人教版2020届九年级数学上学期同步测试专题24-4：弧长和扇形面积 含解析
人教版数学九年级上册24.4弧长和扇形的面积同步练习含答案
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》一、选择题1、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（）A． B．C． D．2、如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．3、如图所示，在扇形BAD中，点C在上，且∠BDC=30°，AB=2，∠BAD=105°，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．π﹣1 C．2π﹣2 D．2π+14、如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（）A． B． C． D．5、如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，点B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π6、如图,把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为 ( )sA 、（ +）πB 、（ +）π/C 、2πD 、π27、一圆锥的底面直径为4cm ，高为cm ，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．20πcm 2B ．10πcm 2C ．4πcm 2D ．4πcm 28、圆锥底面圆的半径为3cm ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ） A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm二、填空题9、半径为3，弧长为4的扇形面积为．10、.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为 .11、如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是．12、小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为30cm，面积为300πcm2，则这个圣诞帽的底面半径为cm．13、如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧OC、弧OA所围成的面积是_______cm2．14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是___(结果保留π)．15、如图，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为．16、如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为．17、如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为．三、简答题19、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=，求阴影部分的面积．20、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．21、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．22、某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm．请你和他们一起解决下列问题：（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．①图2中弧EF的长为cm，弧MN的长为cm；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧MN所在圆的圆心O，如图3所示．小顾同学发现有=，请你帮她证明这一结论．③根据②中的结论，求弧MN所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n．（2）小顾同学计划利用正方形纸片一张，按如图甲所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．参考答案一、选择题1、D2、D．3、A【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】阴影部分的面积=S扇形ACD﹣S△ACE，根据面积公式计算即可．【解答】解：∵∠BDC=30°，∴∠BAC=60°，∵AC=AB，∴△ABC是等边三角形，∵∠BAD=105°，∴∠CAE=105°﹣60°=45°，∵CE⊥AD，AC=AB=2，∴AE=CE=2，∴S△ACE=2，S扇形ACD==π，∴阴影部分的面积为S扇形ACD﹣S△ACE=π﹣2，故选A．【点评】本题考查了三角形和扇形的面积公式及三角函数值，得到阴影部分的面积=S扇形ACD﹣S△ACE是解题的关键．4、A【考点】MO：扇形面积的计算；L5：平行四边形的性质．【分析】根据题意可以得到平行四边形底边AB上的高，由图可知图中阴影部分的面积是平行四边形的面积减去扇形的面积和△EBC的面积．【解答】解：作DF⊥AB于点F，∵AD=2，∠A=30°，∠DFA=90°，∴DF=1，∵AD=AE=2，AB=4，∴BE=2，∴阴影部分的面积是：4×1﹣=3﹣，故选A．5、A 【考点】MO ：扇形面积的计算；KS ：勾股定理的逆定理；R2：旋转的性质．【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED 的面积=△ABC 的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4， ∴△ABC 为直角三角形，由题意得，△AED 的面积=△ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED 的面积+扇形ADB 的面积﹣△ABC 的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积==，故选：A ．6、B7、B 【考点】MP ：圆锥的计算．【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的底面直径为4cm ，高为cm ，则底面半径=2cm ，底面周长=4πcm ，由勾股定理得，母线长=5cm ，侧面面积=×4π×5=10πcm 2．故选B ．8、B二、填空题9、 6 ．【考点】扇形面积的计算．【分析】由扇形面积公式S=lR 进行计算．【解答】解：由题意得：S=×4×3=6．故答案是：6．10、；11、；12、10分析：由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形卡纸制作一个圣诞帽，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．解：设卡纸扇形的半径和弧长分别为R、l，圣诞帽底面半径为r，则由题意得R=30，由Rl=300π得l=20π；由2πr=l得r=10cm．故答案是：10．13、214、_解析：∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴AB＝2，扇形BAD的面积为：＝，在直角△ABC中，BC＝AB·sin60°＝2×＝，AC＝1，∴S△ABC＝S△ADE＝AC·BC＝×1×＝，扇形CAE的面积是：＝，∵S△ADE＝S△ABC，则阴影部分的面积是：S扇形DAB＋S△ABC－S△ADE－S扇形ACE＝－＝15、cm2．【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】根据题意有S阴影部分=S扇形BCD﹣S半圆CD，然后根据扇形的面积公式：S=和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．【解答】解：根据题意得，S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，∵S扇形BCD=，S半圆CD=π（）2=，∴S阴影部分=﹣=．故答案为：cm216、9 ．【考点】扇形面积的计算．【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=lr，计算即可．【解答】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，∴S扇形DAB=lr=×6×3=9．故答案为：9．【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=lr．17、5π．【考点】MN：弧长的计算；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，连接OD．根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=110°﹣∠DOB=50°；然后由弧长公式弧长的公式l=来求的长．【解答】解：如图，连接OD．根据折叠的性质知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等边三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=110°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=50°，∴的长为=5π．故答案是：5π．18、π﹣2 ．【考点】MO：扇形面积的计算；KW：等腰直角三角形．【分析】空白处的面积等于△ABC的面积减去扇形BCD的面积的2倍，阴影部分的面积等于△ABC的面积减去空白处的面积即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，S扇形BCD==π，S空白=2×（2﹣π）=4﹣π，S阴影=S△ABC﹣S空白=2﹣4+π=π﹣2，故答案为π﹣2．三、简答题19、（1）证明：连接OC，如图，………1分∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂直平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；………5分（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，………7分∵BF=，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，………8分在Rt△OBE中，BE=OB=2，∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2××2×2﹣=4﹣π．………10分20、解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠B=∠D=60°.（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．又∠B=60°∴∠BAC=30°. ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE.∴AE是⊙O的切线.（3）如图，连接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°.∴劣弧AC的长为＝π．21、22、【考点】圆的综合题．【专题】综合题．【分析】（1）①直接根据圆的周长公式计算；②设它所对的圆心角的度数为n ，根据弧长公式得到的长=，的长=，然后把它们相比即可得到=；③由（2）中的结论得到得==，加上OF=ON+6，可求得ON=12，再利用弧长公式得到=4π，于是可求出n=60°；（2）如图4，连结EF ，OB ，它们相交于点P ，先证明△OEF 为等边三角形得到EF=OF=18，再证明Rt △AOE ≌Rt △COF 得到AE=CF ，则BE=BF ，于是可判断OB 垂直平分EF ，所以PF=EF=9，由勾股定理计算出OP==9，由△PFB 为等腰直角三角形和得到PB=PF=9，则OB=9+9，然后根据正方形的性质得OC=OB=．【解答】（1）解：①如图2，弧EF 的长为6πcm ，弧MN 的长为4πcm ；故答案为6π，4π；②证明：如图3，设它所对的圆心角的度数为n ，的长=，的长=，所以=；③由（2）得==，而OF=ON+6，解得ON=12，即r=12，因为=4π，解得n=60°；（2）解：如图4，连结EF，OB，它们相交于点P，∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OC，∠OBC=45°，∵∠OEF=60°，OE=OF，∴△OEF为等边三角形，∴EF=OF=18，在Rt△AOE和Rt△COF中，，∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴AE=CF，∴BE=BF，∴OB垂直平分EF，∴PF=EF=9，∴OP==9，∵△PFB为等腰直角三角形，∴PB=PF=9，∴OB=9+9，∴OC=OB=，即正方形纸片的边长为cm．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和正方形的性质；记住弧长公式；学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题．。
人教版九年级上《24.4弧长和扇形面积》同步练习含答案(共2份)
24.4 第1课时 弧长和扇形面积知识点 1 弧长公式及其应用1．在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长l ＝________，n °的圆心角所对的弧长l ＝________．2．(1)2016·岳阳在半径为6 cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm. (2)有一条弧的长为2π cm ，半径为2 cm ，则这条弧所对的圆心角的度数是________； (3)一条长度为10π cm 的弧所对的圆心角为60°，则这条弧所在的圆的半径是________．3．若半径为5 cm 的一段弧的弧长等于半径为2 cm 的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为( )A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°4．2017·咸宁如图24－4－1，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( )图24－4－1A ．π B.32πC ．2πD ．3π5．如图24－4－2所示，⊙O 的半径为6 cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为B ，弦BC ∥AO .若∠A ＝30°，求劣弧BC ︵的长．图24－4－2知识点 2 扇形的面积公式及其应用6．2016·宜宾半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( ) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．2017·天门一个扇形的弧长是10π cm ，面积是60π cm 2，则此扇形的圆心角的度数是( )A ．300°B ．150°C ．120°D ．75°8．2017·泰州扇形的半径为3 cm ，弧长为2π cm ，则该扇形的面积为________cm 2. 9．(1)在半径为6 cm 的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是________； (2)已知扇形的半径为2 cm ，面积为2π cm 2，则扇形的圆心角是________； (3)若扇形的弧长为10π cm ，面积为20π cm 2，则扇形的半径为________．10．2016·怀化已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于________． 11．如图24－4－3，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接BC ，OC . (1)求证：∠BCD ＝12∠COB ；(2)若OC ＝10，∠BCD ＝15°，求阴影部分的面积．图24－4－312．2016·青岛如图24－4－4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 的长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为( )图24－4－4A ．175π cm 2B ．350π cm 2 C.8003π cm 2 D ．150π cm 2 13．2016·山西如图24－4－5，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为( )图24－4－5A.π3B.π2C ．πD ．2π 14．2016·昆明如图24－4－6，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB 垂直于弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连接AD ，OC ，BC ，则下列结论不正确的是( )图24－4－6A ．EF ∥CDB ．△COB 是等边三角形C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为32π15．2017·舟山如图24－4－7，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8 cm 的⊙O ，AB ︵＝90°，弓形ACB (阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为________．图24－4－716．2016·福州如图24－4－8，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵的中点，连接BM ，CM .(1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长．图24－4－817．2017·枣庄如图24－4－9，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，与AC ，AB 分别交于点E ，F .(1)试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若BD ＝2 3，BF ＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．图24－4－918．如图24－4－10所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF.(1)求证：OF∥BC；(2)求证：△AFO≌△CEB；(3)若EB＝5 cm，CD＝10 3 cm，设OE＝x cm，求x的值及阴影部分的面积．图24－4－10教师详解详析1.πR 180 n πR1802．(1)4π (2)180° (3)30 cm3．D [解析] 设这段弧所对的圆心角为n °，则有n180π·5＝2π·2，解得n ＝144.4．C [解析] ∵∠BAD ＝12∠BOD ＝12∠BCD ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∴∠BOD ＝120°. 又∵⊙O 的半径为3，∴BD ︵的长为120π·3180＝2π.故选C.5．解：连接OB ，OC .∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥OB .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝90°－∠A ＝60°. ∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°. ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠BOC ＝60°，∴劣弧BC ︵的长为60×π×6180＝2π(cm).6．D [解析] S ＝120×π×62360＝12π.7．B [解析] 根据S 扇形＝12l 弧长r ，求得半径r ＝12 cm ，由弧长公式l ＝n πr 180，得10π＝n π·12180，解得n ＝150.即此扇形的圆心角的度数是150°. 8．3π [解析] 根据扇形面积公式，得S ＝12lr ＝12×2π×3＝3π(cm 2)．9．(1)6π cm 2 (2)180° (3)4 cm10.10π3 cm [解析] 设扇形的弧长为l cm.∵扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，∴12l ×6＝10π，解得l ＝10π3. 11．解：(1)证明：∵AB ⊥CD ，∴CB ︵＝BD ︵. 如图，连接BD ，则∠BCD ＝∠BDC .∵∠COB ＝2∠BDC (圆周角定理)， ∴∠COB ＝2∠BCD ，即∠BCD ＝12∠COB .(2)∵∠BCD ＝15°，∴∠COB ＝30°， ∴∠AOC ＝150°. 又∵OC ＝10，∴S 阴影＝150π×102360＝1253π.12．B [解析] ∵AB ＝25，BD ＝15，∴AD ＝10，∴S 贴纸＝2×(120·π×252360－120·π×102360)＝350π(cm 2)．13．C [解析] 如图，连接OE ，OF .∵∠1＝∠C ＝60°，OA ＝OF ，∴∠2＝60°.∵CD 与⊙O 相切，∴∠4＝90°，∴∠3＝90°，∴∠EOF ＝180°－∠2－∠3＝180°－60°－90°＝30°.∵r ＝12÷2＝6，∴FE ︵的长＝n πr 180＝30·π·6180＝π.14．D [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点B ，∴AB ⊥EF .又∵AB ⊥CD ，∴EF ∥CD ，故A 正确； ∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°. 又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等边三角形，故B 正确； ∵AB ⊥CD ，∴CG ＝DG .故C 正确；BC ︵的长为60×π×3180＝π，故D 不正确．故选D.15．(48π＋32)cm 2 [解析] 连接AO ，OB ，作OD ⊥AB 于点D .因为AB ︵＝90°，所以∠AOB ＝90°，所以胶皮面积S ＝S 扇形ACB ＋S △OAB ＝34×π×82＋12×8×8＝(48π＋32)cm 2.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵. ∵M 为AD ︵的中点，∴AM ︵＝DM ︵， ∴AB ︵＋AM ︵＝CD ︵＋DM ︵，即BM ︵＝CM ︵， ∴BM ＝CM .(2)∵⊙O 的半径为2， ∴⊙O 的周长为4π. ∵AM ︵＝DM ︵＝12AD ︵＝12AB ︵，∴BM ︵＝AB ︵＋AM ︵＝32AB ︵，∴BM ︵的长＝32×14×4π＝32π.17．解：(1)BC 与⊙O 相切． 理由：连接OD .∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD . 又∵OD ＝OA ， ∴∠OAD ＝∠ODA ， ∴∠CAD ＝∠ODA ， ∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，即OD ⊥BC . 又∵BC 过半径OD 的外端点D ， ∴BC 与⊙O 相切．(2)设OF ＝OD ＝x ，则OB ＝OF ＋BF ＝x ＋2，根据勾股定理，得OB 2＝OD 2＋BD 2，即(x ＋2)2＝x 2＋(2 3)2， 解得x ＝2，即OD ＝OF ＝2， ∴OB ＝2＋2＝4.∵在Rt △ODB 中，OD ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°， ∴S 扇形DOF ＝60π×22360＝2π3，则阴影部分的面积为S △ODB －S 扇形DOF ＝12×2×2 3－23π＝2 3－23π.18．解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又∵OF ⊥AC 于点F ，∴∠AFO ＝90°， ∴∠ACB ＝∠AFO ， ∴OF ∥BC .(2)证明：由(1)知∠CAB ＋∠ABC ＝90°.