2018高考数学二轮复习专题七选修系列第1讲坐标系与参数方程课件
2018年高考数学二轮复习专题8选修系列第1讲坐标系与参数方程课件
(t为参
• 1．极坐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点 作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同 的长度单位． • 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把 其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价 性．
[ 解析]
x2 2 (1)曲线C的普通方程为 9 ＋y ＝1．
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0． x＋4y－3＝0， 2 由x 2 ＋ y ＝1， 9 21 x＝－25， x＝3， 解得 或 y＝0 y＝24. 25 21 24 从而C与l的交点坐标为(3,0)，(－25，25)．
π ③直线过M(b，2)且平行于极轴：ρsin θ＝b．
4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆
x＝a＋rcos α， ①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是 y＝b＋rsin α，
其中α是
参数．
x＝rcos α， ②当圆心在(0,0)时，方程为 y＝rsin α，
核心知识整合
1．直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极 轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内 任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， x＝ρcos θ， 则 y y＝ρsin θ， tan θ＝ x≠0. x
2．圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ 2 0－ r2＝0． (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； ρ＝2acosθ ②当圆心位于M(a,0)，半径为a：__________________ ； π ③当圆心位于M(a，2)，半径为a：ρ＝2asin θ．
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
全国通用2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课件文
∴y－x＝1. 由
A 2
7π 2， ，得点 A 的直角坐标为(2，－2)． 4
|2＋2＋1| 5 2 ∴点 A 到直线 l 的距离 d＝ ＝ .] 2 2
不妨设 P1(1,0)，P2(0,2)，则线段 1 k＝ ，8 分 2
1 P1P2 的中点坐标为2，1 ，所求直线斜率为
1 1 于是所求直线方程为 y－1＝ x－2 ， 2 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 3 故所求直线的极坐标方程为 ρ＝ .10 分 4sin θ－2cos θ
x′ x＝ ， 3 得 8分 y＝2y′，
x′ 代入 y＝6x，得 2y′＝6· ＝2x′， 3 ∴y′＝x′为所求直线 l′的方程.10 分
极坐标与直角坐标的互化
(2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x －1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求 4 △C2MN 的面积．
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
x′＝3x， 得 2分 y y′＝ ， 2
－2 1 ∴x′＝ ×3＝1，y′＝ ＝－1.∴点 A′的坐标为(1，－1).5 分 3 2
(2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点． 由伸缩变换
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
逆时针 方向)，这样就建 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取_______
高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题7 第1讲 选修4-4：坐标系与参数方程
第二部分 专题七 选修部分
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【解析】 椭圆 C 的参数方程为xy＝＝2sicnoφs φ (φ 为参数)，转化为直 角坐标方程为x42＋y2＝1．
将直线的参数方程x＝m＋ 22t， y＝ 22t
代入x42＋y2＝1 中，
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为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂
直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程及直线 l1 的普通方程；
(2)若|OA|＝|OB|，求△OAB 的面积．
第二部分 专题七 选修部分
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典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
直线 l1 的普通方程为 y＝x·tan α，π2＜α＜π.
第二部分 专题七 选修部分
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(2)设
OA
的极坐标方程为
θ＝α(π2＜α＜π)，则|OA|＝1－c2os
， α
射线 OB 的极坐标方程为 θ＝α＋π2(π2＜α＜π)，
则|OB|＝1－cos2α＋π2＝1＋2sin α.
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2018届高三数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件文
5
x 1 cos θ , 3.(2014北京,3,5分)曲线 (θ为参数)的对称中心( y 2 sin θ
)
A.在直线y=2x上 C.在直线y=x-1上
B.在直线y=-2x上 D.在直线y=x+1上
答案 B 曲线
x 1 cos θ , (θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该 y 2 sin θ
x a sec φ, x2 y 2 双曲线 - =1(a>0,b>0)的参数方程为 (φ为参数). y b tan φ a 2 b2
x 2 pt 2 , 抛物线y =2px的参数方程为 (t为参数). y 2 pt
2
1.已知直线l的参数方程为 A.1 B.2 C.3 D.4
的距离的最大值为 ( A.1 B. 2 C. 3
) D. 5
答案 D
2 由 ( θ 为参数 ) 消去参数 θ 得 y =-2 x (-1≤x≤1).如图.
x sin θ , y cos 2θ 1
则当P点的坐标为(±1,-2)时,
2 |PO|max= = 2 ,故选 D. (1) (2)
x 1 sin 2θ , (1) (θ为参数); y sin θ cos θ 1 t x (e e t ), 2 (2) (t为参数). 1 t t y (e e ) 2
解析 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得y2=2-x.又x=1-sin 2θ∈[0,2], 故所求的普通方程为y2=2-x,x∈[0,2]. (2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y, ∴(x+y)(x-y)=1,
2018版高考数学文人教A版大一轮复习配套课件：选修4-4
(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从
Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对 (ρ，θ)称为
极角 点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的_____. 3.极坐标与直角坐标的互化
点 M 直角坐标(x，y) 互化 公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
化简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0， ∴(x－1)2＋(y＋1)2＝6，因此圆 C 的半径为 6.
