2015-2016学年高中数学人教版必修二模块检测
人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测2(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。
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模块综合测评(教师独具)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β， 则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( ) A ．10－1 B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.] 4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13， 则( )A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直， 则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图， 在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6， 则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( ) A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交， 即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.]12．如图， 在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°， 点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置， 使PC ＝PD ，连接PC, 得到三棱锥P BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形， 由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB ＝OD ，得OB ＝72， 所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________． －2 [由题意知：m ＋1＝2m，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．如图所示， 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ABCD ＝V O ABCD ＋V O PAD ＋V O PAB ＋V O PBC ＋V O PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12· 2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′， 所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)若直线l 与圆C 相离， 求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)， |CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b2b.所以l 1的方程是y －b ＝1－b2b(x ＋1－b 2).化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1. 同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ， 则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数， 即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0. 化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。
(完整版)高中数学必修二模块综合测试卷(含答案)
高中数学必修二模块综合测试卷(含答案)一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ． (2,1) C ．(4,2)- D ．(1,2)-2. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（ ） A ．2- B ．2 C ．12-D ．133．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)- 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6. 下列四个命题中错误的．．．是（ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.20y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ ）A ．1B ．C ．D ． 2 9. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边 长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．1主视图左视图俯视图10．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_____.13. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.14. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是6. 其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（共6小题）15. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(一)(有答案)
模块综合测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是( )A.因为直线向两方无限延伸,所以直线不可能在平面内B.如果线段的中点在平面内,那么线段在平面内C.如果线段上有一个点不在平面内,那么线段就不在平面内D.当平面经过直线时,直线上可以有不在平面内的点思路解析:根据公理1判断,只要当直线上有两点在一个平面内,则这条直线就在平面内;反之,只要直线上有一个点不在平面内,则这条直线就不在平面内. 答案:C2过点(-1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.23-B.32-C.52D.2 思路解析:用两点式得到过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为y=2x+3.令y=0,得x=23-. 答案:A3在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与AD 成异面直线的棱共有( ) A.4条 B.5条 C.6条 D.7条思路解析:其余11条棱中,有4条与AD 异面,有三条与它相交,其他4条异面. 答案:A4点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.a<-1或a>1 D.a=±1思路解析:解不等式(1-a)2+(1+a)2<4. 答案:A5球的面积膨胀为原来的3倍,膨胀后的球的体积为原来的( ) A.3倍 B.32倍 C.33倍 D.4倍思路解析:球的面积变为原来的3倍,球的半径就变为原来的.3倍,则它的体积就变为原来的33倍. 答案:C6下列命题:①一条直线在平面内的射影是一条直线. ②在平面内射影是直线的图形一定是直线. ③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线互相平行. 其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3思路解析:各个命题,都可以举出反例说明它们不成立,如:命题①一条直线的射影可以为一个点;命题②和此平面垂直的平面在此平面内的射影也可以是一条直线;命题③与此平面所成不同角的斜线射影长相等,但斜线长不相等;命题④两斜线与平面所成角相等,则他们也可能相交或异面. 答案:A7已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m),则AB 的最小值是( ) A.179 B.173C.17173D.17179思路解析:AB 2=(1-2m)2+(2-3m)2+(-2+2m)2=17m 2-24m+9=17(m-172)2+179=179, ∴AB min =17173179=. 答案:C8正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,下列结论不成立的是( )A.AC⊥BDB.△ADC 为正三角形C.AB 、CD 所成角为60°D.AB 与面BCD 所成角为60°思路解析:AB 与面BCD 所成的角应为45°. 答案:D9从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( ) A.π B.2π C.4π D.6π 思路解析:将圆的方程配方得: x 2+(y-6)2=9,圆心在(0,6),半径为3.如图1,Rt△PAO 中,OP=6=2PA,图1从而得到∠AOP=30°,即∠AOB=60°.可求∠BPA=120°. ∴P 的周长为2π×3=6π, 劣弧长为周长的31,可求得劣弧长为2π. 答案:B10a 、b∈N *,则同时过不同三点(a,0)、(0,b)、(1,3)的直线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.多于3 思路解析:过(a,0)与(0,b)的直线为by a x +=1, 于是ba 31+=1, 故3a=b(a-1).若b=3m,m∈N *,则a=m(a-1),于是m≤2,代入逐个验证可知,m=2,a=2,进而b=6;若b≠3m,则必有a-1=3n,n∈N *,则1=n(b-3),于是只有n=1,b=4,进而a=4, 故满足条件的直线最多有2条. 答案:B11图2,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=23,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为…( )图2A.29 B.5 C.6 D.215 思路解析:分别取AB 、CD 的中点G 、H 连EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积29,进而整个多面体的体积为215. 答案:D12光线从点A(-1,1)射出经x 轴反射到圆C:(x-5)2+(y-7)2=4的最短路程是( ) A.26-2 B.8 C.64 D.10 思路解析:点A(-1,1)关于x 轴的对称点是A′(-1,-1).圆心C(5,7),最短路程是A′C -r=2286+-2=8. 答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 13过P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为___________. 思路解析:过P 点且垂直于OP 的直线为所求,方程为x+2y-5=0. 答案:x+2y-5=014已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=1,则球面面积为___________-.思路解析:由于球心在截面ABC 上的射影是△ABC 的外心(即小圆的圆心),则小圆的半径、球的半径及球心到截面的距离组成一个直角三角形,求出球的半径为32,最后利用球的面积公式得S=916π为所求. 答案:916π15在xOy 平面上,四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)、(0,3),则这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积为__________.思路解析:几何体的体积为一个圆台(两底半径分别为1、3,高为2)的体积减去一个圆锥的体积(底为1,高为1). 答案:325π16如图3,已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图3思路解析:上面补成一个与原图形一样的图,把它倒扣在原图上即成一个圆柱.它的高为21(a+b).所求体积为它的一半. 答案:21πr 2(a+b) 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)如图4,A 、B 分别是异面直线a 、b 上两点,自AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行,M 、N 分别是a 、b 上的任意两点,MN 与α交于点P.图4求证:P 是MN 的中点.思路分析:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,从而在△ABN 和△AMN 中利用中位线的性质求解. 证明:连接AN 交α于Q,连结OQ 、PQ,∵b∥α,OQ 是过直线b 的平面ABN 与α的交线,∴b∥OQ.同理PQ∥a.在△ABN 中,O 是AB 的中点,OQ∥BN, ∴Q 是AN 的中点. 又∵PQ∥a,∴P 是MN 的中点.18(本题满分12分)画出方程|xy|+1=|x|+|y|的图形,并求图形所围成的面积S. 思路分析:关键是先把题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0这种易于求解的形式. 解:将题中方程化简为(|x|-1)(|y|-1)=0,由它得到|x|=1或|y|=1x=±1或y=±1.它的图形(如图5)是四条直线围成的正方形ABCD,它的边长为2,面积为S=22=4.图519(本题满分12分)如图6所示,在正△ABC 中,E 、F 依次是AB 、AC 的中点,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D 、H 、G 为垂足.若将正△ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥体积为V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值为多少？图6思路分析:阴影部分所产生旋转体体积用形成的大圆锥体积减去圆柱的体积方法计算. 解:设圆锥的高为h,底面半径为r,则圆柱的高为2h ,底面半径为2r . 所以,85312)2(1122=••-=-=-h r h r VV V V V ππ柱柱. 20(本题满分12分)圆C:x 2+y 2-x-6y+F=0与直线l:x+2y-3=0交于两点P 、Q,且OP⊥OQ,求F 的值.思路分析:P,Q 两点即为圆的方程和直线的方程联立得到的方程的解.但没有必要求两点坐标的具体值,F 的值我们可以通过运用一元二次方程根与系数的关系灵活求解. 解:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2).联立题目中圆和直线的方程并消去y,我们有⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+--+.23,0622xy F y x y x 5x 2+2x+4F-27=0. 根据根与系数的关系,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=•-=+.5274,522121F x x x x根据题意,有PO⊥OQ 2211x y x y •⇒=-1⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+⇒=-•-0232321x x 5x 1x 2-3(x 1+x 2)+9=0⇒5×52109)52(35274=⇒=+-⨯--F F . 21(本题满分12分)如图7,已知多面体ABCDE 中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为CE的中点.图7(1)求证:BF⊥面CDE.(2)求多面体ABCDE 的体积.(3)求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.思路分析:(1)如图6,取CD 的中点G,DE 的中点H,连接FG,FH,容易证明它们也是相应边的垂线.再连接BH.欲证线面垂直,先证线线垂直.如果BF⊥面CDE 证明成立的话,则必然有BF⊥CE,考虑到F 为CE 的中点,我们的目标就是要证明△BCE 是等腰三角形.另外由于BF 在平面ACD 上的射影AG 是△ADC 的边CD 上的高,所以BF⊥CD.这样BF 就垂直于平面ACD 上的两条相交直线,从而BF⊥面CDE.(2)求多面体的体积可以采取将图形通过切割转化为几个简单的几何体分别求体积后求和的方法.(3)注意到△BCE 在平面ACD 上的射影就是△ADC,有结论:两者的面积之比就是所成二面角的余弦值,利用这个结论列式求解. 解:(1)证明:∵AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC, 由AB=a,AC=2a,得BC=5a.同理,在直角梯形ABDE 中,AB⊥AD,DE⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,所以BE=5a. 又F 是CE 的中点,∴BF⊥CE.∵BF 在面ACD 上的射影是等边△ADC 的边CD 上的高, ∴BF⊥CD.∴BF⊥平面CDE.(2)解:连结BD,把原几何体分成三棱锥B —ACD 与三棱锥B —CDE.V B —ACD =31AB·S ACD =31·a·43(2a)2=33a 3.∵CE=22a,CF=2a, 而BC=5a,∴BF=3a,∴V B —CDE =31BF·S CDE =31·3a·21·(2a)2=3323a .故所求多面体ABCDE 的体积为3a 3.(3)解:设面BCE 与面ACD 所成的角为θ. ∵△BCE 在面ACD 上的射影为△ACD,∴cosθ=2232221)2(432=••=∆∆a a a s S BCE CDA , ∴θ=4π 22(本题满分14分)已知圆C:x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.思路分析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A 和B 的坐标值.但不必解出A 和B 坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB 为直径的圆可表示为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. 解:假设直线存在,设l 的方程为y=x+m,由⎩⎨⎧=-+-++=,0442,22y x y x m x y得2x 2+2(m+1)x+m 2+4m-4=0.(*) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+y 2=-(m+1),x 1x 2=2442-+m m .∵以AB 为直径的圆(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0, 若它经过原点,则x 1x 2+y 1y 2=0.又y 1·y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2.∴2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=0,∴m 2+3m-4=0,m=-4或m=1.∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ>0, ∴所求直线l 的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.。
