人教新课标A版高一数学《必修5》§2.1.2 数列的概念与简单表示法
【人教A版】数学必修五：2.1《数列的概念与简单表示法(2)》ppt课件
a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),
所以 an = n 1 (n≥2),
an 1
n
an= an × an1 × an2 ×…× a3 × a2 ×a1= n 1 × n 2 × n 3 ×…× 2 × 1 ×1= 1 .
an 1
an2
an3
a2 a1
n n 1 n 2
32
n
又∵n=1 时,a1=1,符合上式,∴an= 1 . n
【例 4】 (1)已知数列{an}满足 a1=-1,an+1=an+ 1 ,n∈N*,求通项公式 an.
n(n 1)
(2)设数列{an}中,a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),求通项公式
an.
解:(1)∵an+1-an= 1 , n(n 1)
∴a2-a1= 1 ; 1 2
a3-a2= 1 ; 23
5(n 5(n
1) 1)
4, 4.
解这个不等式组得 2≤n≤3,
∴n=2,3, ∴a2=a3 且最小,a2=a3=22-5×2+4=-2.
题后反思 求数列{an}的最大项或最小项的方法. 求数列{an}的最大项或最小项,一种方法是利用函数的最值求解;
另一种是不等式法,求最小项可由
aann
2) 2)
6 7
6 7
n
n
(n (n
1)
6 7
n
1
,
3)
6 7
n 1
,
解得
n n
5, 4,
即
4≤n≤5,
所以 n=4 或 5,
故数列{an}中
a4
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_17
数列的概念与简单表示法教材分析：本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备 课件，微课视频三维目标：知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程：一、导入新课展示两张图片：花朵和树枝的分叉，体现出数学在大自然中无处不在，引出课题。
给出几个例子：（1）古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：三角形数：1，3，6，10，15…正方形数：1， 4 ，9 ，16 ， 25…（2）虫儿飞的歌谱：3，3，3，4，5，3，2，2 ；（3）20，21，22，…，262，263 ；（4）1111234，，，， …；（5）101，102，… ，162 ； （6）123(1)(1)(1)---，，，… ；（7）1，1，1，1，1，1， …请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的，从而引出数列的概念.二、讲授新课1、数列的概念按照一定次序排成的一列数.（1）数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第1项(首项)，第2项，…，第n 项，…（2）数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….其中数列的第n 项用a n 来表示.2、分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.（2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.3、数列{a n }的第n 项a n 与项数n 有一定的关系吗？序号 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓项 1 4 9 16 25数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),….4、如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.三、例题讲解例1.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -1，用列表法写出这个数列的前5项，并作出图象. 结论：（1）数列的图象是一群孤立的点；例2.根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：( 1 ) 1n n a n =+ ( 2 ) (1)n n a n =-⋅ 例3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 111(1)1234--，，， (2)2020，，， 结论：(1)给出数列的前几项，可以归纳出不止一个通项公式；(2)并不是所有的数列都可以求出其通项公式.四、课时小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.五、播放一段《斐波那契数列》微课小视频，让学生通过神奇的斐波那契数列感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。
人教版高中数学必修5(A版) 2.1数列的概念与简单表示法 PPT课件
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各 层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一 列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数 叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第 二项，…，第n项， …。 问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。 项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数 列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数： （1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ； （2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义 域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从 小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上 面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_25
《数列的概念与简单表示法》教学设计一、教学要求：1、理解数列及其有关概念；2、了解数列和函数之间的关系；3、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式； 二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：（一）、引入：1. 大自然是懂数学的，树木的分岔，花瓣的数量，植物种子的排列等等都遵循某种数学规律，本节课我们就来研究这些数的规律及特征。
下面我们看四组数：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.提问：这些数有什么共同特点：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（二）、讲授新课：1.数列及其有关概念：（1）1，12，14，18，··· （2）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，···（4）无穷多个3排列成的一列数：3，3，3，3，···（5）15,5,16,16,28,32,51有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（1）数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.（2）数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？ ----------数列的可重复性（3）数列与集合有什么区别？ 集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
人教A版数学必修五2.1数列的概念与简单表示法好课件(优质课)
球员
梅西
戈麦斯
C罗 本泽马 伊布
戈米
进球数
14
12
10
7
5
5
截止到3月24日欧冠半决赛结束 ，以上球员的进球数能否构成 数列？
问题引领2 数列与集合有什么区分？
辨析数列(1的) “概1, 念2, :3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同 一
个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ ——数列的有序性 (2) 数列中的数可以重复吗？
函数解析式 an f (n) 就是数列的通项公式，
问题引领5 你能由数列的前几项写出数列的通项公式吗？ 例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
根据数列的前若干项写 出的通项公式的情势唯 一吗？请举例说明。
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式
1，2，22，23， 263
❖三角形数：1，3，6，10，··· ❖正方形数：1，4，9，16，···
❖斐波那契数： 1，1，2，3, 5, 8,13
❖-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1，1， 1，1
❖无穷多个1排列成的一列数：
1， 1， 1， 1，
问题引领1 这些数有什么共同特点？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9
•
8
7
6
5
4
•
3 2 1•
0 1234
-1
an n 2
问题引领8
由此你对数列有什么新的认识？
数列用图象表示时的特点——一群孤立的点 数列是定义域为正整数集或是它的有限子集 {1，2，3，……n }的函数
2.1 数列的概念与简单表示 课件(35张PPT)高中数学必修5(人教版A版)
斐波那契数列
斐波那契数列（又译作“斐波拉契数列”或 “斐波那切数列”）是一个非常美丽、和谐的数列， 它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明 （如上图），起始的正方形(图中用灰色表示)的边 长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这 两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以 后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方 形.这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正 好构成了斐波那契数列.