由AB ⊥CD 于点E ，可得 ∠CEB ＝90°，∴∠ABC ＋∠BCE ＝90°，∴∠CAB ＝∠BCE . 又∵∠AFO ＝∠CEB ＝90°，OF ＝BE ， ∴△AFO ≌△CEB .(3)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于点E ，∴∠OEC ＝90°，CE ＝12CD ＝12×103＝5 3(cm)．在Rt △OCE 中，OE ＝x cm ，OB ＝OC ＝(5＋x )cm ， 由勾股定理，得OC 2＝CE 2＋OE 2， 即(5＋x )2＝()5 32＋x 2，解得x ＝5，∴OE ＝5 cm ，OC ＝10 cm.在Rt △OCE 中，OC ＝2OE ，故∠OCE ＝30°， ∴∠COE ＝60°.由圆的轴对称性可知阴影部分的面积 S 阴影＝2(S 扇形BOC －S △OCE ) ＝2×⎝⎛⎭⎫60π×102360－12×5 3×5＝⎝⎛⎭⎫100π3－25 3cm 2.第2课时 圆锥的侧面积和全面积知识点 圆锥的侧面积以及全面积1．若设圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，那么圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长是________，圆锥的侧面积S 侧＝________，圆锥的全面积S 全＝________．2．2016·宁波如图24－4－11，圆锥的底面圆半径r 为6 cm ，高h 为8 cm ，则圆锥的侧面积为( )图24－4－11A ．30π cm 2B ．48π cm 2C ．60π cm 2D ．80π cm 23．已知圆锥底面圆的半径为3，母线长为5，则它的全面积为( ) A ．9π B ．15π C ．24π D ．39π4．2016·贺州已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为( )A．2 B．4 C．6 D．85．2017·宿迁若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm6．有一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝处忽略不计)，若圆锥的底面圆的直径是80 cm，则这块扇形铁皮的半径是()A．24 cm B．48 cmC．96 cm D．192 cm7．2017·泰安工人师傅用一张半径为24 cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为________．8．2017·自贡圆锥的底面圆周长为6πcm，高为4 cm，则该圆锥的全面积是________，侧面展开扇形的圆心角是________．9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.10．如图24－4－12，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2 cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h的长．图24－4－1211．如果圆锥的底面圆的周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积．12．2017·齐齐哈尔一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是()A．120°B．180°C．240°D．300°13．如图24－4－13所示，圆锥的底面圆半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是()图24－4－13A．8B．10 2C．15 2 D．20 214．2016·十堰如图24－4－14，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪下一个最大的扇形OCD，用此扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为()图24－4－14A．10 cm B．15 cmC．10 3 cm D．20 2 cm15．如图24－4－15，将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为()图24－4－15A ．2 2 cm B. 2 cm C.10 cm D.32cm16．如图24－4－16，从一块直径是8 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的高是( )图24－4－16A ．4 2 mB ．5 m C.30 m D ．2 15 m17．2017·南充如图24－4－17，在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，把Rt △ABC 绕BC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( )图24－4－17A ．60π cm 2B ．65π cm 2C ．120π cm 2D ．130π cm 218．2017·苏州如图24－4－18，AB 是⊙Ο的直径，AC 是弦，AC ＝3，∠BOC ＝2∠AOC .若用扇形AOC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是________．图24－4－1819．如图24－4－19，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2，若把Rt△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)图24－4－1920．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2.(1)求扇形的弧长；(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面(轴截面是指以底面圆的直径为底，圆锥的高为高的三角形)的面积为多少？21．如图24－4－20所示，一个圆锥的高为3 3 cm ，侧面展开图是半圆． 求：(1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比； (2)∠BAC 的度数；(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．图24－4－20教师详解详析1．4π 8π 12π2．C [解析] 因为圆锥的母线长为62＋82＝10(cm)，圆锥的底面圆周长为2×π×6＝12π(cm)，所以圆锥的侧面积为12×10×12π＝60π(cm 2)．3．C [解析] 圆锥底面圆的周长是2×3π＝6π，所以侧面积是12×6π×5＝15π.又因为圆锥底面积是π×32＝9π，所以它的全面积是15π＋9π＝24π.故选C.4．D [解析] 设圆锥的底面圆半径为r .已知圆锥的侧面展开图的半径为12， 又∵它的侧面展开图的圆心角是120°，∴弧长＝120π×12180＝8π，即圆锥底面圆的周长是8π，∴8π＝2πr ，解得r ＝4，∴底面圆的直径为8.5．D [解析] 根据圆锥底面圆周长＝扇形弧长，得12π＝2πr ，所以r ＝6(cm)． 6．B [解析] ∵用扇形铁皮围成圆锥后，扇形的弧长与圆锥的底面圆的周长相等，∴弧长l ＝80π.又l ＝πr 180·300，∴r ＝180l 300π＝180×80π300π＝48(cm)．故选B. 7．2 119 cm [解析] 由题意可得圆锥的母线长为24 cm ，设圆锥的底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝150π×24180，解得r ＝10，所以圆锥的高为242－102＝2 119(cm)．8．24π cm 2 216° [解析] ∵圆锥的底面圆周长为6π cm ，∴底面圆半径为r ＝6π÷2π＝3(cm)，根据勾股定理，得圆锥的母线R ＝r 2＋h 2＝32＋42＝5(cm)，侧面展开扇形的弧长l ＝2πr ＝6π cm ，∴侧面展开扇形的面积S 侧＝12lR ＝12×6π×5＝15π(cm 2)，圆锥底面积S ＝πr 2＝9π(cm 2)，∴该圆锥的全面积S 全＝15π＋9π＝24π(cm 2)；设侧面展开扇形的圆心角为n °，则n πR 180＝l ，即n π×5180＝6π，解得n ＝216，∴侧面展开扇形的圆心角为216°.9．180 [解析] 设母线长为R ，底面圆半径为r ，则底面圆周长＝2πr ，底面积＝πr 2，侧面积＝12·2πr ·R ＝πrR .∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr 2＝πrR ，∴R ＝2r .设侧面展开图的圆心角为n °，则n πR180＝2πr ＝πR ，∴n ＝180. 10．解：由题意，得2πr ＝120π·l180，而r ＝2 cm ，∴l ＝6 cm ，∴由勾股定理，得h ＝l 2－r 2＝62－22＝4 2(cm)， 即该圆锥的高h 的长为4 2 cm.11．[全品导学号：82642186]解：设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝20π，120πl 180＝20π，解得r ＝10，l ＝30.∴该圆锥的侧面积为12×20π·30＝300π，圆锥的全面积为300π＋π·102＝400π.12．A [解析] 设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为n °，底面圆半径为r ，由题意得3πr 2＝πrl ，∴l ＝3r .又∵3πr 2＝n 360πl 2＝n360π(3r )2，∴n ＝120.故圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是120°.13 D [解析] 圆锥的侧面展开扇形的弧长为2π×5＝10π.设扇形的圆心角为n °，根据弧长公式得10π＝n π·20180，解得n ＝90.所以蜘蛛从点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程为202＋202＝20 2.故选D.14．D [解析] 过点O 作OE ⊥AB 于点E .∵OA ＝OB ＝60 cm ，∠AOB ＝120°， ∴∠A ＝∠B ＝30°，∴OE ＝12OA ＝30 cm ，∴CD ︵的长＝120×π×30180＝20π.设圆锥的底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝20π，解得r ＝10，∴圆锥的高＝302－102＝20 2(cm)．15．A [解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为D ，交⊙O 于点C .由折叠的性质可知，OD ＝12OC ＝12OA ＝32 cm ，由此可得，在Rt △AOD 中，∠OAD ＝30°.同理可得∠OBD＝30°.在△AOB 中，由三角形内角和定理，得∠AOB ＝180°－∠OAD －∠OBD ＝120°，∴AB ︵的长为120π×3180＝2π(cm)．设围成的圆锥的底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝2π，∴r ＝1，∴圆锥的高为32－12＝2 2(cm)．故选A.16．C [解析] 依题意，线段BC 是圆的直径．利用勾股定理可得AB ＝4 2 m ， ∴lBC ︵＝90π·AB 180＝2 2π(m)，∴圆锥的底面圆的半径＝2 2π÷2π＝2(m)．又圆锥的母线长为4 2 m ，∴圆锥的高为（4 2）2－（2）2＝30(m)．故选C.17．B [解析] 由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝122＋52＝13(cm)．由题意知得到的这个几何体是圆锥，圆锥的底面圆半径AC ＝5 cm ，母线AB ＝13 cm ，所以圆锥的侧面积＝πAC ·AB ＝π×5×13＝65π(cm 2)．故选B.18.12 [解析] 根据“圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长”求解．∵∠BOC ＝2∠AOC ，∠BOC ＋∠AOC ＝180°，∴∠AOC ＝60°，∴OA ＝3.设围成的圆锥的底面圆的半径是r ，则60π×3180＝2πr ，解得r ＝12.19．8 2π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，利用勾股定理可得AB ＝2AC ＝4，CD ＝2.以CD 为半径的圆的周长是4π，故绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×2 2＝8 2π. 20．[解析] (1)由S 扇形＝n πR 2360求出R ，再代入l ＝n πR 180求弧长． (2)若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求得底面圆的半径，其轴截面是一个以底面直径为底，圆锥母线为腰的等腰三角形．解：(1)设扇形的半径为R cm.由题意，得300π＝120πR 2360， 解得R ＝30，∴弧长l ＝120×π×30180＝20π(cm)． 因此，扇形的弧长为20π cm.(2)如图所示．∵20π＝2πr ，∴r ＝10.又∵R ＝30，∴AD ＝900－100＝20 2(cm)，∴S 轴截面＝12BC ·AD ＝12×20×202＝200 2(cm 2)． 因此，这个圆锥的轴截面的面积为200 2 cm 2.21．解：(1)设此圆锥的底面圆的半径为r cm ，母线长AC ＝l cm.∵2πr ＝πl ，∴l r＝2. 即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为2∶1.(2)∵l r＝2，∴圆锥的高与母线的夹角为30°，则∠BAC ＝60°.(3)由图可知l 2＝OA 2＋r 2，OA ＝3 3 cm ， ∴(2r )2＝(3 3)2＋r 2，即4r 2＝27＋r 2，解得r ＝3.∴l ＝2r ＝6.∴圆锥的侧面积为πl 22＝18π cm 2.。
2020年人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》随堂练习(含答案)
2020年人教版九年级数学上册 24.4《弧长和扇形面积》随堂练习第1课时 弧长和扇形面积基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( ) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为( )A ．6B ．9C ．18D ．36 3．一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于( )A.2π3B.π3C.23π3D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( ) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是( ) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于 cm ．9．一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为 度．10．如图，△ABC 是⊙O 内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分面积是 ．11．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．易错点 忽视题中条件12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 cm 2.中档题13．如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为( )A.π3B.π2 C ．Π D ．2π14．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2C ．(6π－923)米2D ．(6π－93)米15．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分面积是 cm 2.16．图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为 cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动． (1)请在图1中画出光点P 经过的路径； (2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．18．如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC ⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.(1)求证：OD平分∠AOB；(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．综合题19．“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时 圆锥的侧面积和全面积基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是( )A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱全面积是 cm 2(结果保留π)． 知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于( )A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥底面半径是( ) A.12 B ．1 C. 2 D.325．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( ) A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．36．如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是( )A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( ) A ．120° B ．180° C ．240° D ．300° 8．若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图圆心角为120°，则圆锥母线长是 cm. 9．如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是 cm.(结果保留π)10．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥侧面积为 ．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．易错点考虑不全面导致漏解12．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为．中档题13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶414．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是( )A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm215．如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )A．10 cm B．15 cmC．10 3 cm D．20 2 cm16．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 cm2.17．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 (结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BCAC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)参考答案基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)A ．6B ．9C ．18D ．36 3．(自贡中考)一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为(B)A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．(兰州中考)如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C) A ．π cm B ．2π cm C ．3π cm D ．5π cm5．(南宁中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于(A) A.2π3 B.π3 C.23π3 D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是(B) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．(怀化中考)已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于10π3__cm ． 9．(广西中考)一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为40度．10．(常德中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π． 11．(无锡中考)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C=90°，∠BDA=90°. ∵BC=6 cm ，AC=8 cm ， ∴AB=62＋82=10(cm)． ∵∠ABD=45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD=AD=22AB=5 2 cm. (2)连接DO ，∵△ABD 是等腰直角三角形，OB=OA ， ∴∠BOD=90°. ∵AB=10 cm ， ∴OB=OD=5 cm.∴S 阴影=S 扇形OBD －S △BOD =90π×52360－12×52=(25π4－252)cm 2.易错点 忽视题中条件12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2. 02 中档题13．(山西中考)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为(C)A.π3B.π2C ．ΠD ．2π14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2 C ．(6π－923)米2 D ．(6π－93)米15．(盘锦中考)如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C 为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是(23＋2－32π) cm 2.16．(山西中考)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为π cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动．(1)请在图1中画出光点P 经过的路径；(2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．解：(1)如图．(2)光点P 经过的路径总长为4×90π×3180=6π.18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA 为⊙O 的切线，A 为切点，B 为⊙O 上一点，∠AOB=120°，过点B 作BC ⊥PA 于点C ，BC 交⊙O 于点D ，连接AB ，AD.(1)求证：OD 平分∠AOB ；(2)若OA=2 cm ，求阴影部分的面积．解：(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA.∵BC ⊥PA ，∴∠OAP=∠BCA=90°.∴OA ∥BC.∴∠AOB ＋OBC=180°.∵∠AOB=120°，∴∠OBC=60°.∵OB=OD ，∴△OBD 是等边三角形．∴∠BOD=60°.∴∠AOD=∠BOD=60°.∴OD 平分∠AOB.(2)∵OA ∥BC ，∴点O 和点A 到BD 的距离相等．