北师大版9年级上第一章特殊的平行四边形单元检测-精选学习文档

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北师大版九年级上册第1章单元检测卷：《特殊的平行四边形》(含答案)

单元检测卷：《特殊的平行四边形》时间：100分钟满分：100分一．选择题（每题3分，共36分）1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．已知▱ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（）A．当OA＝OB时▱ABCD为矩形B．当AB＝AD时▱ABCD为正方形C．当∠ABC＝90°时▱ABCD为菱形D．当AC⊥BD时▱ABCD为正方形3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB ＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．8 D．94．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（）A．B．BD＝CD C．D．5．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD6．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 7．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．48．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（）A．6 B．8 C．D．9．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA ＝48，则OH的长为（）＝6，S菱形ABCDA．4 B．8 C．D．610．如图，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH＝45°，则FH的长度为（）A．B．5 C．D．211．如图所示，长方形ABCD被分割成五个长方形，且MH＝PF，则下列等式：①MN•BF＝NP•AE；②EN•PQ＝PF•NP中可以判断甲、乙两个矩形面积相等的是（）A．①②都不可以B．仅①可以C．仅②可以D．①②都可以12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．4 B．4.5 C．4.8 D．5二．填空题（每题3分，共15分）13．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OC＝2cm，∠ABO＝30°，则菱形ABCD 的面积是．14．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝，则BC的长为．15．如图，在正方形ABCD中，过D作射线DN平行于AC，以A为圆心，AC长为半径画弧，交射线DN于点E，连接AE交CD于F，则∠ECF的度数为．16．边长为90公尺的正方形跑道ABCD，顺着A，B，C，D，A，B，C，D…的方向，今甲在A 顶点以每分钟65公尺的速度，乙在B顶点以每分钟72公尺的速度同时出发，直到两人并列时就停止跑步．请问他们停止跑步的位置是正方形ABCD的边上．17．如图，已知正方形ABCD，P是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AP＜AB，△CBE由△DAP平移得到，若过点E作EQ⊥AC，点Q为垂足，则有以下结论：①四边形PECD 为菱形；②无论点P运动到何处，△DPQ都为等腰直角三角形；③若∠DQC＝60°，则有2BE＝DP；④无论点P运动到何处，∠CQP一定大于135°．其中正确结论的序号为．三．解答题（共49分）18．（8分）已知：在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E和点F分别在BC边和CD边上，连接AE、AF、AC，∠EAF＝60°．（1）如图1，求证：BE＝CF；（2）如图2，当点E是BC边中点时，连接对角线BD分别交AE、AC、AF于点M、O、N，连接EF交对角线AC于点P，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中面积等于△PEC面积3倍的三角形或四边形．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．20．（8分）点E是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连结CE．（1）如图①，连结AC，若CE平分∠ACD，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求证：BF＝DE；（2）如图②，点G在BC上，连结AG、GE，当GE＝CE时，试探索AG与CE之间的数量关系，并说明理由．21．（8分）已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP ⊥CF ，交AD 延长线于点P ．（1）求证：BF ＝DP ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（3）求证：CP ＝BM +2FN ．22．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，D 为AB 边的中点，连接DC 过D 作DE ⊥DC 交AC 于点E ．（1）求∠EDA 的度数；（2）如图2，F 为BC 边上一点，连接DF ，过D 作DG ⊥DF 交AC 于点G ，请判断线段CF 与EG 的数量关系，并说明理由．23．（9分）如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AC ＝20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1，再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1…依此类推．（1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 的面积是第2个平行四边形A 1B 1C 1C 是第3个平行四边形OB1B2C的面积是（3）第n个平行四边形的面积是．参考答案一．选择题1． C．2． A．3． B．4． C．5． D．6． C．7． A．8． B．9． A．10． A．11． D．12． C．二．填空题13． 8cm2．14．+1．15． 30°．16． AD．17．②③④．三．解答题18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，AB∥CD，AC平分∠BCD，∴∠BCD+∠B＝180°，∵∠B＝60°，∴∠ACD＝120°﹣60°＝60°＝∠B，△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠BCA＝60°，∵∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE＝CF；（2）解：图2中面积等于△PEC面积3倍的三角形为△AEP和△AFP，四边形为四边形BOPE 和四边形△DOPF；理由如下：由（1）得：△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵点E是BC边中点，∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC＝CD＝CF，∴F是CD的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF∥BD，∴EP是△BOC的中位线，∴PE＝OB，∵AC⊥BD，∠BCD＝120°，∴EF⊥AC，∠CEF＝∠CFE＝30°，∴PC＝CE，设PC＝x，则CE＝2x，PE＝x，AE＝CE＝2x，∵△PEC的面积＝PC×PE＝×x×x＝x2，△AEC的面积＝CE×AE＝×2x×2x＝2x2，∴△AEC的面积＝4△PEC的面积，∴△AEP的面积＝3△PEC的面积，同理：△AFP的面积＝3△PEC的面积；∵PE∥OB，PE＝OB，∴△OBC的面积＝4△PEC的面积，∴四边形BOPE的面积＝4△PEC的面积，同理：四边形DOPF的面积＝4△PEC的面积．19．（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．20．解：（1）如图1，过点E分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，∴∠EMB＝∠ENB＝∠MBN＝90°，∴四边形MENB为矩形，∴∠MEN＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCA＝×90°＝45°＝∠CDB＝∠CBD＝∠ABD，∴ME＝NE，∴矩形MENB为正方形，∵EF⊥CE，∴FEN+∠NEC＝90°，∠FEN+∠MEF＝90°，∴∠MEF＝∠NEC，又∵∠EMF＝∠ENC＝90°，∴△EMF≌△ENC（ASA），∴EF＝EC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝∠ACE＝ACD＝22.5°，∵EN∥CD，∴∠NEC＝∠DCE＝22.5°，∴∠MEF＝22.5°，∴∠BEF＝∠BEM﹣∠MEF＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠BEF＝∠DCE，又∵FBE＝∠EDC＝45°，EF＝EC，∴△FBE≌△EDC（AAS），∴BF＝DE；（2）如图2，连接AE，过点E分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝×90°＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝CE，∵GE＝CE，∴AE＝GE，由（1）知，四边形MENB为正方形，∴ME＝NE，又∵∠EMA＝∠ENG＝90°，∴Rt△EMA≌Rt△ENG（HL），∴∠AEM＝∠GEN，∵∠GEN+∠MEG＝90°，∴∠AEG＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形，∴AG＝GE，即AG＝CE．21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，∵CP⊥CF，∴∠FCP＝90°＝∠BCD，∴∠BCF＝∠DCP，∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，∴△CDP≌△CBF（ASA）∴BF＝DP；（2）∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，∴∠BFC＝67.5°，∵△CDP≌△CBF，∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，∴AC＝AP，∵AC＝AB＝4，＝AP×CD＝8；∴S△ACP（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，∵△CDP≌△CBF，∴CP＝CF，∵FN＝NH，且BN⊥FH，∴BH＝BF，∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，∴∠HBC＝∠BAM＝45°，∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，∴△AMB≌△BHC（ASA），∴CH＝BM，∴CF＝BM+2FN，∴CP＝BM+2FN．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）FC＝GE．23．解：（1）∵四边形ABCD矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，∴BC＝＝＝16，∴矩形ABCD的面积＝12×16＝192；（2）∵四边形OBB1C是平行四边形，OB＝OC，∴四边形OBB1C是菱形，∴BA1＝CA1＝8，∴OA1是△ABC的中位线，∴OA1＝AB＝6，∴OB1＝2OA1＝12，∴平行四边形四边形OBB1C的面积＝×12×16＝96；故答案为：96；根据题意得：四边形A1B1C1C是矩形，∴第2个平行四边形A1B1C1C＝A1C×A1B1＝8×6＝48；故答案为：48；同理：第3个平行四边形OB1B2C的面积＝×8×6＝24；故答案为：24；（3）由（2）得出规律，第n个平行四边形的面积是；故答案为×96．。

