高中三角函数知识点总结《精华版》

三角函数知识点总结
1.角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3.终边相同的角的表示：
α终边与θ终边相同⇔2()k k αθπ=+∈Z
4.α与2
α的终边关系：例题：若α是第二象限角，则
2
α
是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式R l S ⋅=2
1
6.任意角的三角函数的定义：
设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离
是0r =
>，那么sin ,cos y x r r αα=
=，()tan ,0y
x x
α=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

7.三角函数在各象限的符号
8.特殊角的三角函数值：
9.同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 1cos sin 2
2
=+αα （2）商数关系：α
α
αcos sin tan =
（3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 例题：已知
11tan tan -=-αα，则α
αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2
++ααα＝_____。

10.三角函数诱导公式(主要作用：简化角，方便化简计算)
(1)απαsin )2sin(=+k (2)ααsin )sin(-=- απαcos )2cos(=+k ααcos )cos(=- απαtan )2tan(=+k ααtan )tan(-=- (3)（
2
k
πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数） 符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）. 诱导公式运用步骤：(1)负角变正角，再写成)20(2πααπ<≤+k ； (2)转化为锐角三角函数。

常用重要结论：①若πβα=+，则βαsin sin =，βαcos cos -=； ②若2
πβα=+，则βαcos sin =，βαsin cos =。

11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±−−−→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβαβαβαβααα
αα
αβα
αβααβα
αα
αα
=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=
-m m 12.合一公式（辅助角公式）
：()sin cos a x b x x θ+=
+
（a b =
θtan ，2
2πθπ<<-） 13.正弦函数x y sin =及余弦函数x y cos =的图象及性质 （1）图象
（2）性质：
定义域：R x ∈ 定义域：R x ∈ 值域：]1,1[-∈y 值域：]1,1[-∈y 当)(2
2Z k k x ∈+=π
π时，1max =y 当)(2Z k k x ∈=π时，1max =y 当)(2
2Z k k x ∈-
=π
π时，1min -=y 当)(2Z k k x ∈-=ππ时，1min -=y
单调性：Z k k k ∈+
-],2
2,2
2[π
ππ
π上递增 单调性：Z k k k ∈-],2,2[πππ上递
增
Z k k k ∈+
+
],2
32,2
2[π
ππ
π上递减 Z k k k ∈+],2,2[πππ上递减 奇偶性：奇函数)()(x f x f -=- 奇偶性：偶函数)()(x f x f =- 图象关于原点中心对称 图象关于y 轴轴对称 周期性：最小正周期π2=T 周期性：最小正周期π2=T ()sin()f x A x ωϕ=+， 2||
T π
ω=
()cos()f x A x ωϕ=+，2||
T πω=
对称性： 对称性： 对称中心：()(),0k k Z π∈ 对称中心：))(0,2
(Z k k ∈+π
π
对称轴：()2
x k k Z π
π=+
∈ 对称轴： ()x k k Z π=∈
特别提醒，别忘了k Z ∈！
14.正切函数x y tan =的图象及性质 （1）图象
（2）性质： 定义域：},2
|{Z k k x x ∈+≠π
π
值域：R y ∈ 单调性：Z k k k ∈+-
),2
,2(π
ππ
π上递增 奇偶性：奇函数)()(x f x f -=-，图象关于原点中心对称 周期性：最小正周期π=T )tan()(ϕω+=x A x f ，|
|ωπ
=
T 对称性：对称中心：Z k k ∈),0,2
(
π
15.解三角形中的有关公式：
(1)内角和定理： A B C π++=,,sin()sin ,sin cos 22
A B C
A B C A B C π++=-+==； (2)正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===(R 为三角形外接圆的半径).
代换公式：①⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A
R a sin 2sin 2sin 2 ②⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=
=
=R
c C R b B R a
A 2sin 2sin 2sin
(3)余弦定理：bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab
c b a C 2cos 2
22-+=
(4)面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆。