第3章 线性系统的运动分析-20101201
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线性系统理论3线性系统的运动分析
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伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。
第三章线性系统状态方程的解
第三章 线性系统的运动分析§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x =２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中Ate 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=kk t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，则+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=kk t b t b t b b A故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K且有0)0(b x =。
故+++++=kk t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21 )0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义：∑∞==+++++=022!1!1!21K k k k k Att A k t A k t A At I e则)0()(x e t x At ⋅=。
（２）拉氏变换解法将Ax x= 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ⋅-=-拉氏反变换，有)0(])[()(11x A sI L t x ⋅-=-- 则])[()(11---==A sI L e t At φ【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。
线性系统理论(第三章)线性系统的运动分析
00
eAt x(t) x(0) t eAτ Bu(τ) d τ 0
两边同乘 eAt，并且移项
x(t) eAt x(0) eAt t eAτ Bu(τ) d τ 0
eAt x(0) t eA(tτ) Bu(τ) d τ 0
eAt x(0) t eAτ Bu(t τ) d τ 0
e λ2t
2!
而
0
e
λnt
A PΛP1
因此，状态转移矩阵为
eAt ePΛP-1t I PΛP-1t 1 PΛP-1 2 t 2 2!
PP-1
P
Λt
P -1
P
1 2!
Λ2t
2
P -1
P
I
Λt
1 2!
Λ2t
2
P
-1
P eΛt
P-1
例 线性定常系统的齐次状态方程为 用特征值法，计算其状态转移矩阵
2t et e2t 2t et 2 et 2 e2t
2t et 4 et 4 e2t
3t et 2 et 2 e2t 3t et 5 et 4 e2t 3t et 8 et 8 e2t
t et et e2t
t
et
2
et
2
e
2t
t et 3et 4 e2t
4、非齐次状态方程的解
x b0 b1t b2t 2 b3t3 bkt k
x b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1 A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2
1 2
Ab1
1 2!
A
2b0
而
b0 x(0)
线性系统理论3线性系统的运动分析
3.1.1 问题的提出及其解的存在惟一性
解的存在性和唯一性条件 ： 设系统状态方程
A(t ) x B(t )u, x
或
x (t0 ) x0， t [t 0 , t ]
x (0) x0， t 0
(3.1.1)
Ax Bu, x
(3.1.2)
定量分析：按照给定的初始状态x0和外部输入作用u，求解方程的解 系统的解（运动形态）主要由系统的结构和参数决定。 只有当状态方程的满足初始条件的解存在且唯一时,对系统运动的分析才有意义.
t
t0
[uk (t )]2 dt ,
k 1,2r
(3.1.5)
条件②③可一步合并为要求B(t) .1.2 线性系统响应的特点
A(t ) x B(t )u, x
◆零输入响应和零状态响应
线性系统满足叠加原理 在初始状态和输入向量作用下的运动，可分解为两个单独的分运动。 初始状态 自由运动 输入作用 强迫运动 ●自由运动 系统的自治方程：
(3.2.9)
1 ( t , t 0 ) ( t 0 , t )
3.传递性：对任意t0、t1和t2, 有
(3.2.10)
(t2 , t0 ) ( t2 , t1 ) ( t1 , t0 )
4.导数性质
(3.2.11)
对任意t0和t, d 1 d t , t0 t0 , t t0 , t A t dt dt
性质Ⅱ
对任意
t ，基本解阵 (t ) 都是非奇异的。
定义3.2.2 (系统的状态转移矩阵)
令 ( t ) 是方程
( t ) A( t ) x( t ) 的基本解阵，则矩阵 x
现代控制理论-第3章 线性控制系统的时域分析
L1[(SI
A) 1 ]x(0)
L1
2
S 1 2
S 1
S S
1
2
2 2
1
L1
S11
et et
S 1
1
S 1 1
S 1
S S
1
2
2 2
1 1
x(t) L1[(SI A)1]x(0) L1[(SI A)1 BU(S )]
例.求系统在单位节跃信号输入下的响应
解：
0 1 0
1
x 2 3x 1u , x(0) 1
(SI
A)1
2
S 1 2
S
1
2
2
S 1 S 2
1
S 1 1
S
1
2
2
S 1 S 2
x
Ax
若初态x：(t) t0 x0 , x(t) eAt x0
.非齐次解（强若迫初响态应x：+(t自) t由t0 响x0应, x(）t) eA(tt0 ) x0
1.直接法：已知线性定常系统：
x Ax bu
若初态：
t
x(t) t0 x0 , x(t) e At x0 e A(t )Bu( )d
2
S3
1 S
(S
1)(S 2
线性系统的运动分析
1
1
结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获 得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数 较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍 要借助计算机来计算。
跳转
0 1 [例2.2] 已知系统矩阵 A 2 3 ，试用拉普拉斯变换 ( t ) 法求系统状态转移矩阵 。
Φ(t ) e
At
1 2 2 1 i i I At At At 2! i!
