圆的内接四边形

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圆内接四边形边长公式

圆内接四边形边长公式
圆内接四边形边长公式：
1、内接四边形边长公式：边长a=2Rcos45°
2、圆半径R：圆半径可以是任意数值，只要满足一定条件，就可以确
定圆内接四边形的边长。

3、45°：45°是正四边形的夹角，也就是说，圆内接四边形的每个夹角
都是45°。

4、cos45°：cos（45°）=√2/2，45°是一个对角垂直的角度，cos45°的值
是√2/2，所以边长公式为：a=2Rcos45°。

5、内接四边形求周长：正四边形的面积可以通过半径R和边长a计算，用P表示正四边形的周长，则P=4a，即P=4*2Rcos45°。

6、内接四边形求面积：正四边形的面积可以由半径R和边长a计算，
用S表示正四边形的面积，则S=2Rcos45°。

总结：
圆内接四边形边长公式为：a=2Rcos45°，其中R是圆的半径，45°为正四边形的夹角，cos45°=√2/2，因此可以求出圆内接四边形的边长。

该正四边形的周长P=4a，面积S=2Rcos45°。

九年级数学圆的内接四边形

半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
内接四边形对角互补定理
圆内接四边形的对角互补，即任一外角等于其内对角。
利用角度关系求解问题
通过已知角度求解未知角度
01
利用内接四边形对角互补定理和圆心角定理，可以通过已知角
度求解出未知角度。
通过已知边长求解角度
02
在已知内接四边形的某些边长时，可以利用正弦、余弦定理等
利用边长关系求解问题
已知边长求角度
在已知内接四边形部分边长的情况下，通过边长比例关系求解未知角度。
已知角度求边长
在已知内接四边形部分角度的情况下，通过三角函数和边长比例关系求解未知边长。
综合应用
结合已知条件和所求问题，综合运用边长比例关系、三角函数和相似三角形等知识求解问题。
拓展：相似三角形在内接四边形中应用
求解出相应的角度。
角度与弧度的转换
03
在求解与圆相关的问题时，经常需要在角度与弧度之间进行转
换。
拓展：外角、内角和公式应用
内角和公式
多边形的内角和公式为（n-2） ×180°，其中n为多边形的边数。
对于圆内接四边形，其内角和为 360°。
外角公式
多边形的外角和公式为360°，即所有外角之和等于360°。对于圆内接四边形，每个外角都等于相邻的内对角。
02
若一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆，即这个四边形是某个圆的内接四边形。
性质定理梳理
圆内接四边形的对角互补：即对于圆内接四边形ABCD，有∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
若在圆内接四边形中，有一个角是直角，则其对角也是直角。

