3.2等差数列的性质
等差数列的性质与公式
等差数列的性质与公式等差数列是数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数学模型，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍等差数列的性质与公式，并探讨其在代数、几何等领域中的应用。
一、等差数列的定义等差数列可以用下列形式表示：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...其中，a是首项，d是公差。
首项代表数列中的第一个数，公差代表相邻两项之间的差值。
二、等差数列的性质1. 通项公式等差数列的第n项可以用通项公式表示：an = a + (n-1)d其中，an代表等差数列的第n项，a是首项，d是公差。
2. 求和公式等差数列的前n项和可以用求和公式表示：Sn = (n/2)(a + an)其中，Sn代表等差数列的前n项和，a是首项，an是第n项，n代表项数。
3. 公差与项数的关系对于等差数列，项数与公差的关系可以表示为：n = (an - a)/d + 1其中，n代表项数，a是首项，an是第n项，d是公差。
4. 等差中项等差数列中的中项可以表示为：a + (n-1)(d/2)其中，a是首项，n代表项数，d是公差。
5. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：(1) 等差数列的任意三项成等差数列；(2) 等差数列对任意项数取整后仍为等差数列；(3) 等差数列的倒序也为等差数列；(4) 等差数列的前n项和等于后n项和。
三、等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在代数和几何领域中。
1. 代数应用(1) 等差数列可用于解决各种代数问题，如数列的推导、求和等问题。
(2) 等差数列可用于建立各种代数方程，进而解决实际问题。
2. 几何应用(1) 等差数列可用于几何问题，如等差中项问题、等差数列构成的图形问题等。
(2) 等差数列可用于建立几何方程，求解各种几何问题。
3. 统计应用(1) 等差数列可用于统计学中的各种模型建立与应用。
(2) 等差数列可用于数理统计、经济学等领域的数据分析。
等差数列的性质
等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
在数学中，等差数列具有许多重要的性质和特点。
本文将从等差数列的定义、通项公式、前n项和以及应用等方面进行论述，以帮助读者全面了解等差数列的性质。
一、等差数列的定义等差数列是指在数列中，任意两个相邻的项之间的差保持不变。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的通项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
二、通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差，可以求得任意一项的数值。
对于等差数列来说，通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d。
三、前n项和等差数列的前n项和是指数列中前n个项的和。
使用等差数列的前n项和可以快速计算出数列的和。
对于等差数列来说，前n项和的公式可以表示为：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sₙ表示前n项和。
四、等差数列的性质1. 共线性：等差数列的图像上的点都在一条直线上，这是等差数列的一个重要特点。
2. 等差性：数列中相邻两项之差保持不变，即每一项与它的前一项之差等于公差d。
这个性质使得等差数列的计算更加简便。
3. 对称性：等差数列以其中间的项为对称轴，对称轴两边的元素之和相等。
4. 递推性：等差数列的每一项可以通过前一项的值加上公差得到。
五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学和实际生活中。
以下是一些常见的等差数列应用场景：1. 增长和衰减问题：等差数列可以应用于描述某一变量的增长或衰减过程，如财富的积累、人口的增长等。
2. 等距离问题：等差数列可以应用于描绘等距离问题，比如车辆在匀速行驶时的位置变化、航空飞行中的高度变化等。
3. 资金管理问题：等差数列可以应用于资金管理问题中，如每月存入固定金额的储蓄计划、还款计划等。
4. 数字排列问题：等差数列可以应用于数字排列问题中，如排队的位置、打印机打印的顺序等。
总结：等差数列作为一种常见的数列形式，在数学和实际生活中都发挥着重要作用。
3.2等差数列(第1课时)
④若{an}是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m (m∈N*)也成等差数列.
其中正确的命题是 命题的序号).
②③④ (填上正确
①中若数列各项为零时不满足； ②③④都是等差数列的性质.
题型1：a1，d，an，n，Sn中“知三求二” 1. 等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知 a10=30，a20=50. (1)求通项公式an; (1)由an=a1+(n-1)d，a10=30， a20=50， a1=12 得方程组 a1+9d=30 a1+19d=50，解得 d=2. 所以an=2n+10.
=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an
=Sn-2S5=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40.
所以Tn= 9n-n2(n≤5)
n2-9n+40(n≥6).
【点评】：公差不为零的等差数列的前n 项的和是关于n的二次函数(常数项为0)，反之 也成立.因为和式是二次函数，所以和式有最 大值(或最小值)，求其最值可按二次函数处理， 不过需注意自变量n是正整数.
所以，当n=4或5时， Sn取最小值-20.
9 2 81 因为Sn (n ) ， 2 4
(3)记数列{|an|}的前n项和为Tn， 求Tn的表达式. 因为当n≤5时，an≤0; 当n≥6时，an＞0， 故当n≤5时，Tn=-Sn=9n-n2；
当n≥6时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|
设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn 是数列{an}的前n项和，且 S23 9S 2，S 4 4S 2， 求数列{an}的通项公式. 设等差数列{an}的公差为d.
高一数学上册 第三章 数列：§3.2.2等差数列优秀课件
得
又由
a2na2n11(1), a2n1a2n3(2),
a1 2,
a 2 3,
得 a2n1a2n14,
a 1 ,a 3 ,a 5 ,a 7 成 等 差 数 列 ,
a 2 n 1 a 1 4 (n 1 ) 4 n 2 .
代 入 ( 1 ) 得 a 2 n a 2 n 1 1 4 n 1 ,
求数列{ a n } 的通项公式.
分析：n 为奇数，说明 n+1 为偶数，即
a 2 a 1 1 ,a 4 a 3 1 ,a 6 a 5 1 ,
n 为偶数，说明 n+1 为奇数，即
a 3 a 2 3 ,a 5 a 4 3 ,a 7 a 6 3 ,
h
9
解：由
a1 a2 5, a2 a1 1
bn
1 an
2
得
an
22(nN*). n
h
5
练习：求下面数列得通项公式
（1）在数列 { a n } 中，a12,anan12an11;
（2）在数列
{
a
n
}
中，a1
1,an1
2an ; an 2
（3）在数列 { b n } 中，b 1 2 ,b n 1 b n b n 1b n .
解：（1） a n a n 1 2a n 1 1 (a n 1 1 )2 , 又 a1 2, a n 0. an an1 1, 即an an1 1.
性质4：设 n N*，则a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 .
