高一数学函数单调性与奇偶性、指数函数统测
高一数学指数与指数函数试题答案及解析
高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.设函数（x）＝，则满足的的取值范围是（）．A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）【答案】D．【解析】当时，，，解得，因此，当时，，解得，因此，综上【考点】分段函数的应用．2.设函数则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，由，可得，即；当时，由，可得，即，综上.故选C【考点】函数的求值.3.已知定义在R上的函数满足，当时，，且.（1）求的值；（2）当时，关于的方程有解，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）由可知，代入表达式可求得的值.又，可求出的值；（2）由（1）可知方程为，对x进行讨论去绝对值符号，可得，据结合指数函数，二次函数的性质可求得的取值范围.试题解析：解：（1）由已知，可得又由可知 . 5分（2）方程即为在有解.当时，，令,则在单增，当时，，令,则，,综上： . 14分【考点】本题主要考查指数函数，二次函数求值域和分类讨论的数学思想方法.4.函数的图象必经过定点___________．【答案】【解析】∵指数函数过定点，∴函数过定点．【考点】函数图象．5.已知，，且，则与的大小关系_______.【答案】【解析】由，又由，所以，所以由可得，所以，，所以即.【考点】1.分数指数幂的运算；2.对数的运算；3.指数函数的单调性.6.函数在上的最大值比最小值大，则 .【答案】【解析】因为，根据指数函数的性质可知在单调递增，所以最大值为，最小值为，依题意有即，而，所以.【考点】指数函数的图像与性质.7.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把看成函数当时的函数值,因为,所以；把看成函数当时的函数值,因为,所以；把看成函数当时的函数值,因为 ,所以 .综上, ,故选B【考点】1、指数函数的性质；2、对数函数的性质.8.若，则__________．【答案】【解析】【考点】指数函数的运算法则9.已知，则的大小关系是．【答案】【解析】因为指数函数在R上单调递减，所以。
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
高中数学《函数的单调性与奇偶性》针对练习及答案
第二章 函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一 单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（ ） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-4．下列函数是偶函数且在(0，+∞)是增函数的是（ ） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-针对练习二 函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,7．函数()1x f x x在（ ）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习三 根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2x x -B ．2x x --C ．2x x -+D ．2x x +15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-针对练习四 根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（ ） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习五 根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（ ）A．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（ ）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（ ） A ．(1)(2)(3)f f f <-< B ．(3)(2)(1)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-针对练习六 根据单调性求参数26．设函数()()12f x a x b =-+R 上的增函数，则有（ ） A ．12a < B ．12a >C ．12a <-D ．12a >-27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤129．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭30．已知(32)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭针对练习七 根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．1 B ．-1 C ．13D ．232．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（ ） A ．1- B ．13C ．0D ．333．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．-234．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．235．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．1第二章 函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一 单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（ ） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断 【详解】对于A ，因为()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，但不单调，所以A 错误；对于B ，因为()66(66)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以66x x y -=-是奇函数，因为6x y =是增函数，6x y -=是减函数，所以66x x y -=-是增函数，所以B 正确；对于C ，因为22()()33()f x x x f x -=-+=+=，所以23y x =+是偶函数，所以C 错误； 对于D ，因为()()()11f x x x x x f x f x -=--+=-+≠-≠，所以1y x x =+是非奇非偶函数，所以D 错误． 故选：B2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（ ） A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为()()11f x f x x x-=-==--，所以函数是奇函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2121211211()()x xf x f x x x x x --=-+=，因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，所以A 正确，对于B ，因为定义域为{}0x x ≥，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以B 错误， 对于C ，因为定义域为R ，因为()()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以C 错误，对于D ，因为定义域为R ，因为()()3311()()f x x x f x f x -=-+=-+≠≠-，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以D 错误， 故选：A3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（ ） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-【答案】D 【解析】对于基本初等函数，直接判断其奇偶性和单调性. 【详解】选项A: sin y x =-为偶函数，故A 错误； 选项B: cos 2y x =为偶函数，故B 错误；选项C: tan y x =为奇函数但是在,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上单增，故C 错误；选项D: 3y x =-既是奇函数又是R 上单调递减. 故选：D4．下列函数是偶函数且在(0，是增函数的是（ ） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、二次函数、幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为指数函数不具有奇偶性，所以排除A 、D ，因为幂函数12y x =的定义域为非负实数集，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故排除， 二次函数2yx 图象关于纵轴对称，所以该二次函数是偶函数，它又在(0，+∞)单调递增， 故选：B5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-【答案】C 【解析】利用奇函数的定义和减函数的定义，再结合基本函数的性质求解即可 【详解】解：对于A ，D ，由指数函数和对数函数的性质可知其为非奇非偶函数，所以A ，D 不符合题意，对于B ，由反比例函数的性质可知，其为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，所以不符合题意，对于C ，由于33()2()2()f x x x f x -=--==-，所以3()2f x x =-为奇函数，任取12,x x R ∈，且12x x <，则120x x -<332121()()2(2)f x f x x x -=---33122()x x =- 221211222()()x x x x x x =-++222121232()[()]024x x x x x =-++< 所以21()()f x f x <，所以3()2f x x =-为R 上的减函数，所以C 符合题意， 故选：C针对练习二 函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B 【解析】 【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【详解】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B 7．函数()1x f x x在（ ）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】1111()1111111x x x f x xxxxx，函数的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞， 其图象如下：由图象可得函数在(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数. 故选：C8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数【答案】A 【解析】配方得二次函数的对称轴，然后判断． 【详解】2()(1)2f x x =--+，对称轴为1x =，二次项系数为10-<，因此()f x 在(,1]-∞上递增，在[1,)+∞上递减， 故选：A ．9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，【答案】C 【解析】根据解析式，先求出函数的定义域；再令22t x x =-+，结合二次函数单调性，以及. 【详解】因为22172024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭显然恒成立，所以函数()f x =R ；令22t x x =-+，则22t x x =-+是开口向上的二次函数，且对称轴为12x =，所以22t x x =-+在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增； 根据复合函数单调性的判定方法可得，()f x 12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求根式型复合函数的单调区间，属于基础题型.10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】由题得函数的定义域为{|12}x x -≤≤，设函数u u 在1]2[-1,单调递增，在1[2]2，单调递减， 因为函数1()2uv =在定义域上单调递减，所以函数12y ⎛= ⎪⎝⎭1[2]2，单调递增. 故选D 【点睛】和分析推理能力.针对练习三 根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x ---=，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】根据题意，设0x <，则0x ->， 则()21x f x ---=，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x -=-=-+-， 故选：D12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -【答案】A 【解析】设0x <，则0x ->，可得()23f x x -=--，利用偶函数的定义()()f x f x -=即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->， 所以()23f x x -=--，又()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()230f x x x =--<. 故选：A.13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】 【分析】直接利用代入法求函数解析式. 【详解】当0x >时，0x -<，所以()()2f x x f x -=+=-，所以()2f x x =--． 故选：C ．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x x - B ．2x x -- C ．2x x -+ D ．2x x +【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的等式()()f x f x -=-求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，x ∈R .