圆内接四边形的性质及判定定理

二圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21][例1]如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为4x,3x,5x ，则由∠A ＋∠C ＝180°，可得4x ＋5x ＝180°.∴x ＝20°.∴∠A ＝4×20°＝80°，∠B ＝3×20°＝60°， ∠C ＝5×20°＝100°，∠D ＝180°－∠B ＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD的延长线上的点，且DE 平分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC ＝∠4. ∴AB ＝AC .(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC ， ∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB . ∴AB AE ＝ADAB. ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2， ∴AE ＝AB 2AD ＝92.∴DE ＝92－2＝52(cm).[例2] 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC于P .求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接PF ，构造四边形EDPF 的外角∠FPC ，证明∠FPC ＝∠C ，再证明∠FPC ＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接PF ， ∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，∴PF ＝12AC .∵FC ＝12AC ，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥P A.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP ∽△DCB ， ∴BC DC ＝CP CB. ∴CB 2＝CP ·CD .又CB ＝AC ，∴AC 2＝CP ·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .解：(1)证明：在△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知：△ABD ≌△BCE ，即∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°，所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (2)如图，连接DE .在△CDE 中，CD ＝2CE ， ∠ACD ＝60°，由余弦定理知∠CED ＝90°. 由四点P ，D ，C ，E 共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ，所以AP ⊥CP .[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A ＝sin C ，②sin A ＋sin C ＝0，③cos B ＋cos D ＝0，④cos B ＝cos D . 其中恒成立的关系式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A ＝180°－∠C ，且∠A ，∠C 均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36．如图，直径AB ＝10，弦BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______， BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB . 即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD . ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 27．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，则∠AOB ＝________，∠ADB ＝________.解析：∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，劣弧AB 的度数为68°，∴优弧AB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.答案：68° 146° 三、解答题8.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：E ，F ，G ，H 共圆．证明：法一：连接EF 、FG 、GH 、HE . ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC .同理EH ∥BD .∴∠HEF ＝∠AOB .∵AC ⊥BD ，∴∠HEF ＝90°. 同理∠FGH ＝90°. ∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°. ∴E 、F 、G 、H 共圆．法二：连接OE 、OF 、OG 、OH .∵四边形ABCD 为菱形． ∴AC ⊥BD ， AB ＝BC ＝CD ＝DA .∵E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点， ∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12DA .∴OE ＝OF ＝OG ＝OH .∴E ，F ，G ，H 在以O 点为圆心，以OE 为半径的圆上．故E ，F ，G ，H 四点共圆．9.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE . 因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．别是劣弧AB 与10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分优弧ADB 上的任一点(点C 、D 均不与A 、B 重合)．(1)求∠ACB .(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA 、OB ，作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE .Rt △AOE 中，OA ＝2. AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.所以sin ∠AOE ＝AE OA ＝32，∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°.从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB ，垂足为F ，则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然，当DF 经过圆心O 时，DF 取最大值，从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3，S △ABD ＝33，即△ABD 的最大面积是3 3.。

圆内接四边形的性质(对角线相等)

圆内接四边形的性质（对角线相等）圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，本文将探讨圆内接四边形的性质之一——对角线相等。

1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

这种情况下，对角线相等的性质就会出现。

2. 圆内接四边形的性质对于任意一个圆内接四边形，其对角线是相等的。

也就是说，四边形的两条对角线长相等。

证明如下：设圆内接四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，四条边分别为AB、BC、CD、DA。

连接AC和BD作为对角线。

我们需要证明|AC| = |BD|。

由于四边形的四个顶点都在同一个圆上，根据圆上弧所对的圆心角相等的性质，我们可以得到：∠ABC = ∠CDA∠BCD = ∠DAB又因为圆上的切线与半径垂直，我们可以得到：∠BAC = ∠BDC∠CBD = ∠CAD根据上述等角关系，我们可以证明△ABC与△CDA全等，以及△BCD与△DAB全等。

因此，我们可以得出以下结论：∠A = ∠C，∠B = ∠D△ABD与△CBA全等根据全等三角形的性质，我们可以得到：|AB| = |CB||AD| = |CD|因此，我们有|AC| = |AB| + |BC| = |CB| + |CD| = |BD|。

这样，我们证明了对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

3. 圆内接四边形的应用圆内接四边形的对角线相等这一性质在几何学中有广泛应用。

例如，当我们需要求解一个圆内接四边形的对角线长度时，我们可以利用这一性质进行计算。

另外，对角线相等还可以用于证明其他性质，扩展到更复杂的几何问题中。

4. 总结圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

这一性质可以通过等角关系和全等三角形的性质进行证明。

圆内接四边形的对角线相等性质在几何学中有广泛应用，可以用于计算和证明其他性质。

通过本文的讨论，我们对圆内接四边形的对角线相等性质有了更深入的了解，也增加了对几何学中相关概念的理解。

圆内接四边形

四边形内接于圆的定义是，当一个四边形的所有顶点都位同一个圆的周上时，我们称这个四边形为圆内接四边形，而这个圆则被称为该四边形的外接圆。圆内接四边形具有一些特殊的性质，其中最重要的是其对角互补性质，即四边形任意两个对角的角度之和等于180度。此外，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，这是其另一个显著特点。这些性质在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和四边形相关的问题时。通过理解和应用这些性质，我们可以更深入地探索圆与四边形之间的关系，以及它们在几何学中的重要地位。

