最新北师大版高中数学必修一：4.1.1(ppt课件)
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①在区间[-2,1]上的零点是 ;
②f(-2)=
f(-2)·f(1)
,f(1)=
,
0(“<”“>”或“=”).
(2)函数f(x)=(x+1)(x-2)(x+3)的零点为
.
(3)已知函数y=f(x)的图像与x轴有3个不同交点,则函数y=f(x) 有 个零点.
【解析】1.(1)错误.因为若y=f(x)有零点,则存在实数c, 使f(c)=0,但c不一定为0. (2)错误.函数f(x)=x-1的零点是1,不是(1,0). (3)正确.因为y=2x>0恒成立,所以函数y=2x无零点. (4)若f(a)·f(b)>0,则函数在区间[a,b]上也可能存在零点, 如f(x)=x2,x∈[-1,1].
f(x)=0的解 (2)意义：f(x)的零点就是方程___________.
2.函数零点的判断
函数y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点的条件：
连续曲线 (1)若y=f(x)的图像在［a,b］上是_________. f(a)·f(b) (2)___________<0.
1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”)
【即时练】 若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足 f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零 点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零
点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
【方法技巧】判断函数零点个数பைடு நூலகம்三种常用方法
(1)直接法：用计算器或计算机计算并描点作出函数
f(x)=g(x)-h(x)的图像,由图像、函数的单调性及零点的判断
方法作出判定.
(2)转化法：由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系 下作出y1=g(x)和y2=h(x)的叠合图,利用图像判定方程根的个 数. (3)单调性法：利用f(a)f(b)<0及函数的单调性,可判定y=f(x) 在(a,b)上零点的个数.
2.借助对应值表中提供的有关ex与x+2的对应数值的大小关系
作出判断.
【自主解答】(1)选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,
f(b)f(c)<0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
(3)设y1=log 1 x,y2= x .
2
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像 ,如图所示,
则函数y1=log 1 x和y2= x 的图像仅有一个交点,所以函数
2
f(x)=log 1 x- x 有一个零点.
2
【延伸探究】把题(2)的题设条件换为“已知连续函数f(x)在 区间[a,b]上单调,且f(a)·f(b)>0”,结论又如何? 【解析】选C.因为函数f(x)在[a,b]上单调且连续, 所以其图像至多与x轴有一个交点. 又因为f(a)·f(b)>0,f(x)在(a,b)内必无零点.
【微思考】 函数的零点就是函数图像与x轴的交点吗? 提示：不是.函数的零点是个实数,而函数图像与x轴的交点是 个点的坐标.
【即时练】 函数f(x)=x2-5x+6与x轴的交点是 ,零点是 .
【解析】令f(x)=0,即x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3, 所以函数f(x)与x轴的交点是(2,0),(3,0),函数零点是2,3. 答案：(2,0),(3,0) 2,3
由图可知函数h(x)与g(x)有三个交点,从而f(x)=x2+ 1 -a(a>2)
x
有三个零点.
x x 4 , x 0, 【补偿训练】已知函数f(x)= 则该函数零点 x(x－4), x 0.
的个数为( A.1
) B.2 C.3 D.4
【解析】选C.当x<0时,由f(x)=0得x=-4, 当x≥0时,由f(x)=0得x=4或x=0. 综上所述,函数共有3个零点.
【变式训练】(2014·景德镇高一检测)下列区间中，函数 f(x)=lg x+x的零点所在区间为( A.(1，2)
1) C.( 1 ， 10 2
)
B.( 1 ，1) D.(0， 1 )
10 2
【解析】选C.因为 f ( 1 ) lg 1 1
2 2
2
= lg 1 lg 10 lg
2
【变式训练】(2014·上饶高一检测)设函数f(x)=x2+ 1 -a
x
(x≠0),a为常数且a>2,则函数f(x)的零点个数是( A.1 B.2 C.3 D.4
x
)
【解析】选C.令h(x)=x2-a,g(x)=- 1 ,
因为h(1)=1-a<-1,而g(1)=-1,所以h(1)<
g(1),则函数h(x)及g(x)的图像如图所示.
