第六讲--抽象函数
抽象函数的定义域
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范 围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连 续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义 域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细 化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些 情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的 定义域范围。
04
特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所 有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。
抽象函数
抽象函数一、概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质。
二、常用结论：（1）周期：2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= （2）对称性：（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称；2、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称；3、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数；4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称三、常见问题：（1）求定义域例1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。
抽象函数
抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.解决抽象函数常用的方法有(1)赋值法；（2）模型函数法；（3）代换法；（4）递推法；（5）迭代法等。
一．求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
【例1】已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。
变式：1.设f(x)(x ∈R ）为奇函数，f(1)=21，f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)= _______。
2.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f = ( ) （A ）-1 （B ）0（C ）1（D ）23.已知函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)=0，对任意x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )+f (4) 成立，则f (2006)= ( )A ．4012B ．2006C ．2008D ．04.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是 A. 0 B.21 C. 1 D. 25 5.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）2136.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ C ） A ．2B ．3C ．6D ．9二．比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
抽象函数
函数（十四）抽象函数年级：高三 编写：刘颖欣 审定：袁安 日期：2010年8月【学习目标】1、知识与技能：理解抽象函数概念及性质，会根据抽象函数的性质解决实际问题。
2、过程与方法：通过对抽象函数的理解与掌握，向学生渗透特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
3、情感、态度与价值观：通过对抽象函数的综合应用、培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，感受数学的奇异美，培养学生团结协作能力。
【考纲解析】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能． 【例题解析】题型（一）1．抽象函数的定义域问题例1：已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，则)(x f 的定义域为___________．解：由)(2x f 的定义域是[1，2]，是指1≤x≤2，所以1≤x 2≤4， 即函数)(x f 的定义域是[1，4]．评析：一般地，已知函数)]([x f ϕ的定义域是A ，求)(x f 的定义域问题，相当于已知)]([x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题．例2：已知函数)(x f 的定义域是[－1，2]，则函数)]3([log 21x f -的定义域为_________．解：由)(x f 的定义域是[－1，2]，意思是凡被f 作用的对象都在[－1，2]中，由此易得－1≤log 21(3－x)≤2 ⇒ (21)2≤3－x≤(21)1-⇒1≤x≤411． ∴函数)]3([log 21x f -的定义域是[1，411]．评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(x f 的定义域是A ，则x 必须是A 中的元素，而不能是A 以外的元素，否则，)(x f 无意义．因此，如果)(0x f 有意义，则必有x 0∈A ．