线性系统部分总复习(2015)
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x A x bu
式中：
友矩阵
y cx
0 0 1 0 a0 0 a1 0 a2 ; 1 an 1 0 0 1 ; c 0 0 b n2 n 1
上一页 下一页 返回
x Ax + bu y cx
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , b = , c = 0 1 0 an 1 1
上一页 下一页
式中：
友矩阵
0 0 A 0 a0
1
x(t0 ) x0 ,
t t0
t t0
(t t0 ) e A(t t0 ) ,
当t0 = 0时，可将其表为
(t ) e At , t0
即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是
矩阵指数函数。
19
总复习：现代控制理论
二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算 1．性质：（7条）
外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
2、状态空间描述（内部描述）
(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
rankQc rank B AB An 1B n An 1 B
Qc 其中: n为矩阵A的维数， B AB 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。
23
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t ) x(0) x0 t0
13
总复习：现代控制理论
说明：约当规范形的特点
对包含重特征值的n维线性时不变系统，系统矩阵 的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵。 “外层”反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特 征值的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个 数等于相异特征值个数 l ，约当块的维数等于相应 特征值的代数重数。 “中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元 的对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值 的几何重数。 “内层”为约当小块，约当小块为“以相应特征值 为对角元，其右邻元均为 1，其余元素均为 0”的矩 14 阵。
9
总复习：现代控制理论
1) 对角线规范形 1) 可化为对角线规范形的条件
已知n阶线性定常系统的状态方程为
x Ax Bu
当系统矩阵A具有n个线性无关的特征向量 1,2 , ,n 时， 可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形 。即以
下2种情况下可化为对角线规范形：
（1）系统矩阵A的n个特征值两两互异； （2）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几何 重数都等于其代数重数。
所有属于特征值λi的约当小块的阶数之和。
12
总复习：现代控制理论
（b）几何重数 设 λi 为系统矩阵 A的一个特征值， λi的几何重 数可由下式计算
i n rank (i I A)
说明：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化 为约当规范形时，λi的几何重数αi为该规 范形中特征值λi对应的约当小块的个数。
完全能控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特 征值 i (i 1, 2, , n) ，
rank i I A B n i 1,2, s C ,n
均成立，或等价地表示为
rank sI A B n,
注：当系统矩阵 A的维数较高时，应用秩判据 可能不太方便，此时可考虑用PBH秩判据试一下。
10
总复习：现代控制理论
2) 约当规范形 1) 化为约当规范形的条件 对于n阶线性定常系统
x Ax Bu
当系统矩阵A有重特征值，且矩阵A的线性无关的 特征向量个数少于n时，则可以通过线性非奇异变
换变换为约当规范形。
11
总复习：现代控制理论
3） 特征值的代数重数和几何重数 （a）代数重数 设λi为系统矩阵A的一个特征值，且有
总复习：现代控制理论
五、组合系统的状态空间描述
组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方
式相互联接而构成的系统称为组合系统。 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
15
总复习：现代控制理论
两个线性时不变子系统 S1 和 S2 的状态空间描述分别为：
G(s) GN (s)GN 1 (s)
G1 (s)
17
总复习：现代控制理论
三、子系统反馈连接
x1 A1 B1C2 x1 B1 u x B C A2 x2 0 2 2 1 x1 y C1 0 x2
约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。
26
总复习：现代控制理论
二．线性定常连续系统的能观测性判据
1．秩判据 2．PBH秩判据 3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
27
总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x Ax y Cx x(0) x0 t0
完全可观测的充分必要条件是:
G ( s ) I G1 ( s )G2 ( s ) G1 ( s )
1
或
G ( s ) G1 ( s ) I G2 ( s )G1 (s )
1
18
总复习：现代控制理论
第3章 线性系统的运动分析
一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义
线性定常系统
x Ax Bu, 的状态转移矩阵为：
x1 A1 x 1 B1u1 S1： y1 C1 x1 D1u1
x2 A2 x 2 B2 u2 S2： y2 C2 x2 D2 u2
一、子系统并联
x1 A1 0 x1 B1 x 0 A x B u 2 2 2 2 x1 y C1 C2 D1 D2 u x2
