浙教初中数学八下《二次根式》课件_10
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数学八年级下《二次根式》复习课件
a
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
1.1 二次根式-2020春浙教版八年级数学下册课件 (共11张PPT)
解得 x＝－1，y＝2，∴yx＝2－1＝12， ∴yx 的倒数的相反数为－2. 【答案】 －2
反思
当非负数之和为 0 时，每一个非负数都为 0.
【变式训练 3】 已知实数 a，b 满足 a＋1＋4a2பைடு நூலகம்4ab＋
b2＝0，则 ba 的值为
()
A. 2
B.
1 2
C. －2
【解析】 由 a＋1＋4a2＋4ab＋b2＝0，
2．二次根式的双重非负性：①二次根式 a是一个非负数，即 a≥0； ②被开方数 a 是非负数，即 a≥0.
3. a中 a 可以是数，也可以是式； a既可表示开方运算，也可表示 运算的结果. a＋1 不是二次根式，它是含二次根式的代数式．
4．“ a”中的根指数为 2，即“2 a”，我们一般省略根指数 2，写做“ a”，
【例 3】 已知 x，y 均为实数，且(x＋y－1)2 与 2x－y＋4 互为相反数，求实数 yx 的倒数的相反数．
【解析】 ∵(x＋y－1)2 与 2x－y＋4互为相反数， ∴(x＋y－1)2＋ 2x－y＋4＝0. 又∵(x＋y－1)2≥0， 2x－y＋4≥0， ∴x＋y－1＝0，2x－y＋4＝0，
D. －12
得 a＋1＋(2a＋b)2＝0.
∵ a＋1≥0，(2a＋b)2≥0， ∴a＋1＝0，2a＋b＝0，解得 a＝－1，b＝2.
∴ba＝2－1＝12. 【答案】 B
按时完成课后同步训练，全面提升自我！
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(1)x＝13. (2)x＝－1. (3)x＝1. 【解析】 将 x＝13，x＝－1，x＝1 分别代入 3x－1，代
入后要注意二次根式是否有意义，结果要化简． (1)当 x＝13时， 3x－1＝ 3×13－1＝0. (2)当 x＝－1 时， 3x－1＝ 3×（－1）－1＝ －4，二次
反思
当非负数之和为 0 时，每一个非负数都为 0.
【变式训练 3】 已知实数 a，b 满足 a＋1＋4a2பைடு நூலகம்4ab＋
b2＝0，则 ba 的值为
()
A. 2
B.
1 2
C. －2
【解析】 由 a＋1＋4a2＋4ab＋b2＝0，
2．二次根式的双重非负性：①二次根式 a是一个非负数，即 a≥0； ②被开方数 a 是非负数，即 a≥0.
3. a中 a 可以是数，也可以是式； a既可表示开方运算，也可表示 运算的结果. a＋1 不是二次根式，它是含二次根式的代数式．
4．“ a”中的根指数为 2，即“2 a”，我们一般省略根指数 2，写做“ a”，
【例 3】 已知 x，y 均为实数，且(x＋y－1)2 与 2x－y＋4 互为相反数，求实数 yx 的倒数的相反数．
【解析】 ∵(x＋y－1)2 与 2x－y＋4互为相反数， ∴(x＋y－1)2＋ 2x－y＋4＝0. 又∵(x＋y－1)2≥0， 2x－y＋4≥0， ∴x＋y－1＝0，2x－y＋4＝0，
D. －12
得 a＋1＋(2a＋b)2＝0.
∵ a＋1≥0，(2a＋b)2≥0， ∴a＋1＝0，2a＋b＝0，解得 a＝－1，b＝2.