所以，这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域是A ，据此求x 的取值范围，即由)(x ϕ∈A 建立不等式，解出x 的范围．例2和例1形式上正相反．练习1、若函数)(x f 的定义域为[0，3],则)1(2-x f 的定义域为( ) A. [0,9] B.[0,8] C.[-2,-1]∪[1,2] D.[1,2] 2、若函数)1(2-x f 的定义域为[0，3], )(x f 则的定义域为( ) A. [0,8] B.[ -1,8] C.[0,3] D.[1,2]班别_____________ 小组_____________姓名_________________学号______________3、若函数(21)f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,则函数2(log )f x 的定义域为( ) A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.)2,21(4 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡42,21 4、若函数)1(+x f 的定义域为[0,1]，则)22(-x f 的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．]2,3[log 2 C ．]3log ,1[2 D ．[1，2]题型（二）抽象函数的求值问题例3：已知定义域为R +的函数)(x f ，同时满足下列条件：①)2(f = 1，)6(f =51；②)(y x f ⋅=)(x f ＋)(y f ，求)3(f 、)9(f 的值．解：取x =___，y =____，得)6(f =(___)f ＋(___)f ，∵)2(f = 1，)6(f =51，∴)3(f =_____． 又取x = y = 3，得)9(f =)3(f ＋)3(f =－58．评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取x = 2，y = 3，这样便把已知条件)2(f = 1，)6(f =51与欲求的)3(f 沟通了起来．这是解此类问题的常用技巧．练习：1、定义R 上的函数()f x满足：()()(),(9)8,f xy f x f y f f =+==且则（ ） A．2 C ．4 D ．62、若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．123、已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性无法确定4、已知函数)(x f 满足)(2)()(22b f a f b a f +=+对R ∈b a ,恒成立，且0)1(≠f ，则=)2008(f ．题型（三）利用函数性质去函数符号例4：已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且满足对于任意的正实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f +=⋅，且.1)2(=f（1）求)8(f 的值；（2）解不等式.3)2()(+->x f x f解：（1）___________)8(____________)4(1)2(=⇒=⇒=f f f （2）][_________)((___))2()(3)2()(f x f f x f x f x f x f >⇔+->⇔+-> 由函数)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，则__________即_________，依题设，有⎩⎨⎧>->020x x ，∴2>x ，从而不等式的解集为________。
抽象函数
抽象函数抽象函数,顾名思义,就是没有一个具体的函数表达式,通常题目只会给你一个函数关系式以及若干个条件,关系式也不外乎最典型的两种:F(x+y)=f(x)*f(y)F(x*y)=f(x)+f(y)这两种的区别在于左边的括号内,一个是加,一个是乘,这就决定了在证明其单调性的题目中,所用到的方法会不同,但总体思想是一样的,就是把一个字母用复杂一点的形式表现出来,比如说:m=m-n+n啦,m=n*(m/n)啦~再一个就是抽象函数会给出什么样的条件的问题①给关系式,这个是一定一定一定的②给某一个值所对应f(x)的值,比如说给你一个什么f(3)=1啦这样的③给你一个说什么当x>0时f(x)>0啊什么什么样的条件,要记住,这个条件往往是跟证明单调性挂钩的!切要切要..一.求某一个x所对应的f(x)的值这种题目的话,一般来讲不会用到上面说的第③的条件,但是会跟①②两个条件有个紧密的关系.一般来说像求值这种问题就是要反复带数进去试,但是也不能盲目地带,也需要考虑到题目本身给出的关系式的因素!先讲第一种: F(x+y)=f(x)*f(y)这种的话:1.如果求f(1)的值,那么就是让m+n=1或者m=0 n=1或者m=1 n=1总之,代进去的值要有目的性,要明确自己要求的是什么2.如果求的是f(0),可以让m=-n或者m=0 n=03.如果条件给你的是f(3)=1要求f(0)的值,那么很显然,另m=3 n=0然后求之,呃,应该可以明白吧?再来第二种: F(x*y)=f(x)+f(y)1:还是一样,如果要求f(1)的值,那么可以设m n互为相反数,当然如果题目有给一个说f(2)=1 f(1/2)=3那么就可以设m=2 n=1/2很简单吧..2.如果求的是f(0),那么可以让m=n=0或者m=0 n≠0(当然,这种情况就得针对题目的第③个条件与问题来看到底设n>0还是<03.如果条件给你有f(3)=2 f(4)=3要求f(12)的值,那么还是一样,设m=3n=2,再代进去,当然,题目不会那么简单,可能会有变动一下,比如说条件不给你f(4)=3而给你f(2)=4,二.证明某一结论一般来讲就是证明什么f(1)=0呀,f(x)在R上恒大于0啦,这么,主要的方法跟”一”的一样,但是需要特别申明的一点,这种如果是证明什么大于XXX或者小于XXX的题目很可能就是要用到③这个条件,需要谨慎考虑,就像已知在R上的函数f(x)同时满足下列两个条件⒈当x>0时,0<f(x)<1⒉对于任意的m.n有f(m+n)=f(m)·f(n)(1)求f(0)的值(2)证明，对一切x∈R都有f(x)>0(3)若不等式f(k+2t2)<f(4t+3)对一切的t∈(-∞,0)都成立,求k的范围三.