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1， 2，，n})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从 小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.
对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,,n, ) 有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f(n), .
{an }
或：a1，a2，a3，
问：下面二个列数是否为同一数列？ 1，2，3，4，5 2，1，3，4，5 结论：因其排列次序不同，故不是同一数列.
1. 项数有限的数列叫做有穷数列. 2. 项数无限的数列叫做无穷数列.
例如 数列 （1）3，5， 7， 9，… （2）2，8，13，27，40 （3）1，1， 1， 1，… （4）24，19，17，8，5 其中：（2）（4）是有穷数列
§2.1数列的概念与简单表示法
5. 正方形的石子数
1
4
9
16
25
一 尺 之 棰 日 取 其 半 万 世 不 竭
， ， ， ， ， ，…
引 用 过 一 句 话
庄 周 著 的 《 庄 子 天 下 篇 》
战 国 时 代 哲 学 家
1
1 2
1 4
1 8
1 16
1 32
人教A版数学必修五 数列的概念与简单表示法 实用课件
(1)数列41，21，43，1，45，23，…的一个通项公式为________．
(2)数列 1,2 2，3 3，8,5 5，6 6，7 7，…的一个通项公
式为__________；
(3) 数 列
1
，
－ 12
，
1 4
，
－
1 8
，
1 16
，
…
的
一
个
通
项
公
式
为
__________．
[答案] (1)an＝n4 (3)an＝(－21)n－1
• 数列(3)(5)的各项都相等，故(3)(5)是常数列．
• 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的 前一项的数列是摆动数列，故(6)是摆动数列．
4．数列的递推公式 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任一项 an 与它 的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么 这个公式就叫做这个数列的递推公式． 注意：(1)要给出数列的首项或前几项，这是递推的基础； (2)要给出任一项 an 与它的前一项或前几项的关系式，这是 递推的依据； (3)同通项公式一样，不是所有的数列都可以用递推公式表 示．
[答案] 1.对应关系 f 唯一 2.－1,0,1,2,3，… 对应关系
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法 实用课件
1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数 都叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排 在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项．排在第 n 位 的数称作这个数列的第 n 项，记作 an.数列的一般形式为 a1，a2， a3，…，an…，简记为{an}．
(1)121，223，334，454，…； (2)11,102,1003,10004，…； (3)9,99,999,9999，…； (4)12，2，92，8，225.
高中数学人教版A版必修五课件§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
1.数列与数列的项
按照一定顺序排列的一列数称为 数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列…，
排在第n位的数称为这个数列的第 n 项.
2.数列的表示方式
数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为 {an}
解析答案
(3)－114，329，－5136，7245，－9356，…； 解 所给数列有这样几个特点： ①符号正、负相间； ②整数部分构成奇数列； ③分母为从2开始的自然数的平方； ④分子依次大1. 综合这些特点写出表达式，再化简即可. 由所给的几项可得数列的通项公式为： an＝(－1)n2n－1＋n＋n12， 所以 an＝(－1)n2n3＋n3＋n2＋12n－1.
解析答案
(3)－1,2，－3,4，…；
解 该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正， 故an＝(－1)n·n. (4)2,22,222,2 222，…. 解 由 9,99,999,9 999，…的通项公式可知，所求通项公式为 an＝29(10n－1).
反思与感 悟
解析答案
跟踪训练2 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式. (1)1,3,7,15,31，…； 解 观察发现各项分别加上1后，数列变为2,4,8,16,32，…，新数列的通项 为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1. (2)4,44,444,4 444，…；
.