当0x >时，0x -<，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦. 故选：D.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】根据奇函数的定义求函数值． 【详解】 ∵()f x 是奇函数，∵()()ln 1f e f e e -=-=-=-． 故选：A ．针对练习四 根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】首先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，根据单调性可得21x x -<，解绝对值不等式即可求解. 【详解】||()x f x e =，则()()xxf x ee f x --===，函数为偶函数，当0x ≥时，()x f x e =，所以函数在[)0,+∞单调递增， 所以函数在(),0-∞上单调递减， 若(21)()f x f x -<，则21x x -<，即23410x x -+<，解得113x <<，所以不等式的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞【答案】A 【解析】由函数y =f (x )在R 上单调递增，将2(1)(1)f m f m +<-+可化为211m m +<-+，解不等式可得答案 【详解】解：因为函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+， 所以211m m +<-+，解得10m -<<， 故选：A18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A 【解析】由偶函数的性质将不等式(1)(2)f a f -<转化为(1)(2)f a f -<，再由其在[0,)+∞是单调增函数，可得12a -<，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：因为()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且(1)(2)f a f -<， 所以(1)(2)f a f -<，因为函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数， 所以12a -<，解得13a -<<， 故选：A19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-【答案】A 【解析】根据单调性可得29m m >+，解出即可． 【详解】解：∵()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+， ∵29m m >+，解得9m >， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数的单调性解不等式，属于基础题． 20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（ ） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，并求得a 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+，2ln(1)y x =+和11y x=-+在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，而()f x 是偶函数，故()f x 在(),0-∞上递减.依题意313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，即33(log )(log )2(1)f a f a f +-≤，即332(log )2(1)(log )(1)f a f f a f ≤⇔≤，所以331log 11log 133a a a ≤⇔-≤≤⇔≤≤，所以a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D 【点睛】本小题主要考查解函数不等式，属于基础题.针对练习五 根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【详解】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误；C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确；D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误； 故选：C22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（ ）A ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】根据偶函数的性质可得(f f =，由函数的单调性可得函数值的大小关系. 【详解】根据偶函数的性质可知，(f f =当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，因为5π2<，所以5()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选:C. 【点睛】思路点睛：在比较函数值大小的题目中，主要根据函数的单调性进行判断.当自变量不在同一单调区间时，可以结合偶函数的性质将自变量x 转化为同一单调区间，再进行判断即可.23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A 【解析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（ ）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】A 【解析】首先判断出函数的单调性，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数在(,0]-∞上为增函数，又因为函数()f x 在R 上的偶函数，所以函数在[)0,+∞上为减函数，且()()f n f n -=， 因为11n n n -<<+，所以(1)()(1)f n f n f n ->>+. 所以(1)()(1)f n f n f n ->->+. 故选：A25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（ ） A ．(1)(2)(3)f f f <-< B ．(3)(2)(1)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<< D ．(3)(1)(2)f f f <<-【答案】B 【解析】由偶函数的性质将自变量转化到[)0+∞，上，再由函数在[)0+∞，上是减函数可比较大小 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以(2)(2)f f -=，因为()f x 在[)0+∞，上是减函数，且321>>， 所以(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<， 故选：B 【点睛】此题考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题针对练习六 根据单调性求参数26．设函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数，则有（ ） A ．12a < B ．12a >C ．12a <-D ．12a >-【答案】A 【解析】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，可得答案. 【详解】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，即12a < 故选：A27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可. 【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =- 函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-. 故选：A.28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤1【答案】C 【解析】利用用一次函数的单调性得到210a -<，再由二次不等式的解法，即可得解. 【详解】函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则210a -<， 解得11a -<<； 故选：C.29．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由2121()()0f x f x x x ->-可得函数()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，从而可求出a 的取值范围 【详解】解：因为()f x 对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，所以()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，解得513a <≤，所以a 的取值范围为51,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 30．已知(32)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1 B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的高低可得实数a 的取值范围. 【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，故选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，我们往往容易忽视后者.针对练习七 根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ）A ．1B ．-1C ．13 D ．2【答案】C【解析】【分析】若()y f x =，由奇偶性的性质有()()f x f x =-即可求参数a .【详解】若()y f x =，则()f x 23(13)x a x a =+--为偶函数，∵()()f x f x =-，即223(13)3()(13)()x a x a x a x a +--=-+---，∵2(13)0a x -=恒成立，可得13a =.故选：C32．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（ ）A ．1-B ．13 C ．0 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的奇偶性求得,a b ，从而求得a b +.【详解】由于()f x 是偶函数，所以0b =，且111233a a a a b -=-⇒=⇒+=.故选：B33．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．-2【答案】B【解析】【分析】利用函数为奇函数可得()()f x f x -=-，代入即可求解.【详解】取0x >，则0x -<，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()()222x m x x x -+-=--+， 整理可得2mx x -=-，即2m =.故选：B34．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】 根据奇函数的性质()00f =求解即可【详解】∵()f x 为R 上的奇函数，∵()00f =得a =1.验证满足题意.故选：C35．若函数()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，则a =（ ） A ．12B ．23C ．34D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得.【详解】 ∵()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，∵(1)(1)0f f -+=，得12a =． 故选：A.。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.设函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式的的取值范围是．【答案】.【解析】∵是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，∴在上单调递减，故不等式等价于或，∴的取值范围是.【考点】1.偶函数的性质；2.对数的性质.3.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当时，f(x)＝x＋sinx，则( )A．f(1)<f(2)<f(3)B．f(2)<f(3)<f(1)C．f(3)<f(2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(2)【答案】D【解析】由已知得函数关于对称，当时，是单调递增函数，当时函数是单调递减函数，比较1,2,3距离对称轴的远近得出,故选D.【考点】1.函数的对称性；2.函数的单调性.4.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A．；B．C．；D．【答案】D【解析】由题意知当时,函数,当时,函数,所以不等式的解为.故正确答案为D.【考点】1.函数的单调性、奇偶性;2.不等式的解5.对于定义在上的函数，有如下四个命题：①若，则函数是奇函数；②若则函数不是偶函数；③若则函数是上的增函数；④若则函数不是上的减函数．其中正确的命题有______________.（写出你认为正确的所有命题的序号）.【答案】②④【解析】①例如满足，但函数不是奇函数；故①错误②若则函数不是偶函数；正确③例如，，但函数在R上不是增函数；故③错误④若，则函数不是R上的减函数，正确所以填②④【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．6.设函数。