∴S △ABD =S △OBD .∴S 阴影=S 扇形OBD .∴S 阴影=60π×4360=23π(cm 2)．03 综合题19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时 圆锥的侧面积和全面积01 基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是(B)A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱的全面积是78πcm 2(结果保留π)．知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于(C)A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)A.12B ．1 C. 2 D.325．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)A ．1.5B ．2C ．2.5D ．36．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是(B)A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A) A ．120° B ．180°C ．240°D ．300°8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是9cm.9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是10πcm.(结果保留π)10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm ，弧长为12π cm 的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．解：侧面积为：12×12×12π=72π(cm 2)． 设底面半径为r ，则有2πr=12π，∴r=6 cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为122－62=63(cm)．易错点 考虑不全面导致漏解12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π．02 中档题13．(杭州中考)如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l 1，l 2，侧面积分别记作S 1，S 2，则(A)A ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶2B ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶2C ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶4D ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶414．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm ，圆柱体部分的高BC=6 cm ，圆锥体部分的高CD=3 cm ，则这个陀螺的表面积是(C)A ．68π cm 2B ．74π cm 2C ．84π cm 2D ．100π cm 215．(十堰中考)如图，从一张腰长为60 cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)A ．10 cmB ．15 cmC ．10 3 cmD ．20 2 cm16．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm 2.17．(苏州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是12．18．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为82π(结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O ，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC ，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC 铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA ，OB.由∠BAC=120°，可知AB=12米，点O 在扇形ABC 的BC ︵上． ∴扇形ABC 的面积为120360π×(12)2=π12(平方米)． ∴被剪掉阴影部分的面积为π×(12)2－π12=π6(平方米)． (2)由2πr=120180π×12，得r=16. 即圆锥底面圆的半径是16米． 03 综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BC AC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)=2，T(120°)=3，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)解：∵圆锥的底面直径PQ=14，∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.设扇形的圆心角为n°，则n×π×18180=14π，解得n=140.∵T(70°)≈0.87，∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.。
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积同步检测(含解析)(新版)新人教版
24.4 弧长和扇形面积测试时间:25分钟一、选择题1.(2017广西南宁中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30°,则劣弧的长等于( )A. B. C. D.2.(2017四川绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=3 cm,则这个陀螺的表面积是( )A.68π cm2B.74π cm2C.84π cm2D.100π cm23.(2017浙江丽水中考)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( )A.π-B.π-2C.π-D.π-4.(2017山东东营中考)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.180°二、填空题5.(2017甘肃白银中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,A C=1,AB=2,以点A为圆心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则的长等于.(结果保留π)226.如图,正方形ABCD 中,扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E,AB=6 cm,则图中阴影部分的面积为 cm 2.三、解答题7.如图,有一直径是m 的圆形铁皮,现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC.(1)求AB 的长;(2)求图中阴影部分的面积;(3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥,求所得圆锥的底面圆半径.8.(2016四川攀枝花中考)如图,在矩形ABCD 中,点F 在边BC 上,且AF=AD,过点D 作DE⊥AF,垂足为点E.(1)求证:DE=AB;(2)以A 为圆心,AB 长为半径作圆弧交AF 于点G,若BF=FC=1,求扇形ABG 的面积.(结果保留π)324.4 弧长和扇形面积一、选择题1.答案 A 如图,连接OB 、OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,又OB=OC,∴△OBC 是等边三角形,∴BC=OB=OC=2,∴劣弧的长为=.故选A.2.答案 C ∵圆锥体的底面圆的直径为8 cm,高为3 cm,∴圆锥体的母线长为5 cm,∴这个陀螺的表面积为π×4×5+42π+8π×6=84π(cm 2),故选C.3.答案 A 连接OC,过O 作OD⊥BC 于 D.∵点C 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点,∴∠ACB=90°,∠AOC=60°,∠COB=120°,∴∠ABC=30°,∵AC=2,∴AB=2AC=4,BC=2,∵OC=OB=2,OD⊥BC,∠ABC=30°,∴OD=OB=1.∴阴影部分的面积=S 扇形BOC -S △OBC =-×2×1=π-,故选A.4.答案 C 设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr 2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的3倍,∴3πr 2=πrR,∴R=3r.设圆心角为n°,有=2πr,∴n=120.故选C.二、填空题 5.答案44解析 ∵∠ACB=90°,AC=1,AB=2,∴∠ABC=30°,∴∠A=60°,又∵AC=1,∴的长==.6.答案 3π解析 正方形ABCD 中,∠DCB=90°,DC=AB=6 cm.∵扇形BAC 与扇形CBD 的弧交于点E,∴△BCE 是等边三角形,∴∠ECB=60°,∴∠DCE=∠DCB -∠ECB=30°.根据图形的割补,可得阴影部分的面积是扇形CDE 的面积,S扇形CDE ==3π(cm 2),故题图中阴影部分的面积为3π cm 2.三、解答题7.解析 (1)连接BC,∵∠BAC=90°,∴BC 为☉O 的直径,即BC= m, ∴AB=BC=1 m.(2)S 阴影=S 圆-S 扇形=π-=(m 2). (3)设所得圆锥的底面圆的半径为r m,根据题意得2πr=,解得r=. 故所得圆锥的底面圆的半径为 m.8.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠FBA=90°,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠AFB,∵DE⊥AF,∴∠AED=90°=∠FBA,在△ABF 和△DEA 中,∴△ABF≌△DEA(AAS),∴DE=AB.(2)∵BC=AD,AD=AF,∴BC=AF,∵BF=FC=1,∠ABF=90°,∴∠BAF=30°,由勾股定理得AB==,∴S扇形ABG ==.5。
人教版 九年级上册数学 24.4 弧长和扇形面积 同步训练(含答案)
人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积同步训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为()A.πB.2πC.3πD.6π2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A.8-πB.16-2πC.8-2πD.8-π3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)()A．8－π B．16－2πC．8－2π D．8－1 2π4. 2018·宁夏用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是()A．10 B．20 C．10π D．20π5. 如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥底面圆的直径是60 cm，则这块扇形铁皮的半径是()A ．40 cmB ．50 cmC ．60 cmD ．80 cm6. (2019•温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为A ．B ．C ．D ．7. 如图，在△AOC中，OA ＝3 cm ，OC ＝1 cm ，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )A.π2 cm2 B ．2π cm2C.17π8 cm2D.19π8 cm28. 如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt△ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E.B ，E 是半圆弧的三等分点，BE ︵的长为2π3，则图中阴影部分的面积为( )图A.π9 B.3π9C.3 32－3π2D.3 32－2π33π22π3π6π9. 如图在扇形OAB 中，△AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3π B.3πC.32 3πD ．4π10. 2017·△△△△△△△△△△△△△△△△△△△AB△△O△△△△CD△EF△△O△△△△AB△CD△EF △AB△10△CD△6△EF△8△△△△△△△△△△△( )△A.252πB△10πC△24△4πD△24△5π二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图所示，在△ABC中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，则图中阴影部分的面积是________．12. 如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形OAC .已知圆锥的高h 为12 cm ，OA ＝13 cm ，则扇形OAC 中AC ︵的长是________ cm.(结果保留π)13.△△△△△△△△△△△△3cm △△△△△△△△△△△△120°△△△△△△△△△________cm .14. 如图，已知扇形OAB 的圆心角为60°，扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为________．15. (2019•贺州)已知圆锥的底面半径是1，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__________度．16. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．17.△△△△△△3△△△△ABCD△△△△A△△△△2△△△△△△EF△△△D△△△△3△△△△△△AC.△△△△△△△△△△△△S 1△S 2△△S 1△S 2△________△三、解答题（本大题共4道小题）18.△△△△△ABC△△△AB△△△△△O△△△BC△AC△△△△D△E△BD△CD△△△D△△O△△△△△AC△△F. (1)△△△DF△AC△(2)△△O△△△△5△△CDF△30°△△BD △△△△(△△△△π)19. △△△AB △△O △△△△C △D △△△O △△△△△△△△C △AD △△△△△△CE △△△△E .(1)△△△CE △△O △△△△(2)△△O △△△△2△△△△△△△△△△△△20. 如图，以△ABC的边BC 为直径作⊙O ，点A 在⊙O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD ＝AB ，∠D ＝30°， (1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；(2)若直径BC ＝4，求图中阴影部分的面积．21. (2019•辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．(1)求证：是⊙的切线；(2)若，求阴影部分的面积．BE OA D O AE AD DE A BE C EAC EDA ∠=∠AC O CE AE ==人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析]扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=，得l==3π.故选C.2. 【答案】C[解析]在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S△ABD=·AD·AB=8，S扇形ABE==2π，∴S阴影=S△ABD-S扇形ABE=8-2π.故选C.3. 【答案】C[解析] 在边长为4的正方形ABCD中，BD是对角线，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，∠ABE＝45°，∴S△ABD＝12AD·AB＝8，S扇形BAE＝45·π·42360＝2π，∴S阴影＝S△ABD－S扇形BAE＝8－2π.故选C.4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] △圆锥的底面圆直径为60 cm，△圆锥的底面圆周长为60π cm，△扇形的弧长为60π cm.设扇形的半径为r，则270πr180＝60π，解得r＝40 cm.6. 【答案】C【解析】该扇形的弧长=．故选C ．7. 【答案】B[解析] 如图，AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S 阴影＝S△OCA ＋S 扇形OAB －S 扇形OCD －S△ODB.由旋转知△OCA ≌△ODB ，∴S△OCA ＝S△ODB ，∴S 阴影＝S 扇形OAB －S 扇形OCD ＝90π×32360－90π×12360＝2π(cm2)．故选B.8. 【答案】D9. 【答案】C[解析] 如图△D 为AC 的中点，AC ＝AO ＝6，△OD △AC ，△AD ＝12AC ＝12AO ， △△AOD ＝30°，OD ＝3 3. 作BF ＝AC ，E 为BF 的中点． 同理可得△BOE ＝30°， △△DOE ＝150°－60°＝90°，△点D 所经过的路径长为n πR 180＝90π×3 3180＝3 32π.10. 【答案】A[解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .△CG 是△O 的直径，△△CDG ＝90°，则DG ＝CG 2－CD 2＝8.又△EF ＝8，△DG ＝EF ，90π63π180⨯=△DG ︵＝EF ︵， △S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .△AB △CD △EF ，△S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，△S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】π－2[解析] ∵在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S△ABC ＝12π×(22)2＋12π×(22)2－12×2×2 ＝π－2.12. 【答案】10π[解析] 由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为132－122＝5(cm)，△扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．13. 【答案】 9△△△△△n△360r l △120△360×3l △△△l△9.14. 【答案】2π[解析] 设扇形的半径是R ，则60·π·R2360＝6π，解得R ＝6(负值已舍去)．设扇形的弧长是l ，则12lR ＝6π，即3l ＝6π， 解得l ＝2π.故答案为2π.15. 【答案】90【解析】设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a=4， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，根据题意得，解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．故答案为：90．16. 【答案】2π－4[解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OABn ︒π42π1180n ⨯⨯=90n =90︒－S△OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.17. 【答案】13π4－9 [解析] △S 正方形ABCD ＝3×3＝9，S 扇形DAC ＝9π4，S 扇形AEF ＝π，△S 1－S 2＝S 扇形AEF －(S 正方形ABCD －S 扇形DAC )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫9－9π4＝13π4－9.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】(1)△△△△△△△△△OD△(1△) △DF△△O△△△△D△△△△△△△OD△DF△△△ODF△90°△(2△) △BD△CD△OA△OB△△OD△△ABC△△△△△(3△) △OD△AC△△△CFD△△ODF△90°△ △DF△AC.(4△)(2)△△△△CDF△30°△ △(1)△△ODF△90°△△△ODB△180°△△CDF△△ODF△60°△ △OB△OD△△△OBD△△△△△△△(7△) △△BOD△60°△△lBD △△n πR 180△60π×5180△53π.(8△)19. 【答案】解：(1)证明：连接OC . △C ，D 为半圆O 的三等分点，△AD ︵＝CD ︵＝BC ︵， △△DAC ＝△BAC . △OA ＝OC ， △△BAC ＝△ACO ， △△DAC ＝△ACO ， △OC △AD . △CE △AD ，△CE △OC ，△CE 为△O 的切线． (2)连接OD . △AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，△△AOD ＝△COD ＝△BOC ＝13×180°＝60°. 又△OC ＝OD ，△△COD 为等边三角形， △△CDO ＝60°＝△AOD ， △CD △AB ， △S △ACD ＝S △COD ，△图中阴影部分的面积＝S 扇形COD ＝60×π×22360＝2π3.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵AD ＝AB ，∠D ＝30°， ∴∠B ＝∠D ＝30°， ∴∠DAB ＝120°. ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90°， ∴∠DAC ＝30°，∴∠BCA ＝60°.∵AO ＝CO ，∴△ACO 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∴∠DAO ＝∠CAO ＋∠DAC ＝90°， 即AD ⊥AO.又∵AO 是⊙O 的半径，∴直线AD 是⊙O 的切线．(2)由(1)知Rt△ADO 中，AO ＝2，∠D ＝30°， ∴OD ＝2AO ＝4，∴AD ＝2 3，∴SRt△ADO ＝12×2 3×2＝2 3.∵△ACO 是等边三角形，∴∠AOD ＝60°，∴S 扇形OAC ＝60π×22360＝2π3，∴S 阴影＝SRt△ADO －S 扇形OAC ＝2 3－2π3. 21. 【答案】 (1)如图，连接，过作于，∴，∴，∵，∴， ∵， ∴，OA O OF AE ⊥F 90AFO ∠=︒90EAO AOF ∠+∠=︒OA OE =12EOF AOF AOE ∠=∠=∠12EDA AOE ∠=∠EDA AOF ∠=∠∵， ∴， ∴， ∵， ∴，∴，∴是⊙的切线．(2)∵， ∴，∵， ∴， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积．EAC EDA ∠=∠EAC AOF ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒EAC EAO CAO ∠+∠=∠90CAO ∠=︒OA AC ⊥ACO CE AE ==C EAC ∠=∠EAC C AEO ∠+∠=∠2AEO EAC ∠=∠OA OE =AEO EAO ∠=∠2EAO EAC ∠=∠90EAO EAC ∠+∠=︒30EAC ∠=︒60EAO ∠=︒OAE △OA AE =60EOA ∠=︒OA=2πAOE S =扇形Rt OAE△sin 32OF OA EAO =⋅∠==11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△=2π-。
人教版九年级数学上册24.4 弧长和扇形面积(2) 同步练习 含答案