人教课标版必修2高中数学必修二模块综合测试卷(7)
高一数学必修2质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至6页。
考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S h 下台体上＝（＋；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A 、 一定平行B 、一定相交C 、平行或相交D 、一定重合 2. 两圆229x y +=和22430x y x +-+=的位置关系是Ａ、相离 Ｂ、相交 Ｃ、内切 Ｄ、外切 3. 从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，则它的体积为A 、6B 、36CD 、4．若点P (4,2,3)--关于坐标平面xoy 及y 轴的对称点的坐标分别是（a,b,c ）、（e,f,d ）, 则c 与e 的和为A 、7B 、－7C 、－1D 、1 5．下列命题正确的是A 、过一点作一条直线的平行平面有无数多个B 、过一点作一直线的平行直线有无数条C 、过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D 、过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行6. 若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是 A 、平行 B 、在平面内 C 、相交 D 、平行或在平面内7. 若直线2314y x k =-++与直线432x y k -=--的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是A 、62k -<<-B 、53k -<<-C 、6k <-D 、2k >- 8. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下有三种说法： ①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③若m ⊥β，m ⊥n ，n β⊆/,则n ∥β.其中正确命题的个数是 A 、3个 B 、2个 C 、 1个 D 、 0个9. 已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是 A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AC ⊥β D. AB ∥β 10. 对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得A 、,a b αα⊂⊂B 、,//a b αα⊂C 、,a b αα⊥⊥D 、,a b αα⊂⊥ 11. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y --= D 、10x y -+= 12. 若直线1x ya b +=与圆221x y +=有公共点，则 A ． 2211a b +≥1 B ．22111a b +≤C ． 221a b +≥ D ．221a b +≤二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
人教版高中数学选择性必修第二册 全册模块综合检测1(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。
2015-2016高中数学人教版选修2-2模块综合检测卷
模块综合检测卷(测试时间:120分钟评价分值：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2014·高考天津卷)i是虚数单位，复数错误!＝（A）A．1－i B．－1＋iC。
错误!＋错误!i D．－错误!＋错误!i解析：错误!＝错误!＝错误!＝1－i，故选A.2．i是虚数单位,在复平面上复数错误!对应的点到原点的距离是(D）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：错误!＝错误!＝错误!，所以复数错误!在复平面上对应的点为错误!，它到原点的距离为错误!＝错误!。
故选D.3．(2015·广东江门调研)i是虚数单位,则(32i－错误!）(－错误!＋错误!i)＝（D)A．1 B．－错误!＋错误!iC.错误!－错误!i D．－错误!－错误!i解析：错误!错误!＝－错误!i－错误!＋错误!－错误!i＝－错误!－错误!i。
故选D.4．数列2，5,11，20，x,47,…中的x等于(B）A．28 B．32 C．33 D．27解析：由题中数字可发现：2＋3＝5，5＋6＝11,11＋9＝20，故20＋12＝32.5．(2015·海南省海南中学5月模拟改编)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1，3），则实数b的值为(C)A．1 B．－3 C．3 D．－1解析：y′＝3x2＋a，所以有错误!解得错误!故选C.6．（2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根"时，要做的假设是（A）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析:反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根"的否定是“没有”,故选A.7．在复平面内，若复数z满足|z＋1｜＝｜1＋i z｜，则z在复平面内对应点的轨迹是（A)A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解析：设z＝x＋y i（x、y∈R)，｜x＋1＋y i｜＝错误!,｜1＋i z|＝|1＋i（x＋y i）｜＝错误!,则错误!＝错误!.∴复数z＝x＋y i对应点（x，y）的轨迹为到点（－1，0）和（0,1)距离相等的直线．8．如图，阴影部分面积为(B)解析：9．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒解析:s′(t)＝2t－1，s′(3)＝2×3－1＝5.10．（2015·安徽江淮十校4月联考）二次函数f（x）的图像经过点错误!，且f′(x)＝－x－1，则不等式f(10x）〉0的解集为（D）A．(－3，1）B．（－lg3，0）C.错误!D．（－∞，0）解析:由f′（x）＝－x－1知f（x)＝－x2－x＋m,又f（0）＝错误!,所以m＝错误!，即f（x)＝－错误!x2－x＋错误!，f（x)＝－错误!x2－x＋错误!〉0⇒－3〈x〈1，所以10x<1，x<0,故选D。
高中数学(人教版必修2)模块综合检测(二) Word版含答案
模块综合检测(二)(时间分钟，满分分)一、选择题(共小题，每小题分，共分)．若直线＋＋＝与直线＋(－)＝－＋平行，则实数＝( )．．－．－或．－或解析：选因两直线平行，所以(－)－×＝，解得＝或＝－.经检验，当＝－时，两直线重合，故选.．若空间直角坐标系中，轴上一点到点()的距离为，则点的坐标为( )．()．()．()或()．()解析：选由题意，设()，则＝＝，解得＝或＝.．直线：＋＝和圆：＋＋＋＝在同一坐标系的图形只能是( )解析：选可知圆心，半径＝，则圆心到直线的距离为＝＝＝，∴直线与圆相切，由此排除，，，选.．已知圆：(＋)＋(－)＝，圆与圆关于直线：－－＝对称，则圆的方程为( )．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(－)＋(－)＝解析：选可知(－)，直线的斜率为，设圆的圆心坐标为(，)，则＝，线段的中点为.∵圆与圆关于直线对称，∴线段被直线垂直平分，∴有(\\((－＋)·＝－，,(－)－(＋)－＝，))解得(\\(＝，＝－，))∴圆的方程为(－)＋(＋)＝，故选.．面积为的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )．π．π．π．π解析：选设正方形边长为，则＝，侧＝π··＝π.．关于直线，与平面α，β，有下列四个命题：①∥α，∥β且α∥β，则∥；②⊥α，⊥β且α⊥β，则⊥；③⊥α，∥β且α∥β，则⊥；④∥α，⊥β且α⊥β，则∥.其中真命题的序号是( )．③④．①②．②③．①④解析：选对于①，与可能平行，可能相交，也可能异面，所以①是假命题；②是真命题；对于③，⊥α，α∥β⇒⊥β，若∥β，必有⊥，所以③是真命题，从而④是假命题，故选.．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )解析：选由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为＝××π××＝.．正六棱柱的底面边长为，最长的一条对角线长为，则它的表面积为( )．(＋)．(＋)．(＋)．(＋)选解析：示，如图所＋××＝＋＝××＋)．＝(．三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则一定为△的( )．外心．垂心．重心．内心解析：选若三棱柱的三个侧面两两垂直，则三条侧棱两两垂直(可以证明，略)，根据线面垂直的判定与性质可知，一定为△的垂心．．已知△是等腰直角三角形，∠＝°，⊥，为垂足，以为折痕，将△和△折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：。
人教版高中数学《必修2》 模块测试题
人教版高中数学《必修2》 模块测试题（满分150分 时间 120分钟）班级：__________ 姓名：__________ 成绩：__________一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．若直线经过((1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D 120︒ 2．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．四边相等的四边形 3．已知圆心为(1,2)C -，半径4r =的圆方程为（ ） A ．()()22124x y ++-= B ．()()22124x y -++= C ．()()221216x y ++-= D ．()()221216x y -++= 4．直线134x y+=与,x y 轴所围成的三角形的周长等于（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．60 5．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2 CD6．下列说法正确的是（ ）A ．//,//a b b a αα⊂⇒B ．,a b b a αα⊥⊂⇒⊥C ．,//a b a b αα⊥⊥⇒D ．,a a αββα⊥⊂⇒⊥7．如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个8．已知圆221:1O x y +=与圆()()222:3416O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．相离9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB 与CD 的位置关系为（ ）A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直 10．对于任意实数a ，点(),2P a a -与圆22:1C x y +=的位置关系的所有可能是（ ）A ．都在圆内B ．都在圆外C ．在圆上．圆外D ．在圆上．圆内．圆外11．已知直线m ，n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m ，n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是( )． (A )①②③ (B )①②④ (C )①④ (D )②④12．若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2＋y 2＝9总有公共点，则b 的取值范围是( ) (A ))5,5(-(B )]5,5[-(C )(－2，2)(D )[－2，2]ADA二．填空题：（共4小题，每小题5分）13．已知一个球的表面积为236cm π，则这个球的体积为 3cm ． 14．过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面有 个．15．已知点Q 是点(3,4,5)P 在平面xOy 上的射影，则线段PQ 的长等于 ． 16．已知直线l 与直线4350x y -+=关于y 轴对称，则直线l 的方程为 ． 三．解答题：（共6小题）17．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点(2,0)C ．（1）求直线CD 的方程；（2）求AB 边上的高CE18．（本小题满分12分）已知一个几何体的三视图如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点,P Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=︒，求证：平面PEF ⊥平面PBC ．20．（本小题满分12分）设直线240x y ++=和圆222150x y x +--=相交于点,A B ． （1）求弦AB 的垂直平分线方程；(2)求弦AB 的长．A21．（本小题满分12分）如图（1），边长为2的正方形ABEF 中，,D C 分别为,EF AF 上的点，且ED CF =，现沿DC 把CDF 剪切．拼接成如图（2）的图形，再将,,BEC CDF ABD 沿,,BC CD BD 折起，使,,E F A 三点重合于点A '．（1）求证：BA CD '⊥；（2）求四面体B A CD '-体积的最大值．22．（本小题满分10分）已知圆C 的圆心为原点O，且与直线0x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）点P 在直线8x =上，过P 点引圆C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，求证：直线AB 恒过定点．D3图（）E人教版高中数学《必修2》 模块测试题参考答案一．选择题：（共12小题，每小题5分） 1-12：ADCBB CACDB BB 二．填空题：（共4小题，每小题5分）13．36π 14．1 15．5 16．4350x y +-= 三．解答题：17．解：（1） 四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴． 2CD AB k k ∴==．∴直线CD 的方程为()22y x =-，即240x y --=． （2）CE AB ⊥ ，112CE AB k k ∴=-=-． ∴直线CE 的方程为()122y x =--，即220x y +-=． 18．（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积．圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．())2122S a a π=⋅=圆锥侧，()()2224S a a a ππ=⋅=圆柱侧， 2S a π=圆柱底，所以)222245S a a a a πππ=++=表面．（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则，PQ ===所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为． 19．证明：（1）,E F 分别是,AC BC 的中点，//EF AB ∴． 又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， //EF ∴平面PAB .（2）在三角形PAC 中，PA PC = ，E 为AC 中点， PE AC ∴⊥．平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， PE ∴⊥平面ABC ． PE BC ∴⊥．又//,90EF AB ABC ∠=︒，CAEF BC ∴⊥，又EF PE E ⋂=， BC ∴⊥平面PEF ．∴平面PEF ⊥平面PBC ．20．（1）圆方程可整理为：()22116x y -+=，所以，圆心坐标为()1,0，半径4r =，易知弦AB 的垂直平分线过圆心，且与直线AB 垂直， 而1,22AB l k k =-∴=，所以，由点斜式方程可得：()21y x =-， 整理得：220x y --=．（2）圆心()1,0到直线240x y ++=的距离d ==故AB ==21．（1）证明：折叠前，,BE EC BA AD ⊥⊥， 折叠后,BA A C BA A D ''''⊥⊥又A C A D A '''⋂=，所以BA '⊥平面A CD '， 因此BA CD '⊥．（2）解：设()02A C x x '=<<，则2A D x '=-．因此()122A CD S x x '=- ， ()11122332B A CD A CD V BA S x x ''-'∴=⋅=⨯⨯- ()21113x ⎡⎤=--+⎣⎦所以当1x =时，四面体B A CD '-体积的最大值为13．22．解：（1）依题意得：圆C的半径4r ==， 所以圆C 的方程为2216x y +=． （2）,PA PB 是圆C 的两条切线，,OA AP OB BP ∴⊥⊥． ,A B ∴在以OP 为直径的圆上．设点P 的坐标为()8,,b b R ∈，D3图（）则线段OP 的中点坐标为4,2b ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴以OP 为直径的圆方程为()222244,22b b x y b R ⎛⎫⎛⎫-+-=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得：2280,x y x by b R +--=∈AB 为两圆的公共弦，∴直线AB 的方程为816,x by b R +=∈所以直线AB 恒过定点()2,0．。
人教版高中数学必修二 综合模块检测答案解析版
)
A.(x-2)2+(y+1)2=3
B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9
D.(x+2)2+(y-1)2=9
3 2 4 1 5
【解析】由题意知圆的半径 r
3 ,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.
