《向量数乘运算及其几何意义》教学设计说明
向量数乘运算及其几何意义 说课稿 教案 教学设计
向量数乘运算及其几何意义向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算。
教学时从110米跨栏比赛抽象出物理背景，引入数乘运算,充分展现了向量数乘运算的现实意义。
实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向。
特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理。
共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错。
尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量。
共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系。
向量数乘运算及其几何意义、运算律，共线向量定理。
经历向量数乘运算定义及其几何意义的探究过程，体会类比、归纳、由特体会类比、归纳推理方法在本节课中的作用。
在用向量方法研究三点共线教学的过程中渗透数形结合的思想方法。
感受平面向量方法在研究平面几何问题中的作用,进一步提高学习向量知,培养学生的创新能力向量数乘运算及其几何意义、运算律、共线向量定理。
◆向量数乘定义由学生类比实数乘法得到，通过学生自主验证运算律与教师几何画板演示相结合的方法突破教学重点。
【教学难点】共线向量定理及其应用。
◆通过学生思考、讨论、交流、变式训练、总结等环节突破共线向量定理及其应用这一教学难点。
|||||a a λλ=；与a 的方向相同；a λ的方向与a 的方向相反；0a λ=。
教师引导，9a 与3a -实例的基础定义并探究其几何意义。
探究向量数乘运算的运算律： )()a a μλμ=；a b λλ+a+b ）=。
向量线性运算律)yb =xa yb λλ±新知应用例1 计算:(1)(-3)×4a；(2)3(a b+)-2(a b-)-a;(3)(23a b c+-)-(32a b c-+)。
教师利用几何画板动态演示3(a b+)-2(a b-)-a的几何意义学生交流、讨论，教师点评。
教师演示学生观察、感知。
通过利用微信背景，调解课堂气氛,创设利于学生学习的氛围。
《向量数乘运算及其几何意义》参考教案(优秀经典公开课比赛教案)
向量数乘运算及其几何意义一、课题：向量数乘运算及其几何意义二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。
三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件； 2．向量共线的充要条件及其应用。
四、教学过程： （一）复习：已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-． 如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-2a =-． （二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=（结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．例1 计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； （3）(23)(32)a b c a b c +---+．解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-． 3．向量共线的充要条件：a - E a a a O B A C D a -定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=．例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+= ∴AC 与AE 共线．例3 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-；（2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线． 解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．当0a ≠时， 12121121(4)10454b e e e e a =-=-=，∴b 与a 共线． （3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线． 当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ= ∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线． 若1λ≠-时，221b a λλ-=+，∴b 与a 共线．例4 设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-， 若A ，B ，D 三点共线，求k 的值。
向量数乘运算及其几何意义教案
1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练 运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线 平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是 否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能 力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶 学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义 吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？练一练：P 90 第1题，第2题.22.向量数乘的运算律【探究2】 问题一：求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量a 、b ，求作向量)(2b a +和b a 22+，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±. 例5：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+练一练：P 90 第5题.3、向量共线定理 【探究3】问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？例6.已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=。
向量数乘运算及其几何意义教案
向量数乘运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量数乘的概念及其运算规则。
2. 掌握向量数乘的几何意义。
3. 能够运用向量数乘解决实际问题。
教学重点：1. 向量数乘的概念及其运算规则。
2. 向量数乘的几何意义。
教学难点：1. 向量数乘的运算规则。
2. 向量数乘的几何意义的理解。
教学准备：1. 向量知识的基础。
2. 数乘知识的基础。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，复习向量的基本运算。
2. 引入数乘的概念，复习数乘的基本运算。
二、向量数乘的概念及其运算规则（10分钟）1. 介绍向量数乘的概念：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
2. 讲解向量数乘的运算规则：对于两个向量a和b，以及一个实数c，有ca = (ca1, ca2)，其中a1和a2分别是向量a的两个分量。
