新课标版2019年高考考点数学(理)分专题汇编精选 专题07 指数与指数函数

考点07 指数与指数函数考纲原文（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点. （4）知道指数函数是一类重要的函数模型.知识整合一、指数与指数幂的运算1．根式（1）n次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质： ①(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈Q ； ②()(0,,)r s rs a a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . （3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象与性质轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()x f y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()x f y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出x u a =的值域，再结合()y f u =的性质确定出()x y f a =的值域．(2)判断复合函数()xy f a =的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数u y a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()x f y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．重点考向考向一 指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例引领典例1 化简并求值： （1）)2934-⨯（211113342a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）12；（2）ab. 【解析】（1）)92292334310343221255252----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b ---⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 【名师点睛】把根式化为分数指数幂，再按照幂的运算法则进行运算即可．变式拓展1．已知13a a-+=，则1122a a -+=__________.考向二 与指数函数有关的图象问题指数函数y =a x(a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y=f(x)沿x轴、y轴的变换为“上加下减，左加右减”．典例引领典例2 函数y=a x－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x=1时，y=a1－a=0，所以y=a x－a的图象必过定点(1，0)，结合选项可知选C.变式拓展2．函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是A．B．C．D．考向三指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例引领典例3 设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.变式拓展3．已知213311,,ln323a b c ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >>典例引领典例4 设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞【答案】C变式拓展4．若221mn>>，则 A ．11m n>B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．π1m n ->考向四 指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例引领典例5 函数()2e 1e x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线y =x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】D【解析】∵()2e 11e e e x x x xf x +==+，∴()11e e ()e e x xx x f x f x ---=+=+=，∴f (x )是偶函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．变式拓展5．若函数f (x )=3x ＋3－x 与g (x )=3x －3－x 的定义域均为R ，则A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数典例引领典例6 2221()2x x y -+=的值域是A ．1(,)2-∞B ．(0,)+∞C ．1(0,]2D ．[4,)+∞【答案】C【解析】易知函数2221()2x x y -+=的定义域为R .令t =x 2－2x ＋2，则y =1()2t .又t =x 2－2x ＋2=(x －1)2＋1，x ∈R ，∴当x =1时，t min =1，无最大值． ∴t ≥1， ∴0＜y ≤(12)1， 故所求函数的值域为1(0,]2．变式拓展6．若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞考点冲关1．计算：114333122x x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．3B ．2C ．2x +D ．12x +2．设全集{}|e 1xU x =>，函数()f x =的定义域为A ，则U A ð为 A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．()1,+∞D ．[)1,+∞3．函数()1(1)x x a y a x+=>的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．4．已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+C ．11x y>D ．33x y >5．已知函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是A ．12 B ．13 C ．14D ．236．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，xx f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为A ．)41,41(- B ．)21,21(- C ．)2,2(-D ．)1,1(-7．设函数()2af x x-=与()(1xg x a a =>且2a ≠)在区间()0+∞，上具有不同的单调性，则()0.21M a =-与0.11N a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．M N =B ．M N ≤C ．M N <D ．M N >8．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,79．若3log 21x ≥，则函数()1423xx f x +=--的最小值为A ．4-B ．3-C ．329-D ．010．已知14742a b c ===，则111a b c-+=__________． 11．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点__________．12．已知函数()x f x a b =+()0,1a a >≠的定义域和值域都是[]1,0-，则b a =__________．13．已知函数()242x xa af x a a-+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围.直通高考1．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x<}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．(2016年高考新课标Ⅲ卷理科)已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 .5．（2016年高考天津卷理科）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（–∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 .6．（2015年高考山东卷理科）已知函数()(01)x f x a b a a =+>≠,的定义域和值域都是]0,1[-，则b a += .参考答案变式拓展1【解析】由题意得21112223a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴211225a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，11220a a-+>，∴2．