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精品整理
第四章 函数应用 §1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在
1.函数的零点是如何定义的?函数零点附近的函 问题 引航 数值符号有何特点? 2.函数与方程存在怎样的关系?如何探寻函数的 零点?
1.函数的零点 (1)概念：函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图像与横轴的 横坐标 交点的_______.
号判断其零点个数.
2.不一定.函数y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在
(a,b)上一定有根,但根的个数不一定唯一. 3.转化为判断函数y1=log 1 x与y2= x 图像交点的个数.
2
【自主解答】(1)选C.判别式Δ=1+4=5>0,则方程x2+x-1=0有两 个不同实根,即使f(x)=0成立的实数x有2个. (2)选B.函数y=f(x)在定义域内连续,且满足f(a)·f(b)<0,故函 数f(x)在(a,b)内至少有一个零点.
答案：(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
2.(1)由f(x)=-x2+2x+3=0得x=-1或x=3. ①函数f(x)=-x2+2x+3在区间[-2,1]上的零点是-1; ②f(-2)=-5,f(1)=4,f(-2)·f(1)<0. 答案：①-1 ②-5 4 <
(2)解方程f(x)=0得x=-1或x=2或x=-3. 答案：-1,2,-3 (3)函数的零点就是图像与x轴的交点的横坐标,故有3个零点. 答案：3
(2)(2014·抚州高一检测)根据表格中的数据,可以断定函数 f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是( x ex x+2 A.(-1,0) C.(1,2) -1 0.37 1 B.(0,1) D.(2,3) 0 1 2 1 2.72 3 ) 2 7.39 4 3 20.09 5
【解题探究】1.题(1)中如何根据函数表达式与a,b,c的大小关 系,寻找零点所在的区间? 2.题(2)中如何根据对应值表寻找题(2)函数f(x)=ex-x-2的零 点所在的区间? 【探究提示】1.检验f(a),f(b),f(c)的符号,然后作出判断.
(1)已知函数y=f(x)有零点,则f(0)=0.(
(2)函数f(x)=x-1的零点是(1,0).( )
)
(3)函数y=2x无零点.(
)
(4)若f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在区间[a,b]上不存在零 点.( )
2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知二次函数f(x)=-x2+2x+3.
(2)选C.由题表可知f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,
所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
【方法技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间的端点值代入函数解析式,并求出相应函数值. (2)判：把所得函数值相乘,并判断符号. (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则该区间内 无零点,若符号为负,则该区间内至少有一个零点.
x 1, x 0, 是连续曲线.如函数f(x)= －2, x 0, 在区间[-1,1]上有 x－3, x 0
f(-1)·f(1)<0,但是由其图像知函数f(x)在区间(-1,1)内无 零点.
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上存在零点,则f(a)·f(b)<0吗? 提示：不一定.例如：二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[3,4]上有 f(3)=0,f(4)>0,所以有f(3)·f(4)=0,但3是函数f(x)的一个零 点.
【要点探究】
知识点1
函数的零点
对函数零点的两点说明 (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其 函数值等于零,它不是一个点. (2)求零点就是求方程f(x)=0的实数根或者求函数y=f(x)的图 像与x轴交点的横坐标.
【知识拓展】函数零点的三种等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
【典例1】 (1)函数f(x)=x2+x-1的零点个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.无数
(2)已知函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上是连续不断的,且满 足f(a)·f(b)<0(a,b∈R,a<b),则函数f(x)在(a,b)内( A.有且只有一个零点 C.无零点 B.至少有一个零点 D.无法确定有无零点 )
类型二
判断函数零点所在的区间
【典例2】 (1)(2013·重庆高考)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+ (x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 )
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
【解析】选C.根据零点的判断方法,由于f(0)·f(1)<0, f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间
(1,2)上无法确定是否存在零点.如图所示,图①②有零点,
但图③无零点.
