高考数学终极解题策略-构造函数
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题
近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
SXA229高考数学必修_构造函数来解题5
构造函数来解题对那些难处理的不等式，方程，或参数范围的讨论等问题，往往通过直接求解较繁或者根本行不通，这时构造函数法往往带来巧妙的解题思路。
可通过的构造函数，利用函数的性质，即定义域，值域，单调性、奇遇性来解决。
一、构造一次函数，因为一次函数的单调较易应用，方便。
而这种构造方法在高考题的拔高题中，常隐藏在某一问中。
例1 ①2x —1＞m （x 2—1）对满足2≤m 一切值都成立， 求x 值。
②已知1<a ， 1<b ， 1<c ，求证ab+bc+ca ＞—1解 ①∵2x —1—m （x 2—1）＞0 即（1—x 2）m+2x —1＞0∴设f （t ）=（1—x 2）t+2x —1 t ≤2即f （t ）＞0在 t ∈（—2，2） 恒成立∴f （2）＜0 f （—2）＜0 从而解 得x ∈（231,271++-） ②构选f （t ）=（b+c ）t+bc+1 t ∈（—1，1）当b+c=0 f （t ）=bc+1=2b -+1＞0∴原式成立当b+c ≠0时，f （1）=b+c+bc+1=（1+b ）(1+c)＞0f(—1)=bc —b —c+1=（1—b ）（1—C ）＞0∴f （t ）在（—1，1）中恒大于0，即ab+bc+ca ＞－1 二 构造二次函数 这时往往利二次函数的最值或不等式来建立关系，进而解决问题 例2 ①0>a0<++c b a 则一定成立的是 A ．042≥+ac b B ．042≤-ac bC ．042>-ac bD ．042<-ac b②02)3(4=+-+m m x x 有两个不等实根求的范围解①构造c bt at t f ++=2)(∵0>a 且0)1(<++=c b a f∴)(t f 一定与x 轴右交点且有两个∴042>-=∆ac b 即选C②设02>=t x 则方程变成0)3(2=+-+m t m t 构造m t m t t f +=+=)3()(2∵方程有不等式实根且根都大于0 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>>--0)0(023f m 30<<∴m三 构造其他函数，这类题题型多，且形式广泛，主要运用函数单调性，奇偶性，求导等性质解题 ，下面我逐个说明。
高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数
高考压轴题解题方法归纳总结之构造函数一、构造差函数h (x )＝f (x )－g (x )证明不等式f (x )>g (x ) 二、参变分离后构造函数 例1．(2016·沈阳一模)已知函数f (x )＝a ln x (a >0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x >0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上存在x 使得01<-x e e aax 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2. 令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知01<-x e e aax ，化简得x －1a <ln x ，又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －(x －1)·1x (ln x )2＝ln x －1＋1x (ln x )2， 由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x>0，∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增，由洛毕达法则，可知111lim ln 1lim11==-→→xx x x x ，∴a >1.变式训练1当0≥x 时，若不等式1+≥ax e x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 略解：1≤a 。
三、利用目标不等式构造函数 例2．(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )＞32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )＞32－2sin 2x2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1.又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3. 变式训练2函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则m ′(x )＝f ′(x )－2＞0，∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )＞0的解集为{}x |x ＞－1，即f (x )＞2x ＋4的解集为(－1，＋∞)． [答案] B四、利用导函数构造原函数 例3．（1）(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，x f ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1，0)D ．(0，1)∪(1，＋∞)[解析] 设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示． 当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A. [答案] A（2）已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，若f (0)＝1，则函数)()('x f x f 的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ，∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2e x，∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2x x 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1， 当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.（3）(2016·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，x f ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案：D变式训练3（1）已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )<g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a ) 答案：B（2）已知函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，y ＝f ′(x )是y ＝f (x )的导数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立．已知a ＝f (log 32)log 32，b ＝f (log 52)log 52，c ＝2f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 解析：选B 由函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，可知y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数．令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，由题意知g (x )在(－∞，0)上单调递减．又y ＝f (x )为偶函数，则g (x )为奇函数，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又0＜log 52＜log 32＜1＜2，所以g (log 52)＞g (log 32)＞g (2)，即b ＞a ＞c .（3）若的导数为,且满足则与的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定 答案：C ．（4）定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8.综上，4<f (2)f (1)<8.五、构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数；例4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若x 2f ’(x )＋xf (x )＝sin x (x ∈(0，6))，f (π)＝1，则下列结论正确的是( )A ．)1(31)3(f f <B ．)5(45)4(f f <C ．))6,0(()(∈>x xx f πD ． 以上结论都不对解析：选D 因为x 2f ′(x )＋xf (x )＝sin x ，x ∈(0，6)，所以xf ′(x )＋f (x )＝sin xx，设g (x )＝xf (x )，x ∈(0，6)，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝sin xx，由g ′(x )>0得0<x <π，g ′(x )<0得π<x <6，所以当x ＝π时，函数g (x )＝xf (x )有最大值g (π)＝πf (π)＝π.变式训练4 f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )<0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (b )<f (b )D ．bf (b )<f (a ) 答案：A例5．