高等数学1试卷(附答案)
完整)高等数学考试题库(附答案)
完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。
1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。
A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。
A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。
A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。
A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。
A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。
A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。
A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。
A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。
A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。
A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。
大学高数一试题及答案
大学高数一试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：B2. 极限lim(x→0)(sin x/x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：D4. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。
答案：1, 2, 32. 曲线y=x^2与直线y=4x相切的点的横坐标是______。
答案：23. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。
答案：xln(x)-x+C4. 级数∑(1到∞) (1/n^2)的和是______。
答案：π^2/6三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0到π) sin x dx。
答案：22. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数：3x^2-6x；二阶导数：6x-63. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：e四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在R上是单调递增的。
答案：略2. 证明极限lim(x→0) (1-cos x)/x^2=0。
答案：略。
高等数学1试题(附答案解析)
WORD 文档 可编辑一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )(3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为 D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。
A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。
高等数学(一)试题(附答案)
高等数学（一）试题（附答案）一、填空题（每小题１分，共１０分）_________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋──────的定义域为_______________。
_________√１－ｘ2２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────＝___。
h→o h４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是___。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为_______。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn_______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的○内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝( )ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是( )ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是( )①若ｆ（X ）在X＝Xo连续，则ｆ（X ）在X＝Xo可导②若ｆ（X ）在X＝Xo不可导，则ｆ（X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（X ）在X＝Xo不可微，则ｆ（X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（X ）在X＝Xo不连续，则ｆ（X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为( ) ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则( )①Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝( )-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是( )①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ｙ3＋ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝( )１①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ───── ＝ｐ，则级数∑ａn( )n→∞ａn=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是( )①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是( )①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使( )①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo 可导的( )①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝( )ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝( )①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝( )x→0ｘ30１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝( )x→0ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是( )①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐｄｙ∞∞１９．设幂级数∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│ ( ) n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝( )D ｘ1 1 ｓｉｎｘ①∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ1 √yｓｉｎｘ②∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③∫ ｄｘ∫─────ｄｙ0 x ｘ__1 √xｓｉｎｘ④∫ ｄｙ∫─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ' 。
高等数学(一)练习题及答案
《高等数学(一)》练习题一一.是非题1．函数1()cos f x x x=的定义域是[1,0)(0,1]-。
( ) 2．函数2sin y x x =+是偶函数。
( )3. 函数()y f x =在点0x x =不连续，则函数()y f x =在该点处不可导。
( ) 4．若)(x f 当0x x →时的左、右极限都存在，则)(x f 的极限存在。
( ) 5. )(2)()(lim/0a f hh a f h a f h =--+→。
（ ） 6．函数()sin f x x =是有界函数.（ ） 7．函数1()f x x=在(,0)-∞上是减函数.（ ） 8. 极限10lim 2xx →存在.（ ）9．两个无穷小的乘积一定是无穷小. ( ) 10.初等函数在其定义域内都是连续的.( )11．函数()f x 在点x a =处有定义，是当x a →时()f x 有极限的充分必要条件。
（ ）12．函数31y x =+的反函数是y =（ ）二、单项选择题 1.函数y =的定义域是：（ ） A. (1,)-+∞ B. [1,)-+∞ C. (1,)+∞ D. [1,)+∞2.设2,1,()1,1x e x f x x x ⎧<-=⎨-≥-⎩，则(1)f =（ ）。
A. 1-B. 0C. 1D. 2 3. 函数()y f x =在点x a =连续是()y f x =在该点处有极限的（ ）。
A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件偶函数D.无关条件4.要使函数()f x x=在点0x =处连续，则(0)f =（ ）。
A. 2B. 1C. 1.5D. 05.设函数2,01,()3,12x x f x x x ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，则()f x 的连续区间为（ ）A. [0,1)(1,2]B. [0,1)C. [1,2]D. [0,2] 6.函数y =的定义域是（ ）。
