b ＋c2（a ＋b ＋c ）＝k ，即k ＝12，∴y ＝12x .当x ＝1时，y ＝12×1＝12，∴点(1，12)在正比例函数y ＝kx 的图象上．故选A.方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点．探究点二：黄金分割【类型一】利用黄金分割进行计算如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，BC ＝mAB ，求m 的值．解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC AB ＝BCAC ＝5－12.又∵BC ＝mAB ，∴AC ＝(1－m )AB ，∴（1－m ）AB AB ＝5－12，即1－m ＝5－12，∴m ＝3－52.方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC ，BC ，AB 之间的表达式，再利用BC ＝mAB 变形，求出m 的值．【类型二】黄金分割的实际应用如图所示，乐器上有一根弦AB ，两个端点A 、B 固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，若DC 的长度为d ，试求这根弦AB 的长度．解：根据黄金分割的定义，可知AC AB ＝BDAB ＝5－12，∴AC ＝BD ＝5－12AB ，∴AD ＝AB －BD ＝AB －5－12AB .∴CD ＝AC －AD ＝5－12AB －(AB －5－12AB )＝(5－2)AB ＝d . ∴AB ＝15－2d ＝(5＋2)d .三、板书设计比例的性质与黄金分割⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧比例的性质⎩⎪⎨⎪⎧基本性质合比性质等比性质黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段∶原线段＝5－12∶1经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣．第4课时平行线分线段成比例及其推论1．了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；(重点)2．会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题．(难点)一、情境导入梯子是我们生活中常见的工具．如图是一个梯子的简图，经测量，AB＝BC，AD∥BE∥CF…，那么DE和EF相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝72，EF＝4，求BC的长．解：∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝3，DE＝72，EF＝4，∴根据平行线分线段成比例可得ABBC＝DEEF，即BC＝EFDE·AB＝472×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长．探究点二：平行线分线段成比例基本事实的推论如图所示，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于()A ．3B ．4C ．6D ．8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D.易错提醒：在由平行线推出成比例的线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上．探究点三：运用平行线分线段成比例基本事实作图如图，已知线段AB ，求作线段AB 的四等分点．解析：这里的四等分点的作法，不是用刻度尺去量取，而是采用尺规作图的方法，所以可考虑平行线等分线段定理去作图．解：作法：(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上顺次截取AA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝任意长；(3)连接A 4B ；(4)过点A 1、A 2、A 3分别作A 4B 的平行线，交AB 于点B 1、B 2、B 3，点B 1、B 2、B 3即为所求的四等分点．三、板书设计平行线分线段成比例及其推论⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析和概括能力，了解特殊与一般的辩证关系．再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能力．在探索过程中，体验探索结论的方法和过程，发展学生的推理能力和有条理的说理表达能力．22．2相似三角形的判定第1课时平行线与相似三角形1．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；(重点)2．会用“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似”进行计算和简单地证明．(难点)一、情境导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：相似三角形【类型一】利用定义判定相似三角形△ABC与△DEF的各角度数和边长如图所示，则△ABC与△DEF能否相似？说明理由．解：因为∠A＝70°，∠B＝60°，所以∠C＝50°.因为∠F＝60°，∠E＝50°，所以∠D＝70°.所以∠A＝∠D，∠B＝∠F，∠C＝∠E.又因为ABDF＝32，BCEF＝32，ACDE＝3.62.4＝32，所以ABDF＝BCEF＝ACDE.所以△ABC∽△DFE.方法总结：判断两个三角形相似，一定要具备两个条件：一是对应角相等，二是对应边成比例．另外在书写两个三角形相似时，一定要将对应的顶点写在对应的位置上．【类型二】相似三角形的性质如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE ＝50cm ，EC ＝30cm ，BC ＝58cm ，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长．解：(1)∵△ABC ∽△ADE ， ∴∠AED ＝∠ACB ＝40°. 在△ADE 中，∠ADE ＝180°－40°－45°＝95°；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴AE AC ＝DE BC ，即5050＋30＝DE 58.∴DE ＝50×5850＋30＝36.25(cm)．方法总结：当题目中有相似三角形(或能证明出相似三角形)时，首先考虑用相似三角形的性质，由性质既能得到相等的角，又能得到成比例的线段．探究点二：平行线与相似三角形如图，已知在ABCD 中，E 为AB 延长线上一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F .