第24章 24.4《弧长和扇形面积》同步练习及答案(2)第1题. 一条弧所对的圆心角是90，半径是R ，则这条弧的长是．答案：12R π 第2题. 若AB 的长为所对的圆的直径长，则AB 所对的圆周角的度数为．答案：180π第3题. 如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，OE 为半径的半圆交AB 于E ，F 两点，弦AC 是小半圆的切线，D 为切点，若4OA =，2OE =，则图中阴影部分的面积为 ．答案：43π+第4题. 如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1，则它的弧长增加（ ） Ａ．l n Ｂ．180R π Ｃ．180lRπ Ｄ．360l答案：Ｂ第5题. 在半径为3的O 中，弦3AB =，则AB 的长为（）Ａ．π2Ｂ．πＣ．32π Ｄ．2π答案：Ｂ第6题. 扇形的周长为16，圆心角为360π，则扇形的面积是（ ）Ａ．16 Ｂ．32Ｃ．64Ｄ．16π答案：Ａ第7题. 如图，扇形OAB 的圆心角为90，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）Ａ．P Q = Ｂ．P Q >Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定答案：Ａ第8题. 如图，矩形ABCD 中，1AB =，BC =，以BC 的中点E 为圆心的MPN 与AD相切，则图中的阴影部分的面积为（） Ａ．23π Ｂ．34πＣ．4π Ｄ．π3答案：Ｄ第9题. 如图所示，正方形ABCD 是以金属丝围成的，其边长1AB =，把此正方形的金属丝重新围成扇形的ADC ，使A D A D =，DC DC =不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．ＭＣＡＤ答案：1S =正方形，121122ADC S lR 1==⨯⨯=扇形，∴面积没有变化．第10题. 如图，O 的半径为1，C 为O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与O相交于A ，B 两点，则图中阴影部分的面积为．答案：22π-3第11题. 如图，△ABC 中，105A ∠=，45B ∠=，AB =AD BC ⊥，D 为垂足，以A 为圆心，以AD 为半径画弧EF ，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．76πＢ．76π+2Ｃ．56πＤ．56π+2答案：Ｂ第12题. 如图，半径为r 的1O 与半径为3r 的2O 外切于P 点，AB 是两圆的外公切线，切点分别为A ，B ，求AB 和PA ，PB 所围成的阴影部分的面积．ＣＤＢＥ ＡＦ答案：连结2O B ，1O A ，过1O 作12O H O B ⊥，垂足为H ，则得矩形1ABHO ，1BH O A r ∴==，1AB O H =．在Rt △21O HO 中，2232O H O B BH r r r =-=-=，122134O O O P O P r r r =+=+=，1O H ==，2211221cos 42O H r HO O O O r ∠===，2160HO O ∴∠=，1120AO P ∠=．21212111()(3)23422ABO O S O A O B O H r r r =+=+=梯形，26033606BO PO B r r S 222π()π(3)π===22扇形，122120AO POA S r π()π==3603扇形、，212122223116ABO O BO P AO P S S S S r r r πππ=--=--=23阴影梯形扇形扇形．第13题. 圆周角是90，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：14第14题. 圆心角是45，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：45360，18第15题. 圆心角是1，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：1360，1360第16题. 扇形的圆心角为210，弧长是28π，求扇形的面积．答案：336π第17题. 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．答案：90第18题. 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得90C ∠=，4AC BC ==．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC △的边上，且扇形的弧与ABC △的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．答案：第19题. 圆心角为90，半径为R 的弧长为（ ） Ａ．2R πＢ．3R πＣ．4R πＤ．6R π答案：Ａ第20题. 已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为n ，则这条弦所在圆的半径为（）．Ａ．180n lπ Ｂ．180ln πＣ．360ln πＤ．180lnπ42r =24r =1r =答案：Ｂ第21题. 半径为6cm 的圆中，60的圆周角所对的弧的弧长为 ．答案：4cm π第22题. 半径为9cm 的圆中，长为12cm π的一条弧所对的圆心角的度数为．答案：240第23题. 已知圆的面积为281cm π，若其圆周上一段弧长为3cm π，则这段弧所对的圆心角的度数为 ．答案：60第24题. 若扇形的圆心角为120，弧长为6cm π，则这个扇形的面积为 ．答案：227cm π第25题. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为 ．（单位：mm ，精确到1mm ）答案：389mm第26题. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，60A ∠=，AC =，将△ABC 绕点B 旋转至△A BC ''的位置，且使点A ，B ，C '三点在同一直线上，则点A 经过的最短路线长是cm ．答案：3π第27题. 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点B 从开始至结束走过的路径长度为（ ）． Ａ．3π2Ｂ．4π3Ｃ．4Ｄ．322+π答案：Ｂ第28题. 如图，扇形AOB 的圆心角为60，半径为6cm ，C ，D 是AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是 ．答案：22cm π第29题. 如图，已知在扇形AOB 中，若45AOB ∠=，4cm AD =，3cm CD =π，则图中阴影部分的面积是．答案：214cm第30题. 如图4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．答案：14.2π．图4。
人教版 九年级数学上册 第24章 24.4弧长和扇形面积 专题练习(含答案)
人教版 九年级数学上册 第24章 24.4弧长和扇形面积 专题练习（含答案）基础巩固1.⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形周长为3.4， 则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ）AB． D2.如图已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是A ．40°B ．80°C ．120°D ．150°4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8 米，所对的圆心角为100°，则弧长是 米．(π≈3) 【参考答案】 1. C 2. D 3. C 4. 3O O 10AOB 120°24πcm 26πcm 29πcm 212πcm 120 BOA6cm能力提高 一、选择题1.如图，已知的半径，，则所对的弧的长为（ ） A ．B ．C ．D ．2.将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( )A ．10cmB ．30cmC ．40cmD ．300cm3.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ） A ．1.5B ．2C ．3D ．64.有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）．A.9°B.18°C.63°D.72°5.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（ ）A.B. C. D. O ⊙6OA =90AOB ∠=°AOB ∠AB 2π3π6π12π125135131013126.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题1.，圆心角等于450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA上，点D .E 在OB 上，点F 在上，则阴影部分的面积为（结果保留） .2.如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）．3.将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3，则圆锥的侧面积是____.4.如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 ．6cm OB =，8cm OC =．230cm 230cm π260cm π2120cm AB ππABC ︒=∠90ACB ︒=∠30B 6=BC C A 'A AB B 第2题图5.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留）．6.矩形ABCD的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．7.已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为,把Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则：等于_________ 三、解答题1.如图，有一个圆O 和两个正六边形，．的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆O 相切（我们称，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设，的边长分别为，，圆O 的半径为，求及的值； （2）求正六边形，的面积比的值．π1111A B C D 1S 2S 1S 2S 1T 2T 1T 2T 1T 2T 1T 2T a b r a r :b r :1T 2T 21:S SB 'A CAB 第4题2.如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ； （2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm ，求OC 的长．3.如图，已知菱形的边长为，两点在扇形的上，求的长度及扇形的面积．2 43cm ABCD 1.5cm B C ，AEF ABCBCD AEF【参考答案】 选择题 1. B 2. A3. C4. B5. A6. C 填空题 1.2. 3. 18π 4. 5. 6. 7. 2∶3 解答题1.解：（1）连接圆心O 和T 的6个顶点可得6个全等的正三角形 .所以r∶a=1∶1;连接圆心O 和T 相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形， 所以r∶b=∶2;（2） T ∶T 的连长比是∶2，所以S ∶S = . 2. （1）证明：2385-π∏83π22ππ24123123124:3):(2=b a（2）根据题意得：；∴ 解得：OC ＝1cm ．3. 解：四边形是菱形且边长为1.5，．又两点在扇形的上，，是等边三角形．．的长（cm ）BDAC BOD AOC DO CO BO AB BOD AOC AODBOD AOD AOC COD AOB =⇒∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∠=∠⇒∠+∠=∠+∠⇒∠∠ 900＝＝360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=-=πππ阴影360)2(904322OC -=ππABCD 1.5AB BC ∴==B C 、AEF 1.5AB BC AC ∴===ABC ∴△60BAC ∴∠=°21805.160ππ=∙=ππ835.122121=∙∙==lR S ABC 扇形)(2cm。
2019-2020学年人教版九年级上学期同步讲练专题24-4：弧长和扇形面积
专题24.4弧长和扇形面积（讲练）一、知识点1.正多边形与圆2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （2）计算公式：圆锥S 侧==πrl ，S=πr （l+r ）注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积二、标准例题：例1：如图，在矩形ABCD 中有对角线AC 与BD 相等，已知AB=4,BC=3,则有AB 2+BC 2=AC 2,矩形在直线MN 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推，则:(1)AC=__________.(2)这样连续旋转2019次后，顶点B 在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.【答案】5 3028π【解析】（1）∵AB 2+BC 2=AC 2, AB=4,BC=3, ∴AC 2= 42+32=25, ∴AC=5；（2）转动一次B 的路线长是：0，转动第二次的路线长是：90331802π⨯=π，转动第三次的路线长是：90551802π⨯=π，转动第四次的路线长是：904180π⨯=2π，以此类推，每四次循环， 2019÷4=504余3，顶点B转动四次经过的路线长为：0+32π+52π+ 2π=6π,连续旋转2019次经过的路线长为：6π×504+0+32π+52π=3028π．故答案为：（1）5；（2）3028π．总结：本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例2：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A2π-B2π+C．πD．2π【答案】A【解析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，tan∠A=3BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12AH=AO•cos∠32=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=2601123222360π⨯⨯-⨯⨯-=42π-，故选A.总结：本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.例3：如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且¼¼:1:3BD AD ''=（¼BD'表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1:3B ．1:πC ．1:4D ．2:9【答案】D【解析】解：连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒， 30OAM ∴∠=︒， 60AOM ∴∠=︒，Q 且¼¼:1:3BD AD ''=，80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，802180lr ππ=， :2:9r l ∴=．故选：D．总结：本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.三、练习1．1．如图，已知在⊙O中，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A．8233π-B．16233π-C．8433π-D．16433π-【答案】D【解析】解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，∴BF=DF，¶·BC DC=，∴∠BAC=∠DAC，在RT△ABF中，2223BF AB AF=-=∴BD=2BF=43，连接OB、OD、BC，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴BF2=AF•FC，即（2=6FC，∴FC=2，∴直径AC=AF+FC=6+2=8， ∴⊙O 的半径为4，∵AF=6，∴cosAF BAF AB ∠===∴∠BAF=30°， ∴∠BAD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵OC=4，FC=2， ∴OF=2，∴=BOD S S S ∆-阴影扇形21204116236023ππ⨯=-⨯=-故选择：D.2．圆锥的底面半径是5cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）A ．B ．10cmC ．6cmD ．5cm【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R ， 根据题意得2π•5180180Rπ=， 解得R ＝10．即圆锥的母线长为10cm ，=．3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m ，n ，l ，则下列各式成立的是（ ）A ．m +n ＜lB ．m +n ＝lC ．m 2+n 2＞l 2D ．m 2+n 2＝l 2【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，m＝12×π×AC，n＝12×π×BC，1＝12×π×AB，∴m2＝14×π2×AC2，n2＝14×π2×BC2，12＝14×π2×AB2，∴m2+n2＝14×π2×（AC2+BC2）＝14×π2×AB2＝12，故选：D．4．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A．2πB．4πC．12πD．24π【答案】C【解析】S=2120612360ππ⨯⨯=，故选C．5．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A通时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为»BD，则图中阴影部分的面积是（）A．23πB．43πC．4πD．条件不足，无法计算【答案】C【解析】解：由旋转的性质可知，S△ADE＝S△ABC，则阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC＝S扇形DAB＝2 40π6 360⨯＝4π，6．如图，在正方形ABCD 中，边长AB =1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】解：∵将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，∴CC 1∴线段CD 扫过的面积=12×2•π-12×π=12π， 故选：B ．7．已知的扇形的圆心角为45︒，半径长为12，则该扇形的弧长为 A ．12π B ．3πC ．2πD ．34π【答案】B 【解析】 根据弧长公式：l=4512180πg g =3π，8．一个圆锥形的圣诞帽高为 10cm ，母线长为 15cm ，则圣诞帽的表面积为（ ）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ．π cm 2【答案】A【解析】解：高为10cm ，母线长为15cm ，由勾股定理得，底面半径cm ，底面周长，侧面面积=122． 故选：A ．9．如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定【答案】C【解析】设OA ＝a ，扇形OAB 的面积＝22903604a a ππ⨯=， 以OA ，OB 为直径在扇形内作的半圆的面积＝221a a ()228ππ⨯⨯=P ＝扇形OAB 的面积﹣（以OA 为直径的半圆的面积+以OB 为直径的半圆的面积）+Q ＝2248a a ππ-×2+Q＝Q 故选C ．10．如图，圆锥的底面半径r ＝6，高h ＝8，则圆锥的侧面积是（ ）A ．15πB ．30πC ．45πD ．60π【答案】D【解析】解：圆锥的母线10l ===， ∴圆锥的侧面积10660ππ=⋅⋅=， 故选：D ．11．如图，四边形ABCD 为矩形，以A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 的延长线于点E ，连接BD ，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为______．【答案】434 【解析】解：BC 交弧DE 于F ，连接AF ，如图，AF=AD=4， ∵AD=2AB=4 ∴AB=2，在Rt △ABF 中，∵sin ∠AFB=24=12， ∴∠AFB=30°，∴∠BAF=60°，∠DAF=30°，∴图中阴影部分的面积=S扇形ADF+S△ABF-S△ABD=2304360π⋅⋅+1212×2×4=434．12．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_____cm2．（结果保留π）【答案】1 4π【解析】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO≅△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′＝12，∴S扇形B′OB＝2120π1360⨯＝13π，S扇形C′OC＝1120π4360⨯＝π12，∵阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝13π﹣π12＝14π；故答案为：14π．13．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120︒，点A与点B的距离为OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______.【答案】43【解析】解：连接AB ，过O 作OM AB ⊥于M ，∵120AOB ∠=︒，OA OB =，∴30BAO ∠=︒，AM =∴2OA =， ∵24022180r ππ⨯=， ∴43r = 故答案是：43 14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=o ，则该圆锥的母线长l 为___cm ．【答案】6.【解析】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为：6．15．已知圆锥的底面半径是1_____度．【答案】90【解析】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a 4＝ ，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ︒ ， 根据题意得n 421180ππ⨯⨯＝ ，解得90n ＝ ， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90︒．故答案为：90．16．如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C 、D 两点的O e 分别交AC 、BC 于点E 、F ，AD =60ADC ∠=︒，则劣弧»CD的长为_______________【答案】43π 【解析】连接DF ，OD ，∵CF 是⊙O 的直径，∴∠CDF=90°，∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD=30°，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴∠DCF=30°，∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD=120°，在Rt △CAD 中，在Rt △FCD 中，CF=cos CD DCF∠=4， ∴⊙O 的半径=2， ∴劣弧»CD的长=1202180π⨯=43π， 故答案为：43π． 17．将圆心角为216︒，半径为5cm 的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______cm ．