三、向量数乘的几何意义（10分钟）1. 介绍向量数乘的几何意义：将一个向量进行数乘，相当于将这个向量按比例放大或缩小。
2. 讲解向量数乘的几何意义：如果将一个向量进行正数数乘，这个向量的大小会放大，方向不变；如果将一个向量进行负数数乘，这个向量的大小会缩小，方向不变。
四、向量数乘的运算性质（10分钟）1. 介绍向量数乘的运算性质：向量数乘满足交换律、结合律和分配律。
2. 讲解向量数乘的运算性质：交换律：ca = ac；结合律：(ca)b = ca(b)；分配律：c(a + b) = ca + cb。
五、向量数乘的应用（10分钟）1. 介绍向量数乘在实际问题中的应用：如在物理学中，力的大小和方向可以通过向量数乘来表示；在工程学中，向量数乘可以用来计算物体的位移等。
2. 讲解向量数乘在实际问题中的应用：通过举例，说明如何运用向量数乘解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，使学生掌握了向量数乘的概念及其运算规则，理解了向量数乘的几何意义，并能运用向量数乘解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生主动参与，通过讲解和实际例子的结合，使学生更好地理解和掌握向量数乘的知识。
数学：向量数乘运算及其几何意义教案新人教A必修
２．２．３ 向量数乘运算及其几何意义（１）教学目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、数乘运算的三个运算律，理解向量 共线的充要条件。
教学重点：向量数乘运算的意义及运算律，向量共线的条件。
教学难点：向量共线的条件。
教学过程一、复习提问什么叫共线向量？向量的加法、减法的定义、运算法则（三角形法则、平行四边形法则）。
二、新课１．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和（a ）+（a ）+（a ）OC =BC AB OA ++=a +a +a =３aPN =MN QM PQ ++=（a ）+（a ）+（a ）=３a讨论：１３a 与a 方向相同且|３a |=３|a | ２３a 与a 方向相反且|３a |=３|a |２．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa１|λa |=|λ||a | ２λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0a a a a OA B C a - a -a -a -N M Q P３、运算定律：结合律：λ（μa ）=（λμ）a １第一分配律：（λ+μ）a =λa +μa ２第二分配律：λ（a +b）=λa +λb３特别地，（—λ）a ＝—（λa ）＝λ（—a ）λ（a —b）＝λa —λb４、例题例５、计算：（１）（—３）⨯４a ；（２）３（a ＋b）—２（a —b）—a ；（３）（２a ＋３b—c）—（３a —２b＋c）。
解：（１）原式＝（—３⨯４）a ＝—１２a ；（２）原式＝３a ＋３b—２a ＋２b—a ＝５b；（３）原式＝２a ＋３b—c—３a ＋２b—c＝—a ＋５b—２c。
对于向量a （a ≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa ，由向量的数乘定义知， 与b共线。
a反过来，向量a （a ≠0）与b共线，且向量b的长度是向量a 的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么当a 与b同方向时，有b＝μa ，当a与b反方向时，有b＝—μa。
人教课标版高中数学必修4《向量数乘运算及其几何意义》教学设计
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ＝2 ，∴ － ＝ ＝2 ＝2( － )，
∴3 ＝2 ＋ ，∴ ＝ ＋ ＝ b＋ c.
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
5．在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()
A．.
B．
C．
D．
【知识点】向量线性运算法则与几何图形结合
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ,
∴
点拨：利用向量线性运算法则表示有向线段，用到了三角形中线的向量表示
答案：C
4．在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足 ＝2 ，则 等于()
A. b＋ c
B. c－ b
C. b－ c
D. b＋ c
答案：A
其二，若 与 平行，且不妨令 ，设 ，接下来看 、 方向如何：① 、 同向，则 ，②若 、 反向，则记 ，总而言之，存在实数 （ 或 ）使 .
【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律.
●活动②巩固理解，尝试应用
判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线.由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线.因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线.
答案：BC∥DE
解析：【知识点】向量线性运算法则及共线向量定理
【数学思想】数形结合
【解题过程】∵ ，
又∵BC与DE不在同一条直线上
∴BC∥DE
点拨：运用向量线性运算法则判定向量的线性关系，从而判定直线平行
例3如图,已知任意两个非零向量 ,试作 ，你能判断 三点之间的位置关系吗？为什么？
“向量数乘运算及其几何意义”的教学设计
“向量数乘运算及其几何意义”的教学设计一、教材分析1．教学内容：《高中数学必修4》中第二章“向量数乘运算及其几何意义”这一节，在新课标中主要内容有三方面：①向量数乘运算及其几何意义的含义；②数乘运算的运算律；③平面向量共线定理。
2．地位与作用：向量数乘运算是学习向量其他运算以及空间向量的基础，也是解决平面解几、立几、三角、复数的重要工具。
因此，本节课的教学活动将对后续课程起着桥梁作用。
教材通过复习引入新课，并通过三个探究活动，完成本节课的教学活动。
二、三维目标根据新课标要求并结合学生具体实际，设计以下三维目标：1．知识与技能⑴掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行简单的计算。
⑵理解向量共线定理及其推导过程，会应用向量共线定理判断或证明两个向量共线、三点共线及两直线平行等简单问题。
2．过程与方法通过对两个向量共线充要条件的探究与推导，让学生对平面向量共线定理有更深刻的理解。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，本节课设置了三个例题及其变式引申；指导学生探究发现，并得出结论，培养学生自主探究能力和创新思维能力。
3．情感、态度与价值观通过向量数乘运算的学习和探究，有助于激发学生学习兴趣和积极性，还有助于培养类比、分析、归纳、抽象思维能力以及逻辑推理能力。
三、重点、难点与疑点1．重点：向量数乘运算的几何意义、运算律，向量共线定理；〖解决办法〗为了突出重点，让学生在创设问题链的驱动下合作探究，得出结论，发展学生的认知结构。
2．难点与疑点：向量共线定理的探究过程及其应用。
〖解决办法〗为了突破难点与疑点，按照学生的认知规律、由浅入深地变式讨论，达到全面理解。
四、学情分析与对策学生已明确向量是有大小和方向的量，且已学过向量的加、减法，对于这种有方向的量能否与实数进行乘法运算有些疑问，且“相乘后方向如何判断呢？”：这也就是本节课知识产生的背景。
通过熟知的实数乘法作类比，探究向量数乘的含义，让学生在此过程中，体验数学知识的产生、发展、成熟和应用的过程。
《向量数乘运算及其几何意义》教学设计
《向量数乘运算及其几何意义》教学设计教学目标：1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