请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△BEF ∽△CDF ，△BEF ∽△AED ， ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED .故当△BEF ∽△CDF 时，相似比为BE ∶CD ＝BE ∶AB ＝1∶3；当△BEF ∽△AED 时，相似比为BE ∶AE ＝1∶4；当△CDF ∽△AED 时，相似比为CD ∶AE ＝3∶4.已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB 高为2m ，B 点距地面高为1.2m ，求下檐光线的落地点N 与窗户的距离NC .解：∵AM ∥BN ，∴△NBC ∽△MAC ，∴BC AC ＝NC MC ，即1.23.2＝NC 2.5，∴NC ＝1516m.三、板书设计平行线与相似三角形⎩⎪⎨⎪⎧相似三角形的定义：三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形结论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力．第2课时相似三角形的判定定理11．能正确地理解相似三角形的判定定理1；(重点) 2．能熟练地运用相似三角形的判定定理1.(难点)一、情境导入根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？二、合作探究探究点一：相似三角形的判定定理1在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝80°，∠B ＝70°，∠C ′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由．解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.故△ABC∽△A′B′C′(两角分别相等的两个三角形相似)．方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角(或等角)的余角”等隐含条件．探究点二：相似三角形的判定定理1的应用【类型一】由三角形相似计算对应边的长如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．解：解法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB＝DEBC，即44＋8＝5BC，所以BC＝15cm.又因为DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形，即FC＝DE＝5cm，所以BF＝BC－FC＝15－5＝10(cm)．解法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B.又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF，所以△ADE∽△DBF，所以ADDB＝DEBF，即48＝5BF，所以BF＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到．【类型二】由相似三角形确定对应边的比例关系已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：AFBF＝EFFD.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴AFBF＝EFFD.方法总结：要证明AF BF ＝EFFD ，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE 与△BFD 是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论．三、板书设计相似三角形的判定定理1⎩⎪⎨⎪⎧判定定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似判定定理1的应用在探索活动中，要增强学生发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯．进一步培养学生合情推理能力和初步逻辑推理意识．第3课时相似三角形的判定定理21．掌握相似三角形的判定定理2；(重点)2．能熟练地运用相似三角形的判定定理2.(难点)一、情境导入画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A ＝∠A ′，AB A ′B ′和AC A ′C ′都等于给定的值k .设法比较∠B 与∠B ′的大小(或∠C 与∠C ′的大小)，判断△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？二、合作探究探究点一：相似三角形的判定定理2如图，已知点D 是△ABC 的边AC 上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC ∽△BDC 的是( )A ．AB ·CD ＝BD ·BC B ．AC ·CB ＝CA ·CD C ．BC 2＝AC ·DC D ．BD 2＝CD ·DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似．本题中，∠C 是△ABC 和△BDC 的公共角，关键是找出∠C 的两边对应成比例，即CD CB ＝CBAC或BC 2＝AC ·DC .故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断．探究点二：相似三角形的判定定理2的应用如图所示，零件的外径为a ，要求它的厚度x ，需求出内孔的直径AB ，但不能直接量出AB ，现用一个交叉长钳(两条尺长AC 和BD 相等)去量，若OA ∶OC ＝OB ∶OD ＝n ，且量得CD ＝b ，求厚度x .解：因为OA ∶OC ＝OB ∶OD ，∠AOB ＝∠COD ，所以△AOB ∽△COD ，故AB CD ＝OAOC ＝n ，可得AB ＝bn ，所以x ＝a －bn2.方法总结：欲求厚度x ，根据题意较易推出△AOB ∽△COD ，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于x 的比例式，解之即可．如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，求点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．如果点P ，Q 同时出发，经过多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似． (1)当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC .