30度,45度,60度的三角函数值
九年级数学《30°,45°,60°角的三角函数值》
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2 2a 2
tan 45 a 1 a
60° 45°
归纳总结 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角 三角 a 函数
sin a
cos a
tan a
30°
1 2
45°
60°
两点反思
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系. （互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性： 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或 减小）而 _增__大__（__或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _减__小__（__或增大）.
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB 3 , AC 2 3,
2
求AB.
C
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∠A=30°，
sin A CD 1， AC 2
A
D
B
cos A AD 3 ， AC 2
tan B CD 3 ， BD 2
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC 7 , AC 21,
当堂练习
1. 3tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ D ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
2.在△ABC中，若 sin A．30° B．60°
A 1 2
C．90°
cos B 3 2
D．120°
，
0则∠C=（
D
）
3.已知cosα
30°、45°、60°角的三角函数值
30°、45°、60°角的三角函数值30°、45°、60°角的三角函数值刘海红一、内容和内容解析1.内容30°、45°、60°角的三角函数值，三角函数值的应用2.内容解析《30°、45°、60°角的三角函数值》是在学生学习了正弦函数，余弦函数和正切函数的概念后，转入对30°,45°,60°这几个特殊角的三角函数值的研究，是根据锐角三角函数的概念求几个特殊角的三角函数值，运用特殊角的三角函数值进行加、减、乘、除运算；并能根据函数值说出对应的锐角度数。
学好本节内容能使学生灵活运用锐角三角函数解决实际生活中的问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小；三角函数值的应用二、目标和目标解析1.目标（1）经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
（2）能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算（3）能够利用30°、45°、60°的三角函数值解决实际问题。
2.目标解析目标（1）（2）达成的标志是学生能熟练的运用30°、45°、60°角的三角函数值进行计算。
目标（3）旨在提高学生的综合能力，也是学生体会数形结合思想的重要过程。
三、教学问题诊断分析本节易错点是弄混30°、45°、60°角的三角函数值，为了学生不搞混，应引导学生理解推导过程和通过表格总结正弦、余弦、正切函数的增减性。
推导过程：三角函数值角度sinαcosαtanα30°21233345°2222 160°23213随着角度的增大，正弦值在逐渐增大；随着角度的增大，余弦值在逐渐减小；随着角度的增大，正切值在逐渐增大。
三角函数公式30度45度60度
三角函数公式30度45度60度三角函数公式30度、45度、60度是数学中常用的三角函数公式，在学习二次函数和椭圆、双曲线、抛物线等函数时，三角函数公式30度、45度和60度就显得格外重要，学会它们就能够帮助学生更好地理解曲线的函数解析式和曲线的变化规律，从而有助于学生深入学习二次函数以及其他函数的相关知识。
三角函数公式30度、45度、60度是什么三角函数公式30度、45度、60度是三角函数按照不同的角度来进行求解，也就是说，我们可以根据角度来求解对应的三角函数。
三角函数公式30度、45度、60度就是指三角函数在角度30度、45度、60度时求解的公式。
因此，当我们熟练掌握了三角函数公式30度、45度、60度时，就可以更加迅速和有效地求解三角函数的值了。
30度、45度和60度的三角函数的求解三角函数公式30度的求解：根据三角函数的公式，对于角度30度，可以求出sin 30°=1/2，cos 30°=3/2，tan30°=1/√3。
三角函数公式45度的求解：根据三角函数的公式，对于角度45度，可以求出sin 45°=2/2，cos 45°=2/2，tan45°=1。
三角函数公式60度的求解：根据三角函数的公式，对于角度60度，可以求出sin 60°=√3/2，cos 60°= 1/2，tan60°=√3。
30度、45度和60度的三角函数的运用1. 30度、45度和60度的三角函数可以用来求解三角形的相关边长和角度的大小。
一般在研究三角形的类型、边长和角度等特性时，都可以使用这三种三角函数的知识进行求解。
2. 30度、45度和60度的三角函数可以用来求解几何体的体积和表面积等特性。
在研究现实世界中的几何体的特性时，往往可以通过求解不同角度下三角函数的值，从而可以求出几何体的表面积、体积以及不同角度条件下几何体的特性等。
30度60度45度的正弦余弦正切值
深入探讨30度、60度和45度的正弦、余弦和正切值，需要从简单的数学概念开始逐步展开，让读者能够全面地理解这些三角函数的概念和性质。
一、简介在数学中，三角函数是研究角和角的变化关系的重要工具。
其中，正弦、余弦和正切是最常见的三角函数。
它们描述了角度和直角三角形边之间的关系。