7
总复习：现代控制理论
2. 线性时不变系统等价状态空间描述
n阶线性定常系统的状态空间描述为：
x Ax Bu y Cx Du
(a)
对状态向量x引入线性非奇异变换 x P 1 x，则变换后的 状态空间描述
x Ax Bu y Cx Du
(b)
其中：
A P1 AP,
总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 百度文库论
Ch2 线性系统的状态空间描述
Ch3 线性系统的运动分析
Ch4 线性系统的能控性和能观性
Ch5 系统运动的稳定性
Ch6 线性反馈系统的时间域综合
1
总复习：现代控制理论
第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的
det( s A) ( s - i ) i i ( s) i (i ) 0
则称σi为特征值λi的代数重数。
说明1：矩阵A的重特征值λi的重数σi 就是特征值λi的 代数重数。 说明2：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化为 约当规范形时， λi的代数重数σi为该规范形中
能控标准型实现 能观测标准型实现
3
总复习：现代控制理论
1. 可控规范形实现 设
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的可控规范形实现为
24
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据
当矩阵A的特征值 1 , 2 , , n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
1 2 x x Bu n
B P1B, C CP, D D
称系统两种不同的状态空间描述 (a)， (b)为代数等价的， 对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统。
8
总复习：现代控制理论
3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
对角规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有对角形的形 式。
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
25
中，B 不包含元素全为零的行。
总复习：现代控制理论
4．约当规范型判据
当系统矩阵 A 有重特征值时，线性定常连
续系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
x(0) x0
t 0
完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当 ˆx ˆ 中与同一特征值的各 ˆ u 中， 规范型 x ˆA ˆ B B
6
总复习：现代控制理论
四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性
非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函 数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控 性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变. 2. 线性系统等价状态空间描述
对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规 范型、能控规范型和能观规范型。
C CA n rankQo rank n 1 CA
或
rankQo rank[CT
AT CT
( AT )n1CT ] n
其中：n是系统的维数，Qo称为系统的能观测性判别 阵，简称能观测性阵。 28
21
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据 1．秩判据 2．PBH秩判据 3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
22
总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t ) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
n 1
a1 a2
返回
4 主目录
总复习：现代控制理论
2）可观测规范形实现
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的状态方程和输出方程为
0 1 A 0 0
0 1
5 主目录
总复习：现代控制理论
三、传递函数矩阵的计算
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
x (t ) Ax (t ) Bu(t ) y (t ) Cx (t ) Du (t )
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
G(s) C(sI A)1 B D
三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算 (求线性定常系统的状态响应和输出响应) 1．积分法：
x(t ) t x0 Bu(t )d ,
0 t
t 0
2．拉氏变换法：
x (t ) L1 X ( s) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s)]
1 (t ) (t );
(t ) A(t ) (0) I
A (t ) t 0
At ( t ) e 2． 的计算方法
1）定义法 2）特征值法 3）拉氏反变换法（※）
(t ) L1[(s A) 1 ] （最常用）
20
总复习：现代控制理论
G ( s) Gi ( s)
i 1 N
16
总复习：现代控制理论
二、子系统串联
0 x1 B1 x1 A1 x B C A x B D u 2 2 1 2 2 2 1 x1 y D2C1 C2 D2 D1 u x2
式中：
友矩阵
y cx
0 0 1 0 a0 0 a1 0 a2 ; 1 an 1 0 0 1 ; c 0 0 b n2 n 1
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x Ax + bu y cx
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 , b = , c = 0 1 0 an 1 1