教学重点和难点：重点：向量数乘运算的意义、运算律，向量共线定理难点：向量共线定理的探究及其应用。
教学准备：教师：将教科书中的例5、6、7做成投影片。
学生：直尺、圆规等。
1．新课导入我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt．这些公式都是实数与向量间的关系．师：已知非零向量，请同学们作出++和（-）+（-）+（-）向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：首先完成作图++的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，（-）+（-）+（-）的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反．师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：向量数乘运算及其几何意义）2．探索研究师：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？生：我想这样规定：实数λ与向量的积就是λ，它还是一个向量．师：想法很好．不过我们要对实数λ与向量的乘积的含义作一番解释才行．实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：（1） |λ|=|λ| ||（2）λ＞0 时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0 时，λ的方向与的方向相反；特别地，当λ＝0时，λ=类比发现向量数乘的基本运算律：师：求作向量λ（μ）和（λμ）（为非零向量）并进行比较，向量λ（μ）与向量（λμ）相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：同桌探讨，交流，并画图验证师：讨论，交流总结：设λ、μ为任意实数，则有：（1）结合律：λ（μ）=（λμ）（2）分配律：第一分配律（λ+μ）=λ+μ第二分配律λ（+）=λ+λ师：引入向量数乘运算后，我们从“数”意义上对其运算律进行了探讨，那么进一步从几何意义上做研究，你能发现数乘向量λ（λ∈R）与原向量之间的位置关系吗？生：画图，探索研究。
《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计(优质课比赛教案)
《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计一、教学分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.本节学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A和某个向量a 表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、教学目标1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律.2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.四、教学重难点教学重点：1．实数与向量积的意义及其几何意义； 2．实数与向量积的运算律；3．两个向量共线的等价条件及其运算. 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用. 五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学. 六、教学过程 1、导入新课：一条细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是a 3吗？若蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是a3-吗?你能用图形表示吗？学生活动：独立思考.教师活动：提问、引导学生作答.设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过位移的实际背景引入新课. 2、推进新课：探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？学生活动：独立观察、思考、总结. 教师活动：提问、引导学生.设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出向量a a a++和)()()(a a a-+-+-，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性aa a认识做好铺垫.问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 从而推广到一般的向量数乘的定义.我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作aλ，它的长度与方向规定如下：（1）a aλλ=；（2）当0>λ时，a λ的方向与a 一致；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反.由（1）可知当0=λ时，0=a λ.设计意图：通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法. 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 学生活动：小组合作交流，学生单独作答.设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a的反方向放大λ倍或缩小λ倍.问题3：C 在线段AB 上，且25=CB AC ，则=AC AB ；=BC AB . 学生活动：独立思考并踊跃回答. 教师活动：评价.设计意图：通过简单口答题来巩固学生对向量数乘定义的理解及运用.通过活动过程的成功体验提高学生学习的积极性.问题4：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？归纳总结： （1）a a)()(λμμλ=（2）a a aμλμλ+=+)(（3）b a b aλλλ+=+)(问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？归纳总结：)()(a a a-=-=-λλλ， b a b a λλλ-=-)(.问题6：你能从形式上描述向量数乘运算律与思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？师生活动：通过类比得到向量数乘运算律；并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.设计意图：数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题.向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发.而数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律.向量具有明显的几何背景，所以向量的运算及运算律也具有明显的几何意义，尤其是涉及到长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.这样了解向量数乘运算律的几何意义就有必要了. 3、例题讲解:例1．计算： 1.a 4)3(⨯-；2.)23()32(c b a c b a +---+. 变式练习：（1）计算：---+)(2)(3；（2）已知：0)(4)2(2)(3 =+---++b a x a x a x 求x.学生活动：独立完成，学生单独回答. 教师活动：提问、及时评价.设计意图：心理学认为：概念一旦形成，必须及时加以巩固，通过例1及巩固练习加深学生对数乘向量运算律的理解.解以向量作为未知数的方程可与求解实数方程类比.