终极布朗尼蛋糕盘涉及一等奖论文

最终的布朗尼蛋糕盘

Team #23686 February 5, 2013

摘要Summary/Abstract

为了解决布朗尼蛋糕最佳烤盘形状的选择问题，本文首先建立了烤盘热量分布模型，解决了烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题。又建立了数量最优模型，解决了烤箱所能容纳最大烤盘数的问题。然后建立了热量分布最优模型，解决了烤盘平均热量分布最大问题。最后，我们建立了数量与热量最优模型，解决了选择最佳烤盘形状的问题。

模型一：为了解决烤盘形态转变过程中所有烤盘形状热量分布的问题，我们假设烤盘的任意一条边为半无限大平板，结合第三边界条件下非稳态导热公式，建立了不同形状烤盘的热量分布模型，模拟出不同形状烤盘热量分布图。最后得到结论：在烤盘由多边形趋于圆的过程中，烤焦的程度会越来越小。

模型二：为了解决烤箱所能容纳最大烤盘数的问题，本文建立了随烤箱长宽比变化下的数量最优模型。求解得到烤盘数目N 随着烤箱长宽比和烤盘边数n 变化的函数如下：

A

L W L W cont cont cont N 4n

2nsin 122

2⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--=π

模型三：本文定义平均热量分布H 为未超过某一温度时的非烤焦区域占烤盘边缘总区域的百分比。为了解决烤盘平均热量分布最大问题，本文建立了热量分布最优模型，求解得到平均热量分布随着烤箱长宽比和形状变化的函数如下：

n sin n cos -n 2nsin 22n

tan

1H ππδπδ

π⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-

=A

结论是：当烤箱长宽比为定值时，正方形烤盘在烤箱中被容纳的最多，圆形

烤盘的平均热量分布最大。当烤盘边数为定值时，在长宽比为1:1的烤箱中被容纳的烤盘数量最多，平均热量分布H 最大。

模型四：通过对函数⎪⎭⎫ ⎝⎛n ,L W N 和函数⎪⎭

⎫

⎝⎛n ,L W H 作无量纲化处理，结合各自

的权重p 和()p -1，本文建立了数量和热量混合最优模型，得到烤盘边数n 随p

值和L

W

的函数。当

7273.0=L

W

，5977.0p =时，此时的6n =。 Contents

1 Analysis 3

2 Model Assumptions

3 3 Modeling and solving 3

3.1 Definition ................................................. 4 3.2 Model 1 ..................................................... 4 3.3 Model2 ..................................................... 10 3.4 Model3 ............................................................ 11 3.5 Model4 ............................................................ 13 4 References 15 5 Appendix 15

1.问题分析Analysis

本文讨论了在有限的烤箱，不同形状烤盘的外部边缘的热量的分布问题。当烤箱部预热到一定时间时，烤箱温度达到一个均衡值。由于预热的一段时间很短，我们假设在烤箱的工作时间，炉热量分布是均匀的。因此烤箱的气体可以看成为温度不变的流体。烤盘的每一条边都可以看成无限大平板在一维时的情况。可以建立半无限大平板在第三类边界条件下的一维非稳态导热函数，并结合多维非稳态导热的乘积解法，可以得到多边形烤盘在二维的热量分布。然后模拟出多边形烤盘热量分布的图像，通过观察，得到各种形状烤盘所受到的热量分布情况。

问题二：讨论烤箱所能够容纳烤盘数最多的情况。实际上也就是讨论多边形

在L W ⋅ 区域的平铺问题。在这里，我们假设L W +为定值。一方面当L

W

分别为

不同值时，多边形的平铺区域面积会有不同的值。另一方面，多边形在区域L

W ⋅的烤盘数量N 会随着多边形边数的变化而变化。因此，平铺数量N 会随着L

W

和

边数n 的变化而变化。讨论烤盘平均热量最大的情况，实际上也就是讨论非烤焦区域面积占总区域面积比例的问题。我们认为烤焦区域面积为温度出现重叠的区

域面积。一方面，当L

W

分别为不同值时，热量平均分布H 会有不同的值。另一

方面，多边形在区域L W ⋅的热量平均分布会随着多边形边数的变化而变化。因

此，热量平均分布H 会随着L

W

和边数n 的变化而变化。结合以上相关结论，我

们可以得到边数n 会随着热量平均分布H 和L W

和数量N 变化而变化。通过作无

量纲化处理，数量N 和平均热量分布H 的权重分别为p 和()p -1，所以边数n 会随着

L

W

和P 的变化而变化。 2.模型假设Model Assumptions

1. 忽略不同食材，烘焙时间长短等因素对蛋糕成熟的影响；

2. 当烤箱工作时，烤箱的温度为定值；

3. 假设烤箱传热主要为导热传热。

3. 不同形状烤盘热量分布模型

3.1烤盘，烤箱的定义

本文考虑的烤箱的结构简图（Figure 1）：

Figure 1 烤箱结构图