性质5：设 c, b 为常数，若数列 { a n } 为等差数列，则数 列 {a n b}及 {can b}为等差数列.
性质6：设 p, q 则数列
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结等差数列是数学中常见的一种数列。
在等差数列中，每个项之间的差均相等，这个差值称为公差。
等差数列具有许多特性和性质，下面将对其进行总结。
首先，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n个项，a1为第一个项，d为公差。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中任意项的值。
其次，等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 +an)，其中Sn为前n项的和。
这个公式可以在求等差数列前n项和时很方便地使用。
等差数列的性质还包括以下几个方面：1. 等差数列中任意三项的中项等于它们的平均数。
对于等差数列中的第m项和第n项，它们的中间项为am+n/2。
例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，中项7 = (1 + 13) / 2 = 7。
2. 等差数列中两项之和等于它们的对称项之和。
对于等差数列中的第m项和第n项，它们的和等于第(m+n)/2项和第(m+n)/2+1项的和。
例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，2+7 = 1+13 = 14。
3. 等差数列中的任意项等于它们的对称项之和的平均数。
对于等差数列中的第m项和第n项，它们的平均数等于第(m+n)/2项。
例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，(2+7)/2 = (1+13)/2 = 7。
4. 等差数列的奇数项和等于偶数项和的一半加上第一个项。
对于等差数列中的第m项和第n项，其中n为奇数，它们的和等于第(n+1)/2项的和加上第一个项。
例如，对于数列1, 4, 7, 10, 13，1+7+13=(3+1)/2 +1 = 11。
5. 等差数列的特殊求和公式。
对于等差数列中的第一个项和公差为1的情况，前n项和等于n(n+1)/2。
例如，数列1, 2, 3, 4, 5的和为5(5+1)/2 = 15。
最后，等差数列广泛应用于数学和实际生活中。
在数学中，等差数列常用于推导与证明其他数学公式和理论。
在实际生活中，等差数列可以用来表示一些具有规律性的变化，如时间序列、成绩排名等。
【精品含答案】高考一轮复习3.2等差数列及其性质基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习3.2等差数列及其性质基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2007·海南·宁夏高考）已知{}n a 是等差数列，10a 10=，其前10项和70S 10=，则其公差=d （ ）（A ）32- （B ）31- （C ）31 （D ）322. 已知数列{}n a ，“对任意的*N n ∈，点)a ,n (P n 都在直线2x 3y +=上”是“{}n a 为等差数列”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.（2008·乐山模拟）在等差数列{}n a 中，已知6a a a 1131=++，那么=9S （ ） （A ）2 （B ）8 （C ）18 （D ）364. 等差数列{}n a 共有2n 项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且33a a 1n 2-=-，则该数列的公差为（ ）（A ）3 （B ）3- （C ）2- （D ）1- 5. 已知等差数列{}n a 的前20项的和为100，那么147a ·a 的最大值为（ ） （A ）25 （B ）50 （C ）100 （D ）不存在6.（2007·湖北高考）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且3n 45n 7B A n n ++=，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） （A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5第Ⅱ卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
把答案填在中横线上）7. 已知数列的通项2n 5a n +-=，其前n 项和为n S ，则_______n Slim 2n n =∞→。
等差数列的性质
等差数列的性质等差数列是数学中常见的一种数列，它的每个元素与前一个元素之间的差值都相等。
在这篇文章中，我们将讨论等差数列的性质，包括计算方法、公式推导以及应用领域的例子。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差相等。
一般地，等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an是第n项，a1是首项，d是公差，n为项数。
二、等差数列的性质1. 公差d的计算为了计算等差数列的公差，我们可以利用任意两项之间的差值。
例如，已知某等差数列的第3项与第5项分别为8和16，我们可以计算公差d的值：16 - 8 = 8 = 2d因此，公差d=4。
2. 各项之和的计算等差数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示前n项的和。
3. 第n项的计算公式an = a1 + (n-1)d可以用于计算等差数列的第n项。
4. 等差中项的计算等差数列中项指的是位于首项和末项中间的某个项。
我们可以利用以下公式计算中项的值：中项 = (首项 + 末项) / 2三、等差数列的应用举例等差数列在现实生活和数学问题中具有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 数字排列游戏在数字排列游戏中，参与者需要根据等差数列的性质来猜测下一个数字是什么。
通过观察前几项的差值，他们可以推测出公差，进而推测出后续的数字。
2. 财务规划在财务规划中，等差数列可以帮助我们计算未来几年的预算。
例如，如果我们知道每年的支出都以固定的增加速度递增，那么我们可以利用等差数列的性质来计算每年的支出情况。
3. 等差数列和等差平均数等差数列的和以及等差平均数在数学中有重要的应用。
通过计算等差数列的和，我们可以得到一段数列的总和；而等差平均数则是将总和除以项数，得到的是数列的平均值。
四、结论等差数列是一种常见的数学概念，具有明确的计算方法和性质。
通过理解和应用等差数列的性质，我们能够更好地解决实际问题并进行数学推导。
初中数学知识归纳等差数列的性质与计算
初中数学知识归纳等差数列的性质与计算等差数列是初中数学中的基本概念之一，本文将对等差数列的性质与计算进行归纳总结。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项为an=a+(n-1)d。
2. 等差数列的性质2.1 公差公差是等差数列中相邻两项之间的差值。
对于等差数列an=a+(n-1)d，d即为公差。
公差可以为正、负、零，正表示数列递增，负表示数列递减，零表示数列的所有项相等。
2.2 通项公式等差数列的通项公式是指可以通过首项和公差计算出数列的任意一项的公式。
设首项为a，公差为d，第n项为an，则通项公式为an=a+(n-1)d。
2.3 前n项和公式等差数列的前n项和公式指的是可以通过首项、公差和项数计算出数列前n项和的公式。
设首项为a，公差为d，项数为n，前n项和为Sn，则前n项和公式为Sn=(2a+(n-1)d)n/2。
2.4 数列长度等差数列的长度指的是数列中的项数。
设首项为a，公差为d，项数为n，则数列的长度即为n。
3. 等差数列的计算3.1 求任意一项已知等差数列的首项a和公差d，要求第n项an，可以使用通项公式an=a+(n-1)d进行计算。
3.2 求前n项和已知等差数列的首项a、公差d和项数n，要求前n项和Sn，可以使用前n项和公式Sn=(2a+(n-1)d)n/2进行计算。
3.3 求项数已知等差数列的首项a、公差d和前n项和Sn，要求项数n，可以通过前n项和公式Sn=(2a+(n-1)d)n/2求解方程，解得项数n。
4. 等差数列的应用4.1 连续整数连续整数是一种特殊的等差数列，其中的公差为1。
例如，1，2，3，4，5就是一个连续整数的等差数列。
4.2 等差中项等差中项是指等差数列中位于首项和末项之间的数。
设首项为a，末项为l，中项为m，则m=(a+l)/2。
4.3 等差数列的性质应用等差数列的性质可以应用于解决一些实际问题，例如物理、经济等领域的变化规律。
等差数列的推理与证明
等差数列的推理与证明一、等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义：等差数列是一个数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
1.2 等差数列的性质：（1）等差数列的任意两项之差等于它们下标之差乘以公差；（2）等差数列的任意一项都可以用它的首项和公差表示；（3）等差数列的前n项和可以表示为首项与末项的平均值乘以项数。
二、等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差，n表示项数。