归纳总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a2121)(λμλμμμλ±=±.设计意图：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算.问题7：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？ 师生活动：（分析总结）对于向量)0(≠a a 、b ，如果有一个实数λ，使a b λ=，那么由向量数乘的定义知a与b 共线，且向量b 是向量)0( ≠a a 模的λ倍，而λ的正负由向量)0( ≠a a 、b 的方向所决定.反过来，已知向量a 与b 共线，0 ≠a ，且向量b 的长度是向量a的长度的μ倍，即a b μ=，那么当a 与b 同方向时，有a b μ=；当a与b 反方向时，有a b μ-=.从上述两方面可知归纳总结：共线向量定理：向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.问题8:1) a为什么要是非零向量?2) b可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？ 学生活动：合作交流，独立作答. 教师活动：提问、引导、及时评价.设计意图：师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量)0( ≠a a 的前提下，向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=；且实数λ的唯一性是由向量a和b 的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. 例2.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b a==,，你能用b a ,表示,,,吗？师生互动：利用向量共线的定理及平行四 边形的性质定理，即平行四边形的对角线互相平分.∵b a AC AB AC+=+=， .b a-=-=结合平行四边形的性质：b a b a AC MA2121)(2121--=+-=-=，,212121b a +==.212121b a+-=-=-=设计意图：综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.尤其是应当注意到-=，-=从而可简化解题过程，并且在实际的解题中做到举一反三、融会贯通；通过例3的教学使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 4、课堂作业（1）.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若DB AD 2=，CB CA CD λ+=31，则λ的值为（ ）32.A31.B31.-C32.-D ,2121)(2121b a b a -=-==Aa（2.）计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a.（3）.若向量方程0)2(32 =--a x x ，则向量=x.（4）.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.（1）=； （2）BC AD 31=； （3）==,5、课堂小结一、①aλ的定义及运算律；②向量共线定理)0( ≠a ，⇔=a b λ 向量a与b 共线.二、定理的应用：（1）证明向量共线；（2）证明三点共线：⇒=λA 、B 、C 三点共线； （3）证明两直线平行. 三、你体会到了那些数学思想.特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化等数学思想. 设计意图：1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力. 6、课后作业P92 A 组习题11、12题。
2.2.3--向量数乘运算及其几何意义(教案)
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；掌握实数与向量的积得运算律；理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
2、过程与方法通过本节的教学，培养学生数形结合和分类讨论思想，同时渗透类比和化归思想方法。
3、情感、态度与价值观通过对向量共线的充要条件的分析理解，培养学生严谨的学习习惯。
【教学重点】实数与向量积的定义、运算律，向量共线的充要条件。
【教学难点】向量共线定理的理解。
【教学方法】讲练结合法。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】在物理学科中我们学习过如下的公式：,F ma S vt ==u r r u r r等，这些公式都是实数与向量的乘积的具体体现，并且从这些公式可以看出，实数可以与向量相乘，并且一个实数乘以一个向量的结果还是一个向量。
因此，在数学中我们就从这些公式出发，抽象出一般的实数与向量的乘积的定义以及它们的一些运算律和性质。
在小学我们由几个相同的有理数相加导出了数的乘法的运算法则，现在我们已经学过了向量的加法运算，那么由几个相同的向量相加，我们又能否得出类似的实数与向量的乘法运算呢？已知向量a r ，求向量a a a ++r r r 和()()()a a a -+-+-r r r，并思考和向量与向量a r 的关系。
【总结】（1）由于向量a a a ++r r r 是由三个向量a r 相加得到的，因此为了简单起见，我们将a a a ++r r r记作：3a r ，因此3a r 是一个向量，又因为a a a ++r r r 的方向与向量a r 的方向相同，模长为向量a r的模长的3倍，所以3a r 的方向与向量a r 的方向相同，模长为向量a r 的模长的3倍。
即：向量3a r 与向量a r 同向且33a a =r r 。
（2）类似地，由于()()()a a a -+-+-r r r 是由三个向量()a -r相加得到的，因此为了简单起见，我们将()()()a a a -+-+-r r r 记作：()3a -r ，因此，()3a -r 也是一个向量，又因为()()()a a a -+-+-r r r的方向与向量a r 的方向相反，模长为向量a r 的模长的3倍，所以()3a -r 的方向与向量a r 的方向相反，模长为向量a r 的模长的3倍。
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
向量数乘运算及其几何意义 说课稿 教案 教学设计
平面向量的线性运算（习题课）一、教学目标知识与技能1了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.过程与方法通过本节习题课，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会解决常见问题的思想方法。
．情感、态度与价值观通过学习对学习进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．二．重点难点重点 1.实数与向量积的意义. 2.实数与向量积的运算律. 3.两个向量共线的等价条件及其运用．难点对向量共线的等价条件的理解运用．三、教材与学情分析向量运算作为一种新的运算体系，一方面类比数量运算。
同时更要注重向量运算的特殊性，通过本节习题课，达到对向量线性运算进一步熟练，对基本问题掌握常见的方法。
提高对知识的系统性理解。