求证单调性的问题.这种问题又得分为两种情况啦!但是最开始的步骤还是一样的!设:m>n(想要n>m也可以..)然后写f(m)-f(n)OK,到这儿就要开始分路啦,从这儿就要开始考虑到关系式的问题啦!第一种: F(x+y)=f(x)*f(y)括号里面的是”+”号,那么f(m)里面就要减一个n再加一个n不要问为什么哦,这是一种方法,没有为什么..咳也就是变成了f(m-n+n)-f(n)=f(m-n)*f(n)-f(n) (一般来讲,要把m-n归成一个部分,把m+n弄在一起没有意义)=[f(m-n)-1]*f(n)到了这一步,③这个条件就发挥作用啦,条件的话,肯定会给你一个当x<0啊x>0 f(x)>1还是<1，如果没有的话，那么就可能是你“二”里面证的结论要用上了然后接下去应该就很简单了吧??第二种:f(x*y)=f(x)+f(y)如果括号里是”*”号,那么f(m)里面就要除以一个n再乘以一个n意思就是变成了f[n*(m/n)]-f(n)=f(n)+f(m/n)-f(n) (在这儿需要把m/n放在一起~)=f(m/n)题目的条件肯定会告诉你一个当x>1时或者x<1时,f(x)的正负,那就OK,可以判啦~四.比较大小所涉及到的恒成立问题.纠正一个叙述的错误,那就是恒成立问题不会单独作为一个大题来考,而是一般会放在抽象函数的最后一题来考.这里所说的比较大小,其实很简单,归根结底还是要证出函数的单调性,比如说f(x 已经证明出来单调递增,如果是f(5k+4x)>f(3x2+7),让你求k的范围,那么不就是个不等式嘛~,即:5k+4x>3x2+7然后通过分离系数,弄成k>XXXXX或者是k<XXX的形式,那么不就很容易求的了嘛??..呵呵,已经没有什么题型啦,如果有特别诡异的..那么肯定也是第一次见,没法预料了..我把全部我找得到的卷子里面有抽象函数的,题型归纳了下,就这么几个大的方面~一.设函数y=f(x)定义在R上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n有f(m+n)=f(m)*f(n), 且当m≠n时,f(m)≠f(n)1.求f(0)的值2.求f(x)的单调性二.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,f(2)=1.当m,n∈[-2,2]且m+n≠0时,有1.证明f(x)在[-2,2]上单调递增2.解不等式:f(x+1/2)<f(3.若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-2,2],a∈[-2,2]恒成立,求实数t的范围。
高三抽象函数知识点汇总
高三抽象函数知识点汇总抽象函数是高中数学中的一个重要概念，通过抽象函数，我们可以对复杂的数学问题进行简化和形象化的表达。
本文将对高三抽象函数的知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、抽象函数的定义抽象函数是指用一个变量表示一个数集上的元素，而不指定具体的数，它可以将一个数集中的每个数与表示它的数代表进行对应。
简单地说，抽象函数就是用一个符号或字母表示一个数。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数通常有一个定义域和一个值域。
定义域是指所有符合函数定义的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
2. 函数图像：抽象函数可以通过绘制函数图像来直观地表示函数的特点和性质。
函数图像是定义域和值域上的点的集合，可以用直角坐标系来表示。
3. 函数关系：抽象函数描述了输入和输出之间的关系。
输入是定义域上的元素，输出是对应的数代表，函数关系可以用映射关系符号“→”表示。
4. 函数符号：抽象函数可以用各种符号来表示，常用的包括f(x)、g(x)等。
符号本身没有具体的数值，只是用来表示函数的一种形式。
三、抽象函数的运算1. 求和与差：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的和记作f(x)+g(x)，差记作f(x)-g(x)。
2. 数乘：给定一个抽象函数f(x)和一个实数k，它们的数乘记作k⋅f(x)。
3. 复合函数：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的复合函数记作f(g(x))，表示先计算g(x)，再将结果作为输入计算f(x)。
4. 逆函数：给定一个抽象函数f(x)，如果存在一个抽象函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)称为f(x)的逆函数，记作f^(-1)(x)。
四、抽象函数的应用1. 函数关系的建立：通过抽象函数，可以建立输入和输出之间的关系，帮助我们描述和解决实际问题。
2. 函数的图像分析：通过函数图像，可以了解函数的单调性、极限、对称性等性质，进而推导出其他相关结论。
高中数学专题抽象函数
高中数学专题--抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法〔如化归法、数形结合法等〕，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )y x (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+目录：一.定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题 八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.假设函数y = f 〔x 〕的定义域是[－2，2]，则函数y = f 〔x+1〕+f 〔x －1〕的定义域为 11≤≤-x 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
