十年真题-三角函数-全国高考理科数学
高考10年真题汇总(三角函数)
十九 函数高考试题选编一、选择、填空题：1、（94年上海）设I 是全集，集合P 、Q 满足Q P ⊂，则下面的结论中错误的是（ ） A 、Q Q P = B 、I Q P = C 、∅=Q P D 、P Q P =2、（97年全国理）如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+，那么（ ）A 、)4()1()2(f f f <<B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f <<D 、)1()2()4(f f f <<3、（91年上海）设函数)(x f y =的图象关于直线x=1对称，若当1≥x 时，12+=x y ，则当x<1时，y=。
4、（91年三南）设21)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n （n 是自然数），那么)(x f 的值域中共有 个整数。
5、（96年全国文理）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f =。
6、（97年全国文）设函数)(x f y =定义在R 上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）A 、直线y=0对称B 、直线x=0对称C 、直线y=1对称D 、直线x=1对称7、已知f(x)=lg(x 2-2ax+1+a)在区间]1,(-∞上递增，则a 范围是。
8、（90年上海）已知d x <<1，令2)(log x a d =，2log x b d =，)(log log x c d d =，则（ ）A 、a<b<cB 、a<c<bC 、c<b<aD 、c<a<b9、（98年全国理）向高为H 的水瓶内注水注满为止，如果注水量V 与水澡h 的函数关系如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）10、（98年上海）函数)1,0()(≠>=a a a x f x在[1，2]中的最大值比最小值大2a，则a 的值为。
高考数学10年真题解析— 三角函数图象与性质
三角函数图象与性质年份题号考点考查内容2011课标理11三角函数性质三角函数的周期性、奇偶性、单调性课标文11三角函数性质三角公式、诱导公式、三角函数的性质及分析处理问题能力．2012课标理9三角函数性质三角函数的单调性课标文9三角函数性质三角函数的对称轴等性质2013卷2文16三角函数图像变换三角函数图像平移变换2014卷1文7三角函数图像本三角函数的周期性．2015卷1理8文8三角函数图像已知三角函数图像求解析式及三角函数的单调性．2016卷3理14三角函数图像变换两角和与差的三角公式及图像平移变换．卷1文6三角函数图像变换三角函数周期、三角函数的平移变换．卷2文3三角函数图像已知三角函数图像求解析式卷3文14三角函数图像辅助角公式及三角函数平移变换．2017卷1理9三角函数图像变换诱导公式、三角函数图像变换，化归与转化思想卷3理6三角函数性质三角函数周期、对称性、零点与单调性．卷2文3三角函数性质三角函数周期性2018卷2理10三角函数性质辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．卷3理15三角函数性质三角函数的零点、转化与化归思想与运算求解能力卷2文10三角函数性质辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．卷3文6同角三角函数基本关系三角函数性质同角三角函数基本关系与三角函数的周期，运算求解能力与化归与转化思想．2019卷2理9三角函数性质含绝对值的三角函数的周期性与单调性，转化与化归思想．卷3理12三角函数性质含绝对值的三角函数的周期性、单调性、极值与零点，转化与化归思想．卷1文15三角函数性质诱导公式、三角函数的最值，转化与化归思想．卷2文8三角函数性质三角函数的极值、周期等性质．2020卷1理7三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性文7三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性卷3理16三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性文12三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性考点39三角函数性质1．(2020全国Ⅲ文12理16)已知函数()1sin sin f x x x=+，则()A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；()()()1sin 0,,sin sin x x k k f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-Z Q Q ，()f x ∴关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选D ．2．(2019•新课标Ⅱ，理9)下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π单调递增的是()A ．()|cos 2|f x x =B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =【答案】A【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项；()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项；()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ．故选A ．3．(2019•新课标Ⅲ，理12)设函数()sin(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，25ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+< ，∴1229510ω<，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<，故③正确，故选D ．4．(2019•新课标Ⅱ，文8)若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω=)A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A 【解析】14x π= ，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，322()44T ππππω∴=-==，2ω∴=，故选A ．5．(2018•新课标Ⅱ，理10)若()cos sin f x x x =-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是()A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】A【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π=-=--=--，由ππk 22+-≤πππk x 224+≤-，k Z ∈，得ππππk x k 24324+≤≤+-，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[a -，]a 是减函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-434ππa a ，∴4π≤a ，则a 的最大值是4π，故选A ．6．(2018•新课标Ⅱ，文10)若()cos sin f x x x =-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是()A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】C【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π=-=--=--，由22422πππππ+≤-≤+-k x k ，k Z ∈，得43224ππππ+≤≤+-k x k ，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[0，]a 是减函数，得43π≤a ，则a 的最大值是34π，故选C ．7．(2018•新课标Ⅲ，文6)函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为()A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x x tan x x x ===++的最小正周期为22ππ=，故选C ．8．(2017新课标卷3，理6)设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是()A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D ．9．(2017新课标卷2，文3)函数()f x =πs i n （2x +）3的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】由题意22T ππ==，故选C ．10．(2014新课标I ，文7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ，④42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③【答案】C【解析】∵|2|cos x y ==cos 2x ，∴T =22π=π；由|cos |x y =图像知其周期为π，由周期公式知，62cos(π+=x y 为π，)42tan(π-=x y 为2π，故选C ．11．(2012全国新课标，理9)已知ω＞0，函数()f x =sin()4x πω+在(2π，π)单调递减，则ω的取值范围是()A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0，2]【答案】A【解析】∵ω＞0，x ∈(2π，π)，∴4x πω+∈(24ωππ+，4πωπ+)，∵()f x =sin()4x πω+在(2π，π)单调递减，∴(24ωππ+，4πωπ+)⊂(2π，32π)，∴2π≤24ωππ+且4πωπ+≤32π，解得12≤ω≤54，故选A ．12．(2012全国新课标，文9)已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=()(A)π4(B)π3(C)π2(D)3π4【答案】A【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈)，∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈)，∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A ．13．(2011全国课标，理11)设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++(ω＞0，||ϕ＜2π)的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x (A)在(0，2π)单调递减(B)在(4π，34π)单调递减(C)在(0，2π)单调递增(D)在(4π，34π)单调递增【答案】A【解析】∵()f x +4x πωϕ+，由题意知2πω=π且+4πϕ=2k ππ+，解得ω=2，ϕ=4k ππ+，又∵||ϕ＜2π，∴ϕ=4π，∴()f x +)2x π2x ，当x ∈(0，2π)时，2x ∈(0，π)，故()f x 在(0，2π)单调递减，故选A ．14．设函数()f x =sin(2cos(244x x ππ+++，则y =()f x (A)在(0，2π)单调递增，其图像关于直线x =4π对称(B)在(0，2π)单调递增，其图像关于直线x =2π对称(C)在(0，2π)单调递减，其图像关于直线x =4π对称(D)在(0，2π)单调递减，其图像关于直线x =2π对称【答案】D【解析】()f x =sin(2cos(2)44x x ππ+++2x π+2x ，∵2u x =在(0，2π)上是增函数，值域为(0,)π，y u =在(0,)π是减函数，∴()f x 在(0，2π)是减函数，又∵(4f π)4π⨯=0，不是最值，()2f π2π⨯）=是最小值，∴()f x 图像关于直线x =2π对称，故选D ．15．(2017天津)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T，所以3T π=或T π=，又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ；由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+，即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ．16．(2015四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(22y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x=+【答案】A【解析】由cos(2sin 22y x x π=+=-，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ．17．(2015安徽)已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+(Α，ω，ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A ．()()()220f f f <-<B ．()()()022f f f <<-C ．()()()202f f f -<<D ．()()()202f f f <<-【答案】A【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=，∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<，∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<，故选A ．18．(2011山东)若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23B ．32C ．2D ．3【答案】B【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=．19．(2011安徽)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且(()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为当x R ∈时，()|(|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(26f x x π=-，由5222262k x k πππππ-+-+≤≤(k Z ∈)，得263k x k ππππ++≤≤(k Z ∈)，故选C ．20．(2019•新课标Ⅰ，文15)函数3()sin(23cos 2f x x x π=+-的最小值为．【答案】4-【解析】3()sin(23cos 2f x x x π=+- 2cos 23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11≤≤-t ，2()231f t t t =--+ 的开口向上，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-．21．(2018•新课标Ⅲ，理15)函数()cos(36f x x π=+在[0，]π的零点个数为．【答案】3【解析】()cos(3)06f x x π=+= ，362x k πππ∴+=+，k Z ∈，193x k ππ∴=+，k Z ∈，当0k =时，9x π=，当1k =时，49x π=，当2k =时，79x π=，当3k =时，109x π=，[0x ∈ ，]π，9x π∴=，或49x π=，或79x π=，故零点的个数为3．22．(2018北京)设函数π()cos(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．【答案】23【解析】由于对任意的实数都有π()(4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故(14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )，又0ω>，∴min 23ω=．23．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．【答案】π6-【解析】由函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<，则232ππϕ+=，6πϕ=-．24．(2011安徽)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π=②7()10f π＜()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号)．【答案】①③【解析】()sin 2cos 2)f x a x b x x ϕ=+=+(其中tan baϕ=)，因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111(012126f πππ=⨯+=，所以①正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故②错；③明显正确；④错误：由函数())6f x x π=+和()6f x x π=+的图象(图略)可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．25．(2017浙江)已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．(Ⅰ)求2(3f π的值；(Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】(Ⅰ)由2sin32π=，21cos 32π=-，2()3f π223131(()2222=---⨯-得2()23f π=．(Ⅱ)由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(26f x x x x π=-=-+所以()f x 的最小正周期是π由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+++≤≤，k ∈Z 解得263k x k ππππ++≤≤，k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k ∈Z )．26．(2013北京)已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+(1)求()f x 的最小正周期及最大值；(2)若(,)2παπ∈，且2()2f α=，求α的值．【解析】：(1)21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x=+2sin(424x π=+所以，最小正周期242T ππ==当4242x k πππ+=+(k Z ∈)，即216k x ππ=+(k Z ∈)时，max 2()2f x =．(2)因为22()sin(4242f παα=+=，所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<，所以5442ππα+=，即916πα=．27．(2012广东)已知函数()2cos()6f x x πω=+，(其中0ω>，x R ∈)的最小正周期为10π．(1)求ω的值；(2)设,[0,2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．【解析】(1)21105T ππωω==⇔=．(2)56334(5)cos(sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==．4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-．28．(2018上海)设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若(14f π=+，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ，化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(22cos (11444πππ=⨯+=+=+f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=f x 222cos 1+=x x ，222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(26π+=x ，即2sin(2)62π+=-x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Zk k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ，即0=k 或1；0'=k 或1，对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．考点40三角函数图像1．(2020全国Ⅰ文理7)设函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫⎪⎝⎭在[],-ππ的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为()A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【思路导引】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解．【解析】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点，∴4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=，∴函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===，故选C ．2．(2020浙江4)函数cos sin y x x x =+在区间[],-ππ的图像大致为()A ．B ．C ．D．【答案】A【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．【解析】()()()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=--+-=-+=-，[],x ππ∈-，∴函数是奇函数，故排除C ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +>，∴排除B ，故选A ．3．(2020山东10)右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()=x ωϕ+()A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(2)6x +D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【思路导引】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A ，当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选BC ．4．(2016全国新课标卷2，文3)函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则(A)2sin(2)6y x π=-(B)2sin(2)3y x π=-(C)2sin(+)6y x π=(D)2sin(+)3y x π=【答案】A5．(2015新课标Ⅰ，理8)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为()(A)(kπ−14，kπ+34，)，k ∈ (B)(2kπ−14，2kπ+34)，k ∈ (C)(k −14，k +34)，k ∈(D)(2k −14，2k +34)，k ∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为(124k -，324k +)，k Z ∈，故选D ．6．(2011辽宁)已知函数)(x f =A tan(ωx +ϕ)(2||,0πϕω<>)，y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf A ．3B 3C ．33D ．23-【答案】B【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8π，所以30tan(2)8A πϕ=⨯+，即34k πϕπ+=()k Z ∈，所以3()4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ<，所以4πϕ=，又图象过定点(0,1)，所以1A =．综上可知()tan(2)4f x x π=+，故有(tan(2)tan242443f ππππ=⨯+==7．(2014江苏)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是．【答案】6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．8．(2011江苏)函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f =．【答案】62【解析】由图可知：A =，741234T πππ=-=，所以T π=，22T πω==，又函数图象经过点(,0)3π，所以23πϕπ⨯+=，则3πϕ=，故())3f x x π=+，所以6(0)32f π==．9．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1)若6πϕ=，点P 的坐标为(0，332)，则ω=；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为．【答案】(1)3；(2)4π【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为(0，332)时33cos ,362πωω=∴=；10．(2016江苏省)定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．11．(2012湖南)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(,x R ∈0ω>，0)2πϕ<<的部分图像如图所示．(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)求函数()(()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．【解析】(Ⅰ)由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==．因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即．又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ．又点0,1（）在函数图像上，所以sin1,26A A π==，故函数()f x 的解析式为()2sin(26f x x π=+(Ⅱ)()2sin[2()2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(23x x π=-+132sin 22(sin 2cos 2)22x x x =-+sin 232x x =-2sin(23x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦考点41三角函数图像变换1．(2020天津8)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin(3y x π=+的图象，故③正确．故选B ．2．(2017课标卷1，理9)已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是()A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理，πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ，注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．3．(2016•新课标Ⅰ，文6)将函数2sin(26y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A ．2sin(2)4y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+C ．2sin(2)4y x π=-D ．2sin(23y x π=-【答案】D【解析】函数2sin(26y x π=+的周期为22T ππ==，由题意即为函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移4π个单位，可得图象对应的函数为2sin[2()]46y x ππ=-+，即有2sin(2)3y x π=-，故选D ．4．(2016北京)将函数sin(23y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．32t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(23y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin 62π=，又1(,42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ．5．(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭，则3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．2【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=．将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =．若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2sin 2442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即2A =，所以()2sin 2f x x =，3322sin 22sin 228842f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】B【解析】sin 4(12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位，故选B ．7．(2014浙江)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2y x =的图像A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移4π个单位【答案】A 【解析】因为sin 3cos32)2)412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数2y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到24y x π=-的图象，故选A ．8．(2013福建)将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π【答案】B【解析】把23,0(P 代入22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，故选B 9．(2012安徽)要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【答案】C【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2(cos(21)2y x x =+=+，故选C ．10．(2012浙江)把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．11．(2012天津)将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是A ．13B ．1C ．53D ．2【答案】D 【解析】函数向右平移4π得到函数4sin(4(sin 4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．12．(2020江苏10)将函数3sin(24y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是．【答案】524x π=-【解析】∵()3sin(24f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(263412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，∴平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-．13．(2016新课标卷3，理14)函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】因为sin 2sin(3y x x x π=+=+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[(]33x π2π+-，所以函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到．14．(2016全国新课标卷3，文14)函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3π【解析】因为sin 2sin()3y x x x π=-=-，所以函数sin y x x =-的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到．15．(2013新课标Ⅱ，文16)函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右单位后，与函数的图象重合，则ϕ=_________．【解析】因为cos(2)y x ϕ=+=cos(2)x ϕ--=16．(2014重庆)将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______．【答案】22【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin(26f x x π=+的图象，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf 1sin()sin 26642πππ⨯+==．。
十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形
11．D【解析】由θ
∈
π 4
，π 2
可得
2θ
∈[π 2
,π ] ， cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 ， 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ，答案应选 D．
2
4
另解：由θ
∈
π 4
＝ 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ，选 C．
25
10
6．C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α 与 cosα 同号，
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ，选 C．
sin α
7．B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈
π 5
,
(ω
+ 2)π 10
，
若
f
(x)
在
0,
π 10
单调递增，
则
(ω
+
2)π
<
π
，即 ω
<
3
12
，因为
ω
<
29
，故③正确．
10 2
5
10
故选 D．
3.解析 因为 f ( x) 是奇函数，所以ϕ = 0 ， f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。