此时8－t 8＝2t 16，解得t ＝4.即经过4s 后△PBQ 与△ABC 相似； (2)当BP BC ＝BQBA时，△PBQ ∽△CBA . 此时8－t 16＝2t 8，解得t ＝1.6.即经过1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似．综上所述可知，点P ，Q 同时出发，经过1.6s 或4s 后△PBQ 与△ABC 相似．易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ ∽△CBA 的情况．要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例，且夹角相等列方程求解，同时要注意分类讨论．三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力．感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定方法(SAS )的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．第4课时相似三角形的判定定理31．掌握相似三角形的判定定理3；(重点)2．能熟练地运用相似三角形的判定定理3.(难点)一、情境导入如图，如果要判定△ABC 与△A ′B ′C ′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的方法(SSS )，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】利用三边长来判定三角形相似如图所示，在△ABC 中，点D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD ＝3，AE ＝6，DE ＝5，BD ＝15，CE ＝3，BC ＝15.根据以上条件，你认为∠B ＝∠AED 吗？并说明理由．解：∠B ＝∠AED . 理由：由题意得AB ＝AD ＋BD ＝3＋15＝18， AC ＝AE ＋CE ＝6＋3＝9，AC AD ＝93＝3，AB AE ＝186＝3，CB DE ＝155＝3，所以AC AD ＝AB AE ＝CBDE，故△ABC ∽△AED ，所以∠B ＝∠AED .方法总结：要说明∠B ＝∠AED ，只需要得到△ABC ∽△AED ，根据三边对应成比例的两个三角形相似可证得△ABC ∽△AED .【类型二】网格中相似三角形的判定如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是哪一个图形？解：由甲图可知AC ＝12＋12＝2，BC ＝2，AB ＝12＋33＝10. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2， ∴图②中的三角形与△ABC 相似．方法总结：(1)各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否对应成比例来判断两个三角形是否相似；(2)判定三边是否对应成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似从学生已掌握的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力．感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定方法(SSS )的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识．第5课时判定两个直角三角形相似1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用；(重点) 2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解； 3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力；(难点) 4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．一、情境导入1．到目前为止我们总共学过几种判定两个三角形相似的方法？答：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似．2．判定两个直角三角形相似有几种方法？答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例．还有没有其他的方法证明直角三角形相似？二、合作探究探究点一：判定两个直角三角形相似【类型一】判定两个直角三角形相似的特殊方法如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，AC ＝5.在Rt △A ′B ′C ′中，∠A ′C ′B ′＝90°，A ′C ′＝6，A ′B ′＝10.求证：△ABC ∽△B ′C ′A ′.解析：先求两直角三角形的斜边AC 和A ′B ′的比，再求两直角边BC 和A ′C ′的比．证明：在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝52－42＝3，∴BC A ′C ′＝36＝12.∵AC A ′B ′＝510＝12，∴BC A ′C ′＝AC A ′B ′.又∵∠ABC ＝∠A ′C ′B ′＝90°，∴Rt △ABC ∽Rt △B ′C ′A ′.【类型二】网格图中的直角三角形相似如图，下列四个三角形中，与△ABC 相似的是 ()解析：根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC 各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．设网格的边长是1，则AB ＝12＋12＝2，BC ＝12＋32＝10，AC ＝22＋22＝22，∴AB ∶AC ∶BC ＝2∶22∶10＝1∶2∶5，∴△ABC 是直角三角形．∵选项A 、D 中的三角形不是直角三角形，∴排除A 、D 选项；∵AB ∶BC ＝1∶2，B 选项中的三角形的两直角边的边长比为1∶2，C 选项中的三角形的两直角边的边长比为3∶2，∴选项B 正确．方法总结：以网格图考查的题目，要应用勾股定理分别求出各图形的三角形的三边之比，这是解题的关键．探究点二：直角三角形相似的计算如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16cm ，AC ＝12cm ，点P 从B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向C 移动，点Q 从C 出发，以1cm/s 的速度向A 移动，若P 、Q 分别从B 、C。