圆的内接四边形课件

04
圆的内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
性质研究
圆的内接四边形具有一系列独特的性质，如对角和定理、外角定理等，这些性质在几何证明和解题中有着广泛的应用。
图形变换
通过圆的内接四边形的性质，可以实现图形的对称、旋转、平移等变换，有助于解决复杂的几何问题。
在建筑设计中的应用
Hale Waihona Puke 建筑设计构思圆的内接四边形PPT课件
目录
• 圆的内接四边形的定义和性质 • 圆的内接四边形的判定定理 • 圆的内接四边形的面积和周长计算 • 圆的内接四边形的实际应用 • 圆的内接四边形的拓展知识
01
圆的内接四边形的定义和性质
定义
总结词
圆的内接四边形的定义
详细描述
圆的内接四边形是指四个顶点都在同一个圆上的四边形。
性质
总结词
圆的内接四边形的性质
详细描述
圆的内接四边形具有一些特殊的性质，如对角互补、外角等于内对角等。这些性质在解题时可以发挥重要的作用。
分类
总结词
圆的内接四边形的分类
详细描述
根据四边形的不同性质，可以将圆的内接四边形分为不同的类型，如矩形、正方形等。不同类型的内接四边形具有不同的性质和特点，在解题时需要根据具体情况进行分析。
参加数学竞赛有助于提高对圆的内接四边形的理解和应用能力。
实践应用
通过解决实际问题，加深对圆的内接四边形的理解。
THANKS
感谢观看
圆的内接四边形可以作为建筑设计的基本构图元素，通过调整四边形的形状和角度，可以创造出富有创意和美感的建筑结构。
建筑结构稳定性分析
利用圆的内接四边形的性质，可以对建筑结构的稳定性进行分析和优化，提高建筑的安全性和耐久性。

圆内接四边形定义

圆内接四边形定义什么是圆内接四边形圆内接四边形是指一个四边形，其四个顶点都在同一个圆的圆周上，并且四个边都切割该圆。

圆内接四边形也被称为圆角四边形。

圆内接四边形的特点1.圆内接四边形的四个内角之和等于360度。

2.圆内接四边形的对角线相互垂直，且互相平分。

3.圆内接四边形的相对边长之和保持不变。

4.圆内接四边形的内角对应的两个弧度测度之和等于180度。

圆内接四边形的分类根据四边形的属性，圆内接四边形可以分为以下几类： ### 矩形矩形是一种特殊的圆内接四边形，它的相邻两边长度相等且对角线相等。

矩形的内角都是90度，因此也是一个平行四边形。

正方形正方形也是一种特殊的矩形和圆内接四边形。

正方形的四条边都相等且内角都是90度。

平行四边形平行四边形是另一种常见的圆内接四边形，它的对边是平行的，且相邻两边长度相等。

菱形菱形也是一种圆内接四边形，它的四条边都相等，相邻两边长度相等，且对角线相互垂直且平分。

不规则四边形不规则四边形是指除了上述几种特殊情况外的圆内接四边形。

它的四边长度和内角大小都可以不相等。

圆内接四边形的性质圆内接四边形有一些独特的性质，下面将逐一介绍。

### 1. 对角线垂直且平分圆内接四边形的对角线相互垂直且平分，即两条对角线的交点是对角线的中点。

这个性质在证明圆内接四边形的特性时非常有用。

2. 相对角之和为180度圆内接四边形的相对角之和等于180度，即对角线所夹的两个内角之和为180度。

这个性质可以通过证明对角线是平行线来推导。

3. 外接圆圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆的圆周上，因此可以构成一个外接圆。

外接圆的性质是，四边形的任意一条边都是外接圆的切线。

4. 内接圆圆内接四边形的四条边都切割同一个圆，因此可以构成一个内接圆。

内接圆的性质是，四边形的任意一条边都是内接圆的切线。

圆内接四边形的应用圆内接四边形可以应用于许多几何问题中，如建筑设计、机械加工等。

以下是一些常见应用场景： 1. 建筑设计：在建筑设计中，圆内接四边形可以用来构建有趣的立面形状，增加建筑的艺术感和视觉效果。

圆的内接四边形定理

圆的内接四边形定理圆的内接四边形定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆内接四边形的性质。

这个定理在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。

在本文中，我们将详细介绍圆的内接四边形定理的定义、证明和应用。

定义圆的内接四边形定理是指：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是内接四边形，它的对角线互相垂直，且对角线的交点是圆的中心。

