高中数学一元二次不等式的解法北师大版必修五
3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)
(2)原不等式可化为 2x2－x＋6>0， ∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0， ∴函数 y＝2x2－x＋6 的图像开口向上，与 x 轴无交点． ∴观察图像可得，不等式的解集为 R. (3)因为 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2>0，
1 xx≠－ 所以原不等式的解集为 2 .
2
4．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集 是 ；
b xx＜ a
b xx＞ a
当a＜0时，解集是 解集是 ； R 当a＝0，b≤0时，解集是
；当a＝0，b＞0时，
∅
.
1．一元二次不等式 一个 二次 一般地，含有 未知数，且未知数的最高 次数为 的不等式，叫做一元二次不等式． 使某个一元二次不等式 叫这 成立的x的值 个一元二次不等式的解． 一元二次不等式的 组成的集合，叫做 所有解 这个一元二次不等式的解集．
1．已知二次函数f(x)的两个零点分别为x1、x2 则f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ． 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 当Δ<0时，没有 实数根；当Δ＝0时，有 两个相等 b 实数根x＝ ；当Δ>0时，有 －b± b －4ac 实 －2a 两个不等 2a 数根x＝ . {－1,3} 3．若y＝x2－2x－3，则当x∈ 时，y (－∞，－1)∪(3，＋∞) (－1,3) ＝0；当x∈ 时，y>0；当x∈ 时，y<0.
解析：
3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为 a＝－3， (1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的 即 ， b＝2 解集．
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)
3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得： ，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ， 解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0） 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ； 当a<0时图象开口 向下 ； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ； 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0， 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜
3.2.1一元二次不等式的解法 课件(北师大版必修五)
【规范解答】(1)当m=0时，0×x2+4×0×x-4<0对任意实数
x都成立，所以m=0满足条件；
(2)当m≠0时，根据不等式mx2+4mx-4<0的解集为全体实
数，所以
m
0 16m2
16m
0
，解得：-1<m<0,
综合(1)，(2)得：-1<m≤0.
“三个二次”关系问题 “三个二次”关系
1
1
1
2
a
a
(2)当a＝0时，不等式即－x＋2<0，此时不等式的解集为
{x|x>2}.
(3)当a<0时，不等式可以化为(x－ 1 )(x－2)>0.由于 1 <
a
a
2，故不等式的解集为{x|x< 1 或x>2}.
a
综上所述：当a<0时，不等式的解集为{x|x< 1 或x>2}；当a
a
＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<a< 1 时，不等式的
2
3
3
2
故原不等式的解集为{x| 1 <x< 1 }.
32
答案：{x| 1 <x< 1 }
3
2
4.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x< 1 },则
3
ab的值为______.
【解析】因x=-1,x= 1 是方程ax2+bx+1=0的两根，
3
∴ b 1 1 ,
1.通过实例了解一元二次不等式的含义.(重点) 2.掌握一元二次不等式的解法，弄清一元二次不等式与一 元二次方程、二次函数的内在联系.(难点) 3.能够利用分类讨论方法，求解简单的含字母的一元二次 不等式.(难点、易错点)
