第十四章现代数学概观-二十世纪的数学 第一节 五大新兴学科的建立
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转载 20世纪数学史略原文位置：20世纪数学史略整理：木桃20世纪数学史略20世纪的数学一如既往地向前发展，其速度可以说超出了人们的预料。
与19世纪的经典数学相比，20世纪的数学也可称之为现代数学。
§1 20世纪数学的特点一般认为，现代数学具有以下特征：(1)各门数学学科以集合论为基础，按数学结构的框架展开，推理方式进一步形式化，数理逻辑成为数学的基础分支。
(2)纯粹数学进一步抽象化了，但却并未离开整个科学的发展。
它的核心内容已从过去的微积分，单元多项式理论，三维解析几何及局部微分几何为主体转到以泛函分析，抽象代数和拓扑学(所谓新三高)为主体。
数学内容从单变量发展到多变量，从平面和立体几何转向一般的n维空间的几何，从研究局部性态发展为研究整体性态，从线性问题过渡为非线性问题。
(3)新的应用学科蓬勃发展。
概率论与数理统计迅速普及，几乎渗入所有的科学分支。
控制论、信息论、对策论、规划论等全新学科在二次大战后纷纷问世。
数学广泛渗入一切科学分支自然科学的，也包括社会科学的。
各科学分支数量化的进程仍在一日千里地前进。
(4)最重要的特点也许是电子计算机的问世，它改变了数学发展的方向。
大范围的科学计算使许多数学方法获得新生，并正在改变数学家的工作方式。
机器证明正在成为数学界的现实。
与计算机相关，离散数学将成为数学中的主角之一。
§2 20世纪数学中心的转移在上世纪末、本世纪初之时，法国的大数学家庞加莱(H.poinoare1854-1912)执国际数坛牛耳，巴黎是世界数学中心之一。
当时正在上升的明星是德国的希尔伯特(D.Hilbert1962-1943)。
1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表明他将领导新世纪的数学新潮流。
从1900年到1933年，德国的哥庭根大学成为世界数学的中心，其中早期的核心人物是克莱茵(F.Klein 1849-1925)，希尔伯特和闵可夫斯基(H.Minkowski 1864-1909)。
二十世纪的数学课件
二、纯粹数学的研究领域 一方面，从更高的抽象上说，发展了 1、实变函数与泛函分析 2、抽象代数 3、拓扑学 4、公理化概率论
另一方面，从更高的统一化上说，发展了 1、微分拓扑与代数拓扑 2、整体微分几何 3、其他学科的融合
三、纯粹数学发展研究的序幕——希尔伯特问题
1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家 大会上作了题为《数学问题》的著名演讲。希尔伯特整 个演说的主体，是根据19世纪数学成果和发展趋势而提 出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要 领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓 厚的研究兴趣。
2、集合论的发展 罗素悖论的争论
三大学派：
第一，罗素、怀特海为代表的逻辑主义学派
第二，以荷兰数学家布劳维为代表的直觉主义学派
第三，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义学 派
2、集合论的发展 罗素悖论的争论
三大学派进行了激烈的争论，分析了悖论产生 的根源，人们希望能够通过对康托尔的集合论进行 改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就 需要建立新的原则。
四、集合论的发展史
1、集合论概念
所谓集合论，是研究集合（由一堆抽象物件构 成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员 关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公 式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
四、集合论的发展史 1、集合论概念
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系 开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A。由于集合 也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集 合的关系。
2、集合论的发展 理发师悖论与罗素悖论是等价的：
如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素 被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称， 他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且 城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否 属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。 反过来的变换也是成立的。
20世纪数学的发展特色
20世纪数学的发展特色《20世纪数学的发展特色》20世纪是数学发展史上一个极其重要而独特的时期。
在此期间，数学经历了许多重大的变革和发展，为科学研究和现代技术的进步作出了巨大贡献。
本文将从几个重要方面介绍20世纪数学的发展特色。
首先，20世纪数学的一个显著特点是对公理化和形式化的追求。
早期数学的基础主要建立在几何学和代数学的基础之上，缺乏一致的公理化体系。
然而，20世纪以来，数学家们开始追求更加严谨的数学基础，并努力将各个分支联系起来。
这导致了公理化和形式化的发展，形成了现代数学的推理和证明规范。
其次，20世纪数学的另一个特色是对抽象代数、拓扑学和几何学等分支的建立和发展。
在这一时期，数学家们开始研究更为抽象和广泛的数学概念，如群论、环论和域论等。
同时，拓扑学和几何学等领域也得到了前所未有的深化和推广。
这些抽象的数学工具和概念不仅在数学本身中扮演着重要的角色，还对其他学科的发展产生了重要影响。
第三，20世纪数学的第三个重要特色是应用数学的广泛发展。
随着科学技术的进步，数学在解决现实世界的问题中起到了越来越重要的作用。
20世纪数学家们在物理学、工程学、经济学等领域中作出了诸多杰出贡献。
一些重要的数学方法和技术，如微分方程、概率论、优化理论等，被广泛应用于实际问题的建模和求解中。
最后，20世纪数学的发展特色之一是计算机技术的崛起与数学的交叉融合。
计算机的出现使得数学家们能够处理更大规模和更复杂的数学问题。
计算机代数系统、数值计算方法和计算几何等学科的发展进一步推动了数学的发展。
同时，数学也为计算机科学的发展提供了重要理论基础，二者相互促进，推动了科技革命的进程。
综上所述，《20世纪数学的发展特色》包括对公理化和形式化的追求、抽象代数、拓扑学和几何学的建立和发展、应用数学的广泛发展，以及与计算机技术的交叉融合。
这些特点使得20世纪成为数学发展史上一个具有里程碑意义的时期，为现代数学的繁荣和科学技术的进步奠定了坚实基础。
二十世纪的数学课件
五、公理化思想的发展
公理化数学，是以逻辑为工具，用公理化的方 法来试图包容数学中的“所有”知识。
公理化方法，就是指从尽可能少的原始概念和 不加证明的原始命题（即公理、公设）出发，按照 逻辑规则推导出其他命题，建立起一个演绎系统的 方法。
公理集合论 ，用形式化公理化方法研究集合论 的一个学科。数理逻辑的主要分支之一。
四、集合论的发展史
1、集合论概念
所谓集合论，是研究集合（由一堆抽象物件构 成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员 关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公 式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
四、集合论的发展史 1、集合论概念
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系 开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A。由于集合 也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集 合的关系。
在处理美国全国人口普查资料和总统选举中表现出色；冯·诺 意曼主持设计制造的电子计算机在第一颗氢弹的研制中发挥了 很大的作用；
六、抽象代数的发展
1930-1931年， 荷兰数学家范德瓦尔登出版著名《近世代数 学》。 之后，群、域、环成为抽象代数学的中心，构 成现代数学的基础。
七、拓扑学的发展 研究连续性现象的数学分支
二十世纪初，法国数学家彭加勒首创了组合拓 扑学。
1910年，布劳维发现了不动点原理，后来又发 现了维数定理、单纯性逼近方法。
1941年德国数学家布劳尔创立了模表示论。
六、抽象代数的发展
1910年， 德国数学家施泰尼茨对域论进行统一的抽象处 理，形成了域论的基础。
六、抽象代数的发展
1913年， 法国数学家厄-嘉当、德国数学家魏尔完成了半 单纯李代数有限维表示，奠定了李群表示理论的基 础。
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二十世纪的数学谢谢邀请我来这里参加这个活动．当然，如果有人想谈论一个世纪的终结以及下一个世纪的开始，那么他有两个具有相当难度的选择：一个是回顾过去百年的数学；另一个是对未来百年数学发展的预测，我选择了前面这个比较困难的任务，任何人都可以预测未来而且我们并不能判定是对还是错．然而对过去的任何评述，每个人都可以提出异议．我在这里所讲的是我个人的观点．这个报告不可能包含所有内容，特别是，有一些重要的内容我不准备涉及，一部分是因为我不是那些方面的专家，一部分也是出于它们已经在其他地方被评述过了.例如，我不会去谈论那些发生在逻辑与计算领域内的著名事件，这些事件往往是与像Hi1bert，G?del，Turing这些伟大的名字相关的，除了数学在基础物理中的应用之外，我也不会谈论太多数学的其他应用，这是因为数学的应用太广泛了，而且这需要专门的论述．每一个方面都需要一个专门的报告．也许大家在这次会议的其他报告中会听到很多关于这些内容的演讲．另外，试着罗列一些定理，甚至是列出在过去一百年的著名数学家的名字也是毫无意义的，那简直是在做枯燥的练习．所以，代替它们的是，我试着选择一些我认为在很多方面都是很重要的主题来讨论并且强调围绕这些主题所发生的事情．首先我有一个一般性的说明．世纪是一个大约的数字概念．我们不会真地认为在过整整一百年的时候，有些事情会突然停下来，再重新开始，所以当我描述二十世纪的数学时，有些内容实际上可能是跨世纪的，如果某件事件发生在十九世纪九十年代，并持续到二十世纪初，我将不去计较这种时间方面的细节．我所做的就象一个天文学家，工作在一个近似的数字环境中．实际上，许多东西始于十九世纪，只不过在二十世纪才硕果累累．这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了．难以想象人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的．实际上，如果现在有人在数学上有一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题时的情景．从局部到整体作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论．我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变．在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物．在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质．由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了．正是Poincar，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert并没有意识到这一点．拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对Poincar而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容．让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了．例如，考虑一下复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象Weierstrass这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式．