∴ba＝2－1＝12. 【答案】 B
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(1)x＝13. (2)x＝－1. (3)x＝1. 【解析】 将 x＝13，x＝－1，x＝1 分别代入 3x－1，代
入后要注意二次根式是否有意义，结果要化简． (1)当 x＝13时， 3x－1＝ 3×13－1＝0. (2)当 x＝－1 时， 3x－1＝ 3×（－1）－1＝ －4，二次
八年级数学下册 1.1 二次根式课件(1) (新版)浙教版
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根。
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a (a 0)表示.
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
x0
求下例二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2
(2) 1 1 2a
解:由题意得,
3a 2 0
a2 3
解:由题意得,
1 1 2a
0
1 2a 0
1 2a 0
?
若a.b为实数,且 | 2 a | b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值。
解: 2 a 0, b 2 0
?
而 2a b2 0
2 a 0, b 2 0
a 2, b 2
原式 a2 b 12 a2 b 12 2 1 3
1.若 (a 5)2 (2b 3)2 =0，则 ab2 =_____。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3, 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
求x的值.
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根。
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a (a 0)表示.
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
x0
求下例二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2
(2) 1 1 2a
解:由题意得,
3a 2 0
a2 3
解:由题意得,
1 1 2a
0
1 2a 0
1 2a 0
?
若a.b为实数,且 | 2 a | b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值。
解: 2 a 0, b 2 0
?
而 2a b2 0
2 a 0, b 2 0
a 2, b 2
原式 a2 b 12 a2 b 12 2 1 3
1.若 (a 5)2 (2b 3)2 =0，则 ab2 =_____。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3, 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
求x的值.
二次根式初中数学原创课件
当a ≥ -1 时， + 在实
（3）
−
数范围内有意义.
例题学习1
例1
求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
解：（2）由
（1） +
（2）
（3）
−
−
>0，得
−
a＜
当a ＜
时，
.
在实
−
数范围内有意义.
例题学习1
例1
求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
用 （a ≥0）表示.
平方根的性质：
① 正数有两个平方根且互为相反数；
② 0 有一个平方根就是0本身；
③ 负数没有平方根.
1. 16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？
3. -7有没有平方根？有没有算术平方根？
新知探索
表示什么？
表示非负数a的算术平方根.
解：（3）当a 为任意实数
（1） +
时，都有 (a -3)2 ≥0.
（2）
（3）
−
−
当a为任意实数时，
− 都有意义.
跟踪练习1
1. 求下列二次根式中字母 x 的取值范围：
（1）
（2）
（3） −
解：（1） x为任意实数.
（2） x >0.
（3） x≤0.
故a的值为1.
3. 若(2x+4y)2+
− =0, 求4x - y 的值.
解：因为 (2x+4y)2 ≥ 0，
− ≥ 0，它们和为0，
初中数学二次根式 PPT课件 图文
2 2 当x=3-
答案:2
时,原式=(3- -3)2=2.
【方法技巧】二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子 的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式,简化运算.在有 理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次 根式同样适用.
根式即可.
【自主解答】 (2 3 )2 － 2 4 5 26 － 26 5 .
答案:5
【母题变式】(改变条件)(2015·临沂中考)计算: (3 2 － 1 )(3 － 2 1 ).
提示:找出公式中的a,b的值,代入平方差公式计算,再 应用完全平方式计算:因为
(32－ 1)(3－ 21)
(2)由题意可知,x-3≥0,且3-x≥0, ∴x-3=0,解得,x=3,∴y=2,∴xy=32=9. 答案:9
【名师点津】二次根式有无意义的条件需注意的两个问题 (1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是:各个二次根式中的 被开方数都必须是非负数.
(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为 零.
=________.
8 8.(2015·成都中考)计算:
4cos 45°+(-3)2.
-(2015-π )0-
2 2 【解析】原式=2 -1-2 +9=8.
【变式训练】(2015·泸州中考)计算:
8 ×sin 45°-20150+2-1.