【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数的图象过()0,1-点，故排除A ，D ；二次函数的对称轴为直线11x a =-，当01a <<时，指数函数递减，101a <-，C 符合题意；当1a >时，指数函数递增，101a >-，B 不合题意， 故选C ．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,,x x x →→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.【名师点睛】由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围，然后比较其大小即可.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4．【答案】D【解析】因为221m n>>，所以由指数函数的单调性可得m n >， 因为,m n 的符号不确定，所以0,0m n <<时可排除选项A 、B ；3,12m n ==时，可排除选项C ，由指数函数的性质可判断π1m n->正确，故选D ．【名师点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而作出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.考点冲关1．【答案】D【解析】原式11143333122122x x x x x --=⋅+⋅=+.2．【答案】A【解析】由题意得{}|0U x x =>，{}{}|10|1A x x x x =->=>，所以{01}U A x =<≤ð，故选A ． 3．【答案】A【解析】函数()1(1)x x a y a x+=>的定义域为()(),00,-∞+∞．当1x <-时，由题意可得0y <，故可排除B ，D ； 又当x →+∞时，由于1a >，故y →+∞，故排除C ． 故选A ．【名师点睛】由函数的解析式判断函数图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点：（1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除； （3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断． 4．【答案】D【解析】由指数函数的性质得1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y ⇔＞，对于A ，当3π3π44x y ==-，时，满足x y ＞，但tan tan x y >不成立． 对于B ，若()()22ln 2ln 1x y +>+，则等价为22x y ＞成立，当11x y ==-，时，满足x y ＞，但22x y ＞不成立．对于C ，当32x y ==，时，满足x y ＞，但11x y>不成立． 对于D ，当x y ＞时，33x y >恒成立. 故选D ．【名师点睛】利用指数函数即可得出,x y 的大小关系，进而判断出结论．本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题． 5．【答案】B【解析】函数()2(0)xf x x =<的值域为01（，），即01D =（，），则在区间()1,2-上随机取一个数x x D ∈，的概率()101.213P -=--＝故选B ．7．【答案】D【解析】由题意，因为()2af x x -=与()xg x a =在区间()0,+∞上具有不同的单调性，则2a >，所以()0.211M a =->，0.111N a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以M N >，故选D ．8．【答案】B【解析】画出函数()f x 的大致图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b+=．结合图象可得45c <<，故16232c<<．∴1822234a b c<++<．故选B ．【名师点睛】解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象．解题中有两个关键：一是结合图象得到222ab+=；二是根据图象判断出c 的取值范围，进而得到16232c <<的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围．10．【答案】3【解析】由题设可得111214,27,24a b c ===，则1121472a b -=÷=，即111113222422a ba bc--+=⇒=⨯=，即1113a b c -+=，故答案为3.11．【答案】()1,3【解析】∵ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 图象的对称轴为π4x =，∴()π02f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即b a -=，∴0a b +=．在13a x b y ++=中，令1x =，则133a b y ++==．∴函数13ax b y ++=的图象恒过定点()1,3．故答案为()1,3． 12．【答案】4【解析】当1a >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的图象过点(−1, −1)和点(0,0)，所以1010a b a b -⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，该方程组无解；当01a <<时，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的图象过点(−1,0)和点(0, −1)，所以101a b a b -⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得所以4b a =． 13．【答案】（1）2a =；（2）()1,1-；（3）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，即242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++.整理可得2a =．（注：本题也可由()00f =解得2a =，但要进行验证）（2）由（1）可得()22221212222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++，∴函数()f x 在R 上单调递增， 又211x+>，∴22021x-<-<+， ∴211121x-<-<+． ∴函数()f x 的值域为()1,1-．（3）当[]1,2x ∈时，()21021x xf x -=>+． 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立， ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立．令()2113xt t =-≤≤，则有()()2121t t m t tt+-≥=-+，∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数， ∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【名师点睛】解决函数中恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法．若所求范围的参数能分离出来，则可将问题转化为()a f x ≥（或()a f x ≤）恒成立的问题求解，此时只需求得函数()f x 的最大（小）值即可．若函数的最值不可求，则可利用函数值域的端点值表示．（2）若所求的参数不可分离，则要根据方程根的分布或函数的单调性并结合函数的图象，将问题转化为不等式进行处理．直通高考1．【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0B x x=<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.2．【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A. 【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数. 3．【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．5．【答案】13(,)22【解析】由题意知()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<，即112a -<，解得1322a <<，即a 的取值范围为13(,)22． 6．【答案】23-【解析】当01a <<时，函数()(01)x f x a b a a =+>≠,是减函数，在定义域]0,1[-上，值域为11,b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，所以1110b b a+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，则()13=2=22a b ++--；当1a >时，函数()(01)x f x a b a a =+>≠,是增函数，在定义域]0,1[-上，值域为11b b a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，所以1011b b a+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，此方程组无解.综上，得3=2a b +-.。