函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abe1，Riemann和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式．一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了．在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质．数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架．数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时．这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论．当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质．物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进．维数的增加我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加．我们再次从经典的复变函数理论开始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼．推广到两个或者更多个变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内．不是所有的现象都与一个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且n个变量的理论的研究越来越占有统治地位，这也是本世纪主要成就之一．另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究n维流形的几何，大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变．在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间里看到的东西．而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象,但当时人们也许没有认真对待它们．认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是二十世纪的产物．同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数(vector-valued function)．所以我们看到这里有一个独立和非独立变量个数增加的问题．线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间．当然这就涉及到了分析,在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函．它们是函数空间上的函数．它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论．一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中．这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪．这就是我谈的第二个主题．从交换到非交换第三个主题是从交换到非交换的转变．这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主要的特征之一．代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪．它有几个不同的起源．Hamilton在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发．还有Grassmann在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中．当然，还有Cayley以线性代数为基础的矩阵方面的工作和Galois在群论方面的工作等．所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”．我们现在可以不去思考这些，但在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展．矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论．Heisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被von Neumann推广到他的算子代数理论中．群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它．从线性到非线性我的下一个主题是从线性到非线性的转变．古典数学的大部分或者基本上是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究．我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这一切都是线性的．而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象．在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了．它们代表不同的极端．孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为(disorganized behavior)．这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本土都是非线性现象．我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分．当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程．与之对应的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力．这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项．于是在这里我们看到了一个非线性性与非交换性之间的有趣的联系．非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意思和很重要的．几何与代数至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明．我指的是几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史．几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系．让我首先由这个问题的历史开始．Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子，直到Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的．Descartes 的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试．从代数学家们的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Le1bniz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试．他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理．在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它．当他发展微积分的时候，他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz 有一个目标，一个雄心勃勃的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然不同，并且二者有很多不同的记号．正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论中，Leibniz的记号最后得胜．我们现在还沿用他的记号来写偏导数．Newton的精神尚在，但被人们埋葬了很长时间．在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincar和Hilbert是两个主要人物．我在前面已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人．Poincar的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具．Hilbert更多的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述．虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同的传统．当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代表性的人的名字．谈论还健在的人是十分困难的──谁该放在这张名单上呢？接着我又暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字Arnold Bourbaki，前者是Poincar-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilbert 最著名的接班人．Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏离）等少数人之外，都是一种误解．Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功．每一种观点都有它的优点，但是它们之间很难调和．让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同．几何学当然讲的是空间，这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件．我们大脑的构造与视觉有着极其重要的关系．我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之八十或九十．在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说．理解并感知我们所看到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分．因此空间直觉(spatial intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用．我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器．特别是在向学生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚．当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了．学生这时会说些什么呢？他会说“我看到了（我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他语言作对比同样有趣．我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善．在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间．无论现在做的是哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思是我们必须有时间的概念．在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察．然而,代数与时间有关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数．任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这一切看得很清楚．现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案．