【解析】原式=
222112113. 2 2 22
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份
1.2 二次根式的性质 课件(共17张PPT) 浙教版数学八年级下册
1.2 二次根式的性质课件(共17张PPT) 浙教版数学八年级下册(共17张PPT)1.2 二次根式的性质教学目标1．了解二次根式的上述两个性质.2．会运用上述两个性质进行有关的计算.教学难点在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.二次根式有哪些性质新课导入664.4721359554.4721359550.750.751.2247448711.224744871比较左右两边的等式,你有什么发现能用字母表示你所发现的规律吗探究新知一般地,二次根式有下面的性质:文字表达：1、积的算术平方根等于算术平方根的积.2、商的算术平方根等于算术平方根的商.(1)错（2）错（3）错合作探究归纳概念(1)二次根式化简：①预备阶段：包括分解质因数；化带分数为假分数；处理好被开方数的符号；根号内分数的分子、分母同乘一个数，使分母成为一个整数的平方等等；②运用二次根式的性质化简．(2)对化简结果的要求：①根号内不再含有分母；②根号内不再含有开得尽方的因数或因式．例1 化简注意：一般地,二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数,且在该自然数的因数中,不含有除1以外的自然数的平方数.典例精析例2 化简1.化简：巩固练习2.下列各式中，计算正确的是()C3.下列二次根式中，最简二次根式是()B1．积的算术平方根说明：积的算术平方根等于各个因式的算术平方根的积．注意：a，b的条件是a≥0，b≥0.2．商的算术平方根说明：商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根．注意：a，b的条件是a≥0，b＞0.课堂小结3．最简二次根式定义：在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式．注意：二次根式化简的结果应为最简二次根式．。
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
2022年浙教初中数学八下《二次根式的运算》PPT课件11
A．(4，3) C．(2，3)
B．(3，4) D．(3，2)
3．(5 分)如图，已知棋子“ ”的位置表示为(－2，3)，棋子
“ ”的位置表示为(1，3)，则棋子“ ”的位置表示为( A )
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(－2，2)
4．(5分)小明看小丽的方向为北偏东30°，那么小丽 看小明的方向是( B )
(2)“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45°的方向 ，距离此处2.4 km的地方；
(3)“321号水库”在他现在所在地的南偏东27°的方向，距 离此处2 km的地方．
根据这些信息，画出表示各处位置的一张简图．
解：略
13．(12分)如图所示，上午8时在一小岛C处测得一轮船 在北偏西40°方向30海里的A处沿直线方向航行，到当天 上午10时，轮船在小岛的北偏东50°方向40海里的B处， 求轮船航行的平均速度．
浙教版八年级《数学》下册
1.3 二次根式的运算(3)
熟练地运用二次根式的性质化简二次根 式；
会运用二次根式解决简单的实际问题；
进一步体验二次根式及其运算的实际意 义和应用价值。
节前问题：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， AD：BD=1 ：0.6，云梯底 A 部离地面的距离BC为2m。 你能求出云梯的顶端离地
C
A
B
D
试一试：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， AD：BD=1 ：0.6，云梯底 A 部离地面的距离BC为2m。 你能求出云梯的顶端离地 面的距离AE吗？
D B
E C
课堂练习2
如图:一艘快艇从O港出发,向东北方向行驶到A处, 然后向西行驶到B处,再向东南方向行驶,共经过1时 回到O港.已知快艇的速度是60千米/时,问AB这段 路程是多少千米?(精确到0.1千米).
浙教初中数学八下《1.0第1章 二次根式》PPT课件 (10)
2
求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a 1;
2 1 ;
1 2a
3 (a 3)2 .
练习 求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a 3;2 1 ;3 a2 1.
3a
当x＝－4时，求二次根式 1 2x 的值。
1.求下列二次根式中字母x的取值范围：
课 1 x 1;
பைடு நூலகம் 4x2 ;
内 练
3 1 ;
x
4 3x.
习 2.一艘轮船先向东方向航行2时，再向西北方 向航行 t 时。船的航速是每时25千米。
（1）用关于 t 的代数式表示船离出发地的距 离；
（2）求当 t＝3时，船离出发地多少千米 （精确到0.01千米）。
1、若二次根式 x2 的值为3，求x的值.