四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教五、教学过程（一）温故知新1.向量的有关概念零向量 长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a的积的运算(1) λa ＝ λ a ；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb 3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . （二）诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12(AC →＋AB →).( )解析 (2)若b ＝0，则a 与c 不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√2.给出下列命题 ①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①B.③C.①③D.①②解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA →互为相反向量，故③错误. 答案 A3.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A.2B.3C.－2D.－3解析 由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →， 则λ＝－3，故选D. 答案 D4.已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →＝________(用a ，b 表示).解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b . 答案 b －a －a －b（三）典例解析考点一 平面向量的概念【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若 a ＝ b ，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴ AB → ＝ DC → 且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则 AB → ＝ DC → ，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . 答案 ①规律方法 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系 a|a |是与a 同方向的单位向量.【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③考点二 平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB→＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( ) A.13a ＋13b B.－13a ＋13bC.13a －13bD.－13a －13b解析 PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A.答案 A规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧 ①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【训练2】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( ) A.1B.12C.13D.23解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.(2)∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.答案 (1)D (2)D考点三 共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证 A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数 ，使 a ＋b 和a ＋ b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线. (2)解 ∵ a ＋b 与a ＋ b 共线，∴存在实数λ，使 a ＋b ＝λ(a ＋ b )，即 a ＋b ＝λa ＋λ b ，∴( －λ)a ＝(λ －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴ －λ＝λ －1＝0，∴ 2－1＝0，∴ ＝±1.规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立.【训练3】 (1)(2017·资阳模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.故选B.(2)因为BC →＝OC →－OB →，所以x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，因为A ，B ，C 三点共线，所以－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1. 答案 (1)B (2)D六、课堂小结。
高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教学设计
高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教学设计教 学 设 计一、内容及其解析 1．内容：实数与向量的积的概念，实数与向量的积的运算律，两个向量共线的充要条件。
2． 解析：实数与向量的积是后续学习实数与空间向量的积及运算律的基础。
本节课将围绕实数与向量的积来展开，实数与向量的积的概念、实数与向量的积的运算律、两个向量共线的充要条件是这节课的重点，能够运用实数与向量的积的概念、实数与向量的积的运算律进行具体的运算，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行是解决教学重点的关键。
二、目标及其解析1．目标：2．解析（1）会用实数与向量积的定义，实数与向量积的几何意义解决问题；思考题1：已知//，问 //吗？（2）能够熟练运用实数与向量的积的运算律解决问题；思考题2：若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .（3）知道两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
思考题3：1e 、2e 是两个不共线的向量,已知=21e +32e ，=61e +232e , =41e -82e ,求证： A 、B 、D 三点共线。
三、教学问题诊断分析1．学生在理解实数与向量积的定义时可能会出现障碍，主要是学生在此之前研究的都是数与数的积，并习惯了两个数的积只有大小没有方向，从而把它们混为一谈。
要克服这一困难，关键是让学生知道实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的推广，但要注意它们的区别。
启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般。
2．学生在掌握实数与向量的积的运算律时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为实数与向量的积的运算律与数与数的积的运算律是一样的，每个等式的证明只证明等式两边的模相等。
针对这一问题，应启发学生寻求其与代数运算中实数乘法的运算律的相似性，但应注意它们之间的区别是数与向量的积运算结果是一个向量，而数与数的积的运算结果是一个数。
最新人教版高中数学必修42.2.3 向量数乘运算及其几何意义教学设计
223 向量数乘运算及其几何意义一、教分析向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化与加法、减法统称为向量的三大线性运算教时从加法入手引入数乘运算充分展现了数知识之间的内在联系实数与向量的乘积仍然是一个向量既有大小也有方向特别是方向与已知向量是共线向量进而引出共线向量定理共线向量定理是本章节中重要的内容应用相当广泛且容易出错尤其是定理的前提条件向量a是非零向量共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质且与后续的知识有着紧密的联系二、教目标1、知识与技能：通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；掌握共线向量的充要条件。
