广东省广州市2019届高三12月调研测试数学(文)试题Word版含答案

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A2019届广州市高三期末调研测试文科数学 2018．12本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}211P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则PQ =A ．()1,2-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()0,1 2．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =AB ．32C ．123．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin xy x =- B ．122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A ． BC ．D ．24π6．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =，则AD 可表示为A ．1344AD AB AC =+ B ． 3144AD AB AC =+ C ．4155AD AB AC =+ D ． 1455AD AB AC =+7．已知双曲线C (P 在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22124x y -=D ．221147y x -=8．由12sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后， 所得图象对应的函数解析式为A ．12sin(3)6y x π=-B ．12sin(3)6y x π=+ C ．12sin(3)12y x π=-D ．12sin(12)6y x π=-9．3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 10. 若实数x ，y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，，则2z x y =-的取值范围是A ．[]5,3-B ．[]5,1-C ．[]1,3D ．[]5,5- 11．已知ABC ∆的内角A , B , C 的对边分别是a ,b ,c ，且222sin sin sin A B Cc+-=sin sin cos cos A B a B b A +， 若4a b +=，则c 的取值范围为A ． ()0,4B ．[)2,4C ． [)1,4D ．(]2,412．已知椭圆Γ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点．若3AF FB =，则k =A. 1B. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知132a =，则()2log 2a = ． 14．设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos θ = ． 15．圆锥底面半径为1，高为，点P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是 ．16．已知过点(,0)A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222n n a a a -=+-()2n ≥． （1）证明：数列{}1n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？18．（本小题满分12分）某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EFAB ，2AB =,1BC EF ==,AE =3DE =,60BAD ∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：FG平面BED ；（2）求证：BD ⊥平面AED ； （3）求点F 到平面BED 的距离.20.（本小题满分12分）已知动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N（异于点M ），使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()f x x =e ()ln xa x x ++.（1）若a =-e ，求()f x 的单调区间；（2）当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin ρθθ+，直线1:()6l πθρ=∈R ，直线2:()3l πθρ=∈R ．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()113x f x -+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．43 14． 15．．()(),40,-∞-+∞三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分∴121n n a a -=+， ……………………………………2分∴11a =， ……………………………………3分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分（2）解：由（1）知，12nn a +=， ……………………………………7分∴21nn a =-， ……………………………………8分 ∴()12122212n n nS n n +-=-=---，……………………………………9分 ∴()()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分 ∴2n n n S a +=. ……………………11分即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分 18．解：（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯ ……………………………2分265=. ……………………………3分故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分（2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩……………………………8分由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7.……………………………11分 故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分 19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点， 所以OG DC 且112OG DC ==，……………1分 因为EF AB ，ABDC ，1EF =，所以EFOG 且EF OG =，……………………2分所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG OE ， (3)分又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG平面BED ． ……………………………4分（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，由余弦定理得BD ==，…………………………5分OG FEDCBA因为222314BD AD AB +=+==， 所以B ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面A BCD ，BD ⊂平面A B C D ,平面AED平面A B C D A D =，所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分（3）解法1：由（1）FG平面BED ，所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分设点G 到平面BED 的距离为h ，过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=， 所以sin ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分124DBG S DB BG ∆=⋅=122BDE S BD DE ∆=⋅=. 因为G BDE E DBG V V --=，………………………………11分即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅，解得6h =. 所以点F 到平面BED 的距离为65． ………………………………12分解法2：因为EFAB ，且12EF AB =, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12， (8)HGFEDCB A分由（2）BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ． 过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以sin 3ADE ∠=， …………………10分 因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ， ……………………………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为65． …………………………………………………12分 20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =． ……………………………3分解法2：设动圆圆心C (),x y ，依题意：1x =+. ……………………………2分化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． ……………………………3分（2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． ………………………………………6分由()24480m ∆=--⨯>,得m >或m < ……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ………………………………………………8分由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=, …………………………………………………9分 ()()1212012104y y y y x y y +-+=, ……………………………………………………………10分120,y y +≠012124x y y ∴==, ……………………………………………………………11分∴存在点()2,N 使得QN π∠+∠=． ……………………………………………………12分21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )x f x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分()()11'()1(1)x xx f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭， …………………………………2分当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分（2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()xx f x xe a x+=+， 令()x g x xe a =+，则'()(1)xg x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，………………………5分 因为0a <,所以(0)0g a =<，()0ag a ae a a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得000()0x g x x e a =+=． …………………………………………6分当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0xx f x xe a x+=+<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0xx f x xe a x+=+>，()f x 单调递增； 故x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln x m f x x e a x x ==++, …………………………8分由000x x e a +=得()()0000ln ln x x m x e a x e a a a =+=-+-， ………………………………9分令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增， ………………………………10分当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，………………………………11分故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ……………………12分22．解：（1） 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y ．……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+， 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分所以22((1)4x y +-=， …………………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）． (5)分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………………6分同理，2OB ρ== ……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOB S OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………………9分即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． ……………………………4分综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分。