高考数学异构异模复习第四章三角函数4.4.2解三角形及其综合应用撬题文

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.4.2 解三角形

及其综合应用撬题 文

1．钝角三角形ABC 的面积是1

2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )

A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B

解析 由题意知S △ABC ＝1

2AB ·BC ·sin B ，

即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.

当B ＝45°时，AC 2

＝AB 2

＋BC 2

－2AB ·BC ·cos B ＝12

＋(2)2

－2×1×2×2

2

＝1. 此时AC 2

＋AB 2

＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；

当B ＝135°时，AC 2

＝AB 2

＋BC 2

－2AB ·BC ·cos B ＝12

＋(2)2

－2×1×2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.

2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋1

2，面积S

满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )

A ．bc (b ＋c )>8

B ．ab (a ＋b )>16 2

C ．6≤abc ≤12 D．12≤abc ≤24 答案 A

解析 由sin2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋1

2得，sin2A ＋sin[A －(B －C )]＋sin[A

＋(B －C )]＝12，所以sin2A ＋2sin A cos(B －C )＝12.所以2sin A [cos A ＋cos(B －C )]＝1

2，所以

2sin A [cos(π－(B ＋C ))＋cos(B －C )]＝12，所以2sin A [－cos(B ＋C )＋cos(B －C )]＝1

2

，

即得sin A sin B sin C ＝18.根据三角形面积公式S ＝1

2

ab sin C ，①

S ＝12ac sin B ，② S ＝12

bc sin A ，③

因为1≤S ≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3

＝18a 2b 2c 2sin A sin B sin C ≤8，即

64≤a 2b 2c 2

≤512，所以8≤abc ≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三

边，故b ＋c >a ，得bc (b ＋c )>8一定成立，而a ＋b >c ，ab (a ＋b )也大于8，而不一定大于162，故选A.

3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π

3，a ＋b ＝λ，若△ABC

面积的最大值为93，则λ的值为( )

A ．8

B ．12

C ．16

D ．21 答案 B

解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝316λ2

＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.

4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.

答案 1006

解析 依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理可得600sin45°＝BC sin30°，即BC ＝300 2

m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD

3002

，所以CD ＝

100 6 m.

5．在△ABC 中，已知AB →·AC →

＝tan A ，当A ＝π

6

时，△ABC 的面积为________．

答案

16

解析 由AB →·AC →＝tan A ，可得|AB →||AC →

|cos A ＝tan A .

因为A ＝π6，所以|AB →||AC →|·32＝33，即|AB →||AC →

|＝2

3

.

所以S △ABC ＝12|AB →||AC →

|·sin A ＝12×23×12＝1

6

.