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公 式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所 经过的时间.
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落， 落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?
作业： 作业本（1）P1－2 1、1
再见
2006.02.12
1.1 二次根式
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根。
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。
用 a (a 0)表示.
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形 的条件，完成以下填空：
2cm
（b－3）cm2
a cm
直角三角形的斜边长是__a_2__4__
正方形的边长是___b____3__
等边三角形的边长是___2_s__
求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a 1;
2 1 ;
1 2a
3 (a 3)2 .
练习 求下列二次根式中字母a的取值范围：
1 a 3;2 1 ;3 a2 1.
3a
当x＝－4时，求二次根式 1 2x 的值。
1.求下列二次根式中字母x的取值范围：
课 1 x 1;
பைடு நூலகம் 4x2 ;
内 练
3 1 ;
x
4 3x.
习 2.一艘轮船先向东方向航行2时，再向西北方 向航行 t 时。船的航速是每时25千米。
（1）用关于 t 的代数式表示船离出发地的距 离；
（2）求当 t＝3时，船离出发地多少千米 （精确到0.01千米）。
1、若二次根式 x2 的值为3，求x的值.
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公 式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所 经过的时间.
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落， 落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?
作业： 作业本（1）P1－2 1、1
再见
2006.02.12
1.1 二次根式
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根。
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平根。
用 a (a 0)表示.
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形 的条件，完成以下填空：
2cm
（b－3）cm2
a cm
直角三角形的斜边长是__a_2__4__
正方形的边长是___b____3__
等边三角形的边长是___2_s__
2022年浙教初中数学八下《二次根式》PPT课件2
进一步体验二次根式及其运算的实际意 义和应用价值。
(2)当x = –2时，求二次根式 2 1 x 的值。
2
随堂练习 2
1. 求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1 ) x 1 (2 ) 4 x 2 (3 ) 1
x (4 ) 3 x
随堂练习 3
2.当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1)x = 0 (2)x = 1 (3)x =‐1
2cm a cm
那么直角三角形的斜边长是 a2 4 cm。
试一试
2SaΒιβλιοθήκη 4随堂练习 11. 判断，下列各式中哪些是二次根式？
7，
1 2
，
x 2 y (y 0)， x2 y 2 ，3 8 .
二次根式根号内字母的取值范围必须满足
被开方数大于或等于零
节前问题：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， AD：BD=1 ：0.6，云梯底 A 部离地面的距离BC为2m。 你能求出云梯的顶端离地
1.作业本A组. （B组选做） 2.课本作业题（P5页）
提高练习
求出下列二次根式中字母a的取值范围：
(1 a ) 2 ，
1 1 a
a2 3 ，
3 2a a 1
例
2：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解： ∵ x-2≥0， x-3≠0,
∴ x≥2且x≠3
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
1、求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) 32x (2 ) 5 1 x
(3) x2 6x10
2、当x=-4时，求二次根式 43x 的值。
展示交流：
(2)当x = –2时，求二次根式 2 1 x 的值。
2
随堂练习 2
1. 求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1 ) x 1 (2 ) 4 x 2 (3 ) 1
x (4 ) 3 x
随堂练习 3
2.当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1)x = 0 (2)x = 1 (3)x =‐1
2cm a cm
那么直角三角形的斜边长是 a2 4 cm。
试一试
2SaΒιβλιοθήκη 4随堂练习 11. 判断，下列各式中哪些是二次根式？
7，
1 2
，
x 2 y (y 0)， x2 y 2 ，3 8 .
