高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用撬题文

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高考数学异构异模复习第四章三角函数4.2.1三角函数的图象及变换课件文

第四章三角函数
第2讲三角函数的图象变换及应用
考点一三角函数的图象及变换
撬点·基础点重难点
1 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：
x
－ωφ 2πω－ωφ ωπ－ωφ 23ωπ－ωφ 2ωπ－ωφ
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x＋π3＝kπ(k∈Z)，解得 x＝－π6＋k2π(k∈Z)．
撬法·命题法解题法
[考法综述] 函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定 A、ω、φ 的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力及三角的恒等变换问题，题型多以客观题为主，且难度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及．
3 三角函数的图象变换及其应用由函数 y＝sinx 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
注意点 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中各个字母的含义 A 所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的 A 倍，简称为振幅变换；ω 所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的ω1 倍，简称为周期变换；φ 所起的作用是将函数图象左右平移ωφ 个单位，简称为相位变换.

高考数学异构异模复习第四章三角函数4-4-1正余弦定理撬题理

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数 4.4.1 正、余弦定理撬题理1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定答案 C解析由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2.又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以三角形为钝角三角形．2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin2π3＝b12，所以b ＝1. 3．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (6－2，6＋2)解析如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，过P 作BC 的垂线交BC 于点E ，则PB ＝BEcos75°＝6＋2；在△QBC 中，由余弦定理QB 2＝BC 2＋QC 2－2QC ·BC ·cos30°＝8－43＝(6－2)2，故QB ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．答案 8解析由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b－c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，故a ＝8.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．答案3解析因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3，因为cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc ≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号．由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.6．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．答案－14解析由2sin B ＝3sin C ，结合正弦定理得2b ＝3c ，又b －c ＝14a ，所以b ＝32c ，a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2＋c 2－c22×32c ×c ＝－14.8．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC ，由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.。

高考数学异构异模复习第四章三角函数4.2.2三角函数的性质及应用课件文

第四章三角函数
第2讲三角函数的图象变换及应用
考点二三角函数的性质及应用
撬点·基础点重难点
三角函数的图象与性质三角函数正弦函数 y＝sinx
余弦函数 y＝cosx
正切函数 y＝tanx
图象
定义域值域
奇偶性
R [－1,1] 奇函数
R [－1,1] 偶函数

x

x∈R，x≠kπ＋π2，k∈Z
(3)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法 ①若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝kπ＋π2(k∈Z)，同时当 x＝0 时，f(x)取得最大或最小值．若 f(x) ＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则 φ＝kπ(k∈Z)，同时当 x＝0 时，f(x)＝0. ②求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋ φ)的形式，再分别应用公式 T＝|2ωπ|，T＝|2ωπ|，T＝|ωπ|求解． ③对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．
3．若函数 y＝2cosωx 在区间0，23π上单调递减，且有最小值 1，则 ω 的值可以是(
)
A．2
1 B.2
C．3
1 D.3
解析
由
y＝Байду номын сангаасcosωx
在0，23π上是递减的，且有最小值为
1，则有
f23π＝1，即
2cos23πω＝1，即
2π cos 3
2．将函数 y＝sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数 y＝sinx－π6的图象，则 φ 等于(

高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用课件文

⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
最新中小学教学课件
22
谢谢欣赏！
2019/7/12
最新中小学教学课件
23
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
(2)实际应用中的常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方
的叫做俯角
续表术语名称
术语意义
方位角
从某点的正北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角，方位角的范围是( 0°，360° )
A．3
93 B. 2
33 C. 2
D．3 3
(2)如图所示，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于____6_0___m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92， cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， 3≈1.73)
[解析] (1)在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得 c2＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2abcosπ3，整理得 ab＝6，再由面积公式 S＝12absinC，得 S△ABC＝21×6×sinπ3＝32 3.故选 C.
(2)AC＝2×46＝92，AB＝sin4667°，在△ABC 中，由正弦定理可知： sinA3B0°＝siBn3C7°，∴BC＝ABsisni3n03°7°≈60.
【解题法】与三角形面积有关问题和应用题的解题方法 (1)与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 ①求三角形的面积．对于面积公式 S＝12absinC＝21acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式． ②已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． (2)解三角形应用题的常见情况及方法 ①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． ②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

高考数学异构异模复习第四章三角函数4.3三角函数的化简与求值撬题理26

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数 4.3 三角函数的化简与求值撬题理1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.2．化简cos40°cos25°1－sin40°＝( ) A ．1 B. 3C. 2 D ．2答案 C解析原式＝cos 220°－sin 220°cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220° ＝cos 220°－sin 220°cos25°cos20°－sin20° ＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2. 3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝() A ．－34 B ．－14C.34D.14答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－ 3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17＋21－27＝3. 5．sin15°＋sin75°的值是________．答案 62解析解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62. 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝62. 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案 π6解析显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝12， ∴23π＋φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0≤φ≤π，故φ＝π6.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 答案 268 解析解法一：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝21313，sin α＝31313， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sin α＋cos αsin α＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2α＝268. 解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝32，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝32或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一． 8．化简tan π12－1tan π12＝________. 答案－2 3解析原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3. 9.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos A sin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2的值．解 (1)证法一：tan A 2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A . 证法二：1－cos A sin A ＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝tan A 2. (2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B .由(1)，有 tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos 180°－A sin 180°－A ＋1－cos 180°－B sin 180°－B ＝2sin A ＋2sin B. 连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A . 则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－4226×5＋3×4＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC .同理可得 cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－4226×3＋5×4＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D 2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103. 10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.。

2020高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练4-2三角函数的图象变换及应用理

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数课时撬分练4.2 三角函数的图象变换及应用理时间：60分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13答案 C解析 2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010.2．[2016·衡水中学周测]若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 D解析易知y ＝cos2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，因为y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈[π2＋2k π，3π2＋2k π ]，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.3．[2016·冀州中学期末]为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴需要把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．[2016·衡水中学预测]设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6，∵函数图象关于直线x ＝0对称， ∴函数f (x )为偶函数， ∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos2x ，∴T ＝2π2＝π.∵0<x <π2，∴0<2x <π，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．故选B.5．[2016·枣强中学热身]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin(2x ＋π3＋φ) ，又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z .又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，6．[2016·衡水中学猜题]已知函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6轴对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减答案 C解析函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令x ＝－π3，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3≠0，A 不正确；令x ＝－π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin0＝0≠±1，B 不正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，故选C.7．[2016·衡水中学一轮检测]将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增答案 B解析设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin ⎣⎢⎡2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋⎦⎥⎤π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ，同理得递增区间为[ k π＋π12，k π＋⎦⎥⎤7π12，k ∈Z .从而可判断得B 正确． 8．[2016·冀州中学模拟]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4B ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4C ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 答案 B解析由图象的最高点为4，最低点为－4，可确定|A |＝4.结合正弦型函数的特征可知A ＝－4，T ＝2πω＝16，ω＝π8，又f (6)＝0，|φ|<π2，可得φ＝π4，故选B.9．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )解析由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．10．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 11．[2016·衡水二中月考]已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．解 (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以T ＝2πω＝π，故f (x )的最小正周期为π.2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－1.12．[2016·武邑中学热身]已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos2x2＋sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．(2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎢⎡ 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－⎦⎥⎤π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋1，由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1，最小值为0.能力组13.[2016·衡水二中热身]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3B.23πC.43π D.π3或43π 答案 D解析要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于直线x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3. 14.[2016·武邑中学期末]把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________．答案 ②④解析将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.15.[2016·衡水二中预测]已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解解法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12.(2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16.[2016·冀州中学期末]已知向量m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．点击观看解答视频(1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＝a 2(1－cos2x )＋b2sin2x . 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin2x ＋b cos2x ，又f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤2，f (x )∈[0,3]．又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.。

2019高考数学异构异模复习第四章三角函数 4.2.2 三角函数的性质及应用撬题文

2019高考数学异构异模复习第四章三角函数 4.2.2 三角函数的性质及应用撬题文1.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析由图象可知ω4＋φ＝π2＋2m π，5ω4＋φ＝3π2＋2m π，m ∈Z ，所以ω＝π，φ＝π4＋2m π，m ∈Z ，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4＋2m π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4的单调递减区间为2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，即2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x .∴f (x )max ＝1.3．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2x ＋32sin2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)解法一：因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34.所以，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 解法二：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3，故当2x －π6＝－π2，x ＝－π6时，f (x )取得最小值为－12，当2x －π6＝π3，x ＝π4时，f (x )取最大值为34. 4．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 5．已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6. 因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .。

