二级结论在解析几何中的作用

二级结论在解析几何中的作用

一 椭圆、双曲线的“垂径定理”

1.（14浙江理）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12

2

22

=-b

y a

x （0a b >>）

两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________.

2. 已知点是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆

于点

，垂直于轴，直线交椭圆于点，PB PA ⊥，则该椭圆的

离心率__________.

3. 设动直线与椭圆交于不同的

两点

与双曲线

交于不同的两点

且

则符合条件的直线共有______条.

4.已知某椭圆的焦点是

过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，且.椭圆上不同的两点

满足条件：

成等差数列.

（1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标；

（3）设弦的垂直平分线的方程为

，求的取值范围.

5.（16四川）已知椭圆：22

221(0)

x y

a b

a b

+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：

二圆锥曲线的共圆问题

6. （11全国）已知O为坐标原点，F为椭圆

2

2

:1

2

y

C x+=在y轴正半

轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足0.

OA OB OP

++=

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

7. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为，直线与轴的交点为，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

二 抛物线的性质

8. （14四川）已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）

A 、2

B 、3

C 、

172

8

D 、10 9.（15新课标）在直角坐标系中，曲线C ：y =2

4

x 与直线y kx a =+(a

＞0)交与M ,N 两点，

（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN 说明理由。

9. （14山东）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 10. 点到点

及直线的距离都相等，且这

样的点只有一个，求值. 三 椭圆、双曲线的性质

11. 已知两点1(1,0)F -及2(1,0)F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且

1||PF 、12||F F 、2||PF 构成等差数列.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如图，动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公

共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥.求四边形12F MNF 面积S 的最大值.

12.已知双曲线

的左焦点为，左准线与轴交于点，过点的直线与双曲线交于

两点，且满足

，

，则的值为

O

1F 2F

x

y

l

M N

13.双曲线的左右顶点分别为点是第一象限内双曲线上的点，若直线，的倾斜角分为,且

，

那么

14. （10北京）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1

3

-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.

四 中线长定理

15. 设O 为坐标原点，1F ,2F 是双曲线22

22x y 1a b

-=（a ＞0，b ＞0）的焦

点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣=7a ,则该双曲线的渐近线方程为

16. 双曲线

22

24b

y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，

|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________.