A. (1,)-+∞ B. [1,)-+∞ C. (1,)+∞ D. [1,)+∞7.设2,1,()1,1x e x f x x x ⎧<-=⎨-≥-⎩，则(0)f =（ ）。
高等数学考试题库(附答案解析)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2．- ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ①11ln ||23x C x +++②ln ||x C + ③()1x e x C --++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }.(A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ). (A) ()121x x e - (B)12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分: ①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x td e dt dx -=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2. ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==--四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx =C 、)5(x d dx --=D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x- C 、 C x +2sin D 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→B 、x x arctan lim ∞→C 、x x sin lim ∞→D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x xx ； 3、dx x x 221)1(1-- ；4、C x ++ln 22 ；5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。
高等数学试题题库及答案1
《高等数学》试题（一）姓名 学号 专业 班级2．试卷若有雷同以零分计。
一． 选择填空：(每小题3分，共15分，把所选答案填入右括号中.) 1．设L 是从点(,0)a 到点(,0)a -的一直线段，则()2Lx y dx +⎰=（ ）A .221a B . 0 C.a 2 D 1 2．幂级数∑∞=0!n nxn 的收敛半径为（ ）A .+∞=RB .R=0 C.R=1 D.R=23．下列曲线积分在XOY 面内与路径无关的是（ ）A .(2,3)(1,1)(23)(3)x y dx x y dy ++-⎰B .dy y x dx y x )()()3,2()1,1(++-⎰C.(2,3)(1,1)()(2)x y dx x y dy ++-⎰D.dy y x dx y x )2()2()3,2()1,1(-++⎰4. 244xy y y e '''-+= 的一个特解应具有形式（ ）A . 2x BeB .2x Bxe C. 22x Bx e D. ()xBx C e + 5．下列级数中，发散的是（ ）A. 211n n ∞=∑ B. ()111n n n ∞=-∑ C. 0sin 2n nn x ∞=∑ D. ()0312n n n n ∞=-∑ 二． 填空题（每小题4分，共40分，把答案填入括号中） 6. 若G 是单连通开区域，,P Q 在G 内具有一阶的连续偏导，则P Qy x ∂∂=∂∂是积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关的（ ）条件；7．设L 为闭区域D 的正向边界曲线，闭区域D 的面积值为A ，则，12l ydx xdy -⎰Ñ=（ ）； 8．向量场()()()A x y i y z j z x k =-+-+-r r r r，则A r 的散度 divA r =（ ）,A r的旋度rotA r =（ ）； ９．设幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在（－R ，R ）内是可导的，且有（1n nn a x∞=∑)'=（ ）； 10．()cos3f x x =关于x 的幂级数展开式为（ ） 其收敛区间为（ ）； 11．若级数1nn u∞=∑收敛，则级数∑∞=1n nu必定（ ）； lim 0n n u →∞=是级数1nn u∞=∑收敛的（ ）条件；12．以212=+x xy C e C e 为通解（其中12,C C 为任意常数）的微分方程为( ); 13．)()()(x s x s x r n n -=称为)(1x u n n∑∞=的余项（和函数与部分和之差），则在)(1x u n n∑∞=的收敛域上，必有（ ）；； 14．方程)1,0()()(≠=+n y x Q y x P dxdyn 中，令z =（ ），可化为一阶线性方程，方程dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，令u =（ ）可化为一阶可分离变量方程； 15.方程()()x y dx dy dx dy +-=+的积分因子是（ ）.三． 解答题 （每小题7分，共35分）16. ()f x 连续，且满足330(),x f x f dt x =-⎰求)(x f .17．计算(2)(2)Lx y dx y x dy -+-⎰，其中L 是抛物线2x y =上从（0，0）到（1，1）的一段弧. 18．计算22()x y ds ∑+⎰⎰，其中∑是为抛物面221()z x y =-+在XOY 面上方的部分. 19．将 1,01,()0,1x f x x π≤<⎧=⎨≤<⎩ 展开成正弦级数.20．在收敛域()1,1-内，求函数项级数 01nn x n ∞=+∑的和函数)(x S .四．应用题 （10分）21 ．一单位质点从静止开始作直线运动， 受到一个与运动方向一致，大小与时间成正比(比例系数是3) 的力的作用，此外还受到一个与速度成正比（比例系数是2)的阻力作用，求此质点的运动速度与时间的函数关系.答案及评分标准一．BBACD （每小题3分）三．（每小题７分）16．解: 记()y f x =，两端对求x 导，化简得2233y x y x '-=-2233332233x dx x dx x x y e x e dx C e x e dx C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 3331x x xe e C Ce -⎡⎤=+=+⎣⎦注意 0,0x y ==，代入上式解得 1C =-所以，31x y e =- 17．解: （法1） 2:l y x =，由()()0,01,1O B →，2dy xdx =原式=()()()1122320022226x x x x x dx x x x dx ⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎰⎰=14320112122x x x ⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦（法二）2,2,2P QP x y Q y x y x∂∂=-=-==-∂∂，积分与路径无关. 选折线路径：()()()0,01,01,1O A B →→，则 原式=()112xdx y dy +-⎰⎰=112200112122x y +-=-18．计算22()x y ds ∑+⎰⎰，其中∑是为抛物面221()z x y =-+在XOY 面上方的部分. 解：∑在XOY 面上投影区域： (){}22,1D x y xy =+≤ds ==2222()(Dxy ds x y ∑+=+⎰⎰⎰⎰()()()2111222000112141141484d r r r d r πϑπ⎡⎤=⋅⋅+-++⎣⎦⎰⎰⎰极坐标 ()()()()()1312222015232220141414162214141653r r d r r r ππ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰=19．解：将()f x 在(,)ππ-+上奇延拓后，再以2π为周期延拓到R 上的()F x ，则()F x 满足Dirichlet 定理条件，且 ()()(),0,F x f x x π=∈显然 0,0,1,2,n a n ==L()21014sin 2221sin 0sin 1cos n nb nxdx nxdx n n n ππππ⎡⎤=⋅+⋅=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰214()sin sin 2n n f x nx n π∞==⋅∑，()()0,11,x π∈⋃ 20．解： 显然，(0)1S =，0x ≠时，10()1n n x xS x n +∞==+∑，因为在收敛域内，可逐项求导，所以， []1001(),0111n n n n x xS x x x n x +∞∞=='⎡⎤'===<<⎢⎥+-⎣⎦∑∑ ()101()ln 1,011xS x dx x x x==--<<-⎰综上述1,0()ln(1),01x S x x x x=⎧⎪=-⎨<<⎪-⎩ 四．（10分） 21解 由已知 121,32m F f f t v ==+=-r rr ， 根据Newton 第二定律有 32,0,0dvt v t v dt=-== ()()22222333212144Pdt Pdt t t t t tv e Qe dt C e te dt C e t e C t Ce ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由初始条件, 解得34C =, 所以 ()2321,(0)4t v e t t -=+-≥《高等数学》试题（二）（姓名 学号 专业 班级2.试卷若有雷同以零分记.一、 选择填空（每小题3分，共18分）1、数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的 （ ）A .必要条件B .充分条件C .充要条件D .无关条件2、若()f x 是奇函数，且'(0)f 存在，则0x =是函数xx f x F )()(=的 ( ) A .连续点 B .极大值点 C .可去间断点 D .极小值点3、设函数20(2)xy t dt =+⎰则y 在1x =-有 ( )A .极小值B .极大值C . 无极值D .有极小值也有极大值4、当0→x 时，sin x x 与x 1-cos 比较为 ( ) A .等价无穷小 B .同阶无穷小 C . 高阶无穷小 D .低阶无穷小5、下列命题中正确的是 （ ） A .