① 证：
Φ(0) I
1 2 1 i Φ(0) I A.0 A .0 A .0 2! i! I
(t ) AΦ(t ) Φ(t )A ② Φ 证： 下式逐项对t求导
1 1 1 2 n T 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1
(t ) e At I (TAT 1 ) t
1 1 (TAT 1 )2t 2 (TAT 1 )it i 2! i! 1 1 I (T A T 1 ) t (T A 2 T 1 ) t 2 (T A i T 1 ) ti 2! i! 1 1 T(I At A2t 2 A it i )T 1 2! i! Te A t T 1 Te
2
3
结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机 求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。
2 3 1 t t 7 2t 3t 2 t 3 3
（2）状态转移矩阵的计算 2.普拉斯变换法
(t ) e
At
L [(sI A) ]
[例2.2]
Φ 1 (t ) Φ(t )
⑤ 证明：
线性系统的运动分析
e At Te AtT1
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
线性系统理论(第三章)
1
(t t0 ) (t0 t )
( t 2 t 0 ) ( t 2 t1 ) ( t1 t 0 )
( t 2 t1 ) ( t 2 ) ( t1 )
( m t ) ( t )
m
⑥ (t
t 0 ) 由 A 唯一地确定。满足唯一性。
④对给定 n n 常阵 A ，先求出预解矩阵，
( sI A )
则有 e
At
1
L ( sI A )
1
1
零状态响应 给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程
x Ax Bu
,
x (0) 0, t 0
u 其中，x 为 n 维状态向量， 为 p 维输入向量，A 和 B 分
线性系统的运动分析
线性系统的时间域理论
第3章 线性系统的运动分析
状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。 进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。 分析分为定量分析和定性分析。 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确 定系统由外部激励作用所引起的响应。
001
线性系统的运动分析
t t0
a ij ( t ) d t
0
, i , j 1, 2 , , n
, t
② B ( t )的各元 b ik ( t ) 在 t 即： ③
上是平方可积的，
b
t0
t
ik
( t ) d t , i 1, 2, , n , k 1, 2, , p
状态转移，则可用状态转移矩阵来表征。
定义 ：对于给定的线性定常系统
x A x B u , x (0 ) x 0 , t t 0
(t t0 ) (t0 t )
( t 2 t 0 ) ( t 2 t1 ) ( t1 t 0 )
( t 2 t1 ) ( t 2 ) ( t1 )
( m t ) ( t )
m
⑥ (t
t 0 ) 由 A 唯一地确定。满足唯一性。
④对给定 n n 常阵 A ，先求出预解矩阵，
( sI A )
则有 e
At
1
L ( sI A )
1
1
零状态响应 给定初始状态为零的线性定常系统的强迫方程
x Ax Bu
,
x (0) 0, t 0
u 其中，x 为 n 维状态向量， 为 p 维输入向量，A 和 B 分
线性系统的运动分析
线性系统的时间域理论
第3章 线性系统的运动分析
状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。 进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律和基本特性。 分析分为定量分析和定性分析。 定量分析：对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确 定系统由外部激励作用所引起的响应。
001
线性系统的运动分析
t t0
a ij ( t ) d t
0
, i , j 1, 2 , , n
, t
② B ( t )的各元 b ik ( t ) 在 t 即： ③
上是平方可积的，
b
t0
t
ik
( t ) d t , i 1, 2, , n , k 1, 2, , p
状态转移，则可用状态转移矩阵来表征。
定义 ：对于给定的线性定常系统
x A x B u , x (0 ) x 0 , t t 0
线性系统理论第三章
为约旦标准型
J1 0
A
P 1AP
0
J2
0 A PAP 1
0
0
0
J
n
i 1
Ji
0
i
0
0
0
1
i nini
, eJit
如何计算矩阵指数函数 eAt ？
§3.2 矩阵指数函数的计算
Linear system theory
1. 拉普拉斯变换方法：
eAt I
At
1
A2t 2
2!