2、过程与方法：由几个向量的和得出向量数乘运算的含义，从特殊到一般，经历向量数乘概念的形成，探究共线向量的充要条件，培养生类比归纳的能力。
3、情感态度与价值观：初步体会实数与向量的乘积的含义及其几何意义，形成归纳、猜想与论证的能力。
三、重点难点教重点1实数与向量积的意义2实数与向量积的运算律3两个向量共线的等价条件及其运用教难点对向量共线的等价条件的理解运用四、教设想[]（一）导入新课思路1前面两节课我们一起习了向量加减法运算这一节我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广在代数运算中a+a+a=3a故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算思路2一物体做匀速直线运动一秒钟的位移对应的向量为a那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课（二）推进新课、新知探究、提出问题①已知非零向量a试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)②你能对你的探究结果作出解释并说明它们的几何意义吗?③引入向量数乘运算后你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动引导生回顾相关知识并猜想结果对于运算律的验证点拨生通过作图进行通过生的动手作图让生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义教师要引导生特别注意0·a=0而不是0·a=0这个零向量是一个特殊的向量它似乎很不起眼但又处处存在稍不注意就会出错所以要引导生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系实数与向量可以求积但是不能进行加、减运算比如λ+aλ-a都无法进行向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似只是数乘运算的分配律有两种不同的形式(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb数乘运算的关键是等式两边向量的模相等方向相同判断两个向量是否平行(共线)实际上就是看能否找出一个实数使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量一定要切实理解两向量共线的条件它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段对问题①生通过作图1可发现OC=OA+AB+BC=a+a+a类似数的乘法可把a+a+a记作3a即OC=3a显然3a的方向与a的方向相同3a的长度是a的长度的3倍即|3a|=3|a|同样由图1可知图1PN=MN+=(-a)+(-a)+(-a)PQ+QM即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)显然3(-a)的方向与a的方向相反3(-a)的长度是a的长度的3倍这样3(-a)=-3a对问题②上述过程推广后即为实数与向量的积我们规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作λa它的长度与方向规定如下(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时λa的方向与a的方向相同;当λ<0时λa的方向与a的方向相反由(1)可知λ=0时λa=0根据实数与向量的积的定义我们可以验证下面的运算律实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb特别地我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)λ(a-b)=λa-λb对问题③向量共线的等价条件是如果a(a≠0)与b共线那么有且只有一个实数λ使b=λa推证过程教师可引导生自己完成推证过程如下对于向量a(a≠0)、b如果有一个实数λ使b=λa那么由向量数乘的定义知a与b共线反过已知向量a与b共线a≠0且向量b的长度是向量a的长度的μ倍即|b|=μ|a|那么当a与b同方向时有b=μa;当a与b反方向时有b=-μa关于向量共线的条件教师要点拨生做进一步深层探究让生思考若去掉a≠0这一条件上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行加深对向量共线的等价条件的认识在判断两个非零向量是否共线时只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情况下共线向量可能有以下几种情况(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等讨论结果①数与向量的积仍是一个向量向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定大小由|λ|·|a|确定②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小③向量的平行与直线的平行是不同的直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况又包含两个向量在同一条直线上的情形（三）应用示例思路1例1 计算(1)(-3)×4a ; (2)3(a +b )-2(a -b )-a ; (3)(2a +3b -c )-(3a -2b +c )活动本例是数乘运算的简单应用可让生自己完成要求生熟练运用向量数乘运算的运算律教中点拨生不能将本题看作字母的代数运算可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义使生明确向量数乘运算的特点同时向生点出向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a 、b 以及任意实数λ、μ1、μ2恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b解(1)原式=(-3×4)a =-12a ; (2)原式=3a +3b -2a +2b -a =5b ; (3)原式=2a +3b -c -3a +2b -c =-a +5b -2c点评运用向量运算的运算律解决向量的数乘其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项” 变式训练若3+2n =a -3n =b 其中ab 是已知向量求n解因3+2n =a ① -3n =b ② 3×②得3-9n =3b ③ ①-③得11n =a -3b∴n =111a -113b ④ 将④代入②有=b +3n =113a +112b点评此题可把已知条件看作向量、n 的方程通过方程组的求解获得、n 在此题求解过程中利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致图2例2 如图2已知任意两个非零向量a 、b 试作OA =a +b OB =a +2b OC =a +3b 你能判断A 、B 、三点之间的位置关系吗?为什么?