北师大版九上数学第一章《特殊平行四边形》单元测试卷(含答案解析).docx

第一章《特殊平行四边形》单元测试卷班级： __________ 姓名： ___________ 得分： ___________一•选择题：（每小题3分，共36分） 1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）2•矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）3.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的是（）A ・当AC=BD 吋，它是菱形B ・当AC 丄BD 吋，它是菱形 C ・当ZABC=90°时，它是矩形D.当AB=BC 时，它是菱形4.如图所示，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使四边形ABCD 成为矩形，需要添加的条件是（）如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是（）A.当AC=BD 时，四边形ABCD 是矩形;B.当AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形；C.当AC 丄BD 时，四边形ABCD 是菱形;D.当ZD4B 二90。

时，四边形ABCD 是正方形 7.正方形具有而菱形不具有的性质是（）A.对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相垂直平分D.四条边相等&如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和&点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角互补A ・内角和等于360° B.对角互补C.对边平行且相等D.对角线互相平分6. A. AB=CDC. AB=BCD. AC=BDB ・ AD=BD 5.B • 2cmD. 4cmC. 2y/~3cmN 分别是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是（10. 如图，AC. BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE 〃AC,交BC 的延长线于E,则图中与△ABC 全等的三角形共有（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如图，在菱形ABCD 屮，ZBAD=82。

, AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F,垂足为E,连接DF,则ZCDF 等于（） A.67°B.57°12. ................................................................................................................ 如图，将〃个边长都为1C 加的正方形按如图所示摆放，点儿、力2 ......................................... 他分别是正方形的小心，则〃个这样的正方形重亞部分的面积和为（）1 9n 7 n-\ 9z L 9A. —cmB. — cmC. --------------- cmD. （—） cm4444二•填空题：（每小题3分，共12分10C. 14D.不确定9. 如图所示，在菱形ABCQ 中，AC. 相交于点O,E 为的中点，若0E=4,则菱形ABCD 的周长是（） A. 8B. 16C. 24D. 32C.60°D.87°（第12题） C（第9题）（第10题）13.如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的屮点，请你三•解答题：（共52分17. （6分）在矩形ABCD 屮，点E 是BC 上一点,AE=AD, DF 丄AE,垂足为F ；求证:DF=DC.14. 15.16. 如图，l//m.矩形ABCD 的顶点3在直线m±,则Za 二度. 如图，E 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BE=BC, P 为CE 上任意一点，PQ 丄BC 于点0 PR 丄BD 于点R,则PQ+PR 的值为如图，己知RlHABC 中，ZACB=90°,以斜边A3为边向外作正方形ABDE,且正方形的对角线交于点O,连结0C.己知AC=5, 0C=6&,则另一直角边BC 的长（第15题）DABE18.（6分）如图，矩形ABCD'V，点分别在AB,CD边上，连接CE.AF, ZDCE=ZBAF.试判断四边形AECF的形状并加以证明.19.（8分）如图，在菱形ABCD中，AB=2, ZDAB = 60 ,点E是AD边的中点，点M是AB 边上一动点（不与点4重合），延长ME交射线CD于点N,连接AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2） _____________________________ 填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为__________ 时，四边形AMDN是菱形。

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷-附带答案(北师大版)一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．36．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．197．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm212．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【考点】矩形的性质；菱形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；故选A．【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③对角线相等的四边形④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的定义及性质．【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD．①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；②菱形的对角线互相垂直，故②正确；③对角线相等的四边形，故③错误；④对角线互相垂直的四边形，故④正确．综上所述，正确的结论是：②④．故选：D．【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD在Rt△AOB中，∠AOB＝90°根据勾股定理，得：OB＝＝＝4∴BD＝2OB＝8故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】正方形的性质．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图设正方形S1的边长为x∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD∴AC=BC=2CD又∵AD=AC+CD=6∴CD==2∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°∴AM=MO∵MO=MN∴AM=MN∴M为AN的中点∴S2的边长为3∴S2的面积为3×3=9∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（）A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm【考点】直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°∴AB=2∴AB边上的中线CD=AB=cm．故选D．【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°∴∠ADE=150°．∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=15°∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，∠A=∠C∴∠CDE=∠AED∵DE⊥AB∴∠AED=90°∴∠CDE=90°∵∠EDF=60°∴∠CDF=30°∵DF⊥BC∴∠DFC=90°∴∠C=60°∴∠A=60°∴∠ADE=30°∴AD=2DE∵AE=2∴AD=2×2=4（cm）；故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm【考点】矩形的定义及性质．【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2即x2=（10﹣x）2+16．解得：x=5.8．故选C．【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】菱形的性质．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm∵虚线的端点为矩形两邻边中点∴AC=4cm，BD=5cm∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1 B．C．D．【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1∴AD∥GF∴∠GFH＝∠P AH又∵H是AF的中点∴AH＝FH在△APH和△FGH中∵∴△APH≌△FGH（ASA）∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG∴PD＝AD﹣AP＝1∵CG＝2、CD＝1∴DG＝1则GH＝PG＝×＝故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为3．【考点】L8：菱形的性质．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24∴AC＝6∵AH⊥BC，AO＝CO＝3∴OH＝AC＝3．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB 或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为（8，4）或（，7）．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7）∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7∵D（5，0）∴OD＝5∵点P是边AB或边BC上的一点∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5∵AD＝3∴P A＝＝4∴P（8，4）．当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．故答案为（8，4）或（，7）．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC=1，∠B=90°∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为．【考点】正方形的性质．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG 中，利用勾股定理即可求出E′F的长．【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求过F作FG⊥CD于G在Rt△E′FG中GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4所以E′F==．故答案为：．【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．三、解答题（共52分）17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=ADBD=2DO，AB=AD∴AD=2∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1答：OE的长度为1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形∴BE∥AD，BE=AD∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF同理∠DAE=∠FDA∵AD=DA∴△ADE≌△DAF∴AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】矩形的性质．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD∴∠BAC=∠FCO在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF（AAS）∴OE=OF；（2）解：如图，连接OB∵BE=BF，OE=OF∴BO⊥EF∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC∴∠BAC=∠ABO又∵∠BEF=2∠BAC即2∠BAC+∠BAC=90°解得∠BAC=30°∵BC=2∴AC=2BC=4∴AB===6．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°∴F、C、M三点共线∴DE=DM，∠EDM=90°∴∠EDF+∠FDM=90°∵∠EDF=45°∴∠FDM=∠EDF=45°在△DEF和△DMF中∴△DEF≌△DMF（SAS）∴EF=MF；（2）设EF=MF=x∵AE=CM=1，且BC=3∴BM=BC+CM=3+1=4∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2即22+（4﹣x）2=x2解得：x=则EF=．【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD 上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】正方形的性质．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1在△BCE和△DCF中∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线∴∠EBC=∠DBC=22.5°由（1）知△BCE≌△DCF∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中∴△DBG≌△FBG（ASA）∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）∵BD==∴BF=∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1①当BH=BP时，则BP=﹣1∵∠PBC=45°设P（x，x）∴2x2=（﹣1）2解得x=1﹣或﹣1+∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°∴△PBH是等腰直角三角形∴P（，）综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．。