证明我们可以通过几何推理来证明圆的内接四边形定理。

首先，我们假设一个四边形ABCD是内接四边形，它的四个顶点都在同一个圆上。

我们需要证明的是，对角线AC和BD互相垂直，且它们的交点O是圆的中心。

我们可以通过以下步骤来证明：1. 连接对角线AC和BD，它们的交点为O。

2. 由于四边形ABCD是内接四边形，所以它的四个顶点都在同一个圆上。

因此，我们可以得到以下两个等式：∠AOC + ∠COD = 180°∠BOC + ∠COA = 180°3. 将这两个等式相加，得到：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 360°4. 由于圆的周角定理，圆的周角等于360°，因此：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 圆的周角5. 由于四边形ABCD是内接四边形，所以它的对角线互相垂直。

因此，我们可以得到以下两个等式：∠AOC + ∠COA = 90°∠BOC + ∠COD = 90°6. 将这两个等式相加，得到：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 180°7. 将步骤5和步骤6的结果代入步骤4的等式中，得到：180° = 圆的周角8. 由于圆的周角等于360°，因此：180° = 360°9. 这是一个矛盾的结论，因此我们的假设不成立。

因此，我们可以得出结论：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是内接四边形，它的对角线互相垂直，且对角线的交点是圆的中心。

圆内接四边形

圆内接四边形
垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。

（这三边的中垂线的交点就是圆心）。

产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

基本模型：
思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可
要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。

思路三：运用有关性质和定理：①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

产生原因：圆内接四边形的对角互补。

基本模型
②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。

产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。

方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆
③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。

产生原因：直径所对的圆周角是直角
④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。

产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。

基本模型：
⑤用相交弦定理或切割线定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。

（相交弦定理的逆定理）产生原因：相交弦定理。

基本模型。

圆内接四边形性质定理

CD ·OBA EP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则：一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接OB 、OD 则∠A=21β，∠C=21α ∵α+β=360°∴∠A+∠C=21×360°=180°同理得∠B+∠D=180°（也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。

设圆内接四边形ABCD证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO 并延长，交⊙O 于E 。

连接AE 、CE 。

则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等）∴∠1+∠2+∠5+∠6=21×360°=180°∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

圆内接四边形性质

圆内接四边形性质圆的内接四边形性质：以圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则：1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB4、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD5、圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）6、相交弦定理：AP×CP=BP×DP7、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD[扩展知识]判定定理：1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆。

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆。

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆。

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆。

5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆。

圆内接四边形：1、四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

2、圆内接四边形的对角互补。

3、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

4、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

5、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。

6、圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。

（a,b,c,d为四边形的四边长，其中P=(a+b+c+d)/2）。

圆内接四边形定义

圆内接四边形定义圆内接四边形定义圆内接四边形，是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，并且这个四边形的对角线互相垂直。