抽象函数(讲义)
抽象函数函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。
因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。
然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。
例1：()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足2个条件：(1)对于任意的x , y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+；(2)当x>0时， ()0f x <且(1)2f =-，求函数f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分析：利用函数的单调性求函数的最大值和最小值，这是解决抽象函数(没有具体解析式)常见求最大(或最小)值的方法。
利用函数单调性来判断函数是增函数还是减函数。
解：设21x x <则()()()()1121122][x f x x f x x x f x f +-=+-=因为当x>0时，f(x)<0()012<-x x f()()()()()11121122][x f x f x x f x x x f x f <+-=+-=所以函数f(x)在R 上是减函数()()()()6132121)3(min -==+=+==f f f f f f又由函数在R 上是奇函数，所以函数最大值为6例2：已知()f x 的定义域是(0，+∞)，当x>1时，()0f x >，且()()()f xy f x f y =+求：(1)求(1)f(2)判定()f x 在定义域上的单调性(3)如果1(13f =-，求满足不等式1()()2f x f x --≥2的x 的范围解：(1)由()()()f xy f x f y =+，得(1)(1)(1)f f f =+所以(1)0f =(2)由1(1)()(0f f x f x =+=得1()(f x f x =- 设0<21x x < 则112>x x ，由于当x>1时，()0f x > 所以012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f ()()()22211110x f fx f fx f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()12x f x f >所以函数()f x 在定义域上是增函数(3) 由于1()()f x f x =-，1()13f =- ∴(3)1f =∵()()()f xy f x f y =+∴(9)2f = 由1()()2f x f x --≥2 ，得()()()92f x f x f ≥-+即()()9]2[f x x f ≥∙-∴ ()⎪⎩⎪⎨⎧≥->->,92020x x x x 解得101+≥x例3：已知()f x 的定义域是R ，f(0)≠0，当x>0时，()f x >1且()()()f x y f x f y += 求：(1) (0)f 的值(2)判定函数值的正负(3)判断()f x 在R 上的单调性(4)若1)2()(2>-x x f x f ，求x 的取值范围解：(1) )0()0(2f f = 又f(0)≠0则(0)1f =(2)当x<0时 -x>0∴()()(0)()1f f x x f x f x =-=-=∴()1()0f x f x -=>值为正 则()f x >0∴函数()f x 值为正(3) ∵21x x < ，12,x x R ∈则210x x ->∴()21(0)1f x x f ->=∴()()()()()11121122][x f x f x x f x x x f x f >-=+-=∴函数()f x 在R 上是增函数(4) ∵()()()f x y f x f y +=∴222()(2)(2)(3)f x f x x f x x x f x x -=+-=-由于函数在R 上是增函数，要使得1)2()(2>-x x f x f即())0(32f xx f >- 则032>-x x解得30<<x总之，求解抽象函数问题，用常规方法一般很难奏效，但我们若能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，。
抽象函数
(3) 抽象函数 f(x+y)=f(x)f(y) 可由一个特殊函数 指数函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)抽象而成； (4)抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数 对数函数f(x)=log a x(a＞0，a≠1)抽象而成． 当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函 数模型，而是新定义的一种函数. 这些函数与我们 熟悉的函数一样，有其自己的性质，如奇偶性、 单调性等，有自己的特殊点，有自己的对称性， 能画出大致的示意图像．
1 例 函数f(x)对一切实数x都满足 f 2
1 解： 由 f 2 1
并且方程f(x)=0有3个实根，求这3个实根之和.
1 x f x , 2
直线 x 对称，又因为方程f(x)=0有3个实根，所 12 以 x1 必是方程的一个根．其余两个根x2, x3关 2 于直线 对称，则有 x2 x3 1. 3 所以，x1 x2 x3 . 2 评述：若对定义域内的每一 个实数x，f(a−x) = f(a+x) ， 则 f(x) 的图像关于直线 x = a对称．
例 (1)已知函数y = f(x)的定义域是[1,5],求函数y = f(x2+1)定义域； (2) 已知函数y = f(x2+1)定义域是 [1,5],求函数y = f(x)的定义域； (3) 已知函数f(x)的定义域是[1,5]求函数g(x) = f(x2+1)+ f(1 x)的定义域. (2) 由于函数y = f(x2+1)定义域是 [1,5], 则2 x2+1 26， 所以函数y = f(x)的定义域是 [2,26].