两边取拉普拉斯变换，有
1 Ak t k
k0 k !
L
e At
L
I
At
1 2!
A2t
2
1 s
I
1 s2
A
1 s3
A2
另外一方面，有
exp[(M 1AM )t] M 1eAt M = exp[(M 1AM )t]
(M 1AM )k t k
M 1 Ak M t k
M 1(
Ak t k )M = M 1eAt M
k 0
k ! k0
k!
k0 k !
§3.1 状态方程的解
Linear system theory
3. 强迫运动： 当 u(t) 0，给定
t2 )
A2
(
t12 2!
t1t2
t22 ) 2!
A3 (t13 3!
t12t2 2!
t1t22 2!
t23 ) 3!
Ak ( t1k
t1k 1t2
t1k
t2 2 2
k ! (k 1)! (k 2)!
t12t2k2 t1t2k2 t2k ) = e A(t1t2 ) 2!(k 2)! (k 1)! k !
第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
建立起系统的状态空间描述之后，可以利用这些描述来 分析系统的运动行为，其分析方法主要包括定量分析和定性分 析两种。 在定量分析中，主要分析系统对给定输入的精确响应及其 性质，其数学上的体现为状态方程解析形式的解。
在定性分析中，则着重对决定系统行为和综合系统结构具 有重要意义的几个关键性质，如可控性、可观测性和稳定性等， 进行定性研究。
第3章线性系统的运动分析42第3章线性系统的运动分析43线性时变系统状态转移矩阵状态转移矩阵计算状态转移矩阵定义34线性时变系统的运动分析线性时变系统的运动规律第3章线性系统的运动分析44ccbbddaa当at给定后状态转移矩阵是唯一的是可交换的则线性系统运动分析状态转移矩阵性质
第3章 线性系统的运动分析
s 0 0 1 s 1 解：系统的特征矩阵为: sI A 0 s 2 3 2 s 3
s 3 1 adj (s A) 1 (s A) 2 s s A (s 1)(s 2)
1. 零输入响应
零输入响应：指系统输入u为零时，由初始状态 x0单独作用所引起的运动。即状态方程
A(t ) x, x x(t0 ) x0 , t t0 , t
的解，用 x0u (t ) 表示。
4
第3章 线性系统的运动分析
2. 零初态响应
零初态响应：指系统初始状态 x0为零时，由系统 输入u单独作用所引起的运动。即状态方程
14
第3章 线性系统的运动分析
例： 求下列系统状态方程的解
1 0 1 x1 x , x 2 0 0 x2 x1 (0) x(0) x2 (0)
第三章 线性系统的运动分析-wyz
u
响应 零输入响应 x x u0 x A(t ) x B(t )u x A(t ) x B(t )u 0u x0 x0
u
零状态响应 x x A(t ) x B(t )u 0 x x0 0
第3章 线性系统的运动分析
3.1 引言 3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析 3.3 连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵 3.4 线性时不变系统的脉冲响应矩阵 3.5 连续时间线性时变系统的运动分析
(t0 ) 0
A(t ) x B (t )u x (t , t0 )[ x0 (t )] (t , t0 ) (t ) A(t ) (t , t )[ x (t )] (t , t ) (t )
0 0 0
A(t ) x(t ) (t , t0 ) (t ) (t , t0 ) (t ) B(t )u, or (t ) ( t 0 , t ) B ( t ) u
t0
t
注：（1）零输入响应和零初态响应分别为：