二元函数在某点可导，则在该点连续.B .若0()0f x '=，则0()f x 是极值点或拐点.C .若(,)f x y 在闭区域上可微，则在该闭区域上一定可导.D .函数)(x f 在开区间(),a b 内可导，则(),a b ξ∃∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.6、在yoz 面上的直线2z y =绕oz 轴旋转所得的旋转面方程为 （ ）A .2222()z x y =-B .()2z x y =+C .2224()z x y =+ D.z =- 二、 填空题（每小题4分，共36分）：7、()20sin 2lim ln 1x x x x x →⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦（ ）；8、设0a >，且1ln 1axdx =⎰，则a = （ ）；9、若二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微，则必有=→),(lim ),(),(00y x f y x y x （ ）；10、若已知()2cos ln 12arcsin t x t t y t⎧=++⎪⎨=+⎪⎩，则=t dx dy =（ ）；11、cos 1sin xddx x =+⎰（ ）； 12、)12ln(2+-=x y z 定义域为（ ）； 13、231(ln )dx x x +∞⎰=（ ）； 14、平面曲线221x y -=在点()1,1处的曲率K =（ ）； 15、设32),,(z y x z y x f ++=，则grad )1,1,0(-f =（ ）；三、 计算题（每小题7分，共28分）： 16、设222()()4xx f t dtF x x =-⎰，其中)(x f 为连续函数，求2lim ()x F x →.17、求曲面2224zx y xz e +++= 在点()1,1,0处的切面方程和法线方程.18、设22'(sin )cos =f x x ，求()f x . 19、求21-⎰.四、综合题（每小题9分，共18分）20．设()f x 在区间[],a b 上连续，且()0f x >，()(),[,]()x xabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰，(1).证明'()2F x ≥；（2）求()F x 的最值. 21．设 ()22x zyf x z +=-，f可微，求z z zy x y∂∂+∂∂. 答案和评分标准一．选择填空 (每小题3分 共18分) ACABCC二．填空 （每小题4分，共36分）三．解答题 (每小题7分 共28分) 16、设222()()4xxf t dtF x x =-⎰，其中)(x f 为连续函数，求2lim ()x F x →.解一 因为)(x f 为连续函数，所以由罗必大法则原式()2222()lim2xx x f t dt x f x x→+=⎰()2.f =解二 因为)(x f 为连续函数，所以由积分中值定理原式()()()()22(2)2lim 22x x f x x x ξξ→→-=+-()2.f =17、求曲面2224zx y xz e +++= 在点()1,1,0处的切面方程和法线方程.解 令2224zF x y xz e =+++-(1,1,0)(2)2x F x z '=+=，(1,1,0)22y F y'==，(1,1,0)(2)3z z F x e '=+=所求切面方程()()212130x y z -+-+=即 22340x y z ++-= 所求法线方程11223x y z--== 18、设22'(sin )cos =f x x ，求()f x .解 令 22sin cos 1t x x t =→=-，()01t ≤≤，则()21()()12f t f t dt t dt t t C '==-=-+⎰⎰即()21()012f x x x Cx =-+≤≤19、求21-⎰.解原式211dx --=+⎰⎰(211212022x dx dx x=+=-⎰⎰⎰22242ππ=-=-四、综合题（每小题9分，共18分）20．设()f x 在区间[],a b 上连续，且()0f x >，()(),[,]()x xabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰，(1).证明'()2F x ≥；（2）求()F x 的最值. 证 （1）因为()f x 在区间[],a b 上连续，且()0f x >，所以1()()2,[,]()F x f x x a b f x '=+≥=∈ （2）由（1）知()F x 在区间[],a b 上是增函数，所以，函数最值在端点处取得.最小值 (),()abdtF a f t =⎰最大值 ()().baF b f t dt =⎰21．设 ()22x zyf x z +=-，f可微，求z z zy x y∂∂+∂∂. 解 令 22t x z =-，()Fx z yf t =+-，()()()1212x F yf t x xyf t '''=-=- ()y F f t '=-()()()1212z F yf t z yzf t '''=--=+()()2112x z xyf t F zx F yzf t '-'∂=-=''∂+ ()()12y z F f t zy F yzf t '∂=-=''∂+ ()()()()()221212xyzf t z yf t xyzf t z x z z z zy x x y yzf t yzf t ''-+-++∂∂+===''∂∂++。
《大一高等数学》试卷(十份)
《高等数学》试卷（一）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =12．函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）.（A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x⎛⎫-+⎪⎝⎭8．xxdx e e-+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x xe eC --+ （D ）ln()x xe eC -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx xππ-+⎰（B ）44arcsin x x dx ππ-⎰（C ）112x xe edx --+⎰（D ）()121sin xx x dx -+⎰10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x xa x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21x y x =-的垂直渐近线有条.4．()21ln dx x x =+⎰.5．()422sin cos x x x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ①21limxx x x →∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭②()2sin 1limxx x x x e→--2．求方程()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dxx x ++⎰②()0a >⎰③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高等数学》试卷（一）参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2- 2．3- ３． ２ ４．arctan ln x c + ５．２三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+-3. ①11ln ||23x C x +++ ②ln ||x C +③()1xex C--++四．应用题１．略 ２．18S =《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分)1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x =(B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x fx →=（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且0)(0>'x f ， 则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ).(A) 12,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.7.设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12x xe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫'⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211x y x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a>⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yxey y '=-3.①3sec 3x c + ②)lnx c + ③()222xx x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高等数学》试卷3（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21MM （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x yx y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y xB.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y x y x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a与b 垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（ ）.A.p 1<B.1≤pC.1>pD.