华东师范版数学九年级上册目录

华东师范版九年级数学上册目录第22章二次根式
22.1二次根式
22.2二次根式的乘除法
1. 二次根式的乘法
2. 积的算术平方根
3. 二次根式的除法
22.3二次根式的加减法
第23章一元二次方程
23.1一元二次方程
23.2一元二次方程组的解法
23.3 实践与探索
第24章图形的相似
24.1相似的图形
24.2相似图形的性质
1. 成比例线段
2. 相似图形的性质
24.3相似三角形
1. 相似三角形
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
4. 相似三角形的应用
24.4中位线
24.5画相似图形
24.6图形与坐标
1. 用坐标确定位置
2. 图形的变换与坐标
第25章解直角三角形
25.1测量
25.2 锐角三角函数
1. 锐角三角函数
2. 用计算器求锐角三角函数值
25.3解直角三角形
第26章随机事件的概率
26.1概率的预测
1. 什么是概率
2. 在复杂情况下列举所有机会均等的结果
26.2 模拟实验
1．用替代物做模拟实验
2. 用计算器做模拟实验。

【复习】：初中数学九年级上册.相似三角形的性质及应用--知识讲解(基础)

专项训练年度：相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的应用1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC,∴∠ABO=∠DCO=90°.又∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.∴.∵BO=50m，CO=10m，CD=17m,∴AB=85m.即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?(2)求古塔的高度．【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°.∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE .(2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴.∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴.∴DE=16m,即古塔的高度为16m.【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ ⊥AC,根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD ，∠BAP=∠DCP=90°，∴ △ABP ∽△CDP , ∴AB AP DC PC=, 即1.827DC =, ∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.要点二、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.类型二、相似三角形的性质3. （2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键．举一反三【变式】（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B．提示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=1=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．4.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴EF=6cm，EH=12cm..∴.【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴相似三角形的性质及应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2015•酒泉）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE : S△ABC为( ).A. 9:4B. 4:9C. 1:4D. 3:23．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( ).A．3 B．7 C．12 D．155．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）.A．6米B．8米C．18米D．24米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍.A.2B.4C.2D.64二、填空题7. 如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.9．（2015•吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm ，则楼高CD 为 m ．10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________.11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍.三、解答题 13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？14.（2015•蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点. (1)找出与相似的三角形. (2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？【答案与解析】一．选择题1．【答案】D ．【解析】∵S △BDE ：S △CDE =1：3，∴BE ：EC=1：3；∴BE ：BC=1：4；∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ， ∴=，∴S △DOE ：S △AOC ==，故选D ．2．【答案】B ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP ∽△CDP ．6．【答案】C ．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．二．填空题7．【答案】3.8．【答案】45cm 2.9．【答案】12．10．【答案】25.【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2A O DB OC 49S AO CO S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，∴AO:CO ＝2:3，又∵AODDOC 23S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△，∴ ABCD 492625S =++⨯=梯形．11.【答案】4:10:25【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2DEF AEB S DE S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴DEF BAFS S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴DEF BEF S S △△24.510== 12．【答案】2. 三.综合题13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ，∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m∴ 1 1.20.9 2.7x -= 即 x ＝4.2m14．【解析】解：如图，∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED ，∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE ∽△DCE ∴； ∵CE=2.5米，DC=1.6米， ∴； ∴AB=12.8答：大楼AB 的高为12.8米．15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：△PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ，则12PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时，则12PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2∴ △BCP 的周长是2a ．③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E时，∴ BP BC =∵ △BPE ∽△BCP∴ △BPE 与△BCP ，∴ △BCP 的周长是5．.。

沪科版数学九年级上册《22.3 相似三角形的性质》教学设计1

沪科版数学九年级上册《22.3 相似三角形的性质》教学设计1一. 教材分析《22.3 相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册的教学内容。

本节课主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。

教材通过引入生活中的实例，激发学生的学习兴趣，然后引导学生通过观察、思考、探究，总结出相似三角形的性质。

教材内容丰富，既有理论知识的讲解，又有实践操作的练习，能够帮助学生更好地理解和掌握相似三角形的性质。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的有关知识，对三角形有了一定的认识。

但是，他们对相似三角形的性质的理解和运用还比较薄弱。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导学生通过观察、思考、探究，总结出相似三角形的性质，并通过练习题让学生巩固所学知识，提高他们解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生总结和归纳的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及其应用。

2.难点：相似三角形的性质的推导和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.启发式教学法：引导学生观察、思考、探究，培养学生的总结和归纳能力。

3.练习法：通过练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的性质及其应用。

2.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如相似的图形、建筑物的比例等，引导学生关注相似三角形的性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过展示相似三角形的性质的图片和实例，引导学生观察、思考，总结出相似三角形的性质。