3.数列中的项的性质：
(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.
答案
思考1 数列的项和它的项数是否相同？ 答案 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的 某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个 数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. 思考2 数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？ 答案 数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元 素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上 不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.
人教新课标A版高一数学《必修5》§2.1.1 数列的概念
典例突破
（四）数列的规律性
2
-16
-36
典例突破
（四）数列的规律性
6
谢谢大家！
（二）数列的分类
（2）1,2,3,4和1,2,3,4，…有区别吗？ 【答案】有区别．数列1,2,3,4表示有穷数列，
而1,2,3,4，…表示无穷数列．
新ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ探究
（二）数列的分类
问题5. (1) 根据定义，数列对其项的大小顺序有限制
吗？如果按项的大小对数列分类，该怎样分？ 【答案】没有限制. 如果按项的大小对数列分类，应
典例突破
（二）数列的分类
①
①⑤ ③⑥ ②
②③④⑤⑥ ④
典例突破
（二）数列的分类
D
典例突破
（三）数列的表示
典例突破
（三）数列的表示
【答案】（1）不足近似值构成的数列： 1，1.7，1.73，1.732，1.7320，1.73205，1.732050； （2）过剩近似值构成的数列： 2，1.8，1.74，1.733，1.7321，1.73206，1.732051.
分为：递增数列，递减数列，常数列和摆动数列.
新知探究
（二）数列的分类
(2) 你能从项的大小上对下面的数列进行分类吗？
① 1，0.1，0.01，0.001，…… ；② 1，0，1，0，…… ；
③ 3，3，3，3，……. 【答案】① 递减数列；② 摆动数列；③ 常数列.
新知探究
（三）数列与函数的关系
知识链接
新知探究
（一）数列的概念
都是按照一定的顺序排列的 一定的顺序 每一个数 序号 首项 第n项
获取新知
（一）数列的概念
问题2. {an}与an的含义一样吗？
高中数学必修五2.1.1数列的概念与简单表示法课件人教A版
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
1.对数列有关概念的理解 剖析要准确理解数列的定义,需特别注意定义中的两个关键 词:“一列数”,即不止一个数;“一定顺序”,即数列中的数是有顺序的. 同时还要注意以下五点: (1)数列中项与项之间用“,”隔开. (2)数列中的项通常用an表示,其中下标n表示项的位置序号,即an 为第n项. (3)与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: ①确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是 确定的.(与集合相同) ②可重复性:数列中的数可以重复.(与集合不同)如数列1,1,1,而由 1,1,1组成的集合是{1}.
第二章 数列
-1-
2.1 数列的概念与简单表示法
-2-
第1课时 数列的概念与简单表示法
-3-
第1课时 数列的概念与简单表示法
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI其简单应用. 3.理解数列与函数间的关系. 4.能根据数列的前几项写出一个通项公式.
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
【做一做3】 在数列{an}中,an=3n-1,则a2等于( A.2 B.3 C.9 D.32 答案:B
).
-10-
第1课时 数列的概念与简单表示法
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
含义 从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 各项相等的数列 从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它 的前一项的数列
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(含答案)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1<a n 对任意n (n ∈N *)都成立．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1， a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ， a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，……. ∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B3．数列的前n 项和S n 与a n 的关系对所有数列都有：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1 (n ≥2)．因此，当n ≥2时，有：a n ＝S n －S n －1.当n ＝1时，有：a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2.注意这一关系适用于所有数列． 例如：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[(n －1)·2n ＋1]－[(n －2)·2n －1＋1]＝(n －1)·2n －(n －2)·2n －1＝n ·2n －1.所以通项公式可以统一为a n ＝n ·2n －1.答案 n ·2n －14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求和，采用累加法求a n .即：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝a 1＋∑n －1i ＝1f (i ) (2)形如a n ＋1＝f (n )·a n ，且f (1)·f (2)…f (n )可化简，采用累乘法求a n .即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)＝a 1·Πn －1i ＝1f (i ) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)．设a n ＋1－x ＝A (a n －x )，则：a n ＋1＝Aa n ＋(1－A )x由(1－A )x ＝B ，∴x ＝B 1－A∴a n ＋1－B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －B 1－A ∴a n －B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －1－B 1－A ＝A 2⎝⎛⎭⎫a n －2－B 1－A ＝…＝A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ∴a n ＝B 1－A＋A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ＝(1－A n －1)·B 1－A＋A n －1a 1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项a n 与项数n 的关系，即a n 如何用n 表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n 或(－1)n －1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…； (6)1，13，17，113，121，…. 