32 42
【答案】C
【答案】C
3.三条直线两两平行,可以确定的平面个数是(
)
A.1
B.1 或 2
C.3
D.1 或 3
【解析】当三条直线在一个平面内时,可确定一个平面;当三条直线不共面时,可以确定三个平面.
【答案】D
4.经过圆 x2+y2-4x+4y=0 的圆心,且和直线 2x-y+1=0 垂直的直线方程为(
)
A.2x-y-6=0
【答案】B
9.已知α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,给出下列说法:
①若 l⊥α,α⊥β,则 l⊂β;②若 l∥α,α∥β,则 l⊂β;
③若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β;④若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β.
其中说法正确的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】对于①,若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β或 l⊂β,故①错误;对于②,若 l∥α,α∥β,则 l⊂β或 l∥β ,故②错
误;对于③,若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β,故③正确;对于④,若 l∥α,α⊥β,则 l⊂β或 l∥β或 l⊥β或 l 与β斜交,
故④错误.
【答案】A
10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 ,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程
高中数学 模块测试卷过关测试 新人教A版必修2
2014-2015学年高中数学 模块测试卷过关测试 新人教A 版必修2（150分，120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 3 C. 2 D. 52.α，β表示两个不同的平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三种情况：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，则其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3图1 图23. 如图1，在△ABC 中，|AB |＝2，|BC |＝1.5，∠ABC ＝120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ( ) A ．29π B. 27π C. 25π D. 23π 4. 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( )A ．0B ．33C ．3D ．－35. 如 图 2，平 面α⊥平 面β，α∩β＝直 线l ，A ，C 是α 内 不 同 的 两 点，B ，D 是 β 内 不 同 的 两 点，且A ，B ，C ，D 直 线l ，M ，N 分 别 是 线 段AB ，CD 的 中 点．下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A ．当|CD |＝2|AB |时，M ，N 两点不可能重合B ．M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当AB ，CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行 6. 从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图3，则该几何体的体积为( )A ．52B ．62C ．9D ．10 图3 7. 已知直线l 的倾斜角为43π，直线l 1经过点A (3，2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．28. 在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A (21，21，21)，B (21，21，0)，C (31，31，31)，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BC D ．OB ⊥OC9. 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |的值最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1，1)B ．(0，2)C ．(－2，0)D ．(1，3)10. 已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0.当直线l 被C 截得的弦长为23时，a 等于( )A. 2 B ．2－2 C. 2－1 D. 2＋111.设P (x ，y )是圆C ：x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则2211）（）－（-+y x 的最小值为( ) A. 26＋2 B. 26－2 C ．5 D ．612. 已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( ) A ．6B.211 C ．8 D.221 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 如图4，在长方形ABCD 中，|AB |＝2，|BC |＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设|AK |＝t ，则t 的取值范围是_____．图414. 过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为_____．15. 若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上有且只有两个点到直线x －y －2=0的距离为1，则实数r 的取值范围是______．16. 给出下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为真命题的是______(填序号)．三、解答题（17~20题每题12分，其余每题13分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知△ABC 的三个顶点A (4，－6)，B (－4，0)，C (－1，4)，求: (1)AC 边上的高BD 所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线EF 的方程；(3)AB边的中线的方程．18. 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．19. 如图5，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O.(1)若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：|PB|＝|PD|.图520. 已知圆P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式a2－b2－2b＋4取得最小值时的圆的方程．21. 如图6所示，正三棱柱A1B1C1－ABC中，点D是BC的中点，|BC|＝2|BB1|，设B1D∩BC1＝F.求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.图622. 如图7所示，已知直线l：y＝x，圆C1的圆心为点(3，0)，且经过点A(4，1)．(1)求圆C1的方程；(2)若圆C2与圆C1关于直线l对称，点B、D分别为圆C1、C2上任意一点，求|BD|的最小值；(3)已知直线l上一点M在第一象限，点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒22个单位的速度沿射线OM方向运动，设运动时间为t 秒．问：当t为何值时，直线PQ与圆C1相切？图7参考答案及点拨一、1. C 点拨:由平行直线间的距离公式，得所求距离d ＝22)1(1=--，故选C.2. C 点拨:由①②⇒③，①③⇒②是正确命题，由②③不能得到①.故选C.答图13. D 点拨:如答图1所示，旋转后形成的组合体是圆锥CD 中挖去一个小圆锥BD ，所求体积即为两者体积之差，即V ＝31π·|AD |2·(|CD |－|BD |)＝31π()23×1.5＝23π. 4. C 点拨:由PQ k ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转 60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan 60°＝3.5. B 点拨:若M ，N 两点重合，由|AM |＝|MB |，|CM |＝|MD |知AC ∥BD ，从而AC ∥平面β，故有AC ∥l ，故B 正确．6. C 点拨:由三视图知，该几何体为棱锥A －BCDE ，如答图2，∴V ＝27－31227-×3×29＝9，∴选C.答图27. B 点拨:由题意，知直线l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，即k AB ＝a---3)1(2＝1，∴a＝0.由l 1∥l 2，得－b2＝1，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2. 8. C 点拨:易得｜AB ｜＝21，｜AC ｜＝63，｜BC ｜＝66，因为｜AC ｜2＋｜BC ｜2＝｜AB ｜2，所以AC ⊥BC .9. B 点拨:根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知｜PT ｜＝12-PC ，故当｜PT ｜的值最小时，｜PC ｜的值最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，由⎩⎨⎧+-=+=.2,2x y x y 可得点P 的坐标为(0，2)．10. C 点拨:由题意知圆心为(a ，2)，到直线l 的距离应等于1，即232+-a ＝1，∴a ＝－1±2.∵a ＞0，∴a ＝2－1. 11. B 点拨:如答图3所示，设A (1，1)，则()()2211-+-y x ＝｜PA ｜，则｜PA ｜的最小值为｜AC ｜－|PC |＝26－2.答图3 答图4 12. B 点拨:如答图4，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为34-+yx ＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝516)4(312140322=-+-⨯-⨯， ∴△ABP 的面积的最小值为21×5×2111516=⎪⎭⎫⎝⎛-. 二、13. ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 点拨:如答图5，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ， ∵平面ABD ⊥平面ABC ，DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF .∵DG ⊥AF ，∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．∴t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛1,21.答图514. 4 点拨:如答图6，圆的方程可化为(x －3) 2＋(y －4)2＝5，∴｜OM ｜＝5，｜OQ ｜＝525-25=.在△OQM 中，21｜QA ｜·｜OM ｜＝21｜OQ ｜·｜QM ｜，∴｜QA ｜＝5552⨯＝2，∴｜PQ ｜＝4. 答图615.( 2－1，2＋1) 点拨:注意到与直线x －y －2＝0平行且与它的距离为1的直线方程分别是x －y ＋2－2＝0，x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y ＋2－2＝0，x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以222-＜r ＜222--，即2－1＜r ＜2＋1.16. ①②④ 点拨:③中l ∥m 或l ，m 异面，所以③错误，其他正确． 三、17. 解：(1)直线AC 的斜率AC k ＝)1(446----＝－2，∴直线BD 的斜率BD k ＝21， ∴直线BD 的方程为y ＝21(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0.(2)直线BC 的斜率k BC ＝34)4(104=----，∴直线EF 的斜率k EF ＝－43， 根据题意，得线段BC 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,25， ∴直线EF 的方程为y －2＝－43⎪⎭⎫ ⎝⎛+25x ，即6x ＋8y －1＝0.(3)根据题意，得线段AB 的中点M (0，－3)，∴直线CM 的方程为1343-=++xy ， ∴AB 边的中线的方程为7x ＋y ＋3＝0(－1≤x ≤0)．18.解：(1)将圆C 的方程配方得：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当所求直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得2122=+--k k ，解得k =2±6，所以切线方程为y ＝(2±6)x .②当所求直线在两坐标轴上的截距不为零时，设所求直线的方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得：2221=-+-a，解得a =－1或a =3，所以切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由｜PO ｜＝｜PM ｜，得：2221x x +＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当｜PM ｜取得最小值时，｜OP ｜取得最小值，此时直线OP ⊥l . ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎨⎧=+-=+,0342,02y x y x得P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-53,103. 19. 证明：(1) 因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .又因为AC ⊥PD ，PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD .(2)由(1)知AC ⊥BD .