哈工大断裂力学讲义(第二章)
理论力学(哈工大版)第二章：力系的简化
第一章 力系的简化1-1 静力学基本概念与静力学公理 一、静力学基本概念 1.力的概念（1）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改变物体的运动状态。
（2） 力的效应： ①运动效应(外效应) ②变形效应(内效应)。
（3） 力的三要素：大小，方向，作用点（4）力的单位： 国际单位制：牛顿(N) 、千牛顿(kN) 力系：是指作用在物体上的一群力。
力系的分类：1.按力的作用线的空间位置：平面、空间2.按力的作用线的相对位置：汇交、平行、一般 平衡力系：物体在力系作用下处于平衡。
2.刚体在力的作用下，大小和形状都不变的物体。
3.平衡指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。
二、静力学公理公理1 二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 1、大小相等 | F 1 | = | F 2 | 2、方向相反 F 1 = –F 2 3、作用线共线，4、作用于同一个物体上 公理2 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推论1：力的可传性。
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。
必须注意：力的可传性只能用于单个刚体，如果将其用于刚体系统，则会改变刚体的受力。
公理3 力的平行四边形法则作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。
21F F R +=推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。
公理4 作用力和反作用力定律等值、反向、共线、异体、且同时存在。
公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
1-2 力的投影、力矩与力偶一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线) 2、一次投影法（直接投影法）由图可知：γβα cos , cos ,cos ⋅=⋅=⋅=F Z F Y F X3、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x 、y 轴上， 4、力沿坐标轴分解：k Z j Y i X F ++=222Z Y X F ++=FZ F Y F X ===γβαcos ,cos ,cos 平面问题力在坐标轴上的投影22y x F F F += F F F X x ==αcos FF F Y y==βcos 5、合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
断裂力学第二讲断裂力学理论Fracture Mechanics
5
C. E. Inglis
Sir Charles Edward Inglis (31 July 1875-19 April 1952) was a British civil engineer. Inglis spent much of his life as a lecturer and academic at King's College Cambridge and made several important studies into the effects of vibration and defects on the strength of plate steel. Inglis served in the Royal Engineers during the First World War and invented a lightweight, reusable steel bridge - the precursor and inspiration for the Bailey bridge of the Second World War . His military service was rewarded with an appointment as an Officer of the Order of the British Empire
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa.
The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa
断裂力学(优质课件)
材料不是完美无瑕的
绪论
工程材料都有缺陷（先天— 夹杂、夹渣、瑕疵、空洞、裂缝
后天— 冶炼、加工、制造、安装、使用）
材料中的宏观尺寸缺陷—这里通称为裂纹（尖裂纹或钝裂纹）。
由于材料有缺陷，材料的自身强度是理论强度的1/10-1/100；
由于材料有缺陷，材料在受力后会在缺陷处产生严重的应力集中；
由于材料有缺陷，材料会在某种应力作用下产生亚临界裂纹扩展，材料对
研究20的21/重6/1要6 方向）。因此断裂研究有重大的经济和社会意义 。
5
绪论
尽管社会不断发展，断裂问题仍层出不穷
多少世纪来，人们积累了大量有关断裂的现象和经验，但一般的解决方法就 是替换，换新的或找更强的材料代替，对断裂的认识停留在现象上。18世纪以来随 着工业的发展，对构件需求和要求更高，开始探索断裂理论，以材料力学为代表的
理论、 模型等随后提出几十个。但随着新材料（如高强度钢）新工艺（如焊接）的 发展，断裂问题仍层出不穷。Why ? 这一方面说明断裂问题的复杂性，另一方面说 明，已有的断裂理论还解决不了全部问题。 上世纪中，在现代工业发展和战争的的 推动下，人们对断裂现象认识的进一步深化，对材料强度、缺陷、位错、应力集中 等理论研究不断深入，断裂力学终于在1957年应运而生，成为学科，且已经在生产 和设计中发挥重大作用，并继续承受检验。
什么是断裂力学？
断裂力学是一门研究含裂纹物体，裂纹的启裂、扩展到断裂的宏观过程及断裂
条2件021的/6/科16学。
6
绪论
● 代表人物
谈到断裂力学发展，它归功很多人，有三个人值得我们特别提出，他们是：
Inglis, Griffith, Irwin.