解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)把分母统一为2，则有：12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….因而有a n ＝79(10n －1)． (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，则有a n ＝n 2－1.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．故a n ＝1n 2－n ＋1. 二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性．例2 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)． 试问数列{a n }的最大项是第几项？解 方法一 ∵a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·(9－n )11.当n ≤8时，a n <a n ＋1，{a n }递增，即a 1<a 2<…<a 8<a 9.当n ＝9时，a 9＝a 10.当n ≥10时，a n >a n ＋1，{a n }递减，即a 10>a 11>a 12>….又a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }的最大项是第9项和第10项．方法二 令a n a n －1≥1 (n ≥2)， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n n ⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1. 整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10. 令a n a n ＋1≥1， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1. 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9. 所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减．因此数列{a n }先递增，后递减．∴a 1<a 2<…<a 9，a 10>a 11>a 12>…，且a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }中的最大项是第9项和第10项．三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．例3 已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)，那么a 2 010与S 2 009依次是( )A ．1,3B ．3,1C ．－2,2D ．2，－2解析 ∵a n ＝a n －1－a n －2，∴a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2.由a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴{a n }为周期数列，且周期T ＝6.∴a 2 010＝a 6＝－a 3＝a 1－a 2＝－2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0＋0＋0＝0，且2 010是6的倍数，∴S 2 010＝0.∴S 2 009＝S 2 010－a 2 010＝0－a 2 010＝0－(－2)＝2.答案 C四、已知前n 项和S n ，求通项a n方法链接：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1，求出a 1，再由a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)求出a n ，最后验证a 1与a n 能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示．例4 已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝(－1)n ＋1 n ；(2)S n ＝3n －2.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(－n )－(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ·(－2n ＋1)．由于a 1也适合此等式，因此a n ＝(－1)n ·(－2n ＋1) (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2·3n －1 (n ≥2). 五、由递推公式求通项a n方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法．需要理解一点，对a n －a n －1＝n (n ≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的n ≥2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为a n ，就是解题的关键所在．另外递推公式具有递推性，故由a 1再加上递推公式可以递推到a n .例5 由下列数列{a n }的递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)． 解 (1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 由于a 1也适合此等式．故a n ＝n (n ＋1)2. (2)由题意得，当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12， 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，即a n ＝1n. 由于a 1也适合此等式，故a n ＝1n. 六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用．构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题．其中构建递推关系是关键．例6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个．如果按照同样的方式接着摆下去，记第n 个图需用f (n )个“福娃迎迎”，那么f (n ＋1)－f (n )＝________；f (6)＝________.解析 ∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，…，∴f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…∴f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (6)＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋[f (4)－f (3)]＋[f (5)－f (4)]＋[f (6)－f (5)]＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.答案 4n 61区突破1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2. [点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，由数列{a n }是单调递增数列有－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的． 故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的范围．[正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．2．对公式使用条件考虑不周而致错例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)2·3n －1＋2 (n ≥2).题多解 例 设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0 (n ∈N *)，求a n . 分析 先求出相邻两项a n ＋1与a n 的关系，再选择适当的方法求a n .