第一章特殊平行四边形单元测试（含答案解析）

初中数学北师大版九年级上学期第一章单元测试一、单选题1.已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（）A. ，B. 当时，四边形是菱形C. 当时，四边形是矩形D. 当且时，四边形是正方形2.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，，，点E是上一点，连接，若，则的长是（）A. 2B.C. 3D. 43.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（）A. B. C. D.4.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.6.如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为( )A. 12B. 12C. 12D. 10二、填空题7.如图，在菱形中，，点E在上，若，则________.8.如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为________．9.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C 的对应点是R点，则∠CQP＝________．10.如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是________度.三、作图题11.在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F．（1）尺规作图：在图中求作点E，使得EF＝EC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．四、综合题12.如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE.（1）若，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由.13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．14.如图，的对角线，交于点O，过点D作于E，延长到点F，使，连接，.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，，试求的长.15.如图，点是正方形外一点，点是线段上一点，且是等腰直角三角形，其中，连接、.（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由.16.如图，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，连接．（1）求证：；（2）当时，求证：菱形为正方形．答案解析部分一、单选题1. B解析：四边形是平行四边形，，故A正确，四边形是平行四边形，，不能推出四边形是菱形，故错误，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，故C正确，四边形是平行四边形，，，四边形是正方形.故D正确.故答案为：B.【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；（2）根据菱形的判定“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知当AB=CD时，四边形ABCD是菱形错误；（3）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可知当∠ABC=90°时，四边形是矩形；（4）根据对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形可知，当且时，四边形是正方形.2. B解析：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴CO=AC=4，OD=BD=3，AC⊥BD，∴DC==5，∠EOC+∠DOE=90°，∠DCO+∠ODC=90°，∵OE=CE，∴∠EOC=∠ECO，∴∠DOE=∠ODC，∴DE=OE，∴OE=CD=.故答案为：B.【分析】根据菱形的性质，可得CO=AC=4，OD=BD=3，AC⊥BD，利用勾股定理及等角的余角相等，可得DC=5，∠DOE=∠ODC，可得DE=OE，从而可得DE=OE=CE，继而得出OE=CD，据此即可求出结论.3. B解析：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝= S；故答案为：B．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，证出四边形EFOG 是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．4. B解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，∴∠AOB=90°，又∵AB+BC+CD+AD=32．∴AB=8，在Rt△AOB中，OE是斜边上的中线，∴OE= AB=4．故答案为：B．【分析】利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案．5. B解析：如图，过点E作HF⊥AB，∵AM//CD，∴∠DCE=∠EAM，∠CDE=∠EMA，∴△AME∽△CDE，∴AM：DC=EH：EF=1：2，FH=AD=1，∴EH= ，EF= .∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S△AME-S△CDE-S△MBC=1- - - = .故答案为：B.【分析】根据正方形的性质可得到△AME∽△CDE，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH，EF的长，从而即可求得阴影部分的面积.6. B解析：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK，在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE，∴△AEK∽△ADE，∴，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK，当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ，∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ，故答案为：B。

北师大版九年级上学期第1章《特殊的平行四边形》单元测练习(含答案)

《特殊的平行四边形》单元测试卷一．选择题1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．32．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．93．菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠25．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A ．1B ．C ．D ．6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（） A ．对边相等 B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分7．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE ＝EF ；④S △AOE ：S △BCM ＝2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（） A ．∠A ＝∠BB ．∠A ＝∠CC ．AC ＝BDD ．AB ⊥BC9．在△ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B ，C 两点不重合），过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是（）A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若BD ＝CD ，则四边形AE DF 是菱形 D ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形10．如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°．G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结CE ，DF ，下列说法不正确的是（）A ．四边形CEDF 是平行四边形B ．当CE ⊥AD 时，四边形CEDF 是矩形C ．当∠AEC ＝120°时，四边形CEDF 是菱形D ．当AE ＝ED 时，四边形CEDF 是菱形11．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．则图中阴影部分的面积等于（）A ．1B ．C ．D ．12．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH +∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若＝，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）201414．关于▱ABCD 的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF16．如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断二．填空题17．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于H，则DH等于．18．在菱形ABCD中，∠A＝60°，其所对的对角线长为4，则菱形ABCD的面积是．19．顺次连接四边形ABCD各边中点形成一个菱形，则原四边形对角线AC、BD的关系是．20．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若BD＝5，则四边形DOCE的周长为．23．如图，矩形ABCD中， AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE ＝S△COE，其中正确的结论的序号是．24．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．25．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，连接EF，则EF的最小值为cm．26．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．27．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．28．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为．29．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得▱ABCD 为正方形．30．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．31．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD 的面积是18，则DP的长是．三．解答题32．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．33．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．34．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是．35．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE 是矩形．36．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．37．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．38．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为，∠ABC＝°．（直接填写结果）39．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE＝6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？40．如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AG与BC满足条件时，四边形EFHI是菱形．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，故选：A．2．解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝BC，∴BC＝6，∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．故选：A．3．解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．4．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．5．解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH＝FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，∴PD＝AD﹣AP＝1，∵C G＝2、CD＝1，∴DG＝1，则GH＝PG＝×＝，故选：C．6．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．7．解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，∴∠CDE＝∠DFE，∴DE＝EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE ＝S△COF，∵S△COF ＝2S△CMF，∴S△AOE ：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM＝，∵∠FCO＝30°，∴FM＝，BM＝CM，∴＝，∴S△AOE ：S△BCM＝2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：B．8．解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．9．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．10．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C 、∵四边形CEDF 是平行四边形，∵∠AEC ＝120°，∴∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形，∴CE ＝DE ，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是菱形，正确；D 、当AE ＝ED 时，不能得出四边形CEDF 是菱形，错误；故选：D ．11．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴，∵EG ⊥AB ．EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ．∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，△AIE 的面积＝△AEG 的面积，∴S 阴＝S 正方形ABCD ＝，故选：B ．12．解：①∵四边形ABCD 为正方形，EF ∥AD ，∴EF ＝AD ＝CD ，∠ACD ＝45°，∠GFC ＝90°，∴△CFG 为等腰直角三角形，∴GF ＝FC ，∵EG ＝EF ﹣GF ，DF ＝CD ﹣FC ，∴EG ＝DF ，故①正确；②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），∴∠HEF ＝∠HDC ， ∴∠AEH +∠ADH ＝∠AEF +∠HEF +∠ADF ﹣∠HDC ＝∠AEF +∠ADF ＝180°，故②正确；③∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝CH ，∠GFH ＝∠GFC ＝45°＝∠HCD ，在△EHF 和△DHC 中，，∴△EHF ≌△DHC （SAS ），故③正确；④∵＝， ∴AE ＝2BE ，∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH ＝GH ，∠FHG ＝90°，∵∠EGH ＝∠FHG +∠HFG ＝90°+∠HFG ＝∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，， ∴△EGH ≌△DFH （SAS ），∴∠EHG ＝∠DHF ，EH ＝DH ，∠DHE ＝∠EHG +∠DHG ＝∠DHF +∠DHG ＝∠FHG ＝90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM ＝x ，则DM ＝5x ，DH ＝x ，CD ＝6x ，则S △DHC ＝×HM ×CD ＝3x 2，S △EDH ＝×DH 2＝13x 2，∴3S △EDH ＝13S △DHC ，故④正确；故选：D ．13．方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3… ∴D 1E 1＝B 2E 2，D 2E 3＝B 3E 4，∠D 1C 1E 1＝∠C 2B 2E 2＝∠C 3B 3E 4＝30°，∴D 1E 1＝C 1D 1sin30°＝，则B 2C 2＝（）1，同理可得：B 3C 3＝＝（）2，故正方形A n B n ∁n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014．故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，∴D 1E 1＝B 2E 2＝，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2＝60°，∴B 2C 2＝，同理：B 3C 3＝×＝…∴a 1＝1，q ＝，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长＝1×． 14．解：∵▱ABCD 中，AB ⊥BC ，∴四边形ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项A 错误；∵▱ABCD 中，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 错误；∵▱ABCD 中，AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形，选项C 正确；∵▱ABCD 中，AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项D 错误．故选：C ．15．解：∵EF 垂直平分BC ，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．16．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形纸条的宽度相等，∴DE＝DF．又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．故选：B．二．填空题（共15小题）17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，＝•AC•BD，∵S菱形ABCDS＝DH•AB，菱形ABCD∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．故答案为：．18．解：如图所示：∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其所对的对角线长为4，∴可得AD＝AB，故△ABD是等边三角形，则AB＝AD＝4，故BO＝DO＝2，则AO＝＝2，故AC＝4，则菱形ABCD的面积是：×4×4＝8．故答案为：8．19．解：∵EFGH为菱形∴EH＝EF又∵E、F、G、H为四边中点∴AC＝2EH，BD＝2FE∴AC＝BD．故答案为AC＝BD．20．解：根据作图，AC ＝BC ＝OA ， ∵OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝BC ＝AC ，∴四边形OACB 是菱形，∵AB ＝2cm ，四边形OACB 的面积为4cm 2，∴AB •OC ＝×2×OC ＝4，解得OC ＝4cm ．故答案为：4．21．解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AC ＝BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴OA ＝OD ＝BD ，S △AOD ＝S △AOB ，∵AB ＝3，AD ＝4，∴S 矩形ABCD ＝3×4＝12，BD ＝5，∴S △AOD ＝S 矩形ABCD ＝3，OA ＝OC ＝，∵S △AOD ＝S △AOP +S △DOP ＝OA •PE +OD •PF ＝××PE +××PF ＝（PE +PF ）＝3， ∴PE +PF ＝．故答案为．22．解：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OC＝OD＝BD＝，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×＝10．故答案为：10．23．解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝∠COD＝60°，∴△ODC是等边三角形，故①正确；由等边三角形的性质，AB＝OA，∴AC＝2AB，由垂线段最短BC＜AC，∴BC＜2AB，故②错误；∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴BO＝BE，∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，∴S△AOE ＝S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．24．解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．25．解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．26．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．27．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．28．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴AC2＝12+12，AC＝同理可得：AE＝（）2，AG＝（）3…，∴第n个正方形的边长a n＝（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．29．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD＝90°．30．解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD∴四边形CDFB是矩形∵BC＝CD∴四边形CDFB是正方形∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG∴△BCE≌△BFG（SAS）∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABF＝45°，∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG∴△ABE≌△ABG（SAS）∴AE＝AG＝5，∴A F＝AG﹣FG＝5﹣2＝3在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，∴DF＝6∴BC＝6故答案为：631．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．三．解答题（共9小题）32．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵AD为BC边上的中线∴DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）连接DF，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，＝AC▪DF＝×4×5＝10．∴S菱形ADCF33．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为： AC•BD＝×4×2＝4．故答案是：4．35．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．36．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．37．（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF＝＝10，∴OC＝OE＝EF＝5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．38．解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB＝∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO＝OF＝5，∠ABO＝∠EBO，∵AB＝10，∴AB＝2BO，∵∠AOB＝90°∴∠BA0＝30°，∠ABO＝60°，∴AO＝BO＝5，∠ABC＝2∠ABO＝120°．故答案为，120．39．解：（1）①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝4×1＝4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC＝BE＝6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B＝∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝PC，而BP＝4t，CP＝10﹣4t，∴4t＝10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x＝30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）40．（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC．∵H、I分别是BG、CG的中点．，∴HI是△BCG的中位线，∴HI∥BC且HI＝BC，∴EF∥HI且EF＝HI．∴四边形EFHI是平行四边形．（2）解：①当AD与BC满足条件AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：同（1）得：FH是△ABG的中位线，∴FH∥AG，FH＝AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，∵四边形EFHI是平行四边形，∴四边形EFHI是矩形；故答案为：AD⊥BC；②当AG＝BC时，四边形DEFI是菱形．理由：∵△ABC的两条中线BE与CF交于点G、H、I分别是BG、CG的中点，∴FH＝AG，∵EF＝BC，∴当AG＝BC时，FH＝EF，∵四边形EFHI为平行四边形，∴▱EFHI为菱形；故答案为：AG＝BC．。