活动本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法这是判断三点共线常用的方法教中可以先引导生作图通过观察图形得到AB 三点共线的猜想再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线本题只要引导生理清思路具体过程可由生自己完成另外本题是一个很好的与信息技术整合的题材教中可以通过计算机作图进行动态演示揭示向量a 、b 变化过程中A 、B 、三点始终在同一条直线上的规律图3解如图3分别作向量OA 、OC 、OB 过点A 、作直线A 观察发现不论向量a 、b 怎样变化点B 始终在直线AC 上猜想A 、B 、三点共线事实上因为AB =OB -OA =a +2b -(a +b )=b 而AC =OC -OA =a +3b -(a +b )=2b于是AC =2AB所以A 、B 、三点共线[]点评关于三点共线问题生接触较多这里是用向量证明三点共线方法是必须先证明两个向量共线并且有公共点教师引导生解完后进行反思体会向量证法的新颖独特例3 如图4 ABD 的两条对角线相交于点M 且AB =a AD =b 你能用a 、b 表示MC 、、MB 、MA 和MD 吗?图4活动本例的解答要用到平行四边形的性质另外用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤教中可以给生明确指出这一点解在ABD 中∵AC =AB +AD =a +b DB =AB -AD =a -b 又∵平行四边形的两条对角线互相平分 ∴MA =21-AC =21-(a +b )=21-a -21bMB =21DB =21(a -b )=21a -21bMC =21AC =21a +21bMD =MB -=-21DB =-21a +21b点评结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则将两个向量的和或差表示出这是解决这类几何题的关键思路2例1 凸四边形ABD 的边AD 、B 的中点分别为E 、F 求证EF =21(AB +DC ) 活动教师引导生探究能否构造三角形使EF 作为三角形中位线借助于三角形中位线定理解决或创造相同起点以建立向量间关系鼓励生多角度观察思考问题图5解方法一过点在平面内作CG =AB 则四边形ABG 是平行四边形 故F 为AG 中点(如图5) ∴EF 是△ADG 的中位线 ∴EF21DG∴EF =21DG 而DG =DC +CG =DC +AB []∴EF =21(AB +DC )方法二如图6连接EB 、E 则有EB =EA +AB EC =ED +DC图6又∵E 是AD 之中点 ∴有EA +ED =0 即有EB +EC =AB +DC以EB 与EC 为邻边作EBG 则由F 是B 之中点可得F 也是EG 之中点 ∴EF =21EG =21(EB +EC )=21(AB +DC ) 点评向量的运算主要从以下几个方面加强练习(1)加强数形结合思想的训练画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习做到准确熟练运用例2 已知OA 和OB 是不共线向量AP =t AB (t∈R )试用OA 、OB 表示OP活动教师引导生思考由AP =t AB (t∈R )知A 、B 、P 三点共线而OP =OA +AP 然后以AB 表示AP 进而建立OA OB 的联系本题可让生自己解决教师适时点拨解OP =OA +AP =OA +t·AB =OA +t·(OB -OA )=(1-t)·OA +t·OB 点评灵活运用向量共线的条件若令1-t=t=n 则OP =·OA +n·OB +n=1 变式训练1设两个不共线的向量e 1、e 2若向量a =2e 1-3e 2向量b =2e 1+3e 2向量c =2e 1-9e 2问是否存在这样的实数λ、μ使向量d =λa +μb 与向量c 共线？解d =λ(2e 1-3e 2)+μ(2e 1+3e 2)=(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2要使d 与c 共线则存在实数使d =c即(2λ+2μ)e 1+(3μ-3λ)e 2=2e 1-9e 2 由2λ+2μ=2及3μ-3λ=-9得λ=-2μ故存在这样的实数λ和μ只要λ=-2μ就能使d 与c 共线 2(2007浙江高考)7 若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |则( )A|2a |>|2a +b | B|2a |<|2a +b | |2b |>|a +2b | D|2b |<|a +2b | 答案3(2007全国高考)5 在△A B 中已知D 是AB 边上一点若AD =2DB CD =31CA +λCB 则λ等于( )A32 B 31 -31 D-32 答案A（四）课堂小结1让生回顾本节习的数知识向量的数乘运算法则向量的数乘运算律向量共线的条件体会本节习中用到的思想方法特殊到一般归纳、猜想、类比分类讨论等价转化2向量及其运算与数及其运算可以类比这种类比是我们提高思想性的有效手段在今后的习中应予以充分的重视它是我们习中伟大的引路人 []（五）作业 [+++++]。
《向量数乘运算及其几何意义》教学设计
向量数乘运算及其几何意义教学设计一、教材分析1.《新课程标准》的解读分析向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型。
在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。
在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。
2. 在整个高中教材中的地位和作用。
向量，具有“数”与“行”的双重身份，是处理问题的一种工具，作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中。
3. 本章节地位、本节的逻辑关系。
向量数乘运算及其几何意义位于人教版《必修4》2.2.3节，在本章节中起着承前起后的作用。
学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难。
通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。
二、教学目标设计（一）教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
（二）三维目标设计1.知识与技能:通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
（三）教情学情分析本节课是为高一8班的数学教学而设计的，因为我任教的是高三，所以对本班级的一些情况缺乏了解。
通过与任课教师以及所在班学生的交流得知，前面学生已经学完向量的加减运算，学生具备一定的独立思考，合作释疑的能力。
因此，本节课采用“探究释疑”的授课方式，既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目的。
（四）教学预设前制定的预习提纲一、基本知识点1.一般地，我们规定，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：（1）（2）2.向量数乘的运算律：（1）（结合律）（2） (第一分配率)（3）（第二分配率）3.向量共线定理二、三基自测1.计算 5（3-2）+4（2-3）=2.设两个非零向量与不共线，若→AB = +，→BC=2+8，=→CD3（-）求证：A、B、D三点共线。
〖2021年整理〗《向量的数乘运算及其几何意义》优秀教案
向量数乘运算及其几何意义
名师：卓忠越
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，掌握向量数乘运算，理解其几何意义及向量共线定理，培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神
（4）判断下列向量 与 是否共线：
① ；②
答案：① ∥ ；② ∥ ；
解析：【知识点】共线向量定理
【数学思想】数形结合
【解题过程】① ，所以 ∥ ；② ，所以 ∥ ；
点拨：根据两向量的数量关系，判定两向量是否共线
二课堂设计
1．知识回顾
（1）向量加减法的运算法则
（2）向量加法的运算律
① ；②
（3）向量加减法的几何表示
①
②
③
2．问题探究
探究一通过实例，理解向量数乘定义及其几何意义
●活动①类比定义向量数乘
我们已经学习了向量的加法，请同学们作出 和 向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？