解 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0.得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n. 方法二 (换元法)由已知得(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，设b n ＝na n ，则b n ＋1－b n ＝0.∴{b n }是常数列．∴b n ＝b 1＝1×a 1＝1，即na n ＝1.∴a n ＝1n.题赏析1．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝______，a 2 014＝______.解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.答案 1 0赏析 题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力．2．(2009·湖北八市调研)由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.答案 C 赏析 题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力．。
人教A版高中数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法.doc
2.1 数列的概念与简单表示法一、选择题1．（3分）下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是相同的数列C．数列{}的第k项为1+D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}2．（3分）已知数列{n2+n}，那么（）A．0是数列中的一项B．21是数列中的一项C．702是数列中的一项D．以上答案都不对3．（3分）数列11，13，15，…，2n+1的项数是（）A．n B．n﹣3 C．n﹣4 D．n﹣5 4．（3分）若，则a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定5．（3分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3，且a1=0，则此数列的第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．36 6．（3分）已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（）A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项7．（3分）数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．8．（3分）在数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，且，则a5=（）A．0B．1C．﹣1 D．29．（3分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11 B．12 C．13 D．14 10．（3分）在数列{a n}中，，则a5=（）A．B．C．D．11．（3分）600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第（）项．A．20 B．24 C．25 D．30 12．（3分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．3(1)()21nnn nan-+=+B．(1)(3)21nnn nan-+=+C．2(1)[(1)1]21nnnan-+-=-D．(1)(2)21nnn nan-+=+13．（3分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3 C．﹣12 D．﹣614．（3分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=15．（3分）已知数列，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项16．（3分）下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④二、填空题17．（3分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为_________．18．（3分）数列{a n}中，，那么150是其第_________项．19．（3分）已知，则a5=_________．20．（3分）在数列{a n}中，a1=a，以后各项由递推公式给出，写出这个数列的前4项：_________、_________、_________、_________，并由此写出一个通项公式a n=_________．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，它的前8项依次为_________、_________、_________、_________、_________、_________、_________、_________．22．（3分）已知f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*），则f（4）=_________．三、解答题23．数列{a n}中，已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），且a1+a4=3a2，求a100．24．已知数列{a n}的通项公式a n=5+3n，求：（1）a7等于多少；（2）81是否为数列{a n}中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．2.1 数列的概念与简单表示法一、选择题1．（3分）下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是相同的数列C．数列{}的第k项为1+D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}考点：数列的概念及简单表示法．分析：本题考查的知识点是数列的概念胶简单表示法，根据数列的定义及表示方法对四个答案逐一进行分析即可得到答案．解答：解：由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是不同的数列，故B错误；C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；数列0，2，4，6，的通项公式为a n=2n﹣2，故D错．故选C．点评：在理解和掌握数列的概念及表示法的时候，要用类比的思想，注意区分数列与集合的关系，及数列的函数的关系．2．（3分）已知数列{n2+n}，那么（）A．0是数列中的一项B．21是数列中的一项C．702是数列中的一项D．以上答案都不对考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n，可以把a n=0，21，702代入进行求解，注意n是正整数．对四个选项进行一一判断．解答：解：因为数列{a n}的通项公式为a n=n2+n，（n∈N*）∴当a n=0时，n2+n=0⇒n∈∅；当a n=21时，n2+n=21⇒n∈∅；当a n=702时，n2+n=702⇒n∈∅；以上答案都不对．故选D．点评：此题主要考查数列简单表示法，数列的概念及其应用，是一道基础题．3．（3分）数列11，13，15，…，2n+1的项数是（）A．n B．n﹣3 C．n﹣4 D．n﹣5考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列11，13，15，…，2n+1可知：该数列是一个首项为11，公差为2的等差数列，即可得到通项公式a n=11+（n﹣1）×2=2n+9．令2k+9=2n+1，解出即可．解答：解：由数列11，13，15，…，2n+1可知：该数列是一个首项为11，公差为2的等差数列，∴通项公式a n=11+（n﹣1）×2=2n+9．令2k+9=2n+1，解得k=n﹣4，（n≥5）．故选C．点评：数列等差数列的通项公式是解题的关键．4．（3分）若，则a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：化简数列{a n}的通项公式为a n=1﹣，显然当n增大时，a n的值增大，故数列{a n}是递增数列，由此得到结论．