上一页 下一页
式中：
友矩阵
0 0 A 0 a0
1
x(t0 ) x0 ,
t t0
t t0
(t t0 ) e A(t t0 ) ,
当t0 = 0时，可将其表为
(t ) e At , t0
即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是
矩阵指数函数。
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二．线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算 1．性质：（7条）
外部描述；(3)是对系统的不完全描述。
2、状态空间描述（内部描述）
(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描 述；(3)是对系统的完全描述。
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
rankQc rank B AB An 1B n An 1 B
Qc 其中: n为矩阵A的维数， B AB 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。
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2．PBH秩判据
线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t ) x(0) x0 t0
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说明：约当规范形的特点
对包含重特征值的n维线性时不变系统，系统矩阵 的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵。 “外层”反映整个矩阵，其形式是以相应于各个特 征值的约当块为块元的对角线分块阵，约当块的个 数等于相异特征值个数 l ，约当块的维数等于相应 特征值的代数重数。 “中层”就是约当块，其形式是以约当小块为块元 的对角线分块阵，约当小块的个数等于相应特征值 的几何重数。 “内层”为约当小块，约当小块为“以相应特征值 为对角元，其右邻元均为 1，其余元素均为 0”的矩 14 阵。
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1) 对角线规范形 1) 可化为对角线规范形的条件
已知n阶线性定常系统的状态方程为
x Ax Bu
当系统矩阵A具有n个线性无关的特征向量 1,2 , ,n 时， 可以通过线性非奇异变换变换为对角线规范形 。即以
下2种情况下可化为对角线规范形：
（1）系统矩阵A的n个特征值两两互异； （2）系统矩阵A有重特征值，且所有特征值的几何 重数都等于其代数重数。
所有属于特征值λi的约当小块的阶数之和。
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（b）几何重数 设 λi 为系统矩阵 A的一个特征值， λi的几何重 数可由下式计算
i n rank (i I A)
说明：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化 为约当规范形时，λi的几何重数αi为该规 范形中特征值λi对应的约当小块的个数。
完全能控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特 征值 i (i 1, 2, , n) ，
rank i I A B n i 1,2, s C ,n
均成立，或等价地表示为
rank sI A B n,
注：当系统矩阵 A的维数较高时，应用秩判据 可能不太方便，此时可考虑用PBH秩判据试一下。
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2) 约当规范形 1) 化为约当规范形的条件 对于n阶线性定常系统
x Ax Bu
当系统矩阵A有重特征值，且矩阵A的线性无关的 特征向量个数少于n时，则可以通过线性非奇异变
换变换为约当规范形。
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3） 特征值的代数重数和几何重数 （a）代数重数 设λi为系统矩阵A的一个特征值，且有
总复习：现代控制理论
五、组合系统的状态空间描述
组合系统：由两个或两个以上的子系统按一定方
式相互联接而构成的系统称为组合系统。 基本的互联方式有三种：并联、串联和反馈 三种组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
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总复习：现代控制理论
两个线性时不变子系统 S1 和 S2 的状态空间描述分别为：
G(s) GN (s)GN 1 (s)
G1 (s)
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三、子系统反馈连接
x1 A1 B1C2 x1 B1 u x B C A2 x2 0 2 2 1 x1 y C1 0 x2
约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是 行线性无关的。
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二．线性定常连续系统的能观测性判据
1．秩判据 2．PBH秩判据 3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
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总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x Ax y Cx x(0) x0 t0
完全可观测的充分必要条件是:
G ( s ) I G1 ( s )G2 ( s ) G1 ( s )
1
或
G ( s ) G1 ( s ) I G2 ( s )G1 (s )
1
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第3章 线性系统的运动分析
一．线性定常系统的状态转移矩阵的定义
线性定常系统
x Ax Bu, 的状态转移矩阵为：
x1 A1 x 1 B1u1 S1： y1 C1 x1 D1u1
x2 A2 x 2 B2 u2 S2： y2 C2 x2 D2 u2
一、子系统并联