专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象， 若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-， 则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--， 当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=， 故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】 因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++， 将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像， 所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称， 所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+， 因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈， 又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=， 所以3()sin(9)4f x x π=+， 故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈， 由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错． 故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =， 即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =， 又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去， 又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =， 由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=． 故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___． 【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+， 所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠． 因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+， 化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =， 因为sin 0B ≠， 所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角， 即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】 （Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题05 三角函数(含解析)
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题05 三角函数1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0,π2,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( ) A.15 B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cos 2α.∵α∈（0,π2）,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又sin 2α+cos 2α=1, ∴5sin 2α=1,即sin 2α=15. ∵sin α>0,∴sin α=√55. 故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x 1=π4,x 2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( ) A.2 B.32C.1D.12【答案】A【解析】由题意,得f(x)=sin ωx 的周期T=2πω=23π4−π4=π,解得ω=2,故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为,由图知y=|cos 2x|的周期为π2,且在区间（π4,π2）内单调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间（π4,π2）内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin |x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g（π4）=√2,则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2 【答案】C【解析】已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π,∴2πω=2π,∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2,得Asin π4=√2,∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B.(方法二)观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时,阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP=∠AOP=π-β,面积S 的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sin β=4β+4sin β,故选B.6.(2019·全国3·理T 12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0,π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125,2910) 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+π5<6π, 解得125≤ω<2910,故④正确.画出f(x)的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2, ∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上,则由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P 在CD ⏜上,则tan α>sin α,排除B;若P 在GH⏜上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B【解析】因为cos 2α=2cos 2α-1=23,所以cos 2α=56,sin 2α=16.所以tan 2α=15,tan α=±√55. 由于a,b 的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=√55, 由三角函数定义得a=√55,b=2√55,故|a-b|=√55. 9.(2018·全国3·T4)若sin α=13,则cos 2α=( ) A.89B.79C.-79D.-89【答案】B【解析】cos 2α=1-2sin 2α=1-2×(13)2=79. 10.(2018·全国3·文T6)函数f(x)=tanx1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C.π D.2π【答案】C【解析】f(x)=tanx1+tan 2x =sinx cosx1+sin 2x cos 2x=sinxcosxcos 2x+sin 2x =12sin 2x,∴f(x)的最小正周期是π.故选C.11.(2018·全国1·文T8)已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B【解析】因为f(x)=2cos 2x-(1-cos 2x)+2=3cos 2x+1=3×1+cos2x 2+1=32cos 2x+52,所以函数f(x)的最小正周期为2π2=π,当cos 2x=1时,f(x)max =4.12.(2018·天津·理T 6)将函数y=sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间[3π4,5π4]上单调递增B.在区间[3π4,π]上单调递减 C.在区间[5π4,3π2]上单调递增D.在区间[3π2,2π]上单调递减 【答案】A【解析】函数y=sin (2x +π5)y=sin [2(x -π10)+π5]=sin 2x.当-π2+2k π≤2x≤π2+2k π,k ∈Z,即-π4+k π≤x≤π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递增. 当π2+2k π≤2x≤3π2+2k π,k ∈Z,即π4+k π≤x≤3π4+k π,k ∈Z 时,y=sin 2x 单调递减, 结合选项,可知y=sin 2x 在[3π4,5π4]上单调递增.故选A. 13.(2018·全国2·理T 10)若f(x)=cos x-sin x 在[-a,a]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D .π【答案】A【解析】f(x)=cos x-sin x=-√2sin x ·√22-cos x ·√22=-√2sin x-π4,当x ∈[-π4,34π],即x-π4∈[-π2,π2]时,y=sin x-π4单调递增,y=-√2sin x-π4单调递减.∵函数f(x)在[-a,a]是减函数,∴[-a,a]⊆[-π4,34π],∴0<a≤π4,∴a 的最大值为π4.14.(2017·全国3·文T4)已知sin α-cos α=43,则sin 2α=( ) A.-79B.-29C.29D.79【答案】A【解析】∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=169,∴sin 2α=-79. 15.(2017·山东·文T4)已知cos x=34,则cos 2x=( ) A.-14 B.14C.-18D.18【答案】D【解析】cos 2x=2cos2x-1=2×(34)2-1=18.16.(2017·全国3·理T6)设函数f(x)=cos (x +π3),则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称 C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在(π2,π)单调递减 【答案】D【解析】由f (x )=cos (x +π3)的【解析】式知-2π是它的一个周期,故A 中结论正确;将x=8π3代入f (x )=cos (x +π3),得f (8π3)=-1,故y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称,故B 中结论正确;f (x+π)=cos (x +4π3),当x=π6时,f (x+π)=cos (π6+4π3)=0,故C 中结论正确;当x ∈(π2,π)时,x+π3∈(5π6,4π3),显然f (x )先单调递减再单调递增,故D 中结论错误. 17.(2017·全国2·文T3)函数f(x)=sin (2x +π3)的最小正周期为( ) A.4π B.2π C .πD.π2【答案】C【解析】T=2π2=π,故选C .18.(2017·天津·T7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( ) A .ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24 D .ω=13,φ=7π24 【答案】A 【解析】∵f （5π8）=2,f （11π8）=0,且f (x )的最小正周期大于2π,∴f (x )的最小正周期为4（11π8−5π8）=3π. ∴ω=2π3π=23,∴f (x )=2sin （23x+φ）. ∴2sin （23×5π8+φ）=2,∴φ=2k π+π12,k ∈Z . 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=π12.19.(2017·山东·文T7)函数y=√3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C .π D.2π【答案】C【解析】因为y=√3sin 2x+cos 2x=2(√32sin2x +12cos2x)=2sin (2x +π6),所以其最小正周期T=2π2=π. 20.(2017·全国1·理T 9)已知曲线C 1:y=cos x,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 【答案】D【解析】曲线C 1的方程可化为y=cos x=sin (x +π2),把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得曲线y=sin (2x +π2)=sin 2(x +π4),为得到曲线C 2:y=sin 2(x +π3),需再把得到的曲线向左平移π12个单位长度.21.(2017·全国3·文T 6)函数f(x)=15sin (x +π3)+cos (x -π6)的最大值为( ) A.65 B.1C.35D.15【答案】A【解析】因为cos (x -π6)=cos [π2-(x +π3)]=sin (x +π3),所以f (x )=15sin (x +π3)+sin (x +π3)=65sin (x +π3),故函数f (x )的最大值为65.故选A .22.(2016·全国2·理T9)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( ) A.725B.15C.-15D.-725【答案】D【解析】cos [2(π4-α)]=2cos 2(π4-α)-1=2×(35)2-1=-725,且cos [2(π4-α)]=cos (π2-2α)=sin 2α,故选D .23.(2016·全国3·理T5)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825C.1D.1625【答案】A 【解析】由tan α=34,得cos2α+2sin 2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=42516=6425.故选A .24.(2016·全国3·文T6)若tan θ=-13,则cos 2θ=( ) A.-45B.-15C.15D.45【答案】D【解析】cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=1-(-13)21+(-13)2=45.故选D .25.(2016·全国1·理T12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f (x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【答案】B【解析】由题意知π4--π4=T4+kT2,k ∈Z,即π2=2k+14T=2k+14·2πω,k ∈Z,又ω>0,所以ω=2k+1,k ∈Z .又因为f (x )在(π18,5π36)单调, 所以5π36−π18≤T2,T ≥π6,即2πω≥π6,ω≤12.因为ω>0,所以0<ω≤12.若ω=11,又|φ|≤π2,则φ=-π4,此时f (x )=sin 11x-π4,f (x )在π18,3π44单调递增,在3π44,5π36单调递减,不满足条件;若ω=9,又|φ|≤π2,则φ=π4,此时f (x )=sin 9x+π4,满足f (x )在π18,5π36单调的条件,由此得ω的最大值为9.26.(2016·山东·理T7)函数f(x)=(√3sin x+cos x)(√3cos x-sin x)的最小正周期是( ) A.π2 B .πC.3π2D.2π【答案】B【解析】f (x )=2sin (x +π6)×2cos (x +π6)=2sin (2x +π3),故最小正周期T=2π2=π,应选B .27.(2016·浙江·理T5)设函数f(x)=sin 2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( ) A.与b 有关,且与c 有关 B.与b 有关,但与c 无关 C.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关 【答案】B【解析】f (x )=sin 2x+b sin x+c=1-cos2x2+b sin x+c =-12cos 2x+b sin x+12+c.当b=0时,f (x )=-12cos 2x+12+c ,周期T=π; 当b ≠0时,f (x )=-12cos 2x+b sin x+12+c ,∵y=-12cos 2x 的周期为π,y=b sin x 的周期为2π, ∴f (x )的周期T=2π.∴f (x )的最小正周期与b 有关,但与c 无关.故选B .28.(2016·全国2·文T3)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( ) A.y=2sin (2x -π6) B.y=2sin (2x -π3)C.y=2sin (x +π6)D.y=2sin (x +π3)【答案】A【解析】由题图知,A=2,周期T=2[π3-(-π6)]=π, 所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ). 因为函数图象过点(π3,2), 所以2=2sin (2×π3+φ).所以2π3+φ=2k π+π2(k ∈Z).令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin (2x -π6),故选A .29.(2016·全国2·理T 7)若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A.x=kπ2−π6(k ∈Z) B.x=kπ2+π6(k ∈Z) C.x=kπ2−π12(k ∈Z) D.x=kπ2+π12(k ∈Z)【答案】B【解析】由题意可知,将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度得函数y=2sin [2(x +π12)]=2sin (2x +π6)的图象,令2x+π6=π2+k π(k ∈Z),得x=kπ2+π6(k ∈Z).故选B .30.(2016·全国1·文T 6)将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4) B .y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4) D.y=2sin (2x -π3) 【答案】D【解析】由已知周期T=π,右移14T=π4后得y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3)的图象,故选D .31.(2016·四川·理T 3)为了得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需把函数y=sin 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度 【答案】D【解析】y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)].32.(2016·北京·理T 7)将函数y=sin (2x -π3)图象上的点P (π4,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x 的图象上,则( ) A.t=12,s 的最小值为π6B.t=√32,s 的最小值为π6C.t=12,s 的最小值为π3 D.t=√32,s 的最小值为π3【答案】A【解析】设P'(x ,y ).由题意得t=sin (2×π4-π3)=12,且P'的纵坐标与P 的纵坐标相同,即y=12.又P'在函数y=sin 2x 的图象上,则sin 2x=12,故点P'的横坐标x=π12+k π(k ∈Z)或5π12+k π(k ∈Z),结合题意可得s 的最小值为π4−π12=π6.33.(2016·全国2·文T 11)函数f(x)=cos 2x+6cos (π2-x)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B【解析】因为f (x )=1-2sin 2x+6sin x=-2sin x-322+112,而sin x ∈[-1,1],所以当sin x=1时,f (x )取最大值5,故选B .34.(2015·福建·文T6)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125B.-125C.512 D.-512【答案】D【解析】∵sin α=-513,且α为第四象限角,∴cos α=√1-sin 2α=1213.∴tan α=sinαcosα=-512.35.(2015·全国1·理T 2,)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32 B.√32C.-12D.12【答案】D【解析】sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(10°+20°)=sin 30°=12.36.(2015·重庆·理T9)若tan α=2tan π5,则cos (α-3π10)sin (α-π5)=( )A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】因为tan α=2tan π5,所以cos (α-3π10)sin (α-π5)=sin (α-3π10+π2)sin (α-π5)=sin (α+π5)sin (α-π5)=sinαcos π5+cosαsin π5sinαcos π5-cosαsin π5=tanα+tan π5tanα-tan π5=3tan π5tan π5=3.37.(2015·重庆·文T6)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A.17 B.16C.57D.56【答案】A【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tan (α+β)tanα=12-131+12×13=17.38.(2015·安徽·理T10)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( ) A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2) C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2) 【答案】A【解析】将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间内.∵f (x )的最小正周期为π,∴f (-2)=f (π-2).又当x=2π3时,f (x )取得最小值, 故当x=π6时,f (x )取得最大值,π6,2π3是函数f (x )的一个递减区间.又∵π6<π-2<2<2π3,∴f (π-2)>f (2),即f (-2)>f (2).再比较0,π-2与对称轴x=π6距离的大小.∵π-2-π6-0-π6=5π6-2-π6=2π3-2>0, ∴f (0)>f (π-2),即f (0)>f (-2),综上,f (0)>f (-2)>f (2).故选A .39.(2015·全国1·T8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( ) A.(kπ-14,kπ+34),k ∈ZB.(2kπ-14,2kπ+34),k ∈Z C.(k -14,k +34),k ∈ZD.(2k -14,2k +34),k ∈Z 【答案】D【解析】不妨设ω>0,由函数图象可知,其周期为T=2×(54-14)=2,所以2πω=2,解得ω=π.所以f (x )=cos(πx+φ).由图象可知,当x=12(14+54)=34时,f (x )取得最小值,即f (34)=cos (3π4+φ)=-1, 解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z),解得φ=2k π+π4(k ∈Z). 令k=0,得φ=π4,所以f (x )=cos (πx +π4). 令2k π≤πx+π4≤2k π+π(k ∈Z), 解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z).所以函数f (x )=cos (πx +π4)的单调递减区间为[2k -14,2k +34](k ∈Z).结合选项知选D .40.(2015·陕西·理T 3文T 14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin (π6x +φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10 【答案】C【解析】因为sin (π6x +φ)∈[-1,1],所以函数y=3sin (π6x +φ)+k 的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知k-3=2,解得k=5. 所以y 的最大值为k+3=5+3=8.故选C .41.(2015·山东·理T 3文T 4)要得到函数y=sin (4x -π3)的图象,只需将函数y=sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位 D.向右平移π3个单位【答案】B【解析】∵y=sin (4x -π3)=sin [4(x -π12)],∴只需将函数y=sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可.42.(2014·全国1·T 文2)若tan α>0,则( ) A.sin α>0 B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0【答案】C【解析】由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C . 43.(2014·大纲全国·文T2)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45【答案】D【解析】设角α的终边上点(-4,3)到原点O 的距离为r ,r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cos α=x r =-45,故选D .44.(2014·全国1·理T8)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2 D.2α+β=π2【答案】C 【解析】由已知,得sinαcosα=1+sinβcosβ, ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β. ∴sin αcos β-cos αsin β=cos α. ∴sin(α-β)=cos α, ∴sin(α-β)=sin (π2-α). ∵α∈(0,π2),β∈(0,π2), ∴-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,∴α-β=π2-α,∴2α-β=π2.故选C .45.(2014·大纲全国·理T3)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 【答案】C【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=sin35°cos35°, ∴sin35°cos35°>sin 35°>sin 33°.∴c>b>a.故选C .46.(2014·全国1·文T7)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos (2x +π6),④y=tan (2x -π4)中,最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③【答案】A【解析】由于y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为2π2=π;由函数y=|cos x|的图象易知其周期为π;函数y=cos (2x +π6)的周期为2π2=π;函数y=tan （2x-π4）的周期为π2,故最小正周期为π的函数是①②③,故选A.47.(2014·全国1·理T 6)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )【答案】C【解析】由题意知|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=12|sin 2x|,由此可知C 项中图符合.故选C .48.(2014·浙江·理T 4)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数y=√2cos 3x 的图象 ( ) A.向右平移π4个单位 B.向左平移π4个单位 C.向右平移π12个单位 D.向左平移π12个单位【答案】C【解析】y=sin 3x+cos 3x=√2cos (3x -π4)=√2cos [3(x -π12)],因此需将函数y=√2cos 3x 的图象向右平移π12个单位.故选C .49.(2013·浙江·理T6)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( ) A.43B.34C.-34 D.-43【答案】C【解析】由sin α+2cos α=√102,得sin α=√102-2cos α. ① 把①式代入sin 2α+cos 2α=1中可解出cos α=√1010或cos α=3√1010, 当cos α=√1010时,sin α=3√1010; 当cos α=3√1010时,sin α=-√1010. ∴tan α=3或tan α=-13,∴tan 2α=-34.50.(2013·大纲全国·文T2)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213B.-513C.513D.1213【答案】A 【解析】∵α是第二象限角,∴cos α=-√1-sin 2α=-√1-(513)2=-1213.故选A . 51.(2013·广东·文T4)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15C.15 D.25【答案】C【解析】∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α=15,∴cos α=15.52.(2013·全国2·文T6)已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)=( )A.16 B.13C.12D.23【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.53.(2012·全国·理T9)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)单调递减,则ω的取值范围是()A.[12,54] B.[12,34] C.(0,12] D.(0,2]【答案】A【解析】结合y=si n ωx的图象可知y=sin ωx在[π2ω,3π2ω]单调递减,而y=sin（ωx+π4）=sin[ω（x+π4ω）],可知y=sin ωx的图象向左平移π4ω个单位之后可得y=sin(ωx+π4)的图象,故y=sin(ωx+π4)在[π4ω,5π4ω]单调递减,故应有[π2,π]⊆[π4ω,5π4ω],解得12≤ω≤54.54.(2012·全国·文T9)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()A.π4B.π3C.π2D.3π4【答案】A【解析】由题意可知函数f(x)的周期T=2×(5π4-π4)=2π,故ω=1,∴f(x)=sin(x+φ).令x+φ=kπ+π2,将x=π4代入可得φ=kπ+π4,∵0<φ<π,∴φ=π4.55.(2011·全国·理T5文T7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45【答案】B【解析】由三角函数的定义知tan θ=2,且θ为第一或第三象限角,故由“1”的代换得cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos 2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-221+22=-35.56.(2011·全国·理T11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在(0,π2)单调递减B.f(x)在(π4,3π4)单调递减C.f(x)在(0,π2)单调递增D.f(x)在(π4,3π4)单调递增【答案】A【解析】∵f (x )=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin ωx+φ+π4,又∵f (x )的最小正周期为π,∴2πω=π,即ω=2.又f (-x )=f (x ),故f (x )是偶函数,即φ+π4=π2+k π(k ∈Z),φ=k π+π4(k ∈Z).因|φ|<π2,取k=0,则φ=π4,从而f (x )=√2cos 2x ,且在(0,π2)上单调递减,故选A .57.(2011·全国·文T11)设函数f(x)=sin (2x +π4)+cos (2x +π4),则( ) A.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在(0,π2)单调递增,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在(0,π2)单调递减,其图象关于直线x=π2对称 【答案】D【解析】∵f (x )=sin (2x +π4)+cos (2x +π4)=√2sin (2x +π4+π4)=√2cos 2x ,∴f (x )在(0,π2)内单调递减,且图象关于直线x=π2对称.故选D . 58.(2010·全国·理T9)若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tan α21-tanα2=( )A.-12B.12C.2D.-2【答案】A【解析】∵cos α=-45,α为第三象限角,∴sin α=-35.1+tan α21-tan α2=1+sin α2cos α21-sin α2cos α2=cos α2+sin α2cos α2-sin α2=(cos α2+sin α2) 2(cos α2+sin α2)(cos α2-sin α2)=1+sinαcos 2α2-sin 2α2=1+sinαcosα=-12.59.(2010·全国·文T10)若cos α=-45,α是第三象限的角,则sin (α+π4)等于( )A.-7√210B.7√210C.-√210 D.√210【答案】A【解析】因为α是第三象限的角,所以sin α<0.sin α=-√1-cos 2α=-√1-(-45)2=-35.故sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=√22(sin α+cos α)=√22(-35-45)=-7√210.60.(2010·全国·文T 6)如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(√2 ,-√2),角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数大致图象为( )【答案】C【解析】因为d 是圆周上的点P 到x 轴的距离,所以每转半周,即π弧度,d 的值就会周期性出现,又质点P 的角速度为1,可知,该函数的周期为T=π1=π.起始点为P 0(√2,-√2)在第四象限,对应的d=√2,逆时针旋转到x 轴时,d 的值逐渐减小到0且此时t=π4.综上,只有C 项满足,故选C .61.(2019·江苏·T13)已知tanαtan (α+π4)=-23,则sin 2α+π4的值是 .【答案】√210 【解析】由tanαtan (α+π4)=tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,得3tan 2α-5tan α-2=0,解得tan α=2或tan α=-13.又sin (2α+π4)=sin 2αcos π4+cos 2αsin π4=√22(sin 2α+cos 2α)=√22×2sinαcosα+cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=√22×2tanα+1-tan 2αtan 2α+1. (*) ①当tan α=2时,(*)式=√22×2×2+1-2222+1=√22×15=√210;②当tan α=-13时,(*)式=√22×2×(-13)+1-(-13)2(-13)2+1=√22×13-19109=√210.综上,sin (2α+π4)=√210.62.(2019·全国1·文T 15)函数f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x 的最小值为.【答案】-4【解析】f(x)=sin (2x +3π2)-3cos x =-cos 2x-3cos x =-2cos 2x-3cos x+1=-2(cosx +34)2+178. ∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,f(x)min =-4. 故函数f(x)的最小值是-4.63.(2018·全国2·理T15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= . 【答案】—12【解析】∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1,∴sin 2α+cos 2β+cos 2α+sin 2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1. ∴sin(α+β)=−12.64.(2018·全国2·文T15)已知tan α-5π4=15,则tan α=_________.【答案】32【解析】∵tan (α-54π)=tanα-tan 54π1+tanαtan 54π=tanα-11+tanα=15,∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=32.65.(2018·北京·理T11)设函数f(x)=cos (ωx -π6)(ω>0).若f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为____________. 