（Ⅰ）若且对任意实数均有成立,求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,当时,是单调函数,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据得出a，b关系，再在定义域上恒成立，可得a，b的值，从而得出表达式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可推出表达式，又为单调函数，利用二次函数性质求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）恒成立，知从而 .（6分）（Ⅱ）由（1）可知，由于是单调函数，知 .（12分）【考点】二次函数求解析式，单调区间求参量.7.若函数，在上单调递减，则a的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数，在上单调递减，令，则在区间上是单调递减函数，且恒成立，所以，解得.【考点】函数的单调性8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，那么当时，的递减区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则由已知得的定义域为，且为奇函数，当时，，所以当时，有，此时其单调递减区间为，而对于函数来说，其单调递减区间为.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数图像的平移.9.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.10.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数开口向上，对称轴为，且函数在为减函数，所以，解得．故答案为．【考点】二次函数的单调性11.若那么下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；结合函数的单调性可知，结合的单调性可知成立【考点】比较大小点评：题目中比较大小借助于函数单调性将要比较的函数值关系转化为自变量关系12.已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是 .【答案】【解析】根据题意，由于函数在区间内恒有，即可知,因此可知外层的对数函数得到递增，那么内层是二次函数，定义域为,因此可知内层的减区间即为所求，开口向上，对称轴x=1，可知就是减区间，故答案为【考点】对数函数单调性点评：解决的关键是对于对数函数的值域的理解和运用，以及复合函数单调性的判定，属于基础题。
高中高一数学1知识点：指数函数、函数奇偶性
高中高一数学1知识点：指数函数、函数奇偶性数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
以下是查字典数学网为大伙儿整理的高一数学必修1知识点，期望能够解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
指数函数的一样形式为，从上面我们关于幂函数的讨论就能够明白，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小阻碍函数图形的情形。
能够看到：(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，那个地点的前提是a大于0，关于a不大于0的情形，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形差不多上下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意差不多一致。
(5)能够看到一个明显的规律，确实是当a从0趋向于无穷大的过程中(因此不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
高一数学函数的奇偶性试题
高一数学函数的奇偶性试题1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.若函数的图像关于原点对称，则。
【答案】【解析】试题分析:由题意知恒成立,即即恒成立，所用【考点】奇函数的应用.4.已知函数为奇函数,且当时,,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵为奇函数，∴．【考点】函数的性质．5.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．6.已知偶函数满足，且当时，，则．【答案】2【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以【考点】函数奇偶性周期性7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， .【答案】【解析】解:由题意得:当时,时,设时,则,又是定义在上的奇函数,时,【考点】本题考查了奇偶性的应用.8.函数为定义在Ｒ上的奇函数，当上的解析式为＝．【答案】【解析】设，则，所以；因为函数是奇函数，所以所以，当时，【考点】函数奇偶性的性质.9.函数f(x)＝x5＋x3的图象关于()对称()．A．y轴B．直线y＝x C．坐标原点D．直线y＝－x【答案】C【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。
高一数学函数的奇偶性试题
高一数学函数的奇偶性试题1.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【答案】B.【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.2.设函数 ()．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）根据偶函数定义，得到，平方后可根据对应系数相等得到a的值，也可将上式两边平方得恒成立，得a的值。
（2）应先去掉绝对值将其改写为分段函数，在每段上求函数在时的最小值，在每段求最值时都属于定轴动区间问题，需讨论。
最后比较这两个最小值的大小取最小的那个，即为原函数的最小值。
要使恒成立，只需的最小值大于等于1即可，从而求得a的范围试题解析：（1）若的为偶函数，则,，故，两边平方得，展开时，为偶函数。
（2）设，①求,即的最小值：若，；若，②求,即的最小值,比较与,的大小：，故“对恒成立”即为“（）”令，解得。
【考点】奇偶性，恒成立问题3.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．4.若函数是奇函数，则为A．B．C．D．【答案】B【解析】由于函数是奇函数，即所以，故选：B.【考点】函数的奇偶性5.已知函数是偶函数，定义域为，则( )A．B．C．1D．-1【答案】C【解析】因为函数是定义在的偶函数，所以，，可得，所以，所以，函数是二次函数，且是偶函数，所以，有，所以，答案选.【考点】函数奇偶性的性质.6.为R上的偶函数，且当时，，则当时，___________.【答案】x(x+1)【解析】因为，为R上的偶函数，所以，。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．4.已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为（）．A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】令，则，解得；又因为为偶函数，所以当时，，则或；当时，，方程无解；，方程有两解；，方程有一解；，方程有一解；即当时，有四解，由偶函数的性质，得当时，也有四解；综上，有8解.【考点】函数的性质、方程的解.5.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.6.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.7.已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；(3)【解析】（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为为偶函数，所以，即对于任意恒成立.于是恒成立,而不恒为零，所以. 4分（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为，由，则，所以的取值范围是 . 8分（3）由题意知方程有且只有一个实数根．令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.若，则，不合题意, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或；但，不合题意，舍去；而；若方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是． 12分【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.8.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．9.定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.【答案】【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故.【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式.10.已知是定义在上的奇函数，当时，,那么的值是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.【考点】奇函数的定义.11.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．12.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。
高一数学知识点：指数函数与函数奇偶性
高一数学知识点：指数函数与函数奇偶性高中频道为各位同学整理了高一数学知识点：指数函数与函数奇偶性，供大家参考学习。
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如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)显然指数函数无界。
奇偶性注图：(1)为奇函数(2)为偶函数1.定义一般地，对于函数f(x)(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2.奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
高三数学函数的奇偶性、单调性、反函数、指数和对数函数的性质
高 三 数 学---函数图象与性质【教学内容】函数的奇偶性、单调性、反函数、指数和对数函数的性质。
【教学目标】1、要正确理解奇函数和偶函数的定义。
由定义可知函数y=f(x)是奇函数或偶函数的必要条件是：定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义是制定函数奇偶然性的依据，但有时为了便于判断，需将函数进行变形，化简或利用定义的等价形式： f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔)()(x f x f -=-1 (f(x)≠0)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔)()(x f x f -=-1 (f(x)≠0)另外，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦成立，因此也可以利用函数图象去制定函数的奇偶性。
2、函数的单调性区间是其定义域的子集，因此讨论函数单调性时应先确定函数的定义域。
利用定义证明函数的增减性时，要注意证题过程的书写要严密，先设x 1<x 2，再作差f(x 1)-f(x 2)因式分解或变形，最后判断f(x 1)-f(x 2)的符号，从而证得增减性。
若直接判断f(x 1)-f(x 2)的正负较困难时，也可采用分析法，另外要熟练掌握复合函数单调性的判定，设y=f(u)、u=g(x)，x ∈[a,b], u ∈[m,n]若外函数y=f(u)是增函数，则y=f[g(x)]的单调性与内函数u=g(x)的单调性一致；若外函数y=f(u)是减函数，则y=f[g(x)]的单调性与内函数u=g(x)的单调性相反。
3、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此求反函数时它的定义域不能由解析式直接得到，而要由原函数的值域求得。
求y=f(x)的反函数通常分三个步骤来进行1°确定原函数的值域，它就是反函数的定义域。
2°由y=f(x)反解x 得x=f -1(y)，3°交换x 、y 的位置求得反函数y=f -1(x)。
若y=f(x)是分段函数，也应分段来求反函数，最后仍然写成分段函数的形式。
高一上学期 第一次月考试卷 必修一(函数性质、指数函数与对数函数)数学测试
必修一（函数性质、指数函数与对数函数）测试（时间：100分钟 满分：150分）一、选择题：（每小题5分，共10小题，共50分）1．已知函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点p ，则p 的坐标是（ ）A ．(1,5)B ．(1,4)C ．(0,4)D ．(4,0)2．若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞内递减，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥3．使不等式31220x -->成立的x 的取值范围是（ ）A ．3(,)2+∞B ．2(,)3+∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-+∞4．函数2(232)xy a a a =-+是指函数，则a 的取值范围是（ ） A ．0,1a a >≠B ．1a =C ．12a =D ．1a =或12a =5．设0x >，且1xxa b <<，,0a b >，则a 、b 的大小关系是（ ） A ．1b a <<B ．1a b <<C ．1b a <<D ．1a b <<6．已知()lg f x x =，则1()4f 、1()3f 、(2)f 大小关系为（ ） A ．11(2)()()34f f f >> B ．11()()(2)43f f f >> C ．11(2)()()43f f f >>D ．11()()(2)34f f f >>7．若()f x 是偶函数，它在[0,]+∞上是增函数，且(lg )(1)f x f >，则x 的取值范围是（ ） A ．1(,1)10B ．1(0,)(1,)10+∞ C ．1(,10)10D ．(0,1)(10,)+∞8．函数lg(1)y x =-的图象是（ ）9．若(ln )34f x x =+，则()f x 的表达式为（ ） A ．3ln xB ．3ln 4x +C ．34xe + D ．3xe10．设a ，b ，c 都是正数，且346abc==，则下列正确的是（ ）A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 二、填空题：（每小题5分，共6小题，共30分）11．若函数()f x 的定义域为[1,3]，则(21)f x -的定义域为__________． 12．当[1,1]x ∈-时，函数()32xf x =-的值域为__________．13．已知函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数，当(,0)x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当(0,)x ∈+∞时，()f x =__________． 14．函数y =__________．15．已知函数2(3),()(1)(3),x x f x f x x -⎧≥=⎨+<⎩则2(log 3)f =__________．