高等工程数学模拟考试试卷1
高数模拟习题集含参考答案
高等数学模拟题A ．上册：上册期中（一）一、试解下列各题： 1．求。
2．求。
3．设处连续，在处不连续，试研究在处的连续性。
4．求在上的最大值与最小值。
二、试解下列各题： 1．判断的奇偶性。
2．[5分]设，其中，求。
3．[5分]设，求。
4．[5分]验证罗尔定理对在上的正确性。
三、试解下列各题：1．[6分]设函数由方程所确定，且，其中是可导函数，，求的值。
2．求极限。
3．求的极值。
四、设圆任意一点M （点M 在第一象限）处的切线与轴，轴分别交于A 点和B 点，试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB 的面积S 表示为的函数。
1cos cos 21cos 2cos 8lim223-+--→x x x x x π242320)1()1(limx x x x --+→0)(x x x f =在)(x g 0x )()()(x g x f x F +=0x x x x f +=2)(]1,1[-)11(11ln 11)(<<-+-+-=x x x e e x f x x )]1ln 1ln(1ln[x x x y ++=10<<x y 'x xy +-=11)(n y 1074)(23--+=x x x x f ]2,1[-)(x y y =)()(22y x f y x f y +++=2)0(=y )(x f 1)4(,21)2(='='f f 0=x dxdy xx x 10)(cos lim +→22)13()(e x x e x f x +++=-222a y x =+),(y x ox oy x五、用函数连续性“”的定义，验证函数在任意点处连续。
六、求极限七、求与的公切线方程。
八、证明：当时，。
九、]一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员的视线的倾角增加率为多少？ 参考答案：一、1．2。
高考数学模拟考试题1
高考数学模拟考试题1时量120分钟 总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填在第II 卷指定的位置上）1．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={0，1，3}，则（ ） （A ）A ∪C U B=U （B ）CUA ∩B=∅ （C ）C U A ∩C U B=U （D ）C U A ∩C U B=∅2．已知函数y=f(x)的反函数为f －1(x)=2x+1，则f(1)等于（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）43．在等比数列{a n }中，a 1+a 2=1，a 3+a 4=9，那么a 4+a 5等于（ ） （A ）27 （B ）－27 （C ）81或－36 （D ）27或－274．在△ABC 中，∠A=60°，b=1，那个三角形的面积为3，则ABC 外接圆的直径是（ ）（A ）3392 （B ）3326 （C ）33 （D ）2295．[x]表示不超过x 的最大整数，（例如[5.5]=5，[－5.5]=－6），则不等式[x]2－5[x]+6≤0的解集是（ ）（A ）（2，3） （B ）[)4,2 （C ）[2，3] （D ）[2，4]6．抛物线y 2=4x 按向量e 平移后的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线的顶点坐标为（ ） （A ）（4，2） （B ）（2，2） （C ）（－2，－2） （D ）（2，3）7．线段AB 的端点A 、B 到面a 的距离分别是30cm 和50cm ，则线段AB 中点M 到平面a 的距离为（ ） （A ）40cm （B ）10cm （C ）80cm （D ）40cm 或10cm8．已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则f ：y=－22x +2x+1，关于实数K ∈B ，在集中A 中不存在原象，则k 的取值范畴是（ ）（A ）k>1 （B ）k ≥1 （C ）k<1 （D ）k ≤19．圆x 2+y 2－2x －6y+9=0关于直线x －y －1=0对称的曲线方程为（ ）（A ）x 2+y 2+2x+6y+9=0 （B ）x 2+y 2－8x+15=0（C ）x 2+y 2－6x －2y+9=0 （D ）x 2+y 2－8x －15=0 2x (x ≤1)10．已知函数f(x)= ，则函数y=f(1－x)的图象是（ ） 21log x (x>1)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
中南大学高等工程数学试卷超全整理
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤L -1ε； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。
(整理)高三数学模拟考试试题
新人教版高三数学模拟考试试题数学（理工类）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)·P(B). 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ２. 已知集合{}|21|1M x x =-<,{}|31x N x =>，则MN =A.∅B. {}|0x x <C.{}|1x x <D.{}|01x x <<3. 若02log <a )1,0(≠>a a 且，则函数()log (1)af x x =+的图像大致是A. B. C. D.4. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且24754a a a =⋅，2a =1，则1a =A.21B. 22C.2 D.25.已知变量x 、y 满足约束条件11y x xy y ≤⎧⎪+≤⎨≥-⎪⎩，则32z x y =+的最大值为A ．3-B 25C.5-D.46. 过点（0,1）且与曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为A ．012=+-y xB ．012=-+y xC ．022=-+y xD ． 022=+-y x7.右图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是A ．10>iB ．10<iC ．11>iD ．11<i 8．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，只需把函数 x x y 2cos 2sin -=的图像A ．向左平移4π个长度单位 B ．向右平移4π个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位9. 关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥.其中真命题有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =,则(107.5)f = A.10 B.110 C.10- D.110- 11．设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率 A 5B 5C 10D 10 12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x xx x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=cFDC A高三数学（理工类）试题第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共2页, 必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案.13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n = ． 14．二项式6)2(xx -的展开式中的常数项为 ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和 BC 上，且3,3DC DE BC BF ==，若AC mAE nAF =+， 其中,m n R ∈，则m n += _________.16.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直 线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷 一点，若落在阴影部分的概率为163，则a 的值是 ． 三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-. （1）当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若36sin ,2,3===B b a ,求()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f (0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的取值范围.18.（本小题满分12分） BC已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面 互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，1=AB ,2=AD ，(1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小．19.（本小题满分12分）在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *，都有121+=+n nn a a a ．（1）证明数列}1{na 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； （2）设数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求使得20111000>n T 的最小正整数n . 20.（本小题满分12分）济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率； （2）求A 中学分到两名教师的概率；（3）设随机变量X 为这五名教师分到A 中学的人数，求X 的分布列和期望． 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的短轴长为32，右焦点F 与抛物线x y 42=的焦点重合， O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点(4,0)D -，且满足DA DB λ=，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,83λ，求直线AB 的斜率的取值范围. 22.（本小题满分14分）已知函数()11ln )(2+-+=x p x p x f .（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：nn 131211)1ln(++++<+ )(*N n ∈.高三数学（理工类）参考答案一、选择题： 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8 .A 9.B 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 81 14. 160- 15. 32 16. 23π三、解答题： 17．解：（1）33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-…………2分22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ---===++ …………6分（2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=++32由正弦定理得sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以 …………………9分 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f --------------------12分 18、（1）证明：方法一：取EC 的中点F ，连接FM ，FN ，则BC FM //，BC FM 21=，BC AN //，BC AN 21= ………………………2分 所以BC FM //且BC FM =，所以四边形AMFN 为平行四边形，所以NF AM //， …………………………………4分 因为⊄AM 平面NEC ，⊂NF 平面NEC ，所以直线//AM 平面NEC ； …………………………………6分（2）解：由题设知面⊥ABCD 面ADE ，AD CD ⊥，ADE CD 面⊥∴又CDE CD 面⊂ ，∴面ADE CDE 面⊥，作DE NH ⊥于H ，则CDE NH 面⊥，作O EC HO 于⊥，连接NO ，由三垂线定理可知CE NO ⊥，∴HON ∠就是二面角D CE N --的平面角， …………………………………9分 在正ADE ∆中，可得23=NH ，在EDC Rt ∆中，可得1053=OH ，故在NHO Rt ∆中，315tan ==∠OH NH HON ， …………………………………11分所以二面角D CE N --的大小为315arctan…………………………………12分方法二：如图以N 为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,所以),0,1,0()1,1,0(),0,1,0(D B A -- ),21,21,23(),1,1,0(),0,0,3(),0,0,0(-M C E N …1（1）取EC 的中点F ，所以)21,21,23(F ， 设平面NEC 的一个法向量为)1,,(y x n =，因为)1,1,0(=NC ，)0,0,3(=NE 所以01=+=⋅y NC n ，03==⋅x NE n ；所以)1,1,0(-=n ， ……………3分因为)21,21,23(=AM ，0=⋅AM n ，所以AM n ⊥ ………………………5分 因为⊄AM 平面NEC ，所以直线//AM 平面NEC ………………………7分 （2）设平面DEC 的一个法向量为),,1(z y m =，因为)1,0,0(=DC ，)0,1,3(-=DE所以0==⋅z DC m ，03=-=⋅y DE m ；所以)0,3,1(=m ……………9分46223,cos -=⨯-=>=<m n ………………………………11分 因为二面角D CE N --的大小为锐角, 所以二面角D CE N --的大小为 46arccos ………………………………12分 19．