设函数x x f ln )(=，)(2)1)(2()(x f x a x g ---=． (1)当1=a 时，求函数)(x g 的单调区间和极值；(2)设)0(1)()(>++=b x bx f x F ．对任意2121],2,0(,x x x x ≠∈，都有1)()(2121-<--x x x F x F ，求实数b 的取值范围.()f x ()f x '()(),f x f x '<(3)f 3(0)e f 3(3)(0)f e f >3(3)(0)f e f =3(3)(0)f e f <解：当1=a 时，x x x g ln 21)(--=，定义域为），（∞+0，xx x x g 221)(-=-=' 当)2,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x g ,)(x g 单调递增，综上，)(x g 的单调递增区间为)2(∞+，，单调递减区间为)2,0(，所以2ln 21)2(-==g y 极小值（2）由题意得01)()(2121<+--x x x F x F ，即112212()[()]0F x x F x x x x +-+<-， 若设x x F x G +=)((），则）x G (在]2,0(上单调递减， ①当]2,1[∈x 时，x x bx x G +++=1ln (），011-1(2≤++='）（）x b x x G ， 313)1()1(222+++=+++≥xx x x x x b 在]2,1[上恒成立，设313)(21+++=x x x x G ，则211-32)(xx x G +='，当]2,1[∈x 时，0)(1>'x G ， )(1x G 在]2,1[上单调递增，2272)(11=≤）（G x G ，∴227≥b②当]1,0（∈x 时，x x bx x G +++-=1ln (），011-1(2≤++-='）（）x b x x G ， 11)1()1(222--+=+++-≥xx x x x x b 在]1,0(上恒成立，设1-1-)(22x x x x G +=，则0112)(22>++='xx x G ， 即)(2x G 在]1,0(上单调递增，01)(22=≤）（G x G ，∴0≥b . 综上，由①②可得227≥b变式训练5 (2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] 依题意得，对于任意的正数x 1，x 2， 当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x ＞0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．设h (x )＝x (e x－1)，x ＞0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1＞(0＋1)e 0－1＝0(x ＞0)，故h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0. 故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)六、利用点的轨迹构造函数例6．设2222)4(ln )(4),(a a m a m m a f +-+-=，当正数m ，实数a 变化时，),(m a f 的最小值为____________．解析：设点)ln ,(m m P ，)4,(2a a Q ，则点P 在函数x y ln =的图象上，点Q 在函数42x y =的图象上。
高考数学终极解题策略-构造函数
高考数学终极解题策略-构造函数构建函数专题关系式为“加”型（1）'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]xxe f x e f x f x =+ （2）'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]nnn n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x xf x f x e f x e f x f x e e e --==（2）'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -=（3）'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x-+--== （注意对x 的符号进行讨论）小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘典型例题：例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集.例2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若有穷数列*()()()f n n N g n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于3132，则n 等于 .变式：已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'()f x g x f x g x <，若若(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，求关于x 的不等式log 1a x >的解集.例 3.已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>，若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，则关于,,a b c 的大小关系是例4.已知函数()f x 为定义在R 上的可导奇函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，且f （3）=e ，则()f x /e^x<1的解集为变式：设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)f e=.求(1)f 的值.例5.设函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()'()f x xf x x +>，变式：已知()f x 的导函数为'()f x ，当0x >时，2()'()f x xf x >，且(1)1f =，若存在x R +∈，使2()f x x =，求x 的值.巩固练习:1.定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．2.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲3.设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲4.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对任意的R x ∈有2)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，.)(x x f >'，若,22)()2(a a f a f -≥--则实数a 的取值范围为 ▲ ；一些常见的导数小题1．已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是（ ）4b+c+12=02b+c+3=0B DAobcA. 37(,5)2 B. (5,5) C. 37(,25)4D. (5,25) 2．已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，)()(x g a x f x =，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于x 的方程2520((0,1))2abx x b ++=∈有两个不同实根的概率为（ ） A.51 B.52 C.53 D.543．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为A. 1nB. 1n n +C. 11n + D. 14．定义在R 上的函数()x f y=，满足()()2f x f x -=，()1x f -'()0x <，若()()313f a f +<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，1yx + 的取值范围是 （ ）A ． 13[,]44B ．3[0,]4C ．14[,]43D ．4[0,]36．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1(0, 1)，x 2(1, +)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞7．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()()sin 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围（ ）A. 14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知3,ln 3ln ln -==-bd c a ，则22)()(c d b a -+-的最小值为 （ ）A ．5103B ．518C ．516D ．5129．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1,)+∞10．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅11．若函数[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值,则a 的取值范围是______．12．已知函数()()263,x e exf x x xg x ex+=---=，实数,m n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈， ()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为__________．答案1．D 【解析】试题分析：因为函数32()f x x bx cx d =+++的导数为2'()32f x x bx c =++.