【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r ， 根据题意得21652180r ππ⨯=，解得3r =，所以圆锥的高()4cm ==．故答案为4．18．如图所示，当半径为30cm 的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A 平移的距离为多少厘米？(保留π)【答案】20πcm 【解析】12038001π⨯ =20πcm ． 故答案为：20πcm ．19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，4），B （﹣5，2），C （﹣2，1）．（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2；（3）求（2）中点C 运动的路径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）如图所示：=点C 运动的路径长为:14π⨯⨯=20．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S 1+S 2＝5，且AC+BC ＝6，求AB 的长．【答案】4AB =.【解析】Rt ABC ∆，∵222AC BC AB +=， ∴222444AC BC AB πππ⋅+⋅=⋅， 即：AC BC AB S S S +=半圆半圆半圆，根据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则12ABC S S S ∆+=，∵125S S +=， ∴152ABC S AC BC ∆=⋅=， ∴10AC BC ⋅=.∵6AC BC +=，∴()2222AC BC AC BC AC BC +-⋅=+2621016=-⨯=，即216AB =，∴4AB =.21．如图，AB 为O e 的直径，且AB =C 是¶AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，过点B 作O e 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．(1)求证：EC 是O e 的切线；(2)当30D ︒∠=时，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为4π．【解析】(1)如图，连接BC ，OC ，OE ，Q AB 为O e 的直径，ACB 90∠︒∴=，在Rt ΔBDC 中，BE ED =Q ，DE EC BE ∴==，OC OB =Q ，OE OE =，()ΔOCE ΔOBE SSS ∴≅，OCE OBE ∠∠∴=，Q BD 是O e 的切线，ABD 90∠︒∴=，OCE ABD 90∠∠︒∴==，Q OC 为半径，∴EC 是O e 的切线；(2)OA OB =Q ，BE DE =，AD OE ∴P ，D OEB ∠∠∴=，D 30∠︒=Q ，OEB 30∠︒∴=，EOB 60∠︒=，BOC 120∠︒∴=，AB =QOB ∴=BE 6∴==．∴四边形OBEC的面积为ΔOBE 12S 262=⨯⨯⨯=， ∴阴影部分面积为(2OBEC BOC 120πS S 4π360⋅⨯-==四边形扇形．22．如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为________.【答案】31224π+- . 【解析】过A 作AM BC ⊥于M ，EN BC ⊥于N ，Q 等边三角形ABC 的边长为2，60BAC B ACB ∠=∠=∠=︒，222AM BC ∴===， 1AO AE ==Q ，,AD BD AE CE ∴==，12EN AM ∴==∴图中阴影部分的面积()ABC CEF BCD ADE DCF S S S S S ∆∆∆----扇形扇形＝122=⨯601360π⨯•12-⨯11303222360π⨯⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭•3124π=，故答案为：3124π．。
(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-人教版九年级数学上册：24.4+弧长和扇形面积(含答案)
24.4 弧长和扇形面积知识点1.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____________，n °的圆心角所对的弧长是______________.2.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是____________，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=______________.3.半径为R ，弧长为l 的扇形面积S 扇形=________.一、选择题1.（2013•潜江）如果一个扇形的弧长是34π，半径是6，那么此扇形的圆心角为( ) A ．︒40B ．︒45C ．︒60D ．︒802.（2013•南通） 如图，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为( ) A ．4π cmB ．3π cmC ．2π cmD ．π cm3.（2013•宁夏）如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点A 、B 为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好外切，若AC=2，那么图中两 个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）A.4π B.2π C.22π D.2π 4.（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是 ( )A ．12πB ．14π C. 18πD ．π 5.（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB ＇C ＇，点B 经过的路径为弧BB ＇，若角∠BAC =60°，AC =１，则图中阴影部分的面积是 ( )A .2πB . 3πC . 4πD . π6.（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置 一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿 x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开 原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与第2题ABCDO第3题C ′B ′C B A第5题第6题x 轴围成的面积为（ ） A.122π+B. 12π+ C.1π+ D. 12π+7.（2013•德州）如图，扇形AOB 的半径为1，∠AOB =90°，以AB 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为( )A ．14π B ．π12-C ．12D ．1142π+8．（2013•襄阳）如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ，B 、E 是半圆弧的 三等分点，弧BE 的长为π，则图中阴影部分的面积为 （ ） A.9π B.39πC.33322π- D.33223π-二、填空题9.（2013•茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形 AOB 的圆心角120O ∠=，半径OA=3，则弧．AB ．．的长 度为 （结果保留π）．10.（2013•遂宁）如图，△ABC 的三个顶点都在5×5 的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的 格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A ′BC ′的位 置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积 约是___________．（π≈3.14，结果精确到0.1）11.（2013•玉林）如图，实线部分是半径为15m 的两条等弧 组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心， 则游泳池的周长是 _______ m ．OAB 第7题第8题第10题第11题12.（2013•眉山）如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E。
九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积(拓展提高)同步检测(含解析)(新版)新人教
24.4 弧长和扇形面积基础闯关全练拓展训练1.(xx广东广州越秀一模)如图,正方形ABCD的边长AB=4,分别以点A、B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,则的长是( )A.πB.πC.πD.π2.(xx广西桂林中考)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O、E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是( )A.πB.C.3+πD.8-π3.如图所示,分别以n边形的顶点为圆心,以1 cm为半径画圆,当n=2 019时,则图中阴影部分的面积之和为( )A.π cm2B.2π cm2C.xxπ cm2D.2019π cm24.(xx山东德州中考)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1 m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为.能力提升全练拓展训练1.(xx河南信阳新县一中模拟)如图,扇形OAB的圆心角的度数为120°,半径长为4,P为弧AB 上的动点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M、N,D是△PMN的外心.在点P运动的过程中,点M、N分别在半径上作相应运动,从点N离开点O时起,到点M到达点O时止,点D运动的路径长为( )A.πB.πC.2D.22.如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,以点B为圆心的圆与AD、DC相切,与AB、CB的延长线分别相交于点E、F,则图中阴影部分的面积为( )A.+B.+πC.-D.2+3.如图,一根长为2 m的木棒AB斜靠在与地面垂直的墙上,与地面的倾斜角∠ABO为60°,当木棒沿墙壁向下滑动至A'时,AA'=-,B端沿地面向右滑动至点B',则木棒中点从P随之运动至P'所经过的路径长为( )A.1B.C.D.4.(xx浙江温州一模)如图,矩形ABCD的外接圆☉O与水平地面相切于点A,已知☉O的半径为4,且l=2l.若在没有滑动的情况下,将☉O向右滚动,使得O点向右移动了66π,则此时与地面相切的弧为( )A. B. C. D.三年模拟全练拓展训练1.(xx江苏连云港东海月考,8,★★☆)如图,、、、均为以点O为圆心所画出的四个相异弧,其度数均为90°,且G在OA上,C、E在AG上,若AC=EG,OG=2,AG=4,则与的长的和为( )A.2πB.C.D.4π2.(xx湖北潜江积玉口中学月考,14,★★☆)如图,从直径为4 cm的圆形纸片中,剪出一个圆心角为90°的扇形OAB,且点O、A、B在圆周上,把它围成一个圆锥,则圆锥的底面圆的半径是cm.3.(xx浙江绍兴诸暨暨阳中学期中,13,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB=2,分别以A,B,C为圆心,以1为半径画弧,三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是.五年中考全练拓展训练1.(xx四川甘孜州中考,10,★☆☆)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB',则A点运动的路径的长为( )A.πB.2πC.4πD.8π2.(xx浙江衢州中考,10,★★☆)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是☉O的直径,CD、EF是☉O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8,则图中阴影部分的面积是( )A.πB.10πC.24+4πD.24+5π3.(xx山东聊城中考,17,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;……按此作法进行下去,其中P2 017O2 018的长为.核心素养全练拓展训练1.(xx四川南充模拟)如图,一个长为4 cm,宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板点A位置的变化为A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°的角,则点A滚到A2位置时共走过的路径长为( )A.π cmB.π cmC.π cmD.π cm2.(xx江苏苏州期末)如图,在扇形铁皮AOB中,OA=20,∠AOB=36°,OB在直线l上.将此扇形沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动),当OA第一次落在l上时,停止旋转,则点O所经过的路线长为( )A.20πB.22πC.24πD.20π+10-103.如图①,②,…,是边长均大于2的三角形,四边形,……,凸n边形,分别以它们的各顶点为圆心,1为半径画弧与两邻边相交,得到3条弧,4条弧,……,n条弧.(1)图①中3条弧的弧长的和为;(2)图②中4条弧的弧长的和为;(3)图中n条弧的弧长的和为(用n表示).24.4 弧长和扇形面积基础闯关全练拓展训练1.答案 A 如图,连接AE、BE.∵AE=BE=AB,∴△ABE是等边三角形,∴∠EBA=60°,∴的长是=π.∵的长是=2π,∴的长为2π-π=π.故选A.2.答案 D 如图,作DH⊥AE于H.∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB==,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,易知△DHE≌△BOA,∴DH=OB=2,S阴影=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF=×5×2+×2×3+-=8-π,故选D.3.答案 A ∵多边形的外角和为360°,∴++…+=S圆=π×12=π(cm2).故选A.4.答案解析设☉O与矩形ABCD的另一个交点为M,连接OM、OG,易知M、O、E共线,由题意得∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1 m,∴S透明区域=+2××1×1=m2.过O作ON⊥AD于N,∴ON=FG=m,∴AB=2ON=2×=(m),∴S矩形=2×=2(m2),∴==.能力提升全练拓展训练1.答案 A 当点N与点O重合时,∠P'OA=30°,OD=OP'=2;当点M与点O重合时,∠P''OB=30°,OD=OP''=2.∵D是△PMN的外心,∴点D在线段PM的垂直平分线上,又PM⊥OA,∴D为OP的中点,即OD=OP=2,∴点D运动的轨迹是以点O为圆心,2为半径,圆心角为60°的弧,弧长为=.故选A.2.答案 A 取AD与☉B的切点为点G,连接BG,则∠AGB=90°,∵∠BAG=60°,AB=2,∴BG=,AG=1,∴S△ABG=·AG·BG=,S扇形HBG==,因此S1=S△ABG-S扇形HBG=-,由对称关系可知S2=S1,∵S扇形FBE==π,∴S阴影=S1+S2+S扇形FBE=2×+π=+,故选A.3.答案 D 如图,连接OP、OP',∵ON⊥OM,P为AB中点,∴OP=AB=A'B'=OP'.∵AB=2,∴OP=1.当A端下滑B端右滑时,AB的中点P到O的距离始终为定长1,∴P随之运动所经过的路线是一段圆弧,∵AB=2,∠ABO=60°,∴∠AOP=30°,OA=.∵AA'=-,OA'=OA-AA'=.在Rt△A'OB'中,由勾股定理可得OB'=OA'=,∴∠A'B'O=45°,∴∠A'OP'=45°,∴∠POP'=∠A'OP'-∠AOP=15°,∴弧PP'的长==,即P运动到P'所经过的路径长为,故选D.4.答案 B ∵☉O半径为4,∴圆的周长为2π×r=8π,∵将☉O向右滚动,使得O点向右移动了66π,又66π÷8π=8……2π,∴圆滚动8周后,又向右滚动了2π,∵矩形ABCD的外接圆☉O与水平地面相切于A点,l=2l,∴l=×8π=π<2π,l+l=×8π=4π>2π,∴此时与地面相切的弧为,故选B.三年模拟全练拓展训练1.答案D设AC=EG=a,则CE=4-2a,CO=6-a,EO=2+a,∴的长+的长为+=π(2+a+6-a)=4π,故选D.2.答案解析如图,设圆锥的底面圆的半径为r cm,连接AB,∵扇形OAB的圆心角为90°,∴∠AOB=90°,∴AB为圆形纸片的直径,∴AB=4 cm,∴OB=AB=2cm,∴的长==π(cm),∴2πr=π,∴r=.3.答案2-解析∵∠C=90°,CA=CB=2,∴∠A=∠B=45°,∴三条弧所组成的三个扇形的面积和为++=,又△ABC的面积为×2×2=2,∴阴影部分的面积=2-.五年中考全练拓展训练1.答案 B ∵每个小正方形的边长都为1,∴OA=4,∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A'OB',∴∠AOA'=90°,∴A点运动的路径的长为=2π.2.答案 A 如图,作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.∵CG是圆的直径,∴∠CDG=90°,则DG===8.又∵EF=8,∴DG=EF,∴=,∴S扇形ODG=S扇形.∵AB∥CD∥EF,∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形OEF=S半圆=π×52=π.故选A.ODG3.答案22 015π解析连接P1O1,P2O2,P3O3,……,∵P1是☉O1上的点,∴P1O1=OO1,∵直线l的解析式为y=x,∴∠P1OO1=45°,易得△P1OO1为等腰直角三角形,即P1O1⊥x轴,同理,P n O n垂直于x轴,∴为圆的周长.以O1为圆心,O1O为半径画圆,交x轴正半轴于点O2,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交x轴正半轴于点O3,……,以此类推,得OO n=2n-1,∴的长=·2π·OO n=π·2n-1=2n-2π,当n=2 017时,的长=22 015π.核心素养全练拓展训练1.答案 B 连接AB、A1B.∵长方形木板的长为4 cm,宽为3 cm,∴AB=5 cm,第一次是以B为旋转中心,BA长为半径旋转90°,此次点A走过的路径是=π(cm),第二次是以C为旋转中心,4 cm为半径旋转60°,此次走过的路径是=π(cm),∴点A滚到A2位置时共走过的路径长是π+π=π(cm).故选B.2.答案 C 点O所经过的路线长=++==24π.故选C.3.答案(1)π(2)2π(3)(n-2)π解析题图①中3条弧所对的圆心角之和为△ABC的内角和180°,因此可知弧的长度和为=π.同法可求出题图②中4条弧的长度和为=2π.题图中,n条弧的长度和为=(n-2)π.。
人教版数学九年级上册同步练习24-4 第1课时 弧长和扇形面积
中小学课堂教学精品资料设计图（1）A BCOA 'B 'C '（第8题）24.4 弧长和扇形面积第1课时 弧长和扇形面积1．在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．2. 已知扇形的弧长为6πcm ，圆心角为60°，则扇形的面积为_________． 3．母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为__________．4．一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为 ． 5．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）A.．5π B ．4π C ．3π D ．2π6、如图1，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC.那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ； 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= .7．如图（2），将ABC △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A 、B 、C’在同一直线上，若90BCA ∠=°，304cm BAC AB ∠==°，，则图中阴影部分面积为 cm 2． 8、如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．9、如图，将半径为1、圆心角为︒60的扇形纸片AOB ，在直线l 上向右作无滑动的滚动至扇形B O A '''处，则顶点O 经过的路线总长为10、如图，半圆的直径AB=10，P 为AB 上一点，点C\D 为半圆的三等分点，求得阴影部分的面积为11、如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO=65，CO=15，当AC 绕点O 旋转90°时，则刮雨刷AC 扫过的面积为 cm2？图（2）′OBA B 'A 'O '︒60 CDP O10题图AO′CA ′ （第11题图）A 2A 1A╮30°中小学课堂教学精品资料设计A′B剪去12、如图，王虎使一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A 位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为（ ）A ．10cmB ．4cm πC ．72cm π D ．52cm 13．图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积14、一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与C D 是水平的，BC 与水平面的夹角为600，其中AB=60cm ，CD=40cm ，BC=40cm ，请你作出该小朋友将园盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形面积》同步检测题含参考答案
图9 五、探究拓展与应用(共 17 分) 21.(9 分)已知：如图 10，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于 A，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于 C， 若 PA=2 cm，PC=1 cm，怎样求出图中阴影部分的面积 S？写出你的探求过程.
图 10
22.(8 分)如图 11，一个直角三角形纸板，其两条直角边长分别为 6 cm 和 8 cm，小明以纸 板的斜边为旋转轴旋转这个三角形纸板形成如图 11 所示的旋转体.请你帮小明推算出这个旋转 体的全面积.(π取 3.14)
D.
16 π 3
图5 ( )
16.若圆锥的侧面展开图是半径为 a 的半圆，则圆锥的高为 A.a B.
3 a 3
C. 3 a
D.
3 a 2
三、考查你的基本功(共 18 分) 17.(9 分)如图 6，∠AOB=120°， 的长为 2π，⊙O1 和 、OA、OB 相切于点 C、D、E，求 ⊙
O1 的周长.
A B C
图 11
参考答案 一、1.120 二、9.B 2.16π 10.C 11.A 3.180° 12.D
3 4. l 4
5.10π 14.B
6. 2 cm 16.D
7.100.5
8.
9 π 2
13.D
15.D
三、17.解：连接 OC、O1E、O1D, 则 O1 在 OC 上, 即 O1E=r. ∵∠AOB=120°, ∴∠COB=60°,OE=
弧长和扇形面积
一、请准确填空(每小题 3 分，共 24 分) 1.一个扇形的半径等于一个圆的半径的 3 倍， 且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_____ 度. 2.要修一段如图 1 所示的圆弧形弯道，它的半径是 48 m，圆弧所对的圆心角是 60°，那么 这段弯道长_____m(保留π).