【答案】23【解析】∵f(x)≤f (π4)对任意的实数x 都成立,∴当x=π4时,f(x)取得最大值,即f (π4)=cos (π4ω-π6)=1, ∴π4ω-π6=2k π,k ∈Z,∴ω=8k+23,k ∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值23.66.(2018·全国3·理T 15)函数f(x)=cos (3x +π6)在[0,π]的零点个数为 . 【答案】3【解析】令f(x)=cos (3x +π6)=0,得3x+π6=π2+k π,k ∈Z,∴x=π9+kπ3=(3k+1)π9,k ∈Z.则在[0,π]的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.67.(2018·全国1·理T 16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 . 【答案】3√32【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos 2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=12或cos x=-1,x ∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π. 因为f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f (π3)=3√32,f (5π3)=-3√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3√32.68.(2018·江苏·T 7)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值为_______. 【答案】−π6【解析】由题意可得sin (2π3+φ)=±1,解得2π3+φ=π2+k π(k ∈Z),即φ=-π6+k π(k ∈Z). 因为-π2<φ<π2,所以k=0,φ=-π6.69.(2017·北京·文T9)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= 【答案】13【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称,得α+β=2k π+π,k ∈Z,即β=2k π+π-α,k ∈Z,故sinβ=sin(2k π+π-α)=sin α=13.70.(2017·全国1·文T15)已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)=__________.【答案】3√1010【解析】由tan α=2,得sin α=2cos α. 又sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=15.因为α∈(0,π2),所以cos α=√55,sin α=2√55.因为cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4,所以cos (α-π4)=√55×√22+2√55×√22=3√1010.71.(2017·北京·理T12)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)=________________. 【答案】-79【解析】由角α与角β的终边关于y 轴对称可得β=(2k+1)π-α,k ∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin 2α-1=2×(13)2-1=-79.72.(2017·江苏·T5)若tan (α-π4)=16,则tan α=________.【答案】75【解析】因为tan (α-π4)=tanα-tan π41+tanα·tan π4=tanα-11+tanα=16,所以tan α=75.73.(2017·全国2·理T 14)函数f(x)=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是________. 【答案】1【解析】由题意可知f (x )=1-cos2x+√3cos x-34=-cos 2x+√3cos x+14=-(cosx -√32)2+1.因为x ∈[0,π2],所以cos x ∈[0,1]. 所以当cos x=√32时,函数f (x )取得最大值1.74.(2017·全国2·文T 13)函数f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 . 【答案】√5【解析】因为f (x )=2cos x+sin x=√5sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f (x )的最大值为√5. 75.(2016·全国1·文T14)已知θ是第四象限角,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ-π4)= . 【答案】-43【解析】∵sin (θ+π4)=35,∴cos (θ-π4)=cos [(θ+π4)-π2]=35.又θ是第四象限角,∴θ-π4是第三或第四象限角.∴sin (θ-π4)=-45.∴tan (θ-π4)=-43.76.(2016·四川·文T 11)sin 750°= . 【答案】12【解析】sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 77.(2016·四川·理T11)cos 2π8-sin 2π8=_________. 【答案】√22【解析】cos 2π8-sin 2π8=cos π4=√22.78.(2016·浙江·T10)已知2cos 2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=√2,b= . 【答案】1【解析】因为2cos 2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=√2sin (2x +π4)+1,所以A=√2,b=1.79.(2016·全国3·理T 14)函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移_______个单位长度得到. 【答案】2π3【解析】因为y=sin x+√3cos x=2sin (x +π3),y=sin x-√3cos x=2sin （x-π3）=2sin[（x-2π3）+π3],所以函数y=sin x-√3cos x 的图象可由函数y=sin x+√3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度得到.80.(2015·江苏·理T8)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为 . 【答案】3【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tanα1+tanαtan (α+β)=17+21-27=3.81.(2015·四川·理T 12)sin 15°+sin 75°的值是_____________. 【答案】√62【解析】sin 15°+sin 75°=sin(45°-30°)+sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=2sin 45°cos 30°=2×√22×√32=√62. 82.(2015·四川·文T13)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 . 【答案】-1【解析】由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.所以原式=2sinαcosα-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα-1tan 2α+1=2×(-2)-1(-2)2+1=-55=-1. 83.(2015·天津·文T14)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx (ω>0),x ∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 . 【答案】√π2【解析】f (x )=sin ωx+cos ωx=√2sin ωx+π4,因为f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f (ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+π4=2k π+π2,k ∈Z,所以ω2=π4+2k π,k ∈Z . 又ω-(-ω)≤2πω2,即ω2≤π2,所以ω=√π2.84.(2015·湖南·文T15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2√3,则ω=____________. 【答案】π2【解析】如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象,A ,B 为符合条件的两交点.则A (π4ω,√2),B (-3π4ω,-√2), 由|AB|=2√3,得√(πω)2+(2√2)2=2√3,解得πω=2,即ω=π2.85.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 . 【答案】1【解析】∵f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.86.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f(x)max=1.87.(2014·重庆·文T13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=______.【答案】√22【解析】本题可逆推,将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(12x+π6)的图象.所以f(π6)=sin(π12+π6)=sinπ4=√22.88.(2014·全国2·理T14)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sin φ=sin[(x+φ)-φ]=sin x.∴f(x)max=1.89.(2014·全国2·文T14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为. 【答案】1【解析】∵f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x=sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x-φ),∴f (x )max =1.90.(2013·全国2·理T15)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 【答案】-√105【解析】由tan (θ+π4)=1+tanθ1-tanθ=12,得tan θ=-13,即sin θ=-13cos θ.将其代入sin 2θ+cos 2θ=1,得109cos 2θ=1.因为θ为第二象限角,所以cos θ=-3√1010,sin θ=√1010,sin θ+cos θ=-√105.91.(2013·全国2·文T 16)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin (2x +π3)的图象重合,则φ=_________. 【答案】A【解析】由降幂公式变形,可得cos 2(α+π4)=1+cos (2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.92.(2013·全国1·理T 15文T 16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= . 【答案】−2√55【解析】∵f (x )=sin x-2cos x=√5sin(x-φ), 其中sin φ=2√55,cos φ=√55.当x-φ=2k π+π2(k ∈Z)时,f (x )取最大值. 即θ-φ=2k π+π2(k ∈Z),θ=2k π+π2+φ(k ∈Z).∴cos θ=cos (π2+φ)=-sin φ=-2√55. 93.(2011·江西·理T14)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 【答案】-8【解析】∵sin θ=-2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,∴θ为第四象限角.又由三角函数的定义得√4+y 2=-2√55,且y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).故y=-8.94.(2019·浙江·T18)设函数f(x)=sin x,x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=f x+π122+f x+π42的值域.【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),。
十年真题-三角函数-全国高考理科数学
真题2008-17．（10分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．2009-17．（10分）在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b.2010-17( 10分)已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．2012-17（12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c 。
2013-18．(12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ； (2)若sin A sin C C .2016-17（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC =ABC 的周长2017-17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==,求△ABC 的周长答案2008-17解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.2009-17分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。
专题05 三角函数-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)
专题05 三角函数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和2【答案】C【分析】由题，()34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T故选：C ．2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）22π5πcoscos 1212-=（ ） A ．12BC ．2D 【答案】D【分析】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D.3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ） A ．7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭ C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【分析】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象， 根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+, 所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换， 第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：B.4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A【分析】如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差．故选：A.5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D ．3【答案】A 【分析】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==. 故选：A.6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.7．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25 D ．65【答案】C【分析】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ．二、填空题8．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭_______________.【答案】【分析】由题意可得：31332,,241234T T T πππππω=-=∴===， 当1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯+=∴=-∈， 令1k =可得：6πϕ=-，据此有：()52cos 2,2cos 22cos 62266f x x f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：9．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【分析】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭； 所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2. 故答案为：2.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π2【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） AB ．23C ．13D．9【答案】A【分析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==. 故选：A.3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【分析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．3C ．23D ．2【答案】B【分析】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故选：B.5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【分析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对 故选：D6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【分析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））tan255°= A ．－2B ．－C ．2D ．【分析】：000000tan 255tan(18075)tan75tan(4530)=+==+=0001tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+- 9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：Ⅰf (x )是偶函数 Ⅰf (x )在区间（2π,π）单调递增 Ⅰf (x )在[,]-ππ有4个零点 Ⅰf (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．ⅠⅠⅠ B ．ⅠⅠC ．ⅠⅠD ．ⅠⅠ【答案】C【分析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故Ⅰ正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减，故Ⅰ错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故Ⅰ错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故Ⅰ正确．综上所述，ⅠⅠ 正确，故选C ．10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【分析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 11．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【分析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．12．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知α Ⅰ（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC D 【答案】B 【分析】2sin 2cos 21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │ D ．f (x )= sin│x │【答案】A【分析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x=的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．14．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．15．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：Ⅰ()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 Ⅰ()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点Ⅰ()f x 在（0,10π）单调递增 Ⅰω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．ⅠⅠ B ．ⅠⅠC ．ⅠⅠⅠD ．ⅠⅠⅠ【答案】D【分析】当[0,2]x π时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， Ⅰf （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， Ⅰ5265πππωπ≤+<，Ⅰ1229510ω≤<，故Ⅰ正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，Ⅰ正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，Ⅰ不正确； 因此由选项可知只需判断Ⅰ是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， Ⅰ1229510ω≤<，故Ⅰ正确．故选D ． 16．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【分析】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 17．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【答案】A【详解】详解：因为π()cos sin )4=-=+f x x x x ，所以由π02ππ2π,(k Z)4+≤+≤+∈k x k 得π3π2π2π,(k Z)44-+≤≤+∈k x k 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤a a a a a a a ，从而a 的最大值为π4，选A. 18．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79- D ．89-【答案】B【详解】详解：227cos2α12199sin α=-=-=故选B. 19．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【详解】：由已知得()221f sin2,1221()sinx tanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π==故选C. 20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1））函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．21．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【详解】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．22．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2））函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A ．4π B ．2πC ．πD ．π2【答案】C 【详解】由题意22T ππ==，故选C ． 23．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=．A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【详解】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.24．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【详解】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 的最大值为65.所以选A. 25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D【详解】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；Ⅰf (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Ⅰf ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．π2sin(2)4y x =+B ．2sin(2)3y x π=+C ．2sin(2)4y x π=- D ．2sin(2)3y x π=-【答案】D【详解】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，故选D.27．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 A ．[]1,1- B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C【详解】：()21cos 2cos 03f x x a x =-+'对x R ∈恒成立， 故()2212cos 1cos 03x a x --+，即245cos cos 033a x x -+恒成立， 即245033t at -++对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t t at =-++，开口向下的二次函数f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()1103{1103f a f a -=-=+，解得1133a -．故选C ．28．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=- C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【答案】A【详解】：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.29．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【详解】：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B.30．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（kⅠZ ） B ．x=26k ππ+（kⅠZ ）C ．x=212k ππ-（kⅠZ ） D ．x=212k ππ+（kⅠZ ） 【答案】B【详解】：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ．31．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若3cos()45πα-=，则sin 2α=A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【详解】：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.32．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）若1tan 3θ= ，则cos 2θ= A ．45-B ．15-C ．15D ．45【答案】D【详解】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++.故选D.33．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A 【详解】：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．34．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【详解】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.35．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））在函数Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ,Ⅰ中，最小正周期为的所有函数为A ．ⅠⅠⅠB ．ⅠⅠⅠC ．ⅠⅠD ．ⅠⅠ【答案】A【解析】：Ⅰ中函数是一个偶函数，其周期与y =cos2x 相同，T=2π2=π;Ⅰ中函数的周期是函数y =cosx 周期的一半，即T =π; ⅠT =2π2=π; ⅠT =π2，则选A ．36．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C【详解】：由已知得，sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，去分母得，sin cos cos cos sin αβααβ=+，所以 sin cos cos sin cos ,sin()cos sin()2παβαβααβαα-=-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，即22παβ-=，选C37．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C【详解】：()f x 的极值为()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0x f x m mππ='=， 所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.38．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]-ππ的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】：因为()102f π=>，故排除A ；因为()(1cos )(sin )()f x x x f x -=--=-，所以函数()f x 为奇函数，故排除B ；因为()cos cos 2f x x x =-'，分别作出cos y x =与cos 2y x =的图象，可知极值点在(,)2ππ上，故选C ．39．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知sin2α=，则cos 2(α+)=（ ） A ．16B ．15C ．14D ．13【答案】A【详解】21cos(2)2cos ()42παπα+++==1sin 22α-=2132-=16,故选A.40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知ω>0，，直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=A ．4πB ．3π C ．2π D ．34π 【答案】A 【详解】因为和是函数图象中相邻的对称轴，所以，即.又，所以，所以，因为是函数的对称轴所以，所以，因为，所以，检验知此时也为对称轴，所以选A.41．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15[,]24 B ．13[,]24 C ．1(0,]2D ．(0,2]【答案】A 【详解】 由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>，1524ω∴≤≤．故A 正确．二、填空题42．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若2sin 3x =-，则cos 2x =__________． 【答案】19【分析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案为：19. 43．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：Ⅰf （x ）的图象关于y 轴对称． Ⅰf （x ）的图象关于原点对称． Ⅰf （x ）的图象关于直线x =2π对称． Ⅰf （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】ⅠⅠ【分析】对于命题Ⅰ，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题Ⅰ错误；对于命题Ⅰ，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题Ⅰ正确；对于命题Ⅰ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题Ⅰ正确；对于命题Ⅰ，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题Ⅰ错误. 故答案为：ⅠⅠ.44．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-.【分析】23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos )48x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．45．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】【详解】：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x取得最小值，此时sin x x ==，所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 46．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________． 【答案】32. 【分析】5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2α=. 47．（2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 【答案】12- 【详解】 因为，所以，Ⅰ因为，所以，ⅠⅠⅠ得，即，解得，故本题正确答案为48．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3【分析】：0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点．49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知π(0)2a ∈，，tanα=2，则πcos ()4α-=______________．【详解】由tan 2α=得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为(0,)2πα∈，所以cos αα==cos()cos cos sin sin 444πππααα-=+，所以cos()4πα-=525210⨯+=． 50．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2））函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________.【分析】：函数f （x ）＝2cos x +sin x =x x ）=（x +θ），其中tanθ＝2，51．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））函数()23s 4f x in x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 【答案】1【详解】化简三角函数的解析式，可得()22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos 1x -+，由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1．52．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）=___________. 【答案】43-【分析】：Ⅰθ是第四象限角， Ⅰ222k k ππθπ-+＜＜，则22444k k k Z ππππθπ-+++∈＜＜，，又sin （θ4π+）35=， Ⅰcos （θ4π+）45===． Ⅰcos （4πθ-）＝sin （θ4π+）35=，sin （4πθ-）＝cos （θ4π+）45=．则tan （θ4π-）＝﹣tan （4πθ-）44453354sin cos πθπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为43-． 53．（2015年全国普通高等学校招生统一考试数学）函数sin y x x =的图象可由函数2sin y x =的图象至少向右平移________个单位长度得到． 【答案】3π【详解】：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到．54．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学）函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_____个单位长度得到．【答案】23π【详解】：sin 2sin(),sin 2sin()33y x x x y x x x ππ=-=-=+=+,故应至少向右平移23π55．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））函数的最大值为________． 【答案】1【详解】：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数的最大值为1．56．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+ =()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+ =()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.57．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】5-；【详解】f(x)＝sin x －2cos x x x ⎫⎪⎪⎝⎭－φ)，其中sin φ，cos φ当x －φ＝2kπ＋2π (kⅠZ)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sin φ.58．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））设θ为第二象限角，若tan（θ+）=12，则sinθ+cosθ=_________.【答案】【详解】因为θ为第二象限角，若tan（θ+）=12>0，所以角θ的终边落在直线y x=-的左侧,sinθ+cosθ<0,由tan（θ+）=12得tan11tanθθ+-=12，即sin coscos sinθθθθ+-=12，所以设sinθ+cosθ=x，则cosθ- sinθ=2x，将这两个式子平方相加得：22 5x=，即sinθ+cosθ=.。
