概率论二重积分的计算(二)

f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
D
选择积分次序
选择积分限
化为累次积分
作业：P153 3.2 12(1)(2) 13(2)(3)
下次课内容
3.3 二重积分的应用
复习
二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算
f (x, y)dxdy
D
f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ
D
x
2π
dθ
r2
(θ
)
f
(r
cos
θ
,
r
s
in
θ
)rdr
.
0
r1 (θ )
二重积分在极坐标下的计算
利用极坐标计算二重积分积分特征
如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等，
或被积函数为f (x2+y2)、 f ( y ), f ( x ) 等形式，
x
3y 0
θ1
π
6π
y 3x 0 θ2 3
故
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
4sin r 2 rdr
6
2sin
15( 2
3).
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I e x2 dx.(泊松积分,例3.19）
解 因为被积函数为偶函数, 所 以I 2 e x2 dx. 0 又因为被积函数 e x2 的原函数不是初等函数,
将面积元素 dxdy 换为 rdrd. , 则
f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
D
②将区域D 的边界曲线换为极坐标系下的表达
式，确定相应的积分限.
(2)将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.
(3)计算二次积分.
二重积分在极坐标下的计算
例1 计算 e( x2 y2 )dxdy, 其中 D : x2 y2 a2 .
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
选择坐标系
选择积分次序
化为累次积分
计算累次积分
二重积分在极坐标下的计算
二. 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
(1)若D关于y轴对称,则
2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y) f ( x, y)
f (x, y)dxdy D右
0
令 H e x2 y2dxdy I 2
D
4
利用极坐标计算H，
D
D {(r, ) | 0 r ,0 }
2
所以 H
e x2 y2 dxdy
2 d
er2 rdr
0
0
D
2 [
0
1 2
er2
]
0
d
2
0
1 2
d
4
I2 4
所求广义积分 I ex2dx π .
正态分布
所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。
令 H ex2 y2dxdy 其中D {( x, y) | x 0, y 0}
ex2dx De y2 dy ( ex2dx)2 I 2
0
0
0
4
利用极坐标计算H，D {(r, ) | 0 r ,0 }
D
2
I e x2 dx 2 e x2 dx
则平面上任意一点的极坐标(r, )与直角坐标( x, y)之间
的变换公式为
极坐标(r, )
x r cos
y
r
sinθ
r
极点O 原点O
y
x
极轴X
x轴
1.利用极坐标系计算二重积分
在直角坐标系下 f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
在极坐标系下 f (x, y)d f (r cosθ, r sinθ)dσ D
a
a2 y2
o
x
D
xe x2 dx 或 ye y2 dy
因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数
y f ( x, y) 的特点,选择不同的坐标系来计算二重
积分是一个重要的问题.
二、二重积分在极坐标下的计算
二重积分在极坐标下的计算
极坐标(r, )与直角坐标( x, y)变换公式
如果选取以直角坐标系的原点O为极点，以x轴为极轴，
f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
D
如何计算极坐标系下的二重积分？
化为二次积分或累次积分来计算
二重积分在极坐标下的计算
化为二次积分或累次积分来计算
在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积 分， 同样要解决下面两个问题：
（1）选择积分次序
（2）确定积分的上、下限
函数的奇偶性可得
原式 4 xydxdy
D
x
o
D
1
1 x
40 dx0 xydy
二重积分在极坐标下的计算
例8 计 算 y x2 dxdy.
y
1 x1
0 y1
1
解 原式 2 y x2 dxdy
D
2 y x2 dxdy 2 y x2 dxdy
1 o DD1 D12 x
D1
D2
2 ( y x2 )dxdy 2 ( x2 y)dxdy
x
利用极坐标常能简化计算.
y
要点与步骤:
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用 极坐标计算;
(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的 二次积分.
3.极坐标下二重积分计算的基本步骤
(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的 二重积分.
① 将 x r cosθ, y r sinθ 代入被积函数,
极坐标系下的面积微元 dσD如何表示?
设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点 不多于两点， 函数f ( x, y)在D上连续. 在极坐标系下，
用以极点O为中心的一族同心圆,
以及从极点出发的一族射线,
把区域D分成n个小区域，
D
o
A
二重积分在极坐标下的计算
设 为 其 中 一 个 典 型 小 闭 区域( 同 时 也 表 示 该
r2 (θ )
D
f (r cos ,r sin )rdrd
b
dx
y2(x) f ( x, y)dy(
d
dy
x2( y) f ( x, y)dx).
a
y1 ( x)
c
x1 ( y)
D
二、二重积分在极坐标系下的计算
f ( x, y)dxdy f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ.
D
D
选择积分次序
选择积分限
化为累次积分
只研究先对r后对θ的积分次序
2.极坐标系下化二重积分为二次积分
（只研究先对r后对θ的积分次序） 型区域
下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论 r2(θ)
(1)若极点O在区域 D 之外
D : α θ β, r1(θ) r r2(θ), 则有
r1(θ) D
β
α
f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ
o
x
D
D
sin(
x
x2 2
y2
y2
)
dxdy
D
sin(r
r
)
rdrd
r2 r 1
2
0
d
2
1
sinrdr
4.
二重积分在极坐标下的计算
例5 计算二重积分 x2 y2dxdy，其中区域D为由
x=0及 x2+y2=2y 围成的第D 一象限内的区域.