高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练4-3三角函数的化简与求值理

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数课时撬分练4.3 三角函数的化简与求值理时间：60分钟基础组1.[2016·衡水二中猜题]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin2α等于( )A ．－825B.825 C ．－1725D.1725答案 C解析 sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2(π4＋α )－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725，故选C.2．[2016·衡水二中一轮检测]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14C. 14D. 78答案 A解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，得sin ⎣⎢⎡ π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.3．[2016·冀州中学周测]在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C ＝( )A.365 B.3665C.1665D.3365 答案 C解析在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665.4．[2016·衡水二中月考]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64答案 C解析由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.故选C.5．[2016·枣强中学周测]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3答案 B解析依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.6.[2016·冀州中学预测]若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33B ．－33 C.539D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539. 7．[2016·枣强中学一轮检测]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即sin 2α＝34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝3，故选D.8．[2016·冀州中学月考]关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )·cos x 的四个结论：p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象； p 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z .其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 B解析因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以最大值为2－1，所以p 1错误．将g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后得到h (x )＝2·sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误．由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确．由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，所以选B.9.[2016·衡水中学月考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案513解析由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又∵3cos2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513. 10．[2016·衡水中学期中]已知13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．答案5665解析将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin(α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)＝5665.11.[2016·武邑中学期中]已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.点击观看解答视频(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.由题意知f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，所以－32<k ≤32或k ＝－1. 12．[2016·衡水中学期末]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求：(1)sin2α； (2)tan α－1tan α.解 (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin (2α＋π3 ) ＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，注意到α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin( 2α＋π3 ) cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12＋32×32＝12. (2)∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.⎝⎛或者由知2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝⎭⎫ 2 3. 能力组13.[2016·冀州中学猜题]设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.14．[2016·衡水中学模拟]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为________．答案 ±35解析 ∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35.15．[2016·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，证明：5f ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α.解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x ＝cos2x cos π6－sin2x sin π6＋sin2x ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3 ＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.(2)证明：由(1)，知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝sin ⎣⎢⎡ 2⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＋⎦⎥⎤π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22sin2α－22cos2α. 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，所以cos α＝1－sin 2α＝55.所以sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.所以tan4α＝2tan2α1－tan 22α＝247. 所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2α－22cos2α＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝722，又122tan4α＝122247＝722，所以5f ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α. 16.[2016·冀州中学一轮检测]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α，求cos α－sin α的值．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.。

【配套K12】2018高考数学异构异模复习第四章三角函数4.3三角函数的化简与求值撬题理

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数 4.3 三角函数的化简与求值撬题理1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.2．化简cos40°cos25°1－sin40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C 解析原式＝cos 220°－sin 220°cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220°＝cos 220°－sin 220°－＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2.3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34B ．－14C.34D.14答案 B 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17＋21－27＝3.5．sin15°＋sin75°的值是________．答案62解析解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62. 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15° ＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝62. 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案π6解析显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝12，∴23π＋φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0≤φ≤π，故φ＝π6.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析解法一：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝21313，sin α＝31313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2α＝268. 解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝32，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝32或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一． 8．化简tan π12－1tanπ12＝________.答案－2 3解析原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3.9.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．解 (1)证法一：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin2A22sin A 2cos A 2＝1－cos Asin A .证法二：1－cos Asin A＝2sin2A22sin A 2cosA 2＝tan A2. (2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2 ＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B＋1－－A －A ＋1－－B －B ＝2sin A ＋2sin B.连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A .则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 2AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－42＋＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107.连接AC .同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2AB ·BC ＋AD ·CD＝62＋32－52－42＋＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103. 10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.。

高考数学异构异模复习第四章三角函数4.3三角恒等变换撬题文

答案
解析显然交点为，
故有sin ＝，
∴ π＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
或 π＋φ＝2kπ＋ π，k∈Z，
∴φ＝2kπ－或φ＝2kπ＋，k∈Z，
又0≤φ≤π，故φ＝ .
8．已知α∈ ，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.
答案
解析解法一：由2sin2α－sinαcosα－3cos2α＝0，得(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∵α∈ ，∴sinα＋cosα>0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，
解析原式
＝
＝
＝＝＝ .
3．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－ )，若a⊥b，则sin ＝()
A．－ B．－
C. D.
答案B
解析∵a⊥b，
∴a·b＝4sin ＋4cosα－
＝2 sinα＋6cosα－
＝4 sin －＝0，
∴sin ＝ .
∴sin ＝－sin ＝－ .
4.已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．
故sin ＝sin cosα＋cos sinα＝ × ＋ × ＝－ .
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2× × ＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2× 2＝，
所以cos ＝cos cos2α＋sin sin2α＝ × ＋ × ＝－ .
答案3
解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
5．sin15°＋sin75°的值是________．
答案
解析解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝ .

高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练4.4正余弦定理及解三角形文

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数课时撬分练4.4正、余弦定理及解三角形文时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学月考]在△ABC 中，若a ＝2b ，面积记作S ，则下列结论中一定成立的是( )A ．B >30° B．A ＝2BC ．c <bD ．S ≤b2 答案 D解析由三角形的面积公式知S ＝12ab sin C ＝122b ·b sin C ＝b 2sin C ，因为0<sin C ≤1，所以b 2sin C ≤b 2，即S ≤b 2，故选D.2．[2016·冀州中学期末]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.34B.23C.24D.14答案 A解析 ∵a ，b ，c 成等比数列且c ＝2a ，∴b 2＝ac ＝2a 2， ∴b ＝2a .由余弦定理的推论可得cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝34.故选A. 3．[2016·枣强中学热身]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为( )A ．60° B．30°C ．150° D．45°答案 B解析由sin B ＋cos B ＝2得1＋2sin B cos B ＝2，则sin2B ＝1，因为0°<B <180°，所以B ＝45°，又因为a ＝2，b ＝2，所以在△ABC 中，由正弦定理得2sinA ＝2sin45°，解得sin A ＝12，又a <b ，所以A <B ＝45°，所以A ＝30°. 4．[2016·衡水中学一轮检测]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析解法一：因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得，a ＝2b ·a2＋b2－c22ab，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形．解法二：因为a ＝2b cos C ，由正弦定理得sin A ＝2sin B cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C 得sin(B －C )＝0，又B 、C ∈(0，π)，所以B ＝C .5．[2016·衡水二中周测]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a,2b,2c 成等比数列，则cos A cos B ＝( )A.14B.16C.12D.23答案 A解析由已知得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，故B ＝π3，又4b 2＝4ac ，则b 2＝ac ，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝ac ，即(a －c )2＝0，故a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形，则cos A cos B ＝cos60°×cos60°＝14.6．[2016·枣强中学仿真]某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为( )A.3B ．23 C.3或23D ．3答案 C解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x km ，BC ＝3 km ，AC ＝ 3 km ，∠ABC ＝30°，由余弦定理，得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.7．[2016·衡水二中月考]在不等边△ABC (三边均不相等)中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有cosA cosB ＝b a ，则角C 的大小为________．。

高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用撬题理28

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数 4.4.2 解三角形及其综合应用撬题理1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24 答案 A解析由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12得，sin2A ＋sin[A －(B －C )]＋sin[A ＋(B－C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [cos(π－(B ＋C ))＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝12，即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式S ＝12ab sin C ，①S ＝12ac sin B ，② S ＝12bc sin A ，③因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c >a ，得bc (b ＋c )>8一定成立，而a ＋b >c ，ab (a ＋b )也大于8，而不一定大于162，故选A.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC面积的最大值为93，则λ的值为( )A ．8B ．12C ．16D ．21答案 B解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 100 6解析依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理可得600sin45°＝BCsin30°，即BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD ＝100 6 m.5．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析由AB →·AC →＝tan A ，可得|AB →||AC →|cos A ＝tan A . 因为A ＝π6，所以|AB →||AC →|·32＝33，即|AB →||AC →|＝23.所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC的面积为42，则b ＋asin A的值等于________．答案 16 2解析依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B＝16 2.7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12. 又0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°.8．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin60°7＝217.因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.9.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解 (1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98. 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.11.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.解法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.12.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.。