它也被称为“圆柱”，因为其形状类似于一个放在圆柱体内的四边形。

这种四边形有许多特殊性质，因此在几何学中有着重要的应用。

定义圆内接四边形是由四条弦组成的，其中每条弦都是圆上两个点之间的线段。

这样的弦可以将圆分成两部分，每一部分都包含了一个顶点和两条相邻的边。

当所有四条弦交于同一点时，它们所包含的两个部分就组成了一个完整的四边形。

特性1. 对角线互相垂直在圆内接四边形中，对角线互相垂直。

这意味着任意两条对角线都会交于同一点，并且交点同时也是该四边形所在圆心。

2. 对角线相等由于对角线互相垂直，因此它们长度也相等。

这意味着任意两条对角线长度都相等。

3. 对角线平分在一个圆内接四边形中，每条对角线都平分另一条对角线。

这意味着圆内接四边形中每两个相邻的三角形都是全等的。

4. 外接圆在一个圆内接四边形中，其四个顶点都在同一圆上。

这个圆称为外接圆，它的直径就是对角线长度。

5. 周长公式在一个圆内接四边形中，如果我们知道其中任意三条边的长度以及对角线长度，那么我们就可以计算出该四边形的周长。

周长公式如下：周长 = a + b + c + d其中a、b、c、d分别表示该四边形的四条边的长度。

6. 面积公式在一个圆内接四边形中，如果我们知道其两条对角线长度，那么我们就可以计算出该四边形的面积。

面积公式如下：面积= 1/2 × 对角线1 × 对角线2其中对角线1和对角线2分别表示该四边形的两条对角线长度。

应用由于其特殊性质和简单性质，圆内接四边形在几何学中有着广泛应用。

例如，在计算机图像处理和计算机视觉领域中，它被用来检测和识别物体的形状。

在建筑学中，它被用来设计建筑物的外观和结构。

在机械工程中，它被用来设计机器零件和工具。

总之，在各个领域中，圆内接四边形都有着广泛的应用。

圆内接四边形的性质及其应用

03 圆内接四边形的面积和周长
面积的计算
面积公式
圆内接四边形的面积可以通过公式计算，公式为$S = frac{1}{2} times d times p$，其中$d$是圆的直径，$p$是圆内接四边形
的周长。
面积与半径的关系
圆内接四边形的面积与半径成正比，当半径增大时，面积也相应
增大。
面积与角度的关系
04 圆内接四边形的实际应用
在几何作图中的应用
性质利用
圆内接四边形的对角互补性质在几何作图中常被用来确定点或线的位置。例如，通过已知的两个相对角的度数，可以确定一个圆的圆心和半径。
VS
作图工具
圆内接四边形可以作为作图工具，帮助确定复杂图形的角和边的长度。例如，在绘制椭圆或更复杂的几何图形时，可以利用圆内接四边形的性质来辅助作图。
，证明相对的两个内角互补。
弦切角定理的证明
总结词
弦切角定理表明，在圆内接四边形中，切线与弦之间的夹角等于该弦所对的圆周角。
详细描述
要证明弦切角定理，可以首先在圆内接四边形中作一条切线，并连接该切线与弦的端点。然后，利用圆的切线性质和圆周角定理（圆周角等于同弧所对的圆心角的一半），证明弦切角定理成立。
切线长定理
总结词
切线长定理表明在圆内接四边形中，两条相对的切线长度相等，且两条切线的交点到两切点的距离也相等。
详细描述
在圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是切线，那么线段AC等于线段BD，即AC = BD。这是因为切线与半径垂直，而两条切线的交点到两切点的距离相等。这个定理可以用来判断一个四边形是否为圆内接四边形。
圆内接四边形的面积还与其相对的两个角度有关，相对角度越大，

圆内接四边形课件

与矩形的关系
特殊的圆内接四边形是矩形，即对角线相等的平行四边形。
与菱形的关系
特殊的圆内接四边形是菱形，即四边相等的平行四边形。
与正方形的关联
正方形是特殊的矩形和菱形的结合体，因此也是特殊的圆内接四边形。
圆内接四边形的历史与发展
古代起源
01
古希腊数学家开始研究圆内接四边形，发现了其与圆的性质之
详细描述
圆内接四边形的定义是四个顶点都在同一个圆周上的四边形。这个圆被称为四边形的外接圆。
性质
总结词
圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括对角互补、外角等于内对角等。
详细描述
圆内接四边形的性质包括对角互补，即相对的两个内角之和为180度；外角等于内对角，即外角等于另一个内角所对的弧上的圆周角。此外，圆内接四边形的对角线互相平分，且相对的两边之积等于另外两边之积。
分类
总结词
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型。
详细描述
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型，分别是正圆内接四边形、椭圆内接四边形、抛物线内接四边形和双曲线内接四边形。不同类型的圆内接四边形具有不同的性质和特点。
02
圆内接四边形的判定定理
定理内容
注意作图的精度
在绘制过程中，要注意作图的精度，尽量保证四边形各边的长度相等，角度相等，以提高作图的准确性。
05
圆内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
圆内接四边形是几何学中的基本图形之一，它在证明定理和推导公式等方面具有广泛的应用。例如，利用圆内接四边形的性质可以证明勾股定理、托勒密定理等重要的几何定理。
圆内接四边形也是解析几何和微积分中的基础概念，常用于研究曲线的性质和函数的极值等问题。