代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间．它们是世界互相垂直的两个方面，并且它们代表数学中两种不同的观念．因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情．当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得．当我考虑这个问题时，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要．在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分．物理学有两个部分：理论──概念，想法，单词，定律──和实验仪器．我认为概念在某种广义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物．另一方面，实验更象一个代数计算．人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去．但是在实验背后的基本概念却是几何传统的一部分．将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”．正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提供给数学家的供品．魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题．你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假装我们出卖灵魂，但不真地给它．不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义．在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东西，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这些不同阶段对应的几何是什么．就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常重要的．我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到的浮士德的奉献．我肯定这种讲法尖锐了一点．几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagram)．而除了几何直觉，图式又能是什么呢？通用的技术现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法．第一个就是：同调论历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的．它涉及到以下情形．现有一个复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数,得到某些与之联系的可加的线性不变量等．这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构造．从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群．同调论，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的．这是一种从几何中获益匪浅的代数．同调概念也出现在其他一些方面．其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式．正是Hilbert那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合．他要寻找这些理想的生成元．生成元可能有很多．他审视它们之间的关系以及关系之间的关系．于是他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”．Hilbert的这个理论是一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形．本质上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系．能够把象多项式这样的非线性事物的某些信息纳入其中．这个代数理论实际上是与上述拓扑理论平行的，而且现在它们已融合在一起构成了所谓的“同调代数”．在代数几何学中，本世纪五十年代最伟大的成就之一是层的上同调理论的发展及在解析几何学中的扩展，这是由Leray，Cartan，Serre 和Grothendieck等人组成的法国学派取得的．从中我们可以感受到一种既有Riemann-Poincar的拓扑思想，又有Hilbert的代数思想，再加上某些分析手段的融合，这表明同调论在代数的其它分支也有着广泛的应用．我们可以引入同调群的概念，它通常是与非线性事物相关的线性事物．我们可以将之应用于群论，例如，有限群，以及李代数：它们都有相应的同调群．在数论方面，同调群通过Galois群产生了非常重要的应用．因此在相当广泛的情形下同调论。
28现代数学及其发展
28现代数学及其发展现代数学及其发展一、引言数学作为一门学科，经历了漫长的发展过程。
现代数学是指从19世纪末到20世纪初开始发展起来的数学学科体系，它以严密的逻辑推理和抽象思维为基础，涵盖了广泛的分支领域。
本文将介绍现代数学的发展历程以及其中的一些重要分支。
二、现代数学的发展历程1. 19世纪末到20世纪初：数学的公理化与形式化在19世纪末，数学家们开始对数学进行公理化与形式化的研究。
公理化使得数学的推理过程更加严谨和准确，形式化则使得数学的表达更加精确和清晰。
这一时期的重要成果包括皮亚诺公理化、希尔伯特公理化以及罗素悖论的发现。
2. 20世纪初：集合论的建立与发展集合论是现代数学的基础，它的建立与发展对数学的发展起到了重要的推动作用。
在20世纪初，数学家们开始对集合论进行深入研究，并提出了一系列重要的概念和定理，如无穷公理、选择公理、集合的势等。
3. 20世纪：分析学的发展与拓展在20世纪，分析学作为数学的重要分支得到了极大的发展与拓展。
其中，实分析和复分析是两个重要的研究方向。
实分析主要研究实数和实数函数的性质，复分析则研究复数和复数函数的性质。
这两个分支的发展不仅推动了数学理论的深化，也为物理学、工程学等其他学科的发展提供了重要的数学工具。
4. 20世纪后半叶：代数学的发展与应用在20世纪后半叶，代数学成为了现代数学的重要组成部分。
代数学主要研究代数结构及其性质，包括群论、环论、域论等。
代数学的发展不仅拓展了数学的研究领域，也在密码学、编码理论等实际应用中发挥了重要作用。
5. 当代数学的发展与前沿领域当前，数学的发展已经进入了一个全新的阶段。
数学家们在不断探索新的领域和问题，如拓扑学、几何学、数论、图论等。
这些前沿领域的研究不仅拓宽了数学的应用范围，也为人类认识世界提供了新的思路和方法。
三、现代数学的重要分支1. 实分析与复分析实分析研究实数和实数函数的性质，包括极限、连续性、微积分等。
复分析则研究复数和复数函数的性质，包括解析函数、留数定理等。
现代数学思想概观
现代数学思想概观目录第一节现代数学的涵义一"数学"的涵义二对现代数学中"现代"的理解第二节现代数学与社会发展一世界数学中心转移与社会发展二现代数学与社会实践三现代数学与社会管理四数学的教育功能第三节现代数学与社会发展一科学数学化的发展进程二社会科学数学化的必然性三社会科学数学化的进展第四节现代数学的特点与发展趋势一高度的抽象和统一二注重公理化体系的建立和结构的分析三注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域四研究更符合实际的数学模型，解决更复杂的问题五与电子计算机的紧密联系六数学向一切学科和社会部门渗透和应用第四节普及现代数学教育的意义复习体参考文献数学是一门古老而又常新的学科，今天它正表现着异常旺盛的生命力，人们认识世界，改造世界都要运有数学，现代数学是掌握科学技术的钥匙，是现代科学技术发展的有力工具。
现代科学技术发展的一个重要趋势就是各门科学的数学化，它广泛渗透到社会生产和社会管理的各个领域，促进社会经济的发展，因而加强数学教育是提高国民素质的首要任务之一。
鉴于以往本科院校数学系都不开设"现代数学"这样一门综合课，致使学生在本科毕业后对现代数学的掌握来说，是"只见树木，不见森林"，甚至对有些现代数学的内容一无所知，本章通过对现代数学内涵的理解，对现代数学特点的分析，以及对现代数学意义的描述，为我们展示的思想概貌，使我们能对蓬勃发展的现代数学有一个概观性了解。
第一节现代数学的涵义"现代数学"一词由两部分组成，即"现代"与"数学"，要理解现代数学必须从这两个词入手。
一、"数学"的涵义这里从数学的研究对象、数学的内容两方面来谈数学的涵义。
（一）数学的研究对象恩格斯指出："纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
"因而，数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的学科。
中国现代数学发展概观
中国现代数学发展概观【教课目的】1．知识与技术认识中国现代数学发展概观的有关内容。
2．过程与方法用平常易懂的语言，深入浅出地介绍该节课的基本教课内容及其基本思想。
指引学生简述相应的教课内容。
在学习过程中，能够针对学生的实质状况，部署不一样的任务，采纳自主学习与合作学习相联合的方式组织教课活动。
3．感情、态度与价值观让学生关于数学的科学价值和文化价值有更多的认识，宽阔学生的视线，从数学的发展或从一个详细的数学分支，来认识数学的魅力和价值。
【教课重难点】要点：中国现代数学发展概观的有关内容的认识。
难点：简述中国现代数学发展概观。
【教课过程】一、直接引入师：今日这节课我们主要学习中国现代数学发展概观。
我们主要认识它的详细内容。
二、讲解新课（1）教师指引学生在预习的基础上认识中国现代数学发展概观的内容，形成初步感知。
（2）第一，我们先来学习奠定阶段。
教师率领学生阅读课文，并能简述奠定阶段的发展。
很多半学家学成回国后，纷繁在各大学创立数学系，为发展中国现代高等数学教育立下了丰功伟绩。
在这一时期，产生了一系列先进的数学成就，此中最具代表性的是华罗庚、陈省身和许宝绿的工作。
世界最负盛名的斯普林格第一版社一共第一版过36 名数学家的选集。
经过老一辈数学家历尽艰险的努力， 20 世纪 30 年月开始，中国现代数学不单拥有了必定水平的科研队伍，并且出现了全国性的学术组织和发布成就的数学杂志，中国的现代数学能够说初具规模，并奉上涨之势，这类势头向来持续到 40 年月，即便在抗日战争的艰辛光阴中，也仍旧坚持下来并有所发展。
可是，整体上来说，此时我国数学研究还限于经典数学范围，与当时世界数学的主流和前沿对比还有很大差距。
（3）接着，我们再来看发展时期的内容。
建国伊始，党和政府拟订了很多发展科学事业，关怀人材培育和使用的政策。
在新中国的呼唤下，很多身在外国的中国科学家扔掉外国的优厚遇遇和优秀的工作条件，义无返顾地返回祖国。
现代数学概论
1926年，希尔伯特称赞康托尔的超限数理论是“数学精神最令人惊羡的花朵， 人类理智活动最精美的成果”。苏联的柯尔莫哥洛夫（1903-1987）则说：“康托 尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险挺进，他对似是而非的论点、流行的成见、 哲学的教条等作了长期的不懈的斗争。因此，他成为一门学科的创造者，而这门 学科已成为整个数学的基础。” 在德国学派影响之下，挪威数学家索福斯· 李（1842-1899）创立了李群和李 代数理论。20世纪，几乎所有的数学学科都和李群发生联系。李曾在莱比锡大学 任教授，对欧洲各国的数学产生了很大的影响。 自牛顿以来，英国数学一向偏重应用，19世纪仍然保持这一传统。但在19世 纪的下半叶，纯粹数学出现了两颗明珠：西尔维斯特（1814-1897）和凯莱 （1821-1895）。他们两人都是攻读数学出身，于19世纪50年代进入法学界，担 任过多年的律师，并因志趣相投成为终身好友。此后又双双回到数学研究，共同 发展代数不变量理论，特别是线性代数中的行列式和矩阵理论，这些工作在20世 纪变得十分重要而普及。包括哈密顿在内的四元素工作在内，他们在代数上的贡 献，形成了英国纯粹数学的一次高潮。值得一提的是西尔维斯特是美国纯粹数学 的奠基人之一，他在美国约翰霍普金斯大学任教授多年，创办了美国第一份数学 杂志：《美国数学杂志》。凯莱也曾到该校讲学。 19世纪的俄国，开始有了自己的数学研究。罗巴切夫斯基的工作自然引起国际瞩 目，切比雪夫（1821-1894）在概率论上的研究也别开生面，但在整体实力上无法 和西欧各国相比。至于东方的印度、日本和中国，数学水平落后于西方大约200年， 现代数学研究则是20世纪的事了。19世纪下半叶，能和德国数学抗衡的只有以庞 加莱为代表的法国数学。