16．函数212()log (2)f x x x =的单调递增区间是__________．三、解答题：（本大题共70分）17．计算（每小题4分，共16分）（1）．160.2502164()8(2005)49+---（2）．若11223x x +=，求33222232x x x x -+-+-的值． （3）．2lg5+（4）．33228log 51(lg 2)(lg 5)log 10log 10++⋅18．（10分）已知()9234x xf x =-⨯+,[1,2]x ∈-，求()f x 的最大值与最小值．19．（12分）已知1()log (01a xf x a x+=>-且1)a ≠（1）求()f x 的定义域． （2）判断()f x 的奇偶性（3）求使()0f x >的x 的取值范围．20．（12分）已知函数1()21x f x a =-+ （1）求证：不论a 为何实数，()f x 在R 上总为增函数；（2）确定a 的值，使()f x 为奇函数． 21．（12分）已知函数()y f x =的定义域为R ，对任意x ，y R ∈，均有()()()f x y f x f y +=+，且对任意0x >都有()0f x <，(1)1f =-． （1）判断()y f x =的奇偶性，并证明；（2）试证明：函数()y f x =在R 上是单调函数；（3）解不等式(3)(4)2f x f x ++≤．22．（8分）已知2()(43)2()f x a x x a a R =--+∈，求()f x 在[0,1]上的最大值．。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【解析】设，则，又是定义在上的奇函数，则，故填.【考点】函数的奇偶性.2.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=________【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x).又因为的图象关于直线对称.所以f(x)=f(1-x).所以由上两式可得f(1-x)=-f(-x)即f(-x)="-" f(1-x)=f(2-x).所以函数是一个周期为2的函数.所以.又因为函数是R上的奇函数所以，.所以填0.【考点】1.函数的周期性.2.函数的对称性.3.函数的奇偶性.3.已知偶函数满足，且当时，，则．【答案】2【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以【考点】函数奇偶性周期性4.已知函数，下列叙述（1）是奇函数；（2）是奇函数；（3）的解为（4）的解为；其中正确的是________（填序号）．【答案】（1）（3）【解析】这类问题，必须对每个命题都判断其真假，根据的解析式，显然对任意的都有，即是奇函数，（1）正确；当然此时函数是偶函数，（2）错误；对（3）按照分类讨论，可解得不等式的解是，（3）正确；而对不等式来讲，时，不等式就不成立，故（4）错误．填（1）（3）．【考点】分段函数，函数的奇偶性，分类讨论.5.已知是定义在上的偶函数，那么=【答案】【解析】是定义在上的偶函数，因为偶函数定义域关于原点对称，，又由偶函数关于轴对称得：，所以【考点】偶函数的性质应用6.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.【答案】【解析】把转化为，利用偶函数的定义即可得所求.试题解析：时，.所以，.因为是是定义在上的偶函数，所以.【考点】偶函数，转化与化归思想7.定义在上的奇函数,当时,,则方程的所有解之和为．【答案】【解析】利用奇函数的图象关于原点对称的性质，通过观察图象可知方程的解是及的解的相反数.试题解析：作出时的图象，如下所示：方程的解等价于的图象与直线的交点的横坐标，因为奇函数的图象关于原点对称，所以等价于（）的图象与直线的交点的横坐标和（）的图象与直线的交点的横坐标的相反数，.由得.所以方程的所有解之和为.【考点】奇函数，方程与函数思想8.函数f(x)＝x5＋x3的图象关于()对称()．A．y轴B．直线y＝x C．坐标原点D．直线y＝－x【答案】C【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。
函数的奇偶性、指数函数、对数函数-高考数学专题复习
函数的奇偶性、指数函数、对数函数知识精要一、函数的奇偶性一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,且D 关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x ，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
奇偶函数图像的特征定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y 轴的轴对称图形。
f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
高中数学函数的奇偶性与单调性练习试题
函数的奇偶性与单调性一．选择题1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）2．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＞f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）3．若函数y=f（x）+cosx在[﹣]上单调递减，则f（x）可以是（）A．1 B．﹣sinx C．cosx D．sinx4．已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ） B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ） D．f（sinα）＜f（cosβ）5．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）6．若xlog5A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0二．填空题7．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x ∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．8．设f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＜0的解集是．9．奇函数f（x）的定义域为（﹣5，5），若x∈[0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为．10．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是．11．如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sin x﹣cos x）；③y=e x+1；④f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为．12．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．13．13．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是．14．已知函数为减函数，则a的取值范围是．15．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1．若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是．三．解答题16．对于函数，定义．已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0；当x＞0，且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），并求出函数y=g（x）的解析式；（2）若存在实数a，b（a＜b）使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．17．已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x＜0时的表达式．18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式．19．已知函数f（x）=kx+log（9x+1）（k∈R）是偶函数．9（1）求k的值；（a•3x﹣a）的图象与f（x）的图象有且只有一个公（2）若函数g（x）=log9共点，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R，e=2.71828…）（Ⅰ）求证：函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．21．已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解？22．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域．23．已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣a•2﹣x为奇函数．（1）求a的值，并判断f（x）的单调性（不用给证明）；（2）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．24．如果奇函数f（x）是定义域（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围．25．已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．27．已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣2x （Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．28．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；（3）若函数g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f （4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．29．已知函数f（x）=的定义域上的奇函数，且f（2）=﹣，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明（Ⅲ）若g（2a）＞g（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．（1﹣x）．30．己知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=21og2（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：函数g（x）在（0，1）上是减函数；（3）若关于x的方程f（2x）=m有解，求实数m的取值范围．函数的奇偶性与单调性参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．2．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＞f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【分析】由f（x）为R上的减函数便可根据条件得出，这样解该不等式即可得出实数x的取值范围．【解答】解：∵f（x）为R上的减函数；∴由得：；解得x＜1，或x＞2；∴x的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故选D．【点评】考查减函数的定义，根据减函数定义解不等式的方法，以及分式不等式的解法．3．若函数y=f（x）+cosx在[﹣]上单调递减，则f（x）可以是（）A．1 B．﹣sinx C．cosx D．sinx【分析】显然y=cosx在上没有单调性，从而说明y=1+cosx和y=2cosx在[]上没有单调性，即说明选项A，C错误．而f（x）=﹣siinx 时，可以得到y=，可换元令=t，，可以说明在[]上单调递减，从而得出选项B正确，同样的方法说明选项D错误．【解答】解：A．若f（x）=1，则y=1+cosx，显然cosx在[]上没有单调性；∴y=1+cosx在[]上没有单调性，即该选项错误；B．若f（x）=﹣sinx，则y=﹣sinx+cosx=﹣sin（）；令，，则：sint在上单调递增；∴y=在上单调递减；∴y=﹣sinx+cosx在[]上单调递减，即该选项正确；C同A，可说明C选项错误，D同B可说明D选项错误．故选B．【点评】考查正、余弦函数的单调性，根据图象判断函数单调性的方法，要熟悉正余弦函数的图象，以及换元法判断函数单调性．4．已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）【分析】由“奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数”可知f（x）在[0，1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β＞，转化为＞α＞﹣β＞0，两边再取正弦，可得1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，由函数的单调性可得结论．【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴＞α＞﹣β＞0，∴1＞sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ），故选：D．【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性．属中档题．5．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】通过变形可知f（x）=1++sinπx，进而可知当x∈[0，1）时，函数g（x）=+sinπx满足g（2﹣x）=﹣g（x），由此可知在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，利用对称性即得结论．【解答】解：f（x）=x=1++sinπx，记g（x）=+sinπx，则当x∈[0，1）时，g（2﹣x）=+sinπ（2﹣x）=﹣sinπx，即在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，∴m+n=2，故选：D．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2017•广西一模）若xlog52≥﹣1，则函数f（x）=4x﹣2x+1﹣3的最小值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0【分析】由条件求得x≥﹣log25，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3，由二次函数的最值求法，即可得到最小值．