高考数学(文科)异构异模复习考案撬分法习题第四章三角函数课时撬分练4-1 Word版含答案

………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1．已知角α的终边过点P (－a ，－3a )，a ≠0，则sin α＝( ) A.31010或1010B.31010C.1010或－1010D.31010或－31010答案 D解析当a >0时，角α的终边过点(－1，－3)，利用三角函数的定义可得sin α＝－31010；当a <0时，角α的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin α＝31010.故选D.2. 若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α等于( )点击观看解答视频A ．－13B.125C ．－125D.13答案 C解析由sin α＋cos α＝713，两边平方得1＋2sin αcos α＝49169，∴2sin αcos α＝－120169，又2sin αcos α<0,0<α<π. ∴π2<α<π.∴sin α－cos α>0. ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝713，sin α－cos α＝1713，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－125.3．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{ x | x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z} ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅ 答案 B 解析M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x | x ＝2k 4·⎭⎬⎫180°＋45°，k ∈Z ，故当集合N 中的k 为偶数时，M ＝N ，当k 为奇数时，在集合M 中不存在，故M ⊆N .4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝( )A ．－2B ．2C ．0 D.23答案 B解析由角θ的终边在直线2x －y ＝0上，可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2.5．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 答案 A解析解法一：由sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2， α∈(0，π)，解得α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：由sin α－cos α＝2及sin 2α＋cos 2α＝1，得(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝－1<0，故tan α<0，且2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 6．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A.5π6B.5π3 C.11π6 D.2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.7. 已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan2x 的值是( )点击观看解答视频A ．－43B.43C ．－34D.34答案 C解析因为f (x )＝sin x －cos x ，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x ，于是有cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得sin x ＝3cos x ，所以tan x ＝3，因此tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×31－32＝－34，故选C.8．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255 B.255C ．±255 D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos α＝1－sin 2α＝53，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.9．在三角形ABC 中，若sin A ＋cos A ＝15，则tan A ＝( )A.34B ．－43 C ．－34D ．±43答案 B解析解法一：因为sin A ＋cos A ＝15，所以(sin A ＋cos A )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，所以1＋2sin A cos A＝125，所以sin A cos A ＝－1225. 又A ∈(0，π)，所以sin A >0，cos A <0.因为sin A ＋cos A ＝15，sin A cos A ＝－1225，所以sin A ，cos A 是一元二次方程x 2－15x －1225＝0的两个根，解方程得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－43.故选B.解法二：由解法一，得sin A >0，cos A <0，又sin A ＋cos A ＝15>0，所以|sin A |>|cos A |，所以π2<A <3π4，所以tan A <－1，故选B.10．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 答案 0解析原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.11. 设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.点击观看解答视频答案3解析 ∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tanπ6＝ 3.能力组12.已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A.3π16B.3π8C.3π4D.3π2答案 B解析 S 扇＝12|α|r 2＝12|α|×1＝3π16，所以|α|＝3π8.13．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25C.25或－25D ．－15 答案 A解析因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 14．已知α∈(0，π)且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，则cos α－sin α的值( ) A ．为正 B ．为负 C ．为零 D ．为正或负答案 B解析若0<α<π2，如图所示，在单位圆中，P (cos α，sin α)，OM ＝cos α，MP ＝sin α，所以sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α－sin α<0，故选B.15．△ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4 答案 B解析因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sinC <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1，故选B.。

高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练4.2三角函数的图象变换及应用理30

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数课时撬分练4.2三角函数的图象变换及应用理时间：60分钟基础组1.[2016·衡水二中仿真]已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13答案 C解析 2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3.又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010.2．[2016·衡水中学周测]若函数y ＝cos2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性相同，则φ的一个值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 D解析易知y ＝cos2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，因为y ＝sin(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，则x ＋φ∈[ π2＋2k π，3π2＋2k π ]，k ∈Z ，经验证，得φ＝π2符合题意，故选D.3．[2016·冀州中学期末]为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴需要把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．[2016·衡水中学预测]设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6，∵函数图象关于直线x ＝0对称， ∴函数f (x )为偶函数， ∴φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos2x ，∴T ＝2π2＝π.∵0<x <π2，∴0<2x <π，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．故选B.5．[2016·枣强中学热身]函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin (2x ＋π3＋φ)，又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z .又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，即当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A. 6．[2016·衡水中学猜题]已知函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6轴对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减答案 C解析函数f (x )＝sin2x 向左平移π6个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令x ＝－π3，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3≠0，A 不正确；令x ＝－π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin0＝0≠±1，B 不正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，故选C.7．[2016·衡水中学一轮检测]将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增答案 B解析设平移后的函数为f (x )，则f (x )＝3sin ⎣⎢⎡2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋⎦⎥⎤π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ，同理得递增区间为[ k π＋π12，k π＋⎦⎥⎤7π12，k ∈Z .从而可判断得B 正确． 8．[2016·冀州中学模拟]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4B ．y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4C ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 答案 B解析由图象的最高点为4，最低点为－4，可确定|A |＝4.结合正弦型函数的特征可知A ＝－4，T ＝2πω＝16，ω＝π8，又f (6)＝0，|φ|<π2，可得φ＝π4，故选B. 9．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) 解析由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x－π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 10．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π.11．[2016·衡水二中月考]已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．解 (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以T ＝2πω＝π，故f (x )的最小正周期为π.2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－1.12．[2016·武邑中学热身]已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的单调递增区间； (2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos2x2＋sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )．(2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎢⎡ 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－⎦⎥⎤π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋1，由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1，最小值为0.能力组13.[2016·衡水二中热身]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3B.23πC.43π D.π3或43π 答案 D解析要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于直线x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3.14.[2016·武邑中学期末]把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________．答案 ②④解析将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.15.[2016·衡水二中预测]已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解解法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .解法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 ＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .16.[2016·冀州中学期末]已知向量m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称．点击观看解答视频(1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＝a 2(1－cos2x )＋b2sin2x . 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin2x ＋b cos2x ，又f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤2，f (x )∈[0,3]．又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.敬请批评指正。