在本文中，我们将着重讨论特定角度下的正弦、余弦和正切值，即30度、60度和45度，探究它们在数学和实际问题中的应用。
二、30度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，30度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。
即sin(30°) = 1/2。
2. 余弦值：30度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。
即cos(30°) = √3/2。
3. 正切值：30度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。
即tan(30°) = 1/√3。
三、60度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，60度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。
即sin(60°) = √3/2。
2. 余弦值：60度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。
即cos(60°) = 1/2。
3. 正切值：60度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。
即tan(60°) = √3。
四、45度的正弦、余弦和正切值1. 正弦值：在直角三角形中，45度角的正弦值可以表示为对边与斜边的比值。
即sin(45°) = 1/√2。
2. 余弦值：45度角的余弦值可以表示为邻边与斜边的比值。
即cos(45°) = 1/√2。
3. 正切值：45度角的正切值可以表示为对边与邻边的比值。
即tan(45°) = 1。
五、总结与回顾通过对30度、60度和45度的正弦、余弦和正切值的深入探讨，我们可以发现它们之间的关系和特点。
正弦值描述了角度对应的三角形的竖直分量，余弦值描述了水平分量，而正切值则描述了这两个分量之间的比例关系。
三角函数30度60度45度90度
三角函数30度60度45度90度一、引言三角函数是数学中的重要概念之一，它与三角形的关系密切相关。
在三角函数中，有一组特殊的角度，即30度、60度、45度和90度。
这些角度在三角函数中具有特殊的性质和应用。
本文将深入探讨这些特殊角度在三角函数中的意义和应用。
二、30度角的三角函数1. 正弦函数30度角的正弦函数记作sin 30°，其值为1/2。
根据三角函数的定义，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
在30度角的情况下，对边与斜边的比值恰好为1/2。
正弦函数在三角学中有着广泛的应用，例如在测量高度、距离等方面。
2. 余弦函数30度角的余弦函数记作cos 30°，其值为√3/2。
余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
在30度角的情况下，邻边与斜边的比值恰好为√3/2。
余弦函数在三角学中也有着重要的应用，例如在计算力的分解、角度的计算等方面。
3. 正切函数30度角的正切函数记作tan 30°，其值为1/√3。
正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
在30度角的情况下，对边与邻边的比值恰好为1/√3。
正切函数在三角学中常用于计算角度的倾斜程度、斜率等。
三、60度角的三角函数1. 正弦函数60度角的正弦函数记作sin 60°，其值为√3/2。
60度角的正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
在60度角的情况下，对边与斜边的比值恰好为√3/2。
正弦函数在三角学中常用于计算角度的高度、距离等。
2. 余弦函数60度角的余弦函数记作cos 60°，其值为1/2。
60度角的余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
在60度角的情况下，邻边与斜边的比值恰好为1/2。
余弦函数在三角学中也有着重要的应用，例如在计算力的分解、角度的计算等方面。
3. 正切函数60度角的正切函数记作tan 60°，其值为√3。
60度角的正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
在60度角的情况下，对边与邻边的比值恰好为√3。
1.2 30度、45度、60度角的三角函数值
1.计算: (1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
36 tan2 300 3 sin 600 2 cos 450.
2、填空：
(1)已知tanａ= 3,则ａ=（ ）
(2)已知ａ为锐角，sin（ａ-20°）=
3
则ａ=（ ） (3)已知ａ为锐角，cosａ=
2
1 ,则tanａ=(
)
2
3.如图,河岸AD,BC互相平行,桥 A
AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看
桥两端A,B,夹角∠BCA=600.
求B,C间的距离(结果精确到1m).
┐
B
C
4.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是 300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她 与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高 为7m,扶梯的长度是多少?
例3（1)∠A为锐角,sinA=
3 2
，求∠A.
（2）已知ａ为锐角，tan（90°-ａ）= 3 ，
求ａ.
（1）在Rt⊿ABC中, ∠C=90°，若cosB= 2 ，
求sinA.
2
（2）在⊿ABC中,
若| sinA- 1 |+（1- tanB）2=0，求∠C. 2
解:如图,根据题意可知,
∠AOD 1 600 300, OD=2.5m,
2
cos 300
OC
,
OD
OC OD cos 300 2.5 3 2.165(m).