Inglis 把缺陷看成材料内部的小孔, 1913年理论计算了无限大板中心椭圆孔
哈工大理论力学课件第二章
M ( F ) M ( F ) O R O i
§2-4 平面力偶理论
1.力偶
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组 成的力系称为力偶，记作 F , F
力偶对平面内任一点的矩
m F ,F ') m F )m F ') c( C( C( F BC F AC Fd
力偶矩
M ( F , F ) F d 2 ABC
力偶等效条件
( F F ) , (P.P' ' ) m ( F F ' ) , m ( P ' ) .P
证明：
推论
只要保持力偶矩不变
a) 力偶可以在面内自由移动、转动。
b) 可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短。
x
(F F )cos 0 AB BC
F 0
y
( F F )sin P 0 AB BC
P F F AB BC 2 sin
取BC杆为研究对象
P F F BC BC 2 sin
取压块C为研究对象
F 0
x
cos F F BC G 0
平面力偶系的合成和平衡条件
m ,m , m M 1 2 n
平衡
ห้องสมุดไป่ตู้
M mi
i 1
n
M mi 0
i1
n
例2-4
已知：M M 10 N m , M 20 N m , l 200 m ; m 1 2 3
求： 光滑螺柱 AB 所受水平力.
处的约束力 . O ,B
解：取轮为研究对象,画受力图.
02--断裂力学-I-II-III裂尖场
研究内容
1、断裂力学分类 线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、微观断裂力学 2、裂纹的分类
3、断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用
主要应力分量 位移
xz , yz ；
u 0 , v 0 , w w x, y
III 型反平面剪切问题
复变函数方法在求解裂纹尖端时是相当有效的。 根据复变函数理论，任何解析函数的实部和虚 部都满足Laplace方程，它们构成共轭的调和 函数。 如果知道一个调和函数，则可以由柯西－黎曼 方程求出与之共轭的调和函数。
该方程组有非零解得条件是:
（当 0 时，裂尖位移奇异，当 0 时， 代表刚体位移）
解的一般形式表示为 :
cos 4 1,
1 2
即
3 2
n , 2
n 1, 2,3
z C11 z C12 z C13 z , z C21 z C22 z C23 z .
II 1
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
在某些情况下，应力、应变式中的第二项也对 材料的断裂起明显影响，考虑前两项时的应力 场和位移场为：
KI K I II % % + T1 1 + II ， 2 r 2 r iK r I I % iu2 II % u1 2 2 r 1 1 II II % iu2 i z % T z T z u1 2 8 4
KI u1 iu2 2
第二项对应着刚体转动 和均 匀的横向应立场 T 的叠加效应
T 在文献中称为T应力，所以
上式中的裂尖场又称为K-T场
线弹性断裂力学
裂纹的基本类型 I型——张开型（opening mode) II型——滑开型（sliding mode) III型——撕开型（anti-plane shear mode)
断裂力学讲义
目录§1.1断裂力学的概念................................................................................................................................................................... §1.2断裂力学的基本组成........................................................................................................................................................... 第二章线弹性断裂力学概述.......................................................................................................................................................... §2.1裂纹及其对强度的影响....................................................................................................................................................... §2.2断裂理论 ................................................................................................................................................................................. 第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子.......................................................................................................................... §3.1Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场................................................................................................................................ §3.2Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场................................................................................................................................ §3.3Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场................................................................................................................................ §3.4应力强度因子的确定...........................................................................................................................................................第一章绪论§1.1断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