高考数学(理科)异构异模复习考案撬分法习题：第四章三角函数课时撬分练4-3 Word版含答案

………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水二中猜题]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin2α等于( )A ．－825B.825 C ．－1725D.1725 答案C解析 sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2⎝⎛π4＋α⎭⎫－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725，故选C.2．[2016·衡水二中一轮检测]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78B ．－14 C.14D.78 答案A解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，得sin ⎣⎢⎡ π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(π6＋α)＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.3．[2016·冀州中学周测]在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C ＝( )A.365B.3665C.1665D.3365 答案C解析在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665.4．[2016·衡水二中月考]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326 答案C解析由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.故选C. 5．[2016·枣强中学周测]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋3D ．2－ 3 答案B解析依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.6.[2016·冀州中学预测]若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )点击观看解答视频A.33B ．－33 C.539D ．－69 答案C解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539. 7．[2016·枣强中学一轮检测]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33 C.2D. 3答案D解析由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即sin 2α＝34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝3，故选D. 8．[2016·冀州中学月考]关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )·cos x 的四个结论：p 1：最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；p 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ；p 4：图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z . 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案B解析因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以最大值为2－1，所以p 1错误．将g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后得到h (x )＝2·sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误．由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确．由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，所以选B. 9.[2016·衡水中学月考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案513解析由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又∵3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.10．[2016·衡水中学期中]已知13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．答案5665解析将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin(α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)＝5665.11.[2016·武邑中学期中]已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.点击观看解答视频(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2. 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，所以－32<k ≤32或k ＝－1.12．[2016·衡水中学期末]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求： (1)sin2α； (2)tan α－1tan α.解(1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛2α＋π3⎭⎪⎫＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，注意到α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，故2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛2α＋π3⎭⎪⎫cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12＋32×32＝12.(2)∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.⎝⎛或者由(1)知2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝⎭⎪⎫ 2 3.能力组13.[2016·冀州中学猜题]设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19D.79 答案A解析 sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.14．[2016·衡水中学模拟]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为________．答案±35解析 ∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角． ∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35.15．[2016·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，证明：5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α. 解(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x ＝cos2x cos π6－sin2x sin π6＋sin2x ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64. (2)证明：由(1)，知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝sin ⎣⎢⎡ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＋⎦⎥⎤π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22sin2α－22cos2α.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，所以cos α＝1－sin 2α＝55.所以sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.所以tan4α＝2tan2α1－tan 22α＝247. 所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2α－22cos2α ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝722，又122tan4α＝122247＝722，所以5f ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α.16.[2016·冀州中学一轮检测]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.点击观看解答视频(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α，求cos α－sin α的值．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z . 所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54. 由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.。

