高中数学人教版必修一讲读设计：3.1.1 方程的根与函数的零点

3.1.1 方程的根与函数的零点讲读设计教学目标：1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理。

教学重点：零点的概念及零点存在的判定定理教学难点：零点存在的判定定理的理解教学过程：一、预习反馈1．一元二次方程2ax+bx+c=0 (a≠0)的解法：判别式∆=当∆0，方程有两根，为x=；1,2当∆0，方程有一根，为x=；当∆0，方程无实根。

2．方程2ax+bx+c=0 (a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象之间有什么关系？1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理。

三、自学与探究(一)自学提示整合教材知识,落实基本能力探究一：函数零点与方程的根的关系1.方程2230--=的解为，函数223x x=--的图象与x轴有个交点，坐标y x x为；2.方程2210-+=的解为，函数221x x=-+的图象与x轴有个交点，坐标y x x为；3.方程2230-+=的解为，函数223x xy x x=-+的图象与x轴有个交点，坐标为。

根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)++=≠的根就是相应二次函数ax bx c a20(0)=++=≠的图象与x轴交点的。

y ax bx c a你能将结论进一步推广到函数()=吗？y f x4.零点的概念：反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？练习1：（1）函数244y x x =-+的零点为 ；（2）函数()2log 12y x =--的零点为 。

小结：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

探究二：零点存在性定理1. 作出243y x x =-+的图象，求(0),(1),(2)f f f 的值，观察(0)f 和(2)f 的符号2.观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点，()()b f a f 0； 在区间[,]b c 上 零点，()()c f b f 0； 在区间[,]c d 上 零点，()()d f c f 0.3. 零点存在性定理的内容：讨论：(1)函数()x f 满足()()0<b f a f ，那么函数()x f 在区间()b a ,内是否一定存在零点？请举例说明。

(2) 函数()x f 满足()()0<b f a f ，且在区间()b a ,内有零点，那么一定只有一个零点吗？请举例说明。

(3) 函数()x f 满足()()0<b f a f ，还需要满足什么条件，()x f 就在区间()b a ,内一定只有一个实数根？(二)合作探讨例1求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数.变式：1. 求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间.2. 求函数23x y =-的零点所在的大致区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程()0f x =的实数根；② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(三)探究提升 精研高考题点,提升备考智能 题型一 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或x ＝－6，所以函数的零点是－1，－6. (2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1，所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.反思与感悟 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.变式训练1 函数y ＝x －1的零点是( ) A.(1,0) B.0 C.1 D.不存在 答案 C解析 令y ＝x －1＝0，得x ＝1，故函数y ＝x －1的零点为1.题型二 判断函数零点所在区间例2 已知函数f (x )＝x 3－x －1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( ) A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 答案 C解析 ∵f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (3)＝23>0，f (4)＝59>0. ∴f (1)·f (2)<0，此零点一定在(1,2)内.反思与感悟 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.变式训练2函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A.(－2，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案 C解析∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)在(0,1)内有零点.题型三判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数.解方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.方法二由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.反思与感悟判断函数零点个数的方法：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一直角坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.变式训练3函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为()A.1B.2C.0D.不能确定答案 B解析如图所示，分别作出y＝ln x，y＝x－2的图象，可知两函数有两个交点，即f(x)有两个零点.题型四一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的区间根问题例4 关于x 的方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，求实数a 的取值范围. 解 方法一 (应用求根公式) 方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为 x ＝2a ±4a 2－162＝a ±a 2－4，要使两根均大于1，只需较小根a －a 2－4>1即可. 解得2≤a <52.方法二 (应用根与系数的关系)设x 1，x 2为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根， 则有x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝4.①要使原方程x 2－2ax ＋4＝0的两根x 1，x 2均大于1， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，Δ≥0.将①代入上述不等式组，解得2≤a <52.方法三 (应用二次函数的图象)设f (x )＝x 2－2ax ＋4，图象如图所示. 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，－－2a 2>1，解得2≤a <52.反思与感悟 1.在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：(1)Δ与0的关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系；(4)开口方向.2.设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根，则x 1，x 2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.中有)<变式训练4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1有两个零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(－4，－2)，求a 的取值范围.解 ∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的图象是连续的且两点x 1，x 2满足x 2∈(－4，－2)，x 1∈(0,1).∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)·f (1)<0⇒3a ＋1<0，f (－4)·f (－2)<0⇒8a ＋1<0⇒a <－13.∴a 的取值范围为a <－13.四、当堂检测1.函数y ＝4x －2的零点是( )A.2B.(－2,0)C.⎝⎛⎭⎫12，0D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12. ∴函数y ＝4x －2的零点为12.3.对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A.方程f (x )＝0一定有实数解 B.方程f (x )＝0一定无实数解 C.方程f (x )＝0一定有两实数解 D.方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解.4.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）. A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定 5.方程2x －x 2＝0的解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 及y ＝x 2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x －x 2＝0的解的个数为3.6. 函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)8.已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比0大，一个零点比0小，则实数a 的取值范围为________.答案 (－∞，2)解析 由题意可知f (0)＝a －2<0，解得a <2.五、归纳小结1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.六、课后作业 一、选择题1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点.2.函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 ∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)＝(x －1)(x ＋5)(x －2)， ∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.3.下列区间中，存在函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点的是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2，e)D.(3,4)答案 B解析 f (1)＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，故在区间(1,2)上存在函数f (x )的零点.4.已知函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的，且满足f (a )·f (b )<0(a ，b ∈R ，a <b )，则函数f (x )在(a ，b )内( )A.有且只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法确定有无零点答案 B解析 函数y ＝f (x )在定义域内连续，且满足f (a )·f (b )<0，故函数f (x )在(a ，b )内至少有一个零点. 5.若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是( ) A.－1和16B.1和－16C.12和13D.－12和 3答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6，∴g (x )＝6x 2－5x －1， ∴g (x )的零点为1和－16，故选B.6.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( ) A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有答案 C解析 若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾.故仅有一个零点.二、填空题7.若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1，a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.9.函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是_____. 答案 (－3,0)解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋a 在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)>0，f (0)<0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a >0，a <0，a <0，3＋a >0，解得－3<a <0.10.如果函数f (x )＝ax －b 有一个零点是3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是______. 答案 0，－1解析 由f (x )＝ax －b 有零点3，即3a －b ＝0，b ＝3a . ∴bx 2＋3ax ＝0，即3ax 2＋3ax ＝0，∴x ＝0或x ＝－1. 三、解答题11.已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，求函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点. 解 由题意得x 2－ax －b ＝0有两根2和3，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＋3，－b ＝2×3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1.令g (x )＝0，得6x 2＋5x ＋1＝0即(2x ＋1)(3x ＋1)＝0，得x ＝－12，或x ＝－13.∴g (x )的零点为－12，－13.12.已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围. (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内. 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧(－2a )2－16≥0，f (1)＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝4＞0，f (1)＝5－2a ＜0，f (6)＝40－12a ＜0，f (8)＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.。