圆的内接四边形

圆的内接四边形圆的内接四边形是指一个四边形，四个顶点都位于圆的周径上，且每个顶点与圆心连线构成的向量相互垂直。

内接四边形有许多有趣的性质和应用。

在本文档中，我们将介绍内接四边形的定义、性质以及如何构造和计算它们。

定义内接四边形是指一个四边形，四个顶点A、B、C、D都位于圆的周径上，并且每个顶点与圆心O相连的半径向量OA、OB、OC、OD之间两两垂直。

以下是一个示意图：B _________ C/ // // O /A/_______D/性质1.对角线垂直：内接四边形的两条对角线AC和BD相互垂直。

2.对角线相等：内接四边形的两条对角线AC和BD相等。

3.角平分线相等：内接四边形的对角线与边之间的夹角平分线相等。

也就是说，∠BAD = ∠ABC，并且∠ABD = ∠ACD。

4.周长最大：给定一个固定的圆，它的内接四边形的周长是所有可能的四边形中最大的。

5.面积最大：给定一个固定的圆，它的内接四边形的面积是所有可能的四边形中最大的。

6.矩形特例：当内接四边形是一个矩形时，矩形的对角线相等且垂直，它的周长和面积可以通过简单的公式计算。

构造内接四边形的方法有多种方法可以构造一个内接四边形。

方法1：正方形内接四边形的构造给定一个正方形，它的对角线相等且垂直。

因此，正方形也是一个内接四边形。

方法2：菱形内接四边形的构造给定一个菱形，它的对角线相等且垂直。

因此，菱形也是一个内接四边形。

方法3：使用割线构造内接四边形给定一个圆，我们可以通过割线的方法构造出一个内接四边形。

割线是指从圆外一点上的切线与圆相交，而切点分别与圆心连线构成的四边形。

这个四边形是一个内接四边形，对角线相等且垂直。

计算内接四边形的周长和面积在已知圆的半径时，我们可以计算内接四边形的周长和面积。

周长计算公式当内接四边形是一个矩形时，其周长可以通过下述公式计算：周长 = 2 * (AB + BC)面积计算公式当内接四边形是一个矩形时，其面积可以通过下述公式计算：面积 = AB * BC结论圆的内接四边形具有许多有趣的性质，如对角线垂直、对角线相等、角平分线相等、周长最大和面积最大等。

圆的内接四边形

⊙O2 分别交于点A,B,直线CD过点N,与⊙O1 , ⊙O2 分别
交于点C,D,求证:AC//BD.
A
M B
分析:两圆相交的问题,公共弦是沟通两圆的桥梁.

O1
C
1 O2
N
D
A 1, 1 B 180 ,A B 180 .
2.如图,已知A是劣弧BC的中点,弦AD,AE交BC于
交AB于另一点E, ⊙O2 经过点C,D,交AC于另一点F,
⊙O1 ⊙O2交于点G,
A
求证: (1)∠BAC+ ∠EGF=1800
(2) ∠EAG =∠EFG
E 24F
分析:就是要证A,E,G,F四点共圆
1 2,3 4,
B
1 3 180 ,
G
O1 1 3 O2
D
3
B
O C
2
O
C
B
C
D A
4
OC
图2 5
B
一般地 ,我们可以从四边形
C
的边的关系、角的关系等来考察
这些图形的共同特征.下面考察四个角的关系 .
D
O
B
显然,圆内接四边形的角都是圆周角.因此,为了考察这些圆周角的关系, 我们可以借助圆周角定理 .
A
图2 61
如图2

假设 :四边形ABCD中, B D 180 ,
求证 : A、B、C、D在同一圆周上简称四点共圆 .
分析不在同一条直线上的三点确定一个圆. 经过A、B、C三点作圆O, 如果能够由条件得到圆O过点D, 那么就证明了命题.
显然,圆O与点D有且只有三种位置关系:
1点D在圆外;