[推荐学习]2018高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练4.4正余弦定理及解三角形理

2018高考数学异构异模复习考案第四章三角函数课时撬分练4.4正、余弦定理及解三角形理时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学月考]在△ABC 中，若a ＝2b ，面积记作S ，则下列结论中一定成立的是( )A ．B >30° B ．A ＝2BC ．c <bD ．S ≤b 2答案 D解析由三角形的面积公式知S ＝12ab sin C ＝122b ·b sin C ＝b 2sin C ，因为0<sin C ≤1，所以b 2sin C ≤b 2，即S ≤b 2，故选D.2．[2016·冀州中学期末]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.34 B.23C.24D.14答案 A解析 ∵a ，b ，c 成等比数列且c ＝2a ， ∴b 2＝ac ＝2a 2，∴b ＝2a .由余弦定理的推论可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34.故选A.3．[2016·枣强中学热身]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为( )A ．60°B ．30°C ．150°D ．45°答案 B解析由sin B ＋cos B ＝2得1＋2sin B cos B ＝2，则sin2B ＝1，因为0°<B <180°，所以B ＝45°，又因为a ＝2，b ＝2，所以在△ABC 中，由正弦定理得2sin A ＝2sin45°，解得sin A ＝12，又a <b ，所以A <B ＝45°，所以A ＝30°.4．[2016·衡水中学一轮检测]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析解法一：因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得，a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形．解法二：因为a ＝2b cos C ，由正弦定理得sin A ＝2sin B cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C 得sin(B －C )＝0，又B 、C ∈(0，π)，所以B ＝C .5．[2016·衡水二中周测]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a,2b,2c 成等比数列，则cos A cos B ＝( )A.14B.16C.12D.23答案 A解析由已知得2B ＝A ＋C ，又A ＋C ＋B ＝π，故B ＝π3，又4b 2＝4ac ，则b 2＝ac ，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝ac ，即(a －c )2＝0，故a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形，则cos A cos B ＝cos60°×cos60°＝14.6．[2016·枣强中学仿真]某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．3 答案 C解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x km ，BC ＝3 km ，AC ＝ 3 km ，∠ABC ＝30°，由余弦定理，得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.7．[2016·衡水二中月考]在不等边△ABC (三边均不相等)中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有cos A cos B ＝ba，则角C 的大小为________．答案π2解析依题意得a cos A ＝b cos B ，从而sin A cos A ＝sin B cos B ，sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，又△ABC 三边均不相等，因此A ＋B ＝π2，C ＝π2.8.[2016·武邑中学热身]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，若给定一个b 的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b 的取值范围为________．答案 (0， 3 ]∪{2}解析如图1所示，当a ＝b sin A ，即3＝b sin π3，b ＝2时，△ABC 为直角三角形，只有一个解；如图2所示，当a ≥b 时，即0<b ≤3时，三角形有且只有一个．所以b 的取值范围为(0， 3 ]∪{2}．9．[2016·衡水二中期中]已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝43，b ＝6，cos A ＝－13.(1)求c ；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π4的值．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据得48＝36＋c 2－2×c ×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即c 2＋4c －12＝0，(c ＋6)(c －2)＝0，解得c ＝2或c ＝－6(舍)，∴c ＝2.(2)由cos A ＝－13<0，得A 为钝角，且sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b ·sin A a ＝6×22343＝63，由于B为锐角，则cos B ＝33， cos2B ＝1－2sin 2B ＝1－2×23＝－13，sin2B ＝2sin B cos B ＝2×63×33＝223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π4＝22(cos2B ＋sin2B )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋223＝4－26. 10.[2016·枣强中学模拟]如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝108，cos ∠ADC ＝－14.(1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长．解 (1)因为cos B ＝108，所以sin B ＝368. 又cos ∠ADC ＝－14，所以sin ∠ADC ＝154，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝154×108－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×368＝64.(2)在△ABD 中，由ADsin B ＝BD sin ∠BAD 得3368＝BD64，解得BD ＝2.故DC ＝2，从而在△ADC 中，由AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝32＋22－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，得AC ＝4.11.[2016·衡水二中期末]在△ABC 中，2sin2C ·cos C －sin3C ＝3(1－cos C )． (1)求角C 的大小；(2)若AB ＝2，且sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解 (1)由2sin2C ·cos C －sin(2C ＋C )＝3(1－cos C )，得sin2C cos C －cos2C sin C ＝3－3cos C ，化简得sin C ＝3－3cos C ，即sin C ＋3cos C ＝3，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝32，从而C ＋π3＝2π3，故C ＝π3.(2)由sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin2A ，可得sin B cos A ＝2sin A cos A . 所以cos A ＝0或sin B ＝2sin A . 当cos A ＝0时，A ＝90°，则b ＝23，S △ABC ＝12·b ·c ·sin A ＝12×23×2×1＝233；当sin B ＝2sin A 时，由正弦定理得b ＝2a .