断裂力学第二章-Griffith断裂理论 ppt课件
g p
p df dx
L f x g p max px f x x px* f x*
where
* * d px f x 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 5 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（ PPT thermodynamic 课件 potential）之间作转换。
A 1
2a b
尖锐的裂纹
a A 1 2
b2 a
A 2
a
for a
C.E. Inglis, Stress in a plate due to the PPT presence of cracks and sharp corners, 1913. 7 课件
Griffith理论
Energy balance concept Difference in elastic energy between the cracked sheet and the uncracked sheet
UE
2 a 2 B
E
Plane strain
Homework（作业题）
Griffith的解
9
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为 E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的
哈工大断裂力学讲义
处
τ xy = 0
在 z →∞处
Z1 ( z ) =
能够满足全部边界条件 我们可以考察一下
σz
z −a
2 2
25
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
无穷远处
lim Z 1 ( z ) = lim
z →∞ '
σz
z −a − σa 2
2 2 2
z →∞
=σ =0
lim Z 1 ( z ) = lim
对于平面应力问题， dA = 2 Bda
U=
πσ 2 a 2 B
E
dU σ 2π a = dA E
临界条件
dS = 2γ dA
或
σ πa
2 c
E
= 2γ
σ 2π ac
E
= 2γ
临界应力：
2 Eγ 1 )2 σc = ( πa
表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩展 时，拉应力的临界值——剩余强度。
∂2 ∂ 2ϕ ∂2 Re Z y Im Z1 + ＝ 1 ∂y 2 ∂y 2 ∂y 2
(
)
(
)
σ x＝Re Z1 − y Im Z
同理(自行推导)可得：
' 1
∂ 2ϕ ‘ σ y＝ 2 ＝Re Z 1 + y Im Z 1 ∂x 2 ∂ϕ ‘ τ xy＝ − ＝ − y Re Z1
∂x∂y
23
2.张开型（I型）裂纹尖端附近的应力场.位移场
抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能
金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为P 剩余强度和临界裂纹长度
9
1 能量释放率与G准则
例如：设裂纹扩展单位面积所需要的塑性变形能为P ,则 对金属p比
断裂力学讲义
J
2 cr 0
Pc dcr
a a0
J c
da
J
a
T
4P2 c2
1
CM
CM
P cr
J c
静止裂纹柔度曲线
由此式可以计算裂纹扩展驱动力J积 分随裂纹扩展的变化
【习题5-7】推导并理解杨卫书上公式(2.91)-(2.98)
提示：有的公式有错。需要利用深缺口公式：
P c
c第r 24页2c/P共32页
25JQ
第Y13页/共32页
JQ J IC
如何测JR阻力曲线？试件一旦起裂按道理J积分的概念就不完全正确 了，但在实际过程中，认为在一些条件下（如裂纹少量扩展和稍后 要讲的J控制扩展情况下），仍可以在实验验证的情况下继续使用。 仍采用深缺口单试件法并采用卸载柔度来确定裂纹长度。
▪ 利用卸载柔度计算裂纹长度 ▪ 在计算J时的假设（解释）
可以记为 M c2
R
M
c
M c
2c
2
M c
J
M 0 c
d 2
第8页/共3c2页0
Md
也可以由量纲分析得到
J
0
M c
d
2 c
Md
0
量纲：
M ~ F E, ys ~ F / L2 c ~ L 和无量纲
根据定理
M
c
2
ys
;
;
E
ys
c2
~ 是无量纲函数
M c2
M c
2c
2M c
R
M
M
c
第9页/共32页
附：定理（ Buckingham π theorem） E.Buckinghan,1915 量纲分析中的关键定理（key theorem in dimensional analysis）
版本——哈工大版理论力学课件(全套)02
力F与点O位于同一平面内，
称为力矩作用面。点O称为矩心，
B
点O到力作用线的垂直距离h 称
为力臂。
MO(F)
F
r
A
O
h
力对点之矩是一个代数量，它的 绝对值等于力的大小与力臂的乘积，
它的正负可按下法确定：力使物体绕
矩心逆时针转动时为正，反之为负。
理论力学
18
B
MO(F)
F
O
r
A
h
力对点之矩
MO(F) F h
2
2h
Fy 0 F CBsinq FCy 0
解得
F Cy 1.5kN
理论力学
15
[例]如图所示，重物G=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以
铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦
和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。 A
下面我们研究力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
理论力学
9
二、平面汇交力系合成的解析法
1、力的投影
y
F
Fy Fy b
q
A 分力：Fx
x
O
投影：Fx
已知力可求投影
Fx=F·cosq Fy=F·cosbF·sinq
力的大小 F Fx 2Fy 2