人教版数学九年级上24.4《弧长和扇形的面积》测试(含答案及解析)
弧长和扇形的面积测试题时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题〔本大题共10小题，共分〕1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，BC=2√2，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，那么DE⏜的长为()A. π4B. π2C. πD. 2π2.一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，那么此扇形的圆心角的度数是()A. 300∘B. 150∘C. 120∘D. 75∘3.120∘的圆心角对的弧长是6π，那么此弧所在圆的半径是()A. 3B. 4C. 9D. 184.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，假设OA=2，∠P=60∘，那么AB⏜的长为()πA. 23B. ππC. 43πD. 535.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM和BC⏜的长分别为()A. 2，π3B. 2√3，πC. √3，2π3D. 2√3，4π36.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30∘，那么劣弧BC⏜的长等于()A. 2π3B. π3第 1 页C. 2√3π3D. √3π37.如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60∘得到△A′B′C，AC=6，BC=4，那么线段AB扫过的图形的面积为()A. 23πB. 83πC. 6πD. 103π8.一个扇形的圆心角是120∘，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是()A. 1cmB. 3cmC. 6cmD. 9cm9.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60∘，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，那么图中阴影局部的面积是()A. 18√3−9πB. 18−3πC. 9√3−9π2D. 18√3−3π10.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，假设AC=BC=√2，那么图中阴影局部的面积是()A. π4B. 12+π4C. π2D. 12+π2二、填空题〔本大题共10小题，共分〕11.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60∘，∠BCO=90∘，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，那么边BC扫过区域(图中阴影局部)的面积为______cm2．12.如图，半圆O的直径AB=2，弦CD//AB，∠COD=90∘，那么图中阴影局部的面积为______ ．13.用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如下图图形，那么图中阴影局部面积为______ ．14.如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=30∘，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影局部)的面积是______ cm2．15.如图，⊙O的半径是2，弦AB和弦CD相交于点E，∠AEC=60∘，那么扇形AOC和扇形BOD的面积(图中阴影局部)之和为______ ．16.如图，⊙O 的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90∘，AB=1，CD=√3，那么图中阴影局部的面积为______．第 3 页17.如下图的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，那么r上______ r下.(填“<〞“=〞“>〞)18.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，那么弧CD的长等于______.(结果保存π)19.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB=60∘，⊙O的直径是6，那么劣弧AB的长是______．20.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，那么BF⏜的长为______．三、计算题〔本大题共4小题，共分〕21.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60∘．(1)求∠ABC的度数；(2)求证：AE是⊙O的切线；(3)当BC=2时，求劣弧AC的长．22.如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，A^B=A^E，BE分别交AD、AC于点F、G．(1)证明：FA=FG；(2)假设BD=DO=2，求弧EC的长度．23.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，假设DF=1，BC=2√3，求阴影局部的面积．24.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，BD=2，AE=3，tan∠BOD=2．3(1)求⊙O的半径OD；(2)求证：AE是⊙O的切线；(3)求图中两局部阴影面积的和．四、解答题〔本大题共2小题，共分〕25.如图，平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)①求证：CF=OC；②假设半圆O的半径为12，求阴影局部的周长．26.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)假设AE=6，∠D=30∘，求图中阴影局部的面积．答案和解析【答案】1. B2. B3. C4. C5. D6. A7. D8. B9. A10. Aπ11. 1412. π413. π−3√3214. 5ππ15. 43π16. 5317. <18. π3第 5 页19. 2π20. 815π21. (1)解：∵∠ABC与∠D都是A^C所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60∘；(2)证明：∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠BAC=30∘，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30∘+60∘=90∘，即BA⊥AE，∵AE经过半径OA的外端点A，∴AE为圆O的切线；(3)解：如图，连接OC，∵OB=OC，∠ABC=60∘，∴△OBC为等边三角形，∴OB=BC=2，∠BOC=60∘，∴∠AOC=120∘，那么A^C的长为120π×2180=43π.22. (1)证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90∘，∴∠ABE+∠AGB=90∘；∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90∘；∵ÂB=ÂE，∴∠C=∠ABE，∴∠AGB=∠CAD，∴FA=FG．(2)解：如图，连接AO、EO，，∵BD=DO=2，AD⊥BC，∴AB=AO，∵AO=BO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60∘，∵ÂB=ÂE，∴∠AOE=60∘，∴∠EOC=60∘，∴ÊC的弧长=2π×(2×2)×60360=43π.23. (1)证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90∘，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中{OC=OB OE=OE EC=EB，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90∘，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；(2)解：设⊙O的半径为r，那么OD=r−1，在Rt△OBD中，BD=CD=12BC=√3，∴(r−1)2+(√3)2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD=BDOD=√3，∴∠BOD=60∘，∴∠BOC=2∠BOD=120∘，在Rt△OBE中，BE=√3OB=2√3，∴阴影局部的面积=S四边形OBEC−S扇形BOC=2S△OBE−S扇形BOC=2×12×2×2√3−120⋅π⋅22360=4√3−43π.24. 解：(1)∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=BDOD =23，∴OD=3；(2)连接OE，∵AE=OD=3，AE//OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD//EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，第 7 页又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；(3)∵OD//AC，∴BDAB =ODAC，即22+3=3AC，∴AC=7.5，∴EC=AC−AE=7.5−3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC−S扇形FOD−S扇形EOG=12×2×3+12×3×4.5−90π×32360=3+274−9π4=39−9π4．25. 解：(1)结论：DE是⊙O的切线．理由：∵CD⊥AD，∴∠D=90∘，∵四边形OABC是平行四边形，∴AD平行OC，∴∠D=∠OCE=90∘，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．(2)①连接BF．∵四边形OABC是平行四边形，∴BC//AF，AB=OC，∴∠AFB=∠CBF，∴AB⏜=CF⏜，∴AB=CF，∴CF=OC．②∵CF=OC=OF，∴△COF是等边三角形，∴∠COF=60∘，在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60∘，∠OCE=90∘，∴OE=2OC=24，EC=12√3，∵OF=12，∴EF=12，∴CF⏜的长=60π⋅12180=4π，∴阴影局部的周长为4π+12+12√3．26. (1)证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC//AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90∘，∴∠OCD=90∘，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；(2)解：在Rt△AED中，∵∠D=30∘，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30∘，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8，∴CD=√DO2−OC2=√82−42=4√3，∴S△OCD=CD⋅OC2=4√3×42=8√3，∵∠D=30∘，∠OCD=90∘，∴∠DOC=60∘，∴S扇形OBC =16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD−S扇形OBC∴S阴影=8√3−8π3，∴阴影局部的面积为8√3−8π3．【解析】1. 解：连接OE、OD，设半径为r，∵⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，∴OE⊥AC，OD⊥AB，∵O是BC的中点，∴OD是中位线，∴OD=AE=12AC，∴AC=2r，同理可知：AB=2r，∴AB=AC，∴∠B=45∘，∵BC=2√2∴由勾股定理可知AB=2，∴r=1，∴DE⏜=90π×1 180=π2第 9 页应选：B．连接OE、OD，由切线的性质可知OE⊥AC，OD⊥AB，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知∠B=45∘，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．此题考察切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，此题属于中等题型．2. 解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S=12Rl，即60π=12×R×10π，解得：R=12，∴S=60π=nπ×122360，解得：n=150∘，应选B利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．此题考察了扇形面积的计算，以及弧长的计算，纯熟掌握扇形面积公式是解此题的关键．3. 解：根据弧长的公式l=nπr180，得到：6π=120πr180，解得r=9．应选C．根据弧长的计算公式l=nπr180，将n及l的值代入即可得出半径r的值．此题考察了弧长的计算，解答此题的关键是纯熟记忆弧长的计算公式，属于根底题，难度一般．4. 解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90∘，在四边形APBO中，∠P=60∘，∴∠AOB=120∘，∵OA=2，∴AB⏜的长l=120π×2180=43π，应选：C．由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出AB⏜的长即可．此题考察了弧长的计算，以及切线的性质，纯熟掌握弧长公式是解此题的关键．5. 解：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2√3，BC⏜=60π×4180=43π，应选：D．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．此题考察了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．6. 解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=30∘，∴∠BOC=2∠BAC=60∘，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=2，∴劣弧BC⏜的长为：60π×2180=2π3．应选：A．连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC=60∘，然后利用弧长公式l=nπr180来计算劣弧BC⏜的长．此题考察了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的断定与性质.根据圆周角定理得到∠BOC=60∘是解题的关键所在．7. 解：∵△ABC绕点C旋转60∘得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=60∘．∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC−S扇形BCB′−S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′−S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积=16×π×36−16×π×16=103π.应选：D．根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC−S扇形BCB′−S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′−S扇形BCB′求出其值即可．此题考察了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．8. 解：设扇形的半径为R，由题意：3π=120π⋅R2360，解得R=±3，∵R>0，∴R=3cm，∴这个扇形的半径为3cm．应选：B．根据扇形的面积公式：S=nπR2360代入计算即可解决问题．此题考察扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：S=nπR2360=12LR(L是弧长，R是半径)，属于中考常考题型．9. 解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60∘，∴AD=AB=6，∠ADC=180∘−60∘=120∘，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，第 11 页∴DF=AD⋅sin60∘=6×√32=3√3，∴图中阴影局部的面积=菱形ABCD的面积−扇形DEFG的面积=6×3√3−120π×(3√3)2360=18√3−9π．应选：A．由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120∘，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影局部的面积=菱形ABCD的面积−扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．此题考察了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．10. 解：∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∵AC=BC=√2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=√22AC=1，∴S阴影部分=S扇形AOC=90⋅π⋅12360=π4．应选A．先利用圆周角定理得到∠ACB=90∘，那么可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影局部的面积．此题考察了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，(2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法.求阴影面积的主要思路是将不规那么图形面积转化为规那么图形的面积．11. 解：∵∠BOC=60∘，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=60∘，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60∘，∠C′B′O=30∘，∴∠B′OB=120∘，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=12，∴B′C′=√32，∴S扇形B′OB =120π×12360=13π，S扇形C′OC =120π×14360=π12，∵∴阴影局部面积=S扇形B′OB +S△B′C′O−S△BCO−S扇形C′OC=S扇形B′OB−S扇形C′OC=13π−π12=14π；故答案为：14π.根据条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进展计算即可得出答案．此题考察了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是此题的关键．12. 解：∵弦CD//AB，∴S△ACD=S△OCD，∴S阴影=S扇形COD=∠COD360∘⋅π⋅(AB2)2=90∘360∘×π×(22)2=π4．故答案为：π4．由CD//AB可知，点A、O到直线CD的间隔相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S△ACD=S△OCD，进而得出S阴影=S扇形COD，根据扇形的面积公式即可得出结论．此题考察了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=S扇形COD.此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．13. 解：如图，设A^B的中点为P，连接OA，OP，AP，△OAP的面积是：√34×12=√34，扇形OAP的面积是：S扇形=π6，AP直线和AP弧面积：S弓形=π6−√34，阴影面积：3×2S弓形=π−3√32．故答案为：π−3√32．连OA，OP，AP，求出AP直线和AP弧面积，即16阴影局部面积，从而求解．此题考察了扇形面积的计算，解题的关键是得到阴影局部面积=6(扇形OAP的面积−△OAP的面积)．14. 解：∵∠ABC=∠A′BC′=30∘，∴△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转了180∘−30∘=150∘，∴按反方向旋转一样的角度即可得到阴影局部为两个扇形面积的差，∵AB=4cm，BC=2cm∴S阴影部分=150π(42−22)360=5π．故答案为：5π．根据题意可知该阴影局部的面积为两个扇形面积的差，分别计算出两个扇形的面积相减即可得到阴影局部的面积．此题考察了扇形的面积的计算，解决此题的关键是根据题目中旋转的角度判断阴影局部的组成．15. 解：连接BC，如下图：∵∠CBE+∠BCE=∠AEC=60∘，∴∠AOC+∠BOD=120∘，∴扇形AOC与扇形DOB面积的和=120π×22360=43π，第 13 页故答案为：43π．根据三角形的外角的性质、圆周角定理得到∠AOC+∠BOD=120∘，利用扇形面积公式计算即可．此题考察的是扇形面积的计算、圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．16. 解：在Rt△ABO中，∠ABO=90∘，OA=2，AB=1，∴OB=√OA2−AB2=√3，sin∠AOB=ABOA =12，∠AOB=30∘．同理，可得出：OD=1，∠COD=60∘．∴∠AOC=∠AOB+(180∘−∠COD)=30∘+180∘−60∘=150∘．在△AOB和△OCD中，有{AO=OC AB=OD BO=DC，∴△AOB≌△OCD(SSS)．∴S阴影=S扇形OAC．∴S扇形OAC=150360πR2=150360π×22=53π.故答案为：53π.通过解直角三角形可求出∠AOB=30∘，∠COD=60∘，从而可求出∠AOC=150∘，再通过证三角形全等找出S阴影=S扇形OAC，套入扇形的面积公式即可得出结论．此题考察了全等三角形的断定、解直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影=S扇形OAC.此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据拆补法将不规那么的图形变成规那么的图形，再套用规那么图形的面积公式进展计算即可．17. 解：如图，r上<r下．故答案为：<．利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比拟两个圆的半径即可．此题考察了弧长公式：圆周长公式：C=2πR(2)弧长公式：l=n⋅π⋅R180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．18. 解：∵∠ACB=90∘，AC=1，AB=2，∴∠ABC=30∘，∴∠A=60∘，又∵AC=1，∴弧CD 的长为60×π×1180=π3，故答案为：π3．先根据ACB=90∘，AC=1，AB=2，得到∠ABC=30∘，进而得出∠A=60∘，再根据AC=1，即可得到弧CD的长．此题主要考察了弧长公式的运用，解题时注意弧长公式为：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．19. 解：如图连接OA、OB．∵∠AOB=2∠ACB=120∘，∴劣弧AB的长=120π⋅3180=2π，故答案为2π．如图连接OA、OB.根据圆周角定理求出∠AOB，安康旅游弧长公式计算；此题考察弧长公式、圆周角定理等知识，解题的关键是纯熟掌握根本知识，属于中考常考题型．20. 解：连接CF，DF，那么△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60∘，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108∘，∴∠BCF=48∘，∴BF⏜的长=48⋅π×2180=815π，故答案为：815π.连接CF，DF，得到△CFD是等边三角形，得到∠FCD=60∘，根据正五边形的内角和得到∠BCD=108∘，求得∠BCF=48∘，根据弧长公式即可得到结论．此题考察了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的断定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21. (1)利用同弧所对的圆周角相等确定出所求角度数即可；(2)由AB为圆的直径，确定出所对的圆周角为直角，再由∠ABC度数求出∠BAC度数，进而求出∠BAE为直角，即可得证；(3)连接OC，由OB=OC，且∠BOC=60∘，确定出三角形OBC为等边三角形，进而求出∠AOC度数，利用弧长公式求出弧AC的长即可．此题考察了切线的断定，以及弧长的计算，涉及的知识有：圆周角定理，外角性质，等边三角形的断定与性质，纯熟掌握定理及性质是解此题的关键．22. (1)根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，A^B=A^E，推出∠AGB=∠CAD，即可推得FA=FG．(2)根据BD=DO=2，AD⊥BC，求出∠AOB=60∘，再根据A^B=A^E，求出∠EOC=60∘，第 15 页即可求出E^C的长度是多少．此题主要考察了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要纯熟掌握．23. (1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90∘，再根据垂径定理得到CD=BD，那么OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE= 90∘，然后根据切线的断定定理得到结论；(2)设⊙O的半径为r，那么OD=r−1，利用勾股定理得到(r−1)2+(√3)2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60∘，那么∠BOC=2∠BOD=120∘，接着计算出BE=√3OB=2√3，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影局部的面积=2S△OBE−S扇形BOC进展计算即可．此题考察了切线的断定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.断定切线时“连圆心和直线与圆的公共点〞或“过圆心作这条直线的垂线〞；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径〞.也考察了不规那么图形的面积的计算方法．24. (1)由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO 中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；(2)连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；(3)阴影局部的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积−扇形DOF的面积−扇形EOG的面积，求出即可．此题考察了切线的断定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的断定与性质，以及平行线的性质，纯熟掌握切线的断定与性质是解此题的关键．25. (1)结论：DE是⊙O的切线.首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；(2)①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．此题考察切线的断定、平行四边形的性质、等边三角形的断定和性质、弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，证明三角形是等边三角形是解题的打破点，属于中考常考题型．26. (1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC//AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD−S扇形OBC即可得到答案．此题主要考察了切线的断定以及扇形的面积计算，解(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．。