由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－42·a ·2a ＝12，可知a 2＝43.所以S △ABC ＝12·b ·a ·sin C ＝12·2a ·a ·32＝32a 2＝233.综上可知S △ABC ＝233.12．[2016·冀州中学仿真]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对边的边长，且C ＝π3，a ＋b ＝λc (其中λ>1)．(1)若λ＝3时，证明△ABC 为直角三角形； (2)若AC →·BC →＝98λ2，且c ＝3，求λ的值．解 (1)∵λ＝3，∴a ＋b ＝3c ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝3sin C ， ∵C ＝π3，∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝32， ∴32sin B ＋32cos B ＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32，从而B ＋π6＝π3或B ＋π6＝2π3，B ＝π6或B ＝π2. 若B ＝π6，则A ＝π2，△ABC 为直角三角形；若B ＝π2，△ABC 亦为直角三角形．(2)若AC →·BC →＝98λ2，则12a ·b ＝98λ2，∴ab ＝94λ2.又a ＋b ＝3λ，由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即a 2＋b 2－ab ＝c 2＝9，即(a ＋b )2－3ab ＝9，故9λ2－274λ2＝9，得λ2＝4，又∵λ>1，即λ＝2.能力组13.[2016·衡水二中模拟]已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且面积S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A.π4B.π6C.2π3D.π12答案 A解析因为S △ABC ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，所以sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，故A ＝π4.14.[2016·枣强中学期末]若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故令a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴△ABC 为钝角三角形，故选C.15．[2016·衡水二中仿真]在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2cos(B －C )＝4sin B sin C －1.(1)求A ；(2)若a ＝3，sin B 2＝13，求b .解 (1)由2cos(B －C )＝4sin B sin C －1，得2(cos B cos C ＋sin B sin C )－4sin B sin C ＝－1，即2(cos B cos C －sin B sin C )＝－1.从而2cos(B ＋C )＝－1得cos(B ＋C )＝－12.又A ，B ，C 为△ABC 的内角， ∴B ＋C ＝23π，故A ＝π3.(2)由(1)知0<B <23π，∴0<B 2<π3，已知sin B 2＝13，得cos B 2＝223，∴sin B ＝2sin B 2cos B2＝429，由正弦定理b sin B ＝a sin A 得b 429＝332，解得b ＝869.16．[2016·衡水二中热身]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A ，B ，P ，Q ，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P ，Q 两棵树和A ，P 两棵树之间的距离，现可测得A ，B 两点间的距离为100 m ，∠PAB ＝75°，∠QAB ＝45°，∠PBA ＝60°，∠QBA ＝90°，如图所示．则P ，Q 两棵树和A ，P 两棵树之间的距离各为多少？解 △PAB 中，∠APB ＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得AP sin60°＝100sin45°⇒AP ＝50 6.△QAB 中，∠ABQ ＝90°，∴AQ ＝1002，∠PAQ ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ 2＝(506)2＋(1002)2－2×506×1002cos30°＝5000， ∴PQ ＝5000＝50 2.因此，P ，Q 两棵树之间的距离为50 2 m ，A ，P 两棵树之间的距离为50 6 m.。

2018高考数学(文科)异构异模复习考案撬分法习题第四章三角函数4-4-2Word版含答案

1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24答案 A解析由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12得，sin2A ＋sin ＋sin ＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A ＝12，所以2sin A ＝12，所以2sin A ＝12，即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式S ＝12ab sin C ，①S ＝12ac sin B ，② S ＝12bc sin A ，③因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c >a ，得bc (b ＋c )>8一定成立，而a ＋b >c ，ab (a ＋b )也大于8，而不一定大于162，故选A.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC面积的最大值为93，则λ的值为( )A ．8B ．12C ．16D ．21答案 B解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.点击观看解答视频答案 100 6解析依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理可得600sin45°＝BC sin30°，即BC ＝300 2m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD＝100 6 m.5．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析由AB →·AC →＝tan A ，可得|AB →||AC →|cos A ＝tan A . 因为A ＝π6，所以|AB →||AC →|·32＝33，即|AB →||AC →|＝23.所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC的面积为42，则b ＋asin A的值等于________．答案 16 2解析依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B＝16 2.7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12. 又0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°. 8．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin60°7＝217.因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．点击观看解答视频(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解 (1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98. 10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.11.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．点击观看解答视频(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.12. 如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.。