浙财东方学院微积分B第七章7-1

8
例5 设
f ( x, y ) e
arctan y x
ln( x 2 y 2 ), 求f x' (1,0)
解 如果先求对x的偏导数，计算比较复杂，但是若 是先把函数中的y固定在y=0,则有
f ( x , 0) 2 ln x 从而 2 ' f (( x , 0) , f x (1, 0) 2 x
d z x 1
y2
1 2 dx dy 3 3
12
例题与讲解


例：设z=uv 解： dz z
+sint,u=et、v=cost,求全导数
dz dt
du z dv sint dt u dt v dt
ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t

sin( x 2 y ) . 例：求极限( x , ylim 2 2 ) ( 0 , 0 ) x y
例题与讲解
解
sin( x 2 y ) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2 sin( x 2 y ) x2 y lim 2 , 2 2 ( x , y )( 0 , 0 ) x y x y
x 2
则 Fx e x y 2 , Fy cos y 2 xy . x 2 e y dy Fx . cos y 2 xy dx Fy
19
y 解 令 F ( x , y ) ln x y arctan , x 1 2x 1 y ( 2 ) Fx 则 2 2 2 2 y 2 x x y 2 x y 1 ( ) x y x 2 x y2 1 2y 1 1 y x Fy 2 2 2 2 2 2 y 2 x x y 2 x y x y 1 ( ) x dy x y Fx Fy dx x y

lim 例：求极限 ( x , y ) ( 0 , 0 )
xy 1 1 . xy

解
xy 1 1 原式 lim ( x , y )( 0 , 0 ) xy( xy 1 1)
1 lim x 0 xy 1 1 y0
1 . 2
(初等函数连续性)
5
注意:
2 2
2u 2v 2( u v ) 4 x z z u z v y u y v y 2u 1 2v ( 1) 2( u v ) 4 y
15
练习解答
dz 2 设ze , 而x sin t , y t , 求 . dt dz z dx z dy 解 dt x dt y dt
1
例题与讲解

例：求下面二元函数的定义域
z 4 x2 y2 x y
y

解 由分子
4 x y
2
2
o
x
知x、y应满足 由分母
x y 4
2 2
x y
知x、y应满足 x
y 且 y0
y , y 0}
2
故定义域为 D {( x, y ); x 2 y 2 4 且 x
u abeax sin by, xy
2
23
练习
(0,0,1), f zzx (2,0,1) 1 设f ( x, y, z) xy2 yz 2 zx2 , 求f xx
解
y 2 2 xz, fx
f z 2 yz x 2 ,
(0,0,1) 2 2z. f xx f xx
2 y, f zz
3 3
z z 2 设z x ln(xy), 求 2 , . 2 x y xy z 1 解 ln( xy) x y ln( xy ) 1 x xy 3 2 z 1 z 0 1 2 y 0 , 2 x y x x xy 1 3z 2z 1 1 2 x , 2 y xy xy xy y
x2 y 3
e
x2 y
cos t 2e
x2 y
3t
2
cos t e x 2 y 6t 2 e x 2 y
(cos t 6t 2 )e x2 y
(cos t 6t ) e
2 sin t 2 t 3
16
求下列函数 Q f ( x 2 y 2 , e xy )的一阶偏导数 （其中 f具有一阶连续偏导数 . 2 2 xy 解 设u x y , v e , 则Q f（u, v）
11
y x
练习解答
2 求函数z ln(1 x 2 y 2 )当x 1, y 2时的
全微分. z 2x 2y z , 解 由 2 2 2 2 y 1 x y x 1 x y
z x
x 1 y2
1 , 3
z y
x 1 y2
2 3
' x
9
练习
1
的全微分 . 求下列函数 y x 2 2 4 ( 2 ) z e (1)z x 4 xy y ;
2.求 函 数 z ln( 1 x 2 y 2 )当x 1, y 2时 的 全 微 分 .
10
练习解答
1 求下列函数的全微分:
(1)z x 2 4 xy 2 y 4 ;
3
若函数 f ( x, y ) 在区域D的每一点都连续，则称函数
f ( x, y )
在区域D上连续。二元连续函数的图形是
一个无孔隙、无裂缝的曲面。 例如:连续函数 z 1 x2 y 2
{( x, y) | x y 1}
2 2
的图形是球心在原点、半径等于1的上半球面。
4
例题与讲解
( x , y ) ( 0 , 0 )
其中
lim
2 u x y sin( x y )
2
x2 y
x2 y 1 0 x x 0, 2 2 x y 2
sin( x 2 y ) lim Biblioteka 0. x 0 x y 2 y 0
sin u 1, lim u0 u
有界量与无穷小量之积
2
2 2
2
3

z z 2 2 3 解： 3 x y 3 y y, 2 x 3 y 9 xy 2 x ; y x 2 3 z 2z z 2 3 2 6 xy , 2 x 18 xy; 6y , 2 2 3 x y x
z z 2 2 6 x y 9 y 1, 6 x 2 y 9 y 2 1. yx xy
yz xyz z Fx xyz xy x Fz Fy xz 2 xyz z y Fz xyz xy
21
例题与讲解

3 2 3 例： z x y 3 xy xy 1， 设
z z z z z 求 2、 、 、 2及 3. yx xy y x x
f ( x x ) f ( x ) dy 0 0 lim f ( x0 ) x 0 d x x x0 x
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) f x ' ( x0 , y0 ) lim x 0 x
6
例1 求函数
2
(2,0,1) 0 f zzx
2 2
22
例题与讲解

ax 例： 设 u e cos by ，求二阶偏导数.
解：u aeax cos by,
x
2
u beax sin by; y
2u 2 ax b e cos by, 2 y 2u abeax sin by. yx
u 2 ax a e cos by, 2 x
z x sin 2 y在点（， 1 ）处的两个偏导数 8 解 把y看成常量，对x求导数得
z z 2 x sin 2 y, |(1, ) 2sin 2 x x 8 4

把x看成常量，对y求导数得 z z 2 2 x cos 2 y, y y
(1, ) 8
17
练习
dy 1 设 sin y e xy 0, 求 . dx y dy 2 2 2 设 ln x y arctan , 求 . x dx z z 3 设x 2 y z 2 xyz 0, 求 及 . x y
x 2
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练习解答
dy 1 设 sin y e xy 0, 求 . dx x 2 令 F ( x , y ) sin y e xy ， 解
t t
e (cos t sin t ) cos t .
t
z
u
v
t
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z z , 例：设z=eusinv,而u=xy、v=x+y,求 x y 解： z z u z v x u x v x
例题与讲解
e u sin v y e u cos v 1
e u ( y sinv cos v ),
z z u z v y u y v y
e u sin v x e u cos v 1
e ( x sinv cos v ).
u
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练习解答
z z 1 设 z u v , 而u x y , v x y , 求 , . x y z z u z v 解 x u x v x
2 2
20
y dy 2 设 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2