北师大版九上数学第一章特殊平行四边形单元评价检测(含答案解析)

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形【解析】选 D.∵对角线相互平分且互相垂直的四边形是菱形,∴A,B 选项错误;∵对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形, ∴C 选项错误;D 选项正确,故选 D. 4.如图,在矩形 ABCD 中,BC=2,AE⊥BD,垂足为 E,∠BAE=30°,那么△ECD 的面积是 ( )
5.如图,已知菱形 ABCD 与△ABE,其中 D 在 BE 上.若 AB=17,BD=16,AE=25,则 DE 的长度为 ( )
A.8
B.9
C.11
2
【解析】选 D.连接 AC,
设 AC 交 BD 于 O 点, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD,且 BO=DO= 在△AOD 中, ∵∠AOD=90°, ∴AO= ∵∠AOE=90°, ∴OE= 又 OD=8, ∴DE=OE-OD=20-8=12. 6.如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5,点 E,F 分别在 AB,CD 上,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A,D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1,D1 处,则阴影部分图形的周长为 ( ) = =20, = =15,在△AOE 中, =8,
【解析】选 B.①正确.理由:∵正方形 ABCD 中,AB=3,CD=3DE,∴ED= CD=1.∴EC=2. 由对折得△AFE≌△ADE. 进而得,AF=AD,EF=ED =1,∠AFE=∠D=90°. ∴可证△ABG≌△AFG. 设 BG=x,则 FG=x,GC=3-x. 在 Rt△EGC 中,由勾股定理得 GC2+ EC2=EG2, 即(3-x)2+22=(1+x)2. 解得 x= ,即 BG= BC. ②不正确.理由:∵GF= ,EF=1,∴点 F 不是 GE 的中点.假设 FG=FC,则∠FGC=∠FCG.由等角的余角相等,得∠FEC=∠FCE.∴EF=FC.∴FG=EF.这与前面的结论:点 F 不是 GE 的中点相矛盾.所以假设不成立. ③正确.理由:△GFC 中,设 GC 边上的高为 h,则 h= 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 . 【解析】等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形; 平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形; 矩形、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形. 答案:矩形和正方形【易错提醒】平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,本题易误认为平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 【知识归纳】特殊平行四边形的对称性 (1)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形. ·EC= .S△GFC= GC·h= × × = .

北师大版九年级第一章《特殊平行四边形》单元检测卷(含答案)

第一章《特殊平行四边行》单元检测卷（全卷满分100分时限90分钟）一．选择题（每小题3分，共36分）1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有() A．4对B．6对C．8对D．10对2.如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是()A．AE＝AF B．EF⊥AC C．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线3.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于()A．20 B．15 C．10 D．54.如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是()A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC5.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为()A．10°B．12.5°C．15°D．20°6.已知，如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当∠BED ＝126°时，∠EDA的度数为()A．54°B．27°C．36°D．18°7.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形8.如图，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为() A．8 2 B．4 2 C．8 D．69.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，则∠BOE的度数是()A．80°B．65°C．45°D．75°10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()A.3－1 B．3－ 5 C.5＋1 D.5－111．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，点E、F分别是AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝()A．35°B．45°C．50°D．55°12．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝12(BC－AD)；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：（每小题3分，共12分）13.如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD＝1∶2，则AC＝____________．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则DE的长度是____．15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G.若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝________°.16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于________°.三、解答题(本大题共7个小题，共52分)17.(6分)如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．18.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由．19.(7分)如图，已知：四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.(1)试探究四边形BECF是什么特殊的四边形并说明理由；(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．20.(8分)如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为DC ，BC 中点． (1)求证：△ADE ≌△ABF ； (2)求△AEF 的面积．21.(6分)已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点． (1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由．22.(8分)已知：如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4 cm，∠BAD＝120°，求AE，BF的长．23.(9分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(t＞0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.(1)求证：AE＝DF；(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明现由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案一、选择题（共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCDACDCCDDDC二．填空题：（每小题3分共12分）三．解答题：17.（1）四边形ACED 是平行四边形。