解：(1)111=a ， 因为121+=+n n n a a a ，所以2111=-+nn a a ， ∴数列}1{na 是首项为1，公差为2的等差数列，………………………………………4分 ∴121-=n a n， B从而12-=n a n . …………………………………………………6分(2)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=+12112121)12)(12(11n n n n a a n n ………………… 8分所以13221++++=n n n a a a a a a T⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n 12+=n n……………………………………………10分 由2011100012>+=n n T n ，得111000>n ，最小正整数n 为91. …………………12分 20.解：（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A ，基本事件总数N=223335335312C C A C A +. 所以P （A ）=23133333223335335312C A C A C C A C A ++=625. ----------4分 （2）设A 中学分到两名教师为事件B ，所以P （B ）=222532223335335312C C A C C A C A +=25. ------8分 （3）由题知X 取值1，2，3.P （X =1）=12232542422233353353(71152C C C C A C C A C A +=+， P （X =2）=25,P （X =3）=2252223335335321152C A C C A C A =+. 所以分布列为3=EX -------------------------12分21. 解:（1）由已知得2,1,3===a c b ，所以椭圆的方程为13422=+y x ………4分 （2）∵DA DB λ=,∴,,D A B 三点共线,而(4,0)D -,且直线AB 的斜率一定存在，所以设AB 的方程为(4)y k x =+，与椭圆的方程22143x y +=联立得 222(34)24360k y ky k +-+=由0)41(1442>-=∆k ，得412<k . …………………6分 设),(),,(2211y x B y x A ， 21212222436,3434k k y y y y k k+=⋅=++ ① 又由DA DB λ=得: 1122(4,)(4,)x y x y λ+=+ ∴ 21y y λ= ②.将②式代入①式得:22222224(1)343634k y k k y k λλ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去2y 得:2216(1)1234k λλλλ+==+++ …………………9分 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,83λ时, 21)(++=λλλh 是减函数, 24121)(29≤≤∴λh , ∴241214316292≤+≤k ,解得365484212≤≤k , 又因为412<k ，所以365484212≤≤k ,即222165-≤≤-k 或652221≤≤k ∴直线AB 的斜率的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2221,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,2221 …………12分 22解：（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()()xpx p x p x p x f +-=-+=2'1212…2分当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增；当0≤p 时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调递减；……………4分当-1＜p ＜0时，令'()f x =0，解得()12--=p px .则当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p px 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--,12p p单调递减. …………6分 （2）因为0>x ，所以 当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立xxk kx x ln 1ln 1+≥⇔≤+⇔令x xx h ln 1)(+=，则max )(x h k ≥, ……………8分 因为2ln )('x xx h -=，由0)('=x h 得1=x ，且当)1,0(∈x 时，0)('>x h ；当),1(+∞∈x 时，0)('<x h .所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以1)1()(max ==h x h ，故1≥k ……………………10分（3）由（2）知当1=k 时，有x x f ≤)(，当1>x 时，x x f <)(即1ln -<x x ，令n n x 1+=，则n n n 11ln <+，即n n n 1ln )1ln(<-+ …………12分 所以1112ln <，2123ln <，…，n n n 11ln <+，相加得nn n 12111ln 23ln 12ln ++<+++而)1ln(12312ln 1ln 23ln 12ln+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅=+++n n n n n 所以nn 131211)1ln(++++<+ ，)(*N n ∈.……………………14分高三模拟考试高三数学（文史类）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数3()2f x x =的图像Ａ．关于y 轴对称 Ｂ．关于x 轴对称 Ｃ．关于直线y=x 对称 Ｄ．关于原点对称2．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A ． 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ． 若l α⊥，l m //，则m α⊥C ． 若l α//，m α⊂，则l m //D ． 若l α//，m α//，则l m // 3．若()()()()b m a b a b a -+-==//2,0,3,2,1，则=m A ．12-B ．12C ．2D ．2- 4．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用 茎叶图表示（如图）1s ，2s 分别表示甲、乙选手分数的标 准差，则1s 与2s 的关系是（填“>”、“<”或“＝”） A ．12s s >B ．12s s =C ．12s s <D ．不确定5．若集合22{|1},{|log (2)}A y y x B x y x ==+==+，则C B A =Ａ．(2,1)- Ｂ． (2,1]- Ｃ．[2,1)- Ｄ．以上都不对高三数学（文史类）试题 第1页（共4页）6．要得到函数sin(2)3y x π=+的图像可将x y 2sin =的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移3π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度7．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为4π. 则该几何体的俯视图可以是第4题图第7题图8．设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示 该函数在区间(]1,2-上的图像,则(2011)(2012)f f += A ．3 B ．2 C ．1 D ．09．数列{}n a 的前n 项和为S n ，若2217n S n n =-，则当S n 取得最小值时n 的值为Ａ．4或5 Ｂ．5或6 Ｃ．4 Ｄ．510．“3a =”是“直线4y x =+与圆()()2238x a x -+-=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．已知变量x 、y 满足约束条件y x x y 1y 1≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32z x y =+的最大值为Ａ．3- Ｂ．52Ｃ．5- Ｄ．4 12．在命题p 的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为()f p ，已知命题p ：“若两条直线1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=”．那么()f p = Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个高三数学（文史类）试题 第2页（共4页）高三数学（文史类）试题第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共2页, 必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先.划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案.13．已知复数z 满足(34)5i z i -=，则||z = ； 第8题图14．执行右边的程序框图，输出的y = ；15．若2(1)()1()(1)2xx x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩， 则((2))f f = ； 16．若函数2()log (1)1f x x =+-的零点是抛物线2x ay =焦点的横坐标，则=a ．三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量(3sin cos ,1)m x x =-，1(cos ,)2n x =，若()f x m n =⋅． (1) 求函数)(x f 的最小正周期；(2) 已知ABC ∆的三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且33,()2122C c f =+=π （C 为锐角），2sin sin A B =，求C 、a b 、的值． 18.(本小题满分12分)设数列{}n a 是一等差数列，数列{}n b 的前n 项和为2(1)3n n S b =-，若2152,a b a b ==． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n b 的前n 项和n S ．高三数学（文史类）试题 第3页（共4页）19.（本小题满分12分）某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 . （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知96,96≥≥z y ，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率. 20.（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥AD 平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC , 2====DG DE AD AB ．（1）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ；第一批次 第二批次第三批次女教职工 196 x y 男教职工204156 z（2）求证：BF ∥平面ACGD ； （3）求三棱锥A BCF -的体积． 21.（本小题满分12分）设椭圆M ：22221y x a b +=(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，且内切于圆422=+y x ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线m x y +=2交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点(1,P ，求△P AB 面积的最大值． 22.(本小题满分14分)已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)-． ⑴试求m 、n 的值；⑵求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；⑶过点A （1，t ）是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．高三数学（文史类）试题 第4页（共4页）高三数学（文史类）参考答案一、选择题：1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ａ 6．Ｂ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ａ 11．Ｄ 12．Ｂ 二、填空题：13．１ 14．7 15．11616．14三、解答题17．.解 ：(1)21()3sin cos cos 2f x m n x x x =⋅=-+…………………２分1cos 212222x x +=-+12cos 222x x =-sin(2)6x π=- …………………４分 ∴ ()f x 的最小正周期为π. …………………６分（2）∵ ()sin 0,21223C f C C C πππ+==<<∴=……………………８分∵ 2sin sin A B =．由正弦定理得2,b a =① ……………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-， ② ……………………10分解①②组成的方程组，得a b ⎧=⎨=⎩……………………12分18．解：⑴11112(1),23S b b b =-=∴=-，又 2212222(1)2,43S b b b b b =-=+=-+∴=，∴ 252,4a a =-=， ……………2分 ∵{}n a 为一等差数列，∴公差526233a a d -===， ……………4分 即2(2)226n a n n =-+-⋅=-． ……………6分⑵ ∵112(1)3n n S b ++=- ①，2(1)3n n S b =- ②, ①—②得 1112()3n n n n n S S b b b +++-=-=， 12n n b b +∴=-， ……………9分∴数列{}n b 是一等比数列，公比12,2q b =-=-，即(2)n n b =-.∴()[]1232--=n n S ． ……………………………………12分 19．