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x-11 B.x-22 C.x-12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________.5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤yx D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y 条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷3参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()nn n nx ∑∞=+-0121.5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1.()()[]y x y x y exz xy+++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x eyz xy+++=∂∂cos sin .2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x xz . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R .5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷4（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21MM （ ）.A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6πB.4πC.3πD.2π3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r 8.幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n nna 是（ ）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.cxe y = B.x ce y = C.x e y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y tx 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242yx z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________.5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtx d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx =）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()yy xy y y y x yz y y y y x xz 3333223cossincos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,zxy xz yz zxy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.xxeC e C y --+=221.四.应用题1.316.2. 00221x t v gtx ++-=.《高数》试卷5（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim_________________.25x x x x →∞+=+-6. 321421sin 1x x dx x x -+-⎰=______________.7.2_______________________.x td e dt dx-=⎰8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2.; 233lim 9x x x →-- 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分) 1. 2x y x =+, 求(0)y '. 2. cos xy e=, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求d y d x.四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xe dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x ty t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程xy y ex '+=满足初始条件()10y =的特解.《高数》试卷5参考答案一．1．(3,3)- 2.4a= 3.2x = 4.()x xe f e '5.126.07.22xxe- 8.二阶二.1.原式=0lim1x x x →=2.311lim36x x →=+3.原式=112221lim[(1)]2xx ex--→∞+=三.1.221,(0)(2)2y y x ''==+2.c o s sin xdy xedx =-3.两边对x 求写：(1)x y y xy e y +''+=+'x yx yeyxy y y x ex xy++--⇒==--四.1.原式=ln 2cos x x C -+2.原式=2221ln(1)()ln(1)[ln(1)]222x xx d x x d x +=+-+⎰⎰=222111ln(1)ln(1)(1)221221x xxx dx x x dxxx+-=+--+++⎰⎰=221ln(1)[ln(1)]222xxx x x C +--+++3.原式=12212111(2)(1)222xxe d x ee ==-⎰五.2sin ,1.,,122t dy dy t t x y dxdxπππ======且当时切线：1,1022y x x y ππ-=--+-=即法线：1(),1022y x x y ππ-=--+--=即六.1231014(1)()33Sx dx x x =+=+=⎰22211221(1)11()22V x dy y dy y y ππππ==-=-=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y e e edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]xx e C x=-+由10,0x yC ==⇒=1xx y ex-∴=《高等数学》试卷6（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ d ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ c ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ c ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ a ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、zy zR x --, B 、zy zR x ---, C 、zy zR x ,--D 、zy zR x ,-6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnnx的收敛半径为（ ）A 、2B 、21 C 、1 D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnB 、∑∞=-1)1(n n)!2(2n xnC 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n xnD 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n xn9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
《高等数学1(一)》课程考试试卷A及答案
《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方。
一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共20分)1．与函数2()f x ln x =相同的函数是[ C ]. A ．lnx B ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim (32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ]. A ．11,3αβ== B ．15,3αβ== C ．511,3αβ== D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0limx y dyx∆→∆-∆等于[ B ].A ．－1B ．0C ．1D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在B ．0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x =-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<-D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ]. A ．sin 2cos 2x x x C ++ B ．sin 2cos 2x x x C -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+ D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c满足0a b ⋅= 与0a c ⨯= ，则b c ⋅ 等于[ A ].A ．0B ．－1C ．1D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t = 1 . 2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx . 3．已知21adx x π+∞-∞=+⎰，则a = 1 .4．