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)一、选择题1．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为（）2cm．A．48B．24C．12D．202．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90︒B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等4．如图，在矩形ABCD中，已知AE BD⊥于E，∠BDC=60°，BE=1，则AB的长为（）A．3B．2C．3D35．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形6．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则ba=（）A 51-B 53+C 51+D 217．如图，在菱形ABCD 中 50ABC ∠=︒ ，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则 AOE ∠ 的度数是（）A ．110°B ．112°C ．115°D ．120°8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝4，CD ＝6，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝120°，则AD 的长度为（）A ．3B ．3C ．3D ．3+39．如图，点E 、F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE =DF ，则四边形AECF 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且BE CF =，连接BF ，DE ，则BF DE +的最小值为（）A 3B 5C ．3D ．512．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∠A ＝120°，则A ．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点90AED ∠=︒，∠EAD=30°，F 是AD 边的中点2cm EF =则BE = cm ．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则∠BEQ 周长的最小值为．三、解答题15．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE//BD ，BE//AC ．（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若2AB =，OB=3，求AD 的长及四边形AEBO 的面积．16．如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC∠AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，分别连接EF 、BD ，BD 与AF 、AE 分别相交于点M 、N.（1）求证：EF =BE +DF .为了证明“EF =BE +DF ”，小明延长CB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程. （2）若正方形ABCD 的边长为6，BE =2，求DF 的长.18．已知：如图，在 Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ ， CD 是 ABC 的角平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分別为E 、F.求证：四边形 CEDF 是正方形.四、综合题19．如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D .（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长.20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE∠AC ，且12DE AC =，连接CE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1，连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断∠“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵菱形周长为20cm∴一条边的边长a=5cm又∵一条对角线长为8cm根据勾股定理可得另一条对角线长的一半22543 b-=∴另一条对角线长为6cm∴2186242m=⨯⨯=菱形的面积故答案为：B.【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理，首先根据菱形的四边相等可知边长为5，又因为菱形的对角线垂直，所以结合一条已知的对角线求出另一条对角线的长度为6，两条对角线长度已知即可求出菱形的面积.2．【答案】B【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C 不符合题意；D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：四边形ABCD 为矩形60BDC ∠=︒=60ABD ∴∠︒AE BD ⊥30BAE ∴∠=︒AB 2∴=故答案为：B ．【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；C 、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，一一判断可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意得()2()a b b b a b +=++整理得：22222a b ab b ab ++=+则220a b ab -+= 方程两边同时除以2a 2()10b b a a --=152b a +∴=（负值已经舍去）【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a＋b），右图是一个长方形，长宽分别为（b＋a＋b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a＋b）2＝b（b＋a＋b），解方程即可求出ba的值.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC∠BD，∠CDO= 12∠ADC=12∠ABC=25°∴∠DOC=90°∵点E是CD的中点∴OE=DE= 12CD∴∠DOE=∠CDO=25°∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°故答案为：C.【分析】根据菱形的性质得出AC∠BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可. 8．【答案】A【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠EBC=∠ECB=60°∴∠BCE是等边三角形∵BC=4，∴EC=BE=BC=4∵AB=1，CD=6∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10∵∠A=90°∴22221057553DE AE-=-=故答案为：53.【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得∠BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.9．【答案】A∴AO=CO BO=DO又BE=DF∴ BO+BE=DO+DF即EO=FO∴ 四边形AECF 是平行四边（对角线互相平分的四边形是平行四边形）故选：A【分析】根据矩形性质得到平行四边形的判定条件。