2018年秋九年级数学上册第22章相似形22.3相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质

22.3 相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质知|识|目|标1 •通过观察、猜想、论证和归纳的过程，探索相似三角形的性质定理 1, 2,会用定理1,2进行计算；2•通过回顾比例的性质，结合相似三角形的性质定理 1, 2,探索发现相似三角形的性质定理3,会用定理3进行计算.V 目标突破■ ___________________ 荷”歩目标一会根据相似三角形的定理 1, 2计算AB 1例1 ［教材补充例题］已知△ ABS A A B' C , 厂B 厂=2 AB 边上的中线 CD= 4 cmA. B 2△ ABC 勺周长为20 cm.根据相似三角形的性质，完成下列问题： (1)根据对应边比例等于相似比，由 A ^AB — = 1可知△ ABC与厶A B ' C 的相似比为20 cm ，得 C\A B ' C ' = __________ cm.例2 ［教材例1变式］如图22-3- 1,在厶ABC 中, ADL BC 于点D, AD = BC= 12,点P 在AB 上，且PQ/ AD 交BC 于点Q PM/ BC 交AC 于点M 若PM= 2PQ 求PM 的长.【归纳总结】根据题意，禾U 用相似三角形对应线段的性质建立比例式，得到已知线段与未知线段的数量关系；再设未知数，列出方程求解.目标二会根据相似三角形的定理 3计算例3 ［教材例2变式］如图22- 3 — 2，在△ ABC 中，DE// BC ,且 S A ADE ： S 四边形 BCE = 1 : 2 , BC = 26，试求DE 的长.A___________________ ?由相似三角形的对应中线之比等于相似比可知得 C ' D ' = _________ cm.(2)根据相似三角形的周长之比等于相似比可知CD AB C' D ' =A B',由 CD= 4 cm,C\ ABCABC\ A B ' C 'A B ',由 Q ABC =A图 22 - 3 - 1例4 ［教材补充例题］如图22- 3-3,将厶ABC沿BC方向平移得到△ A B' C . △ ABC1与厶A B' C'重叠部分(图中阴影部分)的面积是厶ABC面积的-.已知BC={3 cm求厶ABC3平移的距离.图22 - 3 -3【归纳总结】相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，在解题中，V总结反思乂小心清L小结知识点一相似三角形对应线段的比等于相似比相似三角形性质定理1:相似三角形______________________________ 、__________________ 和______________________ 都等于相似比.相似三角形的相似比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比这四个量中已知其中的一个量，就能知道其他三个量.［点拨］利用相似三角形的性质时，要注意“对应”两字，要找准对应线段.知识点二相似三角形周长的比等于相似比相似三角形性质定理2:相似三角形周长的比等于 ____________ .相似三角形周长的比=对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=相似比(对应边的比).［点拨］(1)相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性质得到的.(2) 禾U用相似三角形的周长比与相似比的关系可以进行有关边长、周长或比值的计算.(3) 周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致.知识点三相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形性质定理 3 :相似三角形面积的比等于___________________ .反过来，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.2已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开方.♦♦♦数学活动课上，田老师布置了一道思考题：如图22-3 — 4，平行于BC 的直线DE^把△ ABC等，它们的面积都是△ ABC 的一半，所以AD 勺值是2小明同学的回答正确吗？请说明理由，并给出正确答案.分成的两部分（I 和H ）面积相等，则AD 勺值是多少？小明同学马上举手回答:I 和n 面积相图 22 — 3— 4【目标突破】例 1 (1)1 ：22 8 (2) 2 40例2 解：设PQ= x ,贝U Pg 2x ,设AD 交PM 于点H. •/ PM// BC, •••△ APM h^ ABC• D E — 3BC — T X 24— 83 3 • DE — 2 2. 例4 解：如图，设 AC 与A B'相交于点D. AB// A B ', DB' S' ABC.v 重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ ABC 面积的1,• (BBC-)2— 3. V Bo^cmB'C 2 1 ” m ,•(^)2—，解得 B' C — 1 cm3 3• BB'— BC- B' C — ( 3 — 1) cm 即'ABC 平移的距离为(.,3 — 1) cm教师详解详析PM AH 刨 2xB C =AD 即右12-x12，解得x = 4. PM= 2x = 8. 例3 ［解析］先证明△ AD 0A ABC 再利用相似三角形的性质长.解：••• DE// BCS A ADE&边形BCED1,可设 S A ADE = k ,则S 四边形BCED = 2k ,根据平移的性质，知S^ ADES A ABCDE 的• △ AD0A ABC…S A ABC — 3k , k 13k —3，【总结反思】知识点二相似比知识点三相似比的平方［反思］小明同学的答案不正确.理由如下： •/ DE// BC, •••△ AD0A ABC.•••△ ADE 的面积和四边形 BDEC 的面积相等,S A ADE 1 AD 2 AD 2■ ■ S AAB (T 2一'A B ' ' AB — 2 ■— 对心赢的比等于相W 比］ —— 对旋中线的比卷丁•田久H I对点侑平於线的叱專丁•邛佩比— 周K 的比等丁•相傩比 — 面积的比尊于枷似比的平空J［小结］知识点一对应高的比对应中线的比对应角平分线的比。