【题型示范】 类型一 函数零点个数的判断
10 0, 2
易知函数f(x)为定义域上的增函数,
1 1 1 1 f ( ) lg 1 0, 10 10 10 10 1 所以f(x)的零点所在区间为 ( 1 ， ). 10 2
【补偿训练】设x0是方程lnx+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,
则k=
.
【解析】令f(x)=lnx+x-4,且f(x)在(0,+∞)上是增加的, 因为f(2)=ln2+2-4<0, f(3)=ln3-1>0. 所以f(x)在(2,3)内有解,所以k=2. 答案：2
(3)判断函数f(x)= log 1 x－ x 的零点个数.
2
【解题探究】1.题(1)中的函数是什么函数?如何判断其零点个 数? 2.题(2)中函数y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在 (a,b)上只有一个零点吗? 3.如何判断题(3)中的函数的零点个数?
【探究提示】1.题(1)中的函数是二次函数,可借助判别式的符
(3)成立条件的严密性：缺少条件“在[a,b]上是连续曲线” 则不成立,如f(x)= 1 ,有f(-1)·f(1)<0,但没有零点.
x
(4)不可逆性：对函数零点的判断方式反过来不成立.
【微思考】
(1)若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零
点吗?
提示：不一定.因为函数y=f(x)的图像在闭区间[a,b]上未必
【拓展类型】一元二次方程区间根问题
【备选例题】(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1(a<b),且m,n是
方程f(x)=0的两个根(m<n),则实数a,b,m,n的大小关系可能是
(
A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.m<a<n<b D.a<m<b<n
知识点2
函数零点的判断方法
对函数零点判断方法的四点说明 (1)存在性：“若f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至 少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性,并不 能判断具体有多少个解. (2)唯一性：若f(a)·f(b)<0,且y=f(x)在(a,b)内是单调的,那 么,方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.
②f(-2)=
f(-2)·f(1)
,f(1)=
,
0(“<”“>”或“=”).
(2)函数f(x)=(x+1)(x-2)(x+3)的零点为
.
(3)已知函数y=f(x)的图像与x轴有3个不同交点,则函数y=f(x) 有 个零点.
【解析】1.(1)错误.因为若y=f(x)有零点,则存在实数c, 使f(c)=0,但c不一定为0. (2)错误.函数f(x)=x-1的零点是1,不是(1,0). (3)正确.因为y=2x>0恒成立,所以函数y=2x无零点. (4)若f(a)·f(b)>0,则函数在区间[a,b]上也可能存在零点, 如f(x)=x2,x∈[-1,1].
f(x)=0的解 (2)意义：f(x)的零点就是方程___________.
2.函数零点的判断
函数y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点的条件：
连续曲线 (1)若y=f(x)的图像在［a,b］上是_________. f(a)·f(b) (2)___________<0.
1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”)
【即时练】 若函数f(x)的图像在R上连续不断,且满足 f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零 点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零
点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
【方法技巧】判断函数零点个数பைடு நூலகம்三种常用方法
(1)直接法：用计算器或计算机计算并描点作出函数
f(x)=g(x)-h(x)的图像,由图像、函数的单调性及零点的判断
方法作出判定.
(2)转化法：由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系 下作出y1=g(x)和y2=h(x)的叠合图,利用图像判定方程根的个 数. (3)单调性法：利用f(a)f(b)<0及函数的单调性,可判定y=f(x) 在(a,b)上零点的个数.
2.借助对应值表中提供的有关ex与x+2的对应数值的大小关系
作出判断.
【自主解答】(1)选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,
f(b)f(c)<0,即函数的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
(3)设y1=log 1 x,y2= x .
2
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像 ,如图所示,
则函数y1=log 1 x和y2= x 的图像仅有一个交点,所以函数
2
f(x)=log 1 x- x 有一个零点.