解: (1)由16.0900=x,解得144=x . ……………3分(2)第三批次的人数为200)156144204196(900=+++-=+z y ,设应在第三批次中抽取m 名，则90054200=m ，解得12m =. ∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分 （3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：),99,101(),100,100(),101,99(),102,98(),103,97(),104,96()96,104(),97,103(),98,102(，共9个，而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个，∴4()9P A =. ……………………………………12分 20．解:（1）∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC 平面AB ADEB =,平面DEFG 平面DE ADEB =DE AB //∴.AB DE =DE AB = ,∴ADEB 为平行四边形，AD BE //. …………2分⊥AD 平面DEFG ,⊥∴BE 平面DEFG ， ⊂BE 平面BEF ,∴平面⊥BEF 平面DEFG . …………4分（2）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ， 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，∴FM DE //，又∵DE AB //， ∴FM AB // …………………………6分 ∴四边形ABFM 是平行四边形，即AM BF //， 又BF ⊄平面ACGD 故 BF ∥平面ACGD . …………………………8分 （3） 平面ABC ∥平面DEFG ，则F 到面ABC 的距离为AD .13A BCF F ABC ABCV V SAD --==⋅⋅＝112(12)2323⋅⋅⋅⋅=.…………………………12分 21．解：（12，则椭圆的离心率为2c e a == ……………2分 ,424422==+a y x ，则的直径为圆得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2222242c a b a ca ⇒⎪⎩⎪⎨⎧===222bc a所求椭圆M 的方程为22142y x +=． ………………………………………6分 (2 ) 直线AB 的直线方程：2y x m =+.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x mx y ，得2242240x mx m ++-=，由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m∵122x x +=，21244m x x -= . ∴2121212||12|3()4AB x x x x x x =+-=+-2221343422m m m =-+=-………………………………………9分 又P 到AB 的距离为3||m d =.则1||2ABCS AB d ∆==== 22(8)2m m +-≤=当且仅当2(m =±∈-取等号∴max ()ABC S ∆= ………………………………………………12分22．解：⑴ 由题意知：2()34120f x mx nx '=+-<的解集为(2,2)-，所以，-2和2为方程234120mx nx +-=的根， ………………2分 由韦达定理知 4120433n ,m m-=--=，即m=1，n=0． ………………4分 ⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-，∵3(1)112111f =-⋅=-当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-，∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=； ………………6分当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--因为过点A （1，-11）， 2300113(4)2x x -=--，∴32002310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=，∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-，切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-=………………8分所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=． …………9分 ⑶ 存在满足条件的三条切线． …………10分设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x x x '-=-即23003(4)2y x x x =--因为其过点A （1，t ），所以，233200003(4)22312t x x x x =--=-+-，由于有三条切线，所以方程应有3个实根， …………………………11分设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可． 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点， 当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单增， 当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单减， 所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩即120110t t +>⎧⎨+<⎩，解得 1211t -<<-. …………14分高三数学（文史类）参考答案 第1页（共页）。
2020学年高考模拟考试吉林省长春市高数第一次模考理科试卷 含解析
2020届高考数学第一次模拟考试理科试卷一、选择题1．已知集合A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＞3，或x≤﹣2}C．{x|x＞3，或x＜0} D．{x|x＞3，或x≤2}2．复数z＝2i2+i5的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．5．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0 B．1 C．2 D．36．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．7．已知a，b，c为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是（）①a⊥α，b⊥α，则a∥b②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β③a∥α，b∥α，则a∥b④α∥γ，β∥γ，则α∥βA．①②③B．②③④C．①③D．①④8．已知数列{a n}为等比数列，S n为等差数列{b n}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝（）A．44 B．﹣44 C．88 D．﹣889．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（ωx+φ）的图象（部分图象如图所示），则y＝f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2+x）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[4，6]时，y＝f（x）的最小值为（）A．﹣8 B．﹣1 C．0 D．111．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（）A．B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m≥1二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）14．边长为2正三角形ABC中，点P满足，则＝．15．平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，∠ABD＝90°，现将△ABD 沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为．16．已知数列{a n}的前项n和为S n，满足，且，则S2n＝，a n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A（a＞b）．（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若c＝10，求△ABC的周长的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2DC＝2，E 为PB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，点P（1，2），求|PA|•|PB|的值．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为M，设a＞0，b＞0，且（a+1）（b+1）＝M，求a+b的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x||x|≥2}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＞3，或x≤﹣2}C．{x|x＞3，或x＜0} D．{x|x＞3，或x≤2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤﹣2，或x≥2}，B＝{x|x＜0，或x＞3}，∴A∩B＝{x|x≤﹣2，或x＞3}．故选：B．2．复数z＝2i2+i5的共轭复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：∵z＝2i2+i5＝﹣2+i，∴，其对应点为（﹣2，﹣1），在第三象限．故选：C．3．已知，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵，，，∴c＜a＜b．故选：C．4．已知直线x+y＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2相切，则b＝（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．【分析】由圆心到切线的距离等于圆的半径列式求解b．解：圆（x﹣1）2+（y﹣b）2＝2的圆心坐标为（1，b），半径为．由圆心到切线的距离等于半径，得，∴|1+b|＝2，解得b＝1或b＝﹣3．故选：C．5．2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是（）①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由散点图中各点分布情况和R2的值，判断①正确；由回归直线方程判断②正确；由回归直线方程计算x＝7时的值，判断③正确．解：由散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又R2＝0.9817趋近于1，所以相关性较强，所以①正确；由回归直线方程，知②正确；由回归直线方程知，当x＝7时，计算得＝13.743×7+3095.7＝3191.9，其估计值为3191.9≈3192，所以③正确；综上知，正确的命题个数为3．故选：D．6．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．【分析】由题意知S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，可设S1与S2所在扇形圆心角分别为α、β，列出方程组求出即可．解：由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则，又α+β＝2π，解得．故选：A．7．已知a，b，c为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是（）①a⊥α，b⊥α，则a∥b②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β③a∥α，b∥α，则a∥b④α∥γ，β∥γ，则α∥βA．①②③B．②③④C．①③D．①④【分析】由线面垂直的性质定理可判断①；由面面的位置关系可判断②；由线面平行的定义和线线的位置关系可判断③；由面面平行的传递性可判断④．解：对于①，a⊥α，b⊥α，由线面垂直的性质定理可得a∥b，故①正确；对于②，α⊥γ，β⊥γ，可能α∥β或α，β相交，故②错误；对于③，a∥α，b∥α，可能a∥b或a，b相交或a，b异面，故③错误；对于④，α∥γ，β∥γ，由面面平行的性质可得α∥β，故④正确．故选：D．8．已知数列{a n}为等比数列，S n为等差数列{b n}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝（）A．44 B．﹣44 C．88 D．﹣88【分析】由已知结合等比数列的性质求得a6＝4，进一步得到b6＝a6＝4，再由等差数列的前n项和求S11．解：在等比数列{a n}中，由a2＝1，a10＝16，得，得a6＝4，∴b6＝a6＝4，在等差数列{b n}中，有S11＝11b6＝44．故选：A．9．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin（ωx+φ）的图象（部分图象如图所示），则y＝f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由特殊点的坐标求出φ的值，由五点法作图求出ω，可得函数的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：根据y＝2sin（ωx+φ）的图象可得2sin（ω•0+φ）＝1，故φ＝．再根据五点法作图，ω•+＝2π，求得ω＝2，可得．∵把的图象上点的横坐标变为原来的，可得函数y＝f（x）＝2sin（4x+）图象，故选：C．10．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（2+x）+f（x）＝0，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[4，6]时，y＝f（x）的最小值为（）A．﹣8 B．﹣1 C．0 D．1【分析】根据题意，分析可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性分析可得f（x）在区间[4，6]上的解析式，据此分析可得答案．