考点一
平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1 】 将圆x2 ＋ y2 ＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C. (1)求曲线C的标准方程； (2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点
解 由
A2
π 2ρsinθ－4＝
2，点 A 的极
A2
7π 2， 4 ，求点 A 到直线 l 的距离.
2，得
2ρ 2 2 ＝ 2， 2 sin θ－ 2 cos θ
π 2ρsinθ－4＝
∴y－x＝1. 7π 2， ，得点 A 的直角坐标为(2，－2). 由 4 |2＋2＋1| 5 2 ∴点 A 到直线 l 的距离 d＝ ＝ . 2 2
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的
中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解
(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为
曲线 C 上点(x，y)，
x＝x1， 依题意，得 y＝2y1，
由
2 x2 ＋ y 1 1＝1
得x
2
y 2 ＋2 ＝1，
2018年高中数学高考一轮复习：坐标系与参数方程
-10知识梳理
考点自测
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. (× ) (2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标 方程. (× ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为 ������ = -1-������, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( √ ) ������ = 2 + ������ (5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. (× ) (4)参数方程 2, 4 .
������ = ������cos������, + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 (θ 为参 ������ = ������ sin ������ ������
2
数).
������ = 2������������ 2 , (4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数). ������ = 2������������
1
-9知识梳理
考点自测
(2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 参数).
������2 (3)椭圆方程 2 ������ ������2
������ = ������ + ������cos������, (θ 为 ������ = ������ + ������sin������.
2
-8知识梳理
考点自测
6.曲线的参数方程 定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y ������ = ������(������), 都是某个变量 t 的函数 并且对于 t 的每一个允许值,上式所 ������ = ������(������), 确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线的 参数方程 , 其中变量 t 称为 参数 . (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, ������ = ������0 + ������sin������ (t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|������0 ������|,t 可正,可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数 为2(t1+t2).
2018届高三数学二轮复习课件：专题八选修系列8.1坐标系与参数方程
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
◎ 变式训练 (2017· 福建省普通高中质量检查)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程
x＝2＋2cos t， 为 y＝2sin t
(t 为参数)．在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极
π π (2)法一：依题意，设点 P，Q 的极坐标分别为ρ1，6，ρ2，6.
π 将 θ＝6代入 ρ＝4cos θ，得 ρ1＝2 3， π 将 θ＝6代入 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝1， 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2 3－1， π π 依题意，点 A(2,0)到曲线 θ＝6(ρ>0)的距离 d＝|OA|sin 6＝1， 1 1 1 所以 S△APQ＝2|PQ|· d＝2×(2 3－1)×1＝ 3－2.
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为 α，则它的方程为：ρsin(θ －α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
π (3)直线过 Mb，2且平行于极轴：ρsin θ＝b.
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
题型二 参数方程 几种常见曲线的参数方程 (1)圆
x＝a＋rcos α， 以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 y＝b＋rsin α，
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
高考·题型突破
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
2018高考数学理二轮复习课件：1-7-2 坐标系与参数方程选修4-4 精品
由|AP|＝d 得 3sinθ－4cosθ＝5，
又 sin2θ＋cos2θ＝1，得 sinθ＝53，cosθ＝－54.
故
P－85，3
5
3.
(2)[2015·沈阳质监]在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为xy＝＝44csoinsθθ (θ 为参数)，直线 l 经过点
P(1,2)，倾斜角 α＝6π. ①写出圆 C 的标准方程和直线 l 的参数方程； ②设直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA|·|PB|的值．
所以t1＋t2＝3 2 t1·t2＝4
，又直线 l 过点 P(3，
5)，A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|
＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
x＝3＋12t，
2．[2015·陕西高考]在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为 y＝
3 2t
(t 为参数)．以原点为极
1．[2015·江苏高考]已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρsinθ－π4－4＝0，求圆 C 的半径． 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.
圆 C 的极坐标方程为
ρ2＋2
2ρ
22sinθ－
22cosθ－4＝0，
化简，得 ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ －4＝0.
[解] ①椭圆 C：xy＝ ＝2c3ossiθnθ (θ 为参数)，直线 l：x－ 3y＋9＝0. ②设 P(2cosθ， 3sinθ)， 则|AP|＝ 2cosθ－12＋ 3sinθ2＝2－cosθ，
点 P 到直线 l 的距离 d＝|2cosθ－23sinθ＋9|＝2cosθ－23sinθ＋9.