例 设函数f(x)=lgx, y=g(x)的图象与y=f 1 (x+4) 的 图象关于直线 y=x 对称，求 g(3)的值． 解： 因为 y=g(x)的图象与 y=f 1 (x+4)的图象关于 直线 y=x 对称，所以 y=g(x)是函数 y=f 1 (x+4)的 反函数． 方法1 由y=f 1 (x+4)得x+4= f(y), 即x= f(y) 4, 所以g(x)= f(x) 4= lgx 4, g(3)= lg3 4. 方法2 由于f(x)=lgx, 故f 1 (x)=10 x, f 1 (x+4)= 10 x+4, 求 g(3)就是求当f 1 (x+4)= 10 x+4 =3时的x值, 得x+4=lg3,故x=lg3 4, 即g(3) =lg3 4.
高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)
重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式.四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
抽象函数ppt课件
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
f (x) 的定义域．
例 2 已知函数 f (x2 2x 2) 的定义域为0，3，求函数 f (x) 的定义域．
解：由 0≤ x ≤3，得1≤ x2 2x 2≤5 ． 令 u x2 2x 2 ，则 f (x2 2x 2) f (u) ，1≤u ≤5 ．
故 f (x) 的定义域为1，5 ．
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单
调性、奇偶性、周期性及图象问题。
一、抽象函数定义域
1．已知 f (x) 的定义域，求 f g(x) 的定义域
其解法是：若 f (x) 的定义域为 a ≤ x ≤b ，则在 f g(x) 中，a ≤ g(x) ≤b ，从中解得 x
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
谢谢！
请您欣赏
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
的取值范围即为 f g(x) 的定义域．
例 1.已知函数 f (x) 的定义域为1，5，求 f (3x 5) 的定义域．
高一数学知识点 —抽象函数—教师版
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.研究抽象函数首先要注意函数的定义域,尤其是在解答抽象函数对应的不等式时,通过抽象函数的单调性转变为自变量的大小关系式,不能忽视自变量的取值范围;其次抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如()()()f x y f x f y +=+就是从正比例函数抽象出来的; ()()()f xy f x f y =+根据对数函数的性质抽象出来的;()()()f x y f x f y +=根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.抽象函数性质的证明是一种代数推理,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可以漏掉条件,更不要臆造条件,推理过程层次分明.一、抽象函数的概念抽象函数就是没有给出具体函数解析式的函数。
常见的解题方法有赋值法、换元法、具体化法等。
若()x f 的定义域是[]b a ,，则对()[]x g f 来说，必有()[]b a x g ,∈，从而可以得到函数()[]x g f 的定义域。
若()[]x g f 的定义域是[]b a ,，则[]b a ,应作为函数()x g 的定义域，进而求出()x g 的值域，从而得到函数()x f 的定义域。
总而言之，外层函数的定义域就是内层函数在复合函数的定义域上的值域。
抽象函数的值域和最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其值域或最值。
对于选择、填空题也可以利用奇函数在对称区间上具有相同的单调性、偶函数在对称区间上具有相反的单调性等结论来求解。
【例1】函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f【难度】★★ 【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，再令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ，故()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f【例2】函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 【难度】★★【答案】[2,⋃-【解析】因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x .【例3】已知()211xf x x =++,求()f x . 【难度】★ 【答案】1()1xf x x+=- 【解析】设1x u x =+,则1u x u =-∴1()2111u u f u u u +=+=--∴1()1xf x x+=-【例4】如果奇函数()x f 在[]7,3上是增函数且有最小值为5，那么()x f 在[]3,7--上是（）A .增函数且有最小值为5-B .增函数且有最大值为5-C .减函数且有最小值为5-D .减函数且有最大值为5-【难度】★★ 【答案】B【例5】设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则)()(x g x f -的值域为 ．【难度】★★ 【答案】]1,3(--【解析】在()()f x g x -代入x -，因为)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，()()[()()]f x g x f x g x ---=-+，所以值域为]1,3(--，因为定义域为关于原点对称，所以值域是一样的，)()(x g x f -值域为]1,3(--【巩固训练】1.定义在R 上的函数()x f 满足()()()xy y f x f y x f 2++=+，()21=f ，则()=-3f 【难度】★★ 【答案】62.已知函数)1(-x f 的定义域为[2，4],求函数)2(x f 的定义域.【难度】★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,213.若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域. 【难度】★ 【答案】]1,1[-.【解析】函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-.4.已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 【难度】★★ 【答案】21()1f x x =-.2()1xg x x =- 【解析】∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.【难度】★★ 【答案】[]-42，【解析】设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0得f ()00= ∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二、抽象函数的性质1、抽象函数的单调性抽象函数单调性的求解与证明一般按照单调性的定义来解决，但由于解析式的缺乏，往往只能对题设条件中的等量关系进行适当的拼与凑，来处理()()21x f x f -与0的大小比较，如将1x 变形成()221x x x +-、221x x x ⋅等。