三、等差数列的证明方法3.1 数学归纳法：（1）证明等差数列的通项公式成立，首先验证n=1时公式成立；（2）假设n=k时公式成立，证明n=k+1时公式也成立。
3.2 反证法：（1）假设等差数列的某一项不满足通项公式，即存在一项an不满足an = a1 + (n - 1)d；（2）通过推导得出矛盾，从而证明假设不成立，即等差数列的每一项都满足通项公式。
四、等差数列的推理与应用4.1 等差数列的推理：根据等差数列的性质，可以推理出数列的任意一项都可以用首项和公差表示，以及前n项和的计算公式。
4.2 等差数列的应用：（1）解决实际问题：例如计算等差数列的前n项和，求等差数列中的某一项等；（2）其他数学问题的解决：例如求等差数列的极限、求等差数列的通项公式的反函数等。
五、等差数列的综合考察5.1 考察等差数列的性质与通项公式的运用；5.2 考察等差数列的推理与证明方法的应用；5.3 考察等差数列在前n项和、极限等方面的综合运用。
总结：等差数列是数学中的一种基本数列，通过学习等差数列的定义、性质、通项公式以及推理与证明方法，可以更好地理解和运用等差数列解决实际问题。
在教学过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力，提高他们对等差数列概念的理解和运用能力。
习题及方法：1.习题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
2014年高考数学模块题型总复习 3.2 等差数列
3.2等差数列1.等差数列的概念若数列{a n }从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则数列{a n }叫等差数列.这个常数叫等差数列的公差,常用字母d 表示,定义的数学表达式为a n-1-a n =d(n ∈N*). 2.等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d,推广:a n =a m +(n-m)d,变式:a 1=a n -(n-1)d,d=11n a a n --=n m a a n m --. 3.等差中项:若a 、b 、c 成等差数列,则b 称a 与c 的等差中项,且b=2a c +,a 、b 、c 成等差数列是2b=a+c 的充要条件.4.等差数列的前n 项和S nS n =1()2n n a a +=na 1+(1)2n n -d=na n -12(n-1)nd,变式:n S n =12n a a + =12n a a a n ++⋯+=a 1+(n-1)·2d =a n +(n-1)·(-2d ). 5.等差数列的性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N*,且m+n=p+q,则对于等差数列有等式a m +a n =a p +a q ;(2)序号成等差数列的项依原序构成的数列,则新数列成等差数列;(3)S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列; (4){n S n}也是一个等差数列; (5)在等差数列{a n }中,若项数为2n,则S 偶-S 奇=nd;若项数为2n-1,则S 奇=na n ,S 偶=(n-1)a n ;(6)等差数列的增减性:d>0时为递增数列,且当a 1<0时,前n 项和S n 有最小值;d<0时为递减数列,且当a 1>0时,前n 项和S n 有最大值.(7)设数列是等差数列,且公差为d,若项数为偶数,设共有2n 项,则①S 偶-S 奇=nd;②S S 奇偶=1n n a a +; 若项数为奇数,设共有2n-1项,则①S 奇-S 偶=a n =a 中;②S S 奇偶=1n n - 1.已知数列{a n }中,a n+1=a n +12且a 1=2,则a 2011等于 ( ) (A)1005 (B)1006 (C)1007 (D)10082.已知数列{a n }为等差数列且a 1+a 7+a 13=4π,则tan(a 2+a 12)的值为 ( ) (A)3 (B)±3 (C)-33(D)-3 3.已知等差数列{a n }中,a 2=6,a 5=15,若b n =a 3n ,则数列{b n }的前9项和=__________. 4.已知等差数列的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=___________.题型1五个基本量的有关计算例1(1)在等差数列{a n }中,a 2=2,a 3=4,则a 10等于( )(A)12 (B)14 (C)16 (D)18(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9=_________ .(3)等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,且n n S T =7453n n +-,则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6变式训练1(1)设{a n }为等差数列,公差d=-2,S n 为其前n 项和.若S 10=S 11,则a 1等于 ( )(A)18 (B)20 (C)22 (D)24(2)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N*)的前n 项和,且a 1=1,a 4=7,则S 5=_________.(3)已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k=_________题型2等差数列性质的应用例2(1)在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=____________.(2)在等差数列{a n }中,a 6=a 3+a 8,则S 9等于 ( )(A)0 (B)1(C)-1 (D)以上都不对变式训练2(1)在等差数列{a n }中,若a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=80,则a 7-12a 8的值为 ( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)10(2)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,a 5=_______.题型3等差数列的判定或证明例3 设数列{a n }满足a 1=0且111n a +--11na -=1. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n = 11n an +-,S n =1n k =∑bk ,证明S n <1.变式训练3(1)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=2a n +2n .设b n =12nn a -,证明:数列{b n }是等差数列.题型4等差数列前n 项和S n 的最值例4(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-15,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于 ( )(A)5 (B)7 (C)5或6 (D)6或7(2)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k=_______.变式训练4(1)若{a n}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0则使数列{a n}的前n项和S n>0成立的最大的自然数n是 ( )(A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008(2)已知等差数列{a n}中,公差d>0,a2009,a2010是方程x2-3x-5=0的两个根,那么使得前n项和S n 为负值且绝对值最大的n的值是________.巩固练习1.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2-S k=24,则k等于 ( )(A)8 (B)7 (C)6 (D)52.已知数列{a n}的前n项和为Sn,且满足:a1=a(a≠0),a n+1=rS n(n∈N*,r∈R,r≠-1).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若存在k∈N*,使得S k+1,S k,S k+2成等差数列,判断:对于任意的m∈N*,且m≥2,a m+1,a m,a m+2是否成等差数列,并证明你的结论.3.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8等于 ( )(A)0 (B)3 (C)8 (D)114.设函数f(x)满足f(n+1)=2()2f n n(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为 ( )(A)95 (B)97 (C)105 (D)1925.数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n=1,2,3,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)数列{a n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.。
高三第一轮复习等差数列的性质及应用