北师大版高中数学必修五课件：3.2.1一元二次不等式的解法
△=0
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
y
△<0 没有实根
y
x1 O x2 x
f(x)>0 的解集
O x1
x
x O
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b 2a
}
R
f(x)<0 的解集
{x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
问题提出 问题探究 抽象概括 课堂练习 课时小结课后作业
课堂练习
x
例:解下列一元二次不等式
问题提出 问题探究 抽象概括 课堂练习 课时小结课后作业
课后作业
1，课堂作业：教材第78页练习1 第3题(1)(2)(3)
2，思考题：我们今天讲的一元二次不等式都 是二次项系数a>0,那么如何解二次项系数a<0 的一元二次方程呢？ 如 4x2 x 5 0
问题提出 问题探究 抽象概括 课堂练习 课时小结课后作业
问题2：你能作出 y x2 2x 3 的图像吗？
问题3：你能找出纵坐标y>0和y<0时对应的x的值取 哪些数？对应的x的范围分别是什么？
问题提出 问题探究 抽象概括 课堂练习 课时小结课后作业
y y>0,x轴 上方
●O
-1
●
x
3 y=0，x
(1)4 x2 4 x 1 0 (2) x2 3x 5 0 (3)象概括 课堂练习 课时小结课后作业
抽象概括
请同学们根据前面的解答，总结归纳解一元 二次不等式解集的详细步骤（a>0）
（1）判断对应方程 ax2 bx c 0 的解的情况 （2）作出对应二次函数 y ax2 bx c 图像的简图 （3）根据图像写出不等式解集，一定写成集合或
高中数学一元二次不等式的解法北师大版必修五 教案
一元二次不等式的解法【教学目的】知识目标：掌握一元二次不等式的解法；知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；了解简单的分式不等式的解法能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
【数学重点】一元二次不等式的解法【数学难点】理解二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式不的解三者之间的关系。
【教学过程】一、复习题：1、不等式|2-x|≥3的解集为；不等式|1-2x|<5|的解集为；不等式|4-3x|>3x-4的解集为；不等式|4x-3|<2x+1的解集为。
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x= ，顶点坐标为（，）3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系是：。
二、讲授新课：例1：画出二次函数y=x2-x-2的图象，并根据图象回答：⑴当x 取哪些值时，y=0？⑵当x 取哪些值时，y>0? ⑶当x 取哪些值时，y<0？由此我们可以得到，不等式x2-x-2>0的解集为。
等式x2-x-2<0的解集为。
【知识小结】例2：解下列不等式：⑴ (x+4)(x-1)<0 ；⑵ (1-x)(3x-2)<0。
小结：不等式a(x-x1)(x-x2)<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}不等式a(x-x1)(x-x2)>0(a>0)的解集为{x|x<x1,x>x2}(其中x1<x2)记忆方法：注意：课堂练习1:解下列不等式：⑴(5-x)(x+4)<0 ⑵ (x+7)(2-x)>0 ；⑶(3x+2)(2x-1)≤0 ⑷(0)35)(121(≥+-xx。
高中数学 北师大必修五 3.2一元二次不等式的及其解法(一)
x1 1
3 3
，x2
1
3 3
原不等式的解集是
x
1
3 3
x
1
3 3
.
求一元二次不等式的的一般步骤：
一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正。 二算：算△及对应方程的根。 三写：由对应方程的根，结合不等号的方向， 根据函数图象写出不等式的解集。
变2 不等式 x2 bx c 0 的解集为{ x x 3或x 1}, 求b与c.
一元二次不等式及其解法
丰城第九中学 高一数学必修五
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的一般表达式： ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 7x6 0的解集
y
一元二次函数 f(x)=ax2 bx c(a 0)
0
O x1 x1=x2 x2
ax2 bx c 0的解 x{Rx |xx1或 xx1} x 2 x ax2 bx c 0的解 x 1 x x 2
例1 解不等式 3x2 6x 2 .