因为平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ∩平面ABCD ＝AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC .因为PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PO .因为底面ABCD 是菱形，所以|BO |＝|DO |，所以|PB |＝|PD|.答图7 20. 解：如答图7所示，圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为｜b ｜， ｜a ｜.设圆P 交x 轴于A 、B 两点，连接PA ，PB ，∵圆P 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，∴∠APB ＝90°. 取AB 的中点D ，连接PD ，则有｜PB ｜＝2｜PD ｜，∴r ＝2｜b ｜. 取圆P 截y 轴的弦的中点C ，连接PC ，PE . ∵圆截y 轴所得弦长为2，∴｜EC ｜＝1，∴1＋a 2＝r 2，即1+a 2=2b 2，∴a 2=2b 2－1， ∴a 2－b 2－2b ＋4＝b 2－2b ＋3＝(b －1)2＋2.∴当b ＝1时，a 2－b 2－2b ＋4取得最小值2，此时a ＝1或a ＝－1，r 2＝2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.∴使代数式a 2－b 2－2b ＋4取得最小值时的圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2或(x ＋1)2＋(y－1)2＝2.答图821. 证明:(1)如答图8，连接A 1B ，设A 1B 与AB 1交于E ，则E 为A 1B 的中点，连接DE . ∵点D 是BC 的中点，点E 是A 1B 的中点， ∴DE ∥A 1C ，∵ A 1C ⊄平面AB 1D ， DE ⊂平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D .(2)∵△ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵平面ABC ⊥平面B 1BCC 1， 平面ABC ∩平面B 1BCC 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1，∵BC 1⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥BC 1. ∵点D 是BC 的中点，|BC |＝2|BB 1|，∴|BD |＝22|BB 1|. ∵1BB BD ＝BCCC 1＝22，∠B 1BD =∠BCC 1=90°，∴△B 1BD ∽△BCC 1. ∴∠BDB 1＝∠BC 1C .∴∠FBD ＋∠BDF ＝∠C 1BC ＋∠BC 1C ＝90°. ∴BC 1⊥D B 1.∵B 1D ∩AD ＝D ，∴BC 1⊥平面AB 1D .22. 解：(1)依题意，设圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝r 2，因为圆C 1经过点A (4，1)，所以r2＝(4－3)2＋12＝2.所以圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)由(1)知圆C 1的圆心坐标为(3，0)，半径为2，C 1到直线l 的距离d ＝2231103=+-， 所以圆C 1上的点到直线l 的最短距离为222223=-.因为圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，所以｜BD ｜min ＝2×22＝2. (3)当运动时间为t 秒时，｜OP ｜＝t ，｜OQ ｜＝22t ，则P (t ，0)，由Q ∈l ，可设点Q 的坐标为(m ，m )(m ＞0)，则m 2＋m 2＝(22t )2，解得m ＝2t ，即Q (2t ，2t )，所以k PQ ＝tt t --202＝2.所以直线PQ 的方程为y ＝2(x －t )，即2x －y －2t ＝0. 若直线PQ 与圆C 1相切，则C 1到直线PQ 的距离d ′＝1220322+--⨯t＝2，解得t ＝3±210.即当t ＝3±210时，直线PQ 与圆C 1相切．。
高二数学2月模块诊断考试试题 理-人教版高二全册数学试题
山西大学附中2015～2016学年高二第二学期2月（总第六次）模块诊断数学试题考查时间：100分钟 考查内容：必修二 选修2-1一．选择题：(每小题4分，共48分)1．直线10x y ++=的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是 （ ） A ．135,1 B ．45,1- C ．45,1 D ．135,1-【解析】：因为1k =-，所以倾斜角为135︒;令0x =，得1y =-，所以在y 轴上的截距为1-．故选D ． 考点：1．直线的倾斜角；2．截距的概念． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】：在空间直角坐标系中， 关于平面对称的点的坐标为，则 点关于平面的对称点的坐标是．故本题答案选D ．考点：空间直角坐标系3. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 【解析】：如图去截就能得到正三角形，故A 正确；用平行于一个面截面去截取，所得截面为正方形，故B 正确；在每个面选一对相邻的边的中点，并依次接接起来，所得截面为正六边形，故D 正确；截面可画出五边形但不可能是五边形，故C 错，故选C ． 考点：正方体的性质．4.若12=x ，则1=x 的否命题为（ C ）A ．若12≠x ，则1=xB ．若12=x ，则1≠x C ．若12≠x ，则1≠x D ．若1≠x ，则12≠x5．已知双曲线)0(,116222>=-b by x 实轴的一端点为A ，虚轴的一端点为B ，且5||=AB ，则该双曲线的方程为（ ）A ．1151622=-y x B ．1121622=-y x C ．191622=-y x D ．131622=-y x 【解析】：因为22||5AB a b c ==+=，所以222c a b =+即22516b =+，所以29b =，故应选C ． 考点：1、双曲线及其标准方程．6．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为（ ）A ．1010B ．15C ．31010 D ．35【解析】：连接，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，且，为平行四边形，，为异面直线与所成的角． 在正四棱柱1111ABCD A BC D -中令，则，， 在中，．故选C ．考点：异面直线所成角．【方法点晴】本题主要考查的是异面直线所成角，难度稍大．求异面直线所成角的步骤:1找证角，即平移两条异面直线或其中一条直线使两直线相交；2定角，根据异面直线所成角的定义找到所求角；3在三角形中求角；4结论．7．已知(2,1,3)a →=-，(1,4,2)b →=--，(7,5,)c λ→=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ） A ．657 B ．647 C ．637 D ．627【解析】：因为(2,1,3)a →=-，(1,4,2)b →=--，(7,5,)c λ→=，a 、b 、c 三向量共面，所以存在,p q ，使得c p a q b →→→=+，所以27,45,32p q q p p qλ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解之得33,717,7657p q λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故选A ． 考点：1、共面向量2、平面向量的坐标运算． 8．已知正数,x y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为( )A ．1B ．3241 C ．161D ．321232213D OACB若圆C 半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y -++= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22311x y -+-=【解析】：设圆心坐标为()a b ，，由题意知0a >，且1b =．又∵圆和直线430x y -=相切，∴4513a -=，即45|30|a a =>－，，∴2a =．所以圆的方程为22()(21)1x y -+-=．故选A ． 考点：直线与圆的位置关系．9．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（ ）A ．2B ．3226C ．32222D ．3222【解析】：由已知三视图可知对应几何体如下图的四棱锥：由三视图可知：PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥， 又BC AB ⊥，且AB PA A =所以BC ⊥平面PAB ， 而PB ⊂平面PAB ，故BC PB ⊥，同理CD PD ⊥ 所以四棱锥的侧面积为：112232211322222⨯+⨯=．故选D ．考点：1、三视图；2、锥体的体积．10．已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 在椭圆上且满足212PF PF c ⋅=，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．33 B ．32[32C ．11[,]32D ．2(0,2 【解析】：设(,)P x y ，则22221x y a b +=，22222b y b x a=-，a x a -≤≤，则1,)PF c x y =---，2(,)PF c x y =--，22212PF PF x c y ⋅=-+22222(1)b x b c a =-+-22222c x b c a=+-，因为a x a -≤≤，所以22212b c PF PF b -≤⋅≤，所以2222b c c b -≤≤，22223c a c ⇒≤≤，所以32c a ≤≤．故选B ． 考点：椭圆的几何性质．11．给出下列命题：①若直线l 与平面α内的一条直线平行，则l ∥α；②若平面α⊥平面β，且l =⋂βα，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β；③()+∞∈∃,30x ，()+∞∉,20x ；④已知R a ∈，则“2<a ”是“a a 22<”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【解析】：对于①，直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外，而本命题没有，故错误； 对于②，符合平面与平面垂直的性质定理，故正确； 对于③，考虑两个集合间的包含关系（2，+∞）⊊（3，+∞），而x 0∈（3，+∞），比如x=4，则4∈（2，+∞），故错误；对于④，由a a 22<可以得到：0＜2<a ，一定推出2<a ，反之不一定成立，故“2<a ”是“a a 22<”的必要不充分条件，此命题正确． 综上知②④中的命题正确，故选C ．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．12．已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A 2+B 1+C 2D 1-【解析】：如图，过点P 作PA ⊥l 于点A ，作PB ⊥y 轴于点B ，PB 的延长线交准线x=-1于点C ，连接PF ，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF ，∵P 到y 轴的距离为d1，P 到直线l 的距离为2d ， ∴12d d +=PA+PB=（PA+PC ）-1=（PA+PF ）-1，根据平面几何知识，可得当P 、A 、F 三点共线时，PA+PF 有最小值，∵F （1，0）到直线l ：x-y+4=0=∴PA+PF的最小值是2，由此可得12d d +的最小值为12- 故选D ． 考点：1．抛物线的简单性质；2．点到直线的距离公式二．填空题：(每小题4分，共16分)13．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是为_____________.【解析】：根据题意设所求直线方程为20x y c -+=，将点(1,0)代入，得10c +=，解得1c =-，所以所求方程为210x y --=，故选A ． 考点：两条直线平行的充要条件．14.双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离是 ．【解析】：因为双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x ，所以其焦点坐标为(,0)c ±，渐近线方程为：by x a =±，所以双曲线)0,0(,12222>>=-b a b y a xbcb =，故应填b ．考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质．15．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=+，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为 ．【解析】：0AB BD ⋅=,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=．因为A BD C --为直二面角,所以面ABD ⊥面CBD ,因为ABD 面CBD BD =,AB ⊂面ABD ,AB BD ⊥,所以AB ⊥面CBD ．因为BC ⊂面CBD ,所以AB BC ⊥．分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中点．因为22222222()24AC AB BC AB CD BD AB CD =+=++=+=,所以2AC =．则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π．考点：1．面面垂直的性质定理；2三棱锥的外接球问题．16．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k = ．【解析】：设抛物线2:8C y x =的准线为l ：x=-2， 直线y=k （x+2）（k ＞0）恒过定点P （-2，0）如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则|OB|=12|AF|， ∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为1， ∴点B 的坐标为（1，22±）， ∴()22022123k ±-==±--2203k k >∴=． 