解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（2+x）+f（x）＝0，即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，且f（x）是定义在R上的奇函数，则x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣2x，又由f（x）是周期为4的周期函数，则当x∈[4，6]时，f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝x2﹣10x+24，此时f（x）的最小值为f（5）＝﹣1；故选：B．11．已知椭圆的右焦点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A，B（A在x轴上方）两点，则的值为（）A．B．2 C．3 D．4【分析】由椭圆方程求得抛物线焦点坐标，得到p，再由已知结合抛物线焦半径公式求得|AF|、|BF|的值，则答案可求．解：∵椭圆的右焦点为（1，0），∴，得p＝2，又过F的直线的倾斜角为60°，＝，＝，∴＝．故选：C．12．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，则m的取值范围为（）A．m≤1 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m≥1【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，令y＝f（x），与y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在上递减，在上递增，当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，，f（2）＝0，∵f'（1）＝﹣1，∴m＞﹣1，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．（2x3﹣）8的展开式中常数项是112 ．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．14．边长为2正三角形ABC中，点P满足，则＝ 2 ．【分析】由平面向量基本定理及线性运算，将，作为平面向量的一组基底，再结合平面向量线性运算即可得解．解：因为点P满足，所以＝（）•＝[（）﹣]•（）＝（﹣）•（）＝2+2﹣＝×22+×22﹣2×＝2故答案为：2．15．平行四边形ABCD中，△ABD是腰长为2的等腰直角三角形，∠ABD＝90°，现将△ABD 沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C大小为，若A，B，C，D四点在同一球面上，则该球的表面积为20π．【分析】由题意画出图形，找出多面体外接球的球心，求其半径，再由球的表面积公式求解．解：取AD，BC的中点分别为O1，O2，过O1作面ABD的垂线与过O2作面BCD的垂线，两垂线交点O即为所求外接球的球心，取BD中点E，连结O1E，O2E，则∠O1EO2即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，且O1E＝O2E＝1，连OE，在Rt△O1OE中，，在Rt△O1OA中，，得，即球半径为，∴球面积为＝20π．故答案为：20π．16．已知数列{a n}的前项n和为S n，满足，且，则S2n＝，a n＝．【分析】①直接利用数列的递推关系式的应用求出前n项和．②利用递推式求出结果．解：①由得＝．∴S2n＝++…+＝．②由递推得，，，归纳可得a n＝．理由：当n＝1时，a1＝﹣；设n＝k时a k＝（﹣1）k+，n＝k+1时，由a k+a k+1＝，可得a k+1＝﹣（﹣1）k﹣＝+（﹣1）k+1，即n＝k+1时，等式也成立．综上可得a n＝．故答案为：，．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A（a＞b）．（Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形；（Ⅱ）若c＝10，求△ABC的周长的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得sin B＝cos A，结合a＞b，可得，即可得解△ABC是直角三角形；（Ⅱ）利用两角和的正弦函数公式可求△ABC的周长，由a＞b 可求范围，利用正弦函数的图象和性质即可求其范围．解：（Ⅰ）证明：由a＝b tan A，可得，即sin B＝cos A，由a＞b，可得，即△ABC是直角三角形．（Ⅱ）△ABC的周长L＝10+10sin A+10cos A，所以，由a＞b可知，，因此，即．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2DC＝2，E 为PB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，EM，证明四边形EMDC是平行四边形，然后证明CE∥平面PAD；（Ⅱ）以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，取平面ABCD的法向量．求出平面CDE的法向量，然后求解二面角的大小即可．解：（Ⅰ）取PA中点M，连结EM、DM，．（Ⅱ）以A为原点，以AD方面为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立坐标系．可得D（2，0，0），C（2，1，0），P（0，0，4），B（0，2，0），E（0，1，2），，，设平面CDE的法向量为；，可得，令z＝1，则x＝1，∴平面CDE的法向量为；平面ABCD的法向量为；因此．即平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为．19．某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，该考生选择题得50分的概率为P（A）P（A）P（B）P（B），由此能求出结果．（Ⅱ）该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，分别求出P（X＝30），P（X＝35），P （X＝40），P（X＝45），P（X＝50），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，该考生选择题得50分的概率为：P（A）P（A）P（B）P（B）＝＝．（Ⅱ）该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P（X＝30）＝＝，P（X＝35）＝＝，P（X＝40）＝+＝，P（X＝45）＝＝，P（X＝50）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．20．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）判断P的轨迹是椭圆，然后求解求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，经验换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程．解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且2a＝4，c＝1．所以b＝，因此椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，可得，即，．△AOB面积可表示为＝令，则u≥1，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点，点P（1，2），求|PA|•|PB|的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，根据一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直线普通方程为x+y﹣3＝0，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3．转换为圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3＝0．（Ⅱ）联立直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的直角坐标方程可得，化简可得．（t1和t2为A、B对应的参数）则|PA|•|PB|＝|t1t2|＝2．23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为M，设a＞0，b＞0，且（a+1）（b+1）＝M，求a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≥x+1，分别解不等式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）的最大值M＝4，然后根据（a+1）（b+1）＝M＝4，可得，解不等式可得a+b的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+3|﹣|x﹣1|＝．∵f（x）≥x+1，∴当x＜﹣3时，﹣4≥x+1，∴x≤﹣5，因此x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，2x+2≥x+1，∴x≥﹣1，因此﹣1≤x≤1；当x＞1时，4≥x+1，∴x≤3，因此1＜x≤3，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，3]；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）max＝4，∴（a+1）（b+1）＝M＝4，∴ab+a+b＝3．又∵a＞0，b＞0，∴，∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0，∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍），当且仅当a＝b＝1时取等号，∴a+b的最小值为2．。
高等数学(工本)模拟试卷(12345)及答案
高等数学（工本）模拟试卷(一)及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1:参考答案：A2:参考答案：DA:充分而不必要的条件B:必要而不充分的条件C:充分且必要的条件D:既非充分条件又非必要条件3:参考答案：CA:发散B:绝对收敛C:条件收敛D:无法判断4:参考答案：C5:参考答案：B参考解析：本题考查三重积分的性质二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1:参考答案：2:参考答案：3:参考答案：4:参考答案：π(f(a)-f(0))5:参考答案：三、计算题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1:2:3:4:5:6:求内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高.7:8:9:10:11:12:四、综合题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分)1:2:3:高等数学（工本）模拟试卷(二)及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1:参考答案：D2:参考答案：C3:参考答案：A4:参考答案：A5:参考答案：A二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1:参考答案：1-sin12:参考答案：2x+y-4=03:参考答案：4:参考答案：5:参考答案：设α={2,-3,1},β={1,-1,3},则以α、β为邻边的平行四边形的面积S=_____.三、计算题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1:2:3:求与三个点A(3，7，-4)，B(-5，7，-4)，C(-5，1，-4)的距离都相等的点的轨迹. 4:5:6:设|α+β|=|α-β|,α={3,y,8},β={-1,1,1},求y.7:求经过点P(3，0，-1)，平行于平面π:3x-7y+5z-12=0的平面方程.8:9:10:11:12:四、综合题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分)1:验证4sinxsin3ycosxdx-3cos3ycos2xdy在整个Oxy平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y).2:3:高等数学（工本）模拟试卷(三) 及答案一、单项选择题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
武大高等工程数学试题（论文资料）
高等工程数学模拟题1． 求矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41130 1621A 的Jordan 标准型及相似变换矩阵。
2． 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1 010 21103A ，求可逆阵P ，使AP P 1-为Jordan 阵。
3． 求I A A A A A g ++--=232)(345其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 000 21002A 4． 讨论级数kk kak∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1124 1（0>a ）的敛散性。
5．⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A ，求Ae ，A sin ，A cos 。
6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1711A ，求A ln 。
7．（1）证明向量微分方程)()(t X A t X dtd ⋅=的通解为be t X At⋅=)(，b 为任意常数向量。
（2）求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=212211232xx dtdx x x dtdx 的通解。
8．设线性变换T 在基[][]{}TT 1,1,1,121-==αα的矩阵表示是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101A 。
（1）求T 在基[][]{}TT1,1,0,121-==εε下的矩阵表示。
（2）求T 的核与值域。
（3）求T 的特征值与特征向量。
9．设12,,n X X X 是总体的一组样本，12,,n x x x 为相应的样本值。
求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的二阶矩估计量。
（1）(1),()0,c x x cf x others θθθ-+⎧>==⎨⎩其中0c >为已知，1θ>，θ为未知参数。