解：整理，得 3x2 6x 2 0 . 0 ，方程 3x2 6x 2 0 的解是
（1）一元二次方程 x2 7x 6 0 的根与二次
函数 y x2 7x 6 的零点的关系：
二次方程有两个实数根：
y
x1 1, x2 6
二次函6
x1 1, x2 6
即：二次方程的根就是二次函数的零点
一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)
一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)
北师大版高中数学必修五课件《3.2.1一元二次不等式的解法》课件
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一元二次不等式的解法 （一）
y
o
x
问题：
（1）如何解一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) （2）二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象是
什么曲线？ （3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的
解与二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象 有什么联系？
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
x x x2或x x1
x x1 x x2
△＝0
x
R
x
b 2a
x x x2或x x1
x x1 x x2
当-2a＜3a，即a＞0时， 原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。
小结：
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
例1、求下列不等式的解集：
(1) 6x2 5x 1 0 (2)4x2 4x 15 0
(3)5x2 2x 3
(4)9x2 6x 1
(5)3x2 5 4x
解解：：（（12345））将将原原不 不等等式式变变形形为为：(5293xxx6222x2526)4x(xx25xx315130)0000
而ax2这以往b上x往不c是等容0式易的对忽解x略∈集的R为恒，R成的一立条定。件要为引起大
高中数学北师版必修5 一元二次不等式的解法1
一元二次不等式的解法一．课题：一元二次不等式的解法二．教学目标：1.理解“三个一次”关系.2.掌握由图象找解集方法.3.理解“三个二次”关系.4.渗透由具体到抽象思想。
三．教学重、难点：1．一元二次不等式解法；2．“三个二次”关系、数形结合思想渗透。
四．教学过程：（一）复习：复习回顾：|ax+b|<c及|ax+b|>c(c>0)解的结果。
（二）新课讲解：1.“三个一次”关系.初中我们学习了一元一次方程，一元一次不等式与一次函数，它们之间具有什么关系呢？举例.y=2x-7其对应值表x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y -3 -2 -1 0 1 2 3图象：填表：（学生完成）当x=3.5时，y=0，即2x-7=0当x<3.5时，y<0，即2x-7<0当x>3.5时，y>0，即2x-7>0从上述例子可以得出以下结论：一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0,0)就有如下结果.一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x0}一元一次不等式ax+b>0(<0)解集图1—16(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是：{x|x>x0},一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x<x0}；(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是：{x|x<x0}；一元一次不等式ax+b<0解集是：{x|x>x0}. 2.“三个二次”的关系（投影c ） 举例：y=x2-x-6，对应值表x –3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 图象：（请学生填空）方程或不等式解或解集当x2-x-6=0时 {x|x=-2或x=3} x2-x-6>0时 {x|x<-2或x>3} x2-x-6<0时 {x|x<-2或x<3}仿“三个一次”关系y=ax2+bx+c (a>0)与x 轴的相关位置，分三种情况.（投影d ）由此有下面结论例1：解不等式2x2-3x-2>0.[由“三个二次”关系，相应得到所求解集]解：∵Δ>0，2x2-3x-2= 0的解集：{x|x1=12-或x2=2}.∴不等式2x2-3x-2>0的解集：{x|x<12-或x>2}.例2：解不等式-3x2+6x>2.分析：二次项系数小于零，首先将其变形为二次项系数大于零情形，转化为熟知类型，然后求解。
北师大版高中数学(必修5)3.2《一元二次不等式》(一元二次不等式的解法)WORD教案
首先我们来观察这个不等式(x+4)(x-1)<0的特点，以不等式两边来观察. 特点：左边是两个x一次因式的积，右边是0.
思考：依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式？
不等式(x+4)(x-1)<0可以实现转化，可转化成一次不等式组： x+4<0 与 x-1>0 x-1<0 x-1<0 注意：不等式(x+4)(x-1)<0的解集是上面不等式组解集的并集.
将已知不等式等价转化成合理变形式子.
教学方法
创造教学法
为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破.
Ⅰ 课题导入
1、 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.
2、 一元二次不等式的解法.
3、 数形结合思想运用.
教 案
一元二次不等式解法(二)
（一）教学知识点
1、 会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.
2、 简单分式不等式求解.
（二）能力训练要求
1、 通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力.
2、 通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力.
（三）德育渗透目标
通过问题求解过程，渗透.. 一元二次不等式求解.