魏尔斯特拉斯出身于一个政府官员家庭，父亲叫他到波恩大学攻读法学博士 学位。由于不喜欢，他未毕业就离开了。后来在一所神学哲学院读数学，通过中 学教师资格的考试以后，曾任中学教师达15年之久，期间他发表椭圆函数论的重 要文章，被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位。1856年到柏林皇家综合工科学 校任数学教授，次年到柏林大学任副教授，1864年升任教授。1873年出任柏林大 学校长，成为左右德国数学界的一位领袖人物。这种声誉，不仅因为他是校长、 教授、许多论文的作者，更主要的是他的学术风格。魏尔斯特拉斯是19世纪末分 析严格化进程的代表人物，反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流。他 首先给出了严密的实数理论，第一个明确使用ε-δ语言，引进有界集、无界集、集 的内点、外点、极限点、连通性等概念，特别是运用一致收敛的概念得出极限交 换的定理。这一切，对今天的数学系大学生而言，似乎是理所当然的事。ε-δ语言 的精髓已经渗入现代数学的每一根血管，牵动每一根神经。追根溯源，魏尔斯特 拉斯做出了高于一切的贡献。希尔伯特认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精 神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、 导数等概念，他排除了在微积分中仍然在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷 大、无穷小等的各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的 困难……今天，分析学能达到这样的和谐、可靠和完美的程度……本质上应归功 于魏尔斯特拉斯的科学活动。” 另一位为数学分析严密化作出重要贡献的德国数学家是戴德金（18311916）。他以有理数的“分割”定义实数，对实数的连续性给出了严密而直观的 叙述。同时，戴德金也奠定了的代数数论的系统理论。不过，戴德金只是不伦瑞 克大学的一名教授，在社会影响上自然不及魏尔斯特拉斯了。
现代数学思想概观
现代数学思想概观目录第一节现代数学的涵义一"数学"的涵义二对现代数学中"现代"的理解第二节现代数学与社会发展一世界数学中心转移与社会发展二现代数学与社会实践三现代数学与社会管理四数学的教育功能第三节现代数学与社会发展一科学数学化的发展进程二社会科学数学化的必然性三社会科学数学化的进展第四节现代数学的特点与发展趋势一高度的抽象和统一二注重公理化体系的建立和结构的分析三注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域四研究更符合实际的数学模型，解决更复杂的问题五与电子计算机的紧密联系六数学向一切学科和社会部门渗透和应用第四节普及现代数学教育的意义复习体参考文献数学是一门古老而又常新的学科，今天它正表现着异常旺盛的生命力，人们认识世界，改造世界都要运有数学，现代数学是掌握科学技术的钥匙，是现代科学技术发展的有力工具。
现代科学技术发展的一个重要趋势就是各门科学的数学化，它广泛渗透到社会生产和社会管理的各个领域，促进社会经济的发展，因而加强数学教育是提高国民素质的首要任务之一。
鉴于以往本科院校数学系都不开设"现代数学"这样一门综合课，致使学生在本科毕业后对现代数学的掌握来说，是"只见树木，不见森林"，甚至对有些现代数学的内容一无所知，本章通过对现代数学内涵的理解，对现代数学特点的分析，以及对现代数学意义的描述，为我们展示的思想概貌，使我们能对蓬勃发展的现代数学有一个概观性了解。
第一节现代数学的涵义"现代数学"一词由两部分组成，即"现代"与"数学"，要理解现代数学必须从这两个词入手。
一、"数学"的涵义这里从数学的研究对象、数学的内容两方面来谈数学的涵义。
（一）数学的研究对象恩格斯指出："纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
"因而，数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的学科。
11 20世纪数学概观 I
• 1936年奥斯陆ICM上作大会报告, 1939年波兰数学 会主席, 1939-1941年利沃夫大学校长 • 德国占领波兰期间, 寄生虫饲养员, 后得胃癌去 逝
巴拿赫
11.2 更高的抽象
11.2.3 抽象代数
在20世纪公理化方向向各个领域渗透的过程中，抽 象代数的形成与发展占有特殊的地位。19世纪，关于群 的概念的确立，代数学的对象突破了数的范畴，在群的 概念对象发展中，人们构造了各种各样的群，发展了与 相关的各种代数系统。后来人们注意到这些代数系统中 的具体对象并不重要，重要的是这些元素的运算和所服 从的规律。数学家们开始舍弃对象的具体性质，开始从 具体的代数系统向抽象代数系统的过渡。 凯莱首先（1849－1854）引进了（有限）抽象群概念； 弗罗贝尼乌斯（1849－1917）发展（1895）了群表示论， 韦伯（1842－1913）提出（1893）域的抽象理论。20世 纪初，享廷顿域狄克森给出了抽象群的公理系统（1902， 1905）；斯坦尼兹对抽象域的综合研究（1911），韦德 波恩发展了线性结合代数（1907）。
11.2 更高的抽象
11.2 .1 勒贝格积分与实变函数论
积分学变革是从“病态函数”的积分问 题研究开始，创立了勒贝格积分，在此基 础上，推广了导数等微积分等基本概念， 重建了微积分的基本定理等，逐步形成了 实变函数论。实变函数论是普通微积分的 推广，它使微积分使用的范围大大扩展， 引起数学分析的深刻变化。勒贝格积分看 成是现代分析的开端，人们把柯西和黎曼 积分称作是经典分析，而前者称为现代分
20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－ 1935）及其学派最终确立了公理化方法在代数领域的 统治地位。1921年诺特发表《环中的理想论》揭开了 现代抽象代数的开端。她用公理化泛函发展了一般理 想论，奠定了抽象交换环理论的基础。其后逐步建立 非交换代数及其表示理论，1932年与人合作证明的 “代数主定理”称为代数发展史上的重大转折。由于 她的工作，吸引了世界各地的学者，形成了哥廷根抽 象代数学派。因此，哥廷根大学成了20世纪20年代和 30年代前期世界抽象代数中心。 抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代 数结构由集合以及集合元素之间的二元运算组成。代 数结构对现代数学的发展产生了深远影响，在此基础 上，法国布尔巴基学派提出了一般的数学结构观点， 明确了另外两类结构——“拓扑结构”和“序结构”， 并将它们结合代数结构称为“母结构”。结构观点可 以说是公理化方法更上一层楼，引起了对数学中更一
20世纪的数学
从交换到非交换
所有这些都是以不同的方式形成了把 非交换乘法引入代数理论的基石，我形象 地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生 存的“面包和黄油”．我们现在可以不去 思考这些，但在十九世纪，以上所有例子 都以各自不同的方式取得了重大的突破， 当然，这些思想在不同的领域内得到了惊 人的发展．矩阵和非交换乘法在物理中的 应用产生了量子理论．Heisenberg对易关 系是非交换代数在物理中的一个最重要的 应用例子，以至后来被von Neumann推广 到他的算子代数理论中．
所以他用的是几何论证，因为这样可以 与实际意义保持密切关系，另一方面， Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃的目标， 那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大 的代数机器．这与Newton的途径截然不同， 并且二者有很多不同的记号．正如我们所知 道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论 中，Leibniz的记号最后得胜．我们现在还沿 用他的记号来写偏导数．Newton的精神尚在， 但被人们埋葬了很长时间．
一个类似的事情发生在微分方程中，最 初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明 确的局部解！是一些可以写下来的东西．随 着事物的发展，解不必是一个显函数，人们 不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇 异性是真正决定其整体性质的东西．与发生 在复分析中的一切相比，这种精神是多么的 类似，只不过在细节上有些不同罢了．
代数本质上涉及的是时间．无论现在做的是 哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个 罗列出来，这里“一个接着一个”的意思 是我们必须有时间的概念．在一个静态的宇宙中， 我们无法想象代数，但几何的本质是静态的：我 可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以 继续观察．然而,代数与时间有关，这是因为我 们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时， 我并不单单指现代代数．任何算法，任何计算过 程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代 计算机的发展使这一切看得很清楚．现代计算机 用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答 案．
数学的七个阶段的概念
数学的七个阶段的概念数学的七个阶段是指数学的发展历史中所经历的七个重要阶段，这七个阶段分别是古代数学、文艺复兴数学、新数学、数学分析、数学逻辑、抽象代数和现代数学。
下面我将详细介绍每个阶段的概念。
1. 古代数学阶段：古代数学阶段指的是自数学最早的记录和发展开始到16世纪之前的阶段。
古代数学的主要特点是以几何为主要形式，主要发展了几何学、代数学、数论等学科。
古希腊的几何学家欧几里得所著的《几何原本》被认为是古代数学最重要的成果之一，系统地阐述了几何的基本原理和定理。
2. 文艺复兴数学阶段：文艺复兴数学阶段指的是16世纪至17世纪间，欧洲文艺复兴时期的数学发展阶段。
这一时期，数学的研究重新获得了重视，很多重要的数学家相继出现。
文艺复兴数学的主要特点是数学思想的逐渐解放，数学方法的日益丰富和发展，尤其是代数学和解析几何学的突破。
这一时期的代表性数学家有意大利的斯卡拉米切、弗兰西斯科·保罗·托里切利等。
3. 新数学阶段：新数学阶段指的是17世纪末至18世纪时，数学的发展进入了一个新的阶段。
在这一时期，数学家们开始发展和完善微积分学和解析几何学。
最著名的数学家是莱布尼茨和牛顿，他们几乎同时独立发明了微积分学的基本原理，为后来的科学和工程学科奠定了基础。
4. 数学分析阶段：数学分析阶段指的是19世纪时，数学家们对微积分学和实变函数理论等进行了深入研究和发展的阶段。
这一时期，数学的概念和理论都得到了进一步的推广和完善，形成了现代数学的基本框架。
数学分析的主要成果包括实数系及其完备性的研究、函数极限、连续性和可导性的概念，以及微积分学的进一步推广等。
5. 数学逻辑阶段：数学逻辑阶段指的是20世纪初，由于康托尔和戴德金等数学家的工作，数学逻辑学成为数学的一部分，并产生了重要的影响。
数学逻辑的主要研究对象是数学推理与证明的结构与过程，建立了数学系统的形式化基础。
数学逻辑的发展对整个数学的严密性和推理的准确性提出了更高的要求，也有助于构建了现代数学的框架。
《现代数学概览》课件
1
数论
研究整数及其性质与关系的数与几何相结合的对象及其性质。
3
拓扑学
研究空间及其性质的分支。
数学在现实生活中的应用
机器人技术
数学在机器人路径规划和控制算 法中发挥着关键作用。
天气预报
数学模型和统计学方法在天气预 报中起着重要作用。
加密货币
数学在区块链和密码学中的应用 为加密货币的安全性提供了保障。
《现代数学概览》PPT课 件
数学是一门精彩而又神奇的学科，它通过逻辑推理和抽象思维，帮助我们理 解世界的规律与模式。本课件将带您领略现代数学的魅力。
数学的定义与作用
1 定义
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念及其关系的学科。
2 作用
数学在解决实际问题、推动科学发展、促进技术创新以及培养逻辑思维和问题解决能力 方面起着重要作用。
控制系统
数学建模和控制理论为工程 系统的设计和优化提供了重 要支持。
网络安全
数学在密码学和网络安全算 法中的应用保护着信息的安 全。
工程与技术
数学在工程优化、信号处理、 密码学等领域的应用为技术发 展提供了强大支持。
金融与经济
数学模型和方法在金融风险管 理、经济预测等方面起着关键 性作用。
数学基础知识