2
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
O
●
2.5
B ┌C D A
30,45,60,90度正弦,余弦,正切值
30, 45, 60, 90度正弦, 余弦, 正切值在数学中，三角函数是非常重要的概念，而正弦、余弦和正切值则是三角函数中的基本内容之一。
它们分别代表着角度的不同变化和对应的数值关系。
今天，我们将深入探讨30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值，以使我们更好地理解这些数学概念。
1.30度让我们来看看30度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，30度角是一个相对较小的角度，其正弦、余弦和正切值分别为1/2、√3/2和1/√3。
这些数值表示了30度角的边长比例关系，可以帮助我们在实际问题中求解各种三角形相关的数值。
2.45度接下来，我们来考虑45度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，45度角是一个特殊的角度，其正弦、余弦和正切值均为1/√2。
这意味着在45度角的直角三角形中，两条直角边的长度相等时，斜边的长度为其平方根的一半。
3.60度让我们关注60度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，60度角是一个相对较大的角度，其正弦、余弦和正切值分别为√3/2、1/2和√3。
这些数值的变化显示了60度角的特性，可以帮助我们更好地理解等边三角形和正六边形等图形的性质。
4.90度我们来看看90度角的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，90度角是一个直角，其正弦、余弦和正切值分别为1、0和不存在。
这意味着在直角三角形中，直角边的长度与斜边的长度之间的关系。
总结通过对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值的分析，我们可以更深入地理解三角函数中角度和边长之间的关系。
这些数学概念不仅在学校的数学课程中有重要的应用，还在日常生活和工程技术中发挥着重要作用。
个人观点从个人观点来看，三角函数中的正弦、余弦和正切值是非常有趣且实用的数学概念。
它们不仅帮助我们理解三角形的性质，还能够在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛的应用。
我们应该深入学习和理解这些数学概念，以便更好地应用于实际问题的求解和解决。
通过本文的分析和总结，相信读者已经对30、45、60和90度角的正弦、余弦和正切值有了更深入的理解。
特殊角度的三角函数值对照表
特殊角度的三角函数值对照表特殊角度的三角函数值对照表是一个非常重要的数学工具，它帮助我们快速计算一些特定角度的正弦、余弦和正切值。
在三角函数中，特殊角度是指那些可以被简化表示的角度，例如30度、45度、60度等。
下面将为大家详细介绍一张特殊角度的三角函数值对照表。
角度（度）角度（弧度）正弦值余弦值正切值0001030π/61/2√3/2√3/345π/4√2/2√2/2160π/3√3/21/2√390π/210无穷首先，角度为0度时的三角函数值是比较特殊的。
正弦值为0，因为正弦函数在0处为最小值，然后会向正无穷方向增加。
余弦值为1，因为余弦函数在0处为最大值，然后会向负无穷方向减小。
正切值为0，因为正切函数的周期是180度，所以正切在0度处还没有开始一个周期。
接下来，角度为30度时的三角函数值可以通过三角函数的定义和特殊角度三角函数值得出。
正弦值为1/2，因为30度的正弦函数值在三角函数表中是已知的。
余弦值为√3/2，因为30度的余弦函数值是正弦值的补余，通过勾股定理可以得到。
正切值为√3/3，通过反正切函数(arctan)可以得到。
角度为45度时的三角函数值是较为常见的特殊角度，也是勾股定理中的一条基本关系。
正弦值为√2/2，通过正弦函数在45度处的值可以得到。
余弦值为√2/2，因为余弦函数在45度处与正弦函数相等。
正切值为1，因为正切函数是正弦函数与余弦函数的商。
角度为60度时的三角函数值也可以通过特殊角度三角函数值和勾股定理得到。
正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3、角度为90度时的正弦值为1，余弦值为0，正切值为无穷。
在使用特殊角度的三角函数值对照表时，可以根据所给的角度，通过查表快速得出三角函数的值。
这对于在数学、物理等领域进行各种计算和推导时非常有用。
需要注意的是，特殊角度三角函数值表给出的值是近似值，通常保留到小数点后几位，具体的计算则需要使用科学计算器或计算机进行精确计算。
30度45度60度的三角函数值表
30度45度60度的三角函数值表
网络空间时代已经来临，在这个高科技氛围浓厚的互联网文化背景下，三角函
数也渐渐引入了广大网友的视野。
所谓三角函数，即以三角形的边长和弧度计算出的函数值，主要用于指定角度的算术运算，所以考生们常常需要掌握30度45度
60度，以及其他各种角度的三角函数值，如下：
30°：三角函数值分别表示为sin 30°=½，cos 30°=√3/2，tan
30°=1/√3
45°：三角函数值分别表示为sin 45°=√2/2，cos 45°=√2/2，tan
45°=1
60°：三角函数值分别表示为sin 60°=√3/2，cos 60°=½，tan 60°=√3
通过计算出上述三角函数值以后，网友们就可以更加便捷和容易地解决数学题
目中有关三角函数的问题，从而加强对三角函数的掌握。
除此之外，现代大量的软件应用也大量依赖这套带角度的三角函数计算，比如
各种数字图像处理、室内结构设计等均会大量运用这套数学原理。
例如设计人员在利用CAD软件制作建筑设计时，就会根据三角函数来设定角度，以让设计图更加符合实际情况。
因此，三角函数真是使我们现代网络文化生活更加简易快捷的一个神奇数学工具，不管是学习、研究还是实际应用，三角函数值的珍贵性相信每个网民无不明了。
最后，作为一名网民，仅有者对三角函数的此类数学公式的基础掌握是不够的，必须要经常加强自己的实践练习，积累更多的应用实例，以期用中真正发挥三角函数和它衍生函数在网络生活中的无穷优势。
30度,45度,60度的三角函数值