2018版高考数学一轮复习 选修系列 14.1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系 理
第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ，y ′＝μ·yμ的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x .这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程．解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解 由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB＝12×3×4×sin π6＝3. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为(33a ，a )． 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴(33a )2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)， ∴0≤θ≤π2.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．解 (1)将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由＋y 21＝1得x 2＋(y2)2＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关21x系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 如图所示，因为圆C 经过点 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ 22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 题型三 极坐标方程的应用例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin(θ＋π4)＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－2222＝4 3.故所求弦长为4 3.1．(2015·广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解 依题可知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－－＋1|12＋－2＝522. 2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解 圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2×32＋4×0＋a |22＋42＝32， 解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系， 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 且圆心为(1,0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，求|PQ|的最大值．解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴|PQ|max ＝6＋6＋32＋32＝18.6．在极坐标系中，O 是极点，设A (4，π3)，B (5，－5π6)，求△AOB 的面积．解 如图所示，∠AOB ＝2π－π3－5π6＝5π6，OA ＝4，OB ＝5，故S △AOB ＝12×4×5×sin 5π6＝5.7．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的点P ′的坐标．解 设P ′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP ′为正三角形，如图所示，∴∠POP ′＝π3.∴θ＝2π3－π3＝π3或θ＝2π3＋π3＝π.又ρ＝5，∴P ′点的极坐标为(5，π3)或(5，π)．8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系． 解 直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．9．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。
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解：(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以 C1 的极坐标 方程为 ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. π (2)将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 4
ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.
π 2， . 4
[探究迁移 2] 本例条件不变， 求圆 C2 关于极点的对 称圆的方程． 解：因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称， 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆 C2 上， 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，
故所求圆 C2 关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋ 4ρsin θ＋4＝0.
热点 1 曲线的极坐标方程(典例迁移) 1．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为 α，则 它的方程为 ρsin(θ－α)＝ρ 0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α 和 θ＝π＋α；
(2)直线过点 M(a， 0)(a＞0)且垂直于极轴： ρcos θ＝a；
又|BH|＝|HC2|＋|BC2|＝ 3＋2. 1 故 S△OAB 的最大值为 |OA|·|BH|＝2＋ 3. 2
2．(2017· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的
x＝3cos θ 参数方程为 y＝sin θ
，
(θ 为参数)，直线 l 的参数方程 55410065)
π (2)设点 A 的极坐标为2，3，点 B 在曲线 C2 上，求
△OAB 面积的最大值．
解：(1)设点 P(ρ，θ)，点 M(ρ0，θ0)， 则|OM|＝ρ0，|OP|＝ρ. ρρ0＝16， 由题设，得 ρ0cos θ0＝4且θ＝θ0. ② 解之得 ρ＝4cos θ(ρ＞0)． ①
π (3)直线过 Mb，2且平行于极轴：ρsin θ＝b.
2．圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r，0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ；
π (3)当圆心位于 Mr，2，半径为 r：ρ＝2rsin θ.
21 24 则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和－25，25.
(2)直线 l 的普通方程是 x＋4y－4－a＝0. 设曲线 C 上的点 P(3cos θ，sin θ)． |3cos θ＋4sin θ－4－a| 则 P 到 l 的距离 d＝ ＝ 17 |5sin（θ＋φ）－4－a| ， 17 3 其中 tan φ＝ . 4
专题七
选修4系列
第 1 讲 坐标系与参数方 程(选修 角坐标系 xOy 中，以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的 极坐标方程为 ρcos θ＝4.(导学号 55410064) (1)点 M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上， 且|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；
[规律方法] 1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓 住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝ y x(x≠0)，要注意 ρ，θ 的取值范围及其影响，灵活运用代 入法和平方法等技巧．
2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时， 如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程， 然后求解．
x＝a＋4t， 为 (t 为参数)．(导学号 y＝1－t
(1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
解：(1)a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝ 0. x2 2 曲线 C 的标准方程是 ＋y ＝1， 9 21 x＋4y－3＝0， x＝3， x＝－25， 联立方程x2 2 解得 或 24 y ＝ 0 ＋y ＝1， y＝ . 9 25
又点 C 到直线 l 的距离的最大值为 17. 所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为 17. 若 a≥0，则－5－4－a＝－17，所以 a＝8. 若 a＜0，则 5－4－a＝17，所以 a＝－16. 综上可知，实数 a 的值为 a＝－16 或 a＝8.
【命题透视】 从近几年命题看：本讲命题内容以解 答题的形式呈现，以极坐标方程与直角坐标方程、参数方 程与普通方程的互化为主要内容， 考查直线与圆锥曲线的 位置关系，难度中等、分值 10 分．
[ 变式训练 ] (2017· 贵阳调研 ) 以直角坐标系中的原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 2 的极坐标方程为 ρ＝ . 1－sin θ (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P，Q，若|OP|＝ 3|OQ|，求直线 l 的极坐标方程．
[例 1] (2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 4 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．
故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2.
1 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为 . 2
[探究迁移 1] 本例条件不变，求直线 C1 与曲线 C3 交点的极坐标． ρcos θ＝－2， π 解：联立方程 π 解之得 θ＝ 且 ρ＝－ 4 θ＝ ， 4 2 2.
所以交点的极坐标为－2
所以化为直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)，
(2)易知点
π A2，3在圆
C2 上，连接 AC2，则△AOC2
为等边三角形，|OA|＝2. 所以当△AOB 在边 OA 的高最大时，S△AOB 最大． 如图，过圆心 C2 作 OA 垂线交 OA 于 H，交圆 C2 于 点 B.