等差数列的性质及应用【提纲挈领】 主干知识归纳 等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，a m ＋a n ＝2a p ． (2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为递增数列；若d <0，则数列为递减数列；若d ＝0，则数列为常数列．(4)若等差数列{a n }共有2n 项，则S 偶-S 奇=nd ；若有2n-1项，则S 奇：S 偶=n:（n-1）． 方法规律总结1.等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ． 2.等差数列和的性质：S 2n =n(a 1+a 2n )=…=n(a n +a n+1)；S 2n-1=(2n-1)a n ．3.求等差数列前n 项和的最值常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②把等差数列的前n 项和S n 看作关于n 的二次函数，根据二次函数的性质求最值．【指点迷津】【类型一】等差数列的性质【例1】： (1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． (2)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．28[解析]：(1)a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，∴a 5＝5，∴a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：10(2)∵{a n }为等差数列，∴a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴2a 10－a 12＝a 10＋a 10－a 12＝a 8＋a 12－a 12＝a 8＝24. 答案：C【例2】：(1)在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25(2)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝5n ＋102n ＋1，则S 7T 7＝________．【解析】：(1)S 5＝a 1＋a 52×5＝a 2＋a 42×5＝15.答案：B(2)S 7T 7＝7（a 1＋a 7）27（b 1＋b 7）2＝a 1＋a 7b 1＋b 7＝2a 42b 4＝5×4＋102×4＋1＝103.答案：103【例3】：在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 10＝S 15，求S 25的值． 【解析】： ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.又∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴5a 13＝0，即a 13＝0， ∴S 25＝25（a 1＋a 25）2＝25·a 13＝0.【类型二】等差数列性质的应用 【例1】：(1)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则使S n 取得最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21(2)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】：(1)因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，所以a 3＝35.由a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，得a 4＝33，于是可得a 1＝39，d ＝－2，所以S n ＝－n 2＋40n .因此当n ＝20时，S n 取得最大值． 答案：C(2)由题意可知，a 8>0且a 9<0，即7＋7d >0且7＋8d <0，所以871-<<-d . 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 【例2】：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围．(2)数列{a n }的前几项和最大？并说明理由．【解析】：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，a 1＋2d ＝12，解得－247<d <－3.(2)由(1)知，d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0，∴数列{a n }的前6项和最大．【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a n －1＝17(n ≥2)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．11【解析】∵{a n }为等差数列，∴S n ＝（a 1＋a n ）·n 2＝（a 2＋a n －1）·n2＝100⇒10n ＝100⇒n ＝10.答案：A.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15【解析】：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)，∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝13p .∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝133p .答案：C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.答案：C4．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( ) A ．11 B ．19C ．20 D ．21【解析】：∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 所以使得S n >0的n 的最大值为19. 答案：B5．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，则“－a m <a 1<－a m ＋1”是“S m >0，S m ＋1<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：由等差数列的前n 项和公式可知，若a 1＋a n >0，则S n ＝n （a 1＋a n ）2>0，若S n ＝n （a 1＋a n ）2>0，则a 1＋a n >0.所以若－a m <a 1，即a 1＋a m >0，则S m ＝m （a 1＋a m ）2>0；若S m ＝m （a 1＋a m ）2>0，则a 1＋a m >0，即－a m <a 1.同理可知，若a 1<－a m ＋1，即a 1＋a m ＋1<0，则S m ＋1＝（m ＋1）（a 1＋a m ＋1）2<0，反之也成立．故选C.答案：C 二、填空题6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和， a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 【解析】：S 9＝9a 5＝－9， ∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72. 答案：-727．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则a 6b 6＝________.【解析】：本题考查等差数列的基础知识，可直接由结论a n b n ＝A 2n －1B 2n －1求得。
等差数列的概念与性质
等差数列的概念与性质等差数列是数学中常见的一种数列类型，它具有一定的规律和性质。
在本文中，将介绍等差数列的概念、公式以及一些重要的性质。
1. 概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数。
例如，一个等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+(n-1)d。
2. 公式等差数列有两种常见的表示形式：一般形式和通项公式。
(1) 一般形式：等差数列的一般形式可以用递推关系式来表示，即：an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
(2) 通项公式：等差数列的通项公式用来表示第n项的值，通常表示为：an = a1 + (n-1)d。
这个公式可以直接求得等差数列的任意一项的值。
3. 性质等差数列具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个。
(1) 公差性质：等差数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等，这个差值称为公差。
公差可以用来确定等差数列的特征。
(2) 通项性质：通过等差数列的通项公式，可以快速计算出数列的任意一项的值。
这个性质在数学问题的求解中非常有用。
(3) 首项与末项性质：等差数列的首项和末项可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。
当已知首项、公差和项数时，可以快速计算出末项的值。
(4) 项数性质：等差数列的项数n可以通过通项公式an = a1 + (n-1)d 来求解。