x1 A1 0 x1 B1 x 0 A x B u 2 2 2 2 x1 y C1 C2 D1 D2 u x2
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2. 线性时不变系统等价状态空间描述
n阶线性定常系统的状态空间描述为：
x Ax Bu y Cx Du
(a)
对状态向量x引入线性非奇异变换 x P 1 x，则变换后的 状态空间描述
x Ax Bu y Cx Du
(b)
其中：
A P1 AP,
总复习：现代控制理论
主要学习内容
Ch1 百度文库论
Ch2 线性系统的状态空间描述
Ch3 线性系统的运动分析
Ch4 线性系统的能控性和能观性
Ch5 系统运动的稳定性
Ch6 线性反馈系统的时间域综合
1
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第2章 线性系统的状态空间描述
一．系统数学描述的两种基本类型
1、输入—输出描述（外部描述） (1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的
det( s A) ( s - i ) i i ( s) i (i ) 0
则称σi为特征值λi的代数重数。
说明1：矩阵A的重特征值λi的重数σi 就是特征值λi的 代数重数。 说明2：若n阶线性定常系统含有重特征值λi且可化为 约当规范形时， λi的代数重数σi为该规范形中
能控标准型实现 能观测标准型实现
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1. 可控规范形实现 设
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的可控规范形实现为
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3．对角线规范型判据
当矩阵A的特征值 1 , 2 , , n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
1 2 x x Bu n
B P1B, C CP, D D
称系统两种不同的状态空间描述 (a)， (b)为代数等价的， 对于参数矩阵满足上述关系的系统称为代数等价系统。
8
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3. 状态方程的对角规范形和约当规范形
对角规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有对角形的形 式。
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
25
中，B 不包含元素全为零的行。
总复习：现代控制理论
4．约当规范型判据
当系统矩阵 A 有重特征值时，线性定常连
续系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
x(0) x0
t 0
完全能控的充分必要条件是：由其导出的约当 ˆx ˆ 中与同一特征值的各 ˆ u 中， 规范型 x ˆA ˆ B B
6
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四、 线性定常系统的坐标变换
1. 非奇异线性变换的不变特性
非奇异线性变换后系统特征值不变、传递函 数矩阵不变、能控性不变、能观测性不变、能控 性指数不变、能观测性指数不变、稳定性不变. 2. 线性系统等价状态空间描述
对于线性定常系统，两个代数等价的状态空 间描述，可以化为相同的对角线规范型、约当规 范型、能控规范型和能观规范型。
C CA n rankQo rank n 1 CA
或
rankQo rank[CT
AT CT
( AT )n1CT ] n
其中：n是系统的维数，Qo称为系统的能观测性判别 阵，简称能观测性阵。 28
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第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据 1．秩判据 2．PBH秩判据 3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
22
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1. 秩判据
线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Bu(t ) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
n 1
a1 a2
返回
4 主目录
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2）可观测规范形实现
Y (s) n1s n1 n2 s n2 1s 0 N (s) G( s ) n n 1 U ( s) s an1s a1s a0 D(s)
则矩阵形式的状态方程和输出方程为
0 1 A 0 0
0 1
5 主目录
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三、传递函数矩阵的计算
设线性定常连续系统的状态空间描述为：
x (t ) Ax (t ) Bu(t ) y (t ) Cx (t ) Du (t )
在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达 式为：
G(s) C(sI A)1 B D
三．线性定常系统状态方程解x(t)的计算 (求线性定常系统的状态响应和输出响应) 1．积分法：
x(t ) t x0 Bu(t )d ,
0 t
t 0
2．拉氏变换法：
x (t ) L1 X ( s) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s)]
1 (t ) (t );
(t ) A(t ) (0) I
A (t ) t 0
At ( t ) e 2． 的计算方法
1）定义法 2）特征值法 3）拉氏反变换法（※）
(t ) L1[(s A) 1 ] （最常用）
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总复习：现代控制理论
G ( s) Gi ( s)
i 1 N
16
总复习：现代控制理论
二、子系统串联
0 x1 B1 x1 A1 x B C A x B D u 2 2 1 2 2 2 1 x1 y D2C1 C2 D2 D1 u x2