（2）1,01()0,x f x others≤≤=⎪⎩其中0θ>，θ为未知参数。
（3）()(1),0,1,2,,,01,x xm x m P X x C p p x m p p -==-=<< 为未知参数。
注：泊松定理：lim (1)()!k kk n knn e C p p np k λλλ--→∞-==10．设某种电子器件的寿命（以小时计）T 服从双参数的指数分布，其概率密度为：()1,()0,t c et c f t othersθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其中,(,0)c c θθ>为未知参数自一批这种器件随机地取n 件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为12n x x x ≤≤≤ ，求θ与c 的极大似然估计。
《高等工程数学》试卷
《高等工程数学》试题注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记；3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u ===一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ⨯的基：1001000000001001⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，B 及线性变换Tx Px =，其中220110P x R ⨯⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，.则T 在基B 下的矩阵为A =.2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示）． 3．设21111301021i 0A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞⋅=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116kk kc kc ∞=⎡⎤⎢⎥-⎣⎦∑收敛. 5．对称阵321220103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦的Cholesky 分解为A =.6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，，，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4211025()()i i i i i i X Y c X Y ==-⋅-∑∑服从F 分布．7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为ˆ N=. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥.学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………9．某城市在一项有关医疗保健的社会调查中，为了了解喜欢吃甜食的人群是否与性别有关， 随机访问了1179位人，调查结果如下表所示若检验假设0:H 喜欢吃甜食与性别无关， 1:H 喜欢吃甜食与性别有关则依据所给数据，算得皮尔逊2χ统计检验量观察值2ˆ χ=. 10.为了分析学生的学习情况，考察了某班级全部学生数学1x 与英语2x 两门课程的考试成 绩，算得样本相关矩阵为10.36.0.361R ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则第一样本主成分1y 的贡献率为 .二、(10分) 利用Householder 变换求方阵212204031A ⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的QR 分解.解三、(10分) 设00ξη，是欧氏空间n V 的两个非零向量，12c c ，是两个常数. n V α∀∈定义变换T ：100200.T c c ααξξαηη=〈〉+〈〉，，(1) 证明T 是线性变换；(2) 设12{}n εεεε=，，，B 是n V 的标准正交基，且00ξη，在εB 下的坐标分别为00x y ，，即有0000 (x y εεηξ==，B B 其中010*********).n n n x y x y x y R x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试求T 在基εB 下的矩阵A ； (3) 证明T 是对称变换.解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）……………………………………密…………………………………封………………………………………线……………………………………四、(10分) 设矩阵2010201202A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1)求A的最小多项式()Amλ和Jordan标准形；(2)计算方阵函数 ((,)).e At t∈-∞+∞解五、(10分) 设4111101234001231A b x R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，． (1) 求A 的极大线性无关列及A 的满秩分解；(2) 证明方程组Ax b =不相容，并求Ax b =的极小范数最小二乘解．解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………六、(10分) 设总体X 的密度函数为| |1()e ()2x f x x σσσ-=-∞<<∞;，其中0>σ为未知参数．12n X X X ，，，是来自总体X 的样本．(1) 试求σ的极大似然估计量σˆ； (2) 证明σˆ为σ的最小方差无偏估计量． 解七、(10分) )研究所从某厂定购了一批原料,已知该原料每瓶的杂质含量2~()X N μσ，(单位：毫克)，已知02σ=(毫克).若整批原料每瓶杂质的平均含量低于20(毫克)则视为合格，现从该批原料中随机抽取了25瓶进行检测，计算得18.8x =(毫克).(1) 问在显著性水平0.01α=下，能否认为该批原料是合格的？(2) 若厂方要求：当每瓶杂质平均含量低于19(毫克)时，II 类风险不超过0.1β=，试问至少要抽样多少瓶？ 解学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号）（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………八、(10分) 设有线性线性回归模型20122123451(2)12345~(0).i i i iy x x i N βββεεεεεεεσ⎧=++-+⎪=⎨⎪⎩，，，，，，，，，独立同分布， 其中1234521012x x x x x =-=-===，，，，是已知的观测值． 1）求参数012βββ，，的最小二乘估计012ˆˆˆβββ，，； 2）并判别012ˆˆˆβββ，，是否独立，为什么？。
高等数学模拟考试题及答案1
《高等数学》模拟试题一一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．点1=x 是函数112--=x x y 的 （ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点2．设)(x f 在),(b a 内可导，则在),(b a 内，0)(>'x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的 （ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．无关条件3．设x x x F cos )(2+=是)(x f 的一个原函数，则)(x f 等于 （ ）A ．x x cos 2B ．2cos xxC ．x x sin 33+D ．x x sin 2-4．级数∑∞=-11)1(n nn（ ） A ．绝对收敛 B ．条件收敛 C ．发散 D ．敛散性不确定 5．微分方程'''20y y y ++=的通解为 ( )A ．x ceB ．.x ce -C ．12()x c c x e +D ．12()x c c x e -+二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1. =--+→121lim21x x x . 2. 设),1cos()(+=x x f 则=')(x f .3. 过点(1,1,1)且与平面2x +3y =1垂直的直线方程为4. 设,1xyz =则=dz . 5. 设⎰-+=xx x dx x f 02,1sin )(则=')(x f .三、计算题(本大题共6小题,共48分).1. 计算极限: 302)1ln(limx dttxx ⎰+→ (5分).2．设0sin 2=++z z x e xy ，求xz∂∂ (5分). 3．设x x x f ln 2)(2-=，求)(x f 的单调区间和极值.(8分)4．D 是由曲线x e y =，Ox 轴，Oy 轴及4=x 围成的平面区域，试在(0,4)内找一点0x ，使直线0x x =平分平面区域D 的面积.(8分)5．验证函数2()n yz x f x =满足方程2z z x y nz x y ∂∂+=∂∂(其中f 可微).(8分) 6．改变二次积分21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰的积分次序(7分)7．求解下列微分方程：'2'1.y xy x y -=+(7分)四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当1>x 时，1)1(2ln +->x x x .(6分) 2．函数f (x )在[0,1]上可导,且f (1)=2120()xf x dx ⎰,证明：存在一点ξ∈(0,1)使得ξf '(ξ)+ f (ξ)=0 (6分).《高等数学》模拟试题二一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．曲线11+-=x x y 的垂直渐近线为 （ ） A ．1-=x B ．1=x C ．1-=y D ．1=y2．当0→x 时，)21ln(xα+与x 是等价无穷小，则α等于（ ）A ．2B ． 2-C ．21D ．21-3．下列式子中正确的是 （ ）A ．⎰+='c x f dx x f )3()3(B ．'[()]()d f x dx f x =⎰C ．⎰=bax f dx x f dx d )()( D ．⎰⎰=-b a b a du u f dx x f 0)()( 4．下列命题中，正确的是 （ ）A ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 B ．0lim =∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散C ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必收敛 D ．0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n n u 必发散5．微分方程'''23x y y y xe +-=的特解形式为 ( )A ．()x ax b e +B ．2x ax eC ．x axeD ．2()x ax bx e + 二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)6. 201cos limx xx →-=7. 设x x x f ln )(=，则='')1(f . 8.'(sin 1)cos f x xdx +⎰=9. 过点(2,0,1)且与直线210x y z==垂直的平面方程为 10. 幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02n nx 的收敛半径为=R .三、计算题(本大题共4小题,共48分).1. 求极限: lim (arctan )2x x x π→+∞- (5分).2．设),(y x z z =是由方程133=-xyz z 确定的隐函数，求全微分dz (5分).3．求函数x x x f ln )(2-=在],1[e 上的最值(8分).4．求由曲线1-=x y ，4=x 与0=y 所围成的平面图形绕Ox 轴旋转所得到的旋转体的体积V (8分).5．f (x )在[0,1]上连续，求证211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰ (7分).6．求解下列微分方程： 2()0ydx x y dy ++= (7分).7．已知1(0),2f =-求f (x )使曲线积分[()]()x l e f x ydx f x dy +-⎰与路径无关，并计算(8分).(1,1)(0,0)[()]()x e f x dx f x dy +-⎰四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当x >0时，2x arctan x >ln(1+x 2) (6分).2．设f (x )在(-1,1)内可微，且f (0)=0, |f ' (x )|< M (M >0), 试证在(-1,1)内恒有|f (x )|<M(6分).《高等数学》模拟试题三一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．设53)(+=x x f ，则[]2)(-x f f 等于 （ ）A ．149+xB ．33+xC ．149-xD ．33-x2．设x x f 3)(= ，则ax a f x f a x --→)()(lim 等于（ ）A ．3ln 3aB ．a3 C ．3ln D ．3ln 3a3．设函数f (x )连续，0(),s t I t f tx dx =⎰其中t >0,s >0,则积分I （ ）A ．依赖于s 和tB ．依赖于s ,t,xC ．依赖于t 和xD ．依赖于s ,不依赖于t4．级数111nn a∞=+∑收敛的条件为（ ） A ．a ≥1 B ．a >1 C ． a ≤1 D ．a <15．微分方程0cos =+x y dxdy的通解为 ( )A ．x c y sin =B ．x ce y sin -=C ．x ce y cos -=D ．x c y cos =二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 设3lim ln()16,xx x a x a→∞+=-则a =12. 设22sin ,cos ,x t y t ==则dydx=13. ⎰=xdx x sin cos 3 .14.''()xf x dx ⎰=5．设sin y =xy , 则dydx= 三、计算题(本大题共4小题,共48分). 1. 求极限lim x →+∞(5分).2．求函数f (x )=20(1)(2)xt t dt --⎰的极值(7分).3．平面图形由曲线3,4y x y x=+=，求此图形的面积S (7分).4．