这个性质在确定等差数列的有效区间时非常有用。
4. 应用等差数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，在数学、物理、经济等领域中，等差数列常被用来描述一些随时间变化的规律。
通过对等差数列的分析，可以求解一些复杂的数学问题，帮助理解和解决实际应用中的相关问题。
综上所述，等差数列是数学中常见的一种数列类型，具有一定的规律和性质。
理解等差数列的概念、公式以及性质，对于解决实际问题和推导数学知识都有重要的意义。
通过运用等差数列的知识，我们可以更好地理解和应用数学中的相关概念。
《等差数列求和公式》详细教案
《等差数列求和公式》详细教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义解释等差数列的定义，即数列中每一项与它前一项的差是一个常数。
通过示例来让学生理解等差数列的特点。
1.2 等差数列的性质介绍等差数列的性质，包括：1) 任何两个连续项的差是常数。
2) 等差数列中任意一项都可以用首项和公差表示。
第二章：等差数列的通项公式2.1 通项公式的推导引导学生通过观察等差数列的性质，推导出通项公式。
解释通项公式中各项的物理意义。
2.2 应用通项公式求等差数列的项教授如何使用通项公式来求等差数列中任意一项的值。
提供练习题，让学生巩固通项公式的应用。
第三章：等差数列的前n项和公式3.1 前n项和的定义解释等差数列的前n项和是指数列中前n项的和。
强调前n项和公式的意义和应用。
3.2 等差数列的前n项和公式的推导通过数学推导，引导学生得出等差数列的前n项和公式。
解释公式中各项的物理意义。
第四章：应用前n项和公式求等差数列的和3.1 应用前n项和公式求等差数列的和教授如何使用前n项和公式来求等差数列的和。
提供练习题，让学生巩固前n项和公式的应用。
3.2 拓展练习提供一些拓展练习题，让学生更好地理解和应用等差数列的前n项和公式。
第五章：总结与复习5.1 总结对本节课的内容进行总结，回顾等差数列的概念、通项公式和前n项和公式的推导过程。
强调等差数列的性质和公式的应用。
5.2 复习练习提供一些复习练习题，让学生巩固本节课所学的知识和技能。
第六章：等差数列的图形表示6.1 等差数列的图形特征介绍等差数列的图形表示方法，包括数列项的连线和数列曲线的特点。
强调图形表示在理解等差数列性质方面的重要性。
6.2 等差数列前n项和的图形表示解释如何通过图形来表示等差数列的前n项和。
提供练习题，让学生通过图形来求解等差数列的和。
第七章：等差数列的实际应用7.1 等差数列在实际问题中的应用通过实际问题引入等差数列的应用，如计算存款利息、统计数据等。
高考数学一轮复习 3.2 等差数列教案
3.2 等差数列●知识梳理1.等差数列的概念若数列{a n }从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{a n }叫等差数列.2.通项公式：a n =a 1+（n －1）d ，推广：a n =a m +（n －m ）d . 变式：a 1=a n －（n －1）d ，d =11--n a a n ，d =mn a a m n --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.3.等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且b =2c a +；a 、b 、c 成等差数列是2b =a +c 的充要条件.4.前n 项和：S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d =n ·a n －21（n －1）nd . 变式：21n a a +=n S n =n a a a n+⋅⋅⋅++21=a 1+（n －1）·2d =a n +（n －1）·（－2d ）.●点击双基1.（2003年全国，文5）等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是A.48B.49C.50D.51解析：由已知解出公差d =32，再由通项公式得31+（n －1）32=33，解得n =50.答案：C2.（2003年全国，8）已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n |等于A.1B.43 C.21D.83解析：设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1+x 2=2，x 3+x 4=2，由等差数列的性质，当m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为41，43，45，47，∴m =167，n =1615.∴|m －n |=21.答案：C3.（2004年春季上海，7）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（na ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则a n =___________________.解析：将点代入直线方程得na －1-n a =3，由定义知{na }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故na =3n ，即a n =3n 2.答案：3n 24.（2003年春季上海，12）设f （x ）=221+x，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f （－5）+f （－4）+…+f （0）+…+f （5）+f （6）的值为___________________.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f （x ）+f （1－x ）=22，即f （－5）+ f （6）=22，f （－4）+f （5）=22，f （－3）+f （4）=22，f （－2）+f （3）=22，f （－1）+ f （2）=22，f（0）+f （1）=22，故所求的值为32.答案：32●典例剖析【例1】 数列{a n }的前n 项和为S n =npa n （n ∈N *）且a 1≠a 2， （1）求常数p 的值；（2）证明：数列{a n }是等差数列. 剖析：（1）注意讨论p 的所有可能值. （2）运用公式a n =⎩⎨⎧--11n nS S S .2,1≥=n n 求a n .解：（1）当n =1时，a 1=pa 1，若p =1时，a 1+a 2=2pa 2=2a 2， ∴a 1=a 2，与已知矛盾，故p ≠1.则a 1=0. 当n =2时，a 1+a 2=2pa 2，∴（2p －1）a 2=0. ∵a 1≠a 2，故p =21. （2）由已知S n =21na n ，a 1=0.n ≥2时，a n =S n －S n －1=21na n －21（n－1）a n －1.∴1-n na a =21--n n .则21--n n a a =32--n n ，…，23a a =12.∴2a a n =n －1.∴a n =（n －1）a 2，a n －a n －1=a 2.故{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列.评述：本题为“S n ⇒a n ”的问题，体现了运动变化的思想. 【例2】 已知{a n }为等差数列，前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10，求前110项的和S 110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n 项和公式，表示成关于首项a 1和公差d 的两个方程.解：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+,109910021100,100910211011d a d a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.1001099,50111d a ∴S 110=110a 1+21×110×109d =－110.评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a 1和d （q ）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.思考讨论此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?【例3】 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .剖析：由S n =12n －n 2知S n 是关于n 的无常数项的二次函数（n ∈N *），可知{a n }为等差数列，求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：当n =1时，a 1=S 1=12－12=11；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=12n －n 2－［12（n －1）－（n －1）2］=13－2n .∵n =1时适合上式，∴{a n }的通项公式为a n =13－2n .由a n =13－2n ≥0，得n ≤213，即当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，a n＞0；当n ≥7时，a n ＜0.（1）当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n －n 2.