又由于当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值.所以'(1)0'(0)0'(2)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩即可得2304120b c c b c ++<⎧⎪>⎨⎪++>⎩，因为221()(3)2b c ++-的范围表示以1(,3)2-圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A 最大，过点B 最小，通过计算可得221()(3)2b c ++-的取值范围为(5,25).故选D.考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想. 2．B 【解析】试题分析：令()()()x f x h x a g x ==，则2()()()()()0[()]f x g x f x g x h x g x ''-'=<，所以()()()xf x h x ag x ==是减函数， 01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，所以151,22a a a +==.由0∆>得25b <.又(0,1)b ∈，由几何概型概率公式得：25p =.选B. 考点：1、导数的应用；2、指数函数及方程；3、几何概型. 3．C 【解析】试题分析：曲线1*()n y xn N +=∈，1)1(,)1(+='+='n f x n y n ，∴曲线y=x n+1（n ∈N *）在（1，1）处的切线方程为)1)(1(1-+=-x n y ，该切线与x 轴的交点的横坐标为1+=n nx n ，因此。
构造函数高考知识点
构造函数高考知识点构造函数是面向对象编程中的一个重要概念，也是高考中经常涉及的知识点。
构造函数用于创建和初始化对象的方法，并在对象被创建时自动调用。
在本文中，我们将介绍构造函数的定义、特点以及常见应用场景，以帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、构造函数的定义和特点构造函数是一种特殊的方法，其名称与类名相同，且无返回值类型声明（包括void）。
它主要用于创建对象时进行一些初始化操作，例如为对象的属性赋初始值或执行一些必要的操作。
构造函数在对象创建时自动调用，且只会被调用一次。
构造函数具有以下特点：1. 构造函数的名称必须与类名相同，且没有返回值类型声明。
2. 构造函数可以有参数，用于接收创建对象时传递的参数。
3. 若类没有定义构造函数，编译器会自动生成一个默认的无参构造函数。
4. 构造函数可以重载，即同一个类可以有多个构造函数，只要它们的参数列表不同即可。
二、构造函数的应用场景构造函数在实际编程中有多种应用场景，下面列举了几个常见的应用场景：1. 对象初始化：构造函数可以用于对对象的属性进行初始化。
例如，我们可以在构造函数中为对象的属性赋初值，确保对象在创建时就具有正确的初始状态。
2. 参数传递：构造函数可以通过参数接收外部传递的数据，从而实现数据的传递和共享。
这在实际开发中非常常见，特别是在创建对象时需要传递一些参数时。
3. 资源管理：构造函数可用于管理对象的资源。
例如，在构造函数中可以打开文件、创建数据库连接等操作，在对象销毁时可以关闭文件、释放数据库连接等，从而保证资源的正确释放。
4. 继承和多态：构造函数在面向对象的继承和多态中扮演着重要角色。
子类的构造函数可以显式或隐式调用父类的构造函数，确保父类的属性和行为能够正确传递和初始化。
三、构造函数的例子下面是一个简单的例子，展示了构造函数的使用方法：```javapublic class Student {private String name;private int age;// 无参构造函数public Student() {name = "张三";age = 18;}// 带参构造函数public Student(String name, int age) { = name;this.age = age;}// getter和setter方法// ...public static void main(String[] args) {// 使用无参构造函数创建对象Student s1 = new Student();System.out.println(s1.getName()); // 输出：张三 System.out.println(s1.getAge()); // 输出：18// 使用带参构造函数创建对象Student s2 = new Student("李四", 20);System.out.println(s2.getName()); // 输出：李四System.out.println(s2.getAge()); // 输出：20}}```以上例子中，我们定义了一个`Student`类，包含了两个构造函数：一个是无参构造函数，另一个是带参构造函数。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
利用求导法则构造函数
利用求导法则构造函数近年高考试卷中常出现一种客观题，考查导数运算法则的逆用、变形应用能力。
这种题目的背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)”等特征式，旨在考查学生对导数运算法则的掌握程度。
解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题。
本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法。
常用的构造函数有：1.和与积联系：如f(x)+xf'(x)，构造xf(x)；2xf(x)+x^2f'(x)，构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，同样构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，构造x^3f(x)；………；nf(x)+xf'(x)，构造x^n f(x)；f'(x)+f(x)，构造e^xf(x)等等。
2.减法与商联系：如xf'(x)-f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x；x^2f'(x)-2f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^2；xf'(x)-nf(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^n；f'(x)-f(x)，构造F(x)=f(x)/e^x；2xe^xf'(x)-2f(x)，构造F(x)=f(x)/(2xe^x)等等。
在构造函数时，有时候不唯一，关键是要合理构造函数。
给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
一种常见形式是巧设“y=f(x)±g(x)”型可导函数。
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f'(x)±g'(x)”时，不妨联想、逆用“f'(x)±g'(x)=[f(x)±g(x)]'”，构造可导函数y=f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题。
高考数学终极解题策略-构造函数
高考数学终极解题策略-构造函数构建函数专题关系式为“加”型（1）若'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]xxe f x e f x f x =+ （2）若'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）若'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]nnn n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1）若'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x xf x f x e f x e f x f x e e e--== （2）若'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -=（3）若'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x-+--== （注意对x 的符号进行讨论）小结：1加减形式积商定 2系数不同幂来补 3符号讨论不能忘典型例题：例1设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集。
变式：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集 。
构造函数法在高考压轴题中的应用
构造函数法在高考压轴题中的应用【摘要】构造函数法是一种在高考压轴题中应用广泛的重要数学方法。
本文首先介绍了构造函数法的基本概念，然后分析了其在数学、物理、化学和生物题中的具体运用。
在高考备考中，熟练掌握构造函数法可以帮助学生快速解决复杂问题，提高解题效率。
构造函数法不仅在高考中具有重要性，也在实际生活和工作中有着广泛的应用价值。
本文总结了构造函数法在高考备考中的策略，提出了有效的学习方法和技巧。
通过深入了解和熟练运用构造函数法，学生们可以更好地备战高考，取得优异成绩。
【关键词】构造函数法、高考压轴题、基本概念、数学题、物理题、化学题、生物题、重要性、实际应用价值、高考备考、策略、应用。
1. 引言1.1 构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法是一种常用的数学解题方法，在高考压轴题中具有重要的应用价值。
通过构造函数法，我们可以将复杂的问题转化为简单的数学形式，从而更容易解决。
在高考数学试题中，构造函数法常常被用来解决一些较难的问题，特别是那些需要创造性思维和灵活性的题目。
构造函数法的基本思想是通过构造一个满足特定条件的函数来解决问题。
这个函数可以是任意的形式，只要它符合题目给出的条件和要求。
通过构造函数，我们可以将问题简化为一个函数的求解问题，从而更容易找到答案。
在高考数学试题中，构造函数法常常被用来解决几何、代数、概率等各种类型的问题。