求微分方程'cot ln y x y y =满足初始条件4x y π==(5分).5．求幂级数112nnn n x ∞=+∑的收敛区间以及和函数 (8分). 6. 计算二重积分:⎰⎰+Ddxdy y x )3(22，其中区域D 是由直线2,1,2,====x x x y x y 围成(8分)7．设函数f (x )满足0()()()x xx f x x f t dt e tf t dt +=+⎰⎰，求f (x ) (8分).四、证明题(本大题共2小题,共12分).1．证明：当0>x 时，2211)1ln(x x x x +>+++(6分).2．证明：双曲线)0(1>=x xy 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积等于2(6分).《高等数学》模拟试题一参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1．B 2.B 3.D 4.B 5.D二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.1422.2sin(1)x x +3.111230x z z ---==4.2()ydx xdyxy + 5. sin 2x -+三、计算题(本大题共4小题,共44分).1.解：220322000ln(1)ln(1)21111limlim lim 6310331x x x x t dtx x x x xx →→→++==⨯=⨯=++⎰ 2.解：方程两边对x 求导得：22sin cos 0xy z zye x z x z x x∂∂+++=∂∂22sin 1cos xy z ye x z x x z∂+∴=-∂+3.解：对函数x x x f ln 2)(2-=求导得：'1()4f x x x =-，令11140 ()22x x x -==-得舍去， 列表：x (0,12) 12 (12,+∞) y’ - 0+ y单减极小值1ln 22+单增由表可知, f (x )在(0,12)上单调减少，在(2,+∞)上单调增加，在12x =处取得极小值1ln 22+.4.解：由题意知，4x xx x e dx e dx =⎰⎰，所以0041x x e e e -=-401 ln2e x +∴=5.证：求函数2()nyz x f x =的偏导数： 113223222()()()()2(),n n n n z y y y y y nx f x f nx f x yf x x x x x x---∂-=+•=-∂ 22221()()(),n n z y y x f x f y x x x-∂=•=∂ 所以132222222222[()2()]2[()] ()2()2()n n n n n n z z y y yxy x nx f x yf y x f x y x x xy y ynx f x yf x yf nzx x x -----∂∂+=-+∂∂=-+=6.解：21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰=0110(,)x dx f x y dy +-⎰⎰+110(,)xdx f x y dy -⎰⎰7.解：整理方程为1(1)dy dx y x x =-+，所以 (ln(1))(ln ln(1))d y d x x -=-+ 1ln(1)ln1xy C x -=++ 11x y Cx =++ 四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明：令2(1)()ln ,(0)21x F x x F x -=-=+，由于2'2(1)()0 (1)(1)x F x x x x -=>>+， 所以，当1>x 时()(0)20F x F >=>，即1)1(2ln +->x x x .2.证明：令()()F x xf x =，函数F (x )在[0,1]上可导. 根据积分中值定理，存在1(0,)2c ∈,使得1122001(1)(1)2()2()2()()2F f xf x dx F x dx F c F c ====••=⎰⎰再根据罗尔定理，存在一点ξ∈(c ,1使得'()0,F ξ=即 ξf '(ξ)+ f (ξ)=0《高等数学》模拟试题二参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)(sin 1)f x C ++ 40x y +-=三、计算题(本大题共4小题,共48分).22221arctan12lim (arctan )lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞--+-====+-233()0z dz yzdx xzdy xydz -++=2 yzdx xzdydz z xy+∴=-x x x f ln )(2-=求导得：'()2ln f x x x x =--，令'()0,f x =得12x e-=. 比较112211(),(1)0,()22f e e f f e e e --====-可知, f (x ) 在],1[e 上的最小值为2e -，最大值为12e.4442211119(1)()22V dx x dx x x ππππ==-=-=⎰⎰222111111000()()()[]()()yyyx x x dy f x dx dx e f x dy f x e dy dx e e f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰20ydx xdy y dy ++=31()03d xy y +=313xy y C +=曲线积分与路径无关的条件，有()()x df x e f x dx=+' (())x y y e y f x -==微分方程'x y y e -=的通解为x x y ce xe =+，由于1(0),2f =-有12c =-，所以1()2x x f x e xe =-+四、证明题(本大题共2小题,共12分).2()2arctan ln(1),(0)0F x x x x F =-+=，由于'2222()2arctan 2arctan 0 (0)11x xF x x x x x x =+-=>>++， 所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2x arctan x >ln(1+x 2).设x 为(-1,1)内任意点，函数f (x )在[x ,0](x <0)或[0, x ](x >0)上可导. 根据拉格朗日中值定理，存在介于x 与0之间的点c ，使得''|()||()(0)||()||0||()|f x f x f f c c f c M =-=-<<《高等数学》模拟试题三参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)2-141cos4x C-+'()()x f x C++cosyy x-三、计算题(本大题共4小题,共48分).3 lim lim lim2 x x x→+∞===f(x)=2(1)(2)xt t dt--⎰求导得：'2()(1)(2)f x x x=--，令'()0,f x=得121,2x x==. 列表：由表可知, f112320017(1)(2)[584]12t t dt t t t dt--=-+-=-⎰⎰.3321131(4)(43ln)43ln32S x dx x x xx=--=--=-⎰整理微分方程得tanlndyxdxy y=1ln ln tan ln|cos|y xdx x C==-+⎰ln|cos|xCey e-=对于初始条件4x y π==C =1. 所以所求特解为ln|cos |x e y e-=幂级数112n n n n x ∞=+∑的收敛半径为1112lim lim 222n n n n n n u n R u n +→∞→∞++==⨯=+，且当x =2或-2时幂级数发散，所以幂级数的收敛区间为(-2,2).设其和函数为S (x ),则1'1112221''22122222()(1)() (1)()222(1)2 ()()1(1)(1)444 1.(2)(2)(1)2n nn n n n n n x x S x n t n t t t t t t t t tt t t x x x x xx x ∞∞∞+===∞+==+=+=+-+====+++++===-+++∑∑∑∑⎰⎰+Ddxdy y x)3(22化为二次积分为222222122223311(3)(3) [()]830.xxDx xx y dxdy dx x y dy x y y dx x dx +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰'()()xx f x f t dt e +=⎰两边再求导数，整理得到'''()()x f x f x e +=或'''x y y e +=微分方程'''x y y e +=对应的齐次方程的通解为12x y c c e -=+，特解为12x y e =.所以'''x y y e +=的通解为1212x x y c c e e -=++.又由于(0)1f =(原方程两边代入x =0), '(0)1f =(求一次导数后的方程两边代入x =0),所以11,c =212c =-，所求方程的解为11sh 2x x e e y x --=+=+.四、证明题(本大题共2小题,共12分).()ln(1(0)0F x x x F =+=，由于'()ln(0 (0)F x x x =>>，所以，当x >0时()(0)0F x F >=，即2211)1ln(x x x x +>+++.t 为(0,+∞)内任意点，双曲线1y x =上在x=t 处的切线方程为 211()y x t t t -=-- 该直线与两坐标轴分别相交于2(0,),(2,0)A B t t由A ，B 和坐标原点O 形成三角形面积为12|||2|22S t t=⨯⨯=所以结论成立.。
高等工程数学I 试题(A)(2020秋第二批)
1 a b 0
二、(10 分)
设
A
=
0
1
c
0
，其中
a,b,c
ห้องสมุดไป่ตู้
是实数。
0 0 2 0
0
0
0
1
(1) 求 A 的所有可能 Jordan 标准型；
(2) 给出 A 可对角化条件。
9 i −1
三、(10
分)用盖尔圆定理证明矩阵
A
=
1
i
1
有互异特征值。
i 1 3
四、（10 分）求下列矩阵 A 的 Doolittle 分解 A=LU, 并用 LU 分解法求解方程组 Ax = b ,其中
八、(10 分) 考虑非线性优化问题
min
s.t.
(x1 −1)(x2 +1) x1 − x2 0
。
x2 0
(1) 求 KKT 点；
(2) 判断 KKT 点是否是局部最优解。
=
−1 0
2 −1
a 2
，找出实数
a
的最大范围使得
Gauss-Seidel
迭
代法和 Jacobi 迭代法求解以 A 为系数的方程组同时收敛。
七、(10 分) 用单纯形法求解问题
min 3x1 − 2x2 + x3 s.t. 2x1 − 3x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 8 x1, x2 , x3 0
2 −1 0
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A
=
−1
2
a
0 南−1京2理工大学博士、硕士研究生考试
高等工程数学 I 试题 时间： 120 分钟
姓名
高等数学模拟试题及答案
⾼等数学模拟试题及答案武汉⼤学⽹络教育⼊学考试专升本⾼等数学模拟试题⼀、单项选择题1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b )A.xy e = B.1sin y x =+C.ln y x =D.tan y x =2、函数23()32x f x x x -=-+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.⽆间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b )A. ⼀定可导B. 必不可导C. 可能可导D. ⽆极限 4、当x →0时，下列变量中为⽆穷⼤量的是（ D ） A.sin x x B.2x- C.sin x x D. 1sin xx+ 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )A.1B.1-C.0D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d aaf a x x -=?( a )A.0()d af x x -? B.0()d af x x ? C.02()d af x x ? D.02()d af x x -?7、曲线23x xy e--=的垂直渐近线⽅程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000lim22h f x h f x h→+-=，则0'()f x = ( c )A. 1B. 2C. 4D.0 9、微分⽅程''4'0y y -=的通解是( d )A. 4xy e = B. 4x y e -= C. 4xy Ce = D. 412xy C C e=+10、级数1(1)34nn nn ∞=--∑的收敛性结论是（ a ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. ⽆法判定11、函数()f x ( d )A. [1,)+∞B.(,0]-∞C. (,0][1,)-∞?+∞D.[0,1] 12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d ) A.极限不⼀定存在 B.不⼀定连续 C.可.不⼀定可微13、极限1lim(1)sin nn e n →∞-=( c)A.0B.1C.不存在D. ∞ 14、下列变量中，当x →0时与ln(12)x +等价的⽆穷⼩量是（） A.sin x B.sin 2x C.2sin xD. 2sin x15、设函数()f x 可导，则0(2)()limh f x h f x h →+-=( c )A.'()f x -B.1'()2f x C.2'()f x D.016、函数32ln3x y x +=-的⽔平渐近线⽅程是( c )A.2y =B.1y =C.3y =-D.0y =17、定积分sin d x x π=( c )A.0B.1C.πD.218、已知x y sin =，则⾼阶导数(100)y 在0x =处的值为( a )A. 0B. 1C. 1-D. 100． 19、设()y f x =为连续的偶函数，则定积分()d aaf x x-?等于( c )A. )(2x afB.adxx f 0)(2 C.0 D. )()(a f a f --20、微分⽅程d 1sin d yxx =+满⾜初始条件(0)2y =的特解是( c )A. cos 1y x x =++B. cos 2y x x =++C. cos 2y x x =-+D. cos 3y x x =-+21、当x →∞时，下列函数中有极限的是( C )A.sin xB.1x eC.211x x +- D.arctan x22、设函数2()45f x x kx =++，若(1)()83f x f x x --=+，则常数k 等于 ( a ) A.1 B.1- C.2 D.2- 23、若0 lim ()x x f x →=∞，lim ()x x g x →=∞，则下列极限成⽴的是( b )A.lim[()()]ox x f x g x →+=∞B.lim[()()]0x x f x g x →-=C.1lim()()x x f x g x →=∞+ D. 0lim ()()x x f x g x →=∞24、当x →∞时，若21sin x 与1k x 是等价⽆穷⼩，则k =（ b ）A.2B.12 C.1D. 325、函数()f x =[0,3]上满⾜罗尔定理的ξ是( a )A.0B.3C. 32 D.226、设函数()y f x =-, 则'y =( c )A. '()f xB.'