（2）当n ≥7（n ∈N *）时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=（a 1+a 2+…+a 6）－（a 7+a 8+…+a n ）=－（a 1+a 2+…+a n ）+2（a 1+…+a 6）=－S n +2S 6=n 2－12n +72.∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧+--72121222n n nn ).,7(),,61(**N N ∈≥∈≤≤n n n n评述：此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题.深化拓展若此题的S n =n 2－12n ，那又该怎么求T n 呢？答案：T n =⎩⎨⎧≥-≤-.72,66n S S n S nn●闯关训练 夯实基础1.等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则A.S 1，S 2，…，S 10都小于0，S 11，S 12，…都大于0B.S 1，S 2，…，S 19都小于0，S 20，S 21，…都大于0C.S 1，S 2，…，S 5都小于0，S 6，S 7，…都大于0D.S 1，S 2，…，S 20都小于0，S 21，S 22，…都大于0 解析：由题意知⎩⎨⎧>+<+,010,0911d a d a 可得d ＞0，a 1＜0.又a 11＞|a 10|=－a 10，∴a 10+a 11＞0.由等差数列的性质知a 1+a 20=a 10+a 11＞0，∴S 20=10（a 1+a 20）＞0. 答案：B2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15的值是一个确定的常数，则数列{S n }中也为常数的项是A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15解析：设a 2+a 4+a 15=p （常数），∴3a 1+18d =p ，即a 7=31p . ∴S 13=2)(13131a a +⨯=13a 7=313p .答案：C3.在等差数列{a n }中，公差为21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________.解析：由等差数列的定义知a 2+a 4+a 6+…+a 100=a 1+a 3+a 5+…+a 99+50d =60+25=85.答案：854.将正偶数按下表排成5列：那么2004应该在第______________行第______________列.解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.答案：251 35.（2004年全国，文17）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a10=30，a20=50.（1）求通项{a n}；（2）若S n=242，求n.解：（1）由a n=a1+（n－1）d，a10=30，a20=50，得方程组a1+9d=30，①a1+19d=50. ②由①②解得a1=12，d=2，故a n=2n+10.（2）由S n=na1+2)1(-nn d及Sn =242，得方程12n+2)1(-nn×2=242，解得n=11或n=－22（舍）.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12＞0，S 13＜0.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，S 3，…，S 12中哪一个最大，并说明理由. 解：（1）a 3=12，∴a 1=12－2d ，解得a 12=12+9d ，a 13=12+10d .由S 12＞0，S 13＜0，即2)(12121a a +＞0，且2)(13131a a +＜0，解之得－724＜d＜－3.（2）由a n =12+（n －3）d ＞0，由－724＜d ＜－3，易知a 7＜0，a 6＞0，故S 6最大.培养能力7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21.（1）求证：{nS 1}是等差数列；（2）求a n 的表达式.（1）证明：∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1（n ≥2），S n≠0（n =1，2，3…）.∴nS 1－11-n S =2.又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为首项，2为公差的等差数列.（2）解：由（1），nS 1=2+（n －1）·2=2n ，∴S n =n21.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=n21－)1(21-n =－)1(21-n n 〔或n ≥2时，a n =－2S n S n －1=－)1(21-n n 〕；当n =1时，S 1=a 1=21.∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--)1(2121n n ).2(),1(≥=n n8.有点难度哟！（理）设实数a ≠0，函数f （x ）=a （x 2+1）－（2x +a1）有最小值－1.（1）求a 的值；（2）设数列{a n }的前n 项和S n =f （n ），令b n =na a a n242+⋅⋅⋅++，证明:数列{b n }是等差数列.（1）解：∵f （x ）=a （x －a 1）2+a －a 2，由已知知f （a1）=a－a2=－1，且a ＞0，解得a =1，a =－2（舍去）.（2）证明：由（1）得f （x ）=x 2－2x ， ∴S n =n 2－2n ，a 1=S 1=－1.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=n 2－2n －（n －1）2+2（n －1）=2n －3，a 1满足上式即a n =2n －3.∵a n +1－a n =2（n +1）－3－2n +3=2，∴数列{a n }是首项为－1，公差为2的等差数列.∴a 2+a 4+…+a 2n =2)(22n a a n +=2)341(-+n n =n （2n －1），即b n =nn n )12(-=2n －1.∴b n +1－b n =2（n +1）－1－2n +1=2.又b 2=12a =1，∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列.（文）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为{a n}，则a n=780+（n－1）×（－20）=800－20n.由a n≥440解不等式800－2n≥440，得n≤18.当购买台数小于18时，每台售价为800－20n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元.到乙商场购买每台约售价为800×75%=600元.价差（800－20n）n－600n=20n（10－n）.当n＜10时，600n＜（800－20n）·n；当n=10时，600n=（800－20n）·n；当10＜n≤18时，（800－20n）＜600n；当n＞18时，440n＜600n.答:当购买少于10台时到乙商场花费较少；当购买10台时到两商场购买花费相同；当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.探究创新9.有点难度哟！已知f （x ）=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，n 为正偶数，且a 1，a 2，a 3，…，a n 组成等差数列，又f （1）=n 2，f （－1）=n .试比较f （21）与3的大小.解：∵f （1）=a 1+a 2+…+a n =n 2. 依题设，有2)(1n a a n =n 2，故a 1+a n =2n ，即2a 1+（n －1）d =2n .又f （－1）=－a 1+a 2－a 3+a 4－a 5+…－a n －1+a n =n ，∴2n ·d =n ，有d =2.进而有2a 1+（n －1）2=2n ，解出a 1=1.于是f （1）=1+3+5+7+…+（2n －1）.f （x ）=x +3x 2+5x 3+7x 4+…+（2n －1）x n .∴f （21）=21+3（21）2+5（21）3+7（21）4+…+（2n －1）（21）n. ①①两边同乘以21，得21f （21）=（21）2+3（21）3+5（21）4+…+（2n －3）（21）n +（2n －1）（21）n +1. ②①－②，得21f （21）=21+2（21）2+2（21）3+…+2（21）n－（2n－1）（21）n +1，即21f （21）=21+21+（21）2+…+（21）n －1－（2n －1）（21）n +1.∴f （21）=1+1+21+221+…+221-n －（2n －1）n 21=1+2112111---n －（2n －1）n21=1+2－221-n －（2n －1）n21＜3.∴f （21）＜3. ●思悟小结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.等差数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明a n －a n －1（n ≥2）为常数； （2）利用等差中项，即证明2a n =a n －1+a n +1（n ≥2）.4.