2014年(北师大版)数学必修二课件：1.6.2.1直线与平面垂直的性质

(2)取CE的中点G，连接FG，BG，AF. 因为F为CD的中点，所以GF∥DE， 且GF= 1 DE.
2
因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， 所以AB∥DE.则GF∥AB. 又因为AB=
1 DE，所以GF=AB. 2
则四边形GFAB为平行四边形.所以AF∥BG. 因为△ACD为等边三角形，F为CD的中点， 所以AF⊥CD.
语言
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线a和直线c，a⊥α ，若c∥a，则c⊥α .( )
(2)在平面α 和平面β 中，a⊥α ，b⊥β ，且a∥b，则α 和β 互相平行.( )
(3)已知平面α ⊥β 和直线a，b.若a⊥α ，b⊥α ，则a∥β ， b∥β .( )
【解析】(1)正确.由a⊥α，c∥a，所以c⊥α. (2)正确.由线面垂直的性质知. (3)错误.a⊥α，b⊥α，α⊥β，则a∥β，b∥β或a， b Ü β. 答案：(1)√ (2)√ (3)×
【探究提示】1.由PA垂直于□ABCD所在平面可得PA垂直于BD， PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD.由PC⊥BD，结合 PA⊥BD可以得到BD⊥平面PAC. 2.由线面垂直的性质定理可得，AB∥DE，在平面BCE中，找一 条直线垂直于平面CDE即可.
【自主解答】(1)因为PA垂直于□ABCD所在平面，BD□ABCD所 在平面， 所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，PA∩PC=P. 所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC， 所以□ABCD一定是菱形. 答案：菱形
行的直线，因为a∥b′，a⊥α ，所以
b′⊥α ，这样，经过同一点O的两条
直线b、b′都垂直于平面α ，这是不可能的.因此a∥b.
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【微思考】 (1)直线与平面垂直的性质定理有几个条件？ 提示：两个条件，即这两条直线都与平面垂直. (2)如果三条直线都垂直于同一个平面，则这三条直线有什么 位置关系？ 提示：根据直线与平面垂直的性质定理知，这三条直线平行.
6.2 垂直关系的性质 第1课时 直线与平面垂直的性质
问题 1.线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？ 引航 2.应用线面垂直性质定理时应注意什么？
直线与平面垂直的性质定理 文字 语言 图形 语言 符号
a a∥b ⇒_____ b
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条 平行 直线_____
【即时练】 已知三条直线a，b，c和平面α ，下列命题中正确的是( A.a∥α ，b∥α ，则a∥b C.a Ü α ，b∥α ，则a∥b B.a⊥c，b⊥c，则a∥b D.a⊥α ，b⊥α ，则a∥b )
【解析】选D.A中a与b的关系为相交、平行或异面，B中a与b可 能平行也可能异面，C中a与b可能平行也可能异面.
2.填一填(把正确的答案写在横线上)
(1)△ABC所在的平面为α ，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，
m⊥AC，则直线l，m的位置关系是________.
(2)平面α ⊥平面β ，α ∩β =l，n Üβ ，n⊥l，直线m⊥α ， 则直线m与n的位置关系是________. (3)在圆柱上的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)， 过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在 直线的位置关系是________.
相等，则两直线平行).
(2)空间中两直线平行的判定 ①线线平行的定义：证共面且无公共点. ②平行公理. ③线面平行的性质定理. ④面面平行的性质定理. ⑤线面垂直的性质定理.
【题型示范】
类型一
线面垂直的性质定理的应用
【典例1】
(1)已知PA垂直于□ABCD所在平面，若PC⊥BD，则□ABCD一定
是________.
(2)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的 中点. 求证：平面BCE⊥平面CDE.
【解题探究】1.题(1)中由PA垂直于▱ABCD所在平面可以得到哪 些垂直关系？PC⊥BD的作用是什么？ 2.题(2)中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，可以得到哪些关系？ 怎样说明平面BCE⊥平面CDE？
【方法技巧】 1.线面垂直的性质定理和判定定理的应用 线面垂直的性质定理结合其判定定理，其核心思想是转化思想， 即实现了线面垂直、线线垂直的相互转化，而且沟通了平行和 垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化.
2.证明线线平行的方法 (1)在平面内证明线线平行的方法 ①三角形、梯形中位线的性质. ②平行四边形对边平行的性质. ③平行线分线段成比例的性质. ④两直线平行的判定(如两直线被第三条直线所截，若同位角
对线面垂直性质的四点说明
(1)应用的问题情境：
直线与平面垂直的性质定理，考查的是在直线与平面垂直的条
件下，可以得出哪些结论. (2)本质：线面垂直⇒线线平行.
(3)作用：
①证明线线平行；
②找(作)平行线.
(4)对性质定理的证明.
证明：如图所示，假设a与b不平行，
设b与α 交于点O，b′是经过点O与a平
【解析】(1)因为l⊥AB，l⊥AC，AB Ü α，AC Üα，且 AB∩AC=A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m. 答案：l∥m (2)由题意知n⊥α，m⊥α所以m∥n. 答案：m∥n (3)由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行. 答案：平行
【要点探究】
知识点 线面垂直的性质
因为DE⊥平面ACD，AF Ü 平面ACD，所以DE⊥AF. 又因为CD∩DE=D，CD Ü 平面CDE，DE Ü 平面CDE， 所以AF⊥平面CDE. 因为BG∥AF，所以BG⊥平面CDE. 因为BG Ü 平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
【延伸探究】题(2)中，若G为CE的中点，AD=DE=2AB=2，其他 条件不变，试求四边形ABGF的面积. 【解题指南】先判断四边形ABGF的形状，然后求面积. 【解析】由(2)知ABGF为平行四边形，又AB⊥平面ACD，AF Ü 平面ACD，所以AB⊥AF，即平行四边形ABGF为矩形，由题意知 AB=1，AF= 3 ，所以四边形ABGF的面积为1× 3 = 3 .