• 数学符号与公式 • 数学运算与表达式 • 数学问题的解决方法
数学概念与定理
数学概念的介绍 数学定理的证明与应用
现代数学研究领域
数学在科学研究中的应用
1 数据分析
数学在数据采集、处理和 分析中支持科学研究的发 展。
2 物理建模
数学模型在物理现象的描 述和预测中发挥着关键作 用。
3 优化问题
数学优化方法在科学研究 中的应用帮助寻找最优解。
第十四章现代数学概观-二十世纪的数学 第一节 五大新兴学科的建立
第十四章：现代数学概观－二十世纪的数学第一节五大新兴学科的建立一、数理逻辑1．符号逻辑数理逻辑作为一门数学学科，来源于对数学和逻辑基础的探讨，它最早可追溯到莱布尼茨，他关于逻辑演算的观念预示着布尔代数，而英国数学家布尔(G．Boole 1815—1864)在1847年出版《逻辑的数学分析》一书，正式推出所谓布尔代数，在逻辑上相当于命题演算．其后由英国数学家杰方斯(W．S．Jevons，1835—1882)和小皮尔斯(C．S．Peirce，1839—1914)在1874年加入次序关系，德国数学卷中加以公理化．第一个完全形式化的语言是德国数学家弗瑞格(G．Frege，1848—1925)在1879年出版的《概念文字》中引进的．他首先定义了全称量词及存在量词．并引进一般的谓词逻辑．不过相应的逻辑代数一直到1950年才由波兰数学家塔斯基(A．Tarski，1902—1983)所发展，他引进所谓“圆柱代数”．1955年美国数学家哈尔莫斯(P．Halmos，1916—)又引进多进代数，形成一般的逻辑代数理论．1889年意大利数学家皮亚诺(G．Peano，1858—1932)提出自然数的公理系统，即后来所谓皮亚诺算术公理．而戴德金在前一年也提出类似的公理系统．弗雷格在1884年出版的《算术基础》中开始提到算术无非是扩展的逻辑．戴德金也提出类似的观点．弗雷格在1893年出版的《算术的基本规律》第一卷中，用五条逻辑公理来推导算术命题．1902年6月罗素给弗雷格一封信，提出著名的罗素悖论，并指出弗雷格的矛盾．弗雷格在1903年出版的《算术的基本规律》第二卷附录中承认这是对他的巨大打击，正是这个悖论，揭开了数理逻辑新的一章．2．罗素悖论罗素的悖论是关于集合论的，康托尔已经意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾．其他人也发现集合论中存在矛盾．而罗素在1903年出版的《数学的原理》(Principles of Mathematics)中，则十分清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础．罗素的悖论是说：可以把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．如果M是第一类集现了这个矛盾之后，导致第三次数学危机，在数学界出现了各种意见，从抛弃集合论到尽可能保持集合论在数学中的基础地位的都有．由于20世纪数学的发展主流是建立在集合论基础之上，这里只考虑数学家如何消除悖论．在20世纪初，大致有两种办法，一个办法是罗素的分支类型论，它在1908年发表，在这个基础上罗素与怀特海(A．N．Whitehead，1861—1947)写出三大卷《数学原理》(principia Mathematica，1910—1913)，成为数理逻辑最早一部经典著作．还有一个办法是公理方法限制集合，由此产生公理集合论．3．集合论的公理化康托尔本人没有对集合论进行公理化．集合论公理化是策梅罗(E．Zermelo，1871—1953)在1908年发表的．富兰克尔(A．Fraenkel，1891—1965)等人曾加以改进，形成著名的ZF系统，这是最常用的一个系统，因此大家都希望从中推出常用的选择公理(1904年策梅罗引进它来设与ZF系统是相容的．1963年，柯亨(P．Cohen，1934—)发明“力迫法”证明这两条“公理”的否定也不能在ZF系统中证明，从而推出其独立性．4．希尔伯特纲领为了使数学奠定在严格公理化基础上，1922年希尔伯特提出希尔伯特纲领，首先将数学形式化，构成形式系统，然后通过有限主义方法证明其无矛盾性．1928年希尔伯特提出四个问题作为实现其纲领的具体步骤：(1)分析的无矛盾性．1924年阿克曼(W．Ackermann，896—1962)和1927年冯·诺伊曼(J．Von Neumann，1903—1957)的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明分析的无矛盾性．1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性．哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性．哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理．(2)更高级数学的无矛盾性．特别是选择公理的无矛盾性．这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决．(3)算术及分析形式系统的完全性．这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决．这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点．(4)一阶谓词逻辑的完全性，这个问题已被哥德尔在1930年完全解决．这样一来哥德尔把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的发展道路．5．哥德尔的三项重大贡献除了连续统假设的无矛盾性之外，哥德尔在1929—1930年证明下面两大定理：(1)完全性定理：哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演算的完全性问题．罗素与怀特海建立了逻辑演算的公理系统及推演规则之后，数学家最关心的事就是公理系统的无矛盾性及完全性．所谓完全性就是，每一个真的逻辑数学命题都可以由这个公理系统导出，也就是可证明．命题演算的完全性已由美国数学家波斯特(E．Post，1897—1954)在1921年给出证明．而一阶谓词演算的完全性一直到1929年才由哥德尔给出证明．(2)不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点．哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的无矛盾性问题开始的．1930年秋在哥尼斯堡会议上他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那就是不完全的．不久之后他又宣布：如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明．哥德尔的不完全定理造的是一个不自然的数论问题，数学家一直希望在一阶皮亚诺算术中找到一个数学表述既简单又有趣的数论问题，就像哥德巴赫猜想或费马大定理来说明算术的不完全性．这一直到1977年才由巴黎斯(J．Paris)等人造出，这更加证明希尔伯特纲领是不可能实现的．6．哥德尔以后的数理逻辑．哥德尔的不完全性定理从根本上动摇了数学的基础，它指出绝对的无矛盾性的证明是不可能实现的，数学家只能限制自己的领域及要求．数理逻辑也成为一个专门的学科，它分成四大分支：证明论、递归论、公理集合论及模型论，它们都在30年代发展起来．证明论仍然继续希尔伯特纲领，但不得不放宽有限主义的条件．其中最主要的成就是根岑(G．Gentzen，1909—1945)在1934年用超穷归纳法证明自然数算术的无矛盾性．递归论也奠定基础，1935年克林尼(S.Kleene，1909—1994)定义一般递归函数，1936年图林(A．Tuˉring，1912—)提出图林机概念．同年车尔赤(A．Church1903—)提出车尔赤论点：任何有效可计算函数均等价于一般递归函数．递归论与数学关系至为密切，它不仅为计算机科学奠定基础，同时一系列判定问题则直接涉及数学基本问题：如群的基本问题是问什么时侯两个群同构，对于有限表出群是1908年提出的，到50年后，苏联数学家阿其扬(C．И．A дьян，)在1957年及以色列数学家拉宾(M．O．Rabin，)在1958年独立证明这问题是不可解的．在这个基础上，小马尔科夫(A．A．MapkoB，1903—1979)证明拓扑学的基本问题——同胚问题也是不可解的，1970年最终证明希尔伯特第十问题是不可解的．模型论首先是处理真假问题，它指出一系列命题在某些模型下为真，而在另外模型下非真．其次它构造一批非标准模型．1934年斯科仑(T．Skolem，1887—1968)给出整数的非标准模型，1961年鲁宾逊(A．Robinson，1918—1974)提出非标准分析，使莱布尼茨的无穷小合法化，创立了非标准数学．二、抽象代数学代数学与拓扑学是现代数学的两大部门．它们构成现代数学的基础与核心．没有代数学和拓扑学，现代数学(除了那些较为孤立的、相对地讲不太重要的学科)可以说寸步难行．抽象代数学或近世代数学是在20世纪初发展起来的．1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L．vander Waerden，1903—)的《近世代数学》(Moderne Algebra)一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流，不久之后也就理所当然地把“抽象”及“近世”的帽子甩掉，堂尔皇之成为代数的正统．范·德·瓦尔登的书至今仍然是代数学的模式．它是根据德国女数学家E．诺特(E．Noether，1882—1935)和德国数学家阿廷(E．Artin，1898—1962)的讲义编写而成，在精神上基本来源于他们两位，特别是诺特，被公认为“近世代数学之母”．在诺特之前，不少大数学家都对近世代数学有过这样或那样的贡献，但是这种与经典代数学迥然不同的思想主要来源于戴德金和希尔伯特，戴德金不仅引进大多数抽象代数观念——如理想、模、环、格等，而且初步研究它们的结构及分类，而希尔伯特的抽象思维方式及公理方法则对现代整个数学都有举足轻重的影响．抽象代数学的研究对象与研究目标与经典代数学有着根本的不同：经典代数学的主要目标是求解代数方程和代数方程组，而抽象代数学的目标则是研究具有代数结构的集合的性质，刻划它们并加以分类，这些对象是用公理定义的．1．域论从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数)．所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是城．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．有没有有限多个元素的域呢？1830年伽罗瓦已知有有限多个元素的域(后来被称为伽罗瓦域)，其元素被称为伽罗瓦虚数，它们满足pa＝0，其中p是一个素数，p称为域的特征．伽罗瓦曾具体证明，在一个特征为p的伽罗瓦域中，元素个数是p的一个幂．如在当时的情况一样，伽罗瓦所作的一切都是有具体表示的．到19世纪末，人们知道其他域的例子还有有理函数域及代数函数域．从整体结构上对域进行考察始自戴德金及克罗内克对代数数域的研究(从1855年起)．但抽象域的观念则来自德国数学家韦伯(H．Weber，1842—1913)，他的思想来自抽象群的观念．后来美国数学家狄克逊(L．E．Dickson，1874—1954)及亨廷顿(E．V．Huntington，1874—1952)给出域的独立的公理系统．在韦伯的影响下，德国数学家施泰尼茨(E．Steinitz，1871—1928)在1910年发表《域的代数理论》一文，为抽象域论奠定了基础．他把域分为两种类型：一种是特征为p的域，也即对所有元素a满足pa＝0的域，它们一定包含最小的城(称为素域)，最小的域一定是只含p个元素的伽罗瓦域．另一种是不存在这种p的域，称为特征0，其素域一定是有理数域．不管域属于哪一种类型，任何域均可由素域添加一些新元素“扩张”而成．所以域的根本问题是研究域的扩张．他对扩张进行了分类，其中主要的一类是添加系数在原域中的多项式的根后所得的扩张(代数扩张)．当一个域通过代数扩张不能再扩大时称为代数封闭域．施泰尼茨证明，每个域均有唯一的代数封闭域．特别他还对特征p一般域胁许多特殊性质如不可分性、不完全性进行研究．关于抽象有限域，已经有了相当完整的结果：1893年美国数学家莫尔(E．H．Moore，1862—1932)证明，任何一有限域必定与某一个伽罗瓦域同构．反过来，对于任意素数p和正整数a，必定存在唯一一个伽罗瓦域，具有p a个元素．有限域理论在数论、编码理论、组合理论及数理统计等方面有着许多应用．在域论中引进p进域是一个重大成就．德国数学家亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)在1908年出版的《代数数论》(Theorie der algebraischen Zahlen)中系统阐述了p进数，他对这种数规定了加、减、乘、除四种基本运算，构成一个域称p进域，而它是有理数域的一个完备化，如同实数域一样．