一元二次不等式(x+4)(x-1)<0的解法：
解：将(x+4)(x-1)<0转化为
x+4>0 x+4<0 与 x-1>0 x-1<0
高中数学 第三章 一元二次不等式的解法及应用要点解读素材 北师大版必修5
要点解读：一元二次不等式的解法及应用要点一一元二次不等式的解法【例1】设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围【命题立意】主要考查一元二次不等式的求解和集合的关系的综合【标准解析】对二次不等式进行分类讨论，三种情况下分别计算。
【误区警示】讨论不全面【答案】解M［1，4］有两种情况其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围设f(x)=x2－2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］(2)当Δ=0时，a=－1或2当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4即，解得 2＜a＜，∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)【变式训练】解关于x的不等式＞1(a≠1)【标准解析】含有参数的分式不等式的求解问题，也要对a讨论。
【技巧点拨】结合已知把a分为两类进行讨论【答案】解原不等式可化为＞0，①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解由于∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2) ＜0同解由于,若a＜0，,解集为(，2)；若a=0时，，解集为；若0＜a＜1，,解集为(2，)综上所述当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2）要点二不等式的性质运用【例2】已知函数，，试比较与的大小．【命题立意】考查运用不等式性质比较大小的运用【标准解析】首先要作差，然后合并化简，提取公因式，变形得到【误区警示】忽略对x,y的讨论。
【变式训练】设使,，求证：(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.【标准解析】结合二次函数和不等式的性质，证明不等式。
数学北师大版高中必修5一元二次不等式的解法学案
一元二次不等式的解法【复习目标】掌握一元二次不等式的解法；会解决含参一元二次不等式的问题；会解决由一元二次不等式的解求参数的值或范围的问题．【学习重点】一元二次不等式的解法；分类讨论的思想【学习难点】含参一元二次不等式的问题【考试要点】（1）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系：（2）解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地： ①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内）说明：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．【课前预习】1．不等式1)3()2(+-<+x x x x 的解集是_____________________2．不等式0421≤+-x x 的解集是_______________________ 3．函数)23lg(2+-=x x y 的定义域是___________________________4．不等式0)21(||>-⋅x x 的解集是__________________________ 5．若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ，则实数.__________,==b a 【典型例题】x x A例1 解下列不等式（1）03442>-+x x （2）42412-≥+x x （3）)2(3)3)(12(2+>-+x x x （4）21212≤-+≤-x x （5）0143<--+x x x例2 解关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x变式：（１）解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax（２）解关于x 的不等式12)1(>--x x a （0>a ）例3 （1）若不等式064)1(2>+--x x m 的解集是}13|{<<-x x ，求m 的值；（2）若)3,0(内的每一个数都是不等式0122<-+mx x 的解，求m 的取值范围；（3）若不等式0122<-+-m x mx 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．【命题展望】（06全国Ⅱ）设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围．一元二次不等式的解法（作业）1．不等式04432≤-<-x x 的解集是 （ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-231021|x x x 或 B ．}10|{≥≤x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2321|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2321|x x x 或 2．不等式212>++x x 的解集是 （ ） A ．),1()0,1(+∞- B ．)1,0()1,( --∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()1,(+∞--∞3．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．]2,(-∞B ．]2,2(-C ．)2,2(-D ．)2,(--∞4．已知x 的不等式01)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x a ，其中10<<a ，则它的解是 （ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 1|或 B ．}|{a x x > C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 或1| D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a x x 1| 5．二次函数)(2R x c bx ax y ∈++=部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解集是____________________________6．若不等式11<-x ax 的解集为{}21|><x x x 或，则a =____________ 7．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->-a x a x 24,12解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________ 8．解关于x 的不等式)1(]1)1[(1)1(22≠+-≥+-a x a x a9．已知不等式4632>+-x ax 的解集为}1|{b x x x ><或（1）求a,b ;（2）解不等式0>--bax c x （c 为常数）10．若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，求a 的取值范围．。
高中数学必修5北师大版 一元二次不等式的解法 课件(36张)
(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成
立的x的值叫这个一元二次不等式的解． 所有解 组 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的__________ 成的集合，叫作一元二次不等式的解集．
2．一元二次不等式与相应函数、方程的关系 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 判别式 有两个不相等 有两个相等的实 方程f(x)＝0 数根x1＝x2且x1 无实数根 的实数根x1， b 的解 ＝ x ＝－ 2 x2(x1＜x2) 2a
1 由图可得原不等式的解集为 xx≠2，x∈R.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，因为 Δ＝－4＜0， 所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，所以原不等式的解集为∅.
[方法归纳] 当 a ＞ 0时，解形如 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ (≥)0 或 ax2 ＋ bx＋ c ＜ (≤)0 的 一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx
(2)三个“二次”关系的实质是数形结合思想的应用：ax2＋bx＋
c＝0的根⇔y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点(x,0)的横坐标； ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图像上的点(x，y)在x 轴上方的横坐标的取值范围； ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的根 ⇔ ax2 ＋ bx ＋c＞0解集的端点值．
一元二次不等式
解下列不等式： (1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1＞0；(4)－x2＋6x－10＞0.