【解答】解：xlog52≥﹣1，即为x≥﹣log25，2x≥，令t=2x（t≥），即有y=t2﹣2t﹣3=（t﹣1）2﹣4，当t=1≥，即x=0时，取得最小值﹣4．故选：A．【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共9小题）7．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x ∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于 1 ．【分析】根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．【解答】解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．设f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，则x•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（0，3）．【分析】由x•f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式x•f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，又∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴x•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（0，3）故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．【点评】考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．9．（2017•陕西校级模拟）奇函数f（x）的定义域为（﹣5，5），若x∈[0，5）时，f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f（x）在（﹣5，0]上的图象，这样根据f（x）在（﹣5，5）上的图象便可得出f（x）＜0的解集．【解答】解：根据奇函数的图象关于原点对称得出f（x）在（﹣5，0]上的图象如下所示：∴f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，5）．故答案为：（﹣2，0）∪（2，5）．【点评】考查奇函数的概念，奇函数图象的对称性，由函数图象解不等式f（x）＜0的方法．10．设f（x）的定义域为D，f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f（x）=为闭函数，那么k的取值范围是．【分析】函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，因此若函数f（x）=为闭函数，则可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）．因此方程k=x﹣在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b．最后采用换元法，讨论二次函数的单调性，可得f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．【解答】解：∵k是常数，函数y=是定义在[，+∞）上的增函数，∴函数f（x）=是[，+∞）上的增函数，因此，若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．可得函数y=f（x）的图象与直线y=x相交于点（a，a）和（b，b）（如图所示）∴，可得方程k=x﹣在[，+∞）上有两个不相等的实数根a、b令t=，得x=，设函数F（x）═x﹣=g（t），（t≥0）即g（t）=t2﹣t﹣，在t∈[0，1]时，g（t）为减函数﹣1≤g（t）≤；在t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数g（t）≥﹣1；∴当时，有两个不相等的t值使g（t）=k成立，相应地有两个不相等的实数根a、b满足方程k=x﹣，当f（x）=为闭函数时，实数k的取值范围是：．故答案为：【点评】本题以含有根式的函数为例，探求函数为闭函数时参数k的取值范围，着重考查了函数的单调性、换元法讨论二次函数等知识点，属于中档题．11．如果对定义在R上的函数f（x），以任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=﹣x3+x+1；②y=3x﹣2（sin x﹣cos x）；③y=e x+1；④f（x）=以上函数是“H函数”的所有序号为②③．【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．对于①y=﹣x3+x+1；y′=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调；对于②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件；对于③y=e x+1为增函数，满足条件；④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．13．若函数f（x）=|e x+|在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【分析】可看出，为去掉绝对值号，需讨论a：（1）a＞0时，得出，求导数，根据题意f′（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，从而得到a≥e2x在x∈[0，1]上恒成立，从而得出a≥e2；（2）a=0时，显然不满足题意；（3）a＜0时，可看出函数在R上单调递增，而由可解得，从而得出f（x）在上单调递减，从而便可得出，这又可求出一个a的范围，以上a的范围求并集便是实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＞0时，，；∵f（x）在[0，1]上单调递减；∴x∈[0，1]时，f′（x）≤0恒成立；即x∈[0，1]时，a≥e2x恒成立；y=e2x在[0，1]上的最大值为e2；∴a≥e2；（2）当a=0时，f（x）=e x，在[0，1]上单调递增，不满足[0，1]上单调递减；∴a≠0；（3）当a＜0时，在R上单调递增；令得，；∴f（x）在上为减函数，在上为增函数；又f（x）在[0，1]上为减函数；∴；∴a≤﹣e2；∴综上得，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣e2]∪[e2，+∞）．【点评】本题考查指数函数的值域，函数单调性和函数导数符号的关系，考查增函数和减函数的定义、反比例函数的单调性、以及对数的运算性质．14．已知函数为减函数，则a的取值范围是（0，] ．【分析】由题意可知，y=a x递减，y=（a﹣3）x+4a递减，且a0≥（a﹣3）×0+4a，由此可得关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：因为函数f（x）为减函数，所以y=a x递减，y=（a﹣3）x+4a递减，且a0≥（a﹣3）×0+4a，所以，解得0＜a，故答案为：（0，]．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．15．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（﹣1）=﹣1．若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，则当a∈[﹣1，1]时，t的取值范围是t≤﹣2或t=0或t≥2 ．【分析】有f（﹣1）=﹣1得f（1）=1，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，只需要比较f（x）的最大值与t2﹣2at+1即可．【解答】解：若函数f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，由已知易得f（x）的最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1⇔2at﹣t2≤0，设g（a）=2at﹣t2（﹣1≤a≤1），欲使2at﹣t2≤0恒成立，则⇔t≥2或t=0或t≤﹣2．答案：t≤﹣2或t=0或t≥2【点评】本题把函数的奇偶性，单调性与最值放在一起综合考查，是道函数方面的好题．三．解答题（共15小题）16．对于函数，定义．已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0；当x＞0，且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），并求出函数y=g（x）的解析式；（2）若存在实数a，b（a＜b）使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据函数关系进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．【解答】解：（1）因为，故对任意的n∈N•，有f3n+i （x）=fi（x）（i=2，3，4），于是；．．由g（x）为偶函数，．．…（6分）（2）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0；进而g（x）在[a，b]递减，且a ＜b＜0．…（8分）函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有…（10分）故a，b是方程的两个不相等的负实数根，即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，于是…（12分）综合上述，得：实数m的取值范围为．…（14分）注：若采用数形结合，得出直线y=mx与曲线有两个不同交点，并进行求解也可．【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查学生的运算和推理能力．17．已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=﹣x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x＜0时的表达式．【分析】（1）根据f（1）=f（3）得函数图象关于直线x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值．（2）当x＜0时，﹣x是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f（﹣x）的式子，再结合f（x）是奇函数，取相反数即可得到f（x）在x＜0时的表达式．【解答】解：（1）∵f（1）=f（3），∴函数图象的对称轴x==2，得b=4又∵f（2）=﹣4+4×2+c=2，∴c=﹣2（2）由（1）得当x＞0时f（x）=﹣x2+4x+2，当x＜0时，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+4（﹣x）+2=﹣x2﹣4x+2，∵f（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=x2+4x﹣2．【点评】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x＜0时的表达式．着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法，属于基础题．18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．（1）求f（0），f（1）；（2）求函数f（x）的解析式．【分析】（1）利用函数的奇偶性的性质，求解函数值即可．（2）利用函数的奇偶性以及已知条件真假求解函数的解析式即可．【解答】解：（1）f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=log（1+1）=﹣1．（2）f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log（1﹣x）．x＞0时，f（x）=f（﹣x）=log（1+x）．可得：f（x）=．【点评】本题考查函数的性质，函数值以及函数的解析式的求法，考查计算能力．19．已知函数f（x）=kx+log9（9x+1）（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数g（x）=log（a•3x﹣a）的图象与f（x）的图象有且只有一个公9共点，求a的取值范围．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解．（2）根据函数g（x）和f（x）图象的交点个数进行讨论求解．（9﹣x+1）【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴由f（﹣x）=f（x）得﹣kx+log9=kx+log（9x+1），9整理得；（2）由题意知，方程只有一解，即有且只有一个实根，令t=3x，则t∈（0，+∞），从而方程有且只有一个正实根t，当a﹣1=0时，（舍去），当a﹣1≠0时，若判别式△=0，即+4a﹣4=0，即4a2+9a﹣9=0得a=﹣3或a=，当a=时，t＜0，不满足条件．舍去，若△＞0，则t1t2＜0，得，则a＞1，从而所求a的范围是{﹣3}∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数图象的应用，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．考查学生的运算能力．20．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R，e=2.71828…）（Ⅰ）求证：函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）的关系，即可得证；（Ⅱ）f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0，即为f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x），判断f（x）在R上递增，去掉f，运用参数分离，求得右边二次函数的最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）证明：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），即有函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0，即为f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（t﹣x），由f（x）=e x﹣e﹣x在R上为增函数，可得x2﹣t2≥t﹣x，即有t2+t≤x+x2，由x+x2=（x+）2﹣，可得t2+t≤﹣，即有（t+）2≤0，但（t+）2≥0，则t=﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和运用：解不等式，考查恒成立问题的解法，注意运用函数的性质和参数分离，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．