十年高考理科数学真题 专题四 三角函数与解三角形 十二 解三角形及答案
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=o ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23π D．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A B C D 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B ．CD 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
专题08 三角函数选择题(理科)十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编含答案(全国通用)
三角函数选择题目录题型一：三角函数的概念..............................................................................................1题型二：三角恒等变换..................................................................................................3题型三：三角函数的图像与性质.................................................................................8题型四：正余弦定理....................................................................................................26题型五：三角函数的综合应用 (33)题型一：三角函数的概念一、选择题1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则()A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D解析：方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D ．方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．三角函数选择题目录题型一：三角函数的概念..............................................................................................1题型二：三角恒等变换..................................................................................................1题型三：三角函数的图像与性质.................................................................................3题型四：正余弦定理....................................................................................................11题型五：三角函数的综合应用 (13)题型一：三角函数的概念一、选择题1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则()A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<02．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第9题)已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=()A ．53B ．23C ．13D ．593．(2021年高考全国甲卷理科·第9题)若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=()4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第9题)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=()A ．–2B ．–1C ．1D ．2题型二：三角恒等变换一、选择题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=()．A ．79B ．19C ．19-D ．79-2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第7题)已知α为锐角，15cos 4α=，则sin 2α=()．A ．38B ．18-C ．34D ．14-3．(2021年高考浙江卷·第8题)已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是()A ．0B ．1C ．2D ．34．(2021年新高考Ⅰ卷·第6题)若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+()A .65-B ．25-C ．25D ．655．(2022新高考全国II 卷·第6题)若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则()A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C .()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-6．(2019·上海·第16题)已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限；②存在α在第二象限，角β在第四象限；A.①②均正确；B ．①②均错误；C ．①对，②错；D ．①错，②对7．(2019·全国Ⅱ·理·第10题)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos 21αα=+，则sin α=()A ．15B ．5C ．3D ．58．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理）·第4题)若1sin 3α=，则cos 2α=()A ．89B ．79C ．79-D ．89-9．(2014高考数学课标1理科·第8题)设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则()A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=10．(2015高考数学重庆理科·第9题)若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-()A ．1B ．2C ．3D ．411．(201512题)sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=()A ．2-B ．2C ．12-D ．1212．(2015高考数学陕西理科·第6题)“sin cos αα=”是“cos 20α=”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=()A ．6425B ．4825C ．1D ．162514．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=()A ．725B ．15C ．15-D ．725-题型三：三角函数的图像与性质一、选择题1．(2023年全国乙卷理科·第6题)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A ．B ．12-C ．12D ．22．(2023年全国甲卷理科·第10题)函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．43．(2021年新高考Ⅰ卷·第4题)下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是()A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下面结论正确的是()A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C 5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第7题)设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为()()A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π26．(2022高考北京卷·第5题)已知函数22()cos sin f x x x =-，则()A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增7．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第12题)已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则()A ．c b a>>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>8．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点()A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度9．(2022新高考全国I 卷·第6题)记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()A ．1B ．32C ．52D ．310．(2021高考北京·第7题)函数()cos cos 2f x x x =-是()A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为9811．(2020天津高考·第8题)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是()A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③12．(2019·天津·理·第7题)已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()A ．2-B ．CD ．213．(2019·全国Ⅱ·理·第9题)下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是()()A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()cos f x x =D ．()sin f x x=14．(2019·全国Ⅰ·理·第11题)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增③()f x 在[,]ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③15．(2018年高考数学天津(理)·第6题)将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．在区间3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．在区间53,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第10题)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是()A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π17．已知函数()sin cos f x a x b x =-(a b ，为常数，0a x ≠∈R ，)的图象关于直线π4x =对称，则函数3π()4y f x =-是Ａ．偶函数且它的图象关于点(π0)，对称B ．偶函数且它的图象关于点3π02⎛⎫⎪⎝⎭，对称()Ｃ．奇函数且它的图象关于点3π02⎛⎫⎪⎝⎭对称Ｄ．奇函数且它的图象关于点(π0)，对称18．设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件()Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件19．(2014高考数学浙江理科·第4题)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像()A ．向右平移4π个单位B ．向左平移4π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位20．(2014高考数学四川理科·第3题)为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点()A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度21．(2014高考数学陕西理科·第2题)函数()cos(26f x x π=-的最小正周期是()A ．2πB ．πC ．2πD ．4π22．(2014高考数学辽宁理科·第9题)将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数()A ．在区间7[,1212ππ上单调递减B ．在区间7[,1212ππ上单调递增C ．在区间[,63ππ-上单调递减D ．在区间[,63ππ-上单调递增23．(2014高考数学课标2理科·第12题)设函数xf x m()sinπ=．若存在f x ()的极值点x 0满足x f x m 22200[()]+<，则m 的取值范围是()A ．(,6)(6,)-∞-⋃+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(4,)-∞-⋃+∞24．(2014高考数学湖南理科·第9题)已知函数()()ϕ-=x x f sin ，且()0320=⎰dx x f π则函数()f x 的图象的一条对称轴是()A ．65π=x B ．127π=x C ．3π=x D ．6π=x 25．(2014高考数学大纲理科·第3题)设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则()A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>26．(2015高考数学新课标1理科·第8题)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为()A ．13(,),k 44k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),k 44k k ππ-+∈Z C ．13(,),k 44k k -+∈Z D ．13(2,2),k 44k k -+∈Z27．(2015高考数学四川理科·第4题)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()(A)cos(2)2y x π=+(B)sin(22y x π=+(C)sin 2cos 2y x x =+(D)sin cos y x x=+28．(2015高考数学陕西理科·第3题)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A ．5B ．6C ．8D ．1029．(2015高考数学山东理科·第3题)要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象()A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位30．(2015高考数学湖南理科·第9题)将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(02πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=()A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π31．(2015高考数学安徽理科·第10题)已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(A ，ω，ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是()A ．()()()220f f f <-<B ．()()()022f f f <<-C ．()()()202f f f -<<D ．()()()202f f f <<-32．(2017年高考数学天津理科·第7题)设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π．若5(28f π=,(08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则()A ．23ω=,12ϕπ=B ．23ω=,12ϕ11π=-C ．13ω=,24ϕ11π=-D ．13ω=,24ϕ7π=33．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是()A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减34．(2016高考数学浙江理科·第5题)设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关35．(2016高考数学四川理科·第3题)为了得到sin(23y x π=-的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点()A ．向左平行移动3π个单位B ．向右平行移动3π个单位C ．向左平行移动6π个单位D ．向右平行移动6π个单位36．(2016高考数学山东理科·第7题)函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是()A ．2πB ．πC ．32πD ．2π37．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第7题)若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A ．()26k x k Z ππ=-∈B ．()26k x k Z ππ=+∈C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈38．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)已知函数()sin()(024f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为()(A)11(B)9(C)7(D)539．(2016高考数学北京理科·第7题)将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移(0)s s >个单位长度得到点'P ,若'P 位于函数sin 2y x =的图像上，则()A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．32t =，s 的最小值为3π二、多选题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第10题)下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=()()A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第11题)下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=()()A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -3．(2022新高考全国II 卷·第9题)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则()A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线2y x =-是曲线()y f x =的切线题型四：正余弦定理1．(2023年北京卷·第7题)在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=()A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第7题)在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =()A ．19B ．13C ．12D ．233．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第9题)ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =()A ．π2B ．π3C ．π4D ．π64．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第6题)在ABC △中，5cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =()A ．B C D ．5．(2014高考数学重庆理科·第10题)已知ABC ∆的内角,,A B C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积满足12,S ≤≤记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是()A ．()8bc b c +>B ．()ac a c +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤6．(2014高考数学课标2理科·第4题)钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=()A ．5B C ．2D ．17．(2014高考数学江西理科·第4题)在ABC ∆中,内角A ．B ．C 所对应的边分别为,,,c b a ,若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积()A ．3B ．239C ．233D ．338．(2017年高考数学山东理科·第9题)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若ABC ∆为锐角三角形,且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是()A ．2a b=B ．2b a=C ．2A B=D ．2B A=9．(2016高考数学天津理科·第3题)在ABC △中，若3,120AB BC C ==∠=︒，则AC =()A ．1B ．2C ．3D ．410．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第8题)在△ABC 中,4B π=,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A ．31010B ．1010C ．1010-D ．31010-11．(2023年全国甲卷理科·第11题)已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC 的面积为()A ．B ．C ．D ．12．(2021年高考全国乙卷理科·第9题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =()()A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距13．(2021年高考全国甲卷理科·第8题)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ．B ．C 三点，且A ．B ．C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ．C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为 1.732≈)()A ．346B ．373C ．446D ．473题型五：三角函数的综合应用一、选择题1．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第11题)设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是()A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦2．(2019·全国Ⅲ·理·第12题)设函数()sin()5f x x ωπ=+(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在0,2π)(有且仅有3个极大值点②()f x 在0,2π)(有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π单调递增④ω的取值范围是1229[)510，其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3．(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay)．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是()．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第9题)已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=()A ．3B ．23C ．13D ．9【答案】A【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=(舍去)，又(0,),sin 3απα∈∴== ．故选：A ．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题．3．(2021年高考全国甲卷理科·第9题)若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=()A ．15B ．55C ．3D ．3【答案】A 解析：cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，15cos 4α∴==，sin 15tan cos 15ααα∴==．故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α．4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第9题)已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=()A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D解析：2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题．题型二：三角恒等变换一、选择题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=()．A ．79B ．19C ．19-D ．79-【答案】B解析：因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=．故选：B2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第7题)已知α为锐角，1cos 4α=，则sin 2α=()．A ．358B ．158-C ．354D ．14-【答案】D解析:因为21cos 12sin 24αα+=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=514==．故选：D ．3．(2021年高考浙江卷·第8题)已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是()A ．0B ．1C ．2D ．3解析:法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12．取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选C ．法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12．取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<==，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选C ．4．(2021年新高考Ⅰ卷·第6题)若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+()A .65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C解析:将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++,故选C ．5．(2022新高考全国II 卷·第6题)若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则()A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C .()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-解析：由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=,所以()tan 1αβ-=-,故选：C6．(2019·上海·第16题)已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限；②存在α在第二象限，角β在第四象限；A.①②均正确；B ．①②均错误；C ．①对，②错；D ．①错，②对【答案】D【解析】(推荐)取特殊值检验法：例如：令31tan =α和31tan -=α，求βtan 看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.(一般方法)设tan ,tan ,x y αβ==则2()1x yxy xy xy x y xy +=⇒-=+-；以y 为主元则可写成：22(1)0,x y x y x +-+=其判别式23(1)4x x ∆=--；设函数()()2314g x x x =--，并设12x x <，则()()()12221211221222222121212()24()11320222g x g x x x x x x x x x x x x x x x -=+--++-⎛⎫⎛⎫=-+-------< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()g x 单调递减；而()()01,14g g ==-，故()0g x =的零点在()0,1上，设为a ；则当x a <时，()0g x >，当x a ≥时，()0g x ≤；故存在0x >使得23(1)40x x ∆=-->而对方程()2210x y x y x +-+=，根据韦达定理，1221211x y y x y y x -⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩存在0x >时，而01x <<使得对应的y 存在，而此时12120y y y y +<⎧⎨⋅>⎩，故此时y 必为负数，即β在Ⅱ或Ⅳ象限；也同样存在0x <，使得对应的y 存在，此时12120y y y y +<⎧⎨⋅>⎩，故此时必存在一个y 值为负数，另一个y为正数，即β在Ⅱ、Ⅳ象限或Ⅰ、Ⅲ象限均可，故选D ．【点评】本题主要考三角恒等变换、不等式综合.7．(2019·全国Ⅱ·理·第10题)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos 21αα=+，则sin α=()A ．15B．5C．3D．5【答案】B【解析】∵2sin 2cos 21α=α+，∴24sin cos 2cos α⋅α=α.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴cos 0α>，sin 0α>，∴2sin cos α=α，又22sin cos 1αα+=，∴25sin 1α=，21sin 5α=，又sin 0α>，∴sin 5α=，故选B ．【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理）·第4题)若1sin 3α=，则cos 2α=()A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B解析：2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．9．(2014高考数学课标1理科·第8题)设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则()A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【答案】B解析:∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==,∴sin cos cos cos sin αβααβ=+()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-,即22παβ-=,选B 10．(2015高考数学重庆理科·第9题)若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 解析：由已知，3cos(10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=-33cos cos 2sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C ．11．(2015高考数学新课标1理科·第2题)sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=()A ．32-B ．32C ．12-D ．