二次根式根号内字母的取值范围必须满足
被开方数大于或等于零
节前问题：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， AD：BD=1 ：0.6，云梯底 A 部离地面的距离BC为2m。 你能求出云梯的顶端离地
1.作业本A组. （B组选做） 2.课本作业题（P5页）
提高练习
求出下列二次根式中字母a的取值范围：
(1 a ) 2 ，
1 1 a
a2 3 ，
3 2a a 1
例
2：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解： ∵ x-2≥0， x-3≠0,
∴ x≥2且x≠3
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
1、求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) 32x (2 ) 5 1 x
(3) x2 6x10
2、当x=-4时，求二次根式 43x 的值。
展示交流：
2022年浙教初中数学八下《 二次根式》PPT课件10
【解析】
3 (1)
0.125＝0.5.
3 (2)
19285－1＝ 3
－12275＝－53.
【答案】 (1) 0.5 (2)－35
【跟踪练习 2】 计算：Fra bibliotek3 (1)
－0.001；
3 (2)
119215；
【解析】
3 (1)
－0.001＝－0.1.
3 (2)
119215＝ 3
211265＝65.
3 (3)
A.3
B.-3
C.1
D.-1
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
x 1.（2005.吉林）当 _≤__3__时， 3 x 有意义。
2.(2005.青岛) a 4+ 4 a 有意义的条件是 a=_4_ .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5
1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
(3)－102
【跟踪练习 1】 求下列各式中 x 的值． (1)3x3＋24＝0； (2)1000(x－1)3＝－27.
【解析】 (1)∵3x3＋24＝0，∴3x3＝－24，
∴x3＝－8，∴x＝3 －8＝－2. (2)∵1000(x－1)3＝－27， ∴(x－1)3＝－0.027，
∴x－1＝3 －0.027＝－0.3， ∴x＝0.7. 【答案】 (1)x＝－2 (2)x＝0.7
这是本题的易错点．
【解析】 (1)∵(－4)3＝－64，∴－64 的立方根是－4，即 3 －64＝－4.
(2)∵233＝287，∴287的立方根是23，即 3 287＝23.
(3)∵(－102)3＝－106，∴－106 的立方根是－102，即
2022年浙教初中数学八下《二次根式》PPT课件22
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质：
0有一个平方根就是它0；
负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
说出下列各式的意义；
1,6 8,10, 1, 1 0 4, 0.0;4 49
观察： 上面几个式子中，被开方数 的特点？根指数是多少？
被开方数是非负数，根 指数都是二次．
例 １ 求下列二次根式中字母x的取值范围：
x 3 x1, (x3)2
解 当 x 3 时 x，30。 字母的取值范围是 x 3 的实数
求下列二次根式中字母x的取值范围：
2x 2x5 3 x (x 3)2
例２、当x= -4时，求二次根式 1 2x的值
1.当x分别取下列值时，求二次根式 42x
得到下列两种不同的答案，哪个正确？
甲的解答是 a - ( a 1) 2 = a -（a+1）= -1；
乙的解答是 a - ( a 1) 2 = a +（a+1）=2a+1
=2×（-1.5)+1= - 2
这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
今天我们学会了…
二次根式的概念．
学会求二次根式中字母的取值范围；
倍
速
数还需作进一步扩展.
课
ห้องสมุดไป่ตู้
时
学
练
学 练
【解析】 ∵用煲饭的 30 min 可同时完成擦窗、洗菜、炒菜， ∴小慧同学完成以上五项家务活，至少需要 3＋30＝33(min)．
【答案】 33
【跟踪练习 2】 小颖中午放学回家自己煮面条吃，有下 面几道工序：①洗锅盛水 2 min；②洗菜 3 min；③准 备面条及佐料 2 min；④用锅把水烧开 7 min；⑤用烧 开的水煮面条和菜 3 min.以上各道工序，除④外，一 次只能进行一道工序，小颖要将面条煮好，最少用
浙教版初中数学八年级下册 二次根式的性质(1) 课件
（1）
2
（2） 2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
课外拓展
已知：x＜0，化简 16x2
=|4x| ∵x<0 , ∴4x＜0,
∴原式 = - 4x
(河南省)实数p在数轴上的位置如图 所示，化简
在实数范围内分解因式:4解: ∵ ∴ Nhomakorabea-3
?