2
【延伸探究】把题(2)的题设条件换为“已知连续函数f(x)在 区间[a,b]上单调,且f(a)·f(b)>0”,结论又如何? 【解析】选C.因为函数f(x)在[a,b]上单调且连续, 所以其图像至多与x轴有一个交点. 又因为f(a)·f(b)>0,f(x)在(a,b)内必无零点.
【微思考】 函数的零点就是函数图像与x轴的交点吗? 提示：不是.函数的零点是个实数,而函数图像与x轴的交点是 个点的坐标.
【即时练】 函数f(x)=x2-5x+6与x轴的交点是 ,零点是 .
【解析】令f(x)=0,即x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3, 所以函数f(x)与x轴的交点是(2,0),(3,0),函数零点是2,3. 答案：(2,0),(3,0) 2,3
由图可知函数h(x)与g(x)有三个交点,从而f(x)=x2+ 1 -a(a>2)
x
有三个零点.
x x 4 , x 0, 【补偿训练】已知函数f(x)= 则该函数零点 x(x－4), x 0.
的个数为( A.1
) B.2 C.3 D.4
【解析】选C.当x<0时,由f(x)=0得x=-4, 当x≥0时,由f(x)=0得x=4或x=0. 综上所述,函数共有3个零点.
【变式训练】(2014·景德镇高一检测)下列区间中，函数 f(x)=lg x+x的零点所在区间为( A.(1，2)
1) C.( 1 ， 10 2
)
B.( 1 ，1) D.(0， 1 )
10 2
【解析】选C.因为 f ( 1 ) lg 1 1
2 2
2
= lg 1 lg 10 lg
2
【变式训练】(2014·上饶高一检测)设函数f(x)=x2+ 1 -a
x
(x≠0),a为常数且a>2,则函数f(x)的零点个数是( A.1 B.2 C.3 D.4
x
)
【解析】选C.令h(x)=x2-a,g(x)=- 1 ,
因为h(1)=1-a<-1,而g(1)=-1,所以h(1)<
g(1),则函数h(x)及g(x)的图像如图所示.
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精品整理
第四章 函数应用 §1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在
1.函数的零点是如何定义的?函数零点附近的函 问题 引航 数值符号有何特点? 2.函数与方程存在怎样的关系?如何探寻函数的 零点?
1.函数的零点 (1)概念：函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图像与横轴的 横坐标 交点的_______.
号判断其零点个数.
2.不一定.函数y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在
(a,b)上一定有根,但根的个数不一定唯一. 3.转化为判断函数y1=log 1 x与y2= x 图像交点的个数.
2
【自主解答】(1)选C.判别式Δ=1+4=5>0,则方程x2+x-1=0有两 个不同实根,即使f(x)=0成立的实数x有2个. (2)选B.函数y=f(x)在定义域内连续,且满足f(a)·f(b)<0,故函 数f(x)在(a,b)内至少有一个零点.
答案：(1)×
(2)×
(3)√
(4)×
2.(1)由f(x)=-x2+2x+3=0得x=-1或x=3. ①函数f(x)=-x2+2x+3在区间[-2,1]上的零点是-1; ②f(-2)=-5,f(1)=4,f(-2)·f(1)<0. 答案：①-1 ②-5 4 <
(2)解方程f(x)=0得x=-1或x=2或x=-3. 答案：-1,2,-3 (3)函数的零点就是图像与x轴的交点的横坐标,故有3个零点. 答案：3
(2)(2014·抚州高一检测)根据表格中的数据,可以断定函数 f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间是( x ex x+2 A.(-1,0) C.(1,2) -1 0.37 1 B.(0,1) D.(2,3) 0 1 2 1 2.72 3 ) 2 7.39 4 3 20.09 5
【解题探究】1.题(1)中如何根据函数表达式与a,b,c的大小关 系,寻找零点所在的区间? 2.题(2)中如何根据对应值表寻找题(2)函数f(x)=ex-x-2的零 点所在的区间? 【探究提示】1.检验f(a),f(b),f(c)的符号,然后作出判断.