x0u (t ) (t , t0 ) x0 , x0 x (t ) (t , )B( )u( )d
t0 t
（2）线性系统（时变与时不变）运动状态表达 “统一性”
x(t ) (t t0 ) x0 (t )B( )u ( )d
u
u
零状态响应 x x A(t ) x B(t )u 0 x x0 0
u
响应 零输入响应 x x u0 x A(t ) x B(t )u x A(t ) x B(t )u 0u x0 x0
u
零状态响应 x x A(t ) x B(t )u 0 x x0 0
线性系统理论第三章
3. Ai为约当阵
i 0 Ai J 0 0
1
0 1 0 0 t 1 1 2 t 2! t
i
0 0
0 0 1 i 1 ( m 1) t (m 1)! 1 ( m 2) t (m 2)! t 1
e
A ( t t0 )
x(t ) e
A(t t0 )
x(t0 )
二、 预解矩阵法
x Ax
x(t ) |t 0 x0
可以证明：无论A阵是否奇异， (sI-A)-1总是存在的，是非奇异的。
sX ( s ) x (0) AX ( s ) ( sI A) X ( s ) x (0) X ( s ) ( sI A) 1 x (0) x (t ) L1[( sI A) 1 ] x (0)
e
A( t s )
e
At
e
As
三、几个特殊的矩阵指数函数★ 1. A为对角型
1 0 A 0 0 0 e1t 0 , e At (t ) 0 n 0
t
0 e2t 0
2
0
0 0 n t e
[ (t ) ] (kt )
k
6. 微分性和交换性★
(t ) A (t ) (t ) A
相乘次序是可以交换的。 7. 如A、B可交换，即AB=BA，则
e( A+ B )t e At e Bt e Bt e At
8. 如A为 n×n 维方阵，t 和 s 为两个独立的自变量
自由运动的解仅是初始状态的转移， 状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息， 它唯一决定了系统中各状态变量的自由运动
武汉大学自动化专业 《现代控制理论》第三章运动分析
2
推论:
1)零输入响应的几何表征：X (t )即为状态空间中由初态X0出发和 由各个时刻变换点构成的一条轨迹. 2)零输入响应的运动属性：X (t )属于由偏离系统平衡状态的初态 X 0 引起的自由运动. 3)零输入响应的形态：即自由运动轨迹的形态,仅由矩阵指数e At 唯一确定，表明e At=Φ(t)即系统矩阵A包含了自由运动形态的全部 信息. lime At = 0 4)零输入响应趋向平衡状态X=0的属性：当且仅当 t →∞ 4) X=0 时,自由运动轨迹最终趋向于平衡状态X e =0，这一属性在控制理论 中，称为渐近稳定,上述条件为线性定常系统渐近稳定的充要条件. 5)零输入响应的计算：计算X (t )的核心是计算矩阵指数e At.. 6)零输入响应表达式的一般形式：当t0≠0时
Φ (t , t 0 ) = A(t )Φ (t , t 0 ),.........Φ (t , t 0 ) = I
Φ (t 2, t 0 ) = Φ (t 2, t1 )Φ (t1, t 0 )
Φ 1 (t , t 0 ) = Φ (t 0, t )
三 线性时变系统非齐次方程的解
X (t ) = Φ (t , t 0 ) X (t 0 ) + ∫ Φ(t ,τ ) B(τ )u (τ ) dτ
6
3)若A为一约当矩阵，
A1 0 A= 0 0
0 A2 0 0
0 ... 0 ... ... ... A j ...
其中，A1，A2Aj 为约当块， 则
Φ (t ) = e At
e A1t 0 = ... 0
0 e A2t ... 0
...