已知()xf x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m = ，8n = ，10p = ，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯=144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分三峡大学试卷 教学班号 序号 班级学号 姓名密 封 线1．11lim(1)21n n n +→∞-+解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2=(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=223cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xyy e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xy xyy y e y x y e+'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e +=-+ 62．设参数方程21cos x t y t⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3 222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt-= 6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnx dx xlnx +⎰解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=0122221x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t =⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x =-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分已知星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩如右图所示，其中0a >， a 1） 计算星形线的全长； a - 0 a x 2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 2224()()dy dx L dt dt dtπ=+⎰2 a - 222249sin cos a t tdt π=⎰46a = 52）面积024202443sin cos a S ydx a t tdt π==-⎰⎰ 82422012sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=- 有驻点222x k -= 5 则22max132241282S k k -==+为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π 则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --= 为所求直线的方向向量得到 所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论. 证：记0()2()1x g x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加 4 故02()1x x f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根 6阅卷人 得分阅卷人 得分阅卷人 得分。
高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共30 分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）2f x ln x 和g x 2ln x （B）f x| x|和2g xx（C）f x x 和2g x x（D）f x| x |x 和g x1sin x 4 2f x ln 1 x x 02．函数在x 0 处连续，则a （） .a x 0（A ）0 （B）14（C）1（D）23．曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0 的切线方程为（） .（A ）y x 1 （B）y (x1) （C）y ln x 1 x 1 （D）y x4．设函数 f x | x|，则函数在点x 0处（）.（A ）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微5．点x 0 是函数4y x 的（）.（A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点6．曲线y1|x|的渐近线情况是（）.（A ）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线1 1 7． 2fdxx x 的结果是（）.（A ）1f Cx（B）1f Cx（C）1f Cx（D）1fCx8．dxxxe e的结果是（）.（A ）arctanxe C （B）arctanxe C（C）x x xxe e C （D）ln( ee ) C9．下列定积分为零的是（）.（A ）44 arctanx1 2 xdx（B）4 x arcsin x dx（C）4xx ee112dx（D）112x x sin xdx10．设f x 为连续函数，则 10 f 2x dx 等于（）.（A ）f 2 f 0 （B）12f11 f 0（C）12f f （D）f 1f 02 0二．填空题（每题 4 分，共20 分）2 1xef x x x 01．设函数在x 0 处连续，则a .a x 02．已知曲线y f x 在x 2 处的切线的倾斜角为56 ，则f2 .3．yx21x的垂直渐近线有条.4．dx2x 1 ln x.5． 2 4 x sin x cosxdx .2三．计算（每小题 5 分，共 30 分） 1．求极限① lim x1 xx2x②lim x 0x sinx 2 xx e1 2．求曲线 y ln x y所确定的隐函数的导数y.x3．求不定积分 ①dxx 1 x 3② dx 22x aa 0③ xxedx四．应用题（每题 10 分，共 20 分）1． 作出函数3 3 2y xx 的图像 .2．求曲线 2 2 y x 和直线 yx 4所围图形的面积 .《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C二．填空题 1．22．33３． ２４． arctan ln x c５．２三．计算题 １① 2e②1 62. yx1 xy13.①1 x 1 ln || 2 x 3C② 22xln | xax | C③ex1 C四．应用题 １．略 ２． S 18《高数》试卷 2（上）一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内 , 每题 3 分, 共 30 分) 1.下列各组函数中 ,是相同函数的是 ( ).(A) f x x 和2g xx(B)f x 21xx 1和 y x 1(C) f xx 和22g xx(sin x cos x) (D)2fx ln x 和 g x 2ln xsin 2 x 1x 1 x1 f x2 x 12.设函数，则2x1x 1lim x 1 f x（）.(A)(B)1(C)2(D)不存在3.设函数 y f x 在点 x 0 处可导，且 f x >0, 曲线则 yf x 在点 x 0, f x 0 处的切线的倾斜角为 {}.(A)(B)(C) 锐角(D)钝角24.曲线 y ln x 上某点的切线平行于直线y 2x 3 ,则该点坐标是 ( ).(A)2,ln 12(B)2, ln1 2(C)1 2,ln 2 (D) 1 2 , ln 25.函数2xyx e 及图象在 1,2 内是().(A) 单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6.以下结论正确的是 ( ). (A) 若 x 0 为函数 y f x 的驻点 ,则 x 0 必为函数 y f x 的极值点 . (B) 函数 y f x 导数不存在的点 ,一定不是函数 yf x 的极值点 .(C) 若函数 yf x 在 x 0 处取得极值 ,且 f x 0 存在,则必有 f x 0 =0.(D) 若函数y f x 在x0 处连续,则f x0 一定存在.14.设函数 y f x 的一个原函数为 2 xx e ,则 f x=().1111(A)2x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D) 2 x e x5.若 f x dx F x c ,则 sin xf cos x dx ().(A)F sin x c (B)F sin xc (C) F cos x c (D) F cosx c6.设 F x 为连续函数 ,则1x fdx=().2(A)f 1f 0 (B) 2 f 1 f 0 (C) 2 f 2f 0(D)1 2 ff27.定积分 ba dx ab 在几何上的表示().(A) 线段长 b a (B) 线段长 a b (C) 矩形面积 a b 1 (D) 矩形面积 b a 1二. 填空题 ( 每题 4 分, 共 20 分)2ln 1xf x x1 cosx 07.设, 在 x0连续,则a =________.ax 08.设 2ysin x , 则dy _________________ dsin x .x9.函数21yx 1的水平和垂直渐近线共有_______条.10.不定积分 x ln xdx ______________________.11. 定积分1 1 2x sin x 1 dx 2 1 x___________.三. 计算题 ( 每小题 5 分, 共 30 分) 1.求下列极限 : ① 1lim 1 2x x②x 0lim x2arctan x 1 xy2.求由方程y 1 xe 所确定的隐函数的导数 y x .3.求下列不定积分 : ①3tan x sec xdx②dx22 xaa 0 ③ 2 x x edx四. 应用题 ( 每题 10 分, 共 20 分)1.作出函数 13 y x x 的图象 .(要求列出表格 )32.计算由两条抛物线：2, 2yx y x 所围成的图形的面积 .《高数》试卷 2 参考答案一.选择题： CDCDB CADDD 二填空题： 1.－2 2. 2sin x3.34.1 12 2 x ln x xc5.242三.计算题： 1.①2e ②1 2. yxy ye2 8.①3 sec 3 x c ②22lnxaxc ③22 2 x xx ec四.应用题： 1.略2.S1 3《高数》试卷 3（上）一、 填空题( 每小题 3 分, 共24 分) 12. 