解 D的边界曲线为x2+y2=2y，其极坐标表达式
r 2sinθ, 此时D可以表示为 0 θ π , 0 r 2sinθ，
D
0,
f (x, y) f (x, y)
(2)若D关于x轴对称,则
f
(
x,
y)dxdy
2
D上
f ( x, y)dxdy,
D
0,
f (x, y) f (x, y)
f (x, y) f (x, y)
二重积分在极坐标下的计算
例7 计算 xy dxdy.
x y 1
y
解 由区域的对称性和
例2 计算I
dxdy , D : x2 y2 1.
D 1 x2 y2
解 D (r, ) | 0 r 1,0 2 y
I
D
rdrd
1 r2
2
0
d
1
0
rdr 2 .
1 r2
r 1
x
一般地,
f ( )g(r)rdrd 2 f ( )dx r2rg(r)dr
1 2
1
r1
r1 r r2
A
这样二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x, y)dσ f (r cosθ, r sinθ) rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的计算 二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x, y)dσ f (r cosθ, r sinθ) rdrd
D
D
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式
2
y
x2 y2dxdy r rdrd
D
D
π
2 dθ
2sinθ r 2dr
1
π
2 r3
2sinθ
dθ
8
π
2 sin3 θdθ
0
0
30 0
30
πo
x
8
π
2 (1 cos2 θ)d cosθ
8 1 cos3 θ cosθ 2
30
33
0
16 . 9
x2 y2dxdy
a
x
b
c
x x2( y)
x
3.2 二重积分的计算
例 计算 e( x2 y2 )dxdy, 其中 D : x2 y2 a2 .
解
D
e( x2 y2 )dxdy
a
dx
e dy a2 x2 ( x2 y2 )
a
a2x2
y
D
e(x2 y2 )dxdy
a
dy
e dx a2 y2 ( x2 y2 )
二重积分在极坐标下的计算
例3 计算积分
sin x2 y2 dxdy. (例3.14)
π2 x2 y2 4π2
解 积分域是圆环， D：0 θ 2π,π r 2π.
sin x2 y2dxdy
π2 x2 y24π2
sin r rdrd θ
π2 x2 y24π2
2π
2π
dθ r sin rdr
3.2 二重积分的计算
复习
二重积分的计算 （累次积分）
（一）在直角坐标系中
f (x, y)dxdy
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy
D
a
y1 源自文库 x )
X-型
y
或 (
d
dy
x2( y) f ( x, y)dx)
Y-型
y y2(x)
c
x1
(
y)
y
d x x1( y)
y y1(x)
(3) 若极点O在区域D的内部
D: 0 θ 2π, 0 r r(θ). 则有
r r( )
f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ
D
D
o
x
2π
r (θ )
0 dθ0 f (r cosθ, r sinθ)rdr.
特殊地 D : r1(θ) r r2(θ),0 θ 2π, 且
r 1( ) r 2 ( ) o
0
π
2π[r cos r 2π
2π
cos rdr]
π
π
6π 2 .
y
o
rπ
r 2π
x
二重积分在极坐标下的计算
例4 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 D {(r, ) | 1 r 2,0 2 }
β
dθ
r2 (θ) f (r cosθ, r sinθ)rdr.
α
r1 (θ )
r r(θ)
D
β
(2) 极点O在区域D的边界线上
，0 r r( ), 则有
o
α
x
f (r cosθ, r sinθ)rdrdθ
β
r (θ )
dθ f (r cosθ, r sinθ)rdr.
α
0
D
二重积分在极坐标下的计算
小闭区域的面积), 它由半径分别为r和r r的同心圆
和极角分别为和 的射线所确定，则
1 (r r)2 1 r 2 r r r
2 rr
1
2 (r )2
rr
当r充分小时, 略去2 高阶无穷小量
1 (r)2 , 得 r r ,
D
2
故面积微元为 d rdrd , o
2
dy
2 y y2
x2 y2 dx
D
0
0
二重积分在极坐标下的计算
例6 计算 (x2 y2 )dxdy，其中D由圆x2 y2 2y,
x2 y2 4y, x D 3y 0, y 3x 0所围成的平面区域.
解
x2 y2 2 y r 2sinθ
x2 y2 4 y r 4sin
D1
D2
201dx
1
x2
(
y
x2 )dy
201dx
x
0
2
(x2
y)dy.
例3.17——3.18不作要求
小结
一、二重积分在直角坐标系中计算
D
f (x, y)dxdy
b
dx
a
y2 ( x) y1 ( x )
f
(
x,
y)dy(
d
dy
c
x2( y) f ( x, y)dx).
x1 ( y)
二、二重积分在极坐标系中的计算
x
2
e 2 dx 2
二重积分计算方法总结：
二重积分可在两种坐选标取系适下当计的算坐标.系对计算二重积分 的计算是至关重要的.
一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域， 而被积函数中含有 x2 y2 , y , x 项时, 采用极坐标系 下的计算方法往往比较简便x. y
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
解
D
在极坐标系下
D
:
0ra 0 θ 2π
,
故
e(x2 y2 )dxdy er2 rdrdθ
y
D
D
2π
dθ
a er2 rdr
0
0
2π 0
1 2
er2
a 0
dθ
o
x
π(1 ea2 ).
注：由于 e x2 的原函数不是初等函数 ,故本题
无法用直角坐标计算.
二重积分在极坐标下的计算