21．已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解？【分析】（1）利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（2）根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明．（3）根据函数奇偶性和单调性的关系求出函数在（﹣1，1）上的值域即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），则f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）=﹣．x∈（﹣1，0），故函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式为f（x）=；（2）设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵0＜x1＜x2＜1，∴＞2，﹣2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）在（0，1）上的单调递减；（3）∵f（x）在（0，1）上的单调递减，∴当0＜x＜1时，f（1）＜f（x）＜f（0），即＜f（x）＜，∵f（x）是奇函数，∴当﹣1＜x＜0时，﹣＜f（x）＜﹣，∵f（0）=0，∴在（﹣1，1）上函数f（x）的取值范围是（，）∪（﹣，﹣）∪{0}，则若方程f（x）=λ在上（﹣1，1）有实数解，则λ∈（，）∪（﹣，﹣）∪{0}．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的判断和应用，利用定义法以及函数单调性和值域之间的关系是解决本题的关键．22．（）已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域．【分析】（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，则f（0）=0，代入解析式可求出a的值；（2）由（1）知，所以f（x）为增函数，任取x1＜x2∈R，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，根据函数单调性的定义即可判定；（3）令，求出2x，根据2x的范围可求出y的范围，从而求出函数的值域．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，∴a=1（2）由（1）知，所以f（x）为增函数证明：任取x1＜x2∈Rf（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=∵x1＜x2∈R∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）为R上的增函数．（3）令则而2x＞0∴∴﹣1＜y＜1所以函数f（x）的值域为（﹣1，1）【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题．23．已知定义在R上的函数f（x）=2x﹣a•2﹣x为奇函数．（1）求a的值，并判断f（x）的单调性（不用给证明）；（2）t为实数，且f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切实数x都成立，求t的值．【分析】（1）根据奇函数的性质：f（0）=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f（x）的单调性；（2）由奇函数f（x）的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2x﹣a•2﹣x为奇函数，∴f（0）=0，则1﹣a=0，解得a=1，即f（x）=2x﹣2﹣x=2x﹣，∵函数y=2x、y=﹣在定义域上是增函数，∴f（x）=2x﹣在R上单调递增；（2））∵f（x）是奇函数，且在R上是增函数，∴f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0化为：f（x2﹣t2）≥﹣f（x﹣t）=f（﹣x+t），∴x2﹣t2≥﹣x+t，则x2+x﹣t2﹣t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12﹣4×1×（﹣t2﹣t）≤0，则（2t+1）2≤0，解得t=，∴t的值是．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．24．如果奇函数f（x）是定义域（﹣1，1）上的减函数，且f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围．【分析】根据定义域先建立两个不等关系式，再结合函数的单调性和奇偶性建立关系式，解之即可．【解答】解：因为函数f（x）的定义域是（﹣1，1）所以有﹣1＜1﹣m＜1 ①﹣1＜1﹣m2＜1 ②又f（x）是奇函数，所以f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0可变为f（1﹣m）＞f（m2﹣1）又f（x）在（﹣1，1）内是减函数，所以1﹣m＜m2﹣1 ③由①、②、③得．【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用，以及不等式的求解，属于中档题．25．已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．【分析】（1）由题意可得，，由此解不等式组求得m的范围．（2）由题意可得f（x+1）＞f（﹣2），所以，即可得出结论．【解答】解：由题意可得，，求得﹣1≤m＜2，即m的范围是[﹣1，2）．（2）∵函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，∵f（x+1）+1＞0，∴f（x+1）＞﹣1，∴f（x+1）＞f（﹣2），∴，∴﹣3＜x≤2．∴不等式的解集为{x|﹣3＜x≤2}．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键，属于中档题．26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由a＞b，得，所以f（a）+f（﹣b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．（2）由f（x）在R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数最值即可解决．【解答】解：（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有．∴，∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴f（a）+f（﹣b）＞0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）﹣f（b）＞0，∴f（a）＞f（b）；（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又f（9x﹣2•3x）+f（2•9x﹣k）＞0，得f（9x﹣2•3x）＞﹣f（2•9x﹣k）=f （k﹣2•9x），故9x﹣2•3x＞k﹣2•9x，即k＜3•9x﹣2•3x，令t=3x，则t≥1，所以k＜3t2﹣2t，而3t2﹣2t=3﹣在[1，+∞）上递增，所以3t2﹣2t≥3﹣2=1，所以k＜1，即所求实数k的范围为k＜1．【点评】本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．27．已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣2x （Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．【分析】（I）根据题意得，f（﹣1）=﹣f（1），结合当x＞0时，f（x）=﹣2x 即可求出f（﹣1）；（II）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，f（﹣x）=﹣2﹣x，由函数f（x）是奇函数，知f（x）=+2﹣x，由此能求出f（x）的解析式．（III）由f（1）=﹣＜f（0）=0且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．【解答】解：（I）f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（﹣2）=；（II）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣﹣2﹣x，又∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=+2﹣x，综上所述f（x）=．（III）∵f（1）=﹣＜f（0）=0，且f（x）在R上单调，∴f（x）在R上单调递减，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），又∵f（x）是减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，∴△=4+12k＜0得k＜﹣，即为所求．【点评】本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，同时注意函数性质的灵活运用．28．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）解不等式：f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0；（3）若函数g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，比较f（2）+f （4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．（3）根据函数单调性的性质结合对数函数的运算法则进行求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数．…1分证明如下：由，解得x＜﹣1或x＞1，所以函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）…2分对任意的x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），有，所以函数f（x）为奇函数．…4分（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则==，…5分因为 x2＞x1＞1，所以 x1•x2+x2﹣x1﹣1＞x1•x2﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，所以，所以 f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减；…7分由f（x2+x+3）+f（﹣2x2+4x﹣7）＞0得：f（x2+x+3）＞﹣f（﹣2x2+4x﹣7），即f（x2+x+3）＞f（2x2﹣4x+7），又，2x2﹣4x+7=2（x﹣1）2+5＞1，所以 x2+x+3＜2x2﹣4x+7，…9分解得：x＜1或x＞4，所以原不等式的解集为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．…10分（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．理由如下：…11分因为，所以 f（2）+f（4）+…+f（2n）﹣2n=ln（2n+1）﹣2n=ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]，…13分又 g（x）=lnx﹣（x﹣1）在（1，+∞）上单调递减，所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，所以 g（2n+1）＜0，…15分即 ln（2n+1）﹣[（2n+1）﹣1]＜0，故 f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．…16分【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及不等式的求解，结合对数的运算法则是解决本题的关键．29．已知函数f（x）=的定义域上的奇函数，且f（2）=﹣，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明（Ⅲ）若g（2a）＞g（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），可得n，利用f（2）=﹣，求出m，即可求函数f（x）的解析式（Ⅱ）利用导数判断证明判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性；（Ⅲ）确定g（x）为奇函数，g（2）=g（1）+g（1）=2，g（2a）＞g（a﹣1）+2，化为g（2a）＞g（a+1），利用函数g（x）是R上的增函数，可得不等式，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由定义域为R的函数f（x）=是奇函数，可得=﹣，即n+3x=﹣n+3x，解得n=0，∵f（2）=﹣，∴=﹣，∴m=2，∴f（x）=；（Ⅱ）函数f（x）在（1，+∞）上单调递减．∵f（x）==﹣（x+），∴f′（x）=﹣，∵x＞1，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；（Ⅲ）令x=y=0，得g（0）=0，令y=﹣x，可得g（0）=g（x）+g（﹣x），∴g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，∵g（1）=1，∴g（2）=g（1）+g（1）=2，∵g（2a）＞g（a﹣1）+2，∴g（2a）＞g（a+1），∵函数g（x）是R上的增函数，∴2a＞a+1，∴a＞1．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断及应用：解不等式，考查二次不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．30．己知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=21og（1﹣x）．2（1）求函数f（x）及g（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：函数g（x）在（0，1）上是减函数；（3）若关于x的方程f（2x）=m有解，求实数m的取值范围．（1+x），【分析】（1）根据f（x），g（x）的奇偶性便有﹣f（x）+g（x）=2log2联立f（x）+g（x）=2log（1﹣x）便可解出f（x）=，g（x）=；2（2）根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，然后作差，可以得出，根据对数函数的单调性便可得出g（x1）＞g（x2），从而得出g（x）在（0，1）上单调递减；（3）求出，根据1﹣2x＞0便可得出1+2x的范围，从而得出﹣1+的范围，根据对数函数的单调性便可得出f（2x）的范围，从而便可得出m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意：f（﹣x）+g（﹣x）=2log2（1+x）；∴﹣f（x）+g（x）=2log2（1+x），联立f（x）+g（x）=2log2（1﹣x）得：f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=，g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）=；即；（2）设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：；∵0＜x1＜x2＜1；∴；∴；∴；∴g（x1）＞g（x2）；∴g（x）在（0，1）上是减函数；（3）；∵1﹣2x＞0；∴0＜2x＜1；∴；∴；∴f（2x）＜0；∴m＜0；∴m的取值范围为（﹣∞，0）．【点评】考查奇函数、偶函数的定义，对数的运算，以及减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较g（x1），g（x2），对数函数的单调性，分离常数法的运用．。