函数 y 9 12 x的定义域为 ________________________.sin4x f xx , x 0 13. 设函数, 则当 a=_________时, f x 在x 0处连续.a,x 014. 函数 f(x)2x 1 2x3x2的无穷型间断点为________________. x15. 设 f (x) 可导, y f (e ) , 则 y ____________.16.2x1lim_________________.2x x x 2 5 17. 1 13 2 x sin x 42 x x1 dx =______________. 18. d dx2 x 0 te dt _______________________.19.3y y y是_______阶微分方程 .二、求下列极限 ( 每小题 5 分, 共 15 分)4. lim x 0 xe si n1 x x ;2. lim 2x 3x3 9 ;3.x1lim 1. x2x三、求下列导数或微分 ( 每小题 5 分, 共 15 分)3. x y, 求 y (0) . 2.x 2cos xy e , 求dy .3. 设 x y xy e , 求dy dx .四、求下列积分 ( 每小题 5 分, 共15 分)1.1 2sin x dxx.2.x ln(1x )dx .3. 1 2xedx五、(8 分) 求曲线x ty 1cost在t 处的切线与法线方程.2六、(8 分) 求由曲线2 1,y x 直线y 0, x 0 和x 1所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.七、(8 分) 求微分方程 y6y 13y 0 的通解.八、(7 分) 求微分方程yxy ex满足初始条件 y 10的特解.《高数》试卷 3 参考答案一．1． x32. a 43. x 24.'( )xxe f e9. 1 220. 7.xe8.二阶x 22x 二.1. 原式= lim1x 0x5. lim x x 3 1 13 66. 原式=1 1 12 x 22lim[(1) ]ex2x三.1.2 1y ', y '(0)2(x 2) 24. cosxdy sin xedx5.两边对 x 求写：'(1 ')x yyxyeyy' x ye yxy yx yx e xxy四.1. 原式=lim x2cos x C4. 原式=22x x 12lim(1 x)d ( ) lim(1 x) x d[lim(1 x)] 2 x 2=2 1 2 1 1 x x x lim(1 x) dx lim(1 x) ( x 1 )dx 2 2 1 x 2 2 1 x=2 2 x 1 x lim(1 x) [ x lim(1 x)] C 2 2 25. 原式=1 12 1 2 1 12x x1 121211 2 e d (2 x) e (e 1)222dydy五.sin 1, 1tt ty 且dxdx2 2切线：1 ,1 0yx 即y x2 2 法线：1( ),1 0yx 即y x 22六.121213S(x 1)dx ( xx)221 22 1 42V(x1) dx( x2x1)dx5x 2 282 1( x x)5 3 15七. 特征方程:2r 6r 13 0 r3 2i3xy e (C cos 2x C sin 2x)1 2八. 1 1dx x dxx xy e ( e e dxC)1 x x[( x 1)eC]由y x 1 0, C 0x 1 xy ex《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数y ln(1 x) x 2 的定义域是（）.A2,1B2,1C2,1D2,12、极限 xlim e 的值是（ ）.xA 、B 、 0C 、D 、 不存在sin( x 1) 3、2 limx 11 x（）.A 、1B 、 0C 、 1 2D 、1 23x4、曲线 y x2 在点 (1, 0) 处的切线方程是（）A 、 y 2(x 1)B 、 y 4( x 1)C 、 y4x 1D 、 y 3(x 1)5、下列各微分式正确的是（ ）.2A 、 xdx d(x )B 、 cos 2xdx d (sin 2x)C 、 dxd(5 x)D 、d(xdx2 ) ( ) 2 ) ( )2x 6、设f (x )dx2 cos C ，则 f (x) （）.2A 、 sin x2B 、 sin x 2xC 、 sinCD 、22 s inx22 ln x 7、dxx （ ）.2 1 2A 、2ln x Cx21 2B 、(2 ln x)C21 ln xC 、ln 2 ln x CD 、C2x8、曲线 2yx ， x 1 ， y 0所围成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积V（）.A 、 1 0xB 、 4dx 4dx1yd yC 、 1 0 (1 y) dyD 、1(1 x dx 4 )4 )9、 1 0 1 x e x e dx （ ）.A 、 ln1 e2 e1 e 1 B 、 C 、D 、ln lnln2232e 210、微分方程 y yy 2x2e 的一个特解为（）.A 、y3 7 2x eB 、y3 7 x e C 、y 2 7 2 xe xD 、y2 7 2x e二、填空题（每小题 4 分） 1、设函数xy xe ，则y；2、如果 3 s in mx lim x 0 x 22 3 , 则m.3、1x； 3 cos xdx 3 cos xdx 14、微分方程y 4y4y0 的通解是.5、函数 f (x) x 2 x 在区间0,4 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）1、求极限limx 0 1x 1xx1 2；2、求y cot xln sin x2的导数；3、求函数3x 1y 的微分；4、求不定积分3x 1dx1 x 1；5、求定积分e1 ln x dx ；6、解方程edydx yx1x2；四、应用题（每小题10 分）1、求抛物线2y x与2y 2 x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数2 3y 3x x 的图象.参考答案一、1、C；2、D；3、C；4、B；5、C；6、B；7、B；8、A；9、A ；10、D；二、1、x(x 2)e ；2、49；3、0 ；4、y 2x(C1 C x)e ；5、8，0226x三、1、1；2、cot 3 x ；3、dx3 2(x 1)1；4、2 x 1 2 ln(1 x 1) C ；5、2(2 )e2 2 12 ；；6、y x C四、1、83 ；2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数1y 2 x 的定义域是（）.lg( x 1)A、2, 1 0,B、1,0 (0, )C、( 1,0 )(0, )D、( 1, )2、下列各式中，极限存在的是（）.A、lim c o s xx 0 B、lim arctan x C、lim sin xD、x xlimx2 x3、xx lim ( )（）. x 1 xA 、e B、2e C、1D、1e4、曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0的切线方程是（）.A、y xB、y (ln x 1)( x 1)C、y x 1D、y (x1)5、已知y x s in 3x ，则dy （）.A、( cos3x 3 s in 3x )dxB、(sin 3x 3x cos3x) dxC、(cos 3x sin 3 x)dxD、(sin 3x x cos3x)dx6、下列等式成立的是（）.11A、x dx x C1x lnxB、 a dx a x C1C、cos xdx sin x CD、tan xdx C21 xsinx sin cos 7、计算 e x xdx 的结果中正确的是（）.sin B、e sin x cos x C xA、e CC、e x Csin x sin D、e sin x (sin x 1) C8、曲线2y x ，x 1 ，y 0所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体体积V （）.A、1xB 、4dx4dx1ydyC、1(1 y) dyD、1(1 xdx4 )4 )a2 （）.29、设a﹥0 ，则 a x dxA 、2aB、22aC、142a 0D、14a210、方程（）是一阶线性微分方程.y2 xA、x y ln 0B、y e y 0xC、(1 x ) sin 0D、xy dx ( y 6 ) 02 y y y 2 x dy二、填空题（每小题 4 分）1、设f ( x)xeax1,,bxx，则有lim f (x)x 0，lim f (x)x 0；2、设xy xe ，则y ；23、函数 f (x) ln(1 x ) 在区间1,2 的最大值是，最小值是；4、1x； 3 cos xdx 3 cos xdx 15、微分方程y 3y2y0 的通解是.三、计算题（每小题 5 分）1 3 1、求极限lim( )2x 1 x x x21 ；2 2、求y 1 x arccosx 的导数；3、求函数xy 的微分；21 x14、求不定积分dxx 2 ln x；5、求定积分e1 ln x dx ；e26、求方程x y xy y1满足初始条件y( ) 4 的特解.2四、应用题（每小题10 分）1、求由曲线 2y 2 x 和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.3 x x22、利用导数作出函数y x 6 9 4 的图象.参考答案（ B 卷）一、1、B；2、A ；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、A ；9、D；10、B.二、1、 2 ，b ；2、( x 2) e x ；3、ln 5 ，0 ；4、0 ；5、C e x C e2 x1 .2三、1、13x；2、arccosx 121 x1；3、dx(1 x x2 ) 1 22 ) 1 2；14、2 2 ln x C ；5、2(2 )e ；6、y2x2e1x；四、1、92；2、图略。
高等数学试题(含答案)
7.解.特征方程为 k 2 k 0 ，得到特征根 k1 0, k2 1，
故对应的齐次方程的通解为 y c1 c2ex ，
由观察法，可知非齐次方程的特解是 y 1 e x ， 2
因而，所求方程的通解为
y
c1
c2ex
1 2
e x ，其中 c1 , c2
第４页，共１２页
报考学校：______________________报考专业：______________________姓名：
准考证号：
-------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
是任意常数.