0 0 Φ 1 (t ) 0 Φ 2 (t ) ... 0 = ... ... ... ... A jt 0 ... e 0
推论:
1)零输入响应的几何表征：X (t )即为状态空间中由初态X0出发和 由各个时刻变换点构成的一条轨迹. 2)零输入响应的运动属性：X (t )属于由偏离系统平衡状态的初态 X 0 引起的自由运动. 3)零输入响应的形态：即自由运动轨迹的形态,仅由矩阵指数e At 唯一确定，表明e At=Φ(t)即系统矩阵A包含了自由运动形态的全部 信息. lime At = 0 4)零输入响应趋向平衡状态X=0的属性：当且仅当 t →∞ 4) X=0 时,自由运动轨迹最终趋向于平衡状态X e =0，这一属性在控制理论 中，称为渐近稳定,上述条件为线性定常系统渐近稳定的充要条件. 5)零输入响应的计算：计算X (t )的核心是计算矩阵指数e At.. 6)零输入响应表达式的一般形式：当t0≠0时
Φ (t , t 0 ) = A(t )Φ (t , t 0 ),.........Φ (t , t 0 ) = I
Φ (t 2, t 0 ) = Φ (t 2, t1 )Φ (t1, t 0 )
Φ 1 (t , t 0 ) = Φ (t 0, t )
三 线性时变系统非齐次方程的解
X (t ) = Φ (t , t 0 ) X (t 0 ) + ∫ Φ(t ,τ ) B(τ )u (τ ) dτ
6
3)若A为一约当矩阵，
A1 0 A= 0 0
0 A2 0 0
0 ... 0 ... ... ... A j ...
其中，A1，A2Aj 为约当块， 则
Φ (t ) = e At
e A1t 0 = ... 0
0 e A2t ... 0
...
0 0 Φ 1 (t ) 0 Φ 2 (t ) ... 0 = ... ... ... ... A jt 0 ... e 0
10研—线性系统第三章
3-2
线性定常系统的运动分析
方法4 有限项展开法
e 0 (t )I 1 (t ) A ... n1 (t ) A
At
n1
特征值两两相异
0 (t ) (t ) 1
1 1 ... ... n 1 (t ) 1
x Ax,.......x Tz,.......z T 1 ATz z x e At x0 ,......... .......... z et z0 ...
x Tet z0 TetT 1x0 ,...... 0 T 1x0 z
3-2
例题
线性定常系统的运动分析
X 0 e A(t ) ) BU ( )d ...t t0
t0
t
v t when.. t0 , v t t0 , t , v 0; dv d e A(t ) BU ( )d
t0 t
t t0
0
e Av BU (v t )dv
0 1 0 A 0 0 1 2 5 4 0
I A 0
1
1 ( 1) 2 ( 2) 2 5 4
1, 2 1, 3 2,
e t 1 1 0 0 1 0,....e Jt 0 J 0 0 0 2
对于给定的初始条件x0及分段连续输入u(t)，状态方程的 解x(t)唯一确定。
运动形态主要是由系统 的结构和参数所决定
系统状态响应 = 零输入响应+零状态响应
自由 运动 强迫 运动
特点：响应形态之由 系统矩阵所决定
特点：稳态时具有和 输入相同的函数形态
第三章线性系统的运动分析
Chapter 3 Analysis of Linear System3.1 INTRODUCTION运动分析的数学实质：从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。
以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。
(Solving the time-invariant state equation)3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION系统响应=系统的零输入响应+系统的零状态响应System response=a term consisting of the transition of the initial state +a term arising from the input vector零输入响应：自由运动，由系统矩阵决定，不受外输入影响。
零状态响应：强迫运动，响应稳态时具有和输入相同的函数形态。
01!k k ∞−+=∑0k k b t ∞=+=∑2012Ab Ab t Ab t +=+++b k 0)b +Equating the coefficients of the equal powers of t, we obtain By substituting this assumed solution in to Equation (1)解的说明：1.零输入响应是状态空间中由初始状态经线性变换矩阵所导出的一个变换点。
2.自由运动3.自由运动的轨迹由唯一决定。
4.当自由运动轨迹趋于平衡状态时，则系统是渐近稳定的。