考点：直线与抛物线相交的位置关系 三．解答题：（共36分） 17.（本小题满分8分）求过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程.18.（本小题满分8分）已知抛物线1C 的焦点与椭圆156:222=+y x C 的右焦点重合，抛物线1C 的顶点在坐标原点，过点)0,4(M 直线l 与抛物线1C 交于不同的两点A 、B . （Ⅰ）求抛物线1C 的标准方程； （Ⅱ）若104=AB ,求直线l 的方程．（文科）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈． （1）当1a =时，求曲线()y f x =的点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当0a >时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的取值范围；【解析】：（1）当1a =时，2()3ln (0)f x x x x x =-+> ，∴21231()23x x f x x x x-+'=-+= ，∴(1)2,(1)0f f '=-= ．∴切线方程为2y =- ．（2）函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞ ，当0a > 时，212(2)1(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-++--'=-++== ，令'()0f x = 得12x = 或1x a=， ① 当101a<≤ ，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上递增， ∴()f x 在[]1,e 上的最小值为(1)2f =-，符合题意； ② 当11e a << ，即11a e << 时，()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上递减，在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， ∴()f x 在[]1,e 上的最小值为1()(1)2f f a<=- ，不合题意； ③ 当1e a≥ ，即10a e <≤时，()f x 在[]1,e 上递减，∴()f x 在[]1,e 上的最小值为()(1)2f e f <=- ，不合题意； 综上，a 的取值范围是[)1,+∞ .19．（本小题满分10分）如图，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证AE ⊥平面BCE ； 为3？若存（2）设AEEBλ=，是否存在λ，使二面角B AC E --的余弦值在，求λ的值；若不存在，说明理由． 【解析】：（1）证明：BF ⊥平面ACE ∴BF AE ⊥．平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ∴CB ⊥平面ABE ∴CB AE ⊥∴AE ⊥平面BCE ．（2）以A 为原点，垂直于平面ABCD 的直线AG 为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系A xyz -，假设存在λ，使二面角B AC E --的余弦值为33． 设(,,0)E a b ，则(,,0)AE a b =，(0,2,2)AC = 设平面AEC 的一个法向量(,,)n x y z =，则00AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220ax by y z +=⎧⎨+=⎩，解得,b x y a z y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．令y a =，得(,,)n b a a =--是平面EAC 的一个法向量． 又平面BAC 的一个法向量为(1,0,0)m =，由223cos ,2b m n m n m na b ⋅===⋅+，化简得22a b =①， 又因为AE ⊥平面BCE ，所以AE BE ⊥， 所以0AE BE ⋅=，即2(2)0a b b +-=②， 联立①②，解得0b =（舍），1b =．由22AE a b =+22(2)BE a b =+-AE BE =．所以当1λ=时，二面角B AC E --的余弦值为33． 考点：1、线面垂直，面面垂直的判定与性质；2、二面角的求法.（文科）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE D E ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =．（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积；（Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ，使//AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由．【解析】：（Ⅰ）在Rt ΔADE 中，2233AE AD DE =-=因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ1193332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅（Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， 所以CD AE ⊥．又因为AE D E ⊥，CD DE D =，所以AE ⊥平面CDE ．又因为AE ⊂平面ACE ， 所以平面ACE ⊥平面CDE ．（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =， 使//AF 平面BCE ．解：设F 为线段DE 上一点， 且13EF ED =， 过点F 作//FM CD 交CE 于M ， 则1=3FM CD ．因为CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，所以//CD AB ．又因为3CD AB =所以M F AB =，//FM AB ，所以四边形ABMF 是平行四边形， 则//AF BM ．又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE ．考点：几何体的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定与证明．20.（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为P （0,-1），P 2（Ⅰ）设Q 是椭圆上的动点，求||PQ 的最大值；（Ⅱ）若直线l 与圆22:1O x y +=相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ．当λ=⋅OB OA ，且满足4332≤≤λ时，求AOB ∆面积S 的取值范围． 【解析】：（1）易知椭圆的方程为1222=+y x 设),(y x Q ，则22(1)PQ x y =++222(1)(1)y y =-++2(1)4(11)y y =--+-≤≤．..DOC 版. ∴当1y =时，max 2PQ =．（2）依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为n my x +=（R m ∈）． ∵直线l 即0=--n my x 与圆O:122=+y x 相切， ∴有11||2=+m n 得122+=m n ．又∵点A 、B 的坐标（1x ，1y ）、（2x ，2y ）满足⎩⎨⎧=-++=02222y x nmy x消去整理得022)2(222=-+++n mny y m ， 由韦达定理得22221+-=+m mn y y ，222221+-=m n y y ． 其判别式8)2(8)2)(2(44222222=+-=-+-=∆n m n m n m ， 又由求根公式有)2(22221+∆±-=m mn y 、． ∵λ=→→⋅OB OA =21212121))((y y n my n my y y x x +++=+=+--=++++=2223)()1(222221212m m n n y y mn y y m 2122++m m ． 222)(21sin ||||21→→→→→→∆⋅-⋅=∠=OB OA OB OA AOB OB OA S AOB ||211221y x y x -==+-+=|)()(|211221y n my y n my |)(|2112y y n - 2222)2(122||21++⋅=+∆⨯=m m m n 21212222+⋅++⋅=m m m ． ∵12121222=++++m m m ，且λ2122++=m m 23,34⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦． ∴=∆AOB S )1(2λλ-⋅⋅243∈⎤⎥⎣⎦． 考点：1．椭圆的几何性质；2．直线与圆的位置关系．。
人教版高中数学必修二模块综合测评(二)
模块综合测试（满分 120 分 ,测试时间100 分钟）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1.给出以下命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不必定订交于一点，③假如不在同一平面内的两个相像的直角三角形的对应边相互平行，则连接它们的对应极点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.此中正确的个数为()A.3B.2C.1D.0分析 :命题①中：底面多边形内接于一个圆，但其实不可以推断棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延伸后订交于一点；命题③中 :因两个直角三角形相像且对应边平行，可推出连接对应极点后延伸线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中 :上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.答案： C2.图 1 是一个物体的三视图，则此三视图所描绘的物体是以下几何体中的()图 1分析 :从三个角度看都是切合的，应选 D.答案： D3.已知各极点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()图 2A.16 πB.20 πC.24 πD.32π分析 :由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为 2.因正四棱柱属于长方体,所以所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,依据球的表面积公式可得球的表面积为24π.答案： C4.木星的体积约是地球体积的240 30倍，则它的表面积约是地球表面积的()A.60 倍B. 6030 倍C.120 倍D. 120 30倍分析 :设木星的半径为r1,地球的半径为r2,由题意 ,得r13240 30 ,则木星的表面积∶地球r 23的表面积r12r13r2132402302120. =240 30r22r23r13 24030答案： C5.已知水平搁置的△ABC是按“斜二测画法”获得如图3所示的直观图，此中3)B′ O′ =C′ O′ =1,A ′,O那′=么原△ ABC 是一个 (2图 3A. 等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D. 三边互不相等的三角形分析 :依据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC是一个等边三角形 .答案： A6.已知直线 m、n 与平面α、β，给出以下三个命题：①若 m∥ α， n∥ α，则 m∥ n；②若 m∥α， n⊥ α，则 n⊥m；③若 m⊥ α， m∥ β，则α⊥ β其.中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3分析 :经过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题 .答案： C7.点 P(2,5)对于直线 x+y+1=0的对称点的坐标为 ()A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)分析 :依据两点对于直线对称的特色：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为 (-6,-3).答案： D8.点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PD⊥平面 ABCD ， PD=AD ，则 PA 与 BD 所成角的度数为 ()A.30 °B.45 °C.60 °D.90 °分析 :将图形补成一个正方体如图，则PA 与 BD 所成角等于 BC′与 BD 所成角即∠ DBC′.在等边三角形 DBC′中，∠ DBC′=60°，即 PA 与 BD 所成角为 60°.答案： C9.若 l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下边三个命题：①α⊥γ，β⊥ γα⊥β;②α⊥γ,∥βγα⊥ β；③ l∥ α,l⊥βα⊥ β．此中正确的命题有 ( ) A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个分析 :①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的.答案： C10.已知实数 x 、 y 知足 2x+y+5=0 ，那么 x 2 y 2 的最小值为 ()A. 5B. 10C. 25D. 2 10分析 : x 2y 2 表示点 P(x,y) 到原点的距离 . 依据数形联合得 x 2y 2 的最小值为原点到直线 2x+y+5=0 的距离，即 d=55 .5答案： A11.在座标平面内，与点A(1,2) 距离为 1，且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有 ()A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条分析 :与点 A （1,2）的距离为 1 的直线即为以点 A(1,2) 为圆心，以 1 为半径的圆的切线 .与点B （ 3,1）的距离为 2 的直线即为以点 B(3,1) 为圆心，以 2 为半径的圆的切线.所以到 A 、B 两点距离为1 和2 的直线即为两圆的公切线，因｜AB ｜= (13)2 ( 2 1) 25 ，且5 2 1，所以两圆订交，故有两条公切线 .答案：B12.