通过构造一个适当的函数，我们可以更快地找到问题的解，提高解题效率。
构造函数法在高考压轴题中的应用非常重要。
掌握这一方法可以帮助我们更好地解决复杂的数学问题，提高解题的准确性和效率。
在备考高考时，我们应该加强对构造函数法的理解和应用，提高自己的解题能力。
2. 正文2.1 构造函数法的基本概念构造函数法是一种通过构造合适的函数来解决特定问题的数学方法。
在数学中，构造函数法通常被用来解决求解方程、优化问题、函数性质等各种类型的数学题目。
构造函数的选择往往能简化问题的求解过程，提高解题效率。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
解几最值求有妙法,构造函数多方出击-高考数学一题多解
解几最值求有妙法，构造函数多方出击一、攻关方略与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数函数、三角函数、平面几何等方面的知识，求最值常见的解法有几何法和代数法两种，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，如与圆锥曲线的定义相关或涉及过焦点的弦长、焦半径、焦点三角形等，则考虑利用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，圆锥曲线中的最值问题的载体是直线与圆锥曲线的关系，特别是相交所引出的图形的最值问题，大致可分为两类：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．本讲重点放在用目标函数法求最值的策略．建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题是一种常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，比如转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等，尤其是对复杂函数解析式的再构造，其方法并非唯一，不同的构造必有多种不同的解法，或繁或简，通过解题经验的积累，尽可能找到最为巧妙的构造，得到最为简捷的解法，真可谓：解几最值求有妙法，构造函数多方出击．思维发散或繁或简，纵横联结枝繁叶茂．【典例】已知点()0,2A -，圆2222:1x y E a b +=（0a b >>F 是椭圆E的右焦点，直线AF O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．解题策略解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，代数方法当然离不开比较复杂的计算，高考命题特别提出“多考想，少考算”，突出考查学生分析推理、转化的数学逻辑思维能力，如何在解析几何中避免繁杂、冗长的计算，即简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键，解析几何题目中常用的简化运算的技巧有：圆锥曲线的概念、条件等价转化、以形助数、设而不求以及通过构造以巧妙的方法减少运算量等，本例第（1）问，根据已知条件，利用基本量求椭圆方程；第（2）问，先建立OPQ △面积的函数表达式，再求最值，其中函数变量的选取尤为重要，不同的解析式有不同的求最值的方法．策略一由弦长公式求PQ ，由点到直线距离公式求d ，由12=⋅S PQ d 得解析式，换元法转化为用基本不等式求最值和l 的方程策略二由POQ AOQ AOP S S S =-△△△得函数解析式再进一步求解策略三利用坐标法求解析式再进一步求解（1）解：设(c,0)F ，由条件知，23c =，得c =又2c a =，∴2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=．（2）解法一当l x ⊥轴时，不合题意，故设:2l y kx =-，()11,P x y 、()22,Q x y ，将2y kx =-代入椭圆方程，整理得()224116120k x kx +-+=．则()()222(16)48411643k k k ∆=-+=-当0∆>，即234k >时由弦长公式得12||PQ x =-==．又由点到直线的距离公式得点O 到直线l的距离d =∴OPQ △的面积221||24141S PQ k k d ===++⨯．t =，244144t S t t t ==++．则2243k t =+且0t >，当4t t =，即2t =时，OPQ △2=，解得2k =．故所求直线l的方程为2y =-或2y =-．解法二设直线:2l y kx =-交椭圆E 于()11,P x y ，()22,Q x y ．且P 在线段AQ 上．由222,440y kx x y =-⎧⎨+-=⎩得()224116120k x kx +-+=，1221641k x x k +=+，1221241x x k =+．由0∆>得234k ≥．则21122POQ AOQ AOP S S S x x =-=⨯-==△△△同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．解法三设l 的方程为2y kx =-，与椭圆方程联立得222,44,y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得()224116120k x kx +-+=．则1221641k x x k +=+，1221241x x k =+，且由0∆>，得234k >．设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ．点O 的坐标为(0,0)，用坐标法求OPQ △的面积S 可表示为11221112001x y S x y =．即()()1221122112112222S x y x y x kx x kx x x =-=---=-⎡⎤⎣⎦241k k ==+．同解法一得所求直线l 的方程为2y =-或2y =-．【点评】运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面：①如何建立目标函数．关键要把相关图形的特点吃透，变量可以是直线的斜截、截距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难．②对所求得的目标函数如何求其最值，常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的解题策略解之，【针对训练】1．已知椭圆的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，线段PQ 是椭圆上过点2F 的弦，则1PFQ △内切圆面积的最大值为______．2．已知抛物线2:4C y x =上一点()4,4M -，A ，B 是抛物线C 上的两动点，且0MA MB ⋅= ，则点M 到直线AB 距离的最大值是______．（2021全国乙卷理11）3．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦（2021全国新高考Ⅰ卷5）4．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．65．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.6．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．(1)求p ；(2)若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．（2022·浙江）7．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．(1)若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．（2022·浙江）8．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，(1)求抛物线的方程；(2)设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.（2019年高考数学浙江卷第21题）9．如图所示，已知点()1,0F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧，记AFG 、CQG 的面积分别为1S ，2S．(1)求p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的12S S 最小值及此时点G 的坐标．10．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I）求直线AP斜率的取值范围；PA PQ的最大值（II）求·参考答案：1．9π16【分析】()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△，解法一：112PF Q S PQ d =⋅ ，点1F 到直线PQ 的距离为d ．由弦长公式和点到直线距离公式，求最大值.解法二：1121212PF Q S F F y y =- ，由弦长公式和基本不等式求最大值.【详解】解法一如图所示，1PFQ △的()111142PF Q S PF QF PQ r r =++⋅=△，∴14PF Q S r =△．当直线PQ 的斜率不存在时，易得||3PQ =，此时1121||32PF Q S F F PQ =⋅⋅=△，∴34r =；当直线PQ 的斜率为k 时，直线PQ 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入22143x y +=，并整理得：()22224384120k x k x k +-+-=．设()11,P x y 、()22,Q x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．||PQ ==()2212143k k +==+．∵点1F 到直线PQ 的距离d =．则12112|||243PF Qd k S PQ k ==⋅+△，则()()()()222222222211124331PFQ k k k k S k k k ++⎛⎫== ⎪⎡⎤⎝⎭+++⎣⎦△，设21u k =+，2v k =，则122112(3)96PF Q S uv u v u v v u⎛⎫== ⎪+⎝⎭⨯++△，且2211u k v k +=>，设(1)u t t v=>，设1()96f t t t =++，则21()9f t t '=-，当1t >时，()0f t '>，∴96(1)16u v f v u ⋅++>=，则1212116PF Q S ⎛⎫ ⎪⎝<⎭△，∴13PF Q S <△，∴34r <．