………..1 分 ………..3 分 ………..5 分
……….6 分
8.解.因为 ln1 x x x 2 x3 x 4 1n x n1 (1 x 1) ,
234
n 1
….3 分
所以 x 2 ln1 x x 2 (x x 2 x3 x 4 1n x n1 )
1
1.解法一(1). S e e x dx
0
ex e x 1 e e 1 1 . 0
1
(2).V e2 e2x dx
0
e2 x 1 e2x 1
2 0
e2
1 2
e2
1
2
e2 1
1
解法二.(1) S e e x dx
考研高数1试题及答案
考研高数1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \)，下列选项中，\( f(x) \) 的导数正确的是：A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( x^3 + 2x^2 - 5 \)C. \( 3x^2 + 2x - 5 \)D. \( 3x^3 + 4x^2 - 5x \)答案：A2. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \) 的值是：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B3. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案：B4. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求定积分 \( \int_{0}^{1} (2x - 1) dx \) 的值是 _______。
答案：\( \frac{1}{2} \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 _______。
答案：\( (0, +\infty) \)3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 _______。
答案：\( e^x \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 _______。
答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dxx=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号：2. 设()232x xf x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )( 3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2x y d t π-=⎰的全长为 D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。
A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。
大学高等数学第一册考试试题+答案
一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）1.设-∞=→)(lim 0x f x x ，-∞=→)(lim 0x g x x ，Ax h x x =→)(lim 0，则下列命题不正确的是( B )A. -∞=+→)]()([lim 0x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0x h x f x x ;C.-∞=+→)]()([lim 0x h x f x x ; D.+∞=→)]()([lim 0x g x f xx . 2. 若∞→n lim 2)51(++n n=( A )A.5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x xf x f cos 1)0()(--=3,则在点x=0处 ( C )A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0;B. f(x)的导数不存在;C. f(x)取极小值;D. f(x)取极大值.4设xe 2-是f(x)的一个原函数,则⎰dx x xf )(= ( A )A.x e 2-(x+21)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c.5.⎰xadt t f )3('= ( D )A. 3[f(x)－f(a)] ;B. f(3x)－f(3a);C. 3[f(3x)－f(3a)] ;D. 31[f(3x)－f(3a)].二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）1. 若+∞→x lim (11223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . .2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h hh a f h a f )3()(--+= 4)('a f .3. 设y=522)ln(e x a x +++,则dy. 4. 不定积分dx e xx⎰2=c e xx ++2ln 12 .5. 广义积分⎰-311dx x x = 2310. . 6. ⎰-++1121sin dx x xx x = 0 .7. 用定积分的定义计算：∞→n lim∑=+n i nin 1sin 31π=π2.三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）1. 设函数f(x)= ⎩⎨⎧>+≤+0012x b ax x e x 在点x=0可导，求a 与b 的值 .1. 解:f(x)在x=0可导⇒ f(x)在x=0连续⇒-→0lim x f(x)=f(0)= +→0lim x f(x)=b ⇒b=2,又)0('=f =-→0lim x xf x f )0()(-=-→0lim x x e x 12-=2)0('+f =+→0lim x x f x f )0()(-=+→0lim x x ax 22-+=a(因b=2),由已知有)0('=f =)0('+f ，故a=2,b=2 .2.求)1ln(x y +=的n 阶导数 .2.解：nn n x n y)1()!1()1(1)(+--=-3. 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩ 所确定的隐函数y=y(x)的一阶,二阶导数dx dy ,22dx yd . 3.解： dx dy =2t, 22dx y d =214t t +4. 求0lim →x )sin 1ln(cos sin 1x x xx x +-+ .4.解：原式=0lim→x )cos sin 1(sin cos sin 12x x x x x xx x ++-+=210lim →x x xx sin +=1 5. 求⎰+dx x x )ln 31(1.5.解：原式=⎰++)ln 31()ln 31131x d x =…=c x ++ln 31ln 316. 求⎰-dx xa x 222（a>0）. 6.解：令t a x sin =原式=……=c x a ax a x a +--)(arcsin 222227. 求I=⎰21arcsin xdx .7.解：I=210]arcsin [x x ⎰--+21021)2(21dx xx =……….=12312-+π 四、应用题（5分） 摆线的一拱:)20(,)cos 1(2)sin (2π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y t t x 与直线y=0围成一平面图形, (1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：(1) S=⎰⋅220πydx =⎰--π20')]sin (2)[cos 1(2dt t t t =… =12π,(2) V x =π⎰⋅2202πdx y =⎰--π20'22)]sin ([)cos 1(dt t t a t a = (240)五、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分） (1) 利用函数图形的凹凸性证明不等式：),0,0(2ln)(ln ln y x y x yx y x y y x x ≠>>++>+. (1)证：令,0)(",ln )(>=t f t t x f 图形凹，由定义得证.(2) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,0<a<b,证明:必有二点ξ,η∈(a,b),使得ab )('ξf =)('2ηηf 成立 .(2) 证：结论变为 ab)('ξf =2'1)(ηηf , 设g(x)=x1, f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西定理的条件,必存在一点η∈(a,b), 使得a b a f b f 11)()(--=2'1)(ηηf ,即ab a f b f --)()(ab=2η)(;ηf .又f(x)在[a,b]上满足拉氏定理的条件,必存在一点ξ∈(a,b), 使得 ab a f b f --)()(=)('ξf ,即ab )('ξf =2η)(;ηf ,得证.。