大 家 抢 答
比一比： 比较分析
和
读法
根号a括号的平方 根号a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范围 a≥0
a取全体实数
运算结果
a
∣a∣
计算:
练一练：
1、判断题 × ×
练一练：
计算:
计算:
例3、化简：
(1)
(2)
(3)
(a＜0,b＞0)
(4)
(a＞1 )
(5)
二次根式的性质及它们的应用:
1.2 二次根式的性质 (1)
合作学习: 已知下列各正方形的面积,求其边长.
面积2
面积5
面积7
你能猜想
想一想
?
a
你能用平方根的定义说明理 由吗？
如果一个数的平方等于a,那么 这个数叫做a的平方根,也叫做 a的二次方根。
你能用几何图形说明理由吗？
口答：
3 5
2
2
5
5
0
0
请比较左右两边的式子,想一想:
1新浙教版初中数学八年级下册精品课件.1 二次根式
浙教版 八年级下
第1章 二次根式
第1节 二次根式
ห้องสมุดไป่ตู้
提示：点击 进入习题
1C 2A
3C 4C 5B
6B 79 8 x－2 9 见习题 10 见习题
答案显示
提示：点击 进入习题
11 见习题
答案显示
1．下列式子一定是二次根式的是( C )
A. －x－2
B. x
C. x2＋2
D. x2－2
2．下列式子不一定是二次根式的是( A )
9．求下列二次根式中字母 x 的取值范围： (1) 3－2x； 解： x≤32
(2) x2＋1； 解：全体实数；
x－2 (3) x－6 .
解：x≥2且x≠6.
10．物体自由下落时，下落距离 h(米)可用公式 h＝4.9 t2 来估计，
其中 t(秒)表示物体下落所经过的时间．
(1)把解这：个h＝公4式.9t变2，形两成边用同h除表以示4.t9的，公得式t2＝；4h.9，
两边开平方，得 t＝±
10h 7.
因为 t 为时间，所以 t≥0，所以 t＝ 170h(h≥0)．
(2)一个物体从 60 米高的塔顶自由下落，落到地面大约需要几秒？
(结果保留一位小数) 解：由(1)可知 t＝ 170h(h≥0)，
当 h＝60 时，t＝
170h＝
10×60 7 ≈3.5.
答：一个物体从 60 米高的塔顶自由下落，落到地面大
A. a
B. b2＋1
C. 0
D. （a＋b）2
3．【中考·日照】式子 aa－＋21有意义，则实数 a 的取值范围是( C )
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1 且 a≠2
第1章 二次根式
第1节 二次根式
ห้องสมุดไป่ตู้
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3C 4C 5B
6B 79 8 x－2 9 见习题 10 见习题
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11 见习题
答案显示
1．下列式子一定是二次根式的是( C )
A. －x－2
B. x
C. x2＋2
D. x2－2
2．下列式子不一定是二次根式的是( A )
9．求下列二次根式中字母 x 的取值范围： (1) 3－2x； 解： x≤32
(2) x2＋1； 解：全体实数；
x－2 (3) x－6 .
解：x≥2且x≠6.
10．物体自由下落时，下落距离 h(米)可用公式 h＝4.9 t2 来估计，
其中 t(秒)表示物体下落所经过的时间．
(1)把解这：个h＝公4式.9t变2，形两成边用同h除表以示4.t9的，公得式t2＝；4h.9，
两边开平方，得 t＝±
10h 7.
因为 t 为时间，所以 t≥0，所以 t＝ 170h(h≥0)．
(2)一个物体从 60 米高的塔顶自由下落，落到地面大约需要几秒？
(结果保留一位小数) 解：由(1)可知 t＝ 170h(h≥0)，
当 h＝60 时，t＝
170h＝
10×60 7 ≈3.5.