12【答案】D解析：原式=oooosin 20cos10cos 20sin10+=osin 30=12，故选D ．考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式．12．(2015高考数学陕西理科·第6题)“sin cos αα=”是“cos 20α=”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A解析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ．13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+=()A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=,得3sin 5α=,4cos 5α=或3sin 5α=-,4cos 5α=-所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=,故选A.14．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α=()A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】C 【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．题型三：三角函数的图像与性质一、选择题1．(2023年全国乙卷理科·第6题)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A ．B ．12-C ．12D ．2【答案】D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D ．2．(2023年全国甲卷理科·第10题)函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解析：因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3．故选：C ．3．(2021年新高考Ⅰ卷·第4题)下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是()A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A解析:因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件,故选A ．4．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则下面结论正确的是()A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线2C 【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同,所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名,则22π2πππ:sin 2cos 2cos 23326C y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =,再将曲线向左平移π12个单位得到2C ,故选D ．5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第7题)设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为()()A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题．6．(2022高考北京卷·第5题)已知函数22()cos sin f x x x =-，则()A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C解析:因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=．对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错．故选,C ．7．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第12题)已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则()A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A 【解析】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A8．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有的点()A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D解析:因为ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选,D ．9．(2022新高考全国I 卷·第6题)记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫=⎪⎝⎭()A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A解析:由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A10．(2021高考北京·第7题)函数()cos cos 2f x x x =-是()A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98【答案】D解析：由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98．故选：D ．11．(2020天津高考·第8题)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是()A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51(sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin(3y x π=+的图象，故③正确．故选：B ．12．(2019·天津·理·第7题)已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()A ．2-B ．C D ．2【答案】答案：C解析：()f x 是奇函数，,k k ϕπ∴=∈Z ，又因为,0ϕπϕ<∴=，()sin2x g x A ω=，因为()g x 的最小正周期为2π，且0ω>，所以2212ππω=，2ω=，sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，()2sin 2f x x =，332sin 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭．13．(2019·全国Ⅱ·理·第9题)下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是()()A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()cos f x x =D ．()sin f x x=【答案】A【解析】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除B ，故选A.【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；③函数()y f x ==，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角函数的周期，例如，cos 2y x ===，所以周期242T ππ==.14．(2019·全国Ⅰ·理·第11题)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增③()f x 在[,]ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2。
高考数学真题分项汇编专题09 三角函数填空题(理科)(原卷版)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—三角填空题目录题型一：三角函数的概念 ............................................. 1 题型二：三角恒等变换 .............................................. 1 题型三：三角函数的图像与性质 ....................................... 2 题型四：正余弦定理 ................................................ 4 题型五：三角函数的综合应用 .. (6)题型一：三角函数的概念1．(2020年浙江省高考数学试卷·第14题)已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______． 2．(2021高考北京·第14题)若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．3．(2023年北京卷·第13题)已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β= _________．4．(2020年浙江省高考数学试卷·第13题)已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan()4θ−=______． 5．(2014高考数学陕西理科·第13题)设20πθ<<，向量(sin 2,cos 2),(cos ,1)a b θθθ=，若a∥b ，则=θtan _______．题型二：三角恒等变换1．(2022年浙江省高考数学试题·第13题)若3sin sin 2παβαβ−=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．2．(2020江苏高考·第8题)已知22sin ()43πα+= ，则sin 2α的值是____． 3．(2019·江苏·第13题)已知tan 2π3tan 4αα=− +，则πsin 24α+ 的值是 .4．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第15题)已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 5．(2014高考数学江苏·第5题) 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (ϕπ<0≤)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ．6．(2015高考数学四川理科·第12题)°°sin15sin 75+的值是________7．(2015高考数学江苏文理·第8题)已知tan 2α=−，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_______． 8．(2017年高考数学江苏文理科·第5题)若 则______． 9．(2017年高考数学北京理科·第12题)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则___________． 【10．(2016高考数学浙江理科·第10题)已知22cos sin2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A = ，b = ．11．(2016高考数学四川理科·第11题)22cos sin 88ππ−=_________． 12．(2016高考数学上海理科·第7题)方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________．13．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．14．(2016高考数学江苏文理科·第14题)在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C的最小值是 ．15．(2017年高考数学上海(文理科)·第15题)设、,且,则的最小值等于 ．题型三：三角函数的图像与性质1．(2021年高考全国甲卷理科·第16题)已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ−−−> 的最小正整数x 为________． π1tan(),46α−=tan α=xOy αβOx y 1sin 3α=cos()αβ−=1a 2a ∈R 121122sin 2sin(2)αα+=++12|10|παα−−2．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第16题)关于函数f (x )=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f (x )的图像关于y 轴对称． ②f (x )的图像关于原点对称． ③f (x )的图像关于直线x =2π对称． ④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．3．(2020江苏高考·第10题)将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____．4．(2020北京高考·第14题)若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．5．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第15题)记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．6．(2019·北京·理·第9题)函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 7．(2018年高考数学江苏卷·第7题)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+−<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．8．(2018年高考数学北京(理)·第11题)设函数()cos()(0)6f x x πωω=−>，若()()4f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．9．(2014高考数学上海理科·第12题)设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123________x x x ++=．10．(2014高考数学上海理科·第1题)函数()212cos2y x =−的最小正周期是_____________．11．(2014高考数学课标2理科·第14题)函数()sin(2）-2sin cos(+)f x x x =+ϕϕϕ的最大值为_________．12．(2014高考数学北京理科·第14题)设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ 是常数，0,0A ω>>)．若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==−, 则()f x 的最小正周期为 ．13．(2014高考数学安徽理科·第11题)若将函数()sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．14．(2015高考数学浙江理科·第11题)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14题)函数()的最大值是 ．16．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第15题)函数()πcos 36f x x=+在[]0,π的零点个数为 ． 17．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x=+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.18．(2016高考数学江苏文理科·第9题)定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ．题型四：正余弦定理1．(2021年高考全国乙卷理科·第15题)记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c60B =°，223a c ac +=，则b =________．2．(2021年高考浙江卷·第14题)在ABC 中，60,2B AB ∠=°=，M 是BC中点，AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________．3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第16题)如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________．()23sin 4f x x x =+−0,2x π∈的4．(2019·浙江·第14题)在ABC △中，90ABC ∠=°，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上．若45BDC ∠=°，则BD = ，cos ABD ∠=． 5．(2019·全国Ⅱ·理·第15题)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若6b =，2a c =，3B π=，则ABC △的面积为 ．6．(2018年高考数学浙江卷·第13题)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,60a b A ===°，则sin B = ，c = ．7．(2014高考数学天津理科·第12题)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a −=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为_________．8．(2014高考数学四川理科·第13题)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：67673737sin cos sin cos °≈0.92,°≈0.39,°≈0.60,°≈≈1.73 )9．(2014高考数学山东理科·第12题)在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 ．10．(2014高考数学课标1理科·第16题)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．11．(2014高考数学广东理科·第12题)在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b Bc C b 2cos cos =+，则ab=12．(2014高考数学江苏·第14题)若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ． 13．(2014高考数学福建理科·第12题)在ABC ∆中，,3,2,60===bc AC A 则ABC ∆的面积等于__________．14．(2015高考数学重庆理科·第13题)在ABC ∆中，120o B =，AB =，A的角平分线AD =,则AC =_______． 15．(2015高考数学新课标1理科·第16题)在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，B 2BC =，则AB 的取值范围是 ． 16．(2015高考数学天津理科·第13题)在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 ． 17．(2015高考数学广东理科·第11题)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ．若a =1sin 2B =，6C =π，则b = ．,,a b c ABC ∆,,A B C a (2)(sin sin )()sin b A B c b C +−=−ABC ∆ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC∆12,cos ,4b c A −==−a18．(2015高考数学福建理科·第12题)若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．19．(2015高考数学北京理科·第12题)在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．20．(2017年高考数学浙江文理科·第14题)已知,,点为延长线上一点,,连结,则的面积是_______,_______．21．(2017年高考数学浙江文理科·第11题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积,_______．22．(2016高考数学上海理科·第9题)已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_________．题型五：三角函数的综合应用1．(2023年全国甲卷理科·第16题)在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=°=，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．2．(2016高考数学上海理科·第13题)设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=−sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 ．3．(2022年浙江省高考数学试题·第17题)设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．2．(2014高考数学浙江理科·第17题)如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是__________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)5．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第15题)已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．6．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第16题)已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线ABC ∆4,2ABAC BC ===D AB 2BD =CD BDC ∆cos BDC ∠=πππ6S 6S=()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．7．(2015高考数学湖北理科·第13题)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．8．(2015高考数学上海理科·第13题)已知函数()sin f x x =⋅若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<<≤ ，且()()()()()()()*12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N −−+−++−=≥∈ ，则m 的最小值为 ．。
三角函数十年高考题精选
三角函数十年高考题精选1 ．sin 47sin17cos 30cos17-（ ）A．B ．12-C ．12D2．已知sin cos αα-α∈(0,π),则tan α=（ ）A ．-1B．-CD ．13 ．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45C．4D ．344．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-5．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-6．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π7． 04cos50tan 40-= ( )2D.18．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( )A.12πB.6πC.3πD.56π9. 设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>10.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增11.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位12 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 (B)13设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则B A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=14.函数f (x )=cos xA（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减 15函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 C(A) 4π (B)2π（C ）π （D ）2π 16.已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 B（A ）0 <ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -117.锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有 C（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0 18.已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 D （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限19.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤20.22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1221．已知==ααcos ,32tan则（ B ）A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－53 22.设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ A ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数23函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B ）22,1- （C ）22- （D ）22,1 24.要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（C ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度25函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ A ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y（C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y26.（福建卷）已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于A.32 B.23C.2D.3 27.（湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=A.3 B．3- C ．53 D ．53-28.（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4π 29.（辽宁卷）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是(A)[]1,1-(B) ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C) ⎡-⎢⎣⎦(D)1,⎡-⎢⎣⎦30.（全国卷I ）函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭31.（全国II ）若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 32.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭33.（天津卷）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 34.(重庆卷)若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+的值等于 （A） （B ）12- （C ）12 （D35．（宁夏，海南）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥，的简图是（ Ａ ）xＡ．Ｂ．36．（宁夏，海南）9．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ Ｃ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．237．（广东文）9．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ D ） A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==38．（全国Ⅰ）（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ A ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，39.（全国二8）若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ B ） A ．1BCD ．240.（天津卷9）设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）41.（浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）442.（海南卷7）0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B.2C. 2D.243.（2009浙江理）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( D )44. （2009全国卷Ⅱ理）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为DA ．16 B.14C.13D.1245.（辽宁卷16）已知()sin (0)363f x x ff ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14346.（湖南卷）若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .-347.(陕西卷)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 -1/248.(重庆卷)已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=____5665-49．（上海）6．函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T π 50.函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________。
历年高考数学三角函数经典试题
历届高考中的“三角函数的图像与性质”试题精选（自我测试）(卷A)一、选择题：（每小题5分，计50分）题号12345678910答案１．（2009陕西理科）若3s i n c o s 0αα+=,则 21c o s s in2αα+的值为 （A ）103（B ） （C ）23 (D) 2-２．（2007江苏）下列函数中，周期为2π的是（ ）A ．s in 2x y =B ．s in2y x =C ．co s 4xy = D ．c o s4y x =３．（2007江西文）若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是（ ） A ．sin x ＜x π2 B ．sin x ＞x π2 C ．sin x ＜x π3 D ．sin x ＞xπ3４．（2009山东）将函数y=sin2x 的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(A) y=2cos 2x（B ）y=2sin 2x (C) y=1+sin(2x+4π)(D)y=cos2xi5 .（2007福建理)已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象（ ）A 关于点（，0）对称B 关于直线x ＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x ＝对称6（2007江苏）函数()s i n 3c o s ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ-- B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-7．（2005福建理）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==８．(2009辽宁)已知函数()s i n ()(0)f x x ωϕω-+>的图象如图所示， 则ω =９．（2009宁夏）有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2s i n+2c o s =122p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p10.(2009宁夏)已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则ϕ=________________4．（2009江西）若函数()f x =（1+ 3tanx ）cos, 0≤x ＜2π,则()f x 的最大值为A ．1 B. 2 C. 3+1 D. 3+25.(2010天津)在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b b c -=，s i n 23s i n C B =，则A=6．（2003全国理，广东）函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（ ） A ．21+B ．12-C ．2D ．27.( 2007广东文)已知简谐运动()2s i n ()(||)32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（ ）8.（2005浙江理）已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．（2005全国Ⅰ卷文、理）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）3410. (2002年广东、江苏、河南，全国文、理，全国新课程文、理，天津文、理)在)2,0(π内，使xx cos sin >成立的x 的取值范围是（ ） (A))45,()2,4(ππππ (B)),4(ππ (C))45,4(ππ (D))23,45(),4(ππππ 二.填空题: （每小题5分，计20分）11.（2006湖南文） 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = .12.（2004全国Ⅲ卷理）函数xx y cos 3sin +=在区间]2,0[π上的最小值为 .13.（2005上海文、理）函数()[]s i n2s i n 0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________14.（2007四川理）下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数).2sin(π-=x y 在（0，π）上是减函数。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：三角函数
A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
43.(2014·大纲全国·文 T2)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα=( )
4
3
3
4
A.5
B.5
C.-5
D.-5
44.(2014·全国 1·理 T8)设 α∈
0,
π 2
,β∈
0,
π 2
,且 tan
1+sin2
段上,角 α 以 Ox 为始边,OP 为终边.若 tan α<cosα<sin α,则 P 所在的圆弧是( )
A.