()f x -C. '()f x -D.'()f x --27、定积分()d baf x xB.()f x 的⼀个原函数C.⼀个函数族D.⼀个⾮负常数28、已知n ax y x e =+，则⾼阶导数()n y =( c ) A. n ax a e B. !n C. !ax n e + D.!n axn a e + 29、若()()f x dx F x c =+?，则sin (cos )d xf x x ?等于( b )A. (sin )F x c +B. (sin )F x c -+C. (cos )F x c +D. (cos )F x c -+ 30、微分⽅程'3xy y +=的通解是( b )A.3c y x =- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+31、函数21,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )A. 1,[1,)y x =∈+∞B. 1,[0,)y x =∈+∞C. [1,)y =∈+∞D. [1,)y =∈+∞32、当0x →时，下列函数中为x 的⾼阶⽆穷⼩的是( a ) A. 1cos x - B. 2 x x + C. sin x33、若函数()f x 在点0x 处可导，则|()|f x 在点0x处( c )C. 连续但未必可导D. 不连续 34、当x x →时, α和(0)β≠都是⽆穷⼩. 当x x →时下列可能不是⽆穷⼩的是（ d ）A. αβ+B. αβ-C. αβ?D. αβ35、下列函数中不具有极值点的是( c )A.y x= B. 2y x = C. 3y x = D.23y x =36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则0(3)(3)lim2h f h f h →--=( b )A.32 B.32-C.1D.1-37、设()f x 是可导函数，则(())f x dx '?为( d )A.()f xB. ()f x c +C.()f x 'D.()f x c '+38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等，则这两个函数在该区间内( d )A.()()f x g x x -=C.仅相差⼀个常数D.均为常数⼆、填空题1、极限20cos d limxx t t x→? =2、已知 102lim()2ax x x e -→-=，则常数 =a . 3、不定积分2d x x e x -?= .4、设()y f x =的⼀个原函数为x ，则微分d(()cos )f x x = .5、设2()d f x x x C x=+?，则()f x = . 6、导数12d cos d d xt t x -=? . 7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、由曲线2y x =,24y x =及直线1y =所围成的图形的⾯积是 .9、已知曲线()y f x =上任⼀点切线的斜率为2x 并且曲线经过点(1,2) - 则此曲线的⽅程为 .10、已知22(,)f xy x y x y xy +=++，则f f x y+= . 11、设(1)cos f x x x +=+，则(1)f = .12、已知 112lim(1)x x a e x --→∞-=，则常数 =a .13、不定积分2ln d xx x =?.14、设()y f x =的⼀个原函数为sin 2x ，则微分d y = .15、极限022arcsin d limxx t t x →? = .16、导数2d sin d d x a t t x =? .17、设d xt e t e=?，则x = .18、在区间[0,]2π上由曲线cos y x =与直线2x π=,1y =所围成的图形的⾯是.19、曲线sin y x =在点23x π=处的切线⽅程为 . 20、已知22(,)f x y x y x y -+=-，则f fx y ??-=?? .21、极限01lim ln(1)sinx x x →+? =22、已知 21lim()1axx x e x -→∞-=+，则常数 =a .23、不定积分d xe x =.24、设()y f x =的⼀个原函数为tan x ，则微分d y = . 25、若()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0baf x x =?, 则[()1]d baf x x +=.26、导数2d sin d d xxt t x =? .27、函数224(1)24x y x x +=++的⽔平渐近线⽅程是 . 28、由曲线1y x =与直线y x=2x =所围成的图形的⾯积是 .29、已知(31)x f x e '-=，则()f x = .30、已知两向量(),2,3a λ→=,()2,4,b µ→=平⾏，则数量积a b ?=r r.31、极限2lim(1sin )xx x →-=32、已知973250(1)(1)lim 8(1)x x ax x →∞++=+，则常数=a .33、不定积分sin d x x x =? .34、设函数sin 2xy e =则微分d y = .35、设函数()f x 在实数域内连续, 则()d ()d xf x x f t t -=.36、导数2d d d x tate t x =? .37、曲线22345(3)x x y x -+=+的铅直渐近线的⽅程为 .38、曲线2y x =与22y x =-所围成的图形的⾯积是 .三、计算题1、求极限：22lim (11)x x x x x →+∞++--+.解：22lim (11)x x x x x →+∞++--+=22lim (11)x x x x x →+∞++--+/2x=3、计算⼆重积分sin d d Dxx y x ?? D 是由直线y x =及抛物线2y x =围成的区域解：4、设2ln z u v= ⽽x u y=32v x y =-. 求z xz y解：5、求由⽅程221x y xy +-=确定的隐函数的导数d d y x . 解：6、计算定积分: 20|sin | d x x π.解：7、求极限：xxx e x 20)(lim +→.解：8、计算不定积分：212d 1x e.解：9、计算⼆重积分22()Dxy d σ+?? 其中D 是由y x =,y x a =+,y a = 3y a =(0a >)所围成的区域解：10、设2u v z e -=, 其中3sin ,u x v x ==，求dz d t .解：11、求由⽅程ln y x y =+所确定的隐函数的导数d d y x .解：，12、设2,01,(),1 2.x x f x x x ?≤≤=?<≤?. 求0()()d x x f t t ?=?在[0, 2]上的表达式.解：13、求极限：22lim11x x→-+.解：14、计算不定积分：dln ln lnxx x x解：15、计算⼆重积分(4)dDx yσ--D是圆域222x y y+≤解：16、设2x yzx y-=+，其中23y x=-，求dzd t.解：17、求由⽅程1yy xe=+所确定的隐函数的导数ddyx.1sin,0,2()0,x xf xπ≤≤=?其它.求0()()dxx f t t=在(),-∞+∞内的表达式.解：19、求极限：4213lim22x x x →+---.解：20、计算不定积分：arctan 1d 1x x x x ?+?解：21、计算⼆重积分2Dxy d σ2px =(0p >)围成的区域解：22、设y z x=⽽tx e =,21ty e=- 求dz d t .解：四、综合题与证明题1、函数21sin , 0,()0, 0x x f x xx ?≠?=??=?在点0x =处是否连续是否可导2、求函数32(1)y x x =-的极值. 解：3、证明：当0x >时 221)1ln(1x x x x +>+++.证明：4、要造⼀圆柱形油罐体积为V问底半径r和⾼h 等于多少时才能使表⾯积最⼩这时底直径与⾼的⽐是多少解：5、设ln(1),10,()11,01x xf xx x x+-<≤讨论()f x在0x=处的连续性与可导性解：，6、求函数32(1)xyx=-的极值.解：7、证明: 当20π<sin tan 2x x x +>.证明：8、某地区防空洞的截⾯拟建成矩形加半圆(如图) 截⾯的⾯积为5m 2 问底宽x 为多少时才能使截⾯的周长最⼩从⽽使建造时所⽤的材料最省解：9、讨论21, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤??+<≤?=?+<≤??>?在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性解：10、确定函数23(2)()y x a a x =--(其中0a >)的单调区间.解：；11、证明：当20π<tan x x x +>. 证明：12、⼀房地产公司有50套公寓要出租当⽉租⾦定为1000元时公寓会全部租出去当⽉租⾦每增加50元时就会多⼀套公寓租不出去⽽租出去的公寓每⽉需花费100元的维修费试问房租定为多少可获最⼤收⼊解：13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ?+≤<=?-≤?在点x 1处是否可导为什么解：14、确定函数x x x y 6941023+-=的单调区间.解：。
高等数学模拟试卷6篇
模拟试题一一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1—5ACDDA 6—10DCCDD二、填空题（每小题4分）11.3/2，0，012.213.111110x y z ---==-14.cos (1)x y C e =+]15.011limsin 2sin _____x x x x x →+==216.-1，117.212!n x n e -+18.019.320.1三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）21.()210lim cos x x x →。
()22ln cos 100lim cos lim x x x x x x e →→=又因为200ln cos sin 1lim lim 2cos 2x x x x x x x →→-==-所以原式=12e -或。
22.已知函数y =，求dy 。
等式两边取对数得()()()1ln 2ln ln 1ln 2ln 134y x x x x =-++--+⎡⎤⎣⎦等式两边同时求导得()()3132111424x y y x x x +'=-+-+-所以()()3132111424x y x x x ⎡⎤+'=-+-⎢⎥+-⎣⎦所以()()3132111424x dy y dx x x x ⎡⎤+'==-+-⎢⎥+-⎣⎦。
23.求由方程0=-+x y e xy e 所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx。
方程两边同时求导0y x e y y xy e ''++-=所以x y e y y e x-'=+对y '等式两边同时求导()()()()()21x y x y y e y e x e y e y y ex ''-+--+''=+把y '代入整理得()()()223x y y x y e e x e e y y e x +--''=+。
江苏省普通高等学校高三数学招生考试模拟测试试题(一)
求实数 a 的取值范围； （2） 当 x＞0 时,恒有不等式错误!＞lnx 成立，求实数 a 的取值范围．
18. (本小题满分 16 分) 如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在 l 上设立了 A，B 两个报名点，满足 A，B，C 中任意两点间的距离为 10 km。公司拟按以下思路运作：先 将 A，B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处（点 D 异于 A，B 两点），然后乘同一 艘游轮前往 C 岛．据统计，每批游客 A 处需发车 2 辆，B 处需发车 4 辆，每辆汽车每千米耗费 2a 元，游轮每千米耗费 12a 元．(其中 a 是正常数）设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到 C 岛所需运输成本为 S 元． (1） 写出 S 关于 α 的函数表达式，并指出 α 的取值范围; (2） 问：中转点 D 距离 A 处多远时，S 最小？
所以 a1＋a3＝2a2＋10 ③.(3 分） 解①②③，得 a1＝1，a2＝5。(5 分) （2） 证明：由已知，n∈N＊时，2（Sn＋1－Sn)＝an＋2－an＋1－2n＋2＋2n＋1，即 an＋2＝3an＋1＋2n ＋1， 即 an＋1＝3an＋2n(n≥2），(7 分) 由（1)得，a2＝3a1＋2，∴ an＋1＝3an＋2n(n∈N＊)，(9 分） 从而有 an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3×2n＝3(an＋2n）．(11 分) 又 a1＋2＞0，∴ an＋2n＞0，∴ an＋a1n＋ ＋22nn＋1＝3， ∴ 数列{an＋2n｝是等比数列，且公比为 3.(12 分） ∴ an＋2n＝(a1＋2)×3n－1＝3n,即 an＝3n－2n.（14 分) [注：① 不说明 a2＝3a1＋2，就得 an＋1＝3an＋2n（n∈N＊），扣 1 分；② 仅由 an＋1＋2n＋1 ＝3(an＋2n)，就得到数列｛an＋2n}是等比数列,扣 1 分．］
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(理工类)
绝密★启用并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