但是与实数域性质的一个很大的不同是实数域具有阿基米德性质，也就是对任何两个实数a，b总存在一个正整数n，使na＞b．p 进域虽然也有一个自然的顺序，但却没有阿基米德性质．pˉ进数域是一种“局部”域，在它里面也可定义整数及代数数，它的建立大大有助于数论的发展．亨泽尔之后，抽象赋值论得到发展，在代数数论及代数几何学上有着重要应用．抽象理论的建立不仅使已有的零散知识系统化，而且有助于许多问题的解决，1927年阿廷解决希尔伯特第17问题就是靠他引进抽象的实域(他称为形式实域)．实域k是把实数域的一个特性抽象化：即-1不能表示为k中元素的平方和．通过这个概念，他证明“任何正定有理函数都可表示为有理函数平方和”．2．环论环的概念原始雏型是整数集合．它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素．抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生．戴德金在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环．这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去．环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广．这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现．他的目的是为了扩张用处很大的复数．它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数．它可以看成是实数域上的四元代数．不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数．其后各种“超复数”相继出现．1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)．1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)．1878年弗洛宾尼乌斯(F．G．Frobenius，1849—1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数．1881年小皮尔斯也独立得到证明．1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数．可见实数域及复数域具有独特的性质．关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯(B．Peirce，1809—1880)发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个．他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础．1898年、嘉当(E．Cartan)在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林(T．Molien，1861—1941)征明，复数域上维数≥2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构．线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本(J．HM．Wedderburn，1882—1948)得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和．单代数可表为域上可除代数的矩阵代数．这样结合代数就归结为可除代数的研究．可除代数有着以下的结果．1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即伽罗瓦域．当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环．20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善．从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的．1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构定理．对于半单环的分类，雅可布孙(N.Jacobson，1910—)创立了他的结构理论．他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元．对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究．而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫(1902—1984)及霍普金斯(C．H opkins)证明阿廷环都是诺特环．对于诺特环，却长期没有相应的结构理论．一直到1958年英国数学家戈尔迪(A．W．Gold－ie)才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究．与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环．近来环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进．环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论．1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论．环这个词首先见于希尔伯特的数论报告．代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理．在本世纪初英国数学家腊斯克(E．Lasker，1868—1941)及麦考莱(F．S．Macaulay，1862—1937)对于多项式环得出分解定理．对于交换环的一般研究来源于E．诺特．她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W．Krull，1899—1971)给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环．四十年代，薛华荔、柯恩(I．S．Cohen，1917—1955)及查瑞斯基(O．Zariski，1899—1986)对局部环论进行了系统的研究．3．群论19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据．当时主要的定理是由挪威数学家西洛(L．Sylow，1832—1918)在的．而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的．后由他的学生舒尔(I．Schur，1875—1941)所发展，成为研究群论不可缺少的工具．所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F上的n×n可逆矩阵相对应．在英国数学家伯恩塞德(W．Burnside，1852—1927)的经典著作《有限阶群论》(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已经进行综述并给出应用．20世纪有限群论的中心问题是有限单群的分类．很久以来，就已经知道一个相当长的有限单群的表，除了素数阶循环群之外，对于每一个整数n≥5存在一个n！/2阶单群，它由n个事物的所有偶置换构成，这就是所谓交错群．当n=5时，它就是二十面体群．另外还知道许多射影特殊线性变换群PSL(n，q)，它们通过行列式为1的n ×n矩阵群(元素取在有限域GL(q)中)的商群构造出来．另外对于正交矩阵、辛矩阵、酉矩阵也可以造出一批单群来．这些“典型群”，从若尔当时候起就已知道，后来经过美国数学家狄克逊、荷兰数学家范·德·瓦尔登、法国数学家丢东涅(J．Dieudonn é，1906—1992)进行系统研究．真正重大的突破是1955年薛华荔在日本《东北数学杂志》上发表的“论某些单群”的论文，这篇论文的重要性不仅展示一些新单群，而且更重要的是对于以前知道的绝大部分通过李代数换基的办法进行统一的处理，从而得出九个系列的薛华荔群．其后，这些薛华荔群经过美国数学家斯坦伯格(R．Steinberg，1922—)、韩国数学家李林学、比利时数学家梯茨(J．Tits，1930—)、日本数学家铃木通夫(1926—)等人加以扩充，得出全部李型单群的16系列．除了上述这18个序列中的有限单群之外，还有几个不属于它们的所谓“散在单群”，其中头一个是7920阶的群M11是法国数学家马丢(E．L．Mathieu，1835—1890)在1861年发现的，他不久又发现另外4个单群M12，M22，M23，M24．一直到1965年之前再没有发现新的散在单群了．突然1965年南斯拉夫数学家严科(Z．Janko，1932—)发现了一个175560阶的新单群，其后10年间，陆续发现另外20个敬在单群，其中最大的称为费舍尔(B．Fischer，1936—)“魔群”，其阶大约为8.1053，到这时候是否所有单群均已找到，也就是有限单群的分类已经完成了呢？在这条漫长的路上，首先的突破是一系列群论性质及表示论的成果，其中包括1955年布劳尔(R．Brauer 1901—1977)的工作．第二个突破是1963年美国数学家费特(W．Feit，1930—)和汤姆逊(J．G．Thompson，1932—)证明除循环群之外，奇阶群都是可解群，这个长达250页的论文包括了极其丰富的信息．70年代，在群的结构研究上有了新的突破，最终导致1981年，有限单群的分类彻底完成，不过全文需要1万页以上，这是各国上百位群论专家通力合作的结果．对于无穷阶的离散群，也有一些重要的研究，其中重要的是与数理逻辑有关的“字的问题”，即两个符号序列何时相等，对于有限生成的具有有限个关系式的群，1955年左右苏联数学家诺维科夫(Π·C·Hовиков，1901—1975)、美国数学家布里顿(J．L．Britton)和布恩(W．Boone，1920—1983)证明一般的字的问题是不可解的，也就是不存在一个普遍的算法来判定两个字是否相等，但是另一方面德国数学家马格努斯(W．Magnus，1907—)在1932年解决一个关系式的有限生成群的字的问题．另一个重要的问题是伯恩赛德问题，他问一个有限生成的群如果其所有元素都是有限阶的，该群是否有限，这个问题一直到1964年由前苏联数学家考斯特利金(А．И．Кострикин，1929—)举出例子而得出否定的回答．另外还有一个狭义的伯恩赛德猜想，即有限生成群当所有元素x满足x n＝0是有限群，现在知道当n ＝2，3，4，6时，狭义伯恩赛德猜想成立，但如果n相当大，诺维科夫和布里顿等人也举出反例．三、测度与积分理论测度是长度、面积和体积概念的精密化及推广．各民族数学发展一开始均致力于测量长度和面积，得出相应的公式及方法，而统一的求积方法一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分之后才得到．这时求积问题变成一个特殊的积分问题．但积分是一个相当复杂的概念，19世纪由于分析的严格化才导致由柯西、黎曼及达布相继改进的黎曼积分的概念，最后确定下来．随着康托尔点集论的建立，要求对更一般的点集的“大小”进行比较及量度，这要求定义测度．先是对黎曼可积性条件中函数的不连续点集的“测度”给出定义．最早是哈那克(A．Harnack，1851—1888)、杜布瓦—瑞芒(P．du Bois Rey－mond，1831—1889)、史托尔茨(O．Stolz，1842—1905)及康托尔在1881到1885试着做出定义，他们均采用覆盖区间长度的下确界，但是这样定义有毛病．例如，两个无公共点集的并集的“测度”有时能够小于两集的“测度”之和，除了上述定义的“外”测度之外，最先定义“内”测度的是皮亚诺，他在1887年定义“可测”集为内、外测度相等，这样虽然克服上述困难，但有界开集并不一定可测．若尔当在他的《分析教程》第一卷第二版(1893)中也做了类似的定义，同样也有类似的毛病．对这些毛病的补救来自波莱尔(E．Borel，1871—1956)，他在《函数论教程》中大大改进了以前的测度观念，利用可数可加性对任一有界开集构造地定义测度．他还考虑零测度集(实际上这个观念可以追溯到黎曼)．而真正把波莱尔的方法同皮亚诺—若尔当的办法结合而形成系统测度论的则是波莱尔的学生勒贝格，这些发表在他的博士论文《积分、长度、面积》当中．勒贝格的功绩不仅在于建立系统的测度理论，更主要的是建立系统的积分理论．在勒贝格之前，除了黎曼积分之外，还有斯蒂尔吉斯(T．J．Stieltjes，1856—1894)积分．斯蒂尔吉斯在1894年发表的“连分式的研究”中证明：如连分式数F(Z)，F(Z)可表为曼积分对于一般的数学分析已经足够，但是还有一系列不理想的地方．微积分的基本定理是微分和积分互为逆运算，也就是说如果则导数F′(x)存在，而且等于f(x)，至少在f光滑的点是如此．但是1881年沃尔泰拉(V．Volterra，1860—1940)还在比萨大学做学生时，发现一个例子：一个函数F在(0，1)区间上定义有界，其导数f＝F′处处存在，但是在当时流行的积分——黎曼可积的意义是不可积的．因此，需要定义一种积分，它可以在更广的一类函数上定义，。