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1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭=4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点D ．连续点 2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )( 3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46.当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？A 。
A ．32a =-，92b = B.32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D.32a =，92b = 7.曲线2xy x -=⋅的凸区间为D 。
A.2(,)-∞- B.2(,)2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2-∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分，第6~7题每小题8分，共46分）1. 21lim cos x x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭解：()21cos lim ,1t t t xt →==原式令)0(cos ln lim20型t t t e →=（3分）tt t t e cos 2sin lim⋅-→=12e-=（6分）2.222,arctan )1ln()(dx yd tt y t x x y y 求确定所由参数方程设函数⎩⎨⎧-=+==。
解：)]1[ln()arctan (2t d t t d dx dy +-=2212111t t t ++-=2t =，（3分）22dx y d dx dx dy d ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dtdx dt t d 1)2(⋅=212121t t +⋅=tt 412+=．（6分）3.2(1)xx xe dx e +⎰． 解：=原式1()1x x d e -+⎰（2分） =111x x x dx e e -+++⎰ =11()11x x x x x de e e e -+-++⎰ =ln 11xx x x e C e e -++++（6分） 4.求⎰(0)t t =≥，则22x t dx tdt ==， （2分）242220000221222(1)1112[ln 1]2ln32t t tdt dt t dt t t t t t t ===-++++=-++=⎰⎰⎰⎰（6分） 5. 设曲线()n f x x =在(1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(,0)n x ，求n n n x )(lim ∞→。
解：11(1)n x f nx n -='==，所以()f x 在点(1,1)处的切线方程为：(1)1y n x =-+…….. (*)(2)分由题意知切线(*)与x 轴的交点为(,0)n x ，即n x x n nn 111)1(0-=⇒+-=(5)分 从而可得：n n n n n nx )11(lim )(lim -=∞→∞→＝1-e ．(6)分 6. 设连续函数)(x f 满足x x f x f 2sin )()(=-+，求积分222()sin I f x x dx ππ-=⎰．解：方程两端同乘2sin x 并从2π-积分到2π，得：222222222444()sin ()sin sin 2sin 2(*)f x xdx f x xdxxdx xdx I πππππππ---+-===⎰⎰⎰⎰)3(分222()sin f x xdx t xππ--=-⎰又令222222()sin ()()()sin f t t dt f t tdt ππππ----=⎰⎰（5分）由(*)得：22241()sin 22I f x xdx I ππ-==⨯⎰13122422π=⨯⨯⨯⨯316π=．(8)分 7.设()f x 连续，1()()F x f t x dt =⎰，且0()lim x f x A x→=（A 为常数），求()dF x x 。
解：由A xx f x =→)(lim0知：(0)0f =。
u t x =令，⎩⎨⎧→→xu t 0:10:则，x du dt xdt du =⇒= ⎰⎰⇒=x xdu u f dt tx f x F 01)()()(于是)0()(1≠=⎰x du u f x x可见：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰0,00,)(1)(0x x du u f x x F x(4)分 时当0≠x ，22)()()(1)(1)(x du u f x xf x f x du u f xx F xx ⎰⎰-=+-='；)6(分时当0=x ，0()(0)(0)lim x F x F F x∆→∆-'=∆2001()0lim ()lim()()1lim ,22x x x x x f u du xxf u dux f x A x ∆∆→∆∆→∆→-∆=∆=∆∆==∆⎰⎰所以：02()(),0(),02x xf x f u dux x F x Ax ⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．)8(分四、应用题（共1小题，每小题9分，共9分）设直线y a x =)10(<<a 与抛物线2x y =所围成的图形为1D ，它们与直线1=x 所围成的图形为2D ，若1D 、2D 同时绕x 轴旋转一周得到一旋转体，试确定a 的值，使该旋转体的体积最小．解：∵⎩⎨⎧≤≤≤≤axy x ax 20:1D ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤21:x y ax x a 2D []⎰-=a dx x ax 0222)()(π1V ()⎰-=adx x x a 0422π []⎰-=1222)()(adx ax x π2V ()⎰-=1224adx x a x π∴()()⎰⎰-+-=+=12240422aadx x a x dx x x a a ππ21)(V V V132505323553aa x a x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ5315425πππ+-=a a ……………..(5)分 由da a )(dV a a 32344ππ-=，令0a da=dV ()得：321=a ．………….(7)分又由 2a a da2d V ()3162161260333233a a πππππ⎛⎫=-=⋅-=> ⎪⎝⎭ 可见： 当321=a 时， 该旋转体的体积最小． ………………..(9)分五、证明题（共1小题，每小题6分，共6分）设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()0f x '≠，试证存在),(,b a ∈ηξ，使得()()b af e e e f b aηξη-'-=⋅'-证明：设()xg x e =，则()()()()()()f b f a f g b g a g ηη'-='-，即()()()b af b f a f e e eηη'-=-. ………………..（3分） 又因为存在(,)a b ξ∈,使得()()()(),f b f a b a f ξ'-=-……………………..（4分）所以 ()()()b ab a f f e e eηξη''-=-，即结论成立.………………..（6分）。