人教版 九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 同步训练(含答案)
人教版 九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 同步训练一、选择题1. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π) ( )A .8-πB .16-2πC .8-2πD .8-π2. 如图在等边三角形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的AC ︵，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数由60°变为( )图A ．(180π)°B ．(120π)°C ．(90π)°D ．(60π)°3. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )A . 3πB . 6πC . 9πD . 12π4. 120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( ) A . 3 B . 4 C . 9 D . 185. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1.把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l 1，l 2，侧面积分别记作S 1，S 2，则( )A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶46. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm，则这个圆锥的侧面积是()A．30 cm2B．60π cm2C．30π cm2D．48π cm27. 如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝2，则图中阴影部分的面积是()A. π4B.12＋π4C.π2D.12＋π28. 2019·天水模拟一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是()A．60°B．90°C．120°D．180°9. 2019·宁波如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为()A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm10. 2017·衢州运用图变化的方法研究下列问题：如图AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8，则图阴影部分的面积是( )图A.252π B ．10π C ．24＋4πD ．24＋5π二、填空题11. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．12. 如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为________．13. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.14. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，AB ＝123，OP ＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)15. 已知一个圆心角为270°，半径为3 m 的扇形工件未搬动前如图示，A ，B 两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B 为圆心，做如图示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长为________m．(结果用含π的式子表示)16. 如图，圆锥的母线长OA＝6，底面圆的半径为32，一只小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为________．(结果保留根号)17. 如图在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心，2为半径作圆弧EF，以点D为圆心，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1－S2＝________．18. 如图，在圆柱体内挖去一个与它不等高的圆锥，锥顶O到AD的距离为1，∠OCD＝30°，OC＝4，则挖去圆锥后剩余部分的表面积是________．三、解答题19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB 上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．20. 一个圆锥的高为3 3，侧面展开图半圆，求：(1)圆锥的母线长与底面圆半径的比；(2)圆锥的全面积．21. 如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，且AC＝BC＝16分米，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点F，以点C 为圆心，CD长为半径画弧，与AC，BC分别交于点E，G.求阴影部分的面积．22. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．人教版 九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 同步训练-答案一、选择题1. 【答案】C [解析]在边长为4的正方形ABCD 中，BD 是对角线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S △ABD =·AD ·AB=8， S 扇形ABE ==2π，∴S 阴影=S △ABD -S 扇形ABE =8-2π.故选C .2. 【答案】A[解析] 设变形后的∠B ＝n °，AB ＝AC ︵的长＝a .由题意可得n 180π·a＝a ，解得n ＝180π.3. 【答案】 D 【解析】由扇形的面积公式可得：S ＝120×π×62360＝12π.4. 【答案】 C 【解析】由扇形的弧长公式l ＝n πr 180可得：6π＝120π·r180，解得r ＝9.5. 【答案】A 【解析】∵∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，∴勾股定理得，AC ＝5.①当△ABC 绕AB 旋转时，则底面周长l 1＝2π×BC ＝2π，侧面积为S 1＝π×BC×AC ＝5π；②当△ABC 绕BC 旋转时，则底面周长l 2＝2π×AB ＝4π，侧面积为S 2＝π×AB×AC ＝25π，∴l 1∶l 2 ＝2π∶4π＝1∶2，S 1∶S 2＝5π∶25π＝1∶2.6. 【答案】B7. 【答案】A【解析】∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝BC ＝2，∴AB ＝2，则半径OA ＝OB ＝1，∵△AOC ≌△BOC ，∴△AOC 的面积与△BOC 的面积相等，∴阴影部分的面积刚好是四分之一圆的面积，即为14π×12＝π4.8. 【答案】D9. 【答案】B10. 【答案】A[解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°，则DG ＝CG 2－CD 2＝8. 又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ， ∴DG ︵＝EF ︵， ∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题11. 【答案】3π 【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三角形，∴∠AOB ＝2∠C ＝2×60°＝120° ，∵⊙O 的半径为3，∴阴影部分的面积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.12. 【答案】8【解析】∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AB ︵＝BC ︵＝EF ︵＝ED ︵＝AF ︵＝CD ︵，∴BE ︵的长是圆周长的一半，则BE 是圆的直径，∴BE ＝2×4＝8.13. 【答案】120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝n π·6180，解得n ＝120.14. 【答案】8π 【解析】∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB ，∴AP ＝12AB ＝6 3.如解图，连接OA ，OB ，∵OA ＝OB ，∴∠AOB ＝2∠AOP.在Rt △AOP 中，OA＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP ＝AP OP ＝636＝3，∴∠AOP ＝60°.∴∠AOB ＝120°，∴劣弧AB 的长为120π·12180＝8π.15. 【答案】6π[解析] 由题意易知∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠ABO ＝45°，圆心O 旋转的长度为2×45π×3180＝3π2(m)，圆心O 平移的距离为270π×3180＝9π2(m)，则圆心O 经过的路线长为3π2＋9π2＝6π(m)．16. 【答案】36 2 [解析] 圆锥侧面展开图图示，则AA ′为小虫所走的最短路径．∵圆锥底面圆的半径为32， ∴圆锥的底面周长为2π×32＝3π.设圆锥的侧面展开图圆心角为n °，则n π×6180＝3π，解得n ＝90，即∠AOA ′＝90°. 又∵OA ＝OA ′＝6， ∴AA ′＝2OA ＝6 2.17. 【答案】13π4－9 [解析] ∵S 正方形ABCD ＝3×3＝9，S 扇形DAC ＝9π4，S 扇形AEF ＝π，∴S 1－S 2＝S 扇形AEF －(S 正方形ABCD －S 扇形DAC )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫9－9π4＝13π4－9.18. 【答案】(16＋83)π [解析] ∵∠OCD ＝30°，∴∠OCB＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴挖去的圆锥的高为2 3，底面圆的半径为2，∴圆柱的高为1＋2 3，则挖去圆锥后该物体的表面积为(1＋2 3)×4π＋π×22＋12×4π×4＝(16＋8 3)π.三、解答题19. 【答案】(1)解：BC与⊙O相切．理由如下：解图如解图，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD.又∵∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA.∴OD∥AC，(2分)∴∠BDO＝∠C＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切．(4分)(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，由(1)知∠BDO＝90°，∴在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(23)2＝(r＋2)2. 解得r＝2.(5分)∵tan∠BOD＝BDOD＝232＝3，∴∠BOD＝60°.(7分)∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝12·OD·BD－60πr2360＝23－23π.(8分)20. 【答案】解：(1)设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝180πl 180，所以l ＝2r ，即圆锥的母线长与底面圆半径的比为2∶1. (2)因为r 2＋(3 3)2＝l 2，即r 2＋(3 3)2＝4r 2，解得r ＝3(负值已舍去)， 所以l ＝6，所以圆锥的全面积＝π·32＋12·2π·3·6＝27π.21. 【答案】解：连接CD .∵△ABC 是等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点， ∴CD ⊥AB .由已知，得AB ＝16 2，∠DBF ＝45°， ∴BF ＝BD ＝12AB ＝CD ＝8 2，∴阴影部分的面积是16×162－45π×（8 2）2360－[12×16×162－45π×（8 2）2360]＝64(分米2)．答：阴影部分的面积是64平方分米．22. 【答案】13π4解：(1)如图(2)23πa 103πa 10πa (3)15πa 2(4)①30n πa ②m （m ＋1）nπa。
2019-2020学年人教版九年级数学上学期同步测试专题24-4：弧长和扇形面积(含解析)
专题24.4弧长和扇形面积（测试）一、单选题1．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( ) A ．48π B ．45π C ．36π D ．32π【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π， ∴28r ππ=， ∴4r =，∴圆锥的全面积=2163248S S rl r πππππ+=+=+=侧底， 故选A.2．如图，直径为2cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）A ．5πB ．6πC ．20πD ．24π【答案】A【解析】解：圆所扫过的图形面积π2π25π=+⨯=， 故选：A ．3．如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ．A ．2πB ．2πC ．178π D ．198π 【答案】B 【解析】解：AOC BOD ∆∆≌，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积229039012360360πππ⋅⨯⋅⨯=-=故选：B ．4．如图，在Rt ABC ∆中，90304ACB A BC ∠=︒∠=︒=，，，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43πB ．23πC ．13π-D ．13π【答案】A【解析】解：∵在Rt ABC ∆中，9030ACB A ∠︒∠︒＝，＝，60B ∴∠︒＝， 120COD ∴∠︒＝，4BC ＝，BC 为半圆O 的直径， 90CDB ∴∠︒＝， 2OC OD ∴＝＝，CD ∴==，图中阴影部分的面积2120214136023COD COD S S ππ∆⋅⨯-⨯=扇形＝﹣＝ 故选：A ． 5．如图，O 中，»»AB AC =，75ACB ∠=︒，2BC =，则阴影部分的面积是( )A ．223π+B ．223π+ C ．243π+D ．423π+【答案】A【解析】∵»»AB AC =， ∴AB AC =， ∵75ACB ∠=︒，∴75ABC ACB ∠=∠=︒， ∴30BAC ∠=︒， ∴60BOC ∠=︒， ∵OB OC =，∴BOC ∆是等边三角形， ∴2OA OB OC BC ====， 作AD BC ⊥， ∵AB AC =， ∴BD CD =， ∴AD 经过圆心O ， ∴332OD ==∴2AD =+∴122ABC S BC AD ∆=⋅=+12BOC S BC OD ∆=⋅=∴ABC BOC BOC S S S S ∆∆=+-阴影扇形26022223603π⨯=-=+π，故选：A ．6．如图，ABC △内接于圆O ，65B ∠=︒，70C ∠=︒，若BC =BC 的长为（ ）A．π BC ．2πD ．【答案】A 【解析】 连接OB ，OC ．∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°， ∴∠BOC=90°，∵ ∴OB=OC=2， ∴BC 的长为902180π⨯⨯=π，故选A ．7．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π B ．23π-C ．1112π-D ．23π﹣1 【答案】B【解析】连接OB 、OB ′，过点A 作AN ⊥BO 于点N ， 菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1， ∴∠AOC ＝60°，∠COA ′＝30°， ∴AN ＝12，∴NO ，∴BO ，∴S △CBO ＝S △C ′B ′O ＝12 ×12AO •2CO •sin60°， S 扇形OCA ′＝30=36012ππ， S 扇形OBB ′＝9033=3604⨯ππ；∴阴影部分的面积＝32-2=4123ππ（）π 故选：B ．8．如图，将O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3，则AB 的长为（ ）A ．12π B ．πC ．2πD ．3π【答案】C【解析】根据题意作OC AB ⊥,垂足为CO 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为332OC ∴=,30OAB ︒∠= ∴圆心角120AOB ︒∠= ∴AB =120232360ππ⨯⨯= 故选C.9．如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是( )A ．8B ．C ．D ．【答案】D 【解析】圆锥的底面周长=2π×5=10π， 设侧面展开图的圆心角的度数为n ． ∴n 2010180ππ⋅=， 解得n=90，圆锥的侧面展开图，如图所示：222020+2 故选D ．10．如图，在正方形铁皮中剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少，用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径记为r ，扇形的半径记为R ，则r 与R 之间的数量关系为( )A ．2R r ＝B ．R r ＝C ．3R r ＝D ．4R r ＝【答案】D【解析】因为拼成一个圆锥，所以底面圆的周长等于扇形的弧长，即902R 180r ππ=⋅， 整理得4R r ＝. 故选D .11．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）A ．2BC ．32D【答案】D【解析】∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，BD ， ∵∠ABC ＝105°， ∴∠CBD ＝60°， 而CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形， ∴BC ＝BD 2，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，1 故选D ．12．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 相切于点A ，C ，则劣弧AC 的长度为（ ）A ．25π B ．23π C ．34πD ．45π 【答案】D【解析】连接OA 、OC ，如图． ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠E ＝∠D ＝(52)1805︒-⨯＝108°．∵AE 、CD 与⊙O 相切， ∴∠OAE ＝∠OCD ＝90°，∴∠AOC ＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°， ∴劣弧AC 的长为144141805ππ⨯=．故选：D ．13．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，扇形CBD 的圆心角为60°，点E 为CD 上一动点，P 为AE 的中点，当点E 从点C 运动至点D ，则点P 的运动路径长是 ( )A ．2πB ．6π C ．πD ．32【答案】A【解析】如图，取AB 的中点Q ，连结PQ ，连结EB .∵P 为AE 的中点，Q 为AB 的中点， ∴PQ 为△AEB 的中位线，∴PQ ∥EB ，且PQ =12EB =12BC =32.∴点P 在以Q 为圆心，32为半径的圆上运动.当点E 从点C 运动至点D 时，点P 所转动的角度为60°，∴点P 的运动路径长是36021802ππ⋅=.故选：A.14．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转一个角度，使点O 的对应点D 落在弧AB 上，点B 的对应点为C ，连接BC ，则图中CD 、BC 和弧BD 围成的封闭图形面积是（ ）A6πB．26π- C．28π- D3π【答案】B【解析】解：如图，连接OD ．由题意：OA ＝OD ＝AD ， ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠ADO ＝∠AOD ＝60°， ∵∠ADC ＝∠AOB ＝120°， ∴∠ADO +∠ADC ＝180°， ∴O ，D ，C 共线，∴图中CD 、BC 和弧BD 围成的封闭图形面积＝S △OBC ﹣S 扇形ODB ＝12×2601360π-6π， 故选：B ．15．如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=12，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A．4πB．5πC．6πD．8π【答案】C【解析】过点O作0D⊥BC于点D,交弧BC于点E,连接OC则点E是弧BEC的中点,由折叠的性质可得点O为弧BOC的中点,∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中,OD=DE=12R=3,OB=R=6∴∠OBD=30°∴∠AOC=60°∴S月影=S扇形AOC=2 606=6 360ππ故选:C16．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．C．D．2π【答案】A【解析】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴AB=OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC∥AB，∴S△AOB=S△ABC，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB= 60366360ππ⋅⨯=故选：A．二、填空题17．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．【答案】8π．【解析】由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；故答案为：8π．18．若扇形的面积为，它所对的圆心角为，则这个扇形的半径为________．【答案】4【解析】∵，∴，∴＝.故答案为：419．如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心，以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是_____．【答案】13π4-6【解析】由图可得，图中阴影部分的面积是：2290π390π213π323603604⨯⨯⨯⨯+-⨯=-6，故答案为：13π4-6．20．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝9，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高的OC的长度是_____．【答案】【解析】解：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得12092180rππ=，解得r＝3．所以OC==．答：此圆锥高的OC的长度为．故答案为．三、解答题21．如图,在平面直角坐标系xOy中,点,0),点B(0,1)，直线EF与x轴垂直，A为垂足。
2019-2020九年级数学上册 第二十四章 圆 24.4 弧长和扇形面积同步检测(含解析)(新版)新人教版