答：一个物体从 60 米高的塔顶自由下落，落到地面大
A. a
B. b2＋1
C. 0
D. （a＋b）2
3．【中考·日照】式子 aa－＋21有意义，则实数 a 的取值范围是( C )
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1 且 a≠2
2022年浙教初中数学八下《二次根式的性质》PPT课件20
为 5 ， 5 和 1 0 ，并判断这个三角形的形状.
专题六 与中点有关的辅助线作法 教材母题►(教材P99例题) 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：见教材P99页
【思想方法】 (1)连接对角线，把四边形 转化为三角形体现了转化思想．
∴原式 = - 4x
练 一 练 ： x 2-6 x + 9 + x 2+ 2 x + 1 ( -1 < x < 3 )
解：原式= (x3)2 (x1)2 =|x-3|+|x+1|
∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
请在上图4×4的方格中画一个三角形，使三边
⑴ 二次根式的概念;
表示算术平方根的代数式
⑵ 如何求二次根式中字母的取值范围 ①观察配方法; ② 列不等式或不等式组法来求解. ③分母不能为0
⑶ 求二次根式的值
1、已知 x292xy20，求x+y的
值。
2.若x、y都是实数，且 y13x3x11
时，求代数式5x— 6y值。 你会求吗？
求当二次根式 4 x 2 的值等于2时x的值.
判
断
4
52___5_____,5
22 2 3 _____3___.
2 2 _ 2_ _ ,
5 2 _ 5_ _ ,
0 2 _ _0_ ,
| 2 | _2_ _ ; | 5 | _ 5_ _ ; | 0 | _ _0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与| a | 有什么关
专题六 与中点有关的辅助线作法 教材母题►(教材P99例题) 已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G， H分别是AB，BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：见教材P99页
【思想方法】 (1)连接对角线，把四边形 转化为三角形体现了转化思想．
∴原式 = - 4x
练 一 练 ： x 2-6 x + 9 + x 2+ 2 x + 1 ( -1 < x < 3 )
解：原式= (x3)2 (x1)2 =|x-3|+|x+1|
∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
请在上图4×4的方格中画一个三角形，使三边
⑴ 二次根式的概念;
表示算术平方根的代数式
⑵ 如何求二次根式中字母的取值范围 ①观察配方法; ② 列不等式或不等式组法来求解. ③分母不能为0
⑶ 求二次根式的值
1、已知 x292xy20，求x+y的
值。
2.若x、y都是实数，且 y13x3x11
时，求代数式5x— 6y值。 你会求吗？
求当二次根式 4 x 2 的值等于2时x的值.
判
断
4
52___5_____,5
22 2 3 _____3___.
2 2 _ 2_ _ ,
5 2 _ 5_ _ ,
0 2 _ _0_ ,
| 2 | _2_ _ ; | 5 | _ 5_ _ ; | 0 | _ _0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a 2 与| a | 有什么关
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注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根
也叫做二次根式.如
3, 1 2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 二 象限.
a
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
4.当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1
变式练习:若二次根式 x2 的值为3，
求x的值.
隋堂练习 1
练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
下列各式中哪些是二次根式？
?
7, 1 , x 6, x2 y ( y 0), x2 y2 , 3
3 8, 2x2 2x 5, a 1
7, 1 , x2 y ( y 0), x2 y2 , a 1 3
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
1 x－2
解:由题意得,
x 0 x 2 0 x 0且 x 4
1 x－2 解:由题意得,
x 2 0 x 2 0 x20
x2
?
| x | 3
1 4x
解:由题意得,
| x | 3 0 1 4x 1 4x 0
1| x|4x300或
| x | 3 0 1 4x 0
x x
解:由题意得,
a
a 1
0
a 1 0
a a
0 1
或 0
a a
0 1
0
a 1或 a 0
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
?