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第十四章：现代数学概观－二十世纪的数学第一节五大新兴学科的建立一、数理逻辑1．符号逻辑数理逻辑作为一门数学学科，来源于对数学和逻辑基础的探讨，它最早可追溯到莱布尼茨，他关于逻辑演算的观念预示着布尔代数，而英国数学家布尔(G．Boole 1815—1864)在1847年出版《逻辑的数学分析》一书，正式推出所谓布尔代数，在逻辑上相当于命题演算．其后由英国数学家杰方斯(W．S．Jevons，1835—1882)和小皮尔斯(C．S．Peirce，1839—1914)在1874年加入次序关系，德国数学卷中加以公理化．第一个完全形式化的语言是德国数学家弗瑞格(G．Frege，1848—1925)在1879年出版的《概念文字》中引进的．他首先定义了全称量词及存在量词．并引进一般的谓词逻辑．不过相应的逻辑代数一直到1950年才由波兰数学家塔斯基(A．Tarski，1902—1983)所发展，他引进所谓“圆柱代数”．1955年美国数学家哈尔莫斯(P．Halmos，1916—)又引进多进代数，形成一般的逻辑代数理论．1889年意大利数学家皮亚诺(G．Peano，1858—1932)提出自然数的公理系统，即后来所谓皮亚诺算术公理．而戴德金在前一年也提出类似的公理系统．弗雷格在1884年出版的《算术基础》中开始提到算术无非是扩展的逻辑．戴德金也提出类似的观点．弗雷格在1893年出版的《算术的基本规律》第一卷中，用五条逻辑公理来推导算术命题．1902年6月罗素给弗雷格一封信，提出著名的罗素悖论，并指出弗雷格的矛盾．弗雷格在1903年出版的《算术的基本规律》第二卷附录中承认这是对他的巨大打击，正是这个悖论，揭开了数理逻辑新的一章．2．罗素悖论罗素的悖论是关于集合论的，康托尔已经意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾．其他人也发现集合论中存在矛盾．而罗素在1903年出版的《数学的原理》(Principles of Mathematics)中，则十分清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础．罗素的悖论是说：可以把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．如果M是第一类集现了这个矛盾之后，导致第三次数学危机，在数学界出现了各种意见，从抛弃集合论到尽可能保持集合论在数学中的基础地位的都有．由于20世纪数学的发展主流是建立在集合论基础之上，这里只考虑数学家如何消除悖论．在20世纪初，大致有两种办法，一个办法是罗素的分支类型论，它在1908年发表，在这个基础上罗素与怀特海(A．N．Whitehead，1861—1947)写出三大卷《数学原理》(principia Mathematica，1910—1913)，成为数理逻辑最早一部经典著作．还有一个办法是公理方法限制集合，由此产生公理集合论．3．集合论的公理化康托尔本人没有对集合论进行公理化．集合论公理化是策梅罗(E．Zermelo，1871—1953)在1908年发表的．富兰克尔(A．Fraenkel，1891—1965)等人曾加以改进，形成著名的ZF系统，这是最常用的一个系统，因此大家都希望从中推出常用的选择公理(1904年策梅罗引进它来设与ZF系统是相容的．1963年，柯亨(P．Cohen，1934—)发明“力迫法”证明这两条“公理”的否定也不能在ZF系统中证明，从而推出其独立性．4．希尔伯特纲领为了使数学奠定在严格公理化基础上，1922年希尔伯特提出希尔伯特纲领，首先将数学形式化，构成形式系统，然后通过有限主义方法证明其无矛盾性．1928年希尔伯特提出四个问题作为实现其纲领的具体步骤：(1)分析的无矛盾性．1924年阿克曼(W．Ackermann，896—1962)和1927年冯·诺伊曼(J．Von Neumann，1903—1957)的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明分析的无矛盾性．1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性．哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性．哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理．(2)更高级数学的无矛盾性．特别是选择公理的无矛盾性．这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决．(3)算术及分析形式系统的完全性．这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决．这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点．(4)一阶谓词逻辑的完全性，这个问题已被哥德尔在1930年完全解决．这样一来哥德尔把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的发展道路．5．哥德尔的三项重大贡献除了连续统假设的无矛盾性之外，哥德尔在1929—1930年证明下面两大定理：(1)完全性定理：哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演算的完全性问题．罗素与怀特海建立了逻辑演算的公理系统及推演规则之后，数学家最关心的事就是公理系统的无矛盾性及完全性．所谓完全性就是，每一个真的逻辑数学命题都可以由这个公理系统导出，也就是可证明．命题演算的完全性已由美国数学家波斯特(E．Post，1897—1954)在1921年给出证明．而一阶谓词演算的完全性一直到1929年才由哥德尔给出证明．(2)不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点．哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的无矛盾性问题开始的．1930年秋在哥尼斯堡会议上他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那就是不完全的．不久之后他又宣布：如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明．哥德尔的不完全定理造的是一个不自然的数论问题，数学家一直希望在一阶皮亚诺算术中找到一个数学表述既简单又有趣的数论问题，就像哥德巴赫猜想或费马大定理来说明算术的不完全性．这一直到1977年才由巴黎斯(J．Paris)等人造出，这更加证明希尔伯特纲领是不可能实现的．6．哥德尔以后的数理逻辑．哥德尔的不完全性定理从根本上动摇了数学的基础，它指出绝对的无矛盾性的证明是不可能实现的，数学家只能限制自己的领域及要求．数理逻辑也成为一个专门的学科，它分成四大分支：证明论、递归论、公理集合论及模型论，它们都在30年代发展起来．证明论仍然继续希尔伯特纲领，但不得不放宽有限主义的条件．其中最主要的成就是根岑(G．Gentzen，1909—1945)在1934年用超穷归纳法证明自然数算术的无矛盾性．递归论也奠定基础，1935年克林尼(S.Kleene，1909—1994)定义一般递归函数，1936年图林(A．Tuˉring，1912—)提出图林机概念．同年车尔赤(A．Church1903—)提出车尔赤论点：任何有效可计算函数均等价于一般递归函数．递归论与数学关系至为密切，它不仅为计算机科学奠定基础，同时一系列判定问题则直接涉及数学基本问题：如群的基本问题是问什么时侯两个群同构，对于有限表出群是1908年提出的，到50年后，苏联数学家阿其扬(C．И．Aдьян，)在1957年及以色列数学家拉宾(M．O．Rabin，)在1958年独立证明这问题是不可解的．在这个基础上，小马尔科夫(A．A．MapkoB，1903—1979)证明拓扑学的基本问题——同胚问题也是不可解的，1970年最终证明希尔伯特第十问题是不可解的．模型论首先是处理真假问题，它指出一系列命题在某些模型下为真，而在另外模型下非真．其次它构造一批非标准模型．1934年斯科仑(T．Skolem，1887—1968)给出整数的非标准模型，1961年鲁宾逊(A．Robinson，1918—1974)提出非标准分析，使莱布尼茨的无穷小合法化，创立了非标准数学．二、抽象代数学代数学与拓扑学是现代数学的两大部门．它们构成现代数学的基础与核心．没有代数学和拓扑学，现代数学(除了那些较为孤立的、相对地讲不太重要的学科)可以说寸步难行．抽象代数学或近世代数学是在20世纪初发展起来的．1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L．vander Waerden，1903—)的《近世代数学》(Moderne Algebra)一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流，不久之后也就理所当然地把“抽象”及“近世”的帽子甩掉，堂尔皇之成为代数的正统．范·德·瓦尔登的书至今仍然是代数学的模式．它是根据德国女数学家E．诺特(E．Noether，1882—1935)和德国数学家阿廷(E．Artin，1898—1962)的讲义编写而成，在精神上基本来源于他们两位，特别是诺特，被公认为“近世代数学之母”．在诺特之前，不少大数学家都对近世代数学有过这样或那样的贡献，但是这种与经典代数学迥然不同的思想主要来源于戴德金和希尔伯特，戴德金不仅引进大多数抽象代数观念——如理想、模、环、格等，而且初步研究它们的结构及分类，而希尔伯特的抽象思维方式及公理方法则对现代整个数学都有举足轻重的影响．抽象代数学的研究对象与研究目标与经典代数学有着根本的不同：经典代数学的主要目标是求解代数方程和代数方程组，而抽象代数学的目标则是研究具有代数结构的集合的性质，刻划它们并加以分类，这些对象是用公理定义的．1．域论从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数)．所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是城．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．有没有有限多个元素的域呢？1830年伽罗瓦已知有有限多个元素的域(后来被称为伽罗瓦域)，其元素被称为伽罗瓦虚数，它们满足pa＝0，其中p是一个素数，p称为域的特征．伽罗瓦曾具体证明，在一个特征为p的伽罗瓦域中，元素个数是p的一个幂．如在当时的情况一样，伽罗瓦所作的一切都是有具体表示的．到19世纪末，人们知道其他域的例子还有有理函数域及代数函数域．从整体结构上对域进行考察始自戴德金及克罗内克对代数数域的研究(从1855年起)．但抽象域的观念则来自德国数学家韦伯(H．Weber，1842—1913)，他的思想来自抽象群的观念．后来美国数学家狄克逊(L．E．Dickson，1874—1954)及亨廷顿(E．V．Huntington，1874—1952)给出域的独立的公理系统．在韦伯的影响下，德国数学家施泰尼茨(E．Steinitz，1871—1928)在1910年发表《域的代数理论》一文，为抽象域论奠定了基础．他把域分为两种类型：一种是特征为p的域，也即对所有元素a满足pa＝0的域，它们一定包含最小的城(称为素域)，最小的域一定是只含p个元素的伽罗瓦域．另一种是不存在这种p的域，称为特征0，其素域一定是有理数域．不管域属于哪一种类型，任何域均可由素域添加一些新元素“扩张”而成．所以域的根本问题是研究域的扩张．他对扩张进行了分类，其中主要的一类是添加系数在原域中的多项式的根后所得的扩张(代数扩张)．当一个域通过代数扩张不能再扩大时称为代数封闭域．施泰尼茨证明，每个域均有唯一的代数封闭域．特别他还对特征p一般域胁许多特殊性质如不可分性、不完全性进行研究．关于抽象有限域，已经有了相当完整的结果：1893年美国数学家莫尔(E．H．Moore，1862—1932)证明，任何一有限域必定与某一个伽罗瓦域同构．反过来，对于任意素数p和正整数a，必定存在唯一一个伽罗瓦域，具有p a个元素．有限域理论在数论、编码理论、组合理论及数理统计等方面有着许多应用．在域论中引进p进域是一个重大成就．德国数学家亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)在1908年出版的《代数数论》(Theorie der algebraischen Zahlen)中系统阐述了p进数，他对这种数规定了加、减、乘、除四种基本运算，构成一个域称p进域，而它是有理数域的一个完备化，如同实数域一样．