1 [解](1)Δ＝49＞0， 方程 2x ＋5x－3＝0 的两根为 x1＝－3， x2＝ ， 2
2
作出函数 y＝2x2＋5x－3 的图像， 如图所示， 用阴影部分描出原 1 不等式的解，由图可得原不等式的解集为x－3＜x＜2.
高二数学教学案3.2.1一元二次不等式的解法北师大版必修5
年级高二
学科数学
课题
一元二次不等式及其解法
授课时间
撰写人
学习重点
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
学习难点
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系
学习目标
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力
A． B． C． D．
3.在下列不等式中，解集是 的是（）.
A． B．
C． D．
4.不等式 的解集是.
5. 的定义域为.
四课后反思
（1）将原不等式化为一般式（ ）.（2）判断 的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.
五课后巩固练习
1.求下列不等式的解集
（1） ；（2） .
2.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围.
教学过程
一自主学习
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
二师生互动
例1求不等式 的解集.
练习.求下列不等式的解集.
（1） ；（2） .
例2求不等式 的解集.
练习1.求不等式 的解集.
2.求不等式 的解集.
三巩固练习
1.已知方程 的两根为 ，且 ，若 ，则不等式 的解为（）.
A．RB．
C． 或 D．无解2.关来自x的不等式 的解集是全体实数的条件是（）.
数学3.2.1一元二次不等式的解法教案(北师大必修5)
3.2.1一元二次不等式的解法【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式（a ＞0）的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84“刹车距”问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到“一元二次不等式”模型。
2.讲授新课1）一元二次不等式的定义：形如220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次不等式 。
2）探究一元二次不等式250x x -< …… （1） 的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->；当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。
高中数学 一元二次不等式的解法1课件 北师大版必修5
x x x 或x x
2
b x R x 2 a
R R
x x x x x x x 或x x
1 2
2 1
R
f(x) ≤0的解集
x x
y
1
x x2
y
x1 x2
b x x 2 a
y
y=f(x)的图象 O
x
O
x
O
x
回归问题
• 请你根据上表解出本节开头的两个不等式 • 解不等式 0.01x2+0.1x≤12 0.005x2+0.05x＞10 • 并指出哪一辆车违章了
（1）根据数形结合的思想，利用二次函数的图象解二次不 等式。
（2）解一元二次不等式的步骤 (3) 作业; 第87页 6（1）（2） 7（1）（2) (3)
的解集.
例1：解不等式: 3x2+5x-2>0 .
解:方程3x2+5x-2=0的两解是
1 x1 2, x2 . 3
函数y=3x2+5x-2的图像是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点
1 ( 2, 0), ( , 0) 3
观察图像可得,不等式的解集为
பைடு நூலகம்
y
1 {x | x 2, 或x } 3
o o
y>0 3 y<0
o o
x
(3).不等式x2 -2x-3>0 的解集为 ﹛x|x<-1或x>3﹜ 。 不等式x2 -2x-3<0 的解集为 ﹛x| -1 <x <3﹜ 。
一般地,使某个一元二次不等 式成立的x的值叫这个一元二次不 等式的解. 一元二次不等式的所有解组成
高中数学 一元二次不等式的解法(2) 北师大必修5
2.精讲互动：
例1.设关于 的不等式 的解集是 ，求
例2. 若 ，求 的取值范围
例3若关于 的不等式 的解集是空集，求 的取值范围
①若解集是非空
②若解集是一切实数
的取值范围又是什麽？
3达标训练：
①若方程 的两根为2，3，那么 的解集为
②不等式 的解集为 ，则 =
③关于 的不等式 的解集是空集，那么 的取值范围是
2009——2010学年度第二学期
数学导学案设计
第三章第节
课题名称
一元二次不等式的解法（2）
授课时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
卫娟莲
学习目标
掌握一元二次不等式含参数的解法
重点难点
参数的讨论
学习过程
与方法
1.自主学习：
不等式 的解集是
探究问题：解关于 的不等式
此方程是否有解？若有，分别为，其大小关系为
④ 的解集为 则 与 的值分别为
课堂小结