综上，当直线PQ 垂直于x 轴时，1PFQ △的内切圆半径r 取得最大值34，∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．解法二显然直线PQ 的斜率不为0，故可设其方程为1x my =+，将1x my =+代入22143x y+=，并整理得()2234690m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，∴1121221234PF Q S F F y y m =-===+△121，令1t ≥．设1()3f t t t =+，则21()3f t t'=-，则当1t >时，()0f t '>[]1,+∞，∴(1)4f =≥（当0m =时等号成立），∴1PF Q S △的最大值为3．此时1344PF Q S r ==△，即r 的最大值为34．∴1PFQ △的内切圆面积的最大值为9π16．故答案为：9π162．【分析】解法一：首先利用坐标表示直线MA ，MB 和直线AB 的斜率，并利用坐标表示1MA MB k k ⋅=-，代入直线AB 的方程，化简求直线所过定点，利用几何法表示点M 到直线AB距离的最大值；解法二：利用1MA MB k k ⋅=-得()()12124324y y y y y x +-++=，利用换元得直线AB 的方程为44320x ty t -+-=，列出点到直线距离公式d ==关系求函数最大值；解法三：首先设直线AB 的方程为x ky b =+，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示0MA MB ⋅=，得22123616164b b k k -+=-+，化简后表示,k b 的关系，可求得定点坐标，再利用两点距离表示点到直线距离的最大值.【详解】解法一：如图所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线MA 的斜率为()()()11111144444444MA y y k x y y y ++===-+--．同理可得直线MB 的斜率为244MB k y =-．直线AB 的斜率为12122212121244AB y y y y k y y x x y y --===--+．由1244144MA MB k y y k =⨯=---⋅，得()1212432y y y y -+=-．又直线AB 的方程为()11124y y x x y y -=-+，故()12124y y y y y x +-=．∴()()12124324y y y y y x +-++=．即()12(4)4(8)y y y x +-=-，∴直线AB 过定点()8,4P ．点M 到直线AB距离的最大值为||MP ==解法二：同解法一得()()12124324y y y y y x +-++=．令12y y t +=，则直线AB 的方程为44320x ty t -+-=．点M 到直线AB的距离d ==令2t s -=，则有d =，当10s =-时等号成立，即点M 到直线AB距离的最大值为解法三：设直线AB 的方程为x ky b =+，211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由24x ky by x=+⎧⎨=⎩，得2440y ky b --=．∴()2160k b ∆=+>，124y y k +=，124y y b =-．∴0MA MB ⋅= ，即2212124,44,4044y y y y ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()22212121212122432016y y y y y y y y y y ⎡⎤-+-++++=⎣⎦．①把121244y y ky y b+=⎧⎨=-⎩代入（1）式整理得22123616164b b k k -+=-+．即22(6)(42)b k -=-，∴48b k =-+或44b k =+．当44b k =+时，直线AB 的方程为(4)4x k y =++，恒过点(4,4)-M ，不符合题意；当48b k =-+时，直线AB 的方程为(4)8x k y =-+，恒过点()8,4P ，符合题意．∴点M 到直线AB的距离的最大值是||MP =故答案为：3．C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．4．C【分析】法一：根据椭圆定义得到1226MF MF a +==，结合基本不等式进行求解；法二：设出()00,M x y ，使用焦半径结合033x -≤≤进行求解.【详解】法一：由题意，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．法二：设()00,M x y ，033x -≤≤，由焦半径公式可得：1002003,3MF a ex MF a ex =+=+=-=-，故21200053399MF MF x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为033x -≤≤，所以2009x ≤≤，当200x =，即00x =时，12MF MF ⋅取得最大值，最大值为9.故选：C ．5．(1)24y x =(2)13【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，代入抛物线方程，进而可得20025910y x +=，可得点Q 的轨迹，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥=，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.6．(1)2p =(2)()max = PAB S 【分析】(1)方法一利用两点间距离公式求得FN 关于圆M 上的点()00,N x y 的坐标的表达式，进一步转化为关于0y 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得p 的值；方法二，利用圆的性质，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；(2)方法一设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线AB 的坐标满足方程00220x x y y --=，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，利用弦长公式求得AB 的长，进而得到面积关于()00,P x y 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于0y 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到1202x x x +=，1204x x y =，过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y ．由121||2PAB S PQ x x =⋅- 求得面积关于()00,P x y 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线:AB l y kx b =+，联立直线AB 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．利用点P 在圆M 上，求得,k b 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P 的坐标(2,)P k b -，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于b 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值；【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值由题意知，0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设圆M 上的点()00,N x y ，则()22041++=x y ．所以()()22001453=-+-≤≤-x y y ．从而有||=FN =因为053y -≤≤-，所以当03y =-时，min ||4==FN ．又0p >，解之得2p =，因此2p =．[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =；（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得=2xy '，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ==，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅=-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB的面积取最大值321202⨯=[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值同方法一得到1201202,4+==x x x x x y ．过P 作y 轴的平行线交AB 于Q ，则2000,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x Q x y．()32221200001111||242222⎛⎫=⋅-=-=- ⎪⎝⎭PABS PQ x x x y x y ．P 点在圆M 上，则00cos ,4sin ,x y αα=⎧⎨=-+⎩()()333222222001114cos 4sin 16(sin 2)21222ααα⎡⎤=-=-+=-++⎣⎦ PABS x y ．故当sin 1α=-时PAB 的面积最大，最大值为[方法三]：直接设直线AB 方程法设切点A ，B 的坐标分别为211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设:AB l y kx b =+，联立AB l 和抛物线C 的方程得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩整理得2440x kx b --=．