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22.3 第2课时相似三角形的应用
知|识|目|标
通过对实际问题的分析从中抽象出几何图形，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题．
目标相似三角形的应用
例1 ［教材补充例题］如图22－3－4，小林用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知三角形纸板的两条直角边DE＝0.6 m，EF＝0.3 m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB.
图22－3－4
【归纳总结】利用相似三角形的知识解决实际问题的关键是构造相似三角形数学模型，常用数学模型如下：
(1)利用“太阳光下，同一时刻的物高和影长对应成比例”构造相似三角形；
(2)利用“标杆在测量中的作用”构造相似三角形；
(3)利用“平面镜的反射原理”构造相似三角形．
相似模型如图22－3－5所示：
图22－3－5
例2 ［教材补充例题］如图22－3－6，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，D，使点A，B，D共线且直线AD与河垂直，在过点D且与AD垂直的直线上选择适当的点E，确定AE与过点B且垂直于AD的直线的交点为C，测得BD＝45 m，DE ＝90 m，BC＝60 m，求河的宽度AB.
图22－3－6
【归纳总结】利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的地面上的水平距离．解决此类问题的关键是根据题意设计出合适的图形，从图形中构造出相似三角形．在测距问题中，最常用的相似三角形模型如图22－3－7所示．
图22－3－7
知识点相似三角形的应用
在现实生活中，有许多不便于测量的垂直高度或水平距离．对于这些实例，可以设计出方便操作的相似模型，从而求出它们的垂直高度或水平距离．
[点拨] 相似三角形应用的常见问题：(1)利用太阳光求物体的高度；(2)利用影子求物体的高度；(3)利用标杆或三角尺求物体的高度或宽度，等等．
如图22－3－8，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取点M ，使AM ＝3CM ，作MN ∥AB 交BC 于点N ，量得MN ＝28 m ，求AB 的长．
小林给出如下的解法：
解：∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，
∴CM AM ＝MN AB .
又∵AM ＝3CM ，∴MN AB ＝28AB ＝13
，解得AB ＝84 m ．故AB 的长为84 m.
你认为小林的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
图22－3－8
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] 利用Rt △DEF 和Rt △BCD 相似求得BC 的长后加上AC 即可求得树高AB. 解：根据题意，可知∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D ＝∠D，∴△DEF ∽△DCB ，
∴BC FE ＝DC DE ，即BC 0.3＝80.6
，解得BC ＝4， ∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋4＝5.5(米)．
故树高AB 为5.5米．
例2 [解析] 直接利用相似三角形的应用模型，正确得出△ABC∽△ADE，进而得出比例式求出答案．
解：由题意可得△ABC∽△ADE，
则AB AD ＝BC DE ，即AB AB ＋45＝6090
，解得AB ＝90 m . 答：河的宽度AB 为90 m .
【总结反思】
[反思] 不正确．正确的解答过程如下：
∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，∴CM CA ＝MN AB
. 又∵AM＝3CM ，∴CM AM ＝13
， ∴CM CA ＝14，则MN AB ＝14
， ∴AB ＝4MN ＝4×28＝112(m )．
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