抽象函数
f(x)是定义在 上的偶函数， f(x)=f(2-x)， 是定义在R 例4 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)， 证明f(x)是周期函数。 f(x)是周期函数 证明f(x)是周期函数。 分析： f(x)=f(2-x)， f(x)的图象关于 分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于 x=1对称 对称， f(x)是定义在 上的偶函数， 是定义在R x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于 轴对称，根据上述条件， y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一 个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。 个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。 从图上直观地判断，然后再作证明。 从图上直观地判断，然后再作证明。 由图可直观得T=2,要证其为周期函数， T=2,要证其为周期函数 由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证 x)。 f (x) = f (2 + x)。 证明： ([2证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f x)， T=2。 (2 + x)，∴ T=2。 (x)是一个周期函数 是一个周期函数。 ∴f (x)是一个周期函数。
一般形式 不给出具体解析式， 不给出具体解析式，只给出 函数的特殊条件或特征的函数即 抽象函数。一般形式为y=f(x) y=f(x)， 抽象函数。一般形式为y=f(x)， 或许还附有定义域、值域等， 或许还附有定义域、值域等，如： y>0)。 y=f(x), (x>0, y>0)。
常见函数的抽象函数形式 幂函数： 幂函数：f(xy)=f(x)f(y) 正比例函数： 正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y) 对数函数： 对数函数：f(x)+f(y)=f(xy) 三角函数：f(x+y)+f(x三角函数：f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y) 指数函数： 指数函数：f(x+y)=f(x)f(y) 周期为n的周期函数： 周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)
高三抽象函数知识点
高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。
通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。
本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。
一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。
这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。
抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。
二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。
而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。
2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。
通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。
3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。
极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。
4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。
三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。
可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。
图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。
四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。
在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。
在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。
在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。
总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。
高考专题总复习之---抽象函数ppt
） B. 增函数且最大值为 -5
y D. 减函数且最大值为 -5
5 O -7 -3 3 -5 7 x
易知选B。
回
4. 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性、周期性等性质将自变 量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使 问题获解。 例4.已知函数 y f x 是偶函数，且 y f x 2 在 0, 2 上是单调减函数，则（ A ） A f 0 f 1 f 2 B f 1 f 0 f 2
对f ( x)有T 8 f (2008) f (8 251 0) f (0) 1
6. 研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解
例13. 若函数
y f ( x 2) 是偶函数，则 y f ( x)
左移 2 个单位 右移 2 个单位
的图象关于直线_______对称。
f(x+y)=f(x)f(y)
f(x+T)=f(x) …….
f(x)=ax
周期函数
……
5. 求函数值
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代 可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具 有周期性，利用周期性使问题巧妙获解
例5. 已知 f ( x) 的定义域为 R ，且对一切正实
数x，y有 f ( x y) f ( x) f ( y) 都成立，若
定义域.