秋北师大九级上第一章特殊平行四边形检测题含答案

第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分) 1．菱形的对称轴的条数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．下列说法中，正确的是( C )A ．相等的角一定是对顶角B ．四个角都相等的四边形一定是正方形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．矩形的对角线一定垂直3．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD 是( B )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 4．(2017·玉林模拟)下列命题是假命题的是( C )A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为( C )A ．6 cmB ．4 cmC ．2 cmD ．1 cm 6．(2016·枣庄)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A )A.245B.125C ．5D ．4 错误! 错误!,第6题图) 错误!,第7题图)7．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( C )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．已知四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，则下列结论正确的是( C ) A ．当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是矩形B ．当AB ＝AD ，CB ＝CD 时，四边形ABCD 是菱形C ．当AB ＝AD ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形D ．当AC ＝BD ，AD ＝AB 时，四边形ABCD 是正方形 9．(2016·舟山)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D )A. 5B.136 C ．1 D.56,第9题图) ,第10题图)10．(2017·襄阳模拟)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是( D )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm ，3 cm ，则它的面积是__3__cm 2.12．如图，已知点P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP ＝BC ，则∠ACP 的度数是____度．13．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件__∠B ＝90°或∠BAC ＋∠BCA ＝90°__，使四边形ABCD 为矩形．,第12题图) ,第13题图) ,第14题图),第15题图)14．已知矩形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为__78__cm.15．如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A ，C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ，F ，AE ＝3，则四边形AECF 的周长为__22__．16．(2016·苏州)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，则点E 的坐标为__(3，43)__．三、解答题(共72分)17．(10分)如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm ，对角线长是13 cm ，那么矩形的周长是多少？∵△AOB ，△BOC ，△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86 cm ，且AC ＝BD ＝13 cm ，∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝86－2(AC ＋BD )＝86－4×13＝34(cm )，即矩形ABCD 的周长是34 cm18．(10分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作▱ABDE ，连接AD ，EC.(1)求证：△ADC ≌△ECD ；(2)若BD ＝CD ，求证：四边形ADCE 是矩形．(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB ＝DE，∴∠ABD＝∠EDC，AC＝DE，∴∠EDC＝∠ACD，又DC＝CD，∴△ADC≌△ECD(2)若BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE 綊BD，∴AE綊DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD⊥DC，∴▱ADCE是矩形19．(10分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE ∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC(2)∠BAO＝40°20．(10分)如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC，∠A＝∠C，CD＝AB，又∵点E，F 为AB，DC的中点，∴CF＝AE，∴△ADE≌△CBF(2)四边形AGBD是矩形．连接EF，∵▱BEDF是菱形，∴BD⊥EF，又DF綊AE，∴四边形ADFE是平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADB＝90°，又∵AD∥BC，DB∥AG，∴四边形AGBD是平行四边形，∴▱AGBD是矩形21．(10分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形的面积．(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC.又∵AB ＝AC, ∴△ABC 是等边三角形．∵点E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°. ∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝12AD ，EC ＝12BC.∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(2)在Rt △ABE 中，AE ＝82－42＝43，∴S 菱形ABCD ＝8×43＝32322．(10分)(2017·天水模拟)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，∠ADE ＝∠CDF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)连接DB 交EF 于点O ，延长OB 至G ，使OG ＝OD ，连接EG ，FG ，判断四边形DEGF 是否是菱形，并说明理由．(1)在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，在△ADE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CDF ，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (ASA )，∴AE ＝CF (2)四边形DEGF 是菱形．理由如下：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴AB －AE ＝BC －CF ，即BE ＝BF ，∵△ADE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∴BD 垂直平分EF ，∴EO ＝FO.又∵OG ＝OD ，DE ＝DF ，∴四边形DEGF 是菱形23．(12分)如图，在矩形ABCD 中，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，点P ，Q 分别是BM ，DN 的中点．(1)求证：△MBA ≌△NDC ；(2)四边形MPNQ 是什么特殊四边形？请说明理由．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°，∵在矩形ABCD中，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM ＝12AD ，CN ＝12BC ，∴AM ＝CN.在△MBA和△NDC 中，∵AB ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，AM ＝CN ，∴△MBA ≌△NDC (SAS )(2)四边形MPNQ 是菱形，理由如下：连接AN ，易证：△ABN ≌△BAM ，∴AN ＝BM.∵△MAB ≌△NCD ，∴BM ＝DN.∵点P ，Q 分别是BM ，DN 的中点，∴PM ＝NQ.∵DM ＝BN ，DQ ＝BP ，∠MDQ ＝∠NBP ，∴△MQD ≌△NPB (SAS )．∴MQ ＝NP.∴四边形MPNQ 是平行四边形．∵点M 是AD 的中点，点Q 是DN 的中点，∴MQ ＝12AN ，∴MQ＝12BM.又∵MP ＝12BM ，∴MP ＝MQ.∴四边形MPNQ 是菱形第二章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是( A )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1) B.1x 2＋1x－2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0D ．x 2＋2x ＝x 2－1 2．方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是( D )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－33．(2016·攀枝花)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a的值为( C )A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或44．用配方法解一元二次方程x 2－2x －3＝0时，方程变形正确的是( B ) A ．(x －1)2＝2 B ．(x －1)2＝4 C ．(x －1)2＝1 D ．(x －1)2＝7 5．(2016·丽水)下列一元二次方程中，没有实数根的是( B )A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝0 6．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( C ) A ．直接开平方法 B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法 7．(2016·烟台)已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12－x 1＋x 2的值为( D )A ．－1B ．0C ．2D ．38．关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－1 9．，，如果从2015年到2017年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是( B ) A ．30% B ．40% C ．50% D ．10%10．有一块长32 cm ，宽24 cm 的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是( C )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm 二、填空题(每小题3分，共18分)11．一元二次方程2x 2＋6x ＝9的二次项系数、一次项系数、常数项和为__－1__． 12．方程(x ＋2)2＝x ＋2的解是__x 1＝－2，x 2＝－1__．13．若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是__1或－23__．14．写一个你喜欢的实数k 的值__0(答案不唯一，只要满足k>－2且k ≠－1都行)__，使关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根．15．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为__10%__．16．(2016·达州)设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝__2016__．三、解答题(共72分) 17．(12分)解方程：(1)(2016·淄博)x 2＋4x －1＝0; (2)x 2＋3x ＋2＝0； x 1＝－2＋5，x 2＝－2－5 x 1＝－1，x 2＝－2(3)3x 2－7x ＋4＝0.x 1＝43，x 2＝118．(10分)如图，已知A ，B ，C 是数轴上异于原点O 的三个点，且点O 为AB 的中点，点B 为AC 的中点．若点B 对应的数是x ，点C 对应的数是x 2－3x ，求x 的值．由已知，点O 是AB 的中点，点B 对应的数是x ，∴点A 对应的实数为－x.∵点B 是AC 的中点，点C 对应的数是x 2－3x ，∴(x 2－3x )－x ＝x －(－x )．整理，得x 2－6x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝6.∵点B 异于原点，故x ＝0舍去，∴x 的值为619．(8分)一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．当x 2－2x －54＝0得(x －1)2＝94，解得x 1＝52，x 2＝－12.当x ＝52时，(52)2－52(k ＋2)＋94＝0，∴k ＝75；当x ＝－12时，(－12)2＋12(k ＋2)＋94＝0，∴k ＝－7.答：k 的值为75或－720．(10分)(2016·永州)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的要价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？(1)10% (2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件，第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60元/件，第二次降价后单价利润为：324－300＝24元/件，依题意得：60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2400≥3210，解得m ≥，即m ≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该商品23件21．(10分)小林准备进行如下操作试验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，”他的说法对吗？请说明理由．(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x )cm.由题意，得x 2＋(10－x )2＝58，解得x 1＝3，x 2＝7，即两个正方形的边长分别为3 cm ，7 ×3＝12，4×7＝28，∴小林应把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段 (2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程没有实数根，∴小峰的说法是对的22．(10分)某市电解金属锰厂从今年元月起安装了回收净化设备(安装时间不计)，这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～x 月的利润的月平均值W(万元)满足W ＝10 x ＋90.请问多少个月后的利润和为1620万元？由题意得x (10x ＋90)＝1620，解得x 1＝9，x 2＝－18(舍去)，即9个月后利润和为1620万元23．(12分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求a 的值.(1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x 元，则购买书籍的有(30 000－x )元，根据题意得：30 000－x ≥3x ，解得x ≤7 500.答：最多用7 500元购买书桌、书架等设施 (2)根据题意得：200(1＋a%)×150(1－109a%)＝20 000，整理得a 2＋10a －3 000＝0，解得a ＝50或a ＝－60(舍去)，所以a 的值是50。

第一章特殊的平行四边形单元检测 2022-2023学年北师大版数学九年级上册(含答案)

2022-2023北师大版数学九年级上册第一章特殊的平行四边形单元检测一．选择题（共12小题）1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（）A．60°B．75°C．80°D．110°2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD．从中选择两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选③④3．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．四条边都相等的四边形是菱形4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA＝6，将△ABC沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若∠BAC＝30°，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．菱形具有而矩形不一定有的性质是（）A．对角线互相平分B．四条边都相等C．对角相等D．对边平行6．如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，F是AB上的任意一点，过点F分别作FE∥BD、FG∥AC，FE交AD于E点，FG交BC于G点．则下列结论错误的是（）A．BD垂直平分FFG∥ACG B．EF+FG＝ACC．△AFE是等腰直角三角形D．GC+FG＝AC7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，点G为AB边上一动点，直线GO交CD于点H，过点D作DE⊥GO，垂足为点E，连接CE，则CE的最小值为（）A．2 B．4﹣C．D．﹣18．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝6，则菱形ABCD的周长为（）A．48 B．36 C．24 D．189．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④，其中正确结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，其中∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（）A．四边形BECF为平行四边形B．当BF＝3.5时，四边形BECF为矩形C．当BF＝2.5时，四边形BECF为菱形D．四边形BECF不可能为正方形11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）12．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE 的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°二．填空题（共6小题）13．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝18°，则∠AED等于度．。

北师版九上数学第一章特殊平行四边形单元测试卷(含答案)