At e0x Ate 0=x若初始时间取为t 0≠0则0)(,)(0t t x e t x t t A ou ≥=−00)(x t x =01!k k ∞−+=∑+232322332323332)()2!3!F F I Ft t t F t A t A Ft AF t F t ++++++0+=0,1,2,))AtAt Ae A e A ++=+=利用性质+λ)neλ)n t0000i i λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦12)l J t J tJ t e e 0i i t t e e e λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦系统状态运动规律的基本表达式设系统的状态空间描述为有表达式⎰⎰≥−+=+=−t A Att t A At t d t Bu e x e d Bu e x e t x 000)(00,)(,)()(ττττττ⎰≥+=−−t t t A t t A t t d Bu e x e t x 000)(0)(,)()(τττ对初始时刻t 0=0 情形有表达式注意：物理意义解的讨论:(1)卷积特征；(2)零初始响应的几何特征；(3)可达性；(4)任意时刻的表达式00≥,=)(),(+=t t x t x t Bu Ax x3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵State-Transition Matrix设连续时间线性时不变系统，状态方程为：as To verify this, note thatWe thus confirm that Equation (2) is the solution of Equation (1))2()0()()(x t t x Φ=where )(Φt is n n ⨯Matrix and is the unique solution of)0()0()0()0(x x x =Φ=Ate t =)(Φ)(=)0()(Φ=)0()(Φ=)(t Ax x t A x t t xI t A t =)0(Φ)(Φ=)(Φ )1(=Ax x and状态转移矩阵的形式为()()()0000,0000t t e t t t t e t t t t A At ≥=−Φ≠≥=Φ=−时，时，基于状态转移矩阵的系统响应表达式()()()()()()()()()⎰⎰−Φ+−Φ=≥−Φ=−Φ=tt t t ox ou d Bu t x t t t x t t d Bu t t x x t t t x 0000000ττττττ。
线性系统理论第三章
其中
1
eJit
t 1
1 t2 2!
e
it
t
1
P Q q1 q2 ql
其中：q1 q2 ql 为对应特征根的广义特 征向量
0 1 0
例
A
0
0
1
6 11 6
三个互异特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3
1 1 1 P 1 2 3
1 4 9
6 5 1
P 1
1 2
6
8
2
2 3 1
1 0 0
A
P1 AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e At PeAt P1 P 0 e2t
0
P
1
0 0 e3t
3et 3e2t e3t
3et 6e2t 3e3t
3et
12e 2t
9e3t
5 et 4e2t 3 e3t
2
2
5 et 8e2t 9 e3t
2:状态转移矩阵 (t-t0) 唯一，与基本解阵的选取无关。
3:状态转移矩阵的形式为
t0 0 时， t e At t 0 t0 0 时， t t0 e Att0 , t t0
基于状态转移矩阵的系统响应表达式
xou t t t0 x0
xox
t
t
t0
t
B
u
d
t t0
xt
t
t0
x0
1
21 12 1n2
1
(n 1)1
1
(n
1
1
1)!
t t
n1e 1t n2 e 1t
(n 2)!
(n
1)(n 2!
第三章线性控制系统的运动分析
b. 设A 具有n个重特征值 λ, 则有
λt e = P 0 teλt eλt t( n-1) λt e ( n -1) ! t( n-2) eλt 1 ( n - 2) ! P teλt λt e
e
At
化为A 4,将 e 化为A的有限多项式来求解 (1)凯利-哈密尔顿(Cayley-Hamilton)定理 凯利-哈密尔顿(Cayley-Hamilton)
(6)Φ (t ) = AΦ (t ) = Φ (t )A
2e t e 2t 已知状态转移矩阵为: 例:已知状态转移矩阵为:Φ (t ) = t 2e + 2e 2t e t e 2t t 2t e + 2e
试求: ( 试求:Φ 1 t)和A
解:根据状态转移矩阵的运算性质: 根据状态转移矩阵的运算性质:
2) 计算特征向量: 计算特征向量:
1 1 1 p1 = 0 , p2 = 2 , p3 = 6 1 4 9
构造变换阵P 3) 构造变换阵P:
1 1 1 P = 0 2 6 1 4 9
则有: 则有:
5 3 2 2 1 P = 3 4 3 3 1 1 2
x1 x1(0) 2et e2t x = Φ(t) x (0) = t 2t 2 2 2e + 2e
et e2t x1(0) t 2t x2 (0) e + 2e
标准型法: 3, 标准型法:
a. 设 A具有n个互异的特征值 λ1, λ2, λn , 则有
eλ1t eAt = P 0 eλ2t 0 P1 eλnt
2,用拉氏反变换求解 对线性定常齐次状态方程式两边取拉普拉斯变换, 对线性定常齐次状态方程式两边取拉普拉斯变换,得
sX ( s ) x (0) = AX ( s ) ( sI A) X ( s ) = x (0)
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1 2 1 b2 Ab1 A b0 2 2! 1 3 1 A b0 b3 Ab2 3! 3
b1 Ab0
b1 2b2t 3b3t 2 ... Ab0 Ab1t Ab2t 2 ...