B. C. D.
8.(2018·全国 1·文 T11)已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有两点
2
A(1,a),B(2,b),且 cos 2α=3,则|a-b|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1
1
37.(2015·重庆·文 T6)若 tan α=3,tan(α+β)=2,则 tan β=( )
1
1
5
5
A.7
B.6
C.7
D.6
2π
38.(2015·安徽·理 T10)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π,当 x= 3
5π
11π
18.(2017·天津·T7)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,|φ|<π,若 f 8 =2,f 8 =0,且 f(x)
的最小正周期大于 2π,则( )
2
π
2
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
十年(2013-2022)高考数学真题分类汇编解析08 三角函数与解三角形(小题)
十年（2013-2022）高考数学真题分类汇编解析08 三角函数与解三角形选择填空题
1．【2022年全国甲卷理科08】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的A B中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷理科11】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：。
4三角函数十年高考题(带详细解析)
姓名———————— 一、选择题1.（2003京春文，2）设M 和m 分别表示函数y =31cos x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A.32 B.－32C.－34 D.－2 2.若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34±3.（2002河南，1）函数f （x ）=xxcos 2sin 的最小正周期是（ ） A.2π B.πC.2πD.4π4.（2000上海文，13）函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是（ ）A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数5.（1999全国文、理，5）若f （x ）是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x6.（1998全国文、理，1）sin600°的值是（ ） A.21 B.－21 C.23 D.－23 7. 函数y = sin(2x+25π)的图象的一条对称轴方程是 ( ) A x = －2π B x = －4π C x = 8π D x =45π8.（1996上海，2）在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π）的单调递增区间是（ ）A.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］9. 若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( ) A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==10.（1995全国文，7）使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是（ ）A.［－43π，4π］ B.［－2π，2π］ C.［－4π，43π］ D.［0，π］ 11.（1995上海，1）y ＝sin 2x 是（ ） A.最小正周期为2π的偶函数 B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数12.（1996全国，6）当－2π≤x ≤2π时，函数f （x ）=sin x ＋3cos x 的（ ）A.最大值是1，最小值是－1B.最大值是1，最小值是－21 C.最大值是2，最小值是－2D.最大值是2，最小值是－1二、填空题13.（2002京皖，4）如果cos θ＝－1312，θ∈（π，23π），那么cos （θ＋4π）的值等于 . 14.（2000上海春，1）若sin （2π＋α）＝53，则cos2α＝ . 15.（2000春季北京、安徽，5）函数y ＝cos （432ππ+x ）的最小正周期是 . 16.（1999上海理，7）函数y =2sin （2x +6π）（x ∈［－π，0］）的单调递减区间是_____..三、解答题.86.（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图4—3所示.求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标.87.（2002全国文，17）如图4—4，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.图4— 3图4—4答案解析1.答案：D解析：因为函数g （x ）=cos x 的最大值、最小值分别为1和－1.所以y =31cos x －1的最大值、最小值为－32和－34.因此M +m =－2.2.答案：D解析一：因为A <C .在△ABC 中，大角对大边.因此c >a ，即2R sin C >2R sinA.所以sin C >sin A .解析二：利用特殊情形.因为A 、B 、C 为△ABC 的三个内角.因此，存在C 为钝角的可能，而A 必为锐角.此时结论仍然正确.而cos A 、tan A 、cot A 均为正数，cos C 、tan C 、cot C 均为负数.因此B 、C 、D 均可排除.解析三：作差sin A －sin C =2cos2C A +·sin 2CA -，A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，又A <C .因此0<A +C <π，0<2C A +<2π，－π<A －C <0，－2π<2C A -<0.所以cos 2C A +>0，sin 2CA -<0，可得sin A <sin C . 评述：本题入口较宽，做为考查三角函数的基本题，有一定的深刻性，尤其是被选项的设计隐藏着有益的提示作用.为观察、思考能力强的考生提供了快速解题的可能性.本题在考查基础知识的同时，考查了逻辑思维能力及灵活运用知识解题的能力.3.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －2π）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.4.答案：A解析：因为f （x ）=sin 2x －（32）|x |+||||)32(2cos 21121)32(22cos 121x x x x --=+--=.显然f (x )为偶函数.结论①错.对于结论②,当x =1000π时,x >2003，sin 21000π=0,∴f （1000π）=21)32(211000<-π，∴结论②是错误的. 又－1≤cos2x ≤1，－21≤1－21cos2x ≤23，∴1－21cos2x －（23）|x |<23，结论③错.f （x ）=sin 2x －（32）|x |+21中，sin 2x ≥0，－（32）|x |≥－1,∴f （x ）≥－21.所以A 选项正确.评述：本题考查了三角函数的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径. 5.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 6.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 7.答案：A解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间. 8.答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7） 9.答案：C解析：解不等式f （x ）cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 10.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2π，π）上为增函数. B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2π，π）上为减函数.C 项：函数y =cos x 在(2π，π)区间上为减函数,数y =（31）x 为减函数.因此y =（31）cos x 在（2π，π）区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间（2π，π）上为增函数.11.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数.图4— 5 图4—812.答案：A解析：由1cot 21cot +-θθ＝1解得：tan θ＝－21，∴cos2θ＝53411411tan 1tan 122=+-=+-θθ 13.答案：A 解析：由1cot 21cot +-θθ＝1，解得：tan θ＝－21∴54411212tan 1tan 22sin ,53tan 1tan 12cos 222-=+⋅-=+==+-=θθθθθθ， ∴3541532sin 12cos =-=+θθ14.答案：C解析：∵f （x ）=2sin x （x ∈R ，x ≠k π+2π，k ∈Z ），∴f （x ）的最小正周期为2π.故应选C.评述：本题重点考查二倍角公式及sin x 的周期性.15.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B. 16.答案：B解析：∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号.当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B. 17.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.18.答案：A 解析：∵a ＝2sin （α＋4π），b ＝2sin （β＋4π），又4π＜α＋4π＜β＋4π＜2π.而y ＝sin x 在［0，2π］上单调递增，∴sin （α＋4π）＜sin （β＋4π）.即a ＜b .19.答案：A解析：根据反函数的值域应为原函数的定义域［－π，0］， ∴B 、C 、D 都被排除，A 正确． 20.答案：A 解析：由y =3sin （321π+x ）得，振幅A =3，周期T =4π. 评述：本题主要考查形如y =A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0）的振幅和最小正周期的概念，以及最小正周期的计算公式. 21.答案：B解析：221221)4sin(221cos sin 21+=-≤+++++=πx x x y . 22.答案：A解析：y ＝sin x ＋cos x ＋2＝2sin （x ＋4π）＋2.∴y min ＝2－2.23.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A 、C ，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.24.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当 x ∈（0，2π）时，y ＝－x cos x ＜0.25.答案：C 解析：y ＝sin （x ＋2π）＝cos x ，（x ∈［－2π，2π］），由余弦函数的性质知，y ＝cos x 为偶函数.26.答案：D解法一：取特殊情况，若α＝β，则0＜α＜4π，0＜tan α＜1，0＜1－tan 2α＜1.∵21tan （α＋β）＝21tan2α＝2tan tan tan 1tan 2βαααα+=>-.解法二：∵α＋β＜2π，∴α＜2π－βtan α在［0，2π)上是增函数，∴tan α＜tan （2π －β）＝cot β，∴tan αtan β＜tan β·cot β＝1，∴A 正确. 其他同解法一 27.答案：D解析：如图4—9，由题意知，31πr 2h ＝61R 2h ， ∴r =2R，又△ABO ∽△AO C ，∴R OA OA r =， ∴OA 2＝r ·R ＝44221cos ,2,2===R OA R OA R θ.28.答案：D 解析：由tan （x +3π）=3，得x +3π=k π+3π（k ∈Z ），∴x =k π（k ∈Z ）.评述：本题考查判断命题正确性的能力以及考查三角函数的定义，已知三角函数值求角等知识和方法.29.答案：C图4—9解法一：由已知得M ＞0，－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k π（k ∈Z ），故有g （x ）在［a ，b ］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx ＋ϕ＝2k π时g （x ）可取到最大值M ，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，ϕ＝0，区间［a ，b ］为［－2π，2π］，M ＝1，则g （x ）为cos x ，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin （ωx ＋ϕ）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.30.答案：B解法一：取α＝±3π，±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈（－2π，0），再由tan α＞cot α得:α∈（－4π，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.31.答案：B解析：取f （x ）=cos x ，则f （x ）·sin x =21sin2x 为奇函数，且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 32.答案：D解析：sin600°=sin （600°－720°）=sin （－120°）=－22. 评述：本题主要考查诱导公式及特殊角三角函数值. 33.答案：B解法一：P （sin α－cos α，tan α）在第一象限，有tan α＞0， A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝3π∈（2,4ππ），验证知P 在第一象限，排除A 、C ，取α＝65π∈（43π，π），则P 点不在第一象限，排除D,选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分，又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π，故选B.评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.34.答案：B解析：y =cos 22x －sin 22x =cos4x ，T =2π.35.答案：B解析：设sin α，cos α，1成等比数列，则1－sin 2α＝sin α，解得sin α＝215-或图4—10sin α＝215--（舍）∴α＝arcsin 215-，故应选B.评述：本题综合考查了直角三角形的性质、等比数列、三角变换、反三角方程等知识，构造方程求解为常规解法.36.答案：C解析：b sin A +a ·（－sin B ）=2R sin B sin A －2R sin A sin B =0.评述：本题考查判定两条直线垂直的充分条件以及正弦定理. 37.答案：B解析：y =cos 2x －3cos x +2=（cos x －23）2－41.所以cos x =1时，y 的最小值为y =12－3·1+2=0. 评述：本题主要考查三角函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域、配方法等.38.答案：B 解析：y ＝sin （3π－2x ）＋cos2x ＝sin （3π－2x ）＋sin （2π＋2x ）＝2sin125πcos （2x ＋12π）,显然函数的最小正周期为π，故选B.评述：本题考查了和差化积公式和函数最小正周期的求法. 39.答案：A解析：y ＝tan （3121-x π）＝tan 21（x －32π），显然函数周期为T ＝2π，且x ＝32π时，y =0，故选A. 评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.40.答案：D 解析：α∈［2,4ππ)⇒tan α≥1，cot α≤1⇒tan α≥cot α.41.答案：D 解析：sin α=－2524，α是第三象限角⇒cos α=－257⇒tan 34sin cos 12-=-=ααα. 评述：本题主要考查半角公式、同角三角函数的关系和象限角.42.答案：B 解析：当2k π－2π≤x +4π≤2k π+2π，k ∈Z 时，函数单调递增.解得2k π－43π≤x ≤2k π+4π，k ∈Z .显然当x ∈［0，4π］时，函数单调递增. 43.答案：D解析：由已知f （x ）=2sin （x ＋3π），－6π≤x ＋3π≤65π，故－1≤f （x ）≤2，所以选D. 评述：本题考查了两角和的正弦公式和自变量在给定区间上函数最值的求法. 44.答案：A 解法一：取α＝4π满足0＜α＜2π，则原式＝arcsin （－22）＋arccos （－22）＝2π，故选A.解法二：arcsin ［cos （2π＋α）］＋arccos ［sin （π＋α）］＝arcsin （－sin α）＋arccos （－sin α）＝－arcsin （sin α）＋π－arccos （sin α） ＝－α＋π－arccos ［cos （2π－α）］＝－α＋π－（2π－α）＝2π，所以选A.评述：本题主要考查反三角函数的基础知识，概念性强，对观察、判断能力要求高. 45.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0，所以2k π+2π<2x <2k π+23π，k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π，k ∈Z （注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0）.解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ，sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47π（k ∈Z ），2k π+45π<x <2k π+47π可写作（2k +1）π+4π<x <（2k +1）π+43π，2k 为偶数，2k +1为奇数，不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π，n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用. 46.答案：B 解析：由已知得2x ＋3π＝3π＋k π（k ∈Z ），x ＝2πk （k ∈Z ），x ＝0，2π，π，23π.故选B. 47.答案：Ass 解法一：由已知得：2 sin （x －4π）≤0，所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π，2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π，令k =－1得－43π≤x ≤4π，选A.解法二：取x ＝32π，有sin 2132cos ,2332-==ππ，排除C 、D ，取x ＝3π，有sin 3π＝213cos ,23=π，排除B ，故选A.解法三：设y ＝sin x ，y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A. 解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x ≤cos x ，显然应是图中阴影部分，故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.48.答案：C解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43）图4—11图4—12所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.49.答案：A解法一：将原式配方得（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ＝95于是1－21sin 22θ＝95，sin 22θ＝98，由已知，θ在第三象限， 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝322，故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π，有4k π＋2π＜4k π＋3π（k ∈Z ），知sin2θ＞0，应排除B 、D ，验证A 、C ，由sin2θ＝322，得2sin 2θcos 2θ＝94，并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得（sin 2θ＋cos 2θ）2＝1成立，故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.50.答案：C 解析：y ＝sin 2x ＝22cos 1x-，显然cos2x 为偶函数且最小正周期为π 51.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，表明：当x =－8π时，函数取得最大值12+a ，或取得最小值－12+a ,所以有［sin （－4π）+a ·cos （－4π）］2=a 2+1，解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式.52.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2k π＋2π＜θ＜2k π＋π（k ∈Z ），即2θ为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π，k π＋4π＜2θ＜图4—13k π＋2π，k 为奇数时，2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23π（n ∈Z ）； k 为偶数时，2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2π（n ∈Z ），都有tan2θ＞cot 2θ，选A. 评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.53.答案：D解析：y =sin2x ·cos2x =21sin4x ，因此周期为2π. 54.答案：B解析：曲线C ：y =cos x ，利用移轴公式：⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=22ππy y x x C ：y ′－2π=cos （x ′+2π）⇒C ：y ′=－sin x ′+2π. 评述：本题主要考查移轴公式和三角函数的诱导公式.55.答案：π解析：因为y =sin2x +1，利用T =22π=π.因此，周期T =π. 56.答案：二解析：因为点P （tan α，cos α）在第三象限，因此有⎩⎨⎧<<0cos 0tan αα，tan α<0⇒α在二、四象限，cos α<0⇒α在二、三象限（包括x 轴负半轴），所以α为第二象限角.即角α的终边在第二象限.57.答案：（0，2π）解析：∵20>10，∴lg20>lg10=1，∴对数函数单调递增.又（lg20）2cos x >1=（lg20）0. ∴2cos x >0⇒x 在一、四象限（包括x 轴正半轴），又x ∈（0，π）.所以原不等式的解为 （0，2π）.58.答案：2csc α解析：f （cos α）＋f （－cos α）＝2cot 2tan cos 1cos 1cos 1cos 1αααααα+=-+++-＝ααααααααααcsc 2sin 2112cos2sin2cos 2sin 2sin2cos 2cos2sin22==+=+59.答案：－2627 解析：∵cos （θ＋4π）＝cos θcos4π－sin θsin4π又∵θ∈（π，23π），cos θ＝－1312 ∴sin θ＝－135∴原式＝－1312×26272213522-=⨯+ 60.答案：－33解析：∵sin2α＝－sin α ∴2sin αcos α＝－sin α ∴sin α（2cos α＋1）＝0 ∴α∈（2π，π）∴sin α≠0∴2cos α＋1＝0 ∴cos α＝－21 ∴α＝32π ∴cot α＝－3361.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴f （x ）在［0，3π］区间上为单调递增函数∴f （x ）max ＝f （3π）即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4362.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos 56π＜0，tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时，tan x ＞x ＞sin x ＞0∴tan52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π 63.答案：4π、43π、 (4)π（2k ＋1）（k ∈Z ） 解析：∵f （x +t ）=sin2（x ＋t ）＝sin （2x ＋2t ）又f （x +t ）是偶函数∴f （x +t ）=f （－x +t ）即sin （2x ＋2t ）＝sin （－2x ＋2t ）由此可得2x +2t =－2x +2t +2k π或2x +t =π－（－2x ＋2t ）＋2k π（k ∈Z ）∴t ＝412+k π（k ∈Z ） 64.答案：－33解析：∵sin α=cos2α，∴sin α=1－2sin 2α⇒2sin 2α+sin α－1=0，∴sin α=21或－1，又2π<α<π，∴sin α=21，∴α=65π，∴tan α=－33. 评述：本题侧重考查二倍角公式以及三角函数值在各象限内的变化规律. 65.答案：692解析：由sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1可得1－cos 2α+1－cos 2β+1－cos 2γ=1， 即cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，由公式a 2+b 2+c 2≥33222c b a ⋅⋅等号成立条件为a 2=b 2=c 2.因此cos 2α·cos 2β·cos 2γ≤（3cos cos cos 222γβα++）3=（32）3，所以cos α·cos β·cos γ≤692（等号成立条件为cos α=cos β=cos γ）.故cos αcos βcos γ的最大值为692. 66.答案：2π 解析：y =2cot cos 1sin xx x =-，∴周期T =2π.评述：本题考查半角公式和三角函数的周期性. 67.答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2π+k π（k ∈Z ）解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数.当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数.当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，f （x ）=cos x ，或当ϕ=2k π－2π，k ∈Z 时，f （x ）=－cos x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零.所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.评述：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分.68.答案：－257 解析：sin （2π＋α）＝53即cos α＝53，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－25769.答案：60°解析：2sin 2A ＝3cos A ，2（1－cos 2A ）＝3cos A ，（2cos A －1）（cos A ＋2）＝0， ∴cos A ＝21，A ＝60°. 70.答案：T ＝3 71.答案：π解析：∵y =2sin x cos x －2sin 2x +1=sin2x －2·22cos 1x -+1=sin2x +cos2x =2sin （2x +4π），∴该函数的最小正周期是π.72.答案：［3,65ππ--］ 解析：因为f （x ）=2sin （2x +6π）单调递减.所以2π+2k π≤2x +6π≤23π+2k π，k ∈Z ，6π+k π≤x ≤23π+k π，k ∈Z ，又x ∈［－π，0］，令k =－1，得－65π≤x ≤－3π. 73.答案：5 解析：y ＝a +4sin （x ＋ϕ）＋4在x ∈R 时，y min ＝4－a +4而4－a +4＝1解得a ＝5.74.答案：②③解析：①由f （x ）=0有2x +3π＝k π（k ∈Z ），得x =2πk －6π，令k ＝0、1，有x 2＝ －6π，x 1＝2π－6π，则x 1－x 2＝2π，故命题①不正确；②利用诱导公式知正确；③对称点坐标满足关系式③知正确；④在对称轴处的纵坐标应为最值.综上知，②、③正确.75.答案：21 解析：f （x ）=23sin2x －2cos2x －2=25sin （2x －ϕ）－2， 其中tan ϕ=34.∴f （x ）max =21. 评述：本题考查y =a sin x +b cos x 的最值问题.只需要关注22b a +即可.76.答案：21 解析：f （x ）=23sin2x －1，f （x ）max =23－1=21. 77.答案：8解析一：因为sin2x =21，x ∈［－2π，2π］，∴2x ∈［－4π，4π］，∴2x =6π，65π，6π+2π，65π+2π，6π－2π，65π－2π，6π－4π，65π－4π;∴x =12π，125π，1213π，1217π，－1211π，－127π，－1223π，－1219π.故有8个解.解析二：因为f （x ）=sin x =21时，在一个周期内有两个角与21相对应.而y =sin2x 的周期为π，而区间［－2π，2π］的长度为4π，故应有8个解.评述：本题考查应用周期性分析问题解决问题的能力.78.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin3230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 79.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.80.