北师版九上数学第一章特殊平行四边形单元测试卷（难）一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知四边形ABCD，下列说法正确的是()A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形2.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）第2题图A.2B.C.D.63.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150°B.135°C.120°D.100°4.已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.6D.86.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A.20B.15C.10D.57.若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（）A.4B.2C.D.8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A. B. C. D.第5题图第6题图（1）（2）10.如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.12.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C 运动.给出以下四个结论：①;②∠∠;③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.上述正确结论的序号有.13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB 到点E ，使，则∠BCE 的度数是.14.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为24cm，则矩形的周长是cm.15.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为.CDAB第17题图第15题图第18题图16.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为_________.17.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______.第9题图第10题图18.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题（共66分）19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD.（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.21.（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.（1）求证:AE=DF.（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.第21题图22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长.23.（8分）如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点.若，求∠的度数.24.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.（1）求证：OE＝OF；（2）若BC＝，求AB的长.25.(8分)已知：如图，在四边形中，∥，平分∠，，为的中点.试说明：互相垂直平分.26.(10分)如图，在△中，∠，的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且.(1)求证：四边形是平行四边形.(2)当∠满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由.第26题图第一章特殊平行四边形--单元检测题1（难）参考答案一、1.B 2.A解析：根据图形折叠的性质可得：∠BCE =∠ACE=21∠ACB ，∠B =∠COE =90°，BC =CO =21AC ，所以∠BAC =30°，所以∠BCE =∠ACE =21∠ACB =30°.因为BC =3，所以CE =23.3.C解析：如图，连接AC .在菱形ABCD 中，AD=DC ,AE ⊥CD ，AF ⊥BC ，因为，所以AE 是CD 的中垂线，所以，所以△ADC 是等边三角形，所以∠60°，从而∠120°.4.B 解析:如图，在矩形ABCD 中，10cm，15cm，是∠的平分线，则∠∠C .由AE ∥BC 得∠∠AEB ，所以∠∠AEB ，即，所以10cm，ED =AD -AE =15-10=5(cm)，故选B.5.B解析：因为矩形ABCD 的面积为，所以阴影部分的面积为，故选B．6.D 解析：在菱形中，由∠=，得∠.又∵，∴△是等边三角形，∴.7.B 解析：如图，在正方形中，，则，即，所以，所以正方形的面积为2，故选B.8.C 9.A解析：由题意知AC ⊥BD ,且4，5，所以2114510cm )22S AC BD =⋅=⨯⨯=菱形（.10.A 解析：由折叠知，四边形为正方形，∴.二、11.6解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.12.①②③解析：因为四边形ABCD 为菱形，所以ABCD ，∠B =∠D ，BE =DF ，所以△≌△，所以AE AF ，①正确.由CB =CD ，BE=DF ,得CE=CF ，所以∠CEF=∠CFE ，②正确.当E ，F 分别为BC ，CD 的中点时，BE=DF =21BC =21DC .连接AC ，BD ，知△为等边三角形，所以⊥.因为AC ⊥BD ,所以∠ACE =60°，∠CEF =30°，⊥，所以∠AEF =.由①知AE AF ，故△为ABCD第7题答图等边三角形，③正确.设菱形的边长为1，当点E ，F 分别为边BC ，DC 的中点时，的面积为，而当点E ，F 分别与点B ，D 重合时，=，故④错.13.22.5°解析:由四边形是正方形，得∠∠又，所以.5°，所以∠.14.48解析:由矩形可知，又⊥，所以垂直平分，所以.已知△的周长为24cm ，即所以矩形ABCD 的周长为15.解析：如图，作E 关于直线AC 的对称点E ′，则BE =DE ′，连接E ′F ，则E ′F 即为所求，过F 作FG ⊥CD 于G ，在Rt△E ′FG 中，GE ′=CD -DE ′-CG =CD -BE -BF =4-1-2=1，GF =4，所以E ′F =＝＝.16.96解析：因为菱形的周长是40，所以边长是10．如图，，．根据菱形的性质，有⊥，，所以，．所以．17.28解析：由勾股定理,得.又，，所以所以五个小矩形的周长之和为18.22.5解析：由四边形ABCD 是正方形，可知∠BAD =∠D =90°，∠CAD =12∠BAD =45°.由FE ⊥AC ，可知∠AEF =90°.在Rt△ABC 与Rt△ADC 中，AE =AD ，AF =AF ，∴Rt△AEF ≌Rt△ADF （HL），∴∠FAD =∠FAE =12∠CAD =12×45°=22.5°.三、19.证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∴∠FAC =∠B +∠ACB =2∠BCA .∵AD 平分∠FAC ，∴∠FAC =2∠CAD ，∴∠CAD =∠ACB .在△ABC 和△CDA 中，∠BAC ＝∠DCA ，AC ＝AC ，∠DAC ＝∠ACB ，∴△ABC ≌△CDA .（2）∵∠FAC =2∠ACB ，∠FAC =2∠DAC ，∴∠DAC =∠ACB ，∴AD ∥BC .∵∠BAC =∠ACD ，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∵∠B =60°，AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∴平行四边形ABCD 是菱形.20.证明：（1）在□ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB =∠EAD .∵AE =AB ，∴∠ABE =∠AEB ，∴∠ABE =∠EAD .（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE.∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴AB=AD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.21.解：（1）证明：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是平行四边形,所以AE=DF.（2）解：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形，理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，且∠BAD=∠FDA.又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAF，∴∠DAF=∠FDA，∴AF=DF，∴平行四边形AEDF为菱形. 22.（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF.（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，解得：x=，即EF=.23.解：因为平分，所以.又知，所以因为，所以△为等边三角形，所以因为，所以△为等腰直角三角形，所以．所以，，所以=75°.24.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠OAE=∠OCF.又∵OA=OC,∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA）.∴OE=OF.（2）解:连接BO.∵BE=BF，∴△BEF是等腰三角形.又∵OE=OF,∴BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴∠BOF=90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF=90°.又∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,∴∠BAC=∠EOA.∴AE=OE.∵AE=CF,OE=OF,∴OF=CF.又∵BF=BF,∴Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.∴∠OBF=∠CBF.∴∠CBF=∠FBO=∠OBE.∵∠ABC=90°,∴∠OBE=30°.∴∠BEO=60°.∴∠BAC=30°.在Rt△BAC中，∵BC AC=2BC=4.AB=25.解：如图，连接∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.因为在Rt△中，是的中点，所以是Rt△的斜边BC 上的中线，所以，所以．因为平分，所以，所以所以∥.又AD ∥BC ，所以四边形是平行四边形．又，所以平行四边形是菱形，所以互相垂直平分．26.（1）证明：由题意知∠∠，∴∥，∴∠∠.∵，∴∠∠AEF =∠EAC =∠ECA .又∵，∴△≌△，∴，∴四边形是平行四边形．（2）解：当∠时，四边形是菱形．理由如下：∵∠，∠，∴AB 21.∵垂直平分，∴.又∵，∴AB 21，∴，∴平行四边形是菱形．。

九年级上册数学第一章特殊平行四边形检测卷(北师大含答案)