解答：解：∵数列{a n}的通项公式是a n===1﹣，（n∈N*），显然当n增大时，a n的值增大，故数列{a n}是递增数列，故有a n＜a n+1，故选B．点评：本题主要考查数列的函数特性，化简数列{a n}的通项公式为a n=1﹣，是解题的关键，属于基础题．5．（3分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3，且a1=0，则此数列的第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．36考点：数列递推式．专题：计算题．分析：分别令n=2，3，4，5代入递推公式计算即可．解答：解：a2=4a1+3=3a3=4a2+3=4×3+3=15a4=4a3+3=4×15+3=63a5=4a4+3=4×63+3=255故选B．点评：本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题．6．（3分）已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（）A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：先化简3=，进而利用通项即可求出答案．解答：解：∵3=，令45=2n﹣1，解得n=23．∴3是此数列的第23项．故选B．点评：理解数列的通项公式得意义是解题的关键．7．（3分）数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：探究型．分析：由数列的项的变化规律可以看出，1，0交错出现，由此规律去对四个选项进行验证即可得出正确答案解答：解：A选项不正确，数列首项不是1；B选项正确，验证知恰好能表示这个数列；C选项不正确，其对应的首项是﹣1；D选项不正确，其对应的首项为0，不合题意．故选B点评：本题考查数列的概念及数列表示法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去验证四个选项．8．（3分）在数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，且，则a5=（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，令n=6得，把a7代入即可解得a6，依此类推解得a5．解答：解：∵数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，∴令n=6得，∵，∴，解得a6=．令n=5，得，∴，解得a5=1．故选B．点评：正确理解数列的递推公式和递推关系是解题的关键．9．（3分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11 B．12 C．13 D．14考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解解答：解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{a n}∴a n=a n﹣1+a n﹣2（n＞3）∴x=a7=a5+a6=5+8=13故选C点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题．10．（3分）在数列{a n}中，，则a5=（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：利用递推关系式依次直接求出数列的第五项即可．解答：解：在数列{a n}中，，所以a2=，a3=，，．故选A．点评：本题是基础题，考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．11．（3分）600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第（）项．A．20 B．24 C．25 D．30考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…通过观察可得通项公式a n=n（n+1），令n（n+1）=600，解出即可．解答：解：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式a n=n（n+1），令n（n+1）=600，∵24×25=600，∴n=24．故选B．点评：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…通过观察可得通项公式a n=n（n+1）是解题的关键．12．（3分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．3(1)()21nnn nan-+=+B．(1)(3)21nnn nan-+=+C．2(1)[(1)1]21nnnan-+-=-D．(1)(2)21nnn nan-+=+考点：数列递推式．专题：计算题．分析：采用特殊值法来求解．取n=1代入即可．解答：解：因为这是一道选择题，可以采用特殊值法来求解．取n=1代入，发现只有答案D成立，故选D．点评：由于选择题自身的特点是只要答案，不要过程，所以在做能用数代入的题目时，可以直接代入求解，把过程简单化．13．（3分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3 C．﹣12 D．﹣6考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：利用递推关系式，分别计算a3=3，a4=﹣3，a5=﹣6即可．解答：解：由题意，a3=6﹣3=3，a4=3﹣6=﹣3，a5=﹣3﹣3=﹣6，故选D．点评：本题主要考查递推关系式的运用，属于基础题．14．（3分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=考点：数列递推式．专题：规律型．分析：由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．解答：解析：从图中可观察星星的构成规律，n=1时，有1个；n=2时，有3个；n=3时，有6个；n=4时，有10个；∴a n=1+2+3+4+…+n=．答案：C点评：这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的观察猜想能力．15．（3分）已知数列，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项考点：等差数列与等比数列的综合；数列的概念及简单表示法．专题：规律型．分析：本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7解答：解：数列，各项的平方为：2，5，8，11，…∵5﹣2=11﹣8=3，即a n2﹣a n﹣12=3，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．点评：本题通过观察并利用构造法，构造了新数列{a n2}为等差数列，从而得解，构造法在数列中经常出现，我们要熟练掌握．16．（3分）下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④考点：数列的概念及简单表示法．分析：①因为a n=f（n）（n∈N*），所以数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数可以是有限的，例如1，2，3这3个数组成一个数列；③由①可知：数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式不是唯一的，例如数列1，0，1，0，…，可用或，（n∈N*），两种形式表示．解答：解：①∵a n=f（n）（n∈N*），∴数列可以看成一个定义在N*上的函数，故正确；②数列的项数可以是有限的，如1，2，3这3个数组成一个数列，故不正确；③∵a n=f（n）（n∈N*）或（n∈A⊆N*），∴数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，正确；④数列的通项公式不是唯一的，如数列1，0，1，0，…，可用或，（n∈N*），故不正确．综上可知：只有①③正确．故选C．点评：正确理解数列的定义、数列与函数的关系是解题的关键．二、填空题17．（3分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为．考点：归纳推理；数列的概念及简单表示法．专题：探究型．