1 1 k bk Abk 1 A b0 k! k
将其代入： x0u (t ) b0 b1t b2t ...
ta ta ta
1/ 2
上式表明，条件式(2)和(3)可进一步合并为要求 B(t)u(t)的各元在时间区间 [t0 , ta ] 上绝对可积。 对于连续时间线性时不变系统，系统矩阵A和B 为常阵且元为有限值，条件(1)和(2)自然满足，存在 性唯一性条件只归结为条件(3) 。
随后的讨论中，始终假定系统满足上述存在性唯 一性条件，并在这一前提下分析系统状态运动的演 化规律。
2
x0
t0
得： 证毕
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1 2 2 1 3 3 x0u (t ) (I At A t A t ...)b0 2! 3!
eAt
线性系统理论
16
第3章 线性系统的运动分析
1、系统的零输入响应
广东工业大学 自动化学院 自动控制系
线性时不变系统零输入响应的属性的推论 （1）零输入响应的几何表征 X0u (t ) e At X0 随时间t 演化过程，几何上即为状态空间 中由初始状态点 X0 出发和由各个时刻变换点构成的 一条轨迹。
i，j＝0，1，…，n
（2）输入矩阵B(t)的各个元 bij (t ) 在时间区间 [t0 , ta ] 上为平方可积，即有：
ta
t0
[bik (t )]2 dt
i＝1…,n；k＝1，…，p
（3）输入u(t)的各个元 平方可积，即有：
uk (t )
在时间区间 [t0 , ta ] 上为
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线性系统理论
13
第3章 线性系统的运动分析
1、系统的零输入响应
广东工业大学 自动化学院 自动控制系
考察连续时间线性时不变系统，令系统输入 u(t ) 0 ，即无外部输入，导出系统自治状态方程为：
(t ) AX(t ) X
X(t0 ) X0
t0
其中，X为n维状态，A为n×n常阵。
仿照指数函数： 1 at 1 at a t e 2!
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线性系统理论
12
第3章 线性系统的运动分析
二、连续时间线性时不变系统的运动分析
广东工业大学 自动化学院 自动控制系
1、系统的零输入响应 2、矩阵指数函数的性质 3、矩阵指数函数的算法 4、系统的零初态响应 5、系统状态运动规律的基本表达式 6、基于特征结构的状态响应表达式
2015-1-20
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线性系统理论
11
第3章 线性系统的运动分析
3、零输入响应和零初态响应
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定义[零初态响应] 线性系统的零初态响应 x0 x (t ) 定义为只有输入作用即 u(t ) 0 ，而无初始状态作用， 即 x0 0 时系统的状态响应。 注意 数学上，零初态响应 x0 x (t ) 即为零初始状态强迫 t [t0 , ta ] x(t0 ) 0 (t ) Ax(t ) Bu(t ) 状态方程： x 的状态解。 物理上，零初态响应 x0 x (t ) 代表系统状态的由 输入u所激励的强迫运动，特点是响应稳态时具有 和输入相同的函数形态。
其中，称 x0u (t ) 为系统的零输入响应； 称 x0 x (t ) 为系统的零初态响应。 线性系统运动的分解
零输入响应 零初态响应
u
(t ) AX(t ) BU(t ) x X
x0
u0
(t ) AX(t ) BU(t ) X
x0
x0u
u
(t ) AX(t ) BU(t ) X
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线性系统理论
6
第3章 线性系统的运动分析
2、解的存在性和唯一性
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考察连续时间线性系统
(t ) A(t ) x B(t )u x
x(t0 ) x0
t [t0 , ta ]
如果系数矩阵(A(t)，B(t))的所有元在时间定义区间 t [t0 , ta ] 上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元 在时间定义区间上为时间t的连续实函数，那么上述 状态方程的解x(t)为存在且唯一。
2 2 k 0
t0
将其代入自治方程两侧，得
k 0
b1 2b2t 3b3t 2 ... Ab0 Ab1t Ab2t 2 ...