对含字母的一元二次不等式讨论分为四类①二次项系数是否为零进行分类②若不为零，按其符号进行分类③按判别式符号进行分类④按两根大小进行分类
作业布置
① 是什实数时关于 的方程 无实根
②解关于 的不等式
课后反思
审核
备课组（教研组）：教务处：
北师大版高中数学必修五§2 一元二次不等式
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法双基达标(限时20分钟)1．不等式x2＜3x的解集是()．A．{x|x＞3} B．{x|x＜0或x＞3}C．R D．{x|0＜x＜3}解析∵x2＜3x，∴x2－3x＜0⇒x(x－3)＜0∴0＜x＜3，故选D.答案 D2．不等式－x2－x＋2≥0的解集是()．A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2≤x≤1} D．∅解析原不等式可化为x2＋x－2≤0，对应方程的根为－2,1，因此解集为{x|－2≤x≤1}．答案 C3．不等式x(x－a＋1)＞a的解集是{x|x＜－1或x＞a}，则()．A．a≥1 B．a＜－1 C．a＞－1 D．a∈R解析x(x－a＋1)＞a⇔(x＋1)(x－a)＞0，∵解集为{x|x＜－1或x＞a}，∴a＞－1.答案 C4．函数y＝log3(9－x2)的定义域为A，值域为B，则A∩B＝________.解析 由9－x 2＞0得－3＜x ＜3，∴A ＝(－3,3)． ∵9－x 2∈(0,9]∴log 3(9－x 2)∈(－∞，2]， ∴B ＝(－∞，2]，∴A ∩B ＝(－3,2]． 答案 (－3,2]5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6－46则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________．解析 由表中数据看出a ＞0，ax 2＋bc ＋c ＝0的二根为－2,3，∴ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 {x |x ＜－2，或x ＞3}． 答案 {x |x ＜－2，或x ＞3} 6．解不等式－2x 2＋103x －13＞0.解 不等式可化为6x 2－10x ＋1＜0.因为Δ＝(－10)2－4×6×1＝76＞0，所以方程6x 2－10x ＋1＝0有两个实数根x 1＝5－196，x 2＝5＋196，由二次函数y ＝6x 2－10x ＋1的图像(图略)，得不等式6x 2－10x ＋1＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5－196＜x ＜5＋196. 所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5－196＜x ＜5＋196. 综合提高（限时25分钟）7．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 解析 ∵A ＝{x |x ＜0或x ＞2}，∴∁U A ＝{x |0≤x ≤2}．故选A. 答案 A8．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析 由已知，得⎩⎨⎧13＋12＝－5a，13·12＝ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝1.答案 B9．设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 解析 由f (－1)＝f (3)得出f (x )的对称轴方程为x ＝1. ∴x ＝－b2＝1，b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋1，∴f (x )＞0的解为x ≠1的全体实数． 答案 {x |x ∈R ，且x ≠1}10．不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，2，对于系数a ，b ，c ，则有下列结论： ①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确结论的序号是________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析 由ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－12，2知a ＜0， ∵c a ＜0，∴c ＞0.又b a ＝－12＋2＞0，∴b ＜0. ∵－1∉⎝⎛⎭⎫－12，2，∴a ＋b ＋c ≤0， 又1∈⎝⎛⎭⎫－12，2，∴a －b ＋c ＞0，故③⑤正确． 答案 ③⑤11．已知不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }． (1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax 2＋bn ＜(an ＋b )x .解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }，所以x 1＝1，x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根且a ＞0，b ≥1.