分析：观察发现7=，77=，777=，…从而归纳出通式得到答案解答：解：由于7=，77=，777=，7777=，77777=…故数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为故答案为点评：本题考查归纳推理，解答的关键是对所给的项进行变形，从而归纳出通式，归纳推理是发现规律的一种常用的推理方式，要好好掌握18．（3分）数列{a n}中，，那么150是其第16项．考点：函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用．分析：由数列的通项公式，令其等于150，可解n的值，即为第几项．解答：解：由数列的特点可知：通项公式，令n2﹣7n+6=150，可解得n=16或n=﹣9（舍去），故150是第16项，故答案为：16．点评：本题考查等差数列的通项公式，正确求解数列的通项公式是解决问题的关键，属基础题．19．（3分）已知，则a5=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据数列的递推依次求得a2，a3，a4，则答案可求．解答：解：依题意可知a2=1+=2，a3=1+=，a4=1+=，a5=1+=故答案为点评：本题主要考查了数列的递推式．属基础题．20．（3分）在数列{a n}中，a1=a，以后各项由递推公式给出，写出这个数列的前4项：a、、、，并由此写出一个通项公式a n=．考点：函数的概念及其构成要素．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a n与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．解答：解：∵a1=a，a n+1=，∴a2=，a3===，a4===．观察规律：a n=．故答案为：a，，，；．点评：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，它的前8项依次为1、3、、7、、11、、15．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题意，根据数列的通项公式依次对n赋值即可解出它的前八项解答：解：因为数列{a n}的通项公式，所以它的前8项依次为1、3、、7、、11、、15故答案为1、3、、7、、11、、15点评：本题考查数列的简单表示，对n赋值，代入相应的解析式进行求值是解答的关键22．（3分）已知f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*），则f（4）=．考点：函数恒成立问题；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设可看出，直接根据所给的恒成立的等式依次求出n=2，3，4时的函数值，即可得到正确答案解答：解：因为f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*）恒成立，所以f（2）=，f（3）=，f（4）==故答案为点评：本题考查函数恒成立问题，列举法依次求出出n=2，3，4时的函数值是解答此类题的主要方式三、解答题23．数列{a n}中，已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），且a1+a4=3a2，求a100．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），可得a1，a2，a3，a4用a表示，再利用a1+a4=3a2，即可解得a，从而得出a100．解答：解：由已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），可得a1=a﹣1，a2=a+2，a3=a﹣3，a4=a+4．∵a1+a4=3a2，∴a﹣1+a+4=3（a+2），解得a=﹣3．∴．∴．点评：利用已知关系式分别取n=1，2，3，4求出a是解题的关键．24．已知数列{a n}的通项公式a n=5+3n，求：（1）a7等于多少；（2）81是否为数列{a n}中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接将n=7代入即可；（2）利用通项公式解出n是否是正整数即可得到答案．解答：解：（1）∵数列{a n}的通项公式a n=5+3n∴a7=5+3×7=26（2）假设81是数列{a n}中的项，则81=5+3n∴n=∵n∈N*所以81不是数列{a n}中的项．点评：此题考查了等差数列的性质，属于基础性的题目．。
高中数学人教A版必修五数列的概念及表示课件
公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或者图像来表示。
高中数学人教A版必修五2.1数列的概 念及表 示（第 一课时 ）课件 （共16 张PPT）
高中数学人教A版必修五2.1数列的概 念及表 示（第 一课时 ）课件 （共16 张PPT）
数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3，，an ，
简记为 an ,其中 an 叫做数列的第 n 项。
高中数学人教A版必修五2.1数列的概 念及表 示（第 一课时 ）课件 （共16 张PPT）
【新知探究】（二）
探究2：观察上面各组数，有什么不同特点？
(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列
项数无限的数列叫无穷数列
数列
集合
问题1、数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是不是同一个数列？ 集合{1,2,3,4,5}与集合{5,4,3,2,1}是不是同一个集合？
问题2、数列里的项是否可以重复？ 集合中的元素是否可以重复？
有序性
无序性
可重复性
互异性
确定性
问题3、我们知道，集合里的元素有确定性. 数列确定后，某一项的数据能否改变？某一个数是不是数列中的项是否确定？
（2）
3.某种细胞如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过一分钟1个细 胞分裂的个数依次为：
1,2,4,8,16，……
（3）
【新课引入】
4.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一尺长得 木棒，每日取其一半，永远也取不完，如果将“一尺之棰” 视为一份，那么每日剩下的部分依次为：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 8 16
新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.1数列的概念与简单表示法
简单表示法(二)
第一页，编辑于星期日：十三点 十七分。
复习引入
练习. 1. 以下四个数中，是数列{n(n＋1)}中的 一项的是 ( A )
A. 380
B. 39 C. 32 D. 18
第二页，编辑于星期日：十三点 十七分。
复习引入
练习. 1. 以下四个数中，是数列{n(n＋1)}中的 一项的是 ( A )
第十三页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式： a1 1,
第十四页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式：
a1 1, a2 3 1 2 a1 2,
第十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式：
给出，
写出这个数列的前五项.
第二十四页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲解范例:
例1.已知数列{an}的第一项是1，以后
的各项由公式
1 an 1 an1 给出，
写出这个数列的前五项.
1, 2, 3 , 5 , 8 . 235
第二十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
小结：
若记数列 {an }的前n项之和为 Sn ,则
a1 1, a2 3 1 2 a1 2, a3 5 a 2 2,,
第十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
观察以下数列，并写出其通项公式：
a1 1, a2 3 1 2 a1 2, a3 5 a 2 2,, an an1 2
第十七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
他项.
3. 用递推公式求通项公式的方法： 观察法、累加法、迭乘法.