奇偶性与单调性及典型例题
奇偶性与单调性及典型例题函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场(★★★★)设a>0,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数.案例探究［例1］已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果"赋值"不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.∴f(x)在(－1，1)上为减函数.［例2］设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设0<x1<x2,则－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数y=()的单调减区间是［，+∞］结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的"磁场"及"训练"认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )A.f(x)=(x－1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.(★★★★★)函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题3.(★★★★)函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.4.(★★★★★)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),［x2,+∞上单调递增，则b的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)已知函数f(x)=ax+ (a>1).(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.6.(★★★★★)求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.7.(★★★★)设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.(★★★★★)已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1(2)证法一：设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0,∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2)∴f(x)在(0,+∞)上是增函数证法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).当x∈(0,+∞)时，e－x>0,e2x －1>0.此时f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上递减.答案：(－∞,－14.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0）三、5.证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, >1且>0,∴>0,又x1+1>0,x2+1>0∴>0,于是f(x2)－f(x1)=+ >0∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则>0, >0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明：∵x≠0,∴f(x)=,设1＜x1＜x2＜+∞,则.∴f(x1)>f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0,∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,∴f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的"f"号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去"f"号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x<,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.［例2］已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2<m<4+2,4－2<m≤2.当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)对任意x∈R 都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (x∈R)f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1.(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1.7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤},求函数g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由且x≠0,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即A={x|2<x< },∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x< },又g(x)=－3x2+3x－4=－3(x－)2－知：g(x)在B上为减函数，∴g(x)max=g(1)=－4.［例2］已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0, ］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f(x)是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m),即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正.∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0 m>1与m<0不符；当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－2 <m<4+2 ,4－2 <m≤2.当>1,即m>2时，g(1)=m－1>0 m>1.∴m>2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2 .●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,a的取值范围是( )A.(2 ，3)B.(3，)C.(2 ，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较f( ),f( ),f(1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f(x)= (a∈R)是R上的奇函数，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x);(3)对任意给定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg .7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f(x)满足f(m－sinx)≤f( －+cos2x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.8.(★★★★★)已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0∴不等式可化为log2(x2+5x+4)≥2 ①或log2(x2+5x+4)≤－2 ②由①得x2+5x+4≥4∴x≤－5或x≥0 ③由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤④由③④得原不等式的解集为{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}歼灭难点训练一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f(x)是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴∴a∈(2 ,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf(x)＜0∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－),f( )=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－>－>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).答案：f( )＜f( )＜f(1)三、5.解：函数f(x)在(－∞,0）上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a=1.(2)f(x)= (x∈R) f－-1(x)=log2 (－1＜x＜1 .(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .7.解：，对x∈R恒成立,∴m∈［,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ .(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1－,－2 )关于(1，0)对称.。
指数函数、对数函数专题三单调性、奇偶性课件-人教版高中数学必修一(共18张PPT)
指数函数、对数函数专题三 单调性、奇偶性
例 1、已知定义在 R 上的函数 f(x)＝a＋4x＋1 1是奇函数. (1)求 a 的值； (2)判断 f(x)的单调性(不需要写出理由)； (3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立， 求实数 k 的取值范围.
新课标Ⅲ）设函数
f
(x)
x 1,
2x
,
x
x≤0， 0
则满足 f (x) f (x 1) 1 的 x 的取值范围函数 2x 1
y
x 1 的图象共 x
有 k（ k N ）个公共点：A1 (x1, y1 ) ， A2 (x2 , y2 ) ，… ，
(2)当 m=0 时，判断函数 f x 的奇偶性，并给出证明；
(3)若 f x 是奇函数，不等式 f f x f a 0 有解，
求 a 的取值范围.
练习 1、（2014 湖南）若 f x ln e3x 1 ax 是偶函数，
则 a ____________．
（2010 江苏）设函数 f (x) x(ex aex ) ( x R)是偶函
k
Ak (xk , yk ) ，则 (xi yi )
．
i 1
变为方程 4x＝logax 在0，12上有解，则实数 a 的取值范围为_____
练习 5、已知函数 f(x)＝3loxg，2xx，≤x0>，0， 且关于 x 的方程 f(x) ＋x－a＝0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是___．
练习 6、已知函数 f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c 且 f(a)＞f(c)＞f(b)，
则下列结论中，一定成立的是( )
A．a＜0，b＜0，c＜0
高中数学+函数的奇偶性与单调性复习
性质
单调增函数的图像是上升的，随着 $x$的增大，$y$的值也增大。
举例
正比例函数$y = kx$（$k > 0$） 和指数函数$y = a^x$（$a > 1$） 都是单调增函数。
单调减函数
定义
对于函数的定义域内任意两个数 $x_1$和$x_2$，如果$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数为 单调减函数。
举例
二次函数$y = ax^2 + bx + c$、三角函数等都是非 单调函数。
03
CATALOGUE
奇偶性与单调性的关系
奇函数单调性关系
奇函数在对称区间上的单调性相反
如果奇函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递减。
奇函数的图像关于原点对称
这意味着奇函数在正数和负数范围内的单调性是相反的。
偶函数单调性关系
偶函数在对称区间上的单调性相同
如果偶函数在区间$(a, b)$上单调递增，则一定在区间$(-b, -a)$上单调递增。
偶函数的图像关于y轴对称
这意味着偶函数在正数和负数范围内的单调性是相同的。
单调性与奇偶性综合应用
利用奇偶性判断单调性
01
如果一个函数在某个区间内单调递增，且该函数为奇函数，那
利用单调性分析图像趋势
增函数的图像从左到右上升，减函数的图像 从左到右下降。
05
CATALOGUE
习题与解析
经典习题解析
总结词
这些题目是函数的奇偶性与单调 性的基础题目，适合学生巩固基 础知识。
高一数学：函数奇偶、单调性结合题型
高一数学：函数奇偶、单调性结合题型
函数的奇偶性、单调性在函数的诸多性质当中,占有重要的地位.近些年,高考中考查函数的题型在不断翻新,并且考得比较“隐蔽”,经常与其他知识进行交融考查,同时函数的奇偶性、单调性有时联袂出手,相辅相成.下面阐述两者的区别与联系,并举例说明两者的关系在解题中的应用.