反之，已知投影可求
力的大小和方向
方向余弦 cosq Fx ， cosb Fy
( F ix)2 ( F iy)2
方向： cos(FR，i) FRx ，cos(F FR
作用点： 为该力系的汇交点
R，FjR)y FR
理论力学
11
[例]已知：图示平面共点力系；求：此力系的合力。 解：用解析法
断裂力学2
第九章断裂力学9.1 引言本章我们讨论材料的断裂，断裂存在于工程设计的最终缺陷和材料的选择过程。
可以肯定，结构意料之外的永久变形是一个严重的问题，但是，这个结果与材料的断裂相比就相形见绌。
断裂不仅导致经济的损失，更重要的是导致人员的伤亡。
材料的断裂也能导致不良的环境问题，例如，一个装有有毒物质的集装箱的断裂，能够造成严重的空气污染和水污染，长时间毒害人的健康和他们居住环境。
因此，设计阻止频繁断裂的构件是目前工程师在他们专业领域面临的最严重的挑战。
材料的断裂根据条件不同有多种形式，例如温度和应力状态，环境的差异。
表9.1给出了材料的多种断裂形式。
在本章以及接下来的两章介绍由于应力造成原子键的分离，使平面断裂的拉伸断裂。
断裂发生临界应力时，这个应力值的影响因素我们将在本章和接下来的章节讨论。
我们讨论的塑性变形和拉伸断裂是否是借助于扩散。
本章和第10章将着重讨论低温断裂的情况，第11章将讨论涉及扩散的高温断裂。
低温断裂能够发生在除了简单拉伸荷载作用下。
因此，拉应力引起的裂纹扩展传播是我们关心的主要（虽然不是专有）方面。
此外，拉伸断裂模型在目前是最普通的。
当作用到材料的应力随时间变化的，材料遭受循环应力或疲劳断裂。
那就是材料可能在低于拉伸断裂或塑性屈服应力的时候就已经失效的原因。
疲劳的这个重要现象将在12章讨论。
材料的静态疲劳是描述作用于材料的常应力低于拉伸断裂应力情况下的失效问题，静态失效于恶劣的环境或腐蚀性环境相关。
应力和环境在促进原子键的断裂和裂纹传播的效果上一致。
多种环境都能导致材料的静态疲劳，每一种都有特殊的形式导致材料的失效。
因此，氢在金属或者合金中通过氢的脆性使材料过早断裂。
液态金属也能导致多种金属的强度和延性降低，这种现象叫做液态金属脆化。
水溶液也能通过应力腐蚀裂纹增大静态疲劳。
各种形式的断裂将在13章的脆性这节讨论。
上述提及到的组合条件发生断裂并非罕见，因此，恶劣环境的腐蚀疲劳涉及到疲劳的累积，蠕变是由于扩散流动辅助疲劳。
断裂力学讲义
目录第一章绪论................................................................................................................................................................................ §1.1 断裂力学的概念 ................................................................................................................................................................ §1.2 断裂力学的基本组成 ........................................................................................................................................................ 第二章线弹性断裂力学概述 ...................................................................................................................................................... §2.1 裂纹及其对强度的影响 .................................................................................................................................................... §2.2 断裂理论............................................................................................................................................................................... 第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 ...................................................................................................................... §3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ............................................................................................................................ §3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ............................................................................................................................ §3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 ............................................................................................................................ §3.4应力强度因子的确定 ...........................................................................................................................................................第一章 绪论§1.1 断裂力学的概念任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。