由一元二次方程根与系数的关系式⎩⎨⎧1＋b ＝3a1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知a ＝1，b ＝2，故原不等式可化为x 2－(2＋n )x ＋2n ＜0，即(x －2)(x －n )＜0. ①当n ＞2时，原不等式的解集为{x |2＜x ＜n }． ②当n ＝2时，原不等式的解集为∅.③当n ＜2时，原不等式的解集为{x |n ＜x ＜2}．12．(创新拓展)已知不等式x 2＋x －6＜0的解集为A ，不等式x 2－2x －3＜0的解集为B . (1)求A ∩B .(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋bx ＋3＜0的解集．解 (1)由x 2＋x －6＜0得－3＜x ＜2.∴A ＝(－3,2)．由x 2－2x －3＜0，得－1＜x ＜3， ∴B ＝(－1,3)．∴A ∩B ＝(－1,2)．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝04＋2a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2. ∴－x 2－2x ＋3＜0即x 2＋2x －3＞0，解得x ＜－3或x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞1}．。
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一元二次不等式的解法
【教学目的】
知识目标：掌握一元二次不等式的解法；知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；了解简单的分式不等式的解法
能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
【数学重点】一元二次不等式的解法
【数学难点】理解二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式不的解三者之间的关系。
【教学过程】
一、复习题：
1、不等式|2-x|≥3的解集为；不等式|1-2x|<5|的解集为；
不等式|4-3x|>3x-4的解集为；不等式|4x-3|<2x+1的解集为。
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x= ，顶点坐标为（，）
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的关系是：。
二、讲授新课：
例1：画出二次函数y=x2-x-2的图象，并根据图象回答：
⑴当x 取哪些值时，y=0？⑵当x 取哪些值时，y>0? ⑶当x 取哪些值时，y<0？由此我们可以得到，不等式x2-x-2>0的解集为。
等式x2-x-2<0的解集为。
【知识小结】
例2：解下列不等式：
⑴ (x+4)(x-1)<0 ； ⑵ (1-x)(3x-2)<0。
小结：不等式a(x-x 1)(x-x 2)<0(a>0)的解集为{x|x 1<x<x 2}
不等式a(x-x 1)(x-x 2)>0(a>0)的解集为{x|x<x 1,x>x 2}(其中x 1<x 2)
记忆方法：
注意：
课堂练习1: 解下列不等式：
⑴(5-x)(x+4)<0 ⑵ (x+7)(2-x)>0 ；
⑶(3x+2)(2x-1)≤0 ⑷(0)35)(12
1(≥+-x x 。
例3：解下列不等式： ⑴ 2x 2-3x-2>0 ； ⑵
-3x 2+6x>2；
⑶ -x 2+2x-3>0 ； ⑷ 4x 2-4x+1>0。
方法小结：解一元二次不等式ax 2+bx+c>0 、ax 2+bx+c<0的步骤是：
⑴把二次项的系数变为正的（化正）。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）
⑵解对应的一元二次方程（求根）。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）
⑶求解一元二次不等式（求解）。
（根据大于取两边，小于取中间写出解集。
注意不等式的方向及有无等号）
课堂练习2：解下列不等式：
⑴3x 2-7x+2<0 ⑵-6x 2-x+2≤0
⑶4x 2+4x+1<0 ⑷x 2-3x+5>0 ；
例3：解下列不等式：7
3+-x x <0
变式一：73+-x x >0 变式二：7
3+-x x 0≥
方法小结：⑴解分式不等式的解题思路 ；⑵解题方法
⑶注意问题 。
一般地，0)()(0)()(>⇔>x g x f x g x f ；0)()(0)
()(<⇔<x g x f x g x f ； ⎩⎨⎧≠≥⇔≥0)(,0)()(0)()(x g x g x f x g x f ；⎩⎨⎧≠≤⇔≤0
)(,0)()(0)()(x g x g x f x g x f 。
课堂练习3：解下列不等式： ⑴085<-+x x ； ⑵ 0412>+-x x ； ⑶03
21≥+-x x ； ⑷02
32≤+-x x 。
三、课外作业：
1、解下列不等式：
⑴15442>-x x ； ⑵x x ≥-2414；
⑶1)3()2(+-<+x x x x ； ⑷0822≥+--x x 。
2、解下列不等式：
⑴
05243>+-x x ； ⑵02
5152≤+-x x 。
3、已知U=R ，且A={x|x 2+3x+2<0},求C U A 。
4、已知U=R ，且A={x|x 2-16<0}，B={x|x 2-4x+3≥0}，求： ⑴B A ⋂；⑵B A ⋃；⑶)(B A C U ⋂；⑷)(B A C U ⋃。