人教A版高中数学必修五2.1数列的概念与简单表示法
数学·必修5(人教A版)
数列
本章概述
课标导读
1.数列的概念和简单表示法
通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．
2.等差数列、等比数列
(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．
(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．
(3)能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．
要点点击
1.等差数列和等比数列有着广泛的应用，学习时应重视通过具体实例(如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等)理解这两种数列模型的作用，培养我们从实际问题中抽象出数列模型的能力．。
人教A版高中数字必修五2.1数列的概念与简单表示法课件
古希腊毕达哥拉斯学派数学家曾研究过三 角形数：1，3，6，10，···
类似地，1，4，9，16，25，······ 被称为正方形数。
问题1：
这些数有什么共同特点？
定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的 第1项（首项），第2项，···，第n项， ···
它的最小项是（ D ） A.第一项 B. 第二项 C. 第三项 D. 第二项或第三项
5.已知数列an，an kn 5,且a8 11 ，
则 a17 29
.
6.数列1，3，5，…，2n+1的项数是（ C ） A． n-1 B．n C. n+1 D．n+2
函数 数列
课堂小结
数列的概念
通项公式
表示方法
分类
大
项数
小
列表 图象
有穷数列
无穷数列
递
递
摆
常
增
减动
数
数
数
数
列
列
列
列
小试牛刀
1.根据数列的通项公式填表：
n 1 2 … 5 … 12 …
n
an 21 33 … 69 … 153 … 3(3+4n)
2.下面对数列的理解有四种：
①数列可以看成一个定义在 *上的函数；
进球数 14
12 10 7
5
5
截止到欧冠半决赛结束，射手 榜上以上球员的进球数能否构 成数列？
问题2：
数列的项与集合中元素有什么区别？
（1）数列是一列数，而集合中的元素不一定是数； （2）数列中的数是有一定次序的，而集合中的元素
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知识链接
（2）列表法：
1
5
2
34
4
5
10 15 20 25
知识链接
（3）图象法：
自主探究
（一）要点识记
1. 什么是数列的通项公式？
【答案】当数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以 式子 来表示时，这个______ 用一个______ 公式 就叫做这个数列 的通项公式．所以，通项公式可以看成是数列的函数 解析式，我们可以根据数列的通项公式写出数列或数
【答案】判断某数列是否为数列中的项，只需将它代 入通项公式，通过解方程求n的值，若能求出方程有 正整数解，则说明该数是数列中的项，否则就不是该 数列中的项．
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
A
新知探究
（四）数列的递推公式
问题4. 还记得上节课由函数y ＝7x＋9和y ＝3x的函数
值值构造的两个数列吗？你能否把它们的特点用数列
新知探究
（二）数列的通项公式
解题反思 如何由数列的若干项写出其通项公式？
新知探究
（二）数列的通项公式
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
解题反思 如何判断某数是不是数列中的项？
第二章 §2.1.2
数列 数列的概念与简单表示法
数列的简单表示法
目标定位
学习目标和重难点
学习目标
1. 掌握数列的几种简单表示法；
2. 发现数列的规律，找出数列可能的通项公式；
3. 掌握数列通项公式与数列中项的关系．
目标定位
学习目标和重难点
重、难点 重点：发现数列的规律，找出数列可能的通项公式.
难点：函数与数列的关系.
列的项.
自主探究
（一）要点识记
2. 还记得上节课由函数y ＝7x＋9和y ＝3x的函数值值
构造的两个数列吗？你能否把它们的特点用数列符号
表示出来？
自主探究
（一）要点识记
自主探究
（二）深层探究
问题1. 数列是特殊的函数，根据函数的表示方法，
推理数列的表示方法有哪些？
【答案】解析法，列表法，图象法.
自主探究
（二）深层探究
问题2. 我们说数列是一种特殊的函数，结合例1，谈
谈你对数列特殊性的认识.
【答案】作为特殊的函数，数列的特殊性主要表现在
以下三个方面：
① 数列是以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}
为定义域的函数；
自主探究
（二）深层探究
自主探究
（三）拓展探究法
典例突破
（一）数列的表示方法
（2）列表法：
1 5 2 10 34 15 4 20 5 25
典例突破
（的通项公式
显然，这两个数列表示同一个数列.
新知探究
解题反思
（二）数列的通项公式
（1）如何根据数列的通项公式求数列中的项？
（2）一个数列的通项公式是否唯一？
（2）不一定，有的数列的通项公式不唯一.
新知探究
（二）数列的通项公式
变式2. 根据数列的通项公式填下表：
n 1 21 2 33 … 5 69 … 12 … n
…
… 153
…
新知探究
（二）数列的通项公式
新知探究
（二）数列的通项公式
（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，
偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1.
符号表示出来？
新知探究
（四）数列的递推公式
新知探究
（四）数列的递推公式
新知探究
（四）数列的递推公式
解题反思 用递推公式表示数列，除了递推公式外，还
需要知道什么条件？
【答案】数列的首项（或数列中的任意一项）.
谢谢大家！