24.4 弧长和扇形面积测试时间:25分钟一、选择题1.(2017广西南宁中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC=2,∠BAC=30°,则劣弧的长等于( )A. B. C. D.2.(2017四川绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8 cm,圆柱体部分的高BC=6 cm,圆锥体部分的高CD=3 cm,则这个陀螺的表面积是( )A.68π cm2B.74π cm2C.84π cm2D.100π cm23.(2017浙江丽水中考)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是( )A.π-B.π-2C.π-D.π-4.(2017山东东营中考)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.180°二、填空题5.(2017甘肃白银中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,A C=1,AB=2,以点A为圆心、AC的长为半径画弧,交AB边于点D,则的长等于.(结果保留π)6.如图,正方形ABCD中,扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E,AB=6 cm,则图中阴影部分的面积为cm2.三、解答题7.如图,有一直径是 m的圆形铁皮,现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC.(1)求AB的长;(2)求图中阴影部分的面积;(3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥,求所得圆锥的底面圆半径.8.(2016四川攀枝花中考)如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E.(1)求证:DE=AB;(2)以A为圆心,AB长为半径作圆弧交AF于点G,若BF=FC=1,求扇形ABG的面积.(结果保留π)24.4 弧长和扇形面积一、选择题1.答案A如图,连接OB、OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°,又OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴BC=OB=OC=2,∴劣弧的长为=.故选A.2.答案 C ∵圆锥体的底面圆的直径为8 cm,高为 3 cm,∴圆锥体的母线长为 5 cm,∴这个陀螺的表面积为π×4×5+42π+8π×6=84π(cm2),故选C.3.答案A连接OC,过O作OD⊥BC于 D.∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,∴∠ACB=90°,∠AOC=60°,∠COB=120°,∴∠ABC=30°,∵AC=2,∴AB=2AC=4,BC=2,∵OC=OB=2,OD⊥BC,∠ABC=30°,∴OD=OB=1.∴阴影部分的面积=S扇形BOC-S△OBC=-×2×1=π-,故选A.4.答案 C 设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的3倍,∴3πr2=πrR,∴R=3r.设圆心角为n°,有=2πr,∴n=120.故选C.二、填空题5.答案解析∵∠ACB=90°,AC=1,AB=2,∴∠ABC=30°,∴∠A=60°,又∵AC=1,∴的长==.6.答案3π解析正方形ABCD中,∠DCB=90°,DC=AB=6 cm.∵扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E,∴△BCE是等边三角形,∴∠ECB=60°,∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=30°.根据图形的割补,可得阴影部分的面积是扇形CDE的面积,S扇形2),故题图中阴影部分的面积为3π cm2.CDE==3π(cm三、解答题7.解析(1)连接BC,∵∠BAC=90°,∴BC为☉O的直径,即BC= m, ∴AB=BC=1 m.(2)S阴影=S圆-S扇形=π-=(m2).(3)设所得圆锥的底面圆的半径为r m,根据题意得2πr=,解得r=.故所得圆锥的底面圆的半径为 m.8.解析(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠FBA=90°,AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠AFB,∵DE⊥AF,∴∠AED=90°=∠FBA,在△ABF和△DEA中,∴△ABF≌△DEA(AAS),∴DE=AB.(2)∵BC=AD,AD=AF,∴BC=AF,∵BF=FC=1,∠ABF=90°,∴∠BAF=30°,由勾股定理得AB==, ∴S扇形ABG==.。
九年级数学上册24-4《弧长与扇形面积》基础课时练习题(含答案解析)
九年级数学上册24-4《弧长与扇形面积》基础课时练习题（含答案解析）1、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B =135°，则AC ⌢的长（ ）．A. 2πB. πC. π2D. π32、如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点，作△ABC 的外接圆，BC ⌢的长等于 ．3、如图，在扇形纸片AOB 中，OA =10，∠AOB =36°，OB 在桌面内的直线l 上．现将此扇形沿l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA 落在l 上时，停止旋转．则点O 所经过的路线长为（ ）．A. 12πB. 11πC. 10πD. 10π+5√5−54、如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 直径，AB =6，AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接BD ．(1) 求证：∠BAD=∠CBD．(2) 若∠AEB=125°，求BD⌢的长（结果保留π）．5、一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米，则扇形的面积是平方厘米．6、如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为．7、如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是．8、如图，正方形ABCD 中，AB =√3，点E 是BC 上一点，且BE =1，连接AE ，以点A 为圆心，AE 为半径画弧，交CD 于点F ，交AD 的延长线于点G ，则图中阴影部分的面积是（ ）．A. 2π3−√3B. √3−π3C. 3−√3D. 3−3√329、如图，已知⊙O 的半径是2，点A 、B 、C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ）．A. 23π−2√3B. 23π−√3C. 43π−2√3D. 43π−√310、如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB ⌢恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）．πA. 53πB. 52πC. 54πD. 5611、如图，墙壁和地面成直角，一根长为3m的直木棍AB如图1放置，木棍的下端点B向右滑动至图3的状态，则在整个滑动过程中，木棍的中点P经过的路线长度是．12、如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为BC⌢的中点，过D作EF//BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1) 求证：EF为⊙O的切线．(2) 若AB=2，∠BDC=2∠A，求BC⌢的长．π，则此扇形的面积是．（结13、若扇形半径为3，该扇形的弧长为23果保留π）14、一个圆锥的底面半径是4cm ，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是( )A. 8cmB. 12cmC. 16cmD. 24cm15、如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）．A. π2m 2B. √32πm 2C. πm 2D. 2πm 216、如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是（ ）．A. 12πB. 24πC. 6πD. 36π17、如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，AB =2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 （结果用π表示）．1 、【答案】 B;【解析】连接OA、OC，∵∠B=135°，∴∠D=180°−135°=45°，∴∠AOC=90°，则AC⌢的长=90π×2180=π．2 、【答案】√5π2;【解析】∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB=2√5，AC=√10，BC=√10，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∴连接OC，则∠COB=90°，∵OB=√5，∴BC⌢的长为：90⋅π⋅√5180=√5π2．故答案为：√5π2．3 、【答案】 A;【解析】 点O 所经过的路线长=90π×10180+36π×10180+90π×10180=216π×10180=12π．故选A ．4 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) BD ⌢=76π．;【解析】 (1) ∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD =∠BAD ，∵∠CAD =∠CBD ，∴∠BAD =∠CBD ．(2) 连接OD ，∵∠AEB =125°，∴∠AEC =55°，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACE =90°，∴∠CAE =35°，∴∠DAB =∠CAE =35°，∴∠BOD =2∠BAD =70°，∴BD ⌢的长=70⋅π×3180=76π． 5 、【答案】 48;【解析】 ∵一个扇形的弧长是24厘米，半径是4厘米， ∴扇形的面积是：12×24×4=48 （平方厘米）．故答案为：48．6 、【答案】6;【解析】根据题意得2π×2=120⋅π⋅l180，解得l=6，即该圆锥母线l的长为6．故答案为：6．7 、【答案】3π;【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是120π×32360=3π．8 、【答案】 D;【解析】∵在△ABE中，∠B=90°，AB=√3，BE=1，∴AE=√AB2+BE2=2，∠BAE=30°．由题意，可得AF=AE=2，∠ADF=90°，AD=AB=√3，∴DF=√AF2−AD2=1，∠DAF=30°，∴FC=√3−1，∠EAF=90°−∠BAE−∠DAF=30°，∴S扇形AFG=S扇形AEF．∵S阴影FDG=S扇形AFG−S△ADF，S阴影ECF=S梯形ABCF−S△ABE−S扇形AEF，∴S阴影=S阴影FDG+S阴影ECF=S扇形AFG−S△ADF+S梯形ABCF−S△ABE−S扇形AEF=S梯形ABCF−S△ABE−S△ADF=12(√3−1+√3)×√3−12×√3×1−12×√3×1=3−3√32．故选：D．9 、【答案】 C;【解析】连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为2，∴OB=OA=OC=2，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=1，在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD=√22−12=√3，AC=2CD=2√3，∵sin∠COD=CDOC =√32，∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=12OB×AC=12×2×2√3=2√3，S扇形AOC =120⋅π⋅22360=4π3，则图中阴影部分面积为S菱形ABCO −S扇形AOC=43π−2√3．10 、【答案】 B;【解析】如图：画出折叠后AB⌢所在的⊙O′，连O′B，O′A，∵AB ⌢恰好与OA 、OB 相切，∴O ′B ⊥OB 、O ′A ⊥OA ，∵OB =OA =O ′B =O ′A ，∴四边形O ′BOA 是正方形，∴∠O =90°，∴劣弧AB 的长为90°×2×5π360°=5π2． 故选B ．11 、【答案】 3π4m ; 【解析】 连接CP ，在Rt △ABC 中，P 为AB 的中点，∴CP =12AB =12×3=1.5m ，则在整个滑动过程中，木棍的中点P 经过的路线长度是14×2π×1.5=3π4m ， 故答案为：3π4m ．12 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) BC ⌢=43π． ;【解析】 (1) 连接OD ，OB ．∵D 为BC ⌢的中点，∴∠BOD =∠COD ．∵OB =OC ，∴OD ⊥BC ，∴∠OGC =90°．∵EF//BC ，∴∠ODF =∠OGC =90°，即OD ⊥EF ，∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线．(2) ∵四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形，∴∠A +∠BDC =180°，又∵∠BDC =2∠A ，∴∠A +2∠A =180°，∴∠A =60°，∵OA =OB ，∴△OAB 等边三角形，∵OB =AB =2，又∵∠BOC =2∠A =120°，∴BC ⌢=120×π×2180=43π．13 、【答案】 π;【解析】 ∵扇形半径为3，该扇形的的弧长为23π，∴该扇形的圆心角为2 3π2π×3×360°=40°，∴该扇形的面积为：40×π×32360=π．故答案为：π．14 、【答案】 B;【解析】解：圆锥的底面周长为2π×4=8πcm，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得，120×π×R180=8π，解得，R=12，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．15 、【答案】 A;【解析】连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=√2m，∴阴影部分的面积是90π×(√2)2360=12π（m2）．16 、【答案】 B;【解析】∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积是：S=S扇形BAB′+S半圆−S半圆=60π×122360+12π×62−12π×62=24π．17 、【答案】2π3−√3;【解析】如图，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为√3，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，{∠A=∠2 AB=BD∠3=∠4，∴△ABG≌△DBH(ASA)，∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF−S△ABD=60π×22360−12×2×√3=2π3−√3．故答案是：2π3−√3．。
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专题24.4弧长和扇形面积（测试）一、单选题1．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是( ) A ．48π B ．45π C ．36π D ．32π【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，母线长为l ，则底面圆的周长等于半圆的弧长8π， ∴28r ππ=， ∴4r =，∴圆锥的全面积=2163248S S rl r πππππ+=+=+=侧底， 故选A.2．如图，直径为2cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）A ．5πB ．6πC ．20πD ．24π【答案】A【解析】解：圆所扫过的图形面积π2π25π=+⨯=， 故选：A ．3．如图，在AOC ∆中，31OA cm OC cm ＝，＝，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90后得到BOD ∆，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）2cm ．A ．2πB ．2πC ．178π D ．198π 【答案】B【解析】 解：AOC BOD ∆∆≌，∴阴影部分的面积＝扇形OAB 的面积﹣扇形OCD 的面积229039012360360πππ⋅⨯⋅⨯=-=故选：B ．4．如图，在Rt ABC ∆中，90304ACB A BC ∠=︒∠=︒=，，，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．433πB ．2332π-C ．1332π-D ．133π【答案】A【解析】解：∵在Rt ABC ∆中，9030ACB A ∠︒∠︒＝，＝，60B ∴∠︒＝， 120COD ∴∠︒＝，4BC ＝，BC 为半圆O 的直径， 90CDB ∴∠︒＝， 2OC OD ∴＝＝，3232CD BC ∴==， 图中阴影部分的面积2120214231336023COD COD S S ππ∆⋅⨯-⨯=-扇形＝﹣＝，故选：A ． 5．如图，O 中，AB AC =，75ACB ∠=︒，2BC =，则阴影部分的面积是( )A ．223π+B ．2233π+ C ．243π+D ．423π+【答案】A【解析】∵AB AC =， ∴AB AC =， ∵75ACB ∠=︒，∴75ABC ACB ∠=∠=︒， ∴30BAC ∠=︒， ∴60BOC ∠=︒， ∵OB OC =，∴BOC ∆是等边三角形， ∴2OA OB OC BC ====， 作AD BC ⊥， ∵AB AC =， ∴BD CD =， ∴AD 经过圆心O ， ∴33OD == ∴23AD =+ ∴1232ABC S BC AD ∆=⋅=+132BOC S BC OD ∆=⋅= ∴ABC BOC BOC S S S S ∆∆=+-阴影扇形2602223323603π⨯=++=+π，故选：A ．6．如图，ABC △内接于圆O ，65B ∠=︒，70C ∠=︒，若22BC =，则弧BC 的长为（ ）A ．πB ．2πC ．2πD ．22π【答案】A 【解析】 连接OB ，OC ．∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°， ∴∠BOC=90°， ∵BC=22， ∴OB=OC=2， ∴BC 的长为902180π⨯⨯=π，故选A ．7．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．23π B ．233π-C ．11312π-D ．23π﹣1 【答案】B【解析】连接OB 、OB ′，过点A 作AN ⊥BO 于点N ， 菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1， ∴∠AOC ＝60°，∠COA ′＝30°， ∴AN ＝12， ∴NO ＝2131-=2（）， ∴BO ＝3 ， ∴S △CBO ＝S △C ′B ′O ＝12 ×12AO •2CO •sin60°＝3， S 扇形OCA ′＝30=36012ππ， S 扇形OBB ′＝9033=3604⨯ππ； ∴阴影部分的面积＝3323-2=-4123⨯⨯ππ（）π． 故选：B ．8．如图，将O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3，则AB 的长为（ ）A ．12π B ．πC ．2πD ．3π【答案】C【解析】根据题意作OC AB ⊥,垂足为CO 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为332OC ∴=,30OAB ︒∠= ∴圆心角120AOB ︒∠= ∴AB =120232360ππ⨯⨯= 故选C.9．如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A 的最短路程是( )A ．8B ．102C ．152D ．202【答案】D 【解析】圆锥的底面周长=2π×5=10π， 设侧面展开图的圆心角的度数为n ． ∴n 2010180ππ⋅=， 解得n=90，圆锥的侧面展开图，如图所示：222020+2 故选D ．10．如图，在正方形铁皮中剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少，用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径记为r ，扇形的半径记为R ，则r 与R 之间的数量关系为( )A ．2R r ＝B ．R r ＝C ．3R r ＝D ．4R r ＝【答案】D【解析】因为拼成一个圆锥，所以底面圆的周长等于扇形的弧长，即902R 180r ππ=⋅， 整理得4R r ＝. 故选D .11．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ︒︒∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）A ．2B 3C ．32D 2【答案】D【解析】∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠ABD ＝45°，BD 2， ∵∠ABC ＝105°， ∴∠CBD ＝60°， 而CB ＝CD ，∴△CBD 为等边三角形， ∴BC ＝BD 2，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ， 212 故选D ．12．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 相切于点A ，C ，则劣弧AC 的长度为（ ）A ．25π B ．23π C ．34πD ．45π 【答案】D【解析】连接OA 、OC ，如图． ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠E ＝∠D ＝(52)1805︒-⨯＝108°．∵AE 、CD 与⊙O 相切， ∴∠OAE ＝∠OCD ＝90°，∴∠AOC ＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°， ∴劣弧AC 的长为144141805ππ⨯=．故选：D ．13．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，扇形CBD 的圆心角为60°，点E 为CD 上一动点，P 为AE 的中点，当点E 从点C 运动至点D ，则点P 的运动路径长是 ( )A ．2πB ．6π C ．πD ．32【答案】A【解析】如图，取AB的中点Q，连结PQ，连结EB.∵P为AE的中点，Q为AB的中点，∴PQ为△AEB的中位线，∴PQ∥EB，且PQ=12EB=12BC=32.∴点P在以Q为圆心，32为半径的圆上运动.当点E从点C运动至点D时，点P所转动的角度为60°，∴点P的运动路径长是36021802ππ⋅=.故选：A.14．如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（）A．36π-B．36π-C．38π-D．33π-【答案】B【解析】解：如图，连接OD．由题意：OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠AOD＝60°，∵∠ADC＝∠AOB＝120°，∴∠ADO+∠ADC＝180°，∴O，D，C共线，∴图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB＝12×1×3﹣2601360π＝3-6π，故选：B．15．如图，AB是半圆O的直径，且AB=12，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是（）A．4πB．5πC．6πD．8π【答案】C【解析】过点O作0D⊥BC于点D,交弧BC于点E,连接OC则点E是弧BEC的中点,由折叠的性质可得点O为弧BOC的中点,∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中,OD=DE=12R=3,OB=R=6∴∠OBD=30°∴∠AOC=60°∴S月影=S扇形AOC=2606=6 360⨯ππ故选:C16．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．33πC．23πD．2π【答案】A【解析】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴AB=OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC∥AB，∴S△AOB=S△ABC，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB= 60366360ππ⋅⨯=故选：A．二、填空题17．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________．【答案】8π．【解析】由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；故答案为：8π．18．若扇形的面积为，它所对的圆心角为，则这个扇形的半径为________．【答案】4【解析】∵，∴，∴.故答案为：419．如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心，以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是_____．【答案】13π4-6【解析】由图可得，图中阴影部分的面积是：2290π390π213π323603604⨯⨯⨯⨯+-⨯=-6，故答案为：13π4-6．20．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝9，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高的OC的长度是_____．【答案】62【解析】解：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得12092180rππ=，解得r＝3．所以OC＝22229362CA OA-=-=．答：此圆锥高的OC的长度为62．故答案为62．三、解答题21．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),点B(0,1)，直线EF与x轴垂直，A为垂足。