判别式2Δ16160=+>k b ，即20k b +>，且12124,4x x k x x b +==-．抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，有2x y '=．则()2111:42-=-PA x x l y x x ，整理得21124x x y x =⋅-，同理可得222:24=⋅-PB x x l y x ．联立方程211222,24,24x x y x x xy x ⎧=⋅-⎪⎪⎨⎪=⋅-⎪⎩可得点P 的坐标为1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(2,)P k b -．将点P 的坐标代入圆M 的方程，得22(2)(4)1+-+=k b ，整理得221(4)4b k --=．由弦长公式得12||=-=AB x=点P 到直线AB的距离为d =所以21||222==+== PABS AB d k b=其中[5,3]=-∈--P y b ，即[3,5]∈b ．当5b =时，()max = PAB S 7．(1)1(,0)32(2)max p 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标公式求解即可；（2）设直线:l x y m λ=+，与椭圆联立，结合韦达定理得到中点M 的坐标，代入抛物线，再将直线与抛物线联立，结合韦达定理用参数表示点A 坐标，再将椭圆与抛物线联立得到点A 坐标，结合均值不等式，分析即得解.【详解】（1）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（2）由题意，直线l 的斜率不为0，设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y l x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++，由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒=-+222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-++⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤所以，p，此时A .8．(1)24y x=(2)(,7[7(1,)-∞---++∞ ．【分析】（1）根据2MF =，求p ，再求抛物线方程；（2）方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围；方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2yl x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅.又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭，()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得7n ≤--71n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+<或1n >.[方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-．因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+，12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=++++=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-．同理3112Q m y k +=-．由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-．因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故22121314112k m m k ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得7m ≤--71m -+≤<或1m>．故直线l 在x轴上的截距的范围为(,7[7)(1,)-∞---++∞ ．[方法三]最优解设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-．所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--．设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-，则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）．所以(,14[14)m ∈-∞-++∞ ，且2m ≠-，因此直线l 在x轴上的截距为(,7[7(1,)2m-∈-∞---++∞ ．9．(1)2p =，=1x -(2)最小值为1(2,0)．【分析】（1）根据焦点坐标求解p ，再根据准线方程公式求解即可；（2）直线AB 的方程为(1)y k x =-，与抛物线联立，得到关于y 的韦达定理，用坐标表示12S S ，求得取得最小值时t 的值，再由()()22212312311312G x x x x y y y =++=++，结合韦达定理，求解即可.【详解】（1）由题意得12p=，即2p =，∴抛物线的准线方程为=1x -．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,,C x y 不妨设12y y >，又Q 在点F 的右侧，故1230y y y >>>，又直线AB 的方程为(1)y k x =-．联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，得2440y y k --=，∴124y y =-．1112AGB AGB AF y S S S AB y y ==-△△，3231AGC AGC CQ y S S S CA y y -==-+△△，由G 为ABC 的重心，有AGB AGC S S =△△，且1230y y y ++=．故2424211311121111122422421231212121121224242416S y y y y y y y y y y y S y y y y y y y y y y y y y -++---=⋅=⋅===---+---．令12S n S =，21y t =，则222416t t n t -=-，即2(2)4160n t t n --+=．①当2n =时，122S S =，此时8t =；②当2n ≠时，二次方程至少有一个正根，故0∆≥，解得22n ≥，若方程有两个非正根，此时12124021602x x n n x x n ⎧+=≤⎪⎪-⎨⎪=≥⎪-⎩，不等式组无解，故22n +≥，即12min1S S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8t =+．()()()222222123123121211131212G x x x x y y y y y y y ⎡⎤=++=++=+++⎣⎦()22121216y y y y =++．而218y t ==+2221168y y ==-，故G 点坐标为(2,0)．10．（I ）（-1，1）；（II ）2716.【详解】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+．因为|PA12x +1)k +，|PQ|=2)Q x x -=-，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以f (k )在区间1(1,2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716．【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．。
构造函数法在高考压轴题中的应用
构造函数法在高考压轴题中的应用【摘要】构造函数法在高考中扮演着重要的角色，它能帮助解决复杂的数学、物理、化学、生物和地理试题。
在数学试题中，构造函数法可以简化解题过程，提高解题效率；在物理试题中，它能够帮助分析问题并得出准确的结论；在化学、生物、地理试题中，构造函数法也能提供直观的方法来解决难题。
通过运用构造函数法，考生在高考备考中可以更好地理解和掌握知识点，提高解题能力。
构造函数法不仅在解题过程中起着关键作用，还对考生的解题思维有着积极的影响，使他们更加灵活和深入地思考问题。
在备考高考的过程中，建议考生多加练习构造函数法，并结合实际题目灵活运用，以提高解题水平和应对考试挑战。
【关键词】构造函数法、高考、试题、数学、物理、化学、生物、地理、重要性、解题思维、备考、应用建议1. 引言1.1 构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数是数学中的一个重要概念，它在高考压轴题中的应用也是十分广泛的。
构造函数法是一种解题方法，通过构造一个特定的函数来解决问题，能够很好地帮助考生提高解题效率和准确度。
在数学试题中，构造函数法常常用于解决复杂的方程和不等式问题。
通过构造一个函数，考生可以简化问题，找到问题的规律，从而更快地得出答案。
在函数题中，我们可以构造一个满足条件的函数来证明某个等式成立或不成立。
除了数学试题外，在物理、化学、生物和地理等科目的高考试题中，构造函数法也有着广泛的应用。
在物理试题中，我们可以通过构造相应的物理模型函数来解决复杂的动力学或能量问题；在化学试题中，构造函数可以帮助我们推导出化学方程式或计算反应活性；在生物和地理试题中，构造函数可以帮助我们理清生态系统或地理环境中的关系。
构造函数法在高考中的应用是至关重要的。
它不仅可以帮助考生更好地理解和解决问题，还可以培养考生的逻辑思维能力和创造力。
我们建议考生在备考过程中多加练习构造函数法的应用，以提高解题水平和应对高考压力。