答案：－43解析：y ＝sin （x －6π）cos x ＝21［sin （2x －6π）－sin 6π］＝21［sin （2x －6π）－21］当sin （2x －6π）＝－1时，函数有最小值，y 最小＝21（－1－21）＝－43.评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 81.答案：［2,23ππ-］ 解析：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin （42π+x ），当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2π（k ∈Z ）时，函数递增，此时4kπ－23π≤x ≤4k π＋2π（k ∈Z ），只有k ＝0时，［－23π，2π］（－2π，2π）. 82.答案：3解析：y =2cos （x +6π）·cos （－6π）=3cos （x +6π），∴y max =3.83.答案：2－1解析：y ＝sin2x －（1＋cos2x ）＝2sin （2x －4π）－1，因为|sin （2x －4π）|＜1，所以y 最大值＝2－1.84.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ，cot θ便可求了，为此先求出sin θ－cos θ的值.将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251， 即（sin θ－cos θ）2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51，θ∈（0，π） 则2π＜θ＜43π，如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57，于是 sin θ＝54，cos θ＝－53，cot θ＝－43.解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－2512，又θ∈（0，π），有cos θ＜0＜sin θ，且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根，故有cos θ＝－53，sin θ＝54，得cot θ＝－43. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.85.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠42π+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠42ππ+k ，k ∈Z }因为f （x ）的定义域关于原点对称，且f （－x ）=xx x x x x 2cos 1cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=-+---=f （x ） 所以f （x ）是偶函数. 又当x ≠42ππ+k （k ∈Z ）时， f （x ）=1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(2cos 1cos 5cos 622224-=--=+-x xx x x x x . 所以f （x ）的值域为{y |－1≤y <21或21<y ≤2}. 评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.图4—1486.解：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x +ϕ）又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）. 根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π,(k ∈Z )或421π+x =2k π+32π（k ∈Z ）∴x =4k π+6π（k ∈Z ）或x =4k π+65π（k ∈Z ）. ∴所有交点坐标为（4k π+3,6π）或（4k π+3,65π）（k ∈Z ）87.解：（1）由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）.（2）图中从6时到14时的图象是函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b 的半个周期的图象， ∴21·ωπ2＝14－6，解得ω＝8π.由图示，A ＝21（30－10）＝10，b ＝21（30＋10）＝20. 这时y =10sin （8πx ＋ϕ）＋20.将x =6，y =10代入上式，可取ϕ＝43π. 综上，所求的解析式为y =10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6，14］ 88.解：因为A 、B 、C 成等差数列，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120° 从而2CA +＝60°，故tan 32=+C A .由两角和的正切公式， 得32tan2tan 12tan 2tan=-+C A CA . 所以,2tan 2tan 332tan 2tanC A C A -=+ 32tan 2tan 32tan 2tan=++CA C A . 89.解：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，由原式得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0 ⇔2cos 2α（2sin 2α＋sin α－1）＝0⇔2cos 2α（2sin α－1）（sin α＋1）＝0，∵α∈（0，2π），∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0， ∴2sin α－1＝0，即sin α＝21. ∴α＝6π，∴tan α＝33 90.解：cos （2α＋4π）＝cos2αcos4π－sin2αsin4π＝22（cos2α－sin2α）. ∵47443ππαπ<+≤，cos （α＋4π）＞0，由此知47423ππαπ<+<， ∴sin （α＋4π）＝－54)53(1)4(cos 122-=--=+-πα.从而cos2α＝sin （2α＋2π）＝2sin （α＋4π）cos （α＋4π）＝2×（－54）×53＝－2524，sin2α＝－cos （2α＋2π）＝1－2cos 2（α＋4π）＝1－2×（53）2＝257.∴cos （2α＋4π）＝22×（－2524－257）＝－50231.91.解：ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++ =2sin αcos α，∴k =2sin αcos α. 而（sin α－cos α）2=1－2sin αcos α=1－k .又4π<α<2π，于是：sin α－cos α>0，所以sin α－cos α=k -1.92.解：∵S ＝21ab sin C ，∴sin C ＝23，于是∠C ＝60°或∠C ＝120° 又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，当∠C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－ab ，c ＝21 当∠C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2＋ab ，c ＝61∴c 的长度为21或61评述：本题考查三角函数中角的多值性及余弦定理等基本知识.93.解：y =1+sin2x +2cos 2x =sin2x +cos2x +2=2sin （2x +4π）+2.故最小正周期为π.94.解：如图4—15，连结BD ，则四边形面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝21AB ·AD sin A ＋21B C ·C D sinC ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝21（AB ·AD ＋B C ·CD ）·sin A ＝16sin A 由余弦定理：在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2·2·4cos A ＝20－16cos A 在△CDB 中，BD 2＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C 又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－21， ∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝83.95.解：（1）解方程组⎩⎨⎧=-=+1sin cos 1cos sin 2222θθθθy x y x ，得⎩⎨⎧-=+=θθθθsin cos cos sin 22y x 故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为⎩⎨⎧>->+0sin cos 0cos sin θθθθ，（0<θ<2π）⇔0<θ<4π.（2）设四个交点的坐标为（x i ，y i ）（i =1，2，3，4），则：x i 2+y i 2=2cos θ∈（2，2）（i =1，2，3，4）.故四个交点共圆，并且这个圆的半径r =2cos θ∈（2,24）.评述：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查.96.证明：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B .整理得 cAb B ac b a c o s c o s 222-=-. 依正弦定理，有CBc b C A c a s i n s i n ,s i n s i n ==， ∴CB AC A B B A c b a sin )sin(sin cos sin cos sin 222-=-=- 评述：本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能. 97.解：（1）y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1 ＝41（2cos 2x －1）＋41＋43（2sin x cos x ）＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45图4—15＝21（cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π）＋45＝21sin （2x ＋6π）＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝6π＋k π，k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π，k ∈Z ｝.（2）将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数 y ＝sin （2x ＋6π）的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数 y ＝21sin （2x ＋6π）的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y ＝21sin （2x ＋6π）＋45的图象；综上得到函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象. 评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力. 98.解：（1）y ＝3sin x ＋cos x ＝2（sin x cos6π＋cos x sin6π）＝2sin （x ＋6π），x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π＋2k π，k ∈Z .所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π，k ∈Z ｝（2）变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π，得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝2sin （x ＋6π）的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.99.解：∵sin α=53，α是第二象限角，∴cos α=－54，sin2α=－2524且2k π+43π<α<2k π+π， ∴4k π+23π<2α<4k π+2π.cos2α=257， 故sin （637π－2α）=sin （6π－2α）=)2524(2325721)26sin(--⨯=-απ 32512507+=. 100.解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得sin A ＋sin C ＝2sin B由和差化积公式得2sin 2cos 2C A C A -+＝2sin B 由A ＋B ＋C ＝π，得sin2cos 2B C A =+ 又A －C ＝3π得2cos 23B ＝sin B ∴2cos 2sin 22cos 23B B B = ∵2cos ,220B B π<<≠0 ∴432sin =B ，从而4132sin 12cos 2=-=B B ∴sin B ＝839413432=⨯⨯. 评述：本题考查数列的基本概念、三角函数的基础知识及准确的推理和运算能力.101.解：∵tan 212=α，∴sin α=532tan 12tan 1cos ,544112122tan 12tan 2222=+-==+⋅=+ααααα. ∴sin （α+6π）=sin αcos 6π+cos αsin 6π=10343+. 102.解：∵sin （4π+α）sin （4π－α）=61， ∴sin （4π+α）cos ［2π－（4π－α）］=61， 即sin （4π+α）cos （4π+α）=61， ∴sin （2π+2α）=31，即cos2α=31，∵α∈（2π，π），则2α∈（π，2π）， ∴sin2α=2322cos 12-=-α.于是sin4α=2sin2αcos2α=－924. 103.解：由已知可得B ＝60°，A ＋C ＝120°，,cos cos 22cos cos 22cos 1cos 1cos 2cos 1cos 1C A C A CA B C A -=+⇒-=+⇒-=+ 变形得)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A C A C A -++-=-+ 将cos 2C A +＝cos60°＝21，cos （A ＋C ）＝－21代入上式得 )cos(2222cos C A C A --=-， 将cos 2（A －C ）＝2cos 22C A -－1代入上式并整理得0232cos 22cos 242=--+-C A C A ， 即（2cos 2C A -－2）（22·cos 2CA -＋3）＝0，因为22cos 2CA -＋3≠0，所以2cos 2C A -－2＝0，从而cos 2C A -＝22 评述：本题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.104.解：原式＝21（1－cos40°）＋21（1＋cos100°）＋21（sin70°－sin30°） ＝1＋21（cos100°－cos40°）＋21sin70°－41 ＝43－sin70°sin30°＋21sin70° ＝43－21sin70°＋21sin70°＝43. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力.105.解：由题设sin α＝53，α∈（2π，π）， 可知cos α＝－54，tan α＝－43 又因tan （π－β）＝21，tan β＝－21，所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββ tan （α－2β）＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα. 106.解：因为sin3x ·sin 3x +cos3x cos 3x =（sin3x sin x ）sin 2x +（cos3x cos x ）cos 2x =21［（cos2x －cos4x ）sin 2x +（cos2x +cos4x ）cos 2x ］=21［（sin 2x +cos 2x ）cos2x +（cos 2x －sin 2x ）cos4x ］=21（cos2x +cos2x cos4x ）=21cos2x （1+cos4x ）=cos 32x 所以y =xx 2cos 2cos 23+sin2x =cos2x +sin2x =2sin （2x +4π） 当sin （2x +4π）=－1时，y 取最小值－2.107.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 2121cos cos )sin(x x x x +=)cos()cos()sin(2212121x x x x x x -+++= 因为x 1，x 2∈（0，2π），x 1≠x 2，所以2sin （x 1＋x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1－x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1＋x 2）＋cos （x 1－x 2）＜1＋cos （x 1＋x 2）， 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++， 所以21（tan x 1＋tan x 2）＞tan 221x x + 即21［f （x 1）＋f （x 2）］＞f （221x x +）. 评述：本题考查三角函数的基础知识，三角函数性质和推理能力.。
十年高考理科数学真题 专题四 三角函数与解三角形 十 三角函数的图象与性质及答案
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C5．（2017新课标Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减6．（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13ω=，24ϕ7π=7．（2016北京）将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6π B ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D ．t =，s 的最小值为3π8．（2016山东）函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．32πD ．2π9．（2016全国I ）已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ωϕωϕ=>=-，≤为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 10．（2016全国II ）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈11．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位12．（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(2)2y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x =+13．（2015新课标Ⅱ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈14．（2015安徽）已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+（Α，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是 A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 15．（2014新课标Ⅰ）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③16．（2014浙江）为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数y x =的图像A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位17．(2014安徽)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y轴对称，则ϕ的最小正值是A ．8π B ．4πC ．83πD ．43π18．（2014福建）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭19．（2014辽宁）将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 20．（2013广东）已知51sin()25πα+=，那么cos α=A ．25-B ．15-C ．15D ．2521．（2013山东）将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为A ．34π B ．4πC ．0D ．4π- 22．（2013福建）将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π23．（2012新课标）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π424．（2012安徽）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 25．（2012浙江）把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是26．（2012山东）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为A ．23-B ．0C ．－1D ．13-27．（2012天津）将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．228．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是 A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(29．（2011山东）若函数()sin f x x ω=（ω>0）在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23 B ．32C ．2D ．330．（2011新课标）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称31．（2011安徽）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦32．（2011辽宁）已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πfA ．3B 3C 3D ．23 二、填空题33．(2018北京)设函数π()cos()(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．34．(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_____． 35．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．36．（2016年全国III ）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．37．(2015浙江)函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是________，单调递减区间是_______．38．（2014山东）函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 39．（2014江苏）已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ． 40．（2014重庆）将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 41．（2014安徽）若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________．42．(2013新课标Ⅰ)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ= ． 43．（2013新课标Ⅱ）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________．44．（2013江西）设()cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数a 的取值范围是 ．45．（2013江苏）函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 .46．（2011江苏）函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f = ．47．(2011安徽)设()f x =sin 2cos2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)． 48．（2010江苏）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作1PP ⊥x 轴于点1P ，直线1PP与sin y x =的图像交于点2P ，则线段12P P 的长为 ．49．（2010福建）已知函数()=3sin()(>0)6f x x πωω-和g()=2cos(2+)+1x x ϕ的图象的对称轴完全相同．若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是 ．三、解答题50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若()14f π=，求方程()1f x =ππ-［，］上的解．51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．（1）若∥a b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 52．（2017山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值．53．（2016年天津）已知函数()4tan cos cos()3f x x x x π=-(Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期； (Ⅱ)讨论()f x 在区间[,44ππ-]上的单调性．54．（2015北京）已知函数2()cos 222x x x f x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．55．（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：((Ⅱ)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．56．（2014福建）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．57．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差．58．（2014福建）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (Ⅰ)若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； (Ⅱ)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 59．（2014北京）函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．60．（2014天津）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 61．（2014重庆）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（I ）求ω和ϕ的值； （II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫⎝⎛+23cos πα的值．62．(2013山东)设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π． (Ⅰ)求ω的值； (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值．63． (2013天津)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R ．(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．64．（2013湖南）已知函数()cos cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求2()3f π的值； （2）求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．65．(2012安徽) 设函数2())sin 4f x x x π=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2g x f x =-； 求()g x 在[,0]π-上的解析式． 66．（2012湖南）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．67．（2012陕西）函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值． 专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质答案部分 2019年1.（2019北京9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.22010-2018年1．A【解析】解法一()cos sin )4=-=+πf x x x x ，且函数cos =y x 在区间[0,]π上单调递减，则由04ππ+≤≤x ，得344ππ-≤≤x ． 因为()f x 在[,]-a a 上是减函数，所以434ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，解法二 因为()cos sin =-f x x x ，所以()sin cos '=--f x x x ， 则由题意，知()sin cos 0'=--≤f x x x 在[,]-a a 上恒成立， 即sin cos 0+≥x x)04π+≥x ，在[,]-a a 上恒成立，结合函数)4π=+y x 的图象可知有044πππ⎧-+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤a a ，解得4π≤a ，所以04π<≤a ， 所以a 的最大值是4π，故选A ． 