一、函数奇偶性与单调性的区别与联系
函数的单调性是对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势.函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质,主要讨论的是函数的对称性,奇函数的图象关于原点对称, 在原点的两侧具有相同的单调性;偶函数的图象关于y 轴对称,在原点的两侧具有相异的单调性.
二、函数的奇偶性、单调性联袂出手
【评注】本题先利用单调性的定义研究函数的单调性,再与函数的奇偶性结合,转化为不等式问题的研究.。
【完整】高一数学函数的单调性和奇偶性的应用资料PPT
定义域关于原点对称，若有f(-x)= f(x) 则f(x)是偶函数 定义域关于原点对称，若有f(-x)= -f(x)则f(x)是奇函数
应用：若y=f(x)是偶函数则其图像关于Y轴对称, 且它 在两个对称区间上单调性相反
应用：若y=f(x)是奇函数则其图像关于原点对称, 则它 在两个对称区间上单调性一致
解：设x<0 则 -x>0 那么
f(-x)= x 2 2 ( x ) 3 x 2 2 x 3
又 ∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即 -f(x)= x22x3 则 f(x) = x22x3 , 其中x<0 所以，当x<0时 ，f(x) = x22x3
2、已知f(x)= x 9 x
3
m
1
3m 1
1 1
m m
1 3
m1 3
• • •
－2Hale Waihona Puke 1 0 1 1•3
3
1 m1 3
故 m的取值范围为
( 1 ,1 ] 3
三、思考题
R 上的增函数满足 f(x y )f(x )f(y )，且 f (8) 3，解不等式 f(2)f(x2)≥ 6
增函数则 ∵ f ( x ) 在 [－1 , 1 ] 上是增函数
所以，当x<0时 ，f(x) =
(A)
D、f(-π)<f(-2)<f(3)
即 -f(x)=
2f ()、x 函)是数增的函奇A数偶、，性求f的满(简-足π单条)应>件用f(f 3( 1)－>af()-+2f)( 1 －a 2 ) ≤ 0 的 a 的取B值、f(-π)>f(-2)>f(3)
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高一数学函数单调性与奇偶性、指数函数统测
一、选择题：（共10个小题，每题5分，共50分）
1、44
等于（ ）
A 、16
a
B 、8a
C 、4a
D 、2
a
2、在定义域为[]
,a a -（a>0）内，函数均为奇函数()f x 、()g x ，则
()f g x ⎡⎤⎣⎦为（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、非奇非偶函数
D 、无法判断奇偶性 3、函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上为减函数，则a 的取值范围为 （ ） A ． 0＜a ≤
5
1
B ．0≤a ≤
5
1 C ．0＜a ≤
5
1
D ．a >
5
1
4、已知2
)(x
x e e x f --=，则下列正确的是（ ）
A ．奇函数，在R 上为增函数
B ．偶函数，在R 上为增函数
C ．奇函数，在R 上为减函数
D ．偶函数，在R 上为减函数 5、若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法：
①f （x ）＋f （－x ）＝0 ；②f （x ）－f （－x ）＝2f （x ）；
③f （x ）·f （－x ）<0 ④
1)
()
(-=-x f x f 。
其中一定正确的有
（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6、设c<0,()f x 是区间[],a b 上的减函数，下列命题中正确的是（ ） A 、()f x 在区间[],a b 上有最小值()f a B 、()f x c +在[],a b 上有最小值()f a c + C 、()f x c -在[],a b 上有最小值()f a c - D 、()cf x 在[],a b 上有最小值()cf a
7、函数1
21
x y =
-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(,1)0,-∞-+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(),00,-∞+∞
8、已知01,1a b <<<-,则函数x
y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 9、2()1()(0)21x
F x f x x ⎛⎫
=+
⋅≠ ⎪-⎝⎭
是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )
A 、是奇函数
B 、可能是奇函数，也可能是偶函数
C 、是偶函数
D 、不是奇函数，也不是偶函数 10、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）
A 、(1%)na b -
B 、(1%)a nb -
C 、[1(%)]n
a b - D 、(1%)n
a b - 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）。
11、设函数()()
2
16
x a f x x ++=+为奇函数，则实数=a ______________。
12、函数11
+=-x a
y )10(≠>a a 且的图象必经过定点___
13、函数2281
1(31)3x x y x --+⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
≤≤的值域是
14、函数2
233x y -=的单调递减区间是
15. 已知)(x f 是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时，)
(x f 的图象如右图所示，那么)(x f 的值域是 .
三、 解答题（12+12+12+12+13+14=75′）
16、⑴化简1
312)(--⋅⋅⋅xy xy xy xy
⑵计算()()
)2
1(5
11
212
42---+
-+
-- 2
3
8
17、设01a <<，解关于x 的不等式2
2
232
223
x
x x
x a
a -++->。
18.函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数的解析式为
.)(12
-=
x
x f (I)用定义证明)(x f 在),(+∞0上是减函数; (II)求当0<x 时,函数的解析式;
19、已知函数11
()212
x
f x =
+- （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 在区间(0,)+∞上的单调性并证明。
20、（本小题12分）设函数)(x f y =是定义在R +
上的减函数，并且满足
)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ，
（1）求)1(f 的值， （2）如果2)()(32≤-+x f x f ，求x 的 值 。
21、已知0a >且1a ≠，()f x 是奇函数，
11
()(1)()()12
x
x a f x a ϕ=-+- （1）判断()x ϕ的奇偶性
(2)证明：若()0xf x >，则()0x ϕ>。
函数单调性与奇偶性、指数函数参考答案
CABAC DBAAD
11、-1 12:(1,2) 13、991,33⎡⎤
⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
14、()0,+∞ 15、｛x | -3≤x <-2｝
∪｛x | 2<x ≤3｝
16. ⑴原式=12
13
12
112)
(])([--⋅xy xy xy =2
12
16
16
13231||||||||-
-
-
y x y x y x
=⎩
⎨⎧<->=-0101
||3
13
1
x x x x ——6分
⑵22-4
17、∵01a <<,∴ x
y a
=在
()
,-∞+∞上为减函数，∵
2
2
232
223
x
x x
x a a -++->, ∴2
2
2322231x x x x x -+<+-⇒>
18、设,0<x 则0>-x ,所以12
--=-x
x f )(,又)(x f 为偶函数,所以)(x f =12
--=
-x
x f )(. 19:(1){}|0x x ≠ (2)减函数
20.解:令x=y=1则f （1x1）=f(1)+ f(1),故f(1)=0 （2）由题意知x>0,且2/3-x>0，
而)()(32x f x f -+=f[x(2/3-x )]≤f(1/3)+ f(1/3)= f(1/9) 因为函数)(x f y =是定义在R +上的减函数， 故x(2/3-x )≥1/9,故x=1/3∈（0，2/3）
21、解：（1）
()f x 为奇函数()()f x f x ∴-=-
又()x ϕ的定义域为{}
0x R x ∈≠
()
x ϕ∴-()()1
1112x a f x a -⎛⎫=--+ ⎪
-⎝⎭
()()1112x x
a a f x a ⎛⎫
=--+ ⎪-⎝⎭
()()11112x
a f x a ⎛⎫=--- ⎪-⎝⎭()()1
1112x a f x a ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭=()x ϕ ∴
()
x ϕ是偶函数
--------------------------------------------------------------------------------------（6分） （2）令0x >则()f x 0>这时
①当1a >时
11012
x a +>-，10a ->()0x ϕ∴> ②当01a <<时
11
012
x
a +<-，10a -<()0x ϕ∴> 又()x ϕ是偶函数0,x ∴<()x ϕ()x ϕ=-0>
故
x
()
f x 0
>时
()0x ϕ>-----------------------------------------------（12分）。