2. 正文2.1 高考数学试题中的构造函数法在高考数学试题中，构造函数法是一种常见且重要的解题方法。
构造函数法在高考压轴题中的应用
构造函数法在高考压轴题中的应用【摘要】构造函数法是一种常用的数学工具，在高考各科试题中都有重要应用价值。
在数学试题中，通过构造函数法可以简化问题求解的过程，提高解题效率。
在物理试题中，构造函数法可以帮助考生更清晰地理解物理现象，准确解答问题。
在化学、生物、信息技术等科目中，构造函数法同样具有重要意义，能够帮助考生更好地应对考试压轴题。
掌握构造函数法是提高高考考试成绩的关键之一，考生可以通过多练习、深入理解相关知识来提高对构造函数法的运用水平。
对构造函数法的灵活运用可以帮助考生更好地备战高考，取得优异成绩。
【关键词】构造函数法、高考、压轴题、应用、数学、物理、化学、生物、信息技术、考生、灵活运用、高考考试成绩、关键、价值、掌握1. 引言1.1 构造函数法在高考压轴题中的应用构造函数法是一种在高考数学、物理、化学、生物、信息技术等科目中经常出现的重要方法。
在高考压轴题中，构造函数法常常被用来解决复杂的问题，展现考生的逻辑思维能力和解题技巧。
通过构造函数法，考生可以将问题简化、分解，找到问题的关键点，从而更快更准确地解决问题，提高解题的效率和准确性。
构造函数法在高考各科试题中都具有重要应用价值。
掌握构造函数法可以帮助考生更好地应对高考压轴题，提高解题的效率和准确性，从而取得更好的成绩。
掌握构造函数法是提高高考考试成绩的关键之一，考生应该加强对构造函数法的学习和实践，更好地应对高考挑战。
2. 正文2.1 构造函数法在高考数学试题中的应用构造函数法是一种在高考数学试题中经常应用的数学方法。
它通过构造一个特定的函数来简化问题的解决过程，从而帮助考生更快地理解题目，并高效解答问题。
在高考数学试题中，构造函数法常常用于解决函数的性质、极值、最值等相关问题。
比如在求解函数的最值时，可以通过构造一个特定的函数来简化计算步骤，快速得出结果。
在证明题中，构造函数法也可以用来引入新的变量或条件，从而帮助考生构建证明的逻辑链条。
掌握这7种函数构造方法，巧解高考导数难题
掌握这7种函数构造方法，巧解高考导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题2
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
新高考下的构造函数解题方法
新高考下的构造函数解题方法周思源㊀魏俊潮(扬州大学数学科学学院ꎬ江苏扬州２２５００２)摘㊀要:构造函数的方法是数学中重要的思想方法之一.文章针对构造函数解题的五种常见题型进行研究ꎬ总结利用构造函数解题的技巧ꎬ引导学生思考如何在解题中建立构造函数意识.关键词:高考数学ꎻ构造函数ꎻ解题方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００３７－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:周思源(２０００.５－)ꎬ女ꎬ江苏省靖江人ꎬ硕士研究生ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀高考题中常见的运用构造函数法的题型有比较大小㊁实根个数㊁取值范围㊁极值最值与单调性问题.本文结合近几年的高考题和各地模拟题ꎬ对构造函数这一解题方法的五类常见题型和解题策略进行研究.１构造函数与大小关系例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１２ｘ２＋ａｘ.若对于任意ｘ２>ｘ１>０ꎬ存在正实数ｘ０ꎬ使得ｆᶄ(ｘ０)＝ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１ꎬ试判断２ｘ０与ｘ１＋ｘ２的大小关系ꎬ并给出证明.解析㊀由题知ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－ｘ＋ａꎬ所以ｆᶄ(ｘ０)－ｆᶄ(ｘ２＋ｘ１２)＝ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１－ｆᶄ(ｘ２＋ｘ１２)＝ｅｘ２－ｅｘ１ｘ２－ｘ１－ｅｘ２＋ｘ１２＝ｅ(ｘ２＋ｘ１)/２ｘ２－ｘ１(ｅｘ２－ｘ１２－ｅｘ１－ｘ２２－ｘ２＋ｘ１)ꎬ设ｇ(ｘ)＝ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘꎬｘ>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｅ－ｘ－２ȡ０.所以ｇ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)单调递增ꎬ则ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０.即ｅｘ２－ｘ１２－ｅｘ１－ｘ２２－ｘ２＋ｘ１＝ｇ(ｘ２－ｘ１２)>０.则ｆᶄ(ｘ０)>ｆᶄ(ｘ２＋ｘ１２).由题可知函数ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)单调递增ꎬ则ｘ０>ｘ２＋ｘ１２ꎬ即２ｘ０>ｘ１＋ｘ２.２构造函数与实根个数例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ＋ｂｃｏｓｘ＋１２ｘ２(其中ａꎬｂ为实数)的图象在点(０ꎬｆ(０))的切线方程为ｙ＝ｘ.㊀(１)求实数ａꎬｂ的值.(２)证明:方程ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ有且只有一个实根.解析㊀(１)ａ＝１ꎬｂ＝－１.(２)由(１)可得ꎬｆ(ｘ)＝ｅｘ－ｃｏｓｘ＋１２ｘ２.７３令函数ｇ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝１ｘ＋ｃｏｓｘ.当ｘɪ[πꎬ＋ɕ)时ꎬｌｎｘ>１ꎬｓｉｎｘȡ－１ꎬ所以ｇ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ>０.当ｘɪ[１ꎬπ)时ꎬｌｎｘȡ０ꎬｓｉｎｘ>０ꎬ所以ｇ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ>０.当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬ１ｘ>０ꎬｃｏｓｘ>０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)＝１ｘ＋ｃｏｓｘ>０.则ｇ(ｘ)在０ꎬ１()单调递增.又ｇ(１)＝ｓｉｎ１>０ꎬｇ(１ｅ)＝－１＋ｓｉｎ１ｅ<０且函数ｇ(ｘ)连续不间断ꎬ所以∃ｘ０ɪ(０ꎬ１)ꎬ有ｇ(ｘ０)＝ｌｎｘ０＋ｓｉｎｘ０＝０.综上所述ꎬ函数ｇ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)有唯一的零点ｘ０ɪ(０ꎬ１)ꎬ且ｇ(ｘ)在(０ꎬｘ０)上恒小于零ꎬ在(ｘ０ꎬ＋ɕ)上恒大于零[１].令函数φ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｌｎｘ＋ｓｉｎｘꎬ讨论如下:①当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬφ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ＝ｅｘ－ｃｏｓｘ＋１２ｘ２＋ｌｎｘ＋ｓｉｎｘꎬ则φᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋(ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ)＋(ｘ＋１ｘ).因为ｅｘ>０ꎬｘ＋１ｘȡ２ꎬｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘȡ－２ꎬ所以φᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋(ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ)＋(ｘ＋１ｘ)>０.则函数φ(ｘ)在(０ꎬｘ０)单调递增.又φ(ｘ０)＝ｅｘ０－ｃｏｓｘ０＋１２ｘ２０＋ｌｎｘ０＋ｓｉｎｘ０＝(ｅｘ０－ｃｏｓｘ０)＋１２ｘ２０>０ꎬφ(ｅ－３)＝ｅｅ－３－ｃｏｓｅ－３＋１２ｅ－６－３＋ｓｉｎｅ－３＝(ｅｅ－３＋１２ｅ－６＋ｓｉｎｅ－３－３)－ｃｏｓｅ－３<０ꎬ所以函数φ(ｘ)在(０ꎬｘ０)存在唯一的零点.则方程ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ在(０ꎬｘ０)上有唯一的零点.②当ｘɪ(ｘ０ꎬ＋ɕ)时ꎬφ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ＝ｅｘ－ｃｏｓｘ＋１２ｘ２－ｌｎｘ－ｓｉｎｘ.令ｍ(ｘ)＝ｘ－ｌｎｘ－１ꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝１－１ｘ.当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｍᶄ(ｘ)<０ꎬ所以ｍ(ｘ)在０ꎬ１()单调递减ꎬ当ｘɪ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬｍᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｍ(ｘ)在(１ꎬ＋ɕ)单调递增.则ｍ(ｘ)ȡｍ(１)＝１－ｌｎ１－１＝０.所以ｘ－ｌｎｘ－１ȡ０.令ｈ(ｘ)＝ｅｘ－ｃｏｓｘ＋１２ｘ２－ｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｓｉｎｘ＋ｘ－１.因为ｈᵡ(ｘ)＝ｅｘ＋(ｃｏｓｘ＋１)>０ꎬ所以ｈᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)单调递增ꎬ则ｈᶄ(ｘ)>ｈᶄ(０)＝０.即ｈ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)单调递增.所以ｈ(ｘ)>ｈ(０)＝０.即ｅｘ－ｃｏｓｘ＋１２ｘ２>ｘ在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.从而φ(ｘ)＝ｅｘ－ｃｏｓｘ＋１２ｘ２－ｌｎｘ－ｓｉｎｘ>ｘ－ｌｎｘ－ｓｉｎｘȡｘ－ｌｎｘ－１ȡ０.即φ(ｘ)>０.