例1.函数 y f ( x)的定义域为 (， 1) ,则函 数 y f ( x 2 2) 的定义域是 。
练习已知 y f (2 x ) 的定义域为 1,1 ，求函数
y f ( x)
1 , 2 的定义域________ 。 2
抽象函数周期函数复合函数对称性课件
第六讲i一、 周期函数（a ）概念：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
（b ）函数周期性的几个重要结论：2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=二、函数对称性（一） 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
函数——抽象函数(函数类型)
函数—抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。
抽象来源于具体。
抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。
★★抽象函数常见模型:函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数幂函数二次函数（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数对数函数或f(x m)=mf(x)余弦函数（和差化积）还有周期性。
正切函数余切函数 f(x)=cotx一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。
若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。
例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。
二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。
例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x ＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
三、以幂函数为模型的抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。
例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。
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第六讲 抽象函数
所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数．抽象函数问题一般是根据所给的性质讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等．
抽象函数的处理方法主要是“赋值法”，利用变量代换解题．也常由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本初等函数，再由相关函数的相关性质，预测、猜想抽象函数可能具有相关性质，并给出证明，这是使抽象函数问题获解的一种有效方法．
例如
由()()()f x y f x f y +=+联想及正比例函数()(0)f x kx k =≠；
由()()()f x y f x f y b +=+-联想及一次函数()(0)f x kx b k =+≠；
由()()()f x y f x f y +=联想及指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠且；
由()()()f x y f x f y =+联想及对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠且； 由()()()f x y f x f y =联想及幂函数()f x x α=，
等等．
1.函数,f g 均为实数集R 到R 上的非常值函数，且满足
()()()()()()()()()()
f x y f x
g y g x f y g x y g x g y f x f y +=+⎧⎨+=-⎩ 求(0)f 与(0)g 的所有可能值．
2.已知函数,f g 均在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有
()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，
且(1)0f ≠．（1）求证：()f x 为奇函数；（2）若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值．
3.已知函数()f x 的定义域为R ，且对,m n R ∈恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12
x >-时，()0f x >．（1）求证：()f x 是R 上的单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证．
4.设()f x 是定义在R 上的非常值函数，且对任意,x y 都有
()()2[()()]f x y f x y f x f y ++-=+．
（1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 是R 上的偶函数；（3）试举出具有这种性质
2
的一个函数，并加以验证．
5.设定义在{0}D x x =≠上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+．（1）求(1)f 的值；（2）判断并证明()f x 的奇偶性；（3）若(2)1f =，试给出一个满足题意的函数并加以验证．
6.已知函数
()(R y f x x =∈对任意实数,x y ，都有()()2(f x y f x y f x f y ++-=成立，且0(0)f ≠．（1）求(0)f 的值；（2）判断并证明()()R y f x x =∈的奇偶性；（3）若函数()()R y f x x =∈在[0,)+∞上单调递增，且(1)023f x a --≥+对任意的x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
7.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b
+>+．（1）判断()f x 的单调性，并给予证明；（2）若(1)1f =，且2()21f x m mb ≤-+对于所有的[1,1]x ∈-，[1,1]b ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．
8.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：
①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x y f x f y f xy
++=+； ②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >．
（1）求证：函数()f x 是奇函数；（2）判断()f x 在(1,1)-上是否具有单调性，
并加以证明；（3）设11a -<<，试求不等式1()()01f a f x
+>-的解． 9.已知定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：
①,(1,1)x y ∀-∈，都有()()()1x y f x f y f xy
++=+， ②当(0,1)x ∈时，()0f x <．
（1）求(0)f ；（2）求证：,(1,1)x y ∀-∈，都有()()()1x y f x f y f xy
--=-；（3）证明21111()()()()1929
7112f f f f n n +++>++，*n N ∈．
3
10.设()f x 是定义在{0}D x x =≠上的奇函数，且在(0,)+∞上单调递增．（1）判断并证明()f x 在(,0)-∞内的单调性；（2）若(1)0f =，试解关于x 的方程
2[log (1)1]0
a f x -+=；（3）设0,0m n >>，()()()f mn f m f n =+，且(2)1f -=-，试解关于t 的不等式12
log ()10f t +>．
11.设定义在R 上的函数()f x 满足：
①(0)0f =，(1)1f =-；
②,R x y ∀∈都有()(1)()()2
x y f a f x af y +=-+（a 为常数）． （1）求a 与(1)f -的值；（2）求证：,R x y ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+；（3）若当0x >时，()0f x <，解关于x 的不等式2211()()()()22
f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥．
12.已知函数()f x 满足对任意的实数,x y 都有()()()1f x y f x f y xy +=+++，且(2)2f -=-，（1）求(1)f 的值；（2）证明：对一切大于1的正整数t ，恒有()f t t >；
（3）试求方程()f t t =的整数解的个数，并说明理由．
13.设函数()f x 是满足下列条件的函数： ①若x y >且()()f x x a f y y +≥≥+，则存在实数[,]z y x ∈，使得()f z a z =-； ②方程()0f x =至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；
③(0)1f =；
④(1999)2000f -≤；
⑤()()[()()]f x f y f xf y yf x xy =++．
求(1999)f -的值．。