九年级上册数学第一章特殊平行四边形检测卷(北师大含答案)★精品文档★九年级上册数学第一章特殊平行四边形检测卷(北师大含答案)一、选择题(每小题3分，共45分)1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）a．平行四边形、菱形b．矩形、菱形c．矩形、正方形d．菱形、正方形2．在四边形abcd中，ab＝bc＝cd＝da，如果嵌入一个条件，即可面世该四边形就是正方形，那么这个条件可以就是（）a．ac⊥bdb．ab∥cdc．∠a＝90°d．∠a＝∠c3．若矩形的一条对角线与一边的夹角就是40°，则两条对角线平行阿芒塔的锐角就是（）a．20°b．40°c．80°d．100°4．如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd交于点o，下列说法错误的是（）a．ab∥dcb．ac＝bdc．ac⊥bdd．oa＝oc第4题图第5题图第6题图5．如图，点p是菱形abcd对角线bd上一点，pe⊥ab于点e，且pe＝2.连接pc，若菱形的周长为24.则△bcp的面积为（）2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导文学创作c独家原创1/9★精品文档★a．4b．6c．8d．126．例如图，在△abc中，bc＝12，ac＝5，ab＝13，点d就是ab的中点，则cd的短为（）a．6.5b．6c．2.5d．无法确认7．如图，已知面积为1的正方形abcd的对角线相交于点o，过点o任意作一条直线分别交ad，bc于e，f，则阴影部分的面积是（）a．1b．0.5c．0.25d．无法确认第7题图第8题图第9题图8．如图，在矩形abcd中，对角线ac、bd相交于点o.若∠acb＝30°，ab＝2，则bd的长为（）a．4b．3c．2d．19．菱形oabc在平面直角坐标系则中的边线如图所示，∠aoc＝45°，点a的座标为(2，0)，则点b的座标为（）a．(2，1)b．(1，2)c．(1，2＋1)d．(2＋1，1)10．例如图，四边形abcd就是正方形，点e在对角线bd上，且be＝bc，则∠ace的度数等同于（）a．20°b．22.5°c．25°d．30°第10题图第11题图2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作c独家原创2/9★精品文档★第12题图11．如图，在菱形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，作oe∥ab，交bc于点e，则oe的长一定等于（）a．beb．aoc．add．ob12．例如图，四边形abcd就是正方形，be⊥ef，df⊥ef，be＝2.5d，df＝4d，那么ef的短为（）a．6.5db．6dc．5.5dd．4d13．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是（）a．矩形b．平行四边形c．菱形d．任一四边形14．如图，将边长为2c的菱形abcd沿边ab所在的直线l翻折得到四边形abef，若∠dab＝30°，则四边形cdfe的面积为（）a．2c2b．3c2c．4c2d．6c2第14题图第15题图15．如图，四边形abcd为矩形纸片，把纸片abcd折叠，使点b恰好落在cd边的中点e处，折痕为af.若cd＝6，则af等于（）a．43b．33c．42d．8二、填空题(每小题5分，共25分)2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导文学创作c独家原创3/9★精品文档★16．rt△abc中，如果斜边上的中线cd＝4c，那么斜边ab＝c.17．例如图，一个平行四边形的活动框架，对角线就是两根橡皮筋．若发生改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在出现发生改变．当∠α为度时，两条对角线长度成正比．第17题图18．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为1c，则其对角线长为c，矩形的面积为c2.19．如图，在正方形abcd的外侧，作等边△ade，则∠bed的度数是.第19题图第20题图20．例如图，菱形abcd的边长为4，且ae⊥bc于e，af⊥cd于f，∠b＝60°，则菱形abcd的面积为.三、答疑题(共80分后)21．(8分)如图，点o是菱形abcd对角线的交点，de∥ac，ce∥bd，连接oe.求证：oe＝bc.22．(8分后)例如图，正方形abcd中，e为cd边上一点，f为bc延长线上一点，且ce＝cf.澄清：△bce≌△dcf.2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作c独家原创4/9★精品文档★23.(10分后)例如图，在矩形abcd中，对角线ac，bd平行于点o，ae⊥bd于点e，be∶ed＝1∶3，ad＝6c，谋ae的长．24.(12分)如图，等腰三角形abc中，ab＝ac，ah⊥bc，点e是ah上一点，延长ah至点f，使fh＝eh.(1)求证：四边形ebfc是菱形；(2)如果∠bac＝∠ecf，求证：ac⊥cf.25．(12分后)例如图，在矩形abcd中，沿ef将矩形卷曲，并使a，c重合，点d落到点g处为，ac与ef处设点h.(1)澄清：△abe≌△agf；(2)若ab＝6，bc＝8，求△abe的面积．26．(14分后)未知梯形abcd中，ad∥bc，ab＝ad(如图所示)．(1)在右图中，用尺规并作∠bad的平分线ae交bc于点e，相连接de(留存作图痕迹，不文学创作法)，并证明四边形abed就是菱形；(2)若∠abc＝60°，ec＝2be.求证：ed⊥dc.27．(16分后)例如图，未知△abc，直线pq垂直平分ac，与边ab处设点e，相连接ce，过点c作cf平行于ba交pq于点f，相连接af.(1)澄清：△aed≌△cfd；2021全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作c独家原创5/9。

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特殊的平行四边形单元检测
一、选择题
1、若菱形的周长是8厘米，相邻两角的度数比是1:2,则菱形的面积是（）
A 、23cm
B 、232cm
C 、234cm
D 、238cm
2、菱形的周长为20，两邻角的比为2:1，则一组对边的距离为（） A 23 B 233 C 33 D 2
35 3、如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,以下说法错误的是( )
A. ∠ABC =90
B. AC =BD
C. OA =OB
D. OA =AD
4、将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，
得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）
A .矩形 B.三角形 C.梯形 D.菱形
5、如图，点D 是△ABC 内一定点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，
E 、
F 、
G 、
H 分别是AB 、 AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长( )
A.11
B.10
C.9
D.7
6、如图，在四边形ABCD 中，若AD=BC ，E 、F 、G 分别是AB ，CD ，AC 的中点。

若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG 等于（）
A 、23°
B 、46°
C 、11.5°
D 、47°
7、如图，小明用尺规按如下作法作线段AB 的垂直平分线：分别以点A 和B 为圆心，以大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法，可知四边形ADBC 一定是（）．
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．等腰梯形
第6题 C
8、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是B C 的中点，AD =6cm ，BC =16cm ．点P 从点A 出
发，沿AD 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．若运动t （s ）后，以点P 、D 、Q 、E 为顶点的四边形是平行四边形，则
t 的值为（）． A ．2 B ．
38 C ．2或 314 D ．8或3
8 二、填空题 1、要使一个菱形ABCD 成为正方形，则需增加的条件是（填上一个正确的条件即可）
2、如图，□ABCD 的周长为18cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 与E ，
则△DCE 的周长为_________cm.
3、如图，□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是（只需写出一个即可，图中不能再
添加别的“点”和“线”）.
4、如下左图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝______．
5、某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地（如上右图），各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为30cm ，则对角线AC=______cm ．
6、如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新的正方形A 1B 1C 1D 1；把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图（2））；以此下去…，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为_________.
三、解答及证明
A D
B C ． E Q P 第8题
第2题
1、用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。

求作：一个菱形ABCD ，使它的对角线AC 的长等于已知线段a 。

a
结论：
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 中点，AE ∥CD ，CE ∥AB ，试判断四边形ADCE 的形状，并证明你的结论。

3、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边的中线，AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN 于点E ，线段DE 交AC 于点F 。

（1）求证：四边形ADCE 为矩形；
（2）线段DF 与AB 有怎样的关系？证明你的结论。

4、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF ∥AB 。

（1）求证：CF=AD
（2）若ACB =90°，试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由。

5、对于某些三角形或是四边形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：
如图1、2所示，分别过三角形或是四边形的顶点A 、C 作水平线的铅垂线l 1、l 2，l 1、l 2之间的距离d 叫做水平宽；
如图1所示，过点B 作水平线的铅垂线交AC 于点D ，称线段BD 的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B 、D 作水平线l 3、l 4，l 3、l 4之间的距离h 叫做四边形的铅垂高。

结论提炼：容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=2
1dh ”。

尝试应用：
已知：如图3，点A （-5,2）、B （5,0）、C （0,5），则△ABC 的水平宽为_______，铅垂高为______，所以△ABC 的面积为___________
再探新知：
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，小明进行了如下探索尝试：
⑴他首先在图4所示的平面直角坐标系中，取了A （-4,2）、B （1,5）、C （4,1）、D （-1,-4）四个点，得到了四边形ABCD 。

小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是______；他又用其它的方法进行了计算，结果是__________，由此他发现：用“S=
21dh ”这一方法对图4中的四边形求面积__________（填“适合”或“不适合”）。

（2）小明并没有放弃尝试，他又在图5所示的平面直角坐标系中，取了A （-5,2）、B （1,5）、C （4,2）、D （-1,-3）四个点，得到了四边形ABCD 。

小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是______，由此他发现：用“S=
21dh ”这一方法对图5中的四边形求面积__________（填“适合”或“不适合”）。

（3）小明很奇怪，就继续进行了进一步尝试，他在图6所示的平面直角坐标系中，取了A （-4,2）、B （1,5）、C （5,1）、D （1,-5）四个点，得到了四边形ABCD 。

通过计算他发现：用“S=21dh ”这一方法对图6中的四边形求面积__________（填“适合”或“不适合”）。

通过以上尝试，小明恍然大悟得出结论：当四边形满足_______________________
_______________________________条件时，四边形可以用“S=2
1dh ”来求面积。