的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同， 的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反
类比小学算术中 的乘法定义，类比规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量，我们把这种运算叫做向量的数乘
【设计意图】通过由特殊到一般，探索发现共线向量基本定理，再用定义加以证明，符合科学探索发现的一般规律
●活动②巩固理解，尝试应用
判断三点之间的位置关系，主要看这三点是否共线由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线因此，借助共线向量基本定理，可以帮助我们判定三点是否共线
实数与向量的积是一个向量，记作它的长度和方向规定如下：
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一、教学目标
1.知识与技能:
通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
2.过程与方法:
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3.态度情感与价值观：
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，冶学生的情感，培养学生实事的科学态度，勇于创新的精神。
二、教学重难点
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三、课型：新授课
四、教法：探究释疑和多媒体辅助教学的方法
五、教具：多媒体及课件辅助教学
六、教学过程
（一）引入
1.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式。
问题1：向量加法的运算法则？ 问题2：向量减法的几何意义？ 学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受。
向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）。
向量的减法：=，= 则 -=。
（共起点，连终点，b →-b a b →+b a b b a A
B C →+b a a a A B
C D a A B O
方向指向被减数）。
2.问题情境 ：一质点从点O 出发做匀速直线运动，若经过1s 的位移对应的向量用a 表示，那么在同方向上经过3s 的位移所对应的向量可用 来表示。
这是何种运算的结果？
启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系
3.【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和)()(-+-，你能说处他们的几何意义吗？
问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？
问题2：这些变化与哪些因素有关？ 生：a 3与a 方向相同且
生：a 2-与a 方向相反且
师：非常好！
教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式。
（二）新课讲解
1.实数与向量的积的定义
请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数λ与向量的积？启发学生从以下角度思考：λ是向量？长度？方向？根据学生总结，让学生看大屏幕。
2.实数与向量的积的运算律
【探究2】问题一：求作向量)2(3和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量、，求作向量)(2+和22+，并进行比较。
将全班划分为2个小组，组同学展开讨论，提出方法并自主探究。
教师在学生中进行巡视，了解学生的进展情况，并适时加以引导。
在整个过程中，同学们都能积极思考问题，参与的热情很高。
）
师：鼓励学生踊跃回答 生：结论：a a 6)2(3= ， a a a 42)42(+=+ b a b a 22)(2+=+
类比实数乘法的运算律向量数乘的运算律：
为了降低难度，教科书不要求对三个运算律作证明，只要求学生会用。
小注：实数与向量可以求积，但不能进行加减运算。
例1：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2)a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+ 设计意图：要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。
教学中，不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点。
解：(1)原式= 12- (2)原式= 5)23()123(=++--
(3)原式= 25)11()23()32(-+-=+-++-
剖析：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。
对于任意向量、及任意实数λ、μ,恒有2121)(λμλμμμλ±=±。
3、向量共线定理
思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？
生：数乘向量与原向量是共线的 。
【探究3】
问题1：如果 λ=(≠), 那么，向量与是否共线？ 问题2: 与非零向量共线， 那么，λ= ？
（学生分成两组，各选一问进行研究，然后同学之间相互交流，最后提升结论。
教师巡视，适时加以引导，了解学生进展情况） 生：对于向量(≠)、，如果有一个实数λ，使得λ= , 那么，由数乘向量的定义知：向量与共线。
生：若向量与共线，≠，且向量的长度是的长度的μ倍，
即有
=当与同方向时， =当与反方向时，
有μ-=，所以始终有一个实数λ，使λ=。
师：如果没有≠的限制，会有什么结果？
（学生惊讶，没有限制会怎么样呢？马上进入思考状态。
） 生：问题1成立。
与任意向量都是共线向量。
生：问题2不成立。
例 2.已知任意两非零向量、，试作+=, 2+=，3+=。
你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？
设计意图：利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法。
教学中可以先让学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线，本题主要引导学生理清思路，具体过程可由学生完成。
解：依图观察，知A 、B 、C 三点共线。
证明如下：
⇒直线AB ∥直线CD 。
∵)()3(+-+=-=2= 又)()2(+-+=-=b =
∴ 2=，又AB 与有公共点A ，
∴ A 、B 、C 三点共线。
评析：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再利用它们有一个公共点，得到三点共线。
教学中利用多媒体作图，进行动态演示，揭示向量、变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律。
（三）课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解向量共线定理，并能在解题中加以运用。
1.概念与定理
① a λ的定义及运算律。
② 向量共线定理：向量与非零．．向量共线当且仅当有唯一．．．．．．．
一个实数λ，使得 λ=。
2.知识应用：
① 证明向量共线；
② 证明 三点共线: 两向量共线且有一个公共点 若BC AB λ=，即与BC 共线且有一个公共点B ，则A 、B 、
C 三点共线；
③ 证明 两直线平行: λ=⇒∥
AB 、CD 不重合
七、作业：P92 9-12
向量数乘运算及其几何意义
单位：市蓟县上仓中学
授课教师：涛
日期：2016年12月21日。