矩形 ABCD 中， AB=4 ， BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD折成一个直二面角BACD，则四周体 ABCD 的四个极点所在球的体积为 ()125 125C.125125A.B.6D.1293分析 :连接矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于 O ，则 AO=BO=CO=DO ，翻折后仍旧，则 O 为四周体 ABCD 四个极点所在球的圆心，所以四周体ABCD 四个极点所在球的半径为 5，故球的体积为4 ( 5)3 125 . 答案： C23 2 6二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）13.圆台上、下底半径为2 和 3，则中截面面积为 ________________.分析 :由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的5 25 .半径为 x ，故有 4x=4+6 ，解得 x= , S4答案：252414.经过直线 2x+3y-7=0 与 7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0 的直线方程是____________.解 析 : 由 已 知 可 设 经 过 直 线 2x+3y-7=0 与的交点的直线方程为2x+3y- 7+λ (7x+15y+1)=0，整理得 (2+7 λ )x+(3+15 -λ7+)y λ =0根.据两直线平行关系得 λ =1，代入得 3x+6y-2=0.答案： 3x+6y-2=015.过 A(-3,0) 、 B(3,0) 两点的全部圆中面积最小的圆的方程是 ___________________ ．分析 :依据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小 ,即以 AB 为直径端点的圆知足条件 ,所求方程为 x 2+y 2=9. 答案： x 2+y 2=916. 已知圆锥的侧面积是底面积的2 倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.22分析 :设圆锥的高为h,半径为 r,母线为 l,则 S 侧 =πr l ，S 底=πr，∵ S 侧 =2S 底 ,∴ πr l=2πr，即 l =2r.又 l 2=r 2+h 2，解得 h= 3r .又∵ S 轴截面 =rh=Q, ∴ r 2= QQ ,即 r=.343∴h=3r3Q12 Q Q.故 V=h=.43圆锥3πr34 3答案：Q Q34 317.已知圆柱的高为 h ，底面半径为 R ，轴截面为矩形 A 1ABB 1，在母线 AA 1 上有一点 P ，且PA=a ，在母线 BB 1 上取一点 Q ，使 B 1Q=b ，则圆柱侧面上P 、 Q 两点的最短距离为____________.分析 :如图甲，沿圆柱的母线AA 1 剪开得矩形（如图乙），过 P 作 PE ∥AB 交 BB 1 于 E ，则 PE=AB= 1· 2π R=πR，QE=h-a-b.2∴PQ=PE 2 QE 2 ( R) 2 ( h a b) 2 .答案：( R)2(h a b)218.过圆 x 2+y 2=4 外的一点 A(4,0) 作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为 ________________.分析 :设弦的中点是 P(x 0,y 0)，依据圆的几何性质得 OP ⊥ AP ，即点 P(x 0,y 0)在以 OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因 P(x 0,y 0)在圆 x 2+y 2=4 内，故弦的中点的轨迹方程为 (x-2) 2+y 2 =4，x ∈ ［ 0,1).答案： (x-2) 2+y 2=4， x ∈［ 0,1) 三、解答题（本大题共4 小题，共 48 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分 10 分）已知直线 l 垂直于直线 3x-4y-7=0 ，直线 l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l 的方程 .解：设直线 l 方程为 4x+3y+b=0 ，则 l 与轴、 y 轴的交点为 A(b b,0),B(0,). 43∴｜ AB ｜ = 5b .由｜ OA ｜ +｜ OB｜ +｜AB ｜ =10,得| b || b |5 | b |=10. ∴ b=±10.124312∴l 方程为 4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分 12 分）圆锥底面半径为 1 cm，高为2cm，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长 .解：过圆锥的极点和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面 CDD 1C1，如图，设正方体棱长为x，则 CC1 =x,C 1D1 = 2 x.作SO⊥EF于O，则SO= 2 ,OE=1,∵△ ECC1∽△ ESO,∴CC1EC1 . SO EOx 1 2 x∴2.21∴x=2 (cm). 2∴正方体棱长为2cm. 221.（本小题满分12 分） (2005 江苏高考 ,19)如图 4,圆 O1与圆 O2的半径都是1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2的切线 PM、PN （M 、N 分别为切点），使得 PM=2PN, 试成立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程 .图 4解：如图，以直线O1O2为 x 轴，线段 O1O2的垂直均分线为y 轴，成立平面直角坐标系，则两圆心分别为 O1 (-2,0),O 2(2,0).22222222设 P(x,y) ，则 PM =O 1P -O1M =(x+2)+y -1.同理 ,PN =(x-2) +y -1．∵PM= 2 PN，∴(x+2)22222222．这就是动点 P 的轨迹+y -1=2［(x-2) +y -1］，即 x -12x+y+3=0 ，即-6) +y =33方程．22.（本小题满分14 分）如图5，正方体 ABCD — A 1B1 C1D 1中， P、 M 、N 分别为棱 DD 1、AB 、BC 的中点 .图 5（1）求二面角 B 1MNB 的正切值；（2）求证： PB⊥平面 MNB 1.（3）画出一个正方体表面睁开图，使其知足“有 4 个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出睁开图中 P、B 两点间的距离 .（1）解：连接 BD 交 MN 于 F，连接 B1F.∵平面 DD 1B1B⊥平面 ABCD, 交线为 BD ， AC ⊥BD,∴AC ⊥平面 DD 1B 1B. 又∵ AC//MN ，∴MN ⊥平面 DD 1B 1B.∵B 1F,BF平面DD1B1B，∴B 1F⊥ MN,BF ⊥ MN.∵B1F平面B1MN，BF 平面 BMN ，则∠ B1FB 为二面角 B 1-MN-B 的平面角 .在 Rt△ B 1FB 中，设 B1B=1 ，则 FB= 2，4∴tan∠B 1FB= 2 2 .（2）证明：过点 P 作 PE⊥AA 1，则又 DA ⊥平面 ABB 1A 1，∴ PE⊥平面又 BE⊥ B 1M ，∴ B 1M ⊥平面 PEB. ∴PB ⊥MB 1.PE∥ DA ，连接 BE. ABB 1A 1,即 PE⊥ B1 M.由（ 1）中 MN ⊥平面 DD 1B 1B,得 PB⊥ MN ，所以 PB⊥平面 MNB 1.（3）解： PB=13，切合条件的正方体表面睁开图能够是以下 6 种之一：2。
2015高中数学人教A版必修二模块验收评估试题
三、模块验收评估(教师用书独具)——考前热身自评,学习效果心知肚明一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1、一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )解析:选C 由几何体的正视图、侧视图,结合题意,可知选C、2、如图就是一个几何体的三视图,其中正视图与侧视图都就是一个两底长分别为2与4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积就是( )A、6πB、12πC、18πD、24π解析:选B ∵正视图与侧视图都就是等腰梯形,俯视图就是一个圆环,∴该几可体就是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1与2,母线为4,∴S侧＝π(r＋r′)l＝π·(1＋2)×4＝12π、3、一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为( )A、27πB、18πC、9πD、54π解析:选A 设正方体的棱长为a,球的半径为r,则6a2＝54,∴a＝3、又∵2r＝3a,∴r ＝32a ＝332, ∴S 表＝4πr 2＝4π×274＝27π、4、 已知高为3的直棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面就是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B ′－ABC 的体积为( )A 、14B 、12C 、36D 、34解析:选D V B ′－ABC ＝13·S △ABC ·h ＝13×34×3＝34、5、 已知直线l 1经过两点(－1,－2),(－1,4),直线l 2经过两点(2,1),(x,6),且l 1∥l 2,则x ＝( )A 、2B 、－2C 、4D 、1解析:选A 因为直线l 1经过两点(－1,－2),(－1,4),所以直线l 1的倾斜角为π2、而l 1∥l 2,所以,直线l 2的倾斜角也为π2,又直线l 2经过两点(2,1),(x,6),所以,x ＝2、6、一个底面就是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其体积等于( )A 、6B 、2C 、 3D 、2 3解析:选 C 由正视图可知该三棱柱的底面边长为2,棱柱的高为1,故其体积V ＝12×2×3×1＝3、7、 直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0交于一点,则k 的值就是( ) A 、12B 、－12C 、2D 、－2解析:选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2则点(－1,－2)在直线x ＋ky ＝0上,得k ＝－12、8、圆:x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0与圆:x 2＋y 2－6x ＝0交于A ,B 两点,则AB 的垂直平分线的方程就是( )A 、x ＋y ＋3＝0B 、2x －y －5＝0C 、3x －y －9＝0D 、4x －3y ＋7＝0解析:选 C AB 的垂直平分线即就是两圆连心线所在的直线,两圆的圆心为(2,－3),(3,0),则所求直线的方程为y －0－3－0＝x －32－3,即3x －y －9＝0、9、在四面体A －BCD 中,棱AB ,AC ,AD 两两互相垂直,则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A 、垂心B 、重心C 、外心D 、内心解析:选A ∵AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,AC ∩AD ＝A , ∵AB ⊥平面ACD ,∴AB ⊥CD 、∵AH ⊥平面BCD ,∴AH ⊥CD ,AB ∩AH ＝A , ∴CD ⊥平面ABH ,∴CD ⊥BH 、同理可证CH ⊥BD ,DH ⊥BC ,则H 就是△BCD 的垂心、10、 设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2,下列说法中最合适的就是( ) A 、V 1比V 2大约多一半 B 、V 1比V 2大约多两倍半 C 、V 1比V 2大约多一倍 D 、V 1比V 2大约多一倍半解析:选D 设正方体的棱长为a ,则正方体的体积为V 2＝a 3,则球半径为32a ,球体积V 1＝32πa 3,则V 1－V 2＝32πa 3－a 3＝(32π－1)a 3≈1、72a 3、 二、填空题11、 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________、解析:由三视图可知,该几何体就是由三个圆柱构成的组合体,其中两边圆柱的底面直径就是4,高为1,中间圆柱的底面直径为2,高为4,所以该组合体的体积为2×π×22×1＋π×12×4＝12π、答案:12π12、已知平面α,β与直线m ,给出条件: ①m ∥α;②m ⊥α;③m ⊂α;④α⊥β;⑤α∥β、 (1)当满足条件________时,有m ∥β;(2)当满足条件________时,有m ⊥β(填所选条件的序号)、解析:由面面平行与线面平行的定义知若m ⊂α,α∥β则m ∥β;由线面垂直的定义知若m ⊥α,α∥β,则m ⊥β、答案:(1)③⑤ (2)②⑤13、 如图,将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得平面ADC ⊥平面ABC ,在折起后形成的三棱锥D －ABC 中,给出下列三种说法:①△DBC 就是等边三角形;②AC ⊥BD ;③三棱锥D －ABC 的体积就是26、 其中正确的序号就是________(写出所有正确说法的序号)、解析:取AC 的中点E ,连接DE ,BE , 则DE ⊥AC ,BE ⊥AC ,且DE ⊥BE 、 又DE ＝EC ＝BE ,所以DC ＝DB ＝BC , 故△DBC 就是等边三角形、 又AC ⊥平面BDE , 故AC ⊥BD 、又V D －ABC ＝13S △ABC ·DE ＝13×12×1×1×22＝212,故③错误、答案:①②14、已知直线l 经过点P (－4,－3),且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8,则直线l 的方程就是________、解析:∵(－4＋1)2＋(－3＋2)2＝10<25,∴点P 在圆内、当l 的斜率不存在时,l 的方程为x ＝－4,将x ＝－4代入圆的方程,得y ＝2或y ＝－6,此时弦长为8、当l 的斜率存在时,设l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4),即kx －y ＋4k －3＝0,当弦长为8时,圆心到直线的距离为 25－42＝3,则│－k ＋2＋4k －3│k 2＋1＝3,解得k ＝－43、则直线l 的方程为y ＋3＝－43(x ＋4),即4x ＋3y ＋25＝0、答案:4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4 三、解答题15、已知两条直线l 1:3x ＋4y －2＝0与l 2:2x ＋y ＋2＝0的交点P ,求: (1)过点P 且过原点的直线方程;(2)过点P 且垂直于直线l 3:x －2y －1＝0的直线l 的方程、解:由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝2、∴点P 的坐标就是(－2,2), (1)所求直线方程为y ＝－x 、(2)∵所求直线l 与l 3垂直,∴设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0、把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0,得C ＝2、∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0、16、某几何体的三视图如图所示,P 就是正方形ABCD 对角线的交点,G 就是PB 的中点、(1)根据三视图,画出该几何体的直观图; (2)在直观图中,①证明:PD ∥平面AGC 、 ②证明:平面PBD ⊥平面AGC 、解:(1)该几何体的直观图如图所示、(2)证明:如图,①连接AC ,BD 交于点O ,连接OG , 因为G 为PB 的中点,O 为BD 的中点, 所以OG ∥PD 、又OG ⊂平面AGC ,PD ⊄平面AGC , 所以PD ∥平面AGC 、②连接PO ,由三视图,PO ⊥平面ABCD , 所以AO ⊥PO 、 又AO ⊥BO ,BO ∩PO ＝O , 所以AO ⊥平面PBD 、 因为AO ⊂平面AGC , 所以平面PBD ⊥平面AGC 、17、已知圆C :x 2＋y 2－8y ＋12＝0,直线l 经过点D (－2,0),且斜率为k 、 (1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程; (2)若直线l 与圆C 相离,求k 的取值范围、解:(1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4, 则此圆的圆心为C (0,4),半径为2、所以CD 的中点E (－1,2),|CD |＝22＋42＝25, ∴r ＝5,故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5、(2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＝0、若直线l 与圆C 相离,则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1＞2,解得k ＜34、18、(2012·山东高考)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 就是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB ＝60°,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB ＝CD ＝CF 、(1)求证:BD ⊥平面AED ; (2)求二面角F BD C 的余弦值、解:(1)证明:因为四边形ABCD 就是等腰梯形,AB ∥CD ,∠DAB ＝60°,所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°、又CB ＝CD ,所以∠CDB ＝30°, 因此∠ADB ＝90°,即AD ⊥BD 、 又AE ⊥BD ,且AE ∩AD ＝A ,AE ,AD ⊂平面AED , 所以BD ⊥平面AED 、(2)如图,取BD 的中点G ,连接CG ,FG ,由于CB ＝CD ,因此CG ⊥BD , 又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC ⊥BD 、 由于FC ∩CG ＝C ,FC ,CG ⊂平面FCG , 所以BD ⊥平面FCG , 故BD ⊥FG ,所以∠FGC 为二面角F BD C 的平面角、 在等腰三角形BCD 中,由于∠BCD ＝120°, 因此CG ＝12CB 、又CB ＝CF ,所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG , 故cos ∠FGC ＝55, 因此二面角F BD C 的余弦值为55、。
人教版高中数学必修二模块综合检测试卷(2)
模块综合测试(时间 120 分钟，满分150 分)知识点散布表知识点题号分值三视图与直观图3,75空间几何体的表面积与体积3,7,159点、线、面的地点关系15直线、平面的平行与垂直2,16,1921角度、距离问题10,149倾斜角与斜率45直线的方程9,5,13,2022两条直线的平行与垂直1712圆的方程8,18,2226直线、圆的地点关系6,11,20,2219空间直角坐标系12,2117一、选择题 (本大题共12 小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 )1.下边四个条件中，能确立一个平面的条件是()A.空间中随意三点B.空间中两条直线C.一条直线和一个点D.两条平行直线2.已知直线l 和平面α,下边所给命题中,正确命题的个数是()①若 l 垂直α内两条直线，则l ⊥α②若 l 垂直α内全部直线，则l ⊥α③若 l 垂直α内两条订交直线，则l⊥ α④若 l 垂直α内无数条直线，则l ⊥ αA.0B.1C.2D.33.某几何体的三视图中,三个视图是三个全等的圆,圆的半径为R,则这个几何体的体积为（）A.1R3 3B.2R3 33C. πRD.4R334.直线 y＝－ tan30 °的斜率是 ()A.03C.－33 B. D.335.过点 P(1,1) 作直线 l 与两坐标轴订交,所得三角形面积为10,则直线 l 有（）A.1条B.2条C.3 条D.4 条6.由直线 y＝ x＋ 1上的一点向圆 (x－3)2＋ y2＝1 引切线 ,则切线长的最小值为（）A.1B. 22C.7D.37.一个几何体的三视图如下图,此中正视图中△ABC是边长为 2 的正三角形 ,俯视图为正六边形 ,那么该几何体的侧视图的面积为（）A.32D.6B. C.12238.曲线 x2＋ y2＋ 4x－4y＝ 0 对于 ()A. 直线 x＝ 4 对称B.直线 x＋ y＝ 0 对称C.直线 x － y ＝ 0 对称D.点 (－ 4,4)对称9.若直线 l 到 A(0,0)、 B(2,2)的距离均等于2，则这样的直线有 __________ 条 .( )A.1B.2C.3D.410.已知在四周体ABCD 中， E 、 F 分别是 AC 、 BD 的中点，若 CD ＝ 2AB ＝ 4， EF ⊥ AB ，则EF 与 CD 所成的角为 ()A.90 °B.45 °C.60 °D.30 °11.圆 (x － 1)2＋ (y ＋ 3 ) 2＝ 1 的切线方程中有一个是（）A. x － y ＝ 0B.x ＋ y ＝ 0C.x ＝ 0D.y ＝ 012.已知空间两个动点 A(m,1＋ m,2＋ m)、B(1－ m,3－ 2m,3m), 则|AB |的最小值是（ ）9 3 3 17 9 17A.B.C.17D.171717二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每题 4 分,共 16 分)13.过 P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为__________.14.正 △ ABC 边长为 a,PA ⊥平面ABC,PA ＝ AB,过 A 作 AO ⊥平面 PBC,O 为垂足 ,则 AO ＝__________.15.在 xOy 平面上 ,四边形 ABCD 的四个极点坐标挨次为(0,0) 、 (1,0)、(2,1)、 (0,3), 则这个四边形绕 x 轴旋转一周所获得的几何体的体积为____________.16.在正方体ABCDA 1B1C1D1中 ,过对角线BD1的一个平面交AA1于 E,交 CC1于 F,则①四边形 BFD 1E 必定是平行四边形;②四边形 BFD 1E 有可能是正方形;③四边形 BFD 1E 在底面 ABCD 内的投影必定是正方形;④平面 BFD 1 E 有可能垂直于平面BB 1D.以上结论正确的为____________.(写出全部正确结论的编号)三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 74 分 )17（. 12 分）已知两条直线l1:x＋ my＋ 6＝ 0,l 2:(m－ 2)x＋ 3y＋ 2m＝ 0,问 :当 m 为什么值时 ,l1与 l2(ⅰ )订交 ;(ⅱ )平行 ;(ⅲ )重合 .18.（ 12 分）求圆心在3x＋ y＝ 0 上，过原点且被y 轴截得的弦长为 6 的圆的方程 .19.（ 12 分）如图 ,已知 AB⊥平面 ACD ,DE ∥AB,△ACD 是正三角形 ,AD ＝DE＝ 2AB,且 F 是 CD的中点 .(1)求证 :AF ∥平面 BCE ;(2)求证 :平面 BCE⊥平面 CDE .20.（ 12 分）已知圆C:( x－1)2＋ (y－ 2)2＝ 2,P 点坐标为 (2,－1),过点 P 作圆 C 的切线 ,切点为A,B.(1)求直线 PA、 PB 的方程 ;(2)求过 P 点的圆的切线长 ;(3)求直线 AB 的方程 .21.（ 12 分）设有长方体ABCD A′ B′ C，′如D′右图所示，长、宽、高分别为|AB |＝ 4 cm， |AD |＝3 cm， |AA′|＝5 cm， N 是线段 CC′的中点 .分别以 AB、 AD 、AA′所在的直线为x 轴、 y 轴、z 轴，以 1 cm 为单位长，成立空间直角坐标系.(1)求 A、 B、C、 D、 A′、 B′、 C′、 D ′的坐标 ;(2)求 N的坐标 ;(3)求这个长方体的对角线 AC ′的长度 .22.（ 14 分）已知方程x2＋ y2－ 2x－ 4y＋m＝ 0,(1)若此方程表示圆，求 m 的取值范围 ;(2)若（ 1）中的圆与直线 x＋ 2y－ 4＝0 订交于 M、 N 两点，且 OM ⊥ ON（ O 为坐标原点），求m 的值 ;(3)在 (2)的条件下 ,求以 MN 为直径的圆的方程 .参照答案1 分析 :由平面的基天性质,知“不共线的三点；两条订交或平行直线；直线和直线外一点”均能确立一个平面.答案 :D2分析 :由线面垂直的定义及判断定理,知若 l 垂直α内随意直线，则 l ⊥α；若 l 垂直α内两条订交直线，则 l ⊥ α所.以①④错，②③正确，应选 C.答案 :C3分析：由已知，得该几何体是一个半径为R 的球，所以V 4 R3.3答案： D4分析：由于直线 y＝－ tan30 °和 x 轴平行，所以倾斜角是0，斜率为 0.答案 :A5分析 :经过直线的截距式,再作对称即可发现有 4条 .答案 :D6分析 :设P(x0,y0)为直线y＝ x＋ 1 上一点 ,圆心C(3,0) 到 P 点的距离为 d,切线长为 l, 则l d 2 1 .当d最小时,l最小.当PC垂直于直线y＝ x＋ 1时 ,d 最小 ,此时d 2 2.所以l min(22)217.答案 :C7分析 :由三视图可知,该几何体是一个底面是边长为 1 的正六边形 ,侧棱长为 2,极点在底面上的射影是正六边形的中心的六棱锥.∴S侧1333.22答案 :A8 分析：由于圆必定对于直径所在直线对称,圆心在直线x＋ y＝ 0 上 ,所以直线x＋ y＝ 0 是一条直径所在的直线.答案 :B9 分析：有平行于直线AB 的两条直线和线段AB的垂直均分线,共3 条.答案 :C10 分析 :取AD中点M,连接ME、MF .在△ MEF 中 ,MF ⊥ EF,MF ＝ 1,ME＝ 2,∴∠ MEF ＝ 30°,即 EF 与 CD 所成的角为30°.答案 :D11 分析 :此题考察直线与圆相切.利用圆心到切线的距离等于半径 ,可判断选项 C 切合题意 .答案 :C12 分析 : | AB | ( m 1 m) 2(1 m 3 2m) 2(2 m 3m)217(m12)2 9 ,1717∴ | AB |min3 17 .17答案 :C13 分析 :与原点距离最远的直线是过 P 点且与 OP 垂直的直线 .∵ k OP2 0 2 ,∴ y 2 1( x 1) .1 02∴ x ＋ 2y － 5＝0.答案 :x ＋ 2y － 5＝ 014 分析 :∵ PA ⊥面 ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC.又 PA ＝AB ＝AC ＝ BC ＝ a,∴PB ＝PC ＝ 2a .取 BC 中点 D ，连接 PD 、 AD ，则 PD ⊥ BC ， AD ⊥BC ，且|PD|2a 2 ( 1a)27a ,22|AD|3a .2由VA PBCVP ABC,知1 1 1 1 AO2BC PDPABC AD ,332即 AO a7a a a3a .22∴ AO21a .721答案 :a15 分析 :设 O(0,0),A(1,0),B(2,1), C(0,3), OABC 绕 x 轴旋转一周所得几何体是一个圆台 (上、下底面半径分别为 1、3,高为 2)挖去一个圆锥 (以 1 为半径 ,1 为高 ).∴ V1 (12 32 13)2 1 12 1 25 .33 3答案:25316 分析：同理， D 1EFB. 所以①正确 .∠D 1EB 在平面 ABCD 上的射影为∠ DAB ,∴∠ D 1EB ＞∠ D AB ＝ 90°.∴②错误 .D 1EBF 在平面 ABCD 上的射影 ABCD 为正方形 .所以③正确 .当 E 、 F 分别为 AA 1、CC 1 中点时 ,所以④正确 .答案： ①③④17 解 :若 m ＝ 0,l 1:x ＝－ 6,l 2:2x － 3y ＝ 0,此时 l 1 与 l 2 订交 ;若 m ≠0,由m23有 m ＝－ 1 或 m ＝3,1 m由3 2m有 m ＝±3;m 6故( ⅰ)当 m ≠－ 1且 m ≠3时，m2 3 ,l 1 与 l 2 订交 ;1 mm 2 3 2m,l 1 与 l 2 平行 ;(ⅱ )当 m ＝－ 1 时 , 1m6(ⅲ )当 m ＝ 3 时 ,m2 3 2m 与 l 2 重合 .1m,l 1618 解 :如下图 ,设圆心坐标为 (a ，－ 3a),所以 r(a0)2( 3a0)2 10a 2 .所以( 10a2)2a232.所以 a2＝ 1.所以 a＝±1.所以圆的方程为(x－ 1)2＋ (y＋ 3)2＝ 10 或 (x＋ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 10.19 证明 :(1) 取 CE 中点 P,连接 FP、 BP,∵F为 CD的中点,∴FP ∥DE,且FP 1 DE. 2又 AB∥DE ,且AB 1DE. 2∴AB ∥FP,且 AB＝ FP.∴ABP F 为平行四边形 .∴A F ∥BP.又∵ AF平面BCE,BP 平面 BCE,∴A F ∥平面 BCE.(2)∵△ ACD 为正三角形 ,∴A F ⊥CD .∵AB ⊥平面 ACD,DE ∥ AB,∴DE ⊥平面 ACD.又 AF 平面 ACD,∴DE ⊥ AF.又 AF⊥CD ,CD ∩DE＝ D,∴A F ⊥平面 CDE.又 BP∥AF ,∴ BP⊥平面 CDE .又∵ BP平面BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE.20 解 :(1)设过P点的圆的切线方程为y＋1＝ k(x－ 2),即 kx－ y－ 2k－ 1＝0.∵圆心 (1,2)到直线的距离为 2 ,即| k3 | 2 , 1k 22∴k －6k－ 7＝ 0.∴所求的切线方程为y＋ 1＝ 7(x－ 2)或y＋ 1＝－ (x－ 2),即7x－ y－ 15＝ 0 或x＋ y－ 1＝ 0.(2) 在Rt△PCA中 ,∵|| PC |(21) 2( 12)210 ,|CA |＝2,∴|PA|2＝ |PC|2－ |CA |2＝ 8.