2．A 【解析】把函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度得函数 ()sin[2()]sin 2105g x x x ππ=-+=的图象，由22222k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )得44k x k ππππ-++≤≤(k ∈Z )，令1k =，得3544x ππ≤≤， 即函数()sin 2g x x =的一个单调递增区间为35[,]44ππ，故选A ． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 4．D 【解析】把2C 的解析式运用诱导公式变为余弦，2C ：22sin(2)cos[(2)]cos[(2)]cos(2)32366y x x x x πππππ=+=-+=-+=+ 则由1C 图象横坐标缩短为原来的12，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C ．选D5．D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π，k ∈Z ，所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-，所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+，而3()cos 062g ππ==，C 正确；选D ．6．A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T，所以3T π=或T π=， 又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ； 由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+， 即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ．7．A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(2)3y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin62π=，又1(,)42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或 6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ．8．B 【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ． 9．B 【解析】因为4x π=-为函数()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，所以2π24kT T=+（k Z ∈，T 为周期），得221T k π=+（k Z ∈）．又()f x 在5(,)1836ππ单调，所以11,62T k π厔，又当5k =时，11,4πωϕ==-，()f x 在5(,)1836ππ不单调；当4k =时，9,4πωϕ==，()f x 在5(,)1836ππ单调，满足题意，故9ω=，即ω的最大值为9．10．B 【解析】函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()ππ26k x k =+∈Z ，所以所求对称轴的方程为()ππ26k x k =+∈Z ，故选B ． 11．B 【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位． 12．A 【解析】采用验证法，由cos(2)sin 22y x x π=+=-，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ． 13．D 【解析】由图象可知242m ωπϕπ+=+，32425ωm πϕπ+=+，m Z ∈， 所以,2,4m m Z πωπϕπ==+∈，所以函数()cos(2)cos()44πππππ=++=+f x x m x 的单调递减区间为，224k x k πππππ<+<+，即132244k x k -<<+，k Z ∈．14．A 【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=， ∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<， ∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<．15．A 【解析】①|2|cos x y =，最小正周期为π；②|cos |x y =，最小正周期为π；③)62cos(π+=x y ，最小正周期为π；④)42tan(π-=x y ，最小正周期为2π．最小正周期为π的函数为①②③．16．A 【解析】因为sin 3cos3))412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到)4y x π=-的图象，故选A ．17．C 【解析】())4f x x π=+，将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得()2)4f x x πϕ=+-，由该函数为偶函数可知2,42k k Z ππϕπ-=+∈，即328k ππϕ=+，所以ϕ的最小正值是为38π． 18．D 【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()sin()cos 2f x x xπ=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ； 因为()cos022f ππ==，所以()cos f x x =不关于直线2x π=对称，排除C ；故选D ．19．B 【解析】 将3sin(2)3y x π=+的图象向有右移2π个单位长度后得到 3sin[2()]23y x ππ=-+，即23sin(2)3y x π=-的图象，令2222232k x k πππππ-+-+≤≤，k Z ∈， 化简可得7[,]1212x k k ππππ∈++，k Z ∈， 即函数23sin(2)3y x π=-的单调递增区间为7[,]1212k k ππππ++，k Z ∈， 令0k =．可得23sin(2)3y x π=-在区间7[,]1212ππ上单调递增，故选B ．20．C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C.22．B 【解析】把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=， 所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ， 观察选项，故选B23．A 【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈）， ∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A.24．C 【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2()cos(21)2y x x =+=+． 25．A 【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．26．A 【解析】709,,sin()1,3636263x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤∴-≤-≤max min 2,y y ∴==故选8．27．D 【解析】函数向右平移4π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．28．A 【解析】函数)4sin()(πω+=x x f 的图像可看作是由函数()sin f x x =的图像先向左平移4π个单位得()sin()4f x x π=+的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数()sin()4f x x π=+的减区间是5[,]44ππ，所以要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上是减函数，需满足142514ππωππω⎧⨯⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩≤≥，解得1524ω≤≤． 29．B 【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=． 30．D 【解析】∵()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++)22x x π+=，所以2y x =在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即()2k x k Z π=∈．31．C 【解析】因为当x R ∈时，()|()|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(2)6f x x π=-，由5222262k x k πππππ-+-+≤≤（k Z ∈）， 得263k x k ππππ++≤≤（k Z ∈），故()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）． 32．B 【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8π，所以30tan(2)8A πϕ=⨯+，即34k πϕπ+= ()k Z ∈ 所以3()4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ<，所以4πϕ=， 又图象过定点(0,1)，所以1A =．综上可知()tan(2)4f x x π=+，故有()tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==33．23【解析】由于对任意的实数都有π()()4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故()14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )， 又0ω>，∴min 23ω=． 34．3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．35．π6-【解析】由函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<， 则232ππϕ+=，6πϕ=-．36．32π【解析】函数sin 2sin()3y x x x π==-的图像可由函数sin y x =+2sin()3x x π=+的图像至少向右平移23π个单位长度得到． 37．π、]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)【解析】23)42sin(22)(+-=πx x f ，故最小正周期为π，单调递减区间为]87,83[ππππk k ++ (Z k ∈)．38．π【解析】22cos y x x =+=1112cos 2sin(2)2262y x x x π=++=++，所以其最小正周期为22ππ=． 39．6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．40．2【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin()26f x x π=+的图象，所以=⎪⎭⎫⎝⎛6πf 1sin()sin 2664πππ⨯+==41．38π【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+-∴2()42k k Z ππϕπ-=+∈，∴()82k k Z ππϕ=--∈，当1k =-时min 38πϕ=．42．5-【解析】∵()f x =sin 2cos x x -)x x令cos ϕ=5，sin 5ϕ=-，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+，当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=. 43．56π【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+， 即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++ 5cos(2)6x π=+，即56πϕ=．44．2a ≥【解析】()3cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥． 45．π【解析】2==2T ππ．46A =，741234T πππ=-=，所以T π=，22Tπω==，又函数图象经过点(,0)3π，所以23πϕπ⨯+=，则3πϕ=，故())3f x x π=+，所以(0)3f π==．47．①③【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=++（其中tan b aϕ=），因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111())012126f πππ=⨯+=，所以①正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()|||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故②错；③明显正确；④错误：由函数())6f x x π=+和())6f x x π=+的图象（图略）可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．48．23【解析】线段12P P 的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =，解得sin x =23．线段12P P 的长为23． 49．3[,3]2-【解析】由题意知，2ω=，因为[0,]2x π∈，所以52[,]666x πππ-∈-，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin ()=62π--，最大值为3sin =32π，所以()f x 的取值范围是3[,3]2-．50．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ， 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(2)2cos ()11444πππ=⨯+=+=f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=-f x 222cos 1+=x x222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6π+=x即sin(2)6π+=x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1， 对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．51．【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x = 又[0,]x π∈，所以56x π=．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-52．【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )22x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈．故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-．因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-． 53．【解析】(Ⅰ)()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．()4tan cos cos()3f x x x x π=--4sin cos()3x x π=--14sin (cos )2x x x =+-22sin cos x x x =+-sin 2cos2)x x =+--sin 2x x =-2sin(2)3x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ==． ()II 令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I ． 所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减．54．【解析】（Ⅰ）因为()cos )f x x x =-sin()4x π=+所以()f x 的最小正周期为2π． （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤． 当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值．所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为3()142f π-=--． 55．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 56．【解析】解法一：（Ⅰ）5555()2cos (sin cos )4444f ππππ=+ 2cos(sincos )444πππ=---2=（Ⅱ）因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++.所以22T ππ==. 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 解法二：因为2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（Ⅰ）511()112444f πππ=+=+=．（Ⅱ）22T ππ==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.57．【解析】（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃．（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤．当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-． 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.58．【解析】解法一：(Ⅰ)因为0,2πα<<sin 2α=所以cos 2α=．所以11()()22222f α=+-=． (Ⅱ)因为2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)2224x x x π=+=+, 所以22T ππ==.由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈.解法二：2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)224x x x π=+=+（Ⅰ）因为0,2πα<<sin 2α=所以4πα=从而31()sin(2)24242f ππαα=+== （Ⅱ）22T ππ== 由222,,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈. 59．【解析】：（I ）()f x 的最小正周期为π，076x π=，03y =.（II ）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.60．【解析】（Ⅰ）由已知，有21()cos sin 224f x x x x x 骣÷ç÷=?-+ç÷ç÷ç桫21sin cos 224x x x =?+)1sin 21cos2444x x =-++1sin 24x x =-1sin 223x p 骣÷ç=-÷ç÷ç桫. 所以，()f x 的最小正周期22T pp ==. （Ⅱ）因为()f x 在区间,412p p 轾犏--犏臌上是减函数，在区间,124p p 轾犏-犏臌上是增函数. 144f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，1122f p 骣÷ç-=-÷ç÷ç桫，144f p 骣÷ç=÷ç÷ç桫.所以，函数()f x 在闭区间,44p p 轾犏-犏臌上的最大值为14，最小值为12-.61．【解析】：（I ）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==.又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以2,0,1,2,,32k k ππϕπ⋅+=+=±±L 因22ππϕ-≤<得0k =．所以2236πππϕ=-=-.（II ）由（I ）得22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由263ππα<<得0,62ππα<-<所以cos 6πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭ 因此3cos sin sin 266πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1142428⨯+=．62．【解析】(1)()f x ＝22ωx －sin ωx cos ωx1cos 21sin 222x x ωω--ωx －12sin 2ωx ＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 又ω＞0，所以2ππ=424ω⨯．因此ω＝1． (2)由(1)知()f x ＝πsin 23x ⎛⎫--⎪⎝⎭．当π ≤x ≤3π2时，5π3≤π8π233x -≤．所以πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因此－1≤()f x ≤2．故()f x 在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1．63．【解析】(1)()f x ＝sin 2x ·ππcossin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以，()f x 的最小正周期T ＝2π2＝π． (2)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．又f (0)＝－2，3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为－2． 64．【解析】(1)41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos (cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以． （2）由（1）知，111()sin(2)sin(2)0(2)(2,2)264466f x x x x k k ππππππ=++<⇒+<⇒+∈- .),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：65．【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=++=-+- 11sin 222x =-． （I ）函数()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-=．当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈,11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈,11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩．66．【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==． 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即．又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+Q 从而，即=6πϕ． 又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-sin 22x x =-2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 67．【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=． 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+．（Ⅱ）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=．。
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真
题 2008-17．（10分）
设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5
a B
b A
c -=
． （Ⅰ）求tan cot A B 的值；
（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 2009-17．（10分）
在∆ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知
222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，
求b. 2010-17( 10分)
已知ABC V 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．
2012-17（12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c +--=
（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c 。
2013-18．(12分)
设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .
(1)求B ； (2)若sin A sin C ＝14
，求C . 2016-17（12分） ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II ）若c ABC =，求ABC 的周长 2017-17．（12分）
△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin sin B C ;
（2）若6cos cos 1,3B C a ==,求△ABC 的周长
答案
2008-17
解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c -=
可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555
A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；
（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B => 当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22
B B B A ==
=时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. 2009-17
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理
有:2222223,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得
40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。
所以2cos 2b c A =+…………………………………①
又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C = 由正弦定理得sin sin b
B C c =，故4cos b c A =………………………②
由①，②解得4b =。
2010-17
解：
由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得 从而sin cos cos sin cos sin sin cos 4444A A B B π
ππ
π
-=-
又0A B π<+< 故44A B π
π
-=- 所以2C π
=
2012-17
（1）由正弦定理得：
（2）1
sin 42S bc A bc ==⇔=
解得：2b c ==（l fx lby ）
2013-18
解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .
由余弦定理得cos B ＝222
1
22a c b ac +-=-，
因此B ＝120°.
(2)由(1)知A ＋C ＝60°，
所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝
1+22=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，
因此C ＝15°或C ＝45°.
2016-17
（I ）由2cos (cos cos )C a B+b A c =得2cos (cos cos )sin C sinA B+sinB A C =，即1c o s 2
C =，又(0,)C π∈，3C π
∴=；
（II ）2271cos 22a b C ab +-==， 1sin 2ABC S ab C ==，6ab ∴=，2213a b +=
5a b ∴+==，所以ABC 的周长为5【试题评析】解三角形主要考察三大定理：正弦定理、余弦定理、内角和定理，采用的策略是化统一：统一成纯边或纯角问题即可，可概括为一句话：“三大定理化一统”，与数列轮流放在第17题考察，难易程度：中等偏易. 2017-17
（1）由三角形面积公式知：
由正弦定理知：
（2）()()()121cos cos cos cos cos sin sin 632
A B C B C B C B C π=-+=-+=-+=-+=
由（1）得
由余弦定理知：
222cos 2b c a A bc +-=，即2219216b c +-=
∴ABC ∆周长为3+。