根据等式两侧 t k 项的系数必为相等，得：
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线性系统理论
15
第3章 线性系统的运动分析
1、系统的零输入响应
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结论 [零输入响应] 连续时间线性时不变的零输入 响应 x0u (t ) ，系统自治方程
(t ) AX(t ) X
X(t0 ) X0
t0
的解，具有如下的表达式：
X0u (t ) e At X0
2
t0
证明：对上述系统自治方程，设解
x0u (t ) b0 b1t b2t ... bk t k
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线性系统理论
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第3章 线性系统的运动分析
一、引言
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1、运动分析的数学实质 2、解的存在性和唯一性 3、零输入响应和零初态响应
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线性系统理论
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第3章 线性系统的运动分析
1、运动分析的数学实质
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从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统 状态方程，以解析形式或数值分析形式，建立系统 状态随输入和初始状态的演化规律，特别是状态演 化形态对系统结构和参数的依赖关系。
ta
t0
[uk (t )]2 dt
k＝1，…，p
其中，n为状态x的维数，p为输入u的维数。
线性系统理论
8
第3章 线性系统的运动分析
2、解的存在性和唯一性
广东工业大学 自动化学院 自动控制系
利用许瓦尔兹(Schwarz)不等式，导出：
k 1
p
| bik (t )uk (t ) | dt [bik (t )] 2 dt [u k (t )] 2 dt t0 t0 t0
线性系统理论
5
第3章 线性系统的运动分析
1、运动分析的数学实质
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尽管运动响应由初始状态 x0 和输入向量 u(t) 所激 励，系统的运动形态主要由系统的结构和参数所决 定。 对连续时间线性系统，由矩阵对 ( A(t)，B(t)) 或 ( A， B)决定； 对离散时间线性系统，由矩阵对(G(k)，H(k))或(G， H)决定。 基于这一属性，可为分析线性系统的基本特性如 稳定性、能控性和能观测性等提供简便的途径。
X0u (t ) e At X0
即：
lim e At 0
t
在系统控制理论中，称上述属性为渐近稳定。
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线性系统理论
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第3章 线性系统的运动分析
1、系统的零输入响应
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（5）零输入响应的计算 对线性时不变系统，由
X0u (t ) e At X0
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线性系统理论
主讲教师 陈玮
第3章 线性系统的运动分析
第3章 线性系统的运动分析
广东工业大学 自动化学院 自动控制系
一、引言 二、连续时间线性时不变系统的运动分析 三、连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵 四、连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵 五、连续时间线性时变系统的运动分析 六、连续时间线性系统的时间离散化 七、离散时间线性系统的运动分析 八、小结
-1-20
线性系统理论
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第3章 线性系统的运动分析
3、零输入响应和零初态响应
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把系统同时在初始状态x0和输入u作用下的状态 运动x(t)，分解为由初始状态x0和输入u分别单独作 用所产生的运动 x0u (t ) 和 x0 x (t ) 的叠加，即：
x(t ) x0u (t ) x0 x (t )
t0
计算的核心步骤就是计算矩阵指数函数 e At 。 （6）零输入响应表达式的更一般形式
X0u (t ) e A(t t0 ) X0 t t0
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线性系统理论
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第3章 线性系统的运动分析
2、矩阵指数函数的性质
广东工业大学 自动化学院 自动控制系
根据系统矩阵指数函数的定义： 1 1 At I At A t ... k!A t e 2!
2 2
1 ... a k t k k 0 k!
对系统矩阵A定义矩阵指数函数：
e
At
1 2 2 1 I At A t ... Ak t k 2! k 0 k!
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线性系统理论
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第3章 线性系统的运动分析
1、系统的零输入响应
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线性系统理论
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第3章 线性系统的运动分析
2、解的存在性和唯一性
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将上述条件化为如下三个条件 ： （1）系统矩阵A(t)的各个元 aij (t ) 在时间区间 [t0 , ta ]