等差数列{a n }中，当a 1＜0，d ＞0时，数列{a n }为递增数列，S n 有最小值；当a 1＞0，d ＜0时，数列{a n }为递减数列，S n 有最大值；当d =0时，{a n }为常数列.5.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.●教师下载中心教学点睛本节教学时应注意以下几个问题：1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，a m=a n+（m－n）d.2.由五个量a1，d，n，a n，S n中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d 外，还可设a－d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.5.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.拓展题例【例1】已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11.∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4， ∴{a n }的公差d =3×4=12，∴a n =12n －1.又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n =12n －1≤302，即n ≤25.5.又n ∈N *，∴两个数列有25个相同的项. 其和S 25=11×25+22425⨯×12=3875.分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.解法二：设5，8，11，…与3，7，11，…分别为{a n }与{b n }，则a n =3n +2，b n =4n －1.设{a n }中的第n 项与{b n }中的第m 项相同，即3n +2=4m －1，∴n =34m －1.又m 、n ∈N *，∴设m =3r （r ∈N *），得n =4r －1. 根据题意得⎩⎨⎧≤-≤≤≤,100141,10031r r 解得1≤r ≤25（r ∈N *）.从而有25个相同的项，且公差为12， 其和S 25=11×25+22425⨯×12=3875.【例2】 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d .∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711d a d a 即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a解得a 1=－2，d =1.∴nS n=a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）=25-n .∴11++n S n －nSn=21.∴数列{nS n}是等差数列，其首项为－2，公差为21.∴T n =41n 2－49n .。
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结等差数列是一种常见的数学数列形式，其中每个项与前一项之间的差值是相等的。
在本文中，我将总结等差数列的一些性质，包括首项、公差、通项公式以及求和公式等。
通过了解这些性质，我们可以更好地理解和应用等差数列。
1. 首项（a）和公差（d）等差数列中的首项指的是数列的第一个数字，通常用字母a表示。
公差则是相邻两项之间的差值，通常用字母d表示。
首项和公差决定了等差数列的特征和规律。
2. 通项公式等差数列的通项公式用于求解数列中的任意一项。
对于等差数列a，其第n项可以用以下公式表示：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式用于求解数列中前n项的和。
对于等差数列a，前n项和Sn可以用以下公式表示：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。
4. 等差数列的性质（1）等差数列的任意三项可以构成一个等差数列，其中它们的公差相等。
（2）等差数列的相邻两项之和等于它们两倍的中间项。
（3）等差数列的相邻三项满足“大项-中项=中项-小项”的关系。
（4）等差数列的奇数项或偶数项本身也构成等差数列。
5. 应用举例例子1：求等差数列1，4，7，...的第10项。
首项a=1，公差d=4-1=3。
使用通项公式：an = a + (n-1)d可得第10项an = 1 + (10-1)3 = 1 + 9*3 = 28。
例子2：求等差数列5，10，15，...的前8项和。
首项a=5，公差d=10-5=5，项数n=8。
使用前n项和公式：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)可得前8项和Sn = 8/2 * (2*5 + (8-1)*5) = 4 * (10 + 7*5) = 4 * (10 + 35) = 4 * 45 = 180。
综上所述，等差数列具有许多有趣的性质，并且我们可以通过首项、公差、通项公式以及求和公式来描述和计算等差数列。
等差数列的性质
等差数列的性质应用：
例4、已知一个等差数列前n项和为25， 前2n项的和为100，求前3n项和。
解：Sn、S2n - Sn、S3n - S2n 为等差数列
S3n - S 2n = 125 S3n = 225
等差数列的性质应用：
例5、若 an 、bn 为等差数列，前n项
和分别为 Sn、Tn
则证明： an = S 2n-1
求 S24
解： a1 + a24 = a5 + a20 = a10 + a15
a1 + a24 = 1 故 s24 = 12
等差数列的性质应用：
例2、已知等差数列an 的前10项之和
为140，其中奇数项之和为125 ， 求第6项。
解：由已知 a1 + a2 + + a10 = 140
a1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 125
则 a2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 15 5a6 = 15 故 a6 = 3
等差数列的性质应用：
例3、已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。
解：由 S奇 - S偶 = 中间项
得中间项为11 又由 S奇 + S偶 = 143 得 n =13
bn
T2 n-1
证明：右= S2n-1 = a1 + a2n-1
T2 n -1
b1 + b2n-1
= an =左
bn
等差数列的性质应用：
例如：设 Sn 、Tn 分别是两个等差
数列 an 和 bn 的前n项和，
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结等差数列是数学中常见的一种数列，其中的每个数与前一个数的差都相等，该差值被称为公差。
等差数列具有一些特性和性质，本文将对这些性质进行总结。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中每个数与前一个数之差都相等的数列。
假设数列的首项为a1，公差为d，则第n个数项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的通项公式对于等差数列而言，我们可以通过首项和公差来计算任意项。
等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
3. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a1 + an)。
4. 等差数列前n项和的推导过程我们可以通过推导来得到等差数列前n项和的公式。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
首先，我们可以将等差数列按照从首项到第n项的顺序排列如下：a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n-1)d接下来，我们将这些项与相应的首项a1相加，得到：a1+a1+d+a1+2d+…+a1+(n-1)d根据加法的结合律，可以将上式简化为：n a1 + (1+2+…+(n-1))d我们知道1+2+…+(n-1)是等差数列的前n-1项和，可以使用前n-1项和公式来表示。
即：n*a1 + ((n-1)/2)((n-1)d)将上式整理一下，得到：n a1 + (n-1)d/2这就是等差数列前n项和的公式。
5. 等差数列的性质5.1 通项公式的推导由于等差数列具有公差的性质，我们可以通过递推的方式得到通项公式。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，要推导第n个数项an的公式。
首先，我们可以得到前两项的差值：a2 - a1 = d。
进一步，我们可以得到第三项与前两项的差值：a3 - a2 = d。
继续以此类推，我们可以得到第n个数项与前n-1个数项的差值：an - a(n-1) = d。
将上述等式整理一下，得到：an = a(n-1) + d由此可以看出，等差数列的通项公式可以通过递推得到，并且与公差d有关。
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结在数学中，等差数列是指一个数列中的每个元素与其前一个元素的差值都是相等的。
等差数列的性质广泛应用于各个领域，而且在数学的学习和研究中也占有重要地位。
本文将对等差数列的一些性质进行总结和探讨，希望能够加深读者对等差数列的理解和掌握。