∴过 P点的圆 C的切线长为 2 2.7x y 150,(3)由( x 1)2( y 2)22,得 A(12,9).5 5x y 1 0, 由2( y 2) 22,( x 1)得 B(0,1).∴直线 AB 的方程是x－ 3y＋ 3＝ 0.21解 :(1) A(0，0，0)、B(4，0，0)、C(4，3，0)、D(0，3，0),A′，(00， 5)、 B′，(4 0， 5)、 C′，(43， 5)、 D′，(0 3， 5).(2)N 是线段 CC′的中点，有向线段 CN 的方向与 z 轴正方向同样， |CN |＝2.5，所以 N 的空间坐标为 (4， 3， 2.5).(3)连接 AC ，则在 Rt △ABC 中，可用勾股定理算出| AC | | AB |2| BC |24232 5 (cm)，CC′垂直于底面ABCD ，故 CC′垂直于底面内的线段AC ，∠ ACC′为直角 ,在 Rt△ ACC′中，| AC | | AC |2| CC |2 5 2 (cm).故所求对角线 AC ′的长度为 5 2 cm.22 解 :(1) 原方程可化为 ( x － 1)2 ＋(y －2) 2＝5－ m.所以 5－ m ＞ 0,即 m ＜5.x 2 y 2 2x 4 y m 0, (2) 由x 2y 4 0,得(4 － 2y)2＋ y 2－ 2(4－ 2y)－ 4y ＋ m ＝ 0,故 5y 2－ 16y ＋ 8＋m ＝0.设 M(x 1,y 1),N( x 2,y 2),则 y 1 y 2 m 8, y 1 y 2 16 . 5 5所以 x 1x 2＝ (4－ 2y 1)(4 － 2y 2)＝ 16＋ 4y 1y 2－ 8(y 1＋ y 2)＝ 4m 16 .5由于 OM ⊥ ON,所以 x 1x 2＋ y 1 y 2＝ 0,即 4m 16 m 8 0 ,解得 m 8 . 55 5 8, (3) ∵ m 54 8 16 48 ∴ x 1 x 25 5 . 258 又 x 1 ＋x 2＝ (4－ 2y 1)＋ (4 －2y 2)＝ 8－ 2(y 1＋ y 2)＝ , 5 ∴MN 的中点是 (x 1 x 2 , y 1 y 2 ),即 ( 4 , 8 ). 22 5 5 又 2 | MN | 1 k 2 | x 1 x 2|r1(1)2 (x 1 x 2 )2 4x 1 x 225 (8)2 4(48) 8 5 .25 255 4 5∴ r .5∴以 MN 为直径的圆的方程为( x4)2( y8)216.555。
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A．45° C．90° 答案 解析 B
B．60° D．120°
如图，取 A1B1 的中点 M，连接 GM，HM.由题
意易知 EF∥GM，且△GMH 为正三角形．∴异面直 线 EF 与 GH 所成的角即为 GM 与 GH 的夹角∠HGM. 而在正三角形 GMH 中∠HGM＝60° ，故选 B. 10．若曲线 C1：x2＋y2－2x＝0 与曲线 C2：y(y－mx－m) ＝0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是 3 3 A.－ ， 3 3 3 3 B.－ ，0∪0， 3 3 3 3 C.－ ， 3 3 3 3 D.－∞，－ ∪ ，＋∞ 3 3 ( )
∴|OB|＝ 02＋22＋32＝ 13. 4．已知两直线 y＝ax－2 和 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则 a 等于 A．2 C．0 答案 解析 检验． 5．动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程
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(
)
B．1 D．－1 D 由题知(a＋2)a＝－1⇒a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，∴a＝－1.也可以代入
解
根据三视图可知： PA 垂直平面 ABCD， E、 F 分别为 PB 和 AC 的中点． ABCD
是边长为 4 的正方形，且 PA＝4. (1)如图，取 AB 中点 G，连接 FG，GE，则 FG∥PA，GE∥BC 所以 FG⊥平 面 ABCD，∠FEG 为 EF 与平面 ABCD 所成的角，在 Rt△FGE 中，FG＝2， GE＝2，∴∠FEG＝45° .
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的面积之差最大，则该直线的方程为 A．x＋y－2＝0 C．x－y＝0 答案 解析 A. A B．y－1＝0 D．x＋3y－4＝0
(
)
圆心 O 与 P 点连线的斜率 k＝1，∴直线 OP 垂直于 x＋y－2＝0，故选
9.如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、 B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 ( )
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所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC，且交线为 SB，又 AF⊂平面 SAB，AF⊥SB，所 以 AF⊥平面 SBC. 因为 BC⊂平面 SBC，所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面 SAB，AB⊂平面 SAB，所以 BC⊥ 平面 SAB. 因为 SA⊂平面 SAB，所以 BC⊥SA. 17．(2014· 济宁高一检测)四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是正方形，E，F 分别 为 AC 和 PB 上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示， (1)求 EF 与平面 ABCD 所成角的大小； (2)求二面角 B－PA－C 的大小；
求证：(1)平面 EFG∥平面 ABC； (2)BC⊥SA. 证明 (1)因为 AS＝AB，AF⊥SB，
垂足为 F，所以 F 是 SB 的中点． 又因为 E 是 SA 的中点， 所以 EF∥AB. 因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG＝E，
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答案 解析
B C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0 或 y＝mx＋m＝m(x＋1)． 当 m＝0 时，C2：y＝0，此时 C1 与 C2 显然只有两 个交点； 当 m≠0 时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1 与直线 y＝m(x＋1)有两交点， 3 当圆与直线相切时，m＝± 3 ， 3 3 3 即直线处于两切线之间时满足题意，则－ 3 <m<0 或 0<m< 3 .综上知－ 3 3 <m<0 或 0<m< 3 . 二、填空题 11．(2014· 宁波高一检测)若直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x＋ay＋3＝0 互相平行， 则实数 a＝________. 答案 解析 ± 1 由 两 直 线 平 行 的 条 件 A1B2 － A2B1 ＝ 0 且 A1C2 － A2C1≠0 得
为 A．x2＋y2＝32 C．(x－1)2＋y2＝16 答案 解析 B B．x2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
(
)
设 P(x，y)，则由题意可得：2 x－22＋y2＝ x－82＋y2，化简整理
得 x2＋y2＝16，故选 B. 6．设长方体的长，宽，高分别为 2a，a，a 其顶点都在一个球面上，则该球的表 面积为 A．3πa2 C．12πa2 答案 解析 B 由 题 可 知 ， 球 的 直 径 等 于 长 方 体 的 体 对 角 线 的 长 度 ， 故 2R ＝ B．6πa2 D．24πa2 ( )
模块检测
一、选择题 1．(2014· 临沂高一检测)过点 A(3，－4)，B(－2，m)的直线 l 的斜率为－2，则 m 的值为 A．6 C．2 答案 解析 A m＋4 由题意知 kAB＝ ＝－2，∴m＝6. －2－3 ( ) B．1 D．4 ( )
2．在 x 轴、y 轴上的截距分别是－2、3 的直线方程是 A．2x－3y－6＝0 C．3x－2y＋6＝0 答案 解析 C 由直线的截距式得，所求直线的方程为 B．3x－2y－6＝0 D．2x－3y＋6＝0
2 m －16＝0， (2)要使 l1∥l2，则有 m×－1－2n≠0l2，则有 m· 2＋8· m＝0，得 m＝0. n 则 l1 为 y＝－8，由于 l1 在 y 轴上的截距为－1， n 所以－8＝－1，即 n＝8. 故 m＝0，n＝8. 16．(2013· 江苏高考)如图，在三棱锥 S－ABC 中，平面 SAB⊥平面 SBC，AB⊥ BC，AS＝AB.过 A 作 AF⊥SB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点．
所以四边形 PCMD 面积的最小值为 S＝2 |PM|2－4＝2 32－4＝2 5.
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x－y＝0， 解方程组 所 以 圆 M 的 圆 心 坐 标 为 (1,1) ， 半 径 r ＝ x＋y－2＝0. 1－12＋－1－12＝2. 故所求圆 M 的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二 设圆 M 的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(r>0)
2 2 2
－1－b ＝r ， 1－a ＋ 2 2 2 根据题意得－1－a ＋1－b ＝r ， a＋b－2＝0. 解得 a＝b＝1，r＝2. 故所求圆 M 的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由题知，四边形 PCMD 的面积为 1 1 S＝S△PMC＋S△PMD＝2|CM|· |PC|＋2|DM|· |PD|. 又|CM|＝|DM|＝2，|PC|＝|PD|， 所以 S＝2|PC|， 而|PC|＝ |PM|2－|CM|2＝ |PM|2－4， 即 S＝2 |PM|2－4. 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可， 即在直线 3x＋4y＋8＝0 上找一点 P，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min＝ |3×1＋4×1＋8| ＝3， 32＋42
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(3)l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1. 解 (1)因为 l1 与 l2 相交于点(m，－1)，
所以点(m，－1)在 l1、l2 上， 将点(m，－1)代入 l2，得 2m－m－1＝0，解得 m＝1. 又因为 m＝1，把(1，－1)代入 l1，所以 n＝7. 故 m＝1，n＝7.
1 y2)＝0－4⇒y＝a，又 a>0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所 1 构成的直角三角形，可知a＝ 22－ 32＝1⇒a＝1. 三、解答题 15．(2014· 吉林高一检测)已知两条直线 l1：mx＋8y＋n＝0 和 l2：2x＋my－1＝0， 试确定 m、n 的值，使 (1)l1 与 l2 相交于点(m，－1)； (2)l1∥l2；
x y ＋ ＝1，即 3x－2y＋6＝0. －2 3
3．在空间直角坐标系中，点 B 是 A(1,2,3)在 yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标 原点，则|OB|等于 A. 14 C．2 3 答案 解析 B 点 A(1,2,3)在 yOz 坐标平面内的射影为 B(0,2,3)， B. 13 D. 11 ( )
2 a －1＝0， 得 a＝± 1. 3a－2a≠0，
12．(2013· 浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体 积等于________cm3.
答案
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解析
由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一
个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直 1 角边长分别为 3 和 4，三棱柱的高为 5，故其体积 V1＝2 ×3×4×5＝30(cm3)， 小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相 1 1 同，高为 3，故其体积 V2＝3×2×3×4×3＝6(cm3)， 所以所求几何体的体积为 30－6＝24(cm3)． 13．(2013· 山东高考)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为 ________． 答案 解析 2 2 借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半
(2)∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BA，PA⊥CA， ∴∠BAC 为二面角 B－PA－C 的平面角． 又∵∠BAC＝45° . ∴二面角 B－PA－C 的平面角的大小为 45° .
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18．已知圆 M 过两点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心 M 在 x＋y－2＝0 上． (1)求圆 M 的方程； (2)设 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PC、PD 是圆 M 的两条切线，C、D 为切点，求四边形 PCMD 面积的最小值． 解 (1)法一 线段 AB 的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为 x－y＝0.
6 4a2＋a2＋a2，解得 R＝ 2 a，所以球的表面积 S＝4πR2＝6πa2. 7．一个三棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为 ( )
A．48＋12 2 C．36＋12 2 答案 解析 A