当x=-4时，求二次根式 1 2x的值。
解：将x=-4代入二次根式，得
1 2x 1 2 (4) 9 3
3或 1 4
x
3 或
3 x
x
1 4
3
x 3或 1 x 3 4
2. 已知 y x 2 2 x 3 ，求 y x 的值.
解:由题意得,
x 2 0 2 x 0
?
x2
y 22 2233 yx 32 9
1、求下列二次根式中字母的取值范围：
（1） 1 3x（2）（y－2）2（3）
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根.
用 a (a 0)表示.
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米.
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
在实数范围内,负数没有平方根
归纳:二次根式中字母的取值范围
?
必须满足被开方数大于等于零.
1、 a 1表示什么？是平方根，还是算术平方根？
算术平方根
2、 a 1 的被开方式是什么？被开方式必须满足什 么条件,二次根式才有意义？
a 1 0
3、 a 1 中字母a需满足什么条件，才有 a 1 0 ？
a 1
?
而 2a b2 0
2 a 0, b 2 0
a 2, b 2
原式 a2 b 12 a2 b 12 2 1 3
1.若 (a 5)2 (2b 3)2 =0，则 ab2 =_____。
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1 ，你能求出a及 a+b 的值吗？
?
若二次根式 2x2 1的值为3，求x的值。
解：
由题意得: 2x2 1 3 两边同时平方得: 2x2 1 9
x2 4
x 2
一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西
轮船
北方向航行t小时。船的航速是每时25千米。
1)、用关于t的代数式表示船离开出发地的距离。
2)、求当t=3时，船离开出发地多少千米。
S
则半径为____________.
b-3
如图所示的值表示正方形的面积，则
正方形的边长是 b 3
a2 2500
s
b3
你认为所得的各代数式的共同特点是什么?
1、都表示算术平方根 2、根号里面的式子都含有字母
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式.
2
2 2x＋1（4）
4 3x 2x 1
(1)解:由题意得,
(4)解:由题意得,
1 3x 0 (3)解:由题意得,
2
2x 1 0
4 3x 0 2x 1
x1 6
x1 2
(2)解:由题意得,
( y 2)2 0
2x 1 0
4 3x 2x 1
0或 0
4 2
3x x 1
0 0
y可取全体实数
x0
1 (6) x2
x0
x0
求下例二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2
解:由题意得,
3a 2 0
a2 3
(2) 1
1 2a
解:由题意得,1 源自01 2a1 2a 0
1 2a 0
a1 2
(3) (a 3)2
解:由题意得,
(a 3)2 0 a 可取全体实数
(4) a a 1
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
7 2x 1
1 x
（8）
1、若二次根式 x2 的值为3，求x的值.
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公 式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所 经过的时间.
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
解:由题意得,
x 1 0 5 | x | 0
x 5
|
1得 x|
x 1 5 x 5
5 x 1
已知 1 有意义,那A(a,
在
二
a
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
若a.b为实数,且 | 2 a | b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值。
解: 2 a 0, b 2 0
（精确到0.01）
北
解:(1)设船离出发地的距离为s千米
45
45 45
s 502 (25t)2 2500 625t2
(2)当t=3时,
s= 2500 625 32 8125 90.14 东
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题.
?
1. 求式子 x＋1－ 5－x 有意义时X的取值范围。
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落， 落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?
一路下来，我们结识了很多新知识， 你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家 一起来分享。
s
1、二次根式的定义：像 a2 2500, , b 3这样 表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫 做二次根式。
2、二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方 数大于或等于零。
3、求二次根式的值：用数值代替二次根式里的字母。
按下列程序运算， 看哪一组完成得快。
输入一个数x
带入 1 2x x2 是否有意义 否
是 结果代入 100 x 是否有意义
否
输 出
是
这
结果代入 x2 21是否有意义 是
结果代入 (x 91)2 是否有意义
否个 数
否
是
1. 求下列各式有意义时的X取值范围：
4x1
3
2