1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中最为基本和重要的性质之一。
通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示数列中的第n个数，a1表示数列中的第一个数，d表示公差（即相邻两个数之间的差值）。
通项公式可以方便我们计算等差数列中任意一项的数值，从而更好地理解和分析等差数列的规律。
2. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式也是等差数列的重要性质之一。
求和公式的一般形式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示等差数列的前n项和。
求和公式的推导可以通过两种方法：一种是利用等差数列的首项和末项的平均值得出，另一种是通过等差数列的通项公式进行推导。
掌握了求和公式，我们可以迅速计算等差数列的前n项和，这在实际问题的求解中非常有用。
3. 等差数列的性质关于公差公差是等差数列中非常重要的概念，它决定了等差数列的增长规律。
首先，如果公差d大于零，则等差数列是递增的；如果公差d小于零，则等差数列是递减的；如果公差d等于零，则等差数列是恒等的（即所有的数值都相等）。
其次，公差d的绝对值越大，等差数列的增长速度越快；反之，绝对值越小，增长速度越慢。
在实际问题中，我们可以根据公差的正负和大小推断出等差数列的特性。
4. 等差中项数的奇偶性对于等差数列中的中项数，可以根据等差数列的项数进行分类。
当等差数列的项数n为奇数时，中项数为(n+1)/2；当项数n为偶数时，中项数是n/2和n/2+1两个数之间的平均值。
这一性质可以帮助我们快速确定等差数列中的中项数，从而更方便地处理特定问题。
综上所述，等差数列作为数学中基础且常见的概念之一，具有许多重要的性质。
等差数列的性质总结
等差数列的性质总结等差数列是指一个数列中的任意两个相邻的数之间的差值是固定的。
这个固定的差值称为公差，记作d。
等差数列可以用一般的形式表示为a₁、a₂、a₃、...、aₙ，其中n为数列的项数。
1. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式是指数列的前n个项的和Sn。
Sn可以通过以下公式求得：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ) = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)其中，n为数列的项数，a₁为首项，aₙ为末项，d为公差。
2. 通项公式：等差数列的通项公式是指可以通过公式直接计算第n项的值an。
通项公式可以通过以下公式求得：an = a₁ + (n-1)d其中，n为数列的项数，a₁为首项，d为公差。
3. 等差数列的性质：- 等差数列的每一项都是前一项与公差的和。
an = a(n-1) + d- 两个等差数列的和还是一个等差数列，公差等于之前两个等差数列的公差之和。
- 等差数列的对称性：对于一个等差数列，以中间一项为中心，数列中间项a(n/2)与首项相加等于尾项与中间项a((n/2)+1)相加。
即a(n/2) + a((n/2)+1) = a(n/2 + 1) + a(n/2 + 2) = ... = a(n-1) + aₙ。
- 等差数列的性质与图像：等差数列可以表示为一条直线，数列中的每一项都在直线上的相应位置。
4. 等差中项公式：等差中项公式是指等差数列中的两个项之间存在一个等差数列。
中项公式可以通过以下公式求得：a(n/2) = (a₁ + aₙ)/2其中，a(n/2)为等差数列中的中项，a₁为首项，aₙ为末项。
5. 均值不等式：对于一个等差数列，数列中任意三个项满足以下均值不等式：对于an < am < ap，有：am < (an + ap)/2即等差数列中的中项的值大于前一项值和后一项值的平均值。
6. 等差数列的应用：- 数学题和应用题的问题求解：等差数列的性质和公式可以帮助我们在数学题或应用题中快速解决问题，例如求和、求某一项的值等。
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已知数列｛an｝是等差数列,公差d.则 1、kan b 是等差数列, 则公差kd 2、a2 n 是等差数列, 则公差2d
4、若bn 是公差d1的等差数列, 则m1an m2bn m1 , m2为常数） （ 也是等差数列, 公差m1d m2 d1
例题分析
例4 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
● ●
等差数列的图象
a n=３n－2
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
结论：等差数列{an}中，公差为d则： d>0时， {an}为递增数列 d<0时， {an}为递减数列 d=0时， {an}为常数数列
例１已知（１，１）（３，５）是等差数列{an} {an} 图象上的两点． （１）求这个数列的通项公式 （２）画出这个数列的图象 （３）判断这个数列的单调性
例５ ①已知数列｛an｝的通项公式是 an=3n-1,求证：｛an｝为等差数列。
【小结】
②已知数列｛an｝是等差数列， 求证：数列｛an+ an+1｝等差数列。
①数列{ an }为等差数列
an a1 (n 1)d
an+1- an为常数
；
②证明一个数列为等差数列的方法是 .
四、小结：
等差中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后使三个数就会成 为一个等差数列： 3 （1）2 ， ， 4 （2）-1，2 （4）0， 0 ，5 ，0
（3）-12， -6 ，0
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
ab A 2
例２已知三个数成等差数列，它们的和是15，求中间一个数
an am (n m) d
等差数列的性质：
1、已知等差数列第m项是am ，公差是 d ，求an 。 2、已知等差数列 a1，a2 ， a3 ， a4 ， a5…… 那麽 (1) a1 ， a3 ， a5 ， a7 ，………是什麽数列？ (2) a1 ， a4 ， a7 ， a10 ，………是什麽数列？ , d是公差
一、等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这 个数列就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d 表示。
等差数列的首项用字母 a1 表示。
二、通项公式
当d≠0时，这是 关于n的一个一 次函数。 练习１： -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥ 的项 ？如果是，是第几项？
等差中项的性质
1、等差数列中，有穷数列除首、末两项， 无穷数列除首项，其中任何一项都是它左 右等距离两项的等差中项。
2、对称性：
若m n p q , 则 am an a p aq (其中m, n, p, q N )
*
3、当kn 成等差数列且是正整数, 则 a kn 成等差数列。
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
3 ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15 2
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d. 分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ① 又 a4a7=187 ② ， a4= 17 a4= 11 a7= 11
分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ， 再把 –401代入，然后看是否存在正整数n 。
a n=a1+(n－1)d
-401是该数列的第100项。
2、在等差数列{an}中， an=a1+(n－1)d (n∈N*) （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d 。 （2）、已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 。 解： （1）由题意得 { a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 。 （2）由题意得 a1+2d= 9 { a1+8d=3 解得： d= -1 , a1=11 。 ∴ an=11-1（n-1）=12-n ∴ a12= 12-12 =0 ② ① ② a1+3d= 10 ①
或
解 ①、 ② 得
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
a中,
（1）已知a2 a3 a23 a24 48, 求a13; （2）已知a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33, 求:a3 a6 a9 ;
解：设中间的数是a，则由等差中项的定义得3a=15,a=5
例３一个木制梯形架的上下两底边分别为33cm，75cm, 把梯形的两腰各６等分，用平行木条连接各对应分点, 构成梯形架的各级．计算梯形架中间各级的宽度．
解：记梯形架自上而下各级的宽度构成的数列为{an}，则 由梯形中位线的知识，可知每相邻三项均成等差数列， 从而{an}成等差数列．依题意有a1=33， a7=75 现要求，a２．． a６,中间５层的宽度．