但是与实数域性质的一个很大的不同是实数域具有阿基米德性质，也就是对任何两个实数a，b总存在一个正整数n，使na＞b．p进域虽然也有一个自然的顺序，但却没有阿基米德性质．pˉ进数域是一种“局部”域，在它里面也可定义整数及代数数，它的建立大大有助于数论的发展．亨泽尔之后，抽象赋值论得到发展，在代数数论及代数几何学上有着重要应用．抽象理论的建立不仅使已有的零散知识系统化，而且有助于许多问题的解决，1927年阿廷解决希尔伯特第17问题就是靠他引进抽象的实域(他称为形式实域)．实域k是把实数域的一个特性抽象化：即-1不能表示为k中元素的平方和．通过这个概念，他证明“任何正定有理函数都可表示为有理函数平方和”．2．环论环的概念原始雏型是整数集合．它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素．抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生．戴德金在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环．这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去．环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广．这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现．他的目的是为了扩张用处很大的复数．它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数．它可以看成是实数域上的四元代数．不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数．其后各种“超复数”相继出现．1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)．1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)．1878年弗洛宾尼乌斯(F．G．Frobenius，1849—1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数．1881年小皮尔斯也独立得到证明．1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数．可见实数域及复数域具有独特的性质．关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯(B．Peirce，1809—1880)发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个．他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础．1898年、嘉当(E．Cartan)在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林(T．Molien，1861—1941)征明，复数域上维数≥2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构．线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本(J．HM．Wedderburn，1882—1948)得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和．单代数可表为域上可除代数的矩阵代数．这样结合代数就归结为可除代数的研究．可除代数有着以下的结果．1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即伽罗瓦域．当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环．20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善．从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的．1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构定理．对于半单环的分类，雅可布孙(N.Jacobson，1910—)创立了他的结构理论．他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元．对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究．而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫(1902—1984)及霍普金斯(C．H opkins)证明阿廷环都是诺特环．对于诺特环，却长期没有相应的结构理论．一直到1958年英国数学家戈尔迪(A．W．Gold－ie)才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究．与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环．近来环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进．环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论．1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论．环这个词首先见于希尔伯特的数论报告．代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理．在本世纪初英国数学家腊斯克(E．Lasker，1868—1941)及麦考莱(F．S．Macaulay，1862—1937)对于多项式环得出分解定理．对于交换环的一般研究来源于E．诺特．她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W．Krull，1899—1971)给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环．四十年代，薛华荔、柯恩(I．S．Cohen，1917—1955)及查瑞斯基(O．Zariski，1899—1986)对局部环论进行了系统的研究．3．群论19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据．当时主要的定理是由挪威数学家西洛(L．Sylow，1832—1918)在的．而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的．后由他的学生舒尔(I．Schur，1875—1941)所发展，成为研究群论不可缺少的工具．所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F上的n×n可逆矩阵相对应．在英国数学家伯恩塞德(W．Burnside，1852—1927)的经典著作《有限阶群论》(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已经进行综述并给出应用．20世纪有限群论的中心问题是有限单群的分类．很久以来，就已经知道一个相当长的有限单群的表，除了素数阶循环群之外，对于每一个整数n≥5存在一个n！/2阶单群，它由n 个事物的所有偶置换构成，这就是所谓交错群．当n=5时，它就是二十面体群．另外还知道许多射影特殊线性变换群PSL(n，q)，它们通过行列式为1的n×n矩阵群(元素取在有限域GL(q)中)的商群构造出来．另外对于正交矩阵、辛矩阵、酉矩阵也可以造出一批单群来．这些“典型群”，从若尔当时候起就已知道，后来经过美国数学家狄克逊、荷兰数学家范·德·瓦尔登、法国数学家丢东涅(J．Dieudonné，1906—1992)进行系统研究．真正重大的突破是1955年薛华荔在日本《东北数学杂志》上发表的“论某些单群”的论文，这篇论文的重要性不仅展示一些新单群，而且更重要的是对于以前知道的绝大部分通过李代数换基的办法进行统一的处理，从而得出九个系列的薛华荔群．其后，这些薛华荔群经过美国数学家斯坦伯格(R．Steinberg，1922—)、韩国数学家李林学、比利时数学家梯茨(J．Tits，1930—)、日本数学家铃木通夫(1926—)等人加以扩充，得出全部李型单群的16系列．除了上述这18个序列中的有限单群之外，还有几个不属于它们的所谓“散在单群”，其中头一个是7920阶的群M11是法国数学家马丢(E．L．Mathieu，1835—1890)在1861年发现的，他不久又发现另外4个单群M12，M22，M23，M24．一直到1965年之前再没有发现新的散在单群了．突然1965年南斯拉夫数学家严科(Z．Janko，1932—)发现了一个175560阶的新单群，其后10年间，陆续发现另外20个敬在单群，其中最大的称为费舍尔(B．Fischer，1936—)“魔群”，其阶大约为8.1053，到这时候是否所有单群均已找到，也就是有限单群的分类已经完成了呢？在这条漫长的路上，首先的突破是一系列群论性质及表示论的成果，其中包括1955年布劳尔(R．Brauer 1901—1977)的工作．第二个突破是1963年美国数学家费特(W．Feit，1930—)和汤姆逊(J．G．Thompson，1932—)证明除循环群之外，奇阶群都是可解群，这个长达250页的论文包括了极其丰富的信息．70年代，在群的结构研究上有了新的突破，最终导致1981年，有限单群的分类彻底完成，不过全文需要1万页以上，这是各国上百位群论专家通力合作的结果．对于无穷阶的离散群，也有一些重要的研究，其中重要的是与数理逻辑有关的“字的问题”，即两个符号序列何时相等，对于有限生成的具有有限个关系式的群，1955年左右苏联数学家诺维科夫(Π·C·Hовиков，1901—1975)、美国数学家布里顿(J．L．Britton)和布恩(W．Boone，1920—1983)证明一般的字的问题是不可解的，也就是不存在一个普遍的算法来判定两个字是否相等，但是另一方面德国数学家马格努斯(W．Magnus，1907—)在1932年解决一个关系式的有限生成群的字的问题．另一个重要的问题是伯恩赛德问题，他问一个有限生成的群如果其所有元素都是有限阶的，该群是否有限，这个问题一直到1964年由前苏联数学家考斯特利金(А．И．Кострикин，1929—)举出例子而得出否定的回答．另外还有一个狭义的伯恩赛德猜想，即有限生成群当所有元素x满足x n＝0是有限群，现在知道当n＝2，3，4，6时，狭义伯恩赛德猜想成立，但如果n相当大，诺维科夫和布里顿等人也举出反例．三、测度与积分理论测度是长度、面积和体积概念的精密化及推广．各民族数学发展一开始均致力于测量长度和面积，得出相应的公式及方法，而统一的求积方法一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分之后才得到．这时求积问题变成一个特殊的积分问题．但积分是一个相当复杂的概念，19世纪由于分析的严格化才导致由柯西、黎曼及达布相继改进的黎曼积分的概念，最后确定下来．随着康托尔点集论的建立，要求对更一般的点集的“大小”进行比较及量度，这要求定义测度．先是对黎曼可积性条件中函数的不连续点集的“测度”给出定义．最早是哈那克(A．Harnack，1851—1888)、杜布瓦—瑞芒(P．du Bois Rey－mond，1831—1889)、史托尔茨(O．Stolz，1842—1905)及康托尔在1881到1885试着做出定义，他们均采用覆盖区间长度的下确界，但是这样定义有毛病．例如，两个无公共点集的并集的“测度”有时能够小于两集的“测度”之和，除了上述定义的“外”测度之外，最先定义“内”测度的是皮亚诺，他在1887年定义“可测”集为内、外测度相等，这样虽然克服上述困难，但有界开集并不一定可测．若尔当在他的《分析教程》第一卷第二版(1893)中也做了类似的定义，同样也有类似的毛病．对这些毛病的补救来自波莱尔(E．Borel，1871—1956)，他在《函数论教程》中大大改进了以前的测度观念，利用可数可加性对任一有界开集构造地定义测度．他还考虑零测度集(实际上这个观念可以追溯到黎曼)．而真正把波莱尔的方法同皮亚诺—若尔当的办法结合而形成系统测度论的则是波莱尔的学生勒贝格，这些发表在他的博士论文《积分、长度、面积》当中．勒贝格的功绩不仅在于建立系统的测度理论，更主要的是建立系统的积分理论．在勒贝格之前，除了黎曼积分之外，还有斯蒂尔吉斯(T．J．Stieltjes，1856—1894)积分．斯蒂尔吉斯在1894年发表的“连分式的研究”中证明：如连分式。