(1)已知函数y=f(x)有零点,则f(0)=0.(
(2)函数f(x)=x-1的零点是(1,0).( )
)
(3)函数y=2x无零点.(
)
(4)若f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在区间[a,b]上不存在零 点.( )
2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知二次函数f(x)=-x2+2x+3.
(2)选C.由题表可知f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,
所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.
【方法技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间的端点值代入函数解析式,并求出相应函数值. (2)判：把所得函数值相乘,并判断符号. (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则该区间内 无零点,若符号为负,则该区间内至少有一个零点.
x 1, x 0, 是连续曲线.如函数f(x)= －2, x 0, 在区间[-1,1]上有 x－3, x 0
f(-1)·f(1)<0,但是由其图像知函数f(x)在区间(-1,1)内无 零点.
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上存在零点,则f(a)·f(b)<0吗? 提示：不一定.例如：二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[3,4]上有 f(3)=0,f(4)>0,所以有f(3)·f(4)=0,但3是函数f(x)的一个零 点.
【要点探究】
知识点1
函数的零点
对函数零点的两点说明 (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其 函数值等于零,它不是一个点. (2)求零点就是求方程f(x)=0的实数根或者求函数y=f(x)的图 像与x轴交点的横坐标.
【知识拓展】函数零点的三种等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数 y=f(x)有零点.
【典例1】 (1)函数f(x)=x2+x-1的零点个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.无数
(2)已知函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上是连续不断的,且满 足f(a)·f(b)<0(a,b∈R,a<b),则函数f(x)在(a,b)内( A.有且只有一个零点 C.无零点 B.至少有一个零点 D.无法确定有无零点 )
类型二
判断函数零点所在的区间
【典例2】 (1)(2013·重庆高考)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+ (x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 )
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
【解析】选C.根据零点的判断方法,由于f(0)·f(1)<0, f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间
(1,2)上无法确定是否存在零点.如图所示,图①②有零点,
但图③无零点.
【题型示范】 类型一 函数零点个数的判断
10 0, 2
易知函数f(x)为定义域上的增函数,
1 1 1 1 f ( ) lg 1 0, 10 10 10 10 1 所以f(x)的零点所在区间为 ( 1 ， ). 10 2
【补偿训练】设x0是方程lnx+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,
则k=
.
【解析】令f(x)=lnx+x-4,且f(x)在(0,+∞)上是增加的, 因为f(2)=ln2+2-4<0, f(3)=ln3-1>0. 所以f(x)在(2,3)内有解,所以k=2. 答案：2
(3)判断函数f(x)= log 1 x－ x 的零点个数.
2
【解题探究】1.题(1)中的函数是什么函数?如何判断其零点个 数? 2.题(2)中函数y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在 (a,b)上只有一个零点吗? 3.如何判断题(3)中的函数的零点个数?
【探究提示】1.题(1)中的函数是二次函数,可借助判别式的符
(3)成立条件的严密性：缺少条件“在[a,b]上是连续曲线” 则不成立,如f(x)= 1 ,有f(-1)·f(1)<0,但没有零点.
x
(4)不可逆性：对函数零点的判断方式反过来不成立.
【微思考】
(1)若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零
点吗?
提示：不一定.因为函数y=f(x)的图像在闭区间[a,b]上未必
【拓展类型】一元二次方程区间根问题
【备选例题】(1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+1(a<b),且m,n是
方程f(x)=0的两个根(m<n),则实数a,b,m,n的大小关系可能是
(
A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.m<a<n<b D.a<m<b<n
知识点2
函数零点的判断方法
对函数零点判断方法的四点说明 (1)存在性：“若f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至 少有一个实数解”指出了方程f(x)=0的实数解的存在性,并不 能判断具体有多少个解. (2)唯一性：若f(a)·f(b)<0,且y=f(x)在(a,b)内是单调的,那 么,方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.