所以方程ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ在(ｘ０ꎬ＋ɕ)上无零点.综上所述ꎬ方程ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｓｉｎｘ有且只有一个实根.３构造函数与取值范围例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－４ｘ＋ａｌｎｘꎬａɪＲꎬ函数ｆ(ｘ)的导函数为ｆᶄ(ｘ).若ｆᶄ(ｘ)有两个零点ｘ１ꎬｘ２ｘ１<ｘ２()ꎬ且不等式ｆ(ｘ１)ȡｍｘ２恒成立ꎬ求实数ｍ８３的取值范围.解析㊀由题知ｆᶄ(ｘ)＝２ｘ－４＋ａｘꎬｆᶄ(ｘ)有两个零点ｘ１ꎬｘ２ｘ１<ｘ２()ꎬ则ｆᶄ(ｘ１)＝２ｘ１－４＋ａｘ１＝０.所以ａ＝４ｘ１－２ｘ２１.由题可得ꎬｆᶄ(ｘ)有两个零点ｘ１ꎬｘ２ｘ１<ｘ２()ꎬ则０<ａ<２ꎬ且ｘ１＋ｘ２＝２.因为ｘ１<ｘ２ꎬ所以０<ｘ１<１ꎬ１<ｘ２<２.由不等式ｆ(ｘ１)ȡｍｘ２恒成立ꎬ得ｍɤｆ(ｘ１)ｘ２.只需ｍɤｆ(ｘ１)ｘ２[]ｍｉｎ.因为ｆ(ｘ１)ｘ２＝ｘ２１－４ｘ１＋ａｌｎｘ１２－ｘ１＝ｘ２１－４ｘ１＋(４ｘ１－２ｘ２１)ｌｎｘ１２－ｘ１＝ｘ２１－４ｘ１＋４－４＋(４ｘ１－２ｘ２１)ｌｎｘ１２－ｘ１＝－２ｘ１＋４２－ｘ１＋ｘ２１－２ｘ１２－ｘ１＋－４２－ｘ１＋(４ｘ１－２ｘ２１)ｌｎｘ１２－ｘ１＝２－ｘ１＋４ｘ１－２＋２ｘ１ｌｎｘ１.设ｈ(ｘ)＝２－ｘ１＋４ｘ１－２＋２ｘ１ｌｎｘ１(０<ｘ<１)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ｘ(ｘ－４)(ｘ－２)２＋２ｌｎｘ.因为０<ｘ<１ꎬ所以ｈᶄ(ｘ)<０ꎬ即ｈ(ｘ)在０ꎬ１()单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)>ｈ(１)＝－３ꎬ故ｍɤ－３.４构造函数与极值最值例４㊀已知ａ为正整数ꎬ若对任意ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ不等式ａｌｎｘɤｘ＋１成立ꎬ则ａ的最大值为.解析㊀由题意可知ꎬａｌｎｘ－ｘ－１ɤ０对∀ｘɪ(０ꎬ＋ɕ)恒成立.令ｆ(ｘ)＝ａｌｎｘ－ｘ－１ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ａｘ－１.由题意可知ꎬａ为正整数ꎬ所以ａ>０.令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ则ｘ＝ａ.当ｘɪ(０ꎬａ)时ꎬａｘ>１ꎬｆᶄ(ｘ)＝ａｘ－１>０ꎻ当ｘɪ(ａꎬ＋ɕ)时ꎬａｘ<１ꎬｆᶄ(ｘ)＝ａｘ－１<０.则ｆ(ｘ)在(０ꎬａ)单调递增ꎬ(ａꎬ＋ɕ)单调递减.所以需要满足ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ａ)＝ａｌｎａ－ａ－１ɤ０.令ａ＝２ꎬｆ(２)＝２ｌｎ２－３ɤ０ꎬ符合题意ꎻ令ａ＝３ꎬｆ(３)＝３ｌｎ３－４ɤ０ꎬ符合题意ꎻ令ａ＝４ꎬｆ(４)＝４ｌｎ４－５>０ꎬ不符合题意.所以ａｍａｘ＝３.５构造函数与单调性例５㊀设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ＋ａｓｉｎｘ－ａｘ２－(１＋ａ)ｘ.当ａɤ０时ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性.解析㊀由题知ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ａｃｏｓｘ－２ａｘ－(１＋ａ)＝ｅｘ－１＋ａ(ｃｏｓｘ－２ｘ－１)ꎬ令ｇ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－２ｘ－１ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝－ｓｉｎｘ－２<０.所以ｇ(ｘ)在Ｒ上单调递减ꎬ注意到ｇ(０)＝０ꎬ当ｘȡ０时ꎬｇ(ｘ)ɤ０ꎬ此时ｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎬｆ(ｘ)单调递增ꎻ当ｘ<０时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬ此时ｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)单调递减.所以ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)单调递减ꎬ(０ꎬ＋ɕ)单调递增[２].构造函数是高考函数相关题型中的常用解题方法ꎬ本文列举了五种利用构造函数求解的函数题ꎬ针对比较大小㊁实根个数㊁取值范围㊁极值最值㊁单调性问题进行了一些研究ꎬ总结了一些利用构造函数解题的技巧ꎬ希望能为解决新高考函数问题提供一些帮助.参考文献:[１]肖志军.构造相关函数破解一类抽象函数不等式问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(０７):２０－２３.[２]李俊.例谈构造函数解一类导数题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１０):６５－６７.[责任编辑:李㊀璟]９３。
高考数学终极解题策略-构造函数
高考数学终极解题策略-构造函数所以，()()f 00f 10⎧⎪⎨⎪⎩＞＜，即m n 023m n 0+⎧⎨++⎩＞＜，∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）∴要使函数y=log a （x+4）（a ＞1）的图象上存在区域D 上的点，则必须满足1＞log a （-1+4） ∴log a 3＜1，解得a ＜3又∵a ＞1，∴1＜a ＜3，故选B ．考点：利用导数研究函数的极值，二元一次不等式（组）与平面区域。
点评：中档题，本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布，体现应用数学知识的灵活性。
7．A 【解析】试题分析：当1[0,]2x ∈时，10f(x)6≤≤；当1(,1]2x ∈时，32f(x)1x x =+， 32'246()(1)x x f x x +=+0>，故函数在1(,1]2x ∈是单调递增，所以1f(x)16<≤，综上所述：[0,1],0f(x)1x ∈≤≤；又[0,1]x ∈时，322a (x)22g a -≤≤-，则要使存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则值域交集非空，则3202a -≥且221a -≤，所以a ∈14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的值域；3、集合的运算.8．B ．【解析】设)3,(a a P ，)3,(b b Q -，则222)()(PQ c d b a =-+-，)3,(a a P 的轨迹为直线3x y =，)3,(b b Q -的轨迹为双曲线xy 3-=，双曲线上一点)3,(00x x -到直线03=-y x 的距离为106103300≥⨯+=x x d ，22)()(c d b a -+-的最小值为518 【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力． 9．D 【解析】 试题分析：根据1212()()2f x f x x x ->-可知函数的导数大于或等于2，所以()()'20,0af x x x a x=+≥>>，分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -最大值为1，故1a ≥. 考点：函数导数与不等式，恒成立问题．10．D 【解析】试题分析：()()()221220x f x f ex f -''=+-，所以()()()11220f f f ''=+-，()01f =，()222x f x e x x =+-，设()()2xF x e g x =，()()()()()22222xx x F x g x eg x e e g x g x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，由于()()20,20xe g x g x '>+<，()0F x '<恒成立，所以()F x 单调递减，所以()()20152017F F >，()42f e =，故有()()220152201720152017e g e g ⨯⨯>，即()()420152017g e g >，因此(2015)(2)(2017)g f g >⋅,故选D.考点：导数的运算及利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答本题首先对()f x 求导，求出()0f ，进而得到函数()f x 的解析式，对于0)(2)('<+x g x g 的应用，应考虑构造函数()()2xF x e g x =，求导即可得到其单调性，从而有()()20152017F F >，整理即可得到结论，考查考生的发散思维能力和创新能力. 11．21>-<a a 或 【解析】试题分析：)2(363)(2'+++=a ax x x f ，因为[]1)2(33)(23++++=x a ax x x f 有极大值又有极小值，所以0)('=x f 有两个不相等的实根，所以21,0)2(36362>-<∴>+-=∆a a a a 或.考点：利用导数研究函数的极值.12．4填4. 【点睛】对于()()1212,,x A x B f x g x ∀∈∃∈=，转化为()f x 的值域()g x ⊆的值域。
高考数学：求最值之构造函数法
高考数学：求最值之构造函数法
分析：切线问题，考察的是导数的几何意义。
这类问题通常运用方程思想、列方程组来解决问题。
列方程的依据如下：
•切线的斜率等于切点处的导数值；
•切点坐标满足切线方程；
•切点坐标满足曲线f(x)的方程。
两个方程解三个未知数，显然是不现实的。
但是，我们能够利用两个方程研究三个未知量之间的关系。
比如，我们选择其中一个量作为常数，其余两个未知量都用这个量来表示。
从所求的式子a+b来看，我们可以把a+b用a表示，或者用b表示，或者用x0表示。
从函数思想的角度来看，即我们把a+b看作关于a的函数，或者关于b的函数，或者关于x0的函数，然后求这个函数的最小值。
选择哪个量作为自变量，要考虑相互表示的难易程度，从本题的实际来看，用x0做自变量比较合适。