30度，45度，60度角的三角函数值平遥实验中学李浩问题1:我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°＝，则CD＝atan30°，岂不简单．你能求出30°角的三个三角函数值吗？问题2:观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？答案:一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°．问题3: sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．答案: sin30°＝．sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a．根据勾股定理，可知30°角的邻边为 a，所以sin30°＝问题4: cos30°等于多少？tan30°呢？问题5: 我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？答案:我们一同来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为 a．由此可求得sin45°＝，cos45°＝ ，tan45°＝分层设练:1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定2、在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4，sinA=54，则AC=（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（ ） A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（，12）B ．（-，12）C ．（-，-12）D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米。
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B c a A b ┌ C
a b cos B , tan B , c a
sinA和cosB有什么关系?
sinA=cosB
想一想P8
本领大不大 悟心来当家
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
驶向胜利 的彼岸
(7)tan450,tan600等于多少?
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
做一做P8
洞察力与内秀
驶向胜利 的彼岸
特殊角的三角函数值表
三角函数 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 锐角α
300
要能记 住有多 好
450 600
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
驶向胜利 的彼岸
如果设BC=a,则其余两边如何计算？
如果设DF=b,则其余两边如何计算？
(1)sin300等于多少?
(2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少?
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P8
知识在于积累
(5)sin450,sin600等于多少? (6)cos450,cos600等于多少?
知识的升华
P10 习题1.3 1,2题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
•
•
在数学领域中,提出问题的艺术比解 答的艺术更为重要. ——康托尔
解答
?
2 3 1 1 2 2
2
0.
3 1 1 4 4
cos2600表示 (cos600)2, 其余类推.
随堂练习P9
知识的运用
计算: (1)sin600-cos450;(2)cos600+tan600; 怎样 做？
2 3 sin 450 sin 600 2 cos450. 2
3 3
1
3
这张表还可以看出许多 知识之间的内在联系?
例题欣赏P8
例题解析
驶向胜利 的彼岸
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600+tan450. 解: (1)sin300+cos450 老师提示: 1 2 1 2 . 2600表示 Sin 2 2 2 怎样 (sin600)2, (2) sin2600+cos2600-tan450
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
2.300,450,600角的三角函数值(1) 教师：曾美花
教学目标
1、会推导特殊角的三角函数值 2、利用特殊角的三角函数值解决简单的 实际问题。
回顾与思考 1
锐角三角函数定义
驶向胜利 的彼岸
直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数. 在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻 边和斜边之间的比值也随之确定.
小结Βιβλιοθήκη 拓展直角三角形中的边角关系
驶向胜利 的彼岸
B
看图说话: 直角三角形三边的关系. 直角三角形两锐角的关系. 直角三角形边与角之间的关系. 特殊角300,450,600角的三角函数 值. 互余两角之间的三角函数关系.
c a A b ┌ C
300
450
450
┌
600
┌
独立 作业
cos 30 0 , OD
0
O
●
3 OC OD cos30 2.5 2.165(m). 2 B ┌C D ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). A ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
2.5
随堂练习P9
练习
驶向胜利 的彼岸
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m, 扶梯的长度是多少?
驶向胜利 的彼岸
便是欣赏P9
特殊角的三角函数值 的应用
驶向胜利 的彼岸
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为 2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且 两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其 摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
咋办
?
老师提示: 1 将实际问 0 0 60 30 , ∠AOD OD=2.5m, 题数学化. 2 OC 解:如图,根据题意可知,