命题人：雅安中学 黄潘第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|230}A x x x =--<,2{|log 2}B x x =<，则A B =（A ）(1,4)- （B ）(1,3)-（C ）(0,3) （D ）(0,4)2．若复数3i(R,i 12ia a +∈-为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为 （A ）6- （B ）2-（C ）4（D ）63．函数2cos(2)2y x π=-是（A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为π的偶函数 （C ）最小正周期为2π的奇函数（D ）最小正周期为2π的偶函数 4．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，则使得0n a >的最小正整数n 为 （A ）7（B ）8（C ）9（D ）105．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是 （A ）31m -<<（B ）42m -<<（C ）1m <（D ）01m <<6．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求1不在首位，3不在百位的五位数共有 （A ）72个（B ）78个 （C ）96个 （D ）54个7．定义某种运算⊕，a b ⊕的运算原理如右框图所示，设1S x =⊕，[2,2]x ∈-，则输出的S 的最大值与最小值的差为（A ）2（B ）1-S a=是否?a b ≥||S b =开始,a b输入（C ）4（D ）38．下列命题:①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α；②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． 其中正确的个数是 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）49．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，||4PF =，则直线AF 的倾斜角等于（A ）712π（B ）23π （C ）34π （D ）56π 10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x ' 满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（A ）2(2)(3)(log )af f f a << （B ）2(3)(log )(2)af f a f << （C ）2(log )(3)(2)af a f f <<（D ）2(log )(2)(3)af a f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答。
高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -； （B ）1~(0,1)1X N -； （C ）1~(0,1)9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+； （B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε； （B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ； （C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（ 未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-． （2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===， 即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=， 确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。
高数模拟试题及答案
高数模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，不是偶函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = cos(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)2. 函数f(x) = 2x - 1在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + 2y = x的解：A. y = (1/3)x^3 - x^2 + CB. y = x^2 - 2x + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = x - 2 + C4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/36. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...7. 以下哪个选项是泰勒级数展开的公式：A. f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ...B. f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2! + ...C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...D. f(x) = f(1) + f'(0)(x-1) + f''(0)(x-1)^2/2! + ...8. 以下哪个矩阵是可逆的：A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 1]C. [1 2; 2 4]D. [0 1; -1 0]9. 以下哪个是二阶偏导数的连续性条件：A. f_xx = f_yyB. f_xy = f_yxC. f_xx = f_yy = 0D. f_xy = f_yx = 010. 以下哪个是拉格朗日乘数法的应用场景：A. 求解线性方程组B. 求解最小二乘问题C. 求解线性规划问题D. 求解非线性方程组二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
新程高等数学1-5模拟卷 附答案
江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学 模拟考试试题（一）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1. 当x →0时，函数e x -cosx-x 是x 2的（ ） A.低阶无穷小量 B.等价无穷小量C.高阶无穷小量D.同阶但非等价的无穷小量2..A.f (x C.f (x3.A.4. A ．C ．5. A.2C.⎰6、直线273==--与平面－２x-7y+3z=3的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 直线与平面斜交二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、21dz z y dy y+=的解的是 . 8、301lim(1)4xx x-→+= .9、设0()10,12,133x f x x x x ⎧≥⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪->-⎩ 则在x = 处, ()f x 不可导. 10、z=,y x 122--则dz . 11、131(1x dx -+=⎰，应设15、设()y y x =是由函数方程22ln()1x y x y +=+-在(0,1)处所确定的隐函数, 求y '及(0,1)|.dy16、计算120x x e dx⎰.17cos sin 1y x y x '+=01x y ==1819.20、求复合函数2,y u f x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数，其中f 具有连续的二阶偏导数.求2u x y∂∂∂四、证明题（本大题共1小题，满分8分）21、当0x >时，证明不等式)1lnx x +>2223、与x24、设函数()f x 连续, 且201(2)arctan .2xtf x t dt x -=⎰已知(1)1,f = 求21()f x dx ⎰的值.江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试高等数学 模拟考试试题（二）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、1lim sin4n n n→∞=（ ） A.2 B.41C.1D.21 2（1A.2（2A.e C.e 3.当x A. C.4. A.B.C.D.5 A.- 6.→0h A.)x (f 410' B. )x (f 210'C.)x (f 0'D.4)x (f 0'二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π>+π≤4x k x 224x x sin 在x=4π处可导，则k= 8、曲线2xy e -=在x = 处有拐点.9、设()21,0x x af t dt e x =->⎰，则()f x =.10、→→→→→→→→→→→→.1112131415、设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂。
高等工程数学考试试卷1
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期：2011年 5 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数3()30f x x x =-=, 给出该方程存在正根的区间 , 该方程的Newton 迭代公式是 ；2. 若标准型线性规划的解集R 非空，则R 为n 维空间R n 中的 ； 3．写出下述线性规划问题的对偶问题：123123123121123min Z 34-5x .. 2345 2346567 0, 0,x x s t x x x x x x x x x x x R=+⎧⎪+-≤⎪⎪-++≥⎨⎪+=⎪≥≥∈⎪⎩4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n = ，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件是 ； 5．在进行二因子方差分析时，如果二因子之间存在交互作用，在做试验时，需要对每一种组合进行重复试验。
当二因子都取四水平，每一种组合重复试验次数均为3次，则一共应做 次试验。
6．如果要对4个因子D C B A ,,,进行方差分析，不考虑它的交互作用， （能，不能）采用正交表)3(49L7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 时，可对A 进行TLL 分解（Cholesky 分解）； 8．设011n n a x x x x b -=<<<<= 为区间[,]a b 的n 等分点，n T 和2n T 为定积分()baf x dx ⎰复合梯形公式，则其复合辛普森公式n S = 。
二、（本题6分）某公司生产三种产品：A 、B 和C 。
每种产品需要的资源和销售的利润如下表。
请建立使该公司的利润最大的生产计划数学模型。
三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：用Newton 插值法求)(x f 的三次插值多项式3()N x ，计算(4)f 的近似值，给出误差估计式。
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中南大学专业硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）
考试日期：2014年 月 日 时间100分钟
注：解答全部写在答题纸上
一、填空题(本题24分，每小题3分)
（1）如果71
12232
61,3531133
4
4Ax b A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
， A ∞= ，利用Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组是否收敛 ；
（2）利用迭代法求解非线性方程2()30x f x x e =+=的根，取初值00.5x =-。
给出一个根的存在
区间 ，在该区间上收敛的迭代函数为 ；
（3）在一元线性回归模型中，试写出三个影响预测精度的主要因素 ； （4）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2,
,i i x y i n =，则)(x f 的三次样条插值函数)(x S 在每个小区间
],[1i i x x -上是次数不超过 次的多项式函数，在整个区间上二阶导函数连续且满足插值条件；
（5）已知)(x f y =通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其Lagrange 插值基函数=)(3x l ；
（6）总体1210~(3,4),(,,
,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X .，
（7）算法2
121212),(x x x x x f y +==，已知1x 和2x 的绝对误差分别为)(1x ε和)(2x ε，则
=)(y ε ；
（8）已知)(x f y =通过点3,2,1,0),,(=i y x i i ，则其Lagrange 插值基函数=)(1x l 。
二、（本题12分）已知)(x f y =的函数值如下
选用适当的方法求三次插值多项式，以计算)5.0(-f 的近似值，给出相应的误差估计。
三、（本题16分）已知某工厂计划生产I ，II ，III 三种产品，各产品需要在A ，B ，C 设备上加工，有关数据见下表。
（1）如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？建立数学模型； （2）利用单纯形法求解所建立的模型（要求计算过程和结果）； （3）写出所建立数学模型的对偶形式。
四、（本题12分）设方程组为 1234102030
101212431001034x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（1）利用雅可比（Jacibi ）迭代格式进行迭代计算求近似解， 取初始值0(0.00,0.00,0.00,0.00)T X = ,保留2位小数，迭代2次；
（2）利用矩阵LU 直接分解方法求准确解。
五、（本题14分）某种食品在处理前后含脂率样本数据如下： 处理前： 0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.27
处理后： 0.15 0.13 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12
假定处理前后的含脂率均服从正态分布,（1）试问处理前后的含脂率的方差没有显著变化)05.0(=α
（2）求处理前后的含脂率的均值差的95%的置信区间； 六、（本题10分）定积分
⎰
b
a
dx x f )(在将区间],[b a 逐次分半的过程中用复合梯形公式计算的近似值如下：
请根据表中数据计算
⎰
b
a
dx x f )(精度足够高的近似值。
七、（本题12分）为了比较3种松树在4个不同的地区